La loi du mouvement d'un pendule lors d'oscillations harmoniques. Équation harmonique

L'oscillation harmonique est un phénomène de changement périodique de toute quantité, dans lequel la dépendance à l'égard de l'argument a le caractère d'une fonction sinus ou cosinus. Par exemple, une grandeur oscille harmonieusement et évolue dans le temps comme suit :

où x est la valeur de la grandeur changeante, t est le temps, les paramètres restants sont constants : A est l'amplitude des oscillations, ω est la fréquence cyclique des oscillations, est la phase complète des oscillations, est la phase initiale des oscillations.

Oscillation harmonique généralisée sous forme différentielle

(Toute solution non triviale à cette équation différentielle est une oscillation harmonique avec une fréquence cyclique)

Types de vibrations

Des vibrations libres se produisent sous l'influence des forces internes du système après que le système a été retiré de sa position d'équilibre. Pour que les oscillations libres soient harmoniques, il faut que le système oscillatoire soit linéaire (décrit par des équations linéaires du mouvement), et qu'il n'y ait pas de dissipation d'énergie (cette dernière provoquerait une atténuation).

Des vibrations forcées se produisent sous l'influence d'une force périodique externe. Pour qu'ils soient harmoniques, il suffit que le système oscillatoire soit linéaire (décrit par des équations de mouvement linéaires) et que la force externe elle-même évolue dans le temps comme une oscillation harmonique (c'est-à-dire que la dépendance temporelle de cette force est sinusoïdale) .

Équation harmonique

donne la dépendance de la valeur fluctuante S au temps t ; c'est l'équation des oscillations harmoniques libres sous forme explicite. Cependant, l’équation de vibration est généralement comprise comme une représentation différente de cette équation, sous forme différentielle. Pour plus de précision, prenons l'équation (1) sous la forme

Différencions-le deux fois par rapport au temps :

On voit que la relation suivante est vraie :

qui s'appelle l'équation des oscillations harmoniques libres (sous forme différentielle). L'équation (1) est une solution de l'équation différentielle (2). Puisque l'équation (2) est une équation différentielle du second ordre, deux conditions initiales sont nécessaires pour obtenir une solution complète (c'est-à-dire déterminer les constantes A et   incluses dans l'équation (1) ; par exemple, la position et la vitesse du système oscillatoire à t = 0.

Un pendule mathématique est un oscillateur, qui est un système mécanique constitué d'un point matériel situé sur un fil inextensible en apesanteur ou sur une tige en apesanteur dans un champ uniforme de forces gravitationnelles. La période des petites oscillations naturelles d'un pendule mathématique de longueur l, immobile suspendu dans un champ gravitationnel uniforme avec une accélération de chute libre g, est égale à

et ne dépend pas de l'amplitude et de la masse du pendule.

Un pendule physique est un oscillateur, qui est un corps solide qui oscille dans un champ de forces quelconques par rapport à un point qui n'est pas le centre de masse de ce corps, ou un axe fixe perpendiculaire à la direction d'action des forces et non passant par le centre de masse de ce corps.

Valeurs maximales de vitesse et d'accélération

Après avoir analysé les équations de dépendance v(t) et a(t), on peut deviner que la vitesse et l'accélération prennent des valeurs maximales dans le cas où le facteur trigonométrique est égal à 1 ou -1. Déterminé par la formule

Comment obtenir les dépendances v(t) et a(t)

7. Vibrations gratuites. Vitesse, accélération et énergie du mouvement oscillatoire. Ajout de vibrations

Vibrations gratuites(ou vibrations naturelles) sont des oscillations d'un système oscillatoire qui se produisent uniquement en raison de l'énergie initialement transmise (potentielle ou cinétique) en l'absence d'influences externes.

L'énergie potentielle ou cinétique peut être transmise, par exemple, dans les systèmes mécaniques par le biais d'un déplacement initial ou d'une vitesse initiale.

Les corps en oscillation libre interagissent toujours avec d'autres corps et forment avec eux un système de corps appelé système oscillatoire.

Par exemple, un ressort, une bille et un poteau vertical auquel est fixée l'extrémité supérieure du ressort (voir figure ci-dessous) sont inclus dans le système oscillatoire. Ici, la balle glisse librement le long de la corde (les forces de frottement sont négligeables). Si vous déplacez la balle vers la droite et la laissez à elle-même, elle oscillera librement autour de la position d'équilibre (point À PROPOS) du fait de l'action de la force élastique du ressort dirigée vers la position d'équilibre.

Un autre exemple classique de système oscillatoire mécanique est un pendule mathématique (voir figure ci-dessous). Dans ce cas, la bille effectue des oscillations libres sous l'influence de deux forces : la gravité et la force élastique du fil (la Terre est également incluse dans le système oscillatoire). Leur résultante est dirigée vers la position d’équilibre.

Les forces agissant entre les corps du système oscillatoire sont appelées Forces internes. Par des forces extérieures sont appelées forces agissant sur un système à partir de corps extérieurs à celui-ci. De ce point de vue, les oscillations libres peuvent être définies comme des oscillations dans un système sous l’influence de forces internes après que le système soit sorti de sa position d’équilibre.

Les conditions d'apparition d'oscillations libres sont :

1) l'émergence en eux d'une force qui ramène le système à une position d'équilibre stable après qu'il ait été sorti de cet état ;

2) manque de friction dans le système.

Dynamique des vibrations libres.

Vibrations corporelles sous l'influence de forces élastiques. Équation du mouvement oscillatoire d'un corps sous l'action d'une force élastique F(voir figure) peut être obtenu en tenant compte de la deuxième loi de Newton ( F = ma) et la loi de Hooke ( Commande F= -kx), Où m est la masse de la balle, et est l'accélération acquise par la balle sous l'action d'une force élastique, k- coefficient de raideur du ressort, X- déplacement du corps depuis la position d'équilibre (les deux équations sont écrites en projection sur l'axe horizontal Oh). En égalisant les membres droits de ces équations et en tenant compte du fait que l'accélération UN est la dérivée seconde de la coordonnée X(déplacement), on obtient :

.

Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement d'un corps oscillant sous l'action d'une force élastique : la dérivée seconde de la coordonnée par rapport au temps (accélération du corps) est directement proportionnelle à sa coordonnée, prise avec le signe opposé.

Oscillations d'un pendule mathématique. Pour obtenir l'équation d'oscillation d'un pendule mathématique (figure), il faut augmenter la force de gravité FT= mgÀ la normale Fn(dirigé le long du filetage) et tangentiel F τ(tangente à la trajectoire de la balle - cercle) composantes. Composante normale de la gravité Fn et la force élastique du fil Fynp au total, confère au pendule une accélération centripète, qui n'affecte pas l'ampleur de la vitesse, mais change seulement sa direction, et la composante tangentielle F τ est la force qui ramène la balle à sa position d’équilibre et lui fait effectuer des mouvements oscillatoires. En utilisant, comme dans le cas précédent, la loi de Newton pour l'accélération tangentielle ma τ = F τ et étant donné que F τ= -mg sinα, on a:

un τ= -g sinα,

Le signe moins est apparu car la force et l'angle d'écart par rapport à la position d'équilibre α ont des signes opposés. Pour petits angles de déviation péché α ≈ α. À son tour, α = s/l, Où s- arc O.A., je- longueur du filetage. Étant donné que et τ= s", on obtient finalement :

La forme de l'équation est similaire à l'équation . Seulement ici les paramètres du système sont la longueur du fil et l'accélération de la gravité, et non la raideur du ressort et la masse de la bille ; le rôle de coordonnée est joué par la longueur de l'arc (c'est-à-dire la distance parcourue, comme dans le premier cas).

Ainsi, les vibrations libres sont décrites par des équations du même type (soumises aux mêmes lois) quelle que soit la nature physique des forces à l'origine de ces vibrations.

Résoudre des équations et est fonction de la forme :

x = xmcos ω 0t(ou x = xmpéché ω 0t).

C'est-à-dire que la coordonnée d'un corps effectuant des oscillations libres change avec le temps selon la loi du cosinus ou du sinus et, par conséquent, ces oscillations sont harmoniques :

Dans l'équation. x = xmcos ω 0t(ou x = xmpéché ω 0t), xm- l'amplitude des vibrations, ω 0 - propre fréquence d'oscillations cycliques (circulaires).

La fréquence cyclique et la période des oscillations harmoniques libres sont déterminées par les propriétés du système. Ainsi, pour les vibrations d'un corps attaché à un ressort, les relations suivantes sont valables :

.

Plus la raideur du ressort est grande ou plus la masse de la charge est faible, plus la fréquence propre est élevée, ce qui est pleinement confirmé par l'expérience.

Pour un pendule mathématique, les égalités suivantes sont satisfaites :

.

Cette formule a été obtenue et testée expérimentalement pour la première fois par le scientifique néerlandais Huygens (un contemporain de Newton).

La période d'oscillation augmente avec la longueur du pendule et ne dépend pas de sa masse.

Une attention particulière doit être portée au fait que les oscillations harmoniques sont strictement périodiques (puisqu'elles obéissent à la loi du sinus ou du cosinus) et même pour un pendule mathématique, qui est une idéalisation d'un pendule réel (physique), ne sont possibles qu'avec de petites oscillations. angles. Si les angles de déflexion sont grands, le déplacement de la charge ne sera pas proportionnel à l'angle de déflexion (sinus de l'angle) et l'accélération ne sera pas proportionnelle au déplacement.

La vitesse et l’accélération d’un corps oscillant librement subiront également des oscillations harmoniques. Prendre la dérivée temporelle de la fonction ( x = xmcos ω 0t(ou x = xmpéché ω 0t)), on obtient une expression pour la vitesse :

v = -vmpéché ω 0t = -vmxmcos (ω 0t + π/2),

Où vm= ω 0 xm- l'amplitude de la vitesse.

Expression similaire pour l'accélération UN on obtient en différenciant ( v = -vmpéché ω 0t = -vmxmcos (ω 0t + π/2)):

une = -une mcos ω 0t,

Où suis= ω 2 0xm- amplitude d'accélération. Ainsi, l'amplitude de la vitesse des oscillations harmoniques est proportionnelle à la fréquence, et l'amplitude de l'accélération est proportionnelle au carré de la fréquence d'oscillation.

VIBRATIONS HARMONIQUES
On appelle les oscillations dans lesquelles des changements de grandeurs physiques se produisent selon la loi du cosinus ou du sinus (loi harmonique). vibrations harmoniques. Par exemple, dans le cas de vibrations harmoniques mécaniques :.
Dans ces formules, ω est la fréquence d'oscillation, x m est l'amplitude de l'oscillation, φ 0 et φ 0 ' sont les phases initiales de l'oscillation. Les formules ci-dessus diffèrent dans la définition de la phase initiale et à φ 0 ' = φ 0 +π/2 coïncident complètement.
C'est le type d'oscillation périodique le plus simple. La forme spécifique de la fonction (sinus ou cosinus) dépend de la méthode utilisée pour sortir le système de sa position d'équilibre. Si le retrait se produit par poussée (l'énergie cinétique est transmise), alors à t=0 le déplacement x=0, il est donc plus pratique d'utiliser la fonction sin, en réglant φ 0 '=0 ; en s'écartant de la position d'équilibre (l'énergie potentielle est signalée) à t = 0, le déplacement x = x m, il est donc plus pratique d'utiliser la fonction cos et φ 0 = 0. L'expression sous le signe cos ou sin est appelée. phase d'oscillation :
.
La phase de l'oscillation est mesurée en radians et détermine la valeur du déplacement (la grandeur oscillante) à un instant donné.
L'amplitude de l'oscillation dépend uniquement de la déviation initiale (l'énergie initiale transmise au système oscillatoire).
Vitesse et accélération lors des oscillations harmoniques.
Selon la définition de la vitesse, la vitesse est la dérivée d'une position par rapport au temps.
Ainsi, nous voyons que la vitesse pendant le mouvement oscillatoire harmonique change également selon la loi harmonique, mais les oscillations de vitesse sont en avance sur les oscillations de déphasage de π/2. Valeur - vitesse maximale du mouvement oscillatoire (amplitude des fluctuations de vitesse).
Ainsi, pour la vitesse lors de l’oscillation harmonique, nous avons : , et pour le cas de phase initiale nulle (voir graphique). Selon la définition de l'accélération, l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :.
est la dérivée seconde de la coordonnée par rapport au temps. Alors: . L'accélération pendant le mouvement oscillatoire harmonique change également selon la loi harmonique, mais les oscillations d'accélération sont en avance sur les oscillations de vitesse de π/2 et les oscillations de déplacement de π (on dit que les oscillations se produisent en antiphase) Valeur - accélération maximale (amplitude des fluctuations d'accélération). On a donc pour l’accélération :
De l'analyse du processus de mouvement oscillatoire, des graphiques et des expressions mathématiques correspondantes, il est clair que lorsque le corps oscillant dépasse la position d'équilibre (le déplacement est nul), l'accélération est nulle et la vitesse du corps est maximale (la le corps passe la position d'équilibre par inertie), et lorsque la valeur d'amplitude du déplacement est atteinte, la vitesse est égale à zéro, et l'accélération est maximale en valeur absolue (le corps change la direction de son mouvement).
Comparons les expressions de déplacement et d'accélération lors de vibrations harmoniques : et .
Tu peux écrire: - c'est à dire. la dérivée seconde du déplacement est directement proportionnelle (de signe opposé) au déplacement. Cette équation s'appelle équation de vibration harmonique. Cette dépendance vaut pour toute oscillation harmonique, quelle que soit sa nature. Comme nous n'avons jamais utilisé les paramètres d'un système oscillatoire spécifique, seule la fréquence cyclique peut en dépendre.
Il est souvent pratique d’écrire les équations des vibrations sous la forme : , où T est la période d'oscillation. Ensuite, si le temps est exprimé en fractions de période, les calculs seront simplifiés. Par exemple, si nous devons trouver le déplacement après 1/8 de la période, nous obtenons : . Idem pour la vitesse et l'accélération.

Il arrive souvent qu'un système participe simultanément à deux ou plusieurs oscillations indépendantes les unes des autres. Dans ces cas, un mouvement oscillatoire complexe se forme, créé en superposant (ajoutant) des oscillations les unes aux autres. Bien évidemment, les cas d'addition d'oscillations peuvent être très divers. Ils dépendent non seulement du nombre d'oscillations ajoutées, mais également des paramètres des oscillations, de leurs fréquences, phases, amplitudes et directions. Il n'est pas possible de passer en revue toute la variété possible des cas d'addition d'oscillations, nous nous limiterons donc à ne considérer que des exemples individuels.
1. Ajout d'oscillations d'une direction. Ajoutons deux oscillations de même fréquence, mais de phases et d'amplitudes différentes.

(4.40)
Quand les oscillations se superposent


Introduisons de nouveaux paramètres A et j selon les équations :

(4.42)
Le système d’équations (4.42) est facile à résoudre.

(4.43)

(4.44)
Ainsi, pour x on obtient finalement l'équation

(4.45)
Ainsi, grâce à l'ajout d'oscillations unidirectionnelles de même fréquence, nous obtenons une oscillation harmonique (sinusoïdale) dont l'amplitude et la phase sont déterminées par les formules (4.43) et (4.44).
Considérons des cas particuliers dans lesquels les relations entre les phases de deux oscillations ajoutées sont différentes :


(4.46)
Additionnons maintenant les oscillations unidirectionnelles de même amplitude, de phases identiques, mais de fréquences différentes.


(4.47)
Considérons le cas où les fréquences sont proches les unes des autres, c'est-à-dire w1~w2=w
Ensuite, nous supposerons approximativement que (w1+w2)/2= w et (w2-w1)/2 est une petite valeur. L’équation de l’oscillation résultante ressemblera à :

(4.48)
Son graphique est présenté sur la Fig. 4.5 Cette oscillation est appelée battement. Cela se produit avec une fréquence w, mais son amplitude oscille avec une grande période.

2. Ajout de deux oscillations mutuellement perpendiculaires. Supposons qu'une oscillation se produise le long de l'axe des x, l'autre le long de l'axe des y. Le mouvement résultant est évidemment situé dans le plan xy.
1. Supposons que les fréquences et les phases d'oscillation soient les mêmes, mais que les amplitudes soient différentes.

(4.49)
Pour trouver la trajectoire du mouvement résultant, vous devez éliminer le temps des équations (4.49). Pour ce faire, il suffit de diviser une équation terme par terme par une autre, ce qui obtient

(4.50)
L'équation (4.50) montre que dans ce cas, l'addition des oscillations conduit à une oscillation en ligne droite dont la pente est déterminée par le rapport des amplitudes.
2. Soit les phases des oscillations ajoutées différant les unes des autres de /2 et les équations ont la forme :

(4.51)
Pour trouver la trajectoire du mouvement résultant, hors temps, vous devez mettre au carré les équations (4.51), en les divisant d'abord en A1 et A2, respectivement, puis en les additionnant. L’équation de trajectoire prendra la forme :

(4.52)
C'est l'équation d'une ellipse. Il peut être prouvé que pour toute phase initiale et toute amplitude de deux oscillations mutuellement perpendiculaires ajoutées de même fréquence, l’oscillation résultante se produira le long d’une ellipse. Son orientation dépendra des phases et des amplitudes des oscillations ajoutées.
Si les oscillations ajoutées ont des fréquences différentes, alors les trajectoires des mouvements résultants s'avèrent très diverses. Ce n'est que si les fréquences d'oscillation dans x et y sont multiples l'une de l'autre que des trajectoires fermées sont obtenues. De tels mouvements peuvent être classés comme périodiques. Dans ce cas, les trajectoires de mouvements sont appelées figures de Lissajous. Considérons l'une des figures de Lissajous, obtenue en additionnant des oscillations avec des rapports de fréquence de 1:2, avec des amplitudes et des phases identiques au début du mouvement.

(4.53)
Les oscillations se produisent deux fois plus souvent le long de l’axe y que le long de l’axe x. L'ajout de telles oscillations conduira à une trajectoire de mouvement en forme de huit (Fig. 4.7).

8. Oscillations amorties et leurs paramètres : décrément et coefficient d'oscillation, temps de relaxation

)Période d'oscillations amorties:

T = (58)

À δ << ω o les vibrations ne diffèrent pas des harmoniques : T = 2π/ ωo.

2) Amplitude des oscillations amorties est exprimé par la formule (119).

3) Décrément d'atténuation,égal au rapport de deux amplitudes de vibration successives UN(t) Et UN(t+T), caractérise le taux de diminution de l'amplitude sur une période :

= EDT (59)

4) Décrément d'amortissement logarithmique- logarithme népérien du rapport des amplitudes de deux oscillations successives correspondant à des instants de temps différant d'une période

q = ln = ln e d Т =dT(60)

Le décrément d'amortissement logarithmique est une valeur constante pour un système oscillatoire donné.

5) Temps de relaxation il est d'usage d'appeler la période de temps ( t) pendant laquelle l'amplitude des oscillations amorties diminue de e fois :

e ré τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

A partir d'une comparaison des expressions (60) et (61) on obtient :

q= = , (62)

Où N e - le nombre d'oscillations effectuées pendant la relaxation.

Si pendant le temps t le système s'engage Ν hésitation, alors t = Ν . Τ et l'équation des oscillations amorties peut être représentée comme suit :

S = A 0 e -d N T cos(wt+j)= A 0 e -q N cos(wt+j).

6)Facteur de qualité du système oscillatoire(Q) est généralement appelée la grandeur caractérisant la perte d'énergie dans le système pendant la période d'oscillation :

Q = 2p , (63)

Où W- l'énergie totale du système, ΔW- l'énergie dissipée sur une période. Moins l’énergie est dissipée, plus le facteur de qualité du système est élevé. Les calculs montrent que

Q = = pN e = = . (64)

Cependant, le facteur de qualité est inversement proportionnel au décrément d'atténuation logarithmique. De la formule (64), il s'ensuit que le facteur de qualité est proportionnel au nombre d'oscillations N e effectué par le système pendant la relaxation.

7) Énergie potentielle système au temps t, peut être exprimé en termes d’énergie potentielle W 0 au plus grand écart :

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

On considère généralement que les oscillations se sont pratiquement arrêtées si leur énergie a diminué de 100 fois (l'amplitude a diminué de 10 fois). De là, nous pouvons obtenir une expression pour calculer le nombre d'oscillations effectuées par le système :

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Vibrations forcées. Résonance. Oscillations apériodiques. Auto-oscillations.

Pour que le système puisse effectuer des oscillations non amorties, il est nécessaire de compenser la perte d’énergie d’oscillation due au frottement extérieur. Afin de garantir que l'énergie d'oscillation du système ne diminue pas, une force est généralement introduite qui agit périodiquement sur le système (nous appellerons une telle force forcer, et les oscillations sont forcées).

DÉFINITION: forcé Ce sont les oscillations qui se produisent dans un système oscillatoire sous l’influence d’une force externe changeant périodiquement.

Cette force joue généralement un double rôle :

premièrement, il fait vibrer le système et lui fournit une certaine quantité d’énergie ;

d'autre part, il reconstitue périodiquement les pertes d'énergie (consommation d'énergie) pour vaincre les forces de résistance et de friction.

Laissez la force motrice changer au fil du temps selon la loi :

.

Composons une équation du mouvement pour un système oscillant sous l'influence d'une telle force. Nous supposons que le système est également affecté par une force quasi-élastique et la force de résistance du milieu (ce qui est vrai dans l'hypothèse de petites oscillations). L’équation du mouvement du système ressemblera alors à :

Ou .

Après avoir effectué les substitutions , , – la fréquence propre des oscillations du système, on obtient une équation différentielle linéaire inhomogène 2 ème commande:

De la théorie des équations différentielles, on sait que la solution générale d'une équation inhomogène est égale à la somme de la solution générale d'une équation homogène et d'une solution particulière d'une équation inhomogène.

La solution générale de l’équation homogène est connue :

,

Où ; un 0 et un– const arbitraire.

.

À l'aide d'un diagramme vectoriel, vous pouvez vérifier que cette hypothèse est vraie, et également déterminer les valeurs de « un" Et " j”.

L'amplitude des oscillations est déterminée par l'expression suivante :

.

Signification " j", qui est l'ampleur du décalage de phase de l'oscillation forcée à partir de la force motrice qui l'a déterminé, est également déterminé à partir du diagramme vectoriel et s'élève à :

.

Finalement, une solution particulière à l’équation inhomogène prendra la forme :

(8.18)

Cette fonction, combinée à

(8.19)

donne une solution générale à une équation différentielle inhomogène qui décrit le comportement d'un système sous oscillations forcées. Le terme (8.19) joue un rôle important dans la phase initiale du processus, lors de ce qu'on appelle l'établissement des oscillations (Fig. 8.10). Au fil du temps, en raison du facteur exponentiel, le rôle du deuxième terme (8.19) diminue de plus en plus, et après un temps suffisant, il peut être négligé, ne conservant que le terme (8.18) dans la solution.

Ainsi, la fonction (8.18) décrit des oscillations forcées en régime permanent. Ils représentent des oscillations harmoniques de fréquence égale à la fréquence de la force motrice. L'amplitude des oscillations forcées est proportionnelle à l'amplitude de la force motrice. Pour un système oscillatoire donné (défini par w 0 et b), l'amplitude dépend de la fréquence de la force motrice. Les oscillations forcées sont en retard par rapport à la force motrice en phase, et l'ampleur du décalage « j » dépend également de la fréquence de la force motrice.

La dépendance de l'amplitude des oscillations forcées sur la fréquence de la force motrice conduit au fait qu'à une certaine fréquence déterminée pour un système donné, l'amplitude des oscillations atteint une valeur maximale. Le système oscillatoire s'avère particulièrement réactif à l'action de la force motrice à cette fréquence. Ce phénomène est appelé résonance, et la fréquence correspondante est fréquence de résonance.

DÉFINITION : le phénomène dans lequel on observe une forte augmentation de l'amplitude des oscillations forcées est appelé résonance.

La fréquence de résonance est déterminée à partir de la condition maximale d'amplitude des oscillations forcées :

. (8.20)

Ensuite, en substituant cette valeur dans l'expression de l'amplitude, nous obtenons :

. (8.21)

En l'absence de résistance moyenne, l'amplitude des oscillations à la résonance tournerait vers l'infini ; la fréquence de résonance dans les mêmes conditions (b=0) coïncide avec la fréquence propre des oscillations.

La dépendance de l'amplitude des oscillations forcées sur la fréquence de la force motrice (ou, ce qui revient au même, sur la fréquence d'oscillation) peut être représentée graphiquement (Fig. 8.11). Les courbes individuelles correspondent à différentes valeurs de « b ». Plus le « b » est petit, plus le maximum de cette courbe est haut et à droite (voir l'expression pour w res.). Avec un amortissement très élevé, aucune résonance n'est observée - avec une fréquence croissante, l'amplitude des oscillations forcées diminue de manière monotone (courbe inférieure de la Fig. 8.11).

L'ensemble des graphiques présentés correspondant aux différentes valeurs de b est appelé courbes de résonance.

Remarques concernant les courbes de résonance :

lorsque w®0 tend, toutes les courbes arrivent à la même valeur non nulle égale à . Cette valeur représente le déplacement par rapport à la position d'équilibre que le système reçoit sous l'influence d'une force constante F 0 .

comme w®¥ toutes les courbes tendent asymptotiquement vers zéro, car à haute fréquence, la force change de direction si rapidement que le système n'a pas le temps de s'écarter sensiblement de sa position d'équilibre.

plus b est petit, plus l'amplitude proche de la résonance change avec la fréquence, plus le maximum est « net ».

Le phénomène de résonance s’avère souvent utile, notamment en acoustique et en ingénierie radio.

Auto-oscillations- oscillations non amorties dans un système dynamique dissipatif avec rétroaction non linéaire, supportées par une énergie constante, c'est-à-dire non périodique influence extérieure.

Les auto-oscillations diffèrent de oscillations forcées parce que ces derniers sont causés périodique influence externe et se produisent avec la fréquence de cette influence, tandis que l'apparition des auto-oscillations et leur fréquence sont déterminées par les propriétés internes du système auto-oscillant lui-même.

Terme auto-oscillations introduit dans la terminologie russe par A. A. Andronov en 1928.

Exemples[

Voici des exemples d'auto-oscillations :

· oscillations non amorties du pendule de l'horloge dues à l'action constante de la gravité du poids du remontoir ;

vibrations des cordes du violon sous l'influence d'un archet se déplaçant uniformément

· l'apparition de courant alternatif dans les circuits multivibrateurs et autres générateurs électroniques à tension d'alimentation constante ;

· oscillation de la colonne d'air dans le tube de l'orgue, avec apport d'air uniforme dans celui-ci. (voir aussi Onde stationnaire)

· vibrations de rotation d'un engrenage d'horlogerie en laiton avec un axe en acier suspendu à un aimant et tordu (expérience de Gamazkov) (l'énergie cinétique de la roue, comme dans un générateur unipolaire, est convertie en énergie potentielle d'un champ électrique, l'énergie potentielle du champ électrique, comme dans un moteur unipolaire, est converti en énergie cinétique de la roue, etc.)

Le marteau de Maklakov

Un marteau qui frappe en utilisant l'énergie du courant alternatif avec une fréquence plusieurs fois inférieure à la fréquence du courant dans un circuit électrique.

La bobine L du circuit oscillant est placée au dessus de la table (ou autre objet qu'il faut frapper). Un tube de fer entre par le bas, dont l'extrémité inférieure est la partie frappante du marteau. Le tube possède une fente verticale pour réduire les courants de Foucault. Les paramètres du circuit oscillatoire sont tels que la fréquence propre de ses oscillations coïncide avec la fréquence du courant dans le circuit (par exemple, courant alternatif de ville, 50 hertz).

Après avoir activé le courant et établi des oscillations, une résonance des courants du circuit et du circuit externe est observée et le tube de fer est aspiré dans la bobine. L'inductance de la bobine augmente, le circuit oscillant sort de résonance et l'amplitude des oscillations de courant dans la bobine diminue. Le tube revient donc à sa position initiale – à l’extérieur de la bobine – sous l’influence de la gravité. Ensuite, les oscillations de courant à l'intérieur du circuit commencent à augmenter et la résonance se produit à nouveau : le tube est à nouveau entraîné dans la bobine.

Le tube fait auto-oscillations, c'est-à-dire des mouvements périodiques de haut en bas, et en même temps frappe fort sur la table, comme un marteau. La période de ces auto-oscillations mécaniques est des dizaines de fois plus longue que la période du courant alternatif qui les entretient.

Le marteau porte le nom de M.I. Maklakov, assistant de cours à l'Institut de physique et de technologie de Moscou, qui a proposé et réalisé une telle expérience pour démontrer les auto-oscillations.

Mécanisme d'auto-oscillation

Fig. 1. Mécanisme d'auto-oscillation

Les auto-oscillations peuvent être de nature différente : mécanique, thermique, électromagnétique, chimique. Le mécanisme d'apparition et de maintien des auto-oscillations dans différents systèmes peut être basé sur différentes lois de la physique ou de la chimie. Pour une description quantitative précise des auto-oscillations de différents systèmes, différents appareils mathématiques peuvent être nécessaires. Il est néanmoins possible d’imaginer un schéma commun à tous les systèmes auto-oscillants décrivant qualitativement ce mécanisme (Fig. 1).

Sur le schéma : S- source d'impact constant (non périodique) ; R.- un contrôleur non linéaire qui convertit un effet constant en un effet variable (par exemple, en un effet intermittent dans le temps), qui « balance » oscillateur V- élément(s) oscillant(s) du système, et oscillations de l'oscillateur par feedback B contrôler le fonctionnement du régulateur R., demandant phase Et fréquence ses actions. La dissipation (dissipation d'énergie) dans un système auto-oscillant est compensée par l'entrée d'énergie provenant d'une source d'influence constante, grâce à laquelle les auto-oscillations ne s'éteignent pas.

Riz. 2 Schéma du mécanisme à cliquet d'une horloge à pendule

Si l'élément oscillant du système est capable de son propre oscillations amorties(soi-disant oscillateur dissipatif harmonique), les auto-oscillations (avec dissipation et apport d'énergie égaux dans le système pendant la période) s'établissent à une fréquence proche de résonnant pour cet oscillateur, leur forme devient proche de l'harmonique, et l'amplitude, dans une certaine plage de valeurs, est d'autant plus grande que l'influence externe constante est grande.

Un exemple de ce type de système est le mécanisme à cliquet d'une horloge à pendule, dont le schéma est illustré à la Fig. 2. Sur l'axe de la roue à rochet UN(qui dans ce système remplit la fonction d'un régulateur non linéaire) il existe un moment de force constant M, transmis par un rouage à partir du ressort moteur ou d'un poids. Quand la roue tourne UN ses dents transmettent des impulsions de force à court terme au pendule P.(oscillateur), grâce auquel ses oscillations ne s'estompent pas. La cinématique du mécanisme joue le rôle de rétroaction dans le système, synchronisant la rotation de la roue avec les oscillations du pendule de telle sorte que pendant toute la période d'oscillation, la roue tourne d'un angle correspondant à une dent.

Les systèmes auto-oscillants qui ne contiennent pas d'oscillateurs harmoniques sont appelés relaxation. Les vibrations qu'ils contiennent peuvent être très différentes des vibrations harmoniques et avoir une forme rectangulaire, triangulaire ou trapézoïdale. L'amplitude et la période des auto-oscillations de relaxation sont déterminées par le rapport entre l'ampleur de l'impact constant et les caractéristiques d'inertie et de dissipation du système.

Riz. 3 Cloche électrique

L'exemple le plus simple d'auto-oscillations de relaxation est le fonctionnement d'une cloche électrique, illustrée à la Fig. 3. La source d’exposition constante (non périodique) est ici une batterie électrique U; Le rôle d'un régulateur non linéaire est assuré par un hacheur T, fermeture et ouverture d'un circuit électrique, à la suite de quoi un courant intermittent y apparaît ; les éléments oscillants sont un champ magnétique induit périodiquement dans le noyau d'un électro-aimant E, et ancre UN, se déplaçant sous l’influence d’un champ magnétique alternatif. Les oscillations de l'armature activent le disjoncteur, qui forme un retour.

L'inertie de ce système est déterminée par deux grandeurs physiques différentes : le moment d'inertie de l'armature UN et inductance de l'enroulement de l'électro-aimant E. Une augmentation de l'un de ces paramètres entraîne une augmentation de la période d'auto-oscillations.

S'il y a plusieurs éléments dans le système qui oscillent indépendamment les uns des autres et influencent simultanément un ou plusieurs régulateurs non linéaires (il peut également y en avoir plusieurs), les auto-oscillations peuvent prendre une nature plus complexe, par exemple : apériodique, ou chaos dynamique.

Dans la nature et la technologie

Les auto-oscillations sont à l'origine de nombreux phénomènes naturels :

· vibrations des feuilles des plantes sous l'influence d'un flux d'air uniforme ;

· formation d'écoulements turbulents sur les rifts et rapides des rivières ;

· action de geysers réguliers, etc.

Le principe de fonctionnement d'un grand nombre de dispositifs et appareils techniques divers repose sur des auto-oscillations, notamment :

· fonctionnement de toutes sortes d'horloges, tant mécaniques qu'électriques ;

· le son de tous les instruments de musique à vent et à cordes ;

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Les types d'oscillations les plus simples sont vibrations harmoniques- des oscillations dans lesquelles le déplacement du point oscillant par rapport à la position d'équilibre évolue dans le temps selon la loi du sinus ou du cosinus.

Ainsi, avec une rotation uniforme de la balle dans un cercle, sa projection (ombre dans des rayons lumineux parallèles) effectue un mouvement oscillatoire harmonique sur un écran vertical (Fig. 1).

Le déplacement par rapport à la position d'équilibre lors de vibrations harmoniques est décrit par une équation (on l'appelle la loi cinématique du mouvement harmonique) de la forme :

où x est le déplacement - une grandeur caractérisant la position du point oscillant à l'instant t par rapport à la position d'équilibre et mesurée par la distance de la position d'équilibre à la position du point à un instant donné ; A - amplitude des oscillations - déplacement maximum du corps par rapport à la position d'équilibre ; T - période d'oscillation - le temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète ; ceux. la période de temps la plus courte après laquelle les valeurs des grandeurs physiques caractérisant l'oscillation sont répétées ; - phase initiale;

Phase d'oscillation au temps t. La phase d'oscillation est un argument d'une fonction périodique qui, pour une amplitude d'oscillation donnée, détermine l'état du système oscillatoire (déplacement, vitesse, accélération) du corps à tout moment.

Si au moment initial le point oscillant est déplacé au maximum par rapport à la position d'équilibre, alors , et le déplacement du point par rapport à la position d'équilibre change selon la loi

Si le point oscillant en est dans une position d'équilibre stable, alors le déplacement du point par rapport à la position d'équilibre change selon la loi

La valeur V, inverse de la période et égale au nombre d'oscillations complètes effectuées en 1 s, est appelée fréquence d'oscillation :

Si pendant le temps t le corps fait N oscillations complètes, alors

Taille montrant combien d'oscillations un corps fait en s s'appelle fréquence cyclique (circulaire).

La loi cinématique du mouvement harmonique peut s’écrire :

Graphiquement, la dépendance du déplacement d'un point oscillant sur le temps est représentée par une onde cosinusoïdale (ou onde sinusoïdale).

La figure 2, a montre un graphique de la dépendance temporelle du déplacement du point oscillant par rapport à la position d'équilibre pour le cas.

Voyons comment la vitesse d'un point oscillant évolue avec le temps. Pour ce faire, on retrouve la dérivée temporelle de cette expression :

où est l'amplitude de la projection de la vitesse sur l'axe des x.

Cette formule montre que lors des oscillations harmoniques, la projection de la vitesse du corps sur l'axe des x change également selon une loi harmonique de même fréquence, d'amplitude différente et est en avance sur le déplacement en phase de (Fig. 2, b ).

Pour clarifier la dépendance de l'accélération, nous trouvons la dérivée temporelle de la projection de la vitesse :

où est l’amplitude de la projection de l’accélération sur l’axe des x.

Avec les oscillations harmoniques, la projection de l'accélération est en avance sur le déphasage de k (Fig. 2, c).

De même, vous pouvez créer des graphiques de dépendances

Considérant que la formule de l’accélération peut s’écrire

ceux. avec les oscillations harmoniques, la projection de l'accélération est directement proportionnelle au déplacement et de signe opposé, c'est-à-dire l'accélération est dirigée dans la direction opposée au déplacement.

Ainsi, la projection de l’accélération est la dérivée seconde du déplacement, alors la relation résultante peut s’écrire :

La dernière égalité s'appelle équation harmonique.

Un système physique dans lequel des oscillations harmoniques peuvent exister est appelé oscillateur harmonique, et l'équation des vibrations harmoniques est équation de l'oscillateur harmonique.

MOUVEMENT VIBRATIONNEL HARMONIQUE

§1 Cinématique de l'oscillation harmonique

Les processus qui se répètent dans le temps sont appelés oscillations.

Selon la nature du processus oscillatoire et le mécanisme d'excitation, on distingue : les vibrations mécaniques (oscillations des pendules, des cordes, des bâtiments, de la surface de la terre, etc.) ; oscillations électromagnétiques (oscillations en courant alternatif, oscillations de vecteurs et dans une onde électromagnétique, etc.) ; vibrations électromécaniques (vibrations de la membrane téléphonique, diffuseur du haut-parleur, etc.) ; vibrations des noyaux et des molécules résultant du mouvement thermique des atomes.

Considérons le segment [OD] (vecteur rayon) effectuant un mouvement de rotation autour du point 0. Longueur |OD| = UN . La rotation se produit avec une vitesse angulaire constante ω 0. Alors l'angle φ entre le rayon vecteur et l'axeXchange au fil du temps conformément à la loi

où φ 0 - angle entre [OD] et l'axe Xà un moment donnét= 0. Projection du segment [OD] sur l'axe Xà un moment donnét= 0

et à un moment arbitraire

(1)

Ainsi, la projection du segment [OD] sur l'axe des x subit des oscillations se produisant le long de l'axe X, et ces oscillations sont décrites par la loi du cosinus (formule (1)).

Oscillations décrites par la loi du cosinus

ou sinus

appelé harmonique.

Les vibrations harmoniques sont périodique, parce que la valeur de x (et y) est répétée à intervalles réguliers.

Si le segment [OD] est dans la position la plus basse de la figure, c'est-à-dire point D coïncide avec le point R., alors sa projection sur l'axe des x est nulle. Appelons cette position du segment [OD] la position d'équilibre. On peut alors dire que la quantité X décrit le déplacement d'un point oscillant par rapport à sa position d'équilibre. Le déplacement maximum par rapport à la position d'équilibre est appelé amplitude fluctuations

Ordre de grandeur

qui est sous le signe cosinus est appelé phase. Phase détermine le déplacement par rapport à la position d'équilibre à un moment arbitrairet. Phase au moment initialt = 0 , égal à φ 0 est appelé la phase initiale.

T

La période de temps pendant laquelle une oscillation complète se produit est appelée période d'oscillation. T. Le nombre d’oscillations par unité de temps est appelé fréquence d’oscillation ν.

Après une période de temps égale à la période T, c'est à dire. lorsque l'argument cosinus augmente de ω 0 T, le mouvement se répète, et le cosinus reprend sa valeur précédente

parce que la période du cosinus est 2π, alors donc ω 0 T= 2π

ainsi, ω 0 est le nombre d'oscillations du corps en 2π secondes. 0 - fréquence cyclique ou circulaire.

modèle de vibration harmonique

UN- amplitude, T- période, X- déplacement,t- temps.

On trouve la vitesse du point oscillant en différenciant l'équation de déplacement X(t) par heure

ceux. vitesse vdifférent en phase du décalage X surπ/2.

L'accélération est la dérivée première de la vitesse (dérivée seconde du déplacement) par rapport au temps

ceux. accélération UN diffère du déphasage de π.

Construisons un graphique X( t) , y( t) Et UN( t) dans une estimation de coordonnées (pour plus de simplicité, prenons φ 0 = 0 et ω 0 = 1)

Gratuit ou propre sont appelées oscillations qui se produisent dans un système livré à lui-même après qu'il a été éloigné de sa position d'équilibre.

Tout mouvement qui se répète périodiquement est appelé oscillatoire. Par conséquent, les dépendances des coordonnées et de la vitesse d'un corps en fonction du temps lors des oscillations sont décrites par des fonctions périodiques du temps. Dans le cours de physique scolaire, on considère les vibrations dans lesquelles les dépendances et les vitesses du corps sont des fonctions trigonométriques , ou une combinaison de ceux-ci, où représente un certain nombre. De telles oscillations sont appelées harmoniques (fonctions Et souvent appelées fonctions harmoniques). Pour résoudre des problèmes sur les oscillations inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de physique, vous devez connaître les définitions des principales caractéristiques du mouvement oscillatoire : amplitude, période, fréquence, fréquence circulaire (ou cyclique) et phase des oscillations. Donnons ces définitions et relions les grandeurs énumérées aux paramètres de dépendance des coordonnées du corps au temps, qui dans le cas d'oscillations harmoniques peuvent toujours être représentées sous la forme

où , et sont quelques nombres.

L'amplitude des oscillations est l'écart maximal d'un corps oscillant par rapport à sa position d'équilibre. Puisque les valeurs maximales et minimales du cosinus dans (11.1) sont égales à ±1, l'amplitude des oscillations du corps oscillant (11.1) est égale à . La période d'oscillation est le temps minimum après lequel le mouvement d'un corps se répète. Pour la dépendance (11.1), la période peut être fixée à partir des considérations suivantes. Le cosinus est une fonction périodique avec point. Par conséquent, le mouvement est complètement répété jusqu'à une valeur telle que . De là, nous obtenons

La fréquence circulaire (ou cyclique) des oscillations est le nombre d'oscillations effectuées par unité de temps. De la formule (11.3), nous concluons que la fréquence circulaire est la quantité de la formule (11.1).

La phase d'oscillation est l'argument d'une fonction trigonométrique qui décrit la dépendance de la coordonnée au temps. De la formule (11.1) on voit que la phase d'oscillations du corps, dont le mouvement est décrit par la dépendance (11.1), est égale à . La valeur de la phase d'oscillation au temps = 0 est appelée phase initiale. Pour la dépendance (11.1), la phase initiale des oscillations est égale à . Évidemment, la phase initiale des oscillations dépend du choix du point de référence temporel (moment = 0), qui est toujours conditionnel. En changeant l'origine du temps, la phase initiale des oscillations peut toujours être « rendue » égale à zéro, et le sinus de la formule (11.1) peut être « transformé » en cosinus ou vice versa.

Le programme de l'examen d'État unifié comprend également la connaissance des formules de fréquence d'oscillation des pendules à ressort et mathématiques. Un pendule à ressort est généralement appelé corps pouvant osciller sur une surface horizontale lisse sous l'action d'un ressort dont la deuxième extrémité est fixe (figure de gauche). Un pendule mathématique est un corps massif dont les dimensions peuvent être négligées, oscillant sur un long fil en apesanteur et inextensible (figure de droite). Le nom de ce système, « pendule mathématique », est dû au fait qu'il représente un système abstrait. mathématique modèle de réel ( physique) pendule. Il est nécessaire de rappeler les formules de période (ou fréquence) des oscillations du ressort et des pendules mathématiques. Pour un pendule à ressort

où est la longueur du fil, est l’accélération de la gravité. Considérons l'application de ces définitions et lois en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes.

Pour trouver la fréquence cyclique des oscillations de la charge dans tâche 11.1.1 Trouvons d'abord la période d'oscillation, puis utilisons la formule (11.2). Puisque 10 m 28 s équivaut à 628 s et que pendant ce temps la charge oscille 100 fois, la période d'oscillation de la charge est de 6,28 s. Par conséquent, la fréquence cyclique des oscillations est de 1 s -1 (réponse 2 ). DANS problème 11.1.2 la charge a fait 60 oscillations en 600 s, donc la fréquence d'oscillation est de 0,1 s -1 (réponse 1 ).

Pour comprendre la distance que la charge parcourra en 2,5 périodes ( problème 11.1.3), suivons son déplacement. Après un certain temps, la charge reviendra au point de déviation maximale, complétant ainsi une oscillation complète. Ainsi, pendant ce temps, la charge parcourra une distance égale à quatre amplitudes : jusqu'à la position d'équilibre - une amplitude, de la position d'équilibre au point d'écart maximum dans l'autre sens - la seconde, de retour à la position d'équilibre - la troisièmement, de la position d'équilibre au point de départ - le quatrième. Pendant la deuxième période, la charge passera à nouveau par quatre amplitudes et pendant la moitié restante de la période, deux amplitudes. La distance parcourue est donc égale à dix amplitudes (réponse 4 ).

La quantité de mouvement du corps est la distance entre le point de départ et le point d'arrivée. Plus de 2,5 périodes en tâche 11.1.4 le corps aura le temps d'effectuer deux oscillations complètes et demie, c'est-à-dire sera à l'écart maximum, mais de l'autre côté de la position d'équilibre. Par conséquent, l’amplitude du déplacement est égale à deux amplitudes (réponse 3 ).

Par définition, la phase d'oscillation est l'argument d'une fonction trigonométrique qui décrit la dépendance des coordonnées d'un corps oscillant au temps. La bonne réponse est donc problème 11.1.5 - 3 .

Une période est le temps d’une oscillation complète. Cela signifie que le retour d'un corps au même point à partir duquel il a commencé à bouger ne signifie pas qu'une période s'est écoulée : le corps doit revenir au même point avec la même vitesse. Par exemple, un corps, ayant commencé ses oscillations à partir d'une position d'équilibre, aura le temps de s'écarter d'un maximum dans un sens, de revenir en arrière, de s'écarter d'un maximum dans l'autre sens et de revenir en arrière. Par conséquent, au cours de cette période, le corps aura le temps de s'écarter deux fois du maximum de la position d'équilibre et de revenir en arrière. Par conséquent, le passage de la position d'équilibre au point d'écart maximum ( problème 11.1.6) le corps passe un quart de la période (réponse 3 ).

Les oscillations harmoniques sont celles dans lesquelles la dépendance des coordonnées du corps oscillant au temps est décrite par une fonction trigonométrique (sinus ou cosinus) du temps. DANS tâche 11.1.7 ce sont les fonctions et , malgré le fait que les paramètres qu'elles contiennent sont désignés par 2 et 2 . La fonction est une fonction trigonométrique du carré du temps. Par conséquent, les vibrations ne sont que des quantités et sont harmoniques (réponse 4 ).

Lors des vibrations harmoniques, la vitesse du corps change selon la loi , où est l'amplitude des oscillations de vitesse (le point de référence temporelle est choisi pour que la phase initiale des oscillations soit égale à zéro). De là, nous trouvons la dépendance de l'énergie cinétique du corps au temps
(problème 11.1.8). En utilisant en outre la formule trigonométrique bien connue, nous obtenons

De cette formule, il résulte que l'énergie cinétique d'un corps change lors des vibrations harmoniques également selon la loi harmonique, mais avec une fréquence double (réponse 2 ).

Derrière la relation entre l'énergie cinétique de la charge et l'énergie potentielle du ressort ( problème 11.1.9) est facile à suivre à partir des considérations suivantes. Lorsque le corps est dévié au maximum par rapport à la position d'équilibre, la vitesse du corps est nulle et, par conséquent, l'énergie potentielle du ressort est supérieure à l'énergie cinétique de la charge. Au contraire, lorsque le corps passe par la position d'équilibre, l'énergie potentielle du ressort est nulle, et donc l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie potentielle. Ainsi, entre le passage de la position d’équilibre et la déviation maximale, les énergies cinétique et potentielle sont comparées une fois. Et puisque pendant une période le corps passe quatre fois de la position d'équilibre à la déviation maximale ou retour, alors pendant la période l'énergie cinétique de la charge et l'énergie potentielle du ressort sont comparées quatre fois (réponse 2 ).

Amplitude des fluctuations de vitesse ( tâche 11.1.10) est le plus facile à trouver en utilisant la loi de conservation de l’énergie. Au point de déviation maximale, l'énergie du système oscillatoire est égale à l'énergie potentielle du ressort , où est le coefficient de rigidité du ressort, est l'amplitude de vibration. Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie du corps est égale à l'énergie cinétique , où est la masse du corps, est la vitesse du corps lors du passage par la position d'équilibre, qui est la vitesse maximale du corps pendant le processus d'oscillation et représente donc l'amplitude des oscillations de vitesse. En égalisant ces énergies, nous trouvons

(répondre 4 ).

De la formule (11.5) nous concluons ( problème 11.2.2), que sa période ne dépend pas de la masse d'un pendule mathématique, et avec une longueur augmentée de 4 fois, la période d'oscillation augmente de 2 fois (réponse 1 ).

Une horloge est un processus oscillatoire utilisé pour mesurer des intervalles de temps ( problème 11.2.3). Les mots « l’horloge est pressée » signifient que la durée de ce processus est inférieure à ce qu’elle devrait être. Par conséquent, pour clarifier le déroulement de ces horloges, il est nécessaire d’augmenter la durée du processus. D'après la formule (11.5), pour augmenter la période d'oscillation d'un pendule mathématique, il faut augmenter sa longueur (réponse 3 ).

Pour trouver l'amplitude des oscillations dans problème 11.2.4, il est nécessaire de représenter la dépendance des coordonnées du corps au temps sous la forme d'une fonction trigonométrique unique. Pour la fonction donnée dans la condition, cela peut être fait en introduisant un angle supplémentaire. En multipliant et en divisant cette fonction par et en utilisant la formule d'ajout de fonctions trigonométriques, on obtient

où est l'angle tel que . De cette formule, il s'ensuit que l'amplitude des oscillations du corps est (répondre 4 ).