પૂર્ણાંકોનું વિભાજન. ડિવિડન્ડ, વિભાજક, ભાગલાકાર

કુદરતી દલીલ n (n=1; 2; 3; 4;...) નું કાર્ય a n =f (n) ને સંખ્યા ક્રમ કહેવામાં આવે છે.

સંખ્યાઓ એ 1; a 2 ; a 3 ; a 4;…, એક ક્રમ બનાવે છે, તેને સંખ્યાત્મક ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેથી a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

તેથી, અનુક્રમના સભ્યોને સૂચકાંકો દર્શાવતા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે - સીરીયલ નંબરોતેમના સભ્યો: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;…, તેથી, a 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે;

a 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે;

a 3 એ ક્રમનો ત્રીજો સભ્ય છે;

a 4 એ ક્રમનો ચોથો શબ્દ છે, વગેરે.

સંક્ષિપ્તમાં સંખ્યાત્મક ક્રમ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: a n =f (n) અથવા (a n).

સંખ્યા ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની નીચેની રીતો છે:

1) મૌખિક પદ્ધતિ.શબ્દોમાં વર્ણવેલ ક્રમના સભ્યોની ગોઠવણી માટે પેટર્ન અથવા નિયમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

ઉદાહરણ 1. બધાનો ક્રમ લખો બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ, 5 ના ગુણાંક.

ઉકેલ. 0 અથવા 5 માં સમાપ્ત થતી તમામ સંખ્યાઓ 5 વડે વિભાજ્ય હોવાથી, ક્રમ આ રીતે લખવામાં આવશે:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

ઉદાહરણ 2. ક્રમ જોતાં: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... તેને મૌખિક રીતે પૂછો.

ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સમાવેશ કરતો ક્રમ આપવામાં આવે છે.

2) વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: a n =f (n). આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે ક્રમના કોઈપણ સભ્યને શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3. સંખ્યા ક્રમના kth પદ માટે અભિવ્યક્તિ જાણીતી છે: a k = 3+2·(k+1). આ ક્રમના પ્રથમ ચાર પદોની ગણતરી કરો.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

ઉદાહરણ 4. તેના પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમ કંપોઝ કરવા માટેનો નિયમ નક્કી કરો અને સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્રમના સામાન્ય શબ્દને વ્યક્ત કરો: 1; 3; 5; 7; 9; ...

ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે અમને બેકી સંખ્યાઓનો ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે. કોઈપણ વિષમ સંખ્યાફોર્મમાં લખી શકાય છે: 2k-1, જ્યાં k એ કુદરતી સંખ્યા છે, એટલે કે. k=1; 2; 3; 4; ... જવાબ: a k =2k-1.

3) રિકરન્ટ પદ્ધતિ.ક્રમ પણ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, પરંતુ સૂત્ર દ્વારા નહીં સામાન્ય સભ્ય, ફક્ત સભ્ય સંખ્યા પર આધાર રાખીને. એક સૂત્ર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા દરેક આગલી પદ પહેલાની શરતો દ્વારા જોવા મળે છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની રિકરન્ટ પદ્ધતિના કિસ્સામાં, ક્રમના એક અથવા ઘણા પ્રથમ સભ્યો હંમેશા વધારામાં સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5. ક્રમના પ્રથમ ચાર પદો લખો (a n),

જો 1 = 7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. જવાબ: 7; 12; 17; 22; ...

ઉદાહરણ 6. ક્રમના પ્રથમ પાંચ પદો લખો (b n),

જો b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. જવાબ: -2; 3; -1; 5; 3; ...

4) ગ્રાફિક પદ્ધતિ.સંખ્યાત્મક ક્રમ ગ્રાફ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે રજૂ કરે છે અલગ બિંદુઓ. આ બિંદુઓના અવકાશ કુદરતી સંખ્યાઓ છે: n=1; 2; 3; 4; ... ઓર્ડિનેટ્સ એ ક્રમના સભ્યોના મૂલ્યો છે: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;….

ઉદાહરણ 7. ગ્રાફિકલી આપેલ સંખ્યાત્મક ક્રમના તમામ પાંચ શબ્દો લખો.

આ દરેક બિંદુ સંકલન વિમાનકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (n; a n). ચાલો abscissa n ના ચડતા ક્રમમાં ચિહ્નિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ લખીએ.

આપણને મળે છે: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

તેથી, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 = 4; a 4 =6; a 5 = 7.

જવાબ:-3; 1; 4; 6; 7.

સમીક્ષા કરી સંખ્યા ક્રમફંક્શન તરીકે (ઉદાહરણ 7) પ્રથમ પાંચના સેટ પર આપવામાં આવે છે કુદરતી સંખ્યાઓ(n=1; 2; 3; 4; 5), તેથી, છે મર્યાદિત સંખ્યાનો ક્રમ(પાંચ સભ્યોનો સમાવેશ થાય છે).

જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર ફંક્શન તરીકે સંખ્યાનો ક્રમ આપવામાં આવે, તો આવો ક્રમ હશે અનંત સંખ્યાનો ક્રમ.

સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે વધારો, જો તેના સભ્યો વધી રહ્યા હોય (a n+1 >a n) અને ઘટતા હોય, જો તેના સભ્યો ઘટી રહ્યા છે(a n+1

વધતી અથવા ઘટતી સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે એકવિધ.

ખૂબ મોટી અને ખૂબ નાની સંખ્યાઓ સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે: a∙10 n, ક્યાં 1≤a<10 અને n(કુદરતી અથવા પૂર્ણાંક) - પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખેલી સંખ્યાનો ક્રમ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 345.7=3.457∙10 2; 123456=1.23456∙10 5 ; 0.000345=3.45∙10 -4.

ઉદાહરણો.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં નંબર લખો: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

ઉકેલ.

1) 40503=4.0503·10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ પર વધુ ઉદાહરણો.

5) 0°C પર 1 cm 3 માં ગેસના પરમાણુઓની સંખ્યા અને 760 mm ps.st ના દબાણ બરાબર છે

27 000 000 000 000 000 000.

ઉકેલ.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 પાર્સેક(ખગોળશાસ્ત્રમાં લંબાઈનું એકમ) બરાબર છે 30,800,000,000,000 કિમી.આ નંબરને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ.

1 પાર્સેક=30 800 000 000 000=3.08∙10 13 કિમી.

વિષય પર:

કિલોવોટ કલાકઊર્જા અથવા કાર્યનું એક ઑફ-સિસ્ટમ એકમ છે, જેનો ઉપયોગ વિદ્યુત ઇજનેરીમાં થાય છે, kWh સૂચવવામાં આવે છે.

1 kWh=3.6∙10 6 J(જુલ્સ).

ઘણી વખત તમારે વર્ગોનો સરવાળો (x 1 2 +x 2 2) અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળના ક્યુબ્સનો સરવાળો (x 1 3 +x 2 3) શોધવાની જરૂર પડે છે, ઘણી વાર - પારસ્પરિક મૂલ્યોનો સરવાળો મૂળના ચોરસનો અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળના અંકગણિત વર્ગમૂળનો સરવાળો:

વિએટાનું પ્રમેય આમાં મદદ કરી શકે છે:

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો x 2 +px+q=0વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંકની બરાબર છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દની બરાબર છે:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

ચાલો વ્યક્ત કરીએ દ્વારા પીઅને q:

1) સમીકરણના મૂળના ચોરસનો સરવાળો x 2 +px+q=0;

2) સમીકરણના મૂળના સમઘનનો સરવાળો x 2 +px+q=0.

ઉકેલ.

1) અભિવ્યક્તિ x 1 2 + x 2 2સમીકરણની બંને બાજુના વર્ગીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; કૌંસ ખોલો: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; અમે જરૂરી રકમ વ્યક્ત કરીએ છીએ: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. અમને ઉપયોગી સમાનતા મળી છે: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) અભિવ્યક્તિ x 1 3 + x 2 3ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમઘનનો સરવાળો રજૂ કરીએ:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

અન્ય ઉપયોગી સમીકરણ: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

ઉદાહરણો.

3) x 2 -3x-4=0.સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, અભિવ્યક્તિની કિંમતની ગણતરી કરો x 1 2 + x 2 2.

ઉકેલ.

x 1 +x 2 =-p=3,અને કામ x 1 ∙x 2 =q=ઉદાહરણ તરીકે 1) સમાનતા:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.અમારી પાસે છે -પી=x 1 +x 2 = 3 → પી 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. પછી x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

જવાબ: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.ગણતરી કરો: x 1 3 + x 2 3 .

ઉકેલ.

વિએટાના પ્રમેય દ્વારા, આ ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો છે x 1 +x 2 =-p=2,અને કામ x 1 ∙x 2 =q=-4. ચાલો આપણે જે પ્રાપ્ત કર્યું તે લાગુ કરીએ ( ઉદાહરણ 2 માં) સમાનતા: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

જવાબ: x 1 3 +x 2 3 =32.

પ્રશ્ન: જો આપણને અનિયંત્રિત ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપવામાં આવે તો શું? જવાબ: તે હંમેશા પ્રથમ ગુણાંક દ્વારા પદ દ્વારા વિભાજન કરીને "ઘટાડી" શકાય છે.

5) 2x 2 -5x-7=0.નક્કી કર્યા વિના, ગણતરી કરો: x 1 2 + x 2 2.

ઉકેલ.અમને સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. સમાનતાની બંને બાજુઓને 2 (પ્રથમ ગુણાંક) વડે વિભાજીત કરો અને નીચેના ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવો: x 2 -2.5x-3.5=0.

વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, મૂળનો સરવાળો બરાબર છે 2,5 ; મૂળનું ઉત્પાદન સમાન છે -3,5 .

અમે તેને ઉદાહરણની જેમ જ હલ કરીએ છીએ 3) સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

જવાબ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.શોધો:

ચાલો આ સમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ અને, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, મૂળના સરવાળાને બદલીએ -પી, અને દ્વારા મૂળનું ઉત્પાદન q, આપણને બીજું ઉપયોગી સૂત્ર મળે છે. સૂત્ર મેળવતી વખતે, અમે સમાનતા 1 નો ઉપયોગ કર્યો છે: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

અમારા ઉદાહરણમાં x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. અમે આ મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

7) x 2 -13x+36=0.શોધો:

ચાલો આ સરવાળાને રૂપાંતરિત કરીએ અને એક સૂત્ર મેળવીએ જેનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળમાંથી અંકગણિત વર્ગમૂળનો સરવાળો શોધવા માટે થઈ શકે.

અમારી પાસે છે x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. અમે આ મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

સલાહ : હંમેશા યોગ્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવાની શક્યતા તપાસો, કારણ કે 4 સમીક્ષા કરી ઉપયોગી સૂત્રોતમને ઝડપથી કાર્ય પૂર્ણ કરવાની મંજૂરી આપે છે, ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં ભેદભાવ કરનાર "અસુવિધાજનક" નંબર હોય. બધા સરળ કેસોમાં, મૂળ શોધો અને તેના પર કાર્ય કરો. ઉદાહરણ તરીકે, છેલ્લા ઉદાહરણમાં આપણે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ પસંદ કરીએ છીએ: મૂળનો સરવાળો બરાબર હોવો જોઈએ 13 , અને મૂળનું ઉત્પાદન 36 . આ નંબરો શું છે? ચોક્કસપણે, 4 અને 9.હવે આ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળના સરવાળાની ગણતરી કરો: 2+3=5. બસ!

માત્ર એટલા માટે કે પૂર્ણાંકો માટે તમારે ભાગના ચિહ્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. પૂર્ણાંકોના ભાગના ચિહ્નની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? ચાલો વિષયમાં તેને વિગતવાર જોઈએ.

પૂર્ણાંકોના ભાગની શરતો અને વિભાવનાઓ.

પૂર્ણાંકોનું વિભાજન કરવા માટે, તમારે શરતો અને ખ્યાલો યાદ રાખવાની જરૂર છે. વિભાજનમાં છે: ડિવિડન્ડ, વિભાજક અને પૂર્ણાંકોનો ભાગ.

ડિવિડન્ડપૂર્ણાંક છે જે વિભાજિત કરવામાં આવે છે. વિભાજકપૂર્ણાંક છે જે વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ખાનગીપૂર્ણાંકોના વિભાજનનું પરિણામ છે.

તમે "પૂર્ણાંકોનો ભાગ" અથવા "પૂર્ણાંકોનો ભાગ" કહી શકો છો; આ શબ્દસમૂહોનો અર્થ સમાન છે, એટલે કે, તમારે એક પૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને જવાબ મેળવો.

ભાગાકાર ગુણાકારમાંથી ઉત્પન્ન થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

આપણી પાસે બે અવયવ 3 અને 4 છે. પણ ચાલો કહીએ કે આપણે જાણીએ છીએ કે એક અવયવ 3 છે અને અવયવના ગુણાકારનું પરિણામ તેનું ઉત્પાદન 12 છે. બીજો પરિબળ કેવી રીતે શોધવો? ડિવિઝન બચાવમાં આવે છે.

પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવાનો નિયમ.

વ્યાખ્યા:

બે પૂર્ણાંકોનો અવશેષતેમના મોડ્યુલોના ભાગ સમાન હોય છે, જો સંખ્યાઓ સમાન ચિહ્નો હોય તો પરિણામ રૂપે વત્તા ચિહ્ન સાથે અને જો તેમની પાસે અલગ અલગ ચિહ્નો હોય તો ઓછા ચિહ્ન સાથે.

પૂર્ણાંકોના ભાગના ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેવું મહત્વપૂર્ણ છે. પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવા માટેના સંક્ષિપ્ત નિયમો:

વત્તા પર વત્તા વત્તા આપે છે.
“+ : + = +”

બે નકારાત્મક એક હકારાત્મક બનાવે છે.
“– : – =+”

માઈનસ વત્તા વત્તા માઈનસ આપે છે.
“– : + = –”

વત્તા ગુણો માઈનસ માઈનસ આપે છે.
“+ : – = –”

હવે પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવાના નિયમના દરેક બિંદુ પર વિગતવાર જોઈએ.

સકારાત્મક પૂર્ણાંકોનું વિભાજન.

યાદ કરો કે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો કુદરતી સંખ્યાઓ સમાન છે. આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને વિભાજીત કરતી વખતે સમાન નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સકારાત્મક પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવા માટેનો ભાગ ચિહ્ન હંમેશા વત્તા હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે પૂર્ણાંકોને વિભાજીત કરતી વખતે “ વત્તા પર વત્તા વત્તા આપે છે”.

ઉદાહરણ:
306 ને 3 વડે ભાગો.

ઉકેલ:
બંને નંબરોમાં "+" ચિહ્ન છે, તેથી જવાબ "+" ચિહ્ન હશે.
306:3=102
જવાબ: 102.

ઉદાહરણ:
ડિવિડન્ડ 220286 ને વિભાજક 589 વડે વિભાજિત કરો.

ઉકેલ:
220286 ના ડિવિડન્ડ અને 589 ના વિભાજકમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે, તેથી ભાગલામાં પણ વત્તાનું ચિહ્ન હશે.
220286:589=374
જવાબ: 374

નકારાત્મક પૂર્ણાંકોનું વિભાજન.

બે નકારાત્મક સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનો નિયમ.

ચાલો આપણે બે ઋણ પૂર્ણાંક a અને b રાખીએ. આપણે તેમના મોડ્યુલો શોધીને વિભાજન કરવાની જરૂર છે.

ભાગાકાર અથવા બે ઋણ પૂર્ણાંકોના ભાગના પરિણામમાં “+” ચિહ્ન હશે.અથવા "બે નકારાત્મક એક હકારાત્મક બનાવે છે".

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
ભાગલાકાર -900:(-12) શોધો.

ઉકેલ:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
જવાબ: -900:(-12)=75

ઉદાહરણ:
એક ઋણ પૂર્ણાંક -504 ને બીજા ઋણ પૂર્ણાંક -14 વડે ભાગો.

ઉકેલ:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
અભિવ્યક્તિ વધુ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:
-504:(-14)=34

વિવિધ ચિહ્નો સાથે પૂર્ણાંકોનું વિભાજન. નિયમો અને ઉદાહરણો.

જ્યારે અમલ વિવિધ ચિહ્નો સાથે પૂર્ણાંકોનું વિભાજન, ભાગાંક નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર હશે.

ભલે સકારાત્મક પૂર્ણાંકને ઋણ પૂર્ણાંક વડે ભાગવામાં આવે અથવા ઋણ પૂર્ણાંકને સકારાત્મક પૂર્ણાંક વડે ભાગવામાં આવે, ભાગાકારનું પરિણામ હંમેશા નકારાત્મક સંખ્યા જેટલું જ હશે.

માઈનસ વત્તા વત્તા માઈનસ આપે છે.
વત્તા ગુણો માઈનસ માઈનસ આપે છે.

ઉદાહરણ:
વિવિધ ચિહ્નો સાથે બે પૂર્ણાંકોનો ભાગ શોધો -2436:42.

ઉકેલ:
-2436:42=-58

ઉદાહરણ:
ડિવિઝન 4716ની ગણતરી કરો:(-524).

ઉકેલ:
4716:(-524)=-9

પૂર્ણાંક વડે ભાગ્યા શૂન્ય. નિયમ.

જ્યારે શૂન્યને પૂર્ણાંક વડે ભાગવામાં આવે છે, ત્યારે જવાબ શૂન્ય છે.

ઉદાહરણ:
ડિવિઝન 0:558 કરો.

ઉકેલ:
0:558=0

ઉદાહરણ:
શૂન્યને ઋણ પૂર્ણાંક -4009 વડે ભાગો.

ઉકેલ:
0:(-4009)=0

તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

તમે 0 ને 0 વડે ભાગી શકતા નથી.

પૂર્ણાંકોના આંશિક વિભાજનને તપાસી રહ્યું છે.

અગાઉ કહ્યું તેમ, ભાગાકાર અને ગુણાકારનો ગાઢ સંબંધ છે. તેથી, બે પૂર્ણાંકોના ભાગાકારનું પરિણામ તપાસવા માટે, તમારે વિભાજક અને ભાગને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, જેના પરિણામે ડિવિડન્ડ મળે છે.

વિભાજન પરિણામ તપાસવું એ ટૂંકું સૂત્ર છે:
વિભાજક ∙ ગુણાંક = ડિવિડન્ડ

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
વિભાગ કરો અને 1888 તપાસો:(-32).

ઉકેલ:
પૂર્ણાંકોના ચિહ્નો પર ધ્યાન આપો. 1888 નંબર સકારાત્મક છે અને તેમાં "+" ચિહ્ન છે. સંખ્યા (-32) નકારાત્મક છે અને તેમાં “–” ચિહ્ન છે. તેથી, જ્યારે વિવિધ ચિહ્નો સાથે બે પૂર્ણાંકોને વિભાજીત કરવામાં આવે છે, ત્યારે જવાબ નકારાત્મક સંખ્યા હશે.
1888:(-32)=-59

હવે આપણે મળેલા જવાબને તપાસીએ:
1888 - વિભાજ્ય,
-32 - વિભાજક,
-59 - ખાનગી,

આપણે વિભાજકને ભાગલાકાર વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
-32∙(-59)=1888

વિભાજનમાં સંખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે ગોઠવવામાં આવી છે: ડિવિડન્ડ પ્રથમ સ્થાને છે, વિભાજક બીજા સ્થાને છે, અને ભાગાંક સમાન ચિહ્ન પછી છે.

ડિવિડન્ડ: વિભાજક = ભાગલાકાર.

ચાલો બધી અજાણી સંખ્યાઓને અક્ષરો દ્વારા દર્શાવીએ

ડિવિડન્ડને a, વિભાજકને b, અને ભાગાંકને c સમાન થવા દો.

શરત મુજબ, ડિવિડન્ડ, વિભાજક અને ભાગનો ગુણાંક (એટલે કે ગુણાકાર) 3136 બરાબર છે. ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ.

a * b * c = 3136.
c a/b ની બરાબર હોવાથી, અમે અક્ષર c ને a/b અપૂર્ણાંક સાથે બદલીએ છીએ.
a * b * a/b = 3136.
માં ચલ ઘટે છે, એક * a = 3136 અથવા a 2 = 3136 છોડીને.
ચોરસ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે a, a ની કિંમત 56 ની બરાબર શોધીએ છીએ.

ડિવિડન્ડ 56 છે. નીચેના સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે: 56: b = c

ચાલો અજાણ્યા ચલોના સંદર્ભમાં જાણીતા ડિવિડન્ડને વ્યક્ત કરીએ

ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે વિભાજક અને ભાગ્યનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 56 = * s માં.

શરત દ્વારા, તમામ સહભાગી સંખ્યાઓ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, એટલે કે, હકારાત્મક પૂર્ણાંકો. જેમ આપણે જાણીએ છીએ, 56 એ માત્ર બે પૂર્ણાંકોના ગુણાંક સમાન છે - 7 અને 8.

આ બે અભિવ્યક્તિઓમાં પરિણમે છે:

આનો અર્થ એ છે કે ભાગ (સમાન ચિહ્ન પછીની સંખ્યા) ફક્ત 7 અથવા 8 ની બરાબર હોઈ શકે છે.

જવાબ: ભાગ 7 અથવા 8 હોઈ શકે છે.

ચાલો x દ્વારા ડિવિડન્ડ અને y વડે વિભાજક દર્શાવીએ.

પછી આ બે સંખ્યાઓનો ભાગાકાર x/y બરાબર થશે.

સમસ્યાની શરતો અનુસાર, ડિવિડન્ડ, વિભાજક અને ભાગનું ઉત્પાદન 3136 બરાબર છે, તેથી, આપણે નીચેનો સંબંધ લખી શકીએ છીએ:

x * y * (x/y) = 3136.

પરિણામી સંબંધને સરળ બનાવતા, અમને મળે છે:

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, ડિવિડન્ડ, વિભાજક અને ભાગ્ય એ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, તેથી, મૂલ્ય x = -56 યોગ્ય નથી.

ચાલો અવિભાજ્ય પરિબળોના ઉત્પાદનમાં 56 નંબરનું વિઘટન કરીએ:

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.

ચાલો આપણે 56 નંબરના તમામ સંભવિત વિભાજકોને સૂચિબદ્ધ કરીએ કે જેના માટે ભાગ્ય એ કુદરતી સંખ્યા છે.

વિભાજક 1, ભાગ 56;

વિભાજક 2, ભાગ 28;

વિભાજક 4, ભાગ 14;

વિભાજક 8, ભાગ 7;

વિભાજક 7, ભાગ 8;

વિભાજક 14, ભાગ 4;

ભાજક 28, ભાગ 2.

ભાજક 56, ભાગ 1.

જવાબ: ભાગલાકાર 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56 મૂલ્યો લઈ શકે છે.

ભાગાકારને ગુણાકારના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવાનો અર્થ થાય છે કે ત્રીજી સંખ્યા શોધવી જે, જ્યારે વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે ઉત્પાદનમાં ડિવિડન્ડ મળશે:

આ વ્યાખ્યાના આધારે, અમે તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે ભાગાકારનો નિયમ મેળવીએ છીએ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો આપણે એકવાર અને બધા માટે નિર્દેશ કરીએ કે વિભાજક શૂન્ય ન હોઈ શકે. શૂન્ય વડે ભાગાકાર એ જ કારણસર બાકાત રાખવામાં આવ્યો છે કે જે તેને અંકગણિતમાં બાકાત રાખવામાં આવ્યો હતો.

નિરપેક્ષ મૂલ્ય a એ નિરપેક્ષ મૂલ્યોના ઉત્પાદનની બરાબર છે અને c. આનો અર્થ એ છે કે b નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એ નિરપેક્ષ મૂલ્ય વડે ભાગ્યાના ચોક્કસ મૂલ્ય જેટલું છે

ચાલો ભાગલાકાર s ની નિશાની વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજક સમાન ચિહ્નો ધરાવે છે, તો ભાગ્ય એ ધન સંખ્યા છે. ખરેખર, જો a અને ધન હોય, તો ભાગ્ય o પણ ધન સંખ્યા હશે.

ઉદાહરણ. કારણ કે

જો a અને ઋણ હોય, તો આ કિસ્સામાં c નો ભાગ પણ સકારાત્મક હોવો જોઈએ, કારણ કે તેની ઋણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણે ઋણ સંખ્યા a મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ. કારણ કે

જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં અલગ-અલગ ચિહ્નો હોય, તો ભાવાંક એ નકારાત્મક સંખ્યા છે. ખરેખર, જો a સકારાત્મક છે અને a ઋણ છે, તો c નકારાત્મક હોવો જોઈએ, કારણ કે તેના દ્વારા નકારાત્મક સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવાથી આપણે હકારાત્મક સંખ્યા a મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ. કારણ કે

જો a ઋણ છે અને a સકારાત્મક છે, તો આ કિસ્સામાં c એ નકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ, કારણ કે તેના દ્વારા સકારાત્મક સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવાથી આપણે નકારાત્મક સંખ્યા a મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ. કારણ કે

તેથી, અમે નીચેના વિભાગના નિયમ પર આવ્યા:

એક વસ્તુને બીજી વડે વિભાજિત કરવા માટે, તમારે ડિવિડન્ડના સંપૂર્ણ મૂલ્યને વિભાજકના ચોક્કસ મૂલ્યથી વિભાજિત કરવાની જરૂર છે અને ભાગની આગળ વત્તાનું ચિહ્ન મૂકવું જરૂરી છે, જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં સમાન ચિહ્નો હોય, અને બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય. ,

જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજક વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે.

આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, શૂન્ય વડે ભાગાકાર અશક્ય છે, ચાલો આને વધુ વિગતવાર સમજાવીએ. ધારો કે તમારે અમુક બિન-શૂન્ય સંખ્યાને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે -3, 0 વડે.

જો સંખ્યા a એ ઇચ્છિત ભાગ છે, તો પછી તેને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને, એટલે કે, 0 દ્વારા, આપણે ડિવિડન્ડ મેળવવું જોઈએ, એટલે કે, - 3. પરંતુ ઉત્પાદન 0 ની બરાબર છે, અને ડિવિડન્ડ - 3 હોઈ શકતું નથી. મેળવ્યું. આમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે સંખ્યા

તમે 3 ને શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી.

સંખ્યા 0 ને 0 વડે વિભાજિત કરવા દો. a ને જરૂરી ભાગ લેવા દો; a ને વિભાજક 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે ઉત્પાદનમાં 0 મેળવીએ છીએ:

આમ, અમને કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા મળી નથી: કોઈપણ સંખ્યાને 0 વડે ગુણાકાર કરવાથી 0 મળે છે. તેથી, શૂન્યને શૂન્ય વડે ભાગવું પણ અશક્ય માનવામાં આવે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે, ભાગના નીચેના મૂળ ગુણધર્મ અમલમાં રહે છે:

જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને સમાન સંખ્યા (શૂન્યની બરાબર નહીં) વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો બે સંખ્યાઓનો ભાગ બદલાશે નહીં.

ચાલો આને નીચેના ઉદાહરણો દ્વારા સમજાવીએ.

1. ભાગને ધ્યાનમાં લો, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને - 4 વડે ગુણાકાર કરો; પછી આપણને એક નવો ભાગ મળે છે

તેથી, નવા ભાગાકારમાં આપણને સમાન નંબર 2 મળ્યો.

2. ભાગને ધ્યાનમાં લો, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકનો ગુણાકાર કરો - પછી આપણને નીચેનો ભાગ મળશે:

પરિણામ સમાન સંખ્યા હોવાથી ભાગાંક બદલાયો નથી