અમે આ બિંદુના પડોશને મૂળ પર કેન્દ્રિત વર્તુળોના બાહ્ય ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે: યુ
(∞, ε
) = {z
∈ | |z
| > ε). ડોટ z
= ∞ એ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો એક અલગ એકવચન બિંદુ છે ડબલ્યુ
= f
(z
), જો આ બિંદુના કેટલાક પડોશમાં આ કાર્યના અન્ય એકવચન બિંદુઓ નથી. આ એકવચન બિંદુનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, અમે ચલ અને બિંદુમાં ફેરફાર કરીએ છીએ z
= ∞ બિંદુ પર જાય છે z
1 = 0, કાર્ય ડબલ્યુ
= f
(z
) ફોર્મ લેશે 
. એકવચન બિંદુનો પ્રકાર z
= ∞ કાર્યો ડબલ્યુ
= f
(z
) આપણે એકવચન બિંદુનો પ્રકાર કહીશું z
1 = 0 કાર્યો ડબલ્યુ
= φ
(z
1). જો કાર્યનું વિસ્તરણ ડબલ્યુ
= f
(z
) ડિગ્રી દ્વારા z
બિંદુની નજીકમાં z
= ∞, એટલે કે. પર્યાપ્ત મોટા મોડ્યુલસ મૂલ્યો પર z
, ફોર્મ ધરાવે છે, પછી, બદલીને z
પર , અમે પ્રાપ્ત કરીશું. આમ, ચલના આવા ફેરફાર સાથે, લોરેન્ટ શ્રેણીના મુખ્ય અને નિયમિત ભાગો સ્થાનો અને એકવચન બિંદુના પ્રકારમાં ફેરફાર કરે છે. z
= ∞ સત્તામાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યના વિસ્તરણના સાચા ભાગમાં પદોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે z
બિંદુની નજીકમાં z
= 0. તેથી
1. બિંદુ z
= ∞ - દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ, જો આ વિસ્તરણમાં સાચો ભાગ ખૂટે છે (શબ્દના સંભવિત અપવાદ સાથે એ
0);
2. બિંદુ z
= ∞ - ધ્રુવ n
-જો જમણો ભાગ શબ્દ સાથે સમાપ્ત થાય તો ક્રમ એ એન
· z n
;
3. બિંદુ z
= ∞ એ અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ છે જો નિયમિત ભાગમાં અસંખ્ય પદો હોય.
આ કિસ્સામાં, મૂલ્ય દ્વારા એકવચન બિંદુઓના પ્રકારો માટે માપદંડ માન્ય રહે છે: જો z= ∞ એ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે, તો પછી આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને જો મર્યાદિત છે z= ∞ એક ધ્રુવ છે, તો આ મર્યાદા અનંત છે જો z= ∞ એ આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે, તો પછી આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી (ન તો મર્યાદિત કે અનંત નથી).
ઉદાહરણો: 1. f
(z
) = -5 + 3z
2 - z
6. ફંક્શન પહેલેથી જ સત્તાઓમાં બહુપદી છે z
, ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છઠ્ઠી છે, તેથી z
સમાન પરિણામ બીજી રીતે મેળવી શકાય છે. અમે બદલીશું z
પર, પછી 
. કાર્ય માટે φ
(z
1) બિંદુ z
1 = 0 એ છઠ્ઠા ક્રમનો ધ્રુવ છે, તેથી માટે f
(z
) બિંદુ z
= ∞ - છઠ્ઠા ક્રમનો ધ્રુવ.
2. આ કાર્ય માટે, પાવર વિસ્તરણ મેળવો z
મુશ્કેલ, તો ચાલો શોધીએ: 
; મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે, તેથી બિંદુ z
3. પાવર વિસ્તરણનો યોગ્ય ભાગ z
અનંત ઘણા શબ્દો સમાવે છે, તેથી z
= ∞ એ આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે. નહિંતર, આ હકીકત એ હકીકતને આધારે સ્થાપિત કરી શકાય છે કે તે અસ્તિત્વમાં નથી.
અનંત દૂરના એકવચન બિંદુ પર કાર્યના અવશેષો.
અંતિમ એકવચન બિંદુ માટે a
, ક્યાં γ
- એક સર્કિટ જેમાં અન્ય કોઈ સિવાય નથી a
, એકવચન બિંદુઓ, એવી રીતે પસાર થાય છે કે તેના દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર અને એકવચન બિંદુ ધરાવતો વિસ્તાર ડાબી બાજુએ રહે છે (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં).
ચાલો સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ: 
, જ્યાં Γ − એ આવા પડોશને મર્યાદિત કરતું સમોચ્ચ છે યુ
(∞, આર
) પોઈન્ટ z
= ∞, જેમાં અન્ય એકવચન બિંદુઓ શામેલ નથી, અને તે પસાર કરી શકાય તેવું છે જેથી આ પડોશ ડાબી બાજુએ રહે (એટલે કે, ઘડિયાળની દિશામાં). આમ, ફંક્શનના અન્ય તમામ (અંતિમ) એકવચન બિંદુઓ સમોચ્ચ Γ − ની અંદર સ્થિત હોવા જોઈએ. ચાલો સમોચ્ચ Γ − ને પાર કરવાની દિશા બદલીએ : 
. અવશેષો પરના મુખ્ય પ્રમેય દ્વારા 
, જ્યાં સમીકરણ તમામ મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પર હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, છેવટે
,
તે અનંત દૂરના એકવચન બિંદુ પર અવશેષ સરવાળો સમાનબધા મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પરના અવશેષો, વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.
પરિણામે, ત્યાં છે કુલ સરવાળા પ્રમેય: જો કાર્ય ડબલ્યુ = f (z ) પ્લેનમાં દરેક જગ્યાએ વિશ્લેષણાત્મક છે સાથે , મર્યાદિત સંખ્યામાં એકવચન બિંદુઓ સિવાય z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , પછી તમામ મર્યાદિત એકવચન બિંદુઓ પરના અવશેષોનો સરવાળો અને અનંત પરના અવશેષો શૂન્ય છે.
નોંધ કરો કે જો z
= ∞ એ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે, પછી તેના પરના અવશેષો શૂન્યથી અલગ હોઈ શકે છે. તેથી કાર્ય માટે, દેખીતી રીતે, ; z
= 0 આ ફંક્શનનો એકમાત્ર સીમિત એકવચન બિંદુ છે, તેથી 
, એ હકીકત હોવા છતાં કે, i.e. z
= ∞ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે.
V. ZHVIRBLIS
તળિયા વિનાનું રાત્રિનું આકાશ અને સર્ફનો અવિરત અવાજ, સામાન્ય રીતે, કોઈની ઈચ્છા વિરુદ્ધ, વ્યક્તિને અનંત વિશે વિચારવા મજબૂર કરે છે. અવકાશની અનંતતા અને સમયની અનંતતા.
જો કે, અનંત એટલી આકર્ષક નથી કારણ કે તે ભયાનક છે. ખરેખર, જ્યારે તમે તેને વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવાનો પ્રયાસ કરો છો ત્યારે હિમ તમારી ત્વચાને ઉઘાડી પાડે છે. અને દેખીતી રીતે, તેથી જ માણસ, પ્રાચીન કાળથી આજ સુધી, અથાક શોધ કરે છે અને માનસિક રીતે પોતાની આસપાસ એક આરામદાયક મર્યાદિત વિશ્વ બનાવે છે.
પ્રથમ, વિશ્વની રક્ષા કરવા માટે, માણસ મૂકવામાં આવ્યો સપાટ પૃથ્વીત્રણ વ્હેલ અથવા ત્રણ હાથીઓ પર અને વિશ્વની રચના અને વિશ્વના અંત વિશે દંતકથા સાથે આવ્યા. પરંતુ જેમ જૂના જમાનામાં, વ્હેલ ક્યાં તરી આવે છે અથવા હાથી ક્યાં ઊભા હોય છે, વિશ્વની રચના પહેલા શું થયું હતું અને વિશ્વના અંત પછી શું થશે તેવા પ્રશ્નનો જવાબ કોઈ આપી શક્યું નથી, તેથી હવે, ઘણા અસ્તિત્વ હોવા છતાં. બ્રહ્માંડના અત્યાધુનિક સિદ્ધાંતો, ભૌતિક અર્થ"અનંત" ની મોટે ભાગે સરળ વિભાવના ખૂબ જ અસ્પષ્ટ રહે છે, અને અનંતને ખરેખર સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો કોઈ માર્ગ હજુ સુધી કોઈને મળ્યો નથી.
જોકે ગણિતશાસ્ત્રીઓ બીજા બધા જેવા લોકો છે, તેઓ લાંબા સમયથી બહાદુરીપૂર્વક અનંતના વિશાળ વિસ્તરણમાં ભ્રમણ કરી રહ્યા છે.
તેઓ આ કેવી રીતે કરે છે? કહો, સંખ્યાને એકદમ સચોટ રીતે લખવા માટે શું જરૂરી છે? ઇ, પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર સૂચવે છે?
આ પ્રશ્નના બે જવાબ હોઈ શકે.
એક જવાબ આપો: કાગળની અનંત મોટી શીટ અને અનંત મોટો સમય, કારણ કે આપણે ગમે તેટલી નાની અને ઝડપથી સંખ્યાઓ લખીએ, તેની સાથે અનંત પંક્તિમાં અનંત મોટી સપાટી ભરીએ છીએ. ઇ= 2.71828... હંમેશ માટે લેશે. આ કિસ્સામાં, તેઓ સંભવિત અનંતતા વિશે વાત કરે છે, એટલે કે, એક અનંતતા જે ફક્ત સંભવિત રૂપે અસ્તિત્વમાં છે, તેથી વાત કરવા માટે, સિદ્ધાંતમાં, પરંતુ વાસ્તવમાં ક્યારેય સમાપ્ત થઈ શકતું નથી.
જવાબ બે: કોઈપણ કાગળનો ટુકડો અને થોડીક સેકંડ, જેમાં તમે એક સૂત્ર સ્કેચ કરી શકો છો જે તમને સંખ્યાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે ઇકોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે. આ કરવા માટે, સૂત્રમાં (તે સંદર્ભ પુસ્તકમાં મળી શકે છે), તમારે ફક્ત બદલામાં કુદરતી શ્રેણીની સંખ્યાને અનંત સુધી વધારવાની જરૂર છે. આ કામગીરી સામાન્ય રીતે પ્રતીકોના સંયોજન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે n→ ∞; આ કિસ્સામાં, અનંતતાને વાસ્તવિક કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, જાણે એકવાર અને બધા માટે, ખરેખર પૂર્ણ, ખરેખર અસ્તિત્વમાં છે, જો કે કોઈ પણ ચોક્કસ વસ્તુની સમાન નથી.
છેલ્લી તકનીકની યુક્તિ એ છે કે બધી અનંતતા પ્રતીકોના ટૂંકા સંયોજનમાં છુપાયેલી છે, જેમાં સમય છુપાયેલા સ્વરૂપમાં ભાગ લે છે: છેવટે nઆપણે તેને હંમેશા વધારવાની જરૂર છે! પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ જે વાસ્તવિક દુનિયા સાથે વ્યવહાર કરે છે તેઓ ગણિતશાસ્ત્રીઓના ઉદાહરણને અનુસરી શકતા નથી, જેઓ સમયને સંપૂર્ણપણે અવગણીને તેમની પોતાની તાર્કિક રીતે કાર્ય કરે છે.
IN ભૌતિક સૂત્રોઅનંત સમયાંતરે ઉદભવે છે, અને તેનાથી છૂટકારો મેળવવા માટે (છેવટે, માં વાસ્તવિક દુનિયાબધા જથ્થાઓ મર્યાદિત હોવા જોઈએ), ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અમુક અંશે અસ્પષ્ટ છે, ચુપચાપ અનંત મોટા જથ્થાઓને ખૂબ મોટા, પરંતુ હજુ પણ મર્યાદિત માત્રામાં બદલી રહ્યા છે, અને ફક્ત અનંત નાની માત્રાને અવગણી રહ્યા છે. જેમ તેઓ કહે છે, જો ત્યાં કોઈ અનંત નથી, તો તેની સાથે કોઈ સમસ્યા નથી.
જ્યારે અનંતોનું આવા "ગોળાકાર" કાયદેસર છે અમે વાત કરી રહ્યા છીએઅર્થઘટન વિશે પ્રાયોગિક પરિણામો(છેવટે, માપની ચોકસાઈ હંમેશા મર્યાદિત હોય છે), પરંતુ તે "શુદ્ધ" સિદ્ધાંતમાં સંપૂર્ણપણે અસ્વીકાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણી વાર વ્યક્તિએ સંપૂર્ણપણે અર્થહીન, વાસ્તવમાં, "અનંત મોટા (નાના) સમૂહ" અથવા "અનંત નાની (ઉચ્ચ) ઝડપ" જેવા અભિવ્યક્તિઓનો સામનો કરવો પડે છે. છેવટે, આનો અર્થ એ છે કે દળ દરેક સમયે વધે છે અથવા ઘટે છે, તે ઝડપ દરેક સમયે ઘટે છે અથવા વધે છે, એટલે કે, તે દળ અને ઊર્જા અજાણ્યા ક્યાંથી આવે છે અથવા અજાણ્યા સ્થળોએ જાય છે. શું આપણે એવા રોકેટની કલ્પના કરી શકીએ કે જેની ગતિ સતત વધી રહી છે, પરંતુ જેનું એન્જિન કોઈ બળતણનો વપરાશ કરતું નથી?
આનો અર્થ એ છે કે અહીં ખરેખર જેનો અર્થ છે તે ખરેખર અનંત મોટા અથવા અનંત નાના જથ્થાઓ નથી, પરંતુ મર્યાદિત માત્રા - કાં તો અકલ્પનીય રીતે મોટી અથવા નજીવી રીતે નાની. નહિંતર, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ એવી પરિસ્થિતિઓનું વર્ણન કેવી રીતે કરી શકે છે જે ક્યારેય થતી નથી?
"અનંત" શબ્દ જ સૂચવે છે કે તે એવી વસ્તુ છે જેની ન તો શરૂઆત છે કે ન તો અંત. અનંત રેખા, અનંત વિમાન, અનંત જગ્યા... આ સંભવિત અનંતની દ્રશ્ય છબી છે. શું તેને અનંત ગણી શકાય? અંતિમ સેગમેન્ટ? બોલો, એક સેન્ટીમીટર લાંબું?
શુદ્ધ ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, એક સેન્ટિમીટર લાંબો સેગમેન્ટ અને હાઇડ્રોજન અણુ અથવા ઇલેક્ટ્રોનના વ્યાસ જેટલો ખંડ બંને વાસ્તવમાં અનંત મોટા ગણી શકાય. અને સામાન્ય રીતે, કોઈપણ, ભલે ગમે તેટલો નાનો હોય, પરંતુ મર્યાદિત સેગમેન્ટ - આખો મુદ્દો એ છે કે તેને કેવી રીતે માપવું. છેવટે, જો માપનનું એકમ અનંત રીતે નાનું હોય (અથવા તેના બદલે, શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે), તો તેની મદદથી માપવામાં આવતા કોઈપણ સેગમેન્ટનું કદ અનંતપણે મોટું છે (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે).
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અવિરત મોટી કિંમતતે અકલ્પનીય રીતે મોટું હોવું જરૂરી નથી, જો તેને માપવા માટે અનંત નાના મૂલ્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, એટલે કે, સમય સાથે સતત ઘટાડો થતો હોય તો તેમાં કોઈપણ મર્યાદિત (અને તે પણ અત્યંત નાના) પરિમાણો હોઈ શકે છે; પરંતુ તે જ મર્યાદિત જથ્થાને પણ અસંખ્ય ગણી શકાય જો તે જથ્થાનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે જે સમય જતાં અનંતપણે વધે છે.
એટલે કે, વાસ્તવમાં, વાસ્તવિક ભૌતિક અનંતમાં બે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશો હોવા જોઈએ - અનંત મોટાનો પ્રદેશ અને અનંત નાનાનો પ્રદેશ - અને તેથી તેને સંભવિત અને વાસ્તવિકમાં વિભાજિત કરી શકાતું નથી. આવી અનંતતા ફક્ત અસ્તિત્વમાં હોવી જોઈએ.
હકીકતમાં, આપણે જાણીએ છીએ કે દ્રવ્યમાં પરમાણુઓ હોય છે, પરમાણુઓ અણુઓમાંથી બનેલા હોય છે, અણુઓ ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લીમાંથી બને છે, ન્યુક્લી પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનમાંથી બને છે. ઇલેક્ટ્રોન, પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન પોતે શેના બનેલા છે? ક્વાર્કમાંથી? અને તે શેના બનેલા છે? એટલે કે, દ્રવ્યના કણોની રચનામાં આપણે ગમે તેટલા ઊંડાણપૂર્વક પ્રવેશ કરીએ, આપણે અવિરતપણે સમાન સંસ્કારાત્મક પ્રશ્ન પૂછી શકીશું: શામાંથી?
તે તારણ આપે છે કે વ્હેલ અને હાથી માત્ર અસંખ્ય મોટા પ્રદેશમાં જ નહીં, પણ અનંત નાનાના પ્રદેશમાં પણ જોવા મળે છે...
દરેક વ્યક્તિ સારી રીતે જાણે છે કે જે લોકો બાહ્ય અવકાશમાં કામ કરે છે તે સમાન નથી. ભૌતિક કાયદા, જે માઇક્રોકોઝમમાં છે. ત્યાં - સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત, વિશેષ અને સામાન્ય: અહીં - ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ. અને જો કે બંને સિદ્ધાંતો સાપેક્ષવાદી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ દ્વારા એકીકૃત છે, આ તેને વધુ સરળ બનાવતું નથી: આ તમામ બિન-શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતો પરિણામોને યોગ્ય રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે. વાસ્તવિક પ્રયોગો, પરંતુ સ્પષ્ટપણે સાપેક્ષવાદની કલ્પના કરો અને ક્વોન્ટમ અસરોઅશક્ય, કારણ કે કહેવાતા "સામાન્ય જ્ઞાન" (વાંચો - ભૌતિક અર્થમાં) ના દૃષ્ટિકોણથી વર્ણવેલ, મધ્યમ કદ અને ગતિની મર્યાદિત રોજિંદા દુનિયામાં બનતી ઘટનાઓની માનસિક રીતે કલ્પના કરી શકાય છે. શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સન્યુટન. અને જો એમ હોય તો, શું વાસ્તવિક ભૌતિક અનંતતાને વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવાનો પ્રયાસ કરવો ખરેખર શક્ય છે?
રિલેટિવિસ્ટિક ક્વોન્ટમ ક્લાસિકલ કરતાં માત્ર અલગ પડે છે જેમાં તેમાં બે વધારાના પોસ્ટ્યુલેટ્સ હોય છે - પ્રકાશની ગતિની મર્યાદિતતા અને અવ્યવસ્થા વિશે અને ક્રિયાના પરિમાણની મર્યાદિતતા વિશે - પ્લાન્કની સ્થિરતા. શરીરની ગતિ જેટલી વધારે છે અને તેનું દળ ઓછું થાય છે, તેનું વર્તન વધુ અસામાન્ય બને છે. અને ઊલટું: કરતાં વધુ માસશરીર અને તેની ગતિ જેટલી ઓછી છે, તેની વર્તણૂક વધુ સચોટ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સઅને માનસિક રીતે તેની કલ્પના કરવી સરળ છે. એ જ રીતે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ વર્તનનું વધુ સચોટ વર્ણન કરશે ભૌતિક વસ્તુઓ, પ્રકાશની ઝડપ જેટલી વધારે અને પ્લાન્કની સ્થિરતા ઓછી.
તો પછી શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ શું વર્ણવે છે? તે તારણ આપે છે કે તે કંઈપણ વર્ણવવા માટે લાગતું નથી: તે ખરેખર અસ્તિત્વમાં ન હોય તેવા પદાર્થોનું વર્ણન કરવા માટે જ યોગ્ય છે (અનંત સાથે મોટા સમૂહઅને અનંત ગતિ) વાસ્તવિક દુનિયામાં સ્થિત છે, અથવા વાસ્તવિક દુનિયામાં સ્થિત વાસ્તવિક અસ્તિત્વમાં છે હાલની દુનિયા(એક અનંત પ્લાન્ક સતત અને અનંત સાથે ઊંચી ઝડપસ્વેતા)...
શું તે વિચિત્ર નિષ્કર્ષ નથી? જો કે, તે આ રીતે પણ અર્થઘટન કરી શકાય છે: શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ આપણને વાસ્તવિક વિશ્વનું એક સંપૂર્ણ સટ્ટાકીય મોડેલ આપે છે, જેમ કે કોઈ નિરીક્ષક દ્વારા "બહારથી" અનંતથી જોવામાં આવે છે. સ્વાભાવિક રીતે, આવા મોડેલના ગુણધર્મોનો પ્રાયોગિક રીતે અભ્યાસ કરી શકાતો નથી, કારણ કે નિરીક્ષક કાલ્પનિક અથવા અનંત દૂરની વસ્તુઓ પર વાસ્તવિક પ્રયોગો કરી શકતા નથી. પરંતુ બિન-શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતો સમાન વિશ્વનું વર્ણન કરે છે, પરંતુ ફક્ત "અંદરથી", વાસ્તવિક નિરીક્ષકના દૃષ્ટિકોણથી જે તે અભ્યાસ કરી રહ્યો છે તે સિસ્ટમ સાથે એક સંપૂર્ણ બનાવે છે અને તેને સક્રિય રીતે પ્રભાવિત કરવામાં સક્ષમ છે: આમાં કેસ, સિદ્ધાંત અને પ્રયોગ એવા પરિણામો આપે છે જે એકબીજા સાથે સખત રીતે સુસંગત હોય છે, પરંતુ ફક્ત આ જ પરિણામોની કલ્પના "સામાન્ય સમજ" સાથે કડક રીતે અનુમાનિત રીતે કરી શકાતી નથી.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "અંદરથી" વિશ્વનું દૃશ્ય નિરીક્ષકને અવલોકન કરેલ ઑબ્જેક્ટ વિશે માત્ર પ્રમાણમાં સાચી માહિતી આપે છે, અનિવાર્યપણે એ હકીકત દ્વારા વિકૃત થાય છે કે નિરીક્ષક અને ઑબ્જેક્ટ એક જ છે. ભૌતિક સિસ્ટમઅને એકબીજાને પ્રભાવિત કરે છે. તેનાથી વિપરિત, "બહારથી", અનંતથી વિશ્વને જોવું, નિરીક્ષકને ઑબ્જેક્ટ વિશે એકદમ સાચી માહિતી આપશે. પરંતુ અનંતતામાં જવા માટે, અનંત મોટા પ્રમાણમાં સમયની જરૂર છે... શું આ સંપૂર્ણ સત્યની અનુભૂતિની પ્રક્રિયાની અનંતતા વિશે દાર્શનિક વિચારણાઓનો ચોક્કસ ભૌતિક અર્થ નથી?
વિશ્વ એક છે - ફક્ત તેના પરના દૃષ્ટિકોણ અલગ છે. પરંતુ જો વિશ્વનું એકદમ સાચું ચિત્ર સિદ્ધાંતમાં અવલોકન કરી શકાતું નથી, તો કદાચ તેની ગણતરી કરી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, ગેલિલિયન અથવા લોરેન્ટ્ઝ જેવા સંકલન પરિવર્તનો શોધીને, જે વિશ્વના દૃષ્ટિકોણથી "બહારથી" વિશ્વના દૃષ્ટિકોણથી "અંદરથી" અને ઊલટું એક અવિચલ સંક્રમણને મંજૂરી આપશે. તો શું તે બહાર આવશે નહીં કે બિન-શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતોની ધારણા અને તારણો જે વિચિત્ર છે, આપણા રોજિંદા મતે, માત્ર ગર્ભિત છે અને સૌથી વધુ નથી. શ્રેષ્ઠ માર્ગઆધુનિક સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રીના મતે, અનંતતાઓથી છૂટકારો મેળવો જે ઓછા વિચિત્ર નથી ક્લાસિક મોડેલશાંતિ?
ચંદ્રવિહીન તારાઓવાળા આકાશમાં જોતી વખતે લોકો મોટાભાગે અનંત વિશે વિચારે છે. પરંતુ આકાશની અનંતતા માત્ર છે, તેથી વાત કરીએ તો, વાસ્તવિક ભૌતિક અનંતતાનો અડધો ભાગ, માત્ર અનંત મોટા પ્રદેશમાં જ નહીં, પણ અનંત નાના જથ્થાના પ્રદેશમાં પણ વિસ્તરે છે. અને અડધો પણ નહીં, પણ તેનો એક અનંત ભાગ.
લોકોએ વાસ્તવિક ભૌતિક અનંતની છબી સાથે ખુલ્લી હવામાં નહીં, પરંતુ આરામદાયક રીતે વ્યવહાર કરવો પડ્યો ઘરનું વાતાવરણ, અરીસાઓ પર નસીબ કહેવાની સાથે, જૂના દિવસોમાં ફેશનેબલ. આ આ રીતે કરવામાં આવ્યું હતું: સંપૂર્ણ મૌન અને બધા એકલાછોકરી ટેબલ પર બેઠી, એક અરીસો તેની સામે અને બીજો તેની પાછળ મૂક્યો; તેણીએ દરેક બાજુએ સળગતી મીણબત્તીઓ મૂકી, તેના ચહેરાને ચમકતા પ્રકાશથી પ્રકાશિત કરી. અને પછી તેણીએ તેના અવિરતપણે પુનરાવર્તિત પ્રતિબિંબ તરફ ધ્યાનપૂર્વક ડોકિયું કર્યું, એક પ્રશ્નનો વિચાર કરીને કે જેનો તેણી જવાબ મેળવવા માંગે છે. પ્રશ્ન, સ્વાભાવિક રીતે, ચિંતિત લગ્ન...
તેઓ કહે છે કે થોડા સમય પછી, નસીબદાર કંઈક અજાણી વસ્તુની કલ્પના કરવાનું શરૂ કર્યું અને, જો તેણીએ સમયસર આવી ઘટના માટે ખાસ તૈયાર કરેલ ટુવાલને અરીસાઓમાંથી એક પર ફેંકી ન હોત, તો તે ડરથી બેહોશ થઈ જશે.
હસશો નહીં, ઓછામાં ઓછા પંદર મિનિટ સુધી બે અરીસાઓ વચ્ચે મૌન અને સંધિકાળમાં બેસવાનો પ્રયાસ કરો, ચાલતી અનંતતામાં ડોકિયું કરો, અને તમે આધુનિક, તર્કસંગત છો. વિચારવાનો માણસ- તમે પણ ખૂબ, ખૂબ અસ્વસ્થતા અનુભવશો. વહેલા કે પછી તમે ક્યાં છો અને તમારું પ્રતિબિંબ ક્યાં છે તે સમજવાનું બંધ કરશો, અને પછી તમે તમારી વાસ્તવિકતાની સમજ ગુમાવશો, સમાન ચહેરાઓની અનંત પંક્તિમાં મૂંઝાઈ જશો...
મારા દૂરના બાળપણમાં, હું મારી જાતને આકસ્મિક રીતે વાસ્તવિક ભૌતિક અનંતની વધુ સચોટ છબીનો સામનો કરવો પડ્યો. યુદ્ધ પહેલાનાં વર્ષો. મારા માટે, પછી ચાર વર્ષનો, પોસ્ટમેન "મુર્ઝિલ્કા" નો આગળનો અંક લાવ્યો, જેના કવર પર નીચેનું ચિત્ર છાપવામાં આવ્યું હતું: એક ઓરડો, તેમાં એક છોકરો સોફા પર બેઠો છે અને "મુર્ઝિલ્કા" સામયિક જોઈ રહ્યો છે. , જેના કવર પર તે જ રૂમને ફરીથી અને ફરીથી દર્શાવવામાં આવ્યો છે તે જ પર એક છોકરો તેના હાથમાં "મુર્ઝિલ્કા" સાથે સોફા પર બેઠો છે - અને તેથી વધુ, દેખીતી રીતે જાહેરાત અનંત.
અને અચાનક મેં વિચાર્યું: પણ હું પણ એક છોકરો છું, અને હું પણ એક સમાન રૂમમાં સોફા પર બેઠો છું, અને હું મુર્ઝિલ્કા મેગેઝિન પણ જોઈ રહ્યો છું. જો એ જ મેગેઝિનના કવર પર મારી તસવીર હોય અને એ જ રૂમમાં એક જ સોફા પર બેઠેલો છોકરો તેને જોઈ રહ્યો હોય અને મુર્ઝિલ્કા મેગેઝિનના કવર પર મારી તસવીર હોય તો? પછી હું ભયાનક રીતે ગર્જના કરી, મેગેઝિન ફેંકી દીધું અને તેને ફરીથી ન જોવાનો પ્રયાસ કર્યો, જોકે કેટલાક કારણોસર હું જુસ્સાથી કવરને ફરીથી જોવા માંગતો હતો...
પરંતુ ચાલો વાહિયાત અંધશ્રદ્ધાઓ બાજુએ મૂકીએ, ચાલો જોખમી લોકો વિના કરીએ. મનોવૈજ્ઞાનિક પ્રયોગોઅને અમે બિનજરૂરી લાગણીઓ વિના તર્ક કરીશું. ચાલો માની લઈએ કે હું પોતે પણ ઓર્ડિનલ નંબરનો છોકરો હતો nઅને તેના હાથમાં એક મેગેઝિન હતું, જેના કવર પર સીરીયલ નંબરનો છોકરો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. n- 1. અને તે જ સમયે મને સીરીયલ નંબરના છોકરાના હાથમાં પકડેલા મેગેઝીનના કવર પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે n+ 1. આ કિસ્સામાં, અમે તે ધારીશું nસતત વધે છે, અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. એટલે કે ઢીંગલીઓની જેમ એકબીજાની અંદર માળો બાંધેલી દુનિયાની સંખ્યા વધી રહી છે. જો કે, સંખ્યા ગમે તેટલી મોટી હોય n, મારી દુનિયામાં હું હંમેશા મારી જ રહીશ અને તે દરેક સમયે વધી રહ્યું છે તે નોંધવામાં સમર્થ હશે નહીં; તદુપરાંત, મને સીરીયલ નંબરો સાથે વિશ્વના અસ્તિત્વ વિશે પણ ખબર નથી n+ 1 અને n– 1. તદુપરાંત, હું એક મેગેઝિનના કવર સાથેના નાના ટુકડા કરી શકું છું જેણે મને ડરાવ્યો હતો, તરત જ તેનો અવિરત નાશ કરી નાખ્યો હતો મોટી સંખ્યામાંવિશ્વો...
પણ આ શું બદલાશે? જો મેગેઝિન 1,000,000 નકલોના પરિભ્રમણમાં પ્રકાશિત થયું હોય, તો 999,999 અનંત સાચવવામાં આવશે; જો આ નમુનાઓ અદૃશ્ય થઈ જાય, તો પણ સીરીયલ નંબરની 999999 દુનિયામાં n+ 1 999999 · સામયિકની 1000000 નકલો સાચવવામાં આવશે, અને સીરીયલ નંબરની દુનિયાની સંખ્યા n+ 1, બદલામાં, 1000000 ની બરાબર પણ છે - અને તેથી આગળ, જાહેરાત અનંત. એક શબ્દમાં, આવી અનંતતામાં માત્ર અનંત સંખ્યાબંધ સીરીયલ નંબરો જ નથી, પણ દરેક સંખ્યાને અનંત મોટી સંખ્યામાં નકલો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે.
આવી અનંતતા તેની વિશાળતા અને અખૂટતા, અવિનાશીતા અને તેથી કહીએ તો, અવિશ્વસનીયતા માટે એટલી ભયાનક લાગતી નથી, પરંતુ તેની સરળતા માટે, વાહિયાતતાના બિંદુ સુધી પહોંચે છે. (શું આ જ કારણ છે કે ગંભીર બીમારી દરમિયાન વ્યક્તિમાં અનંતની લાગણી વારંવાર ઉદ્દભવે છે? પ્રિન્સ બોલ્કોન્સકીના ચિત્તભ્રમણાનું વર્ણન યાદ રાખો.) બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વાસ્તવિક ભૌતિક અનંત - આપણા વિશ્વમાં અસ્તિત્વમાં છે તે બધું - ન તો નાશ કરી શકાય છે અને ન તો તેને બનાવી શકાય છે. કાં તો બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી (જેની કલ્પના કરવી અશક્ય છે), અથવા હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે, કાયમ માટે (જેની કલ્પના કરવી પણ અશક્ય છે). તેથી પ્રશ્ન - શું વિશ્વની શરૂઆત હતી અને તેનો અંત હશે - માત્ર કોઈ જવાબ નથી, પણ તેનો કોઈ અર્થ પણ નથી, અને અનફર્ગેટેબલ કોઝમા પ્રુત્કોવ સાચા હતા, જેમણે આ વિશે નીચેની કહેવત છોડી હતી: “એકવાર, જ્યારે રાત્રે સ્વર્ગને તેના અદ્રશ્ય આવરણથી ઢાંકી દીધું, પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ ડેકાર્ટેસ, તેના ઘરની સીડીના પગથિયાં પર બેઠા અને અંધકારમય ક્ષિતિજને ખૂબ ધ્યાનથી જોતા, એક વટેમાર્ગુ તેની પાસે પ્રશ્ન સાથે આવ્યો: “મને કહો, ઋષિ, કેટલા? શું આ આકાશમાં તારાઓ છે?" - “બદમાશ! - આએ જવાબ આપ્યો, - કોઈ પણ વિશાળતાને સ્વીકારી શકતું નથી! મહાન અગ્નિ સાથે બોલવામાં આવેલા આ શબ્દોએ રાહદારીઓ પર ઇચ્છિત અસર કરી.
અમે, અલબત્ત, સપાટ મેગેઝિન કવર પર રહેતા નથી, પરંતુ ભૌમિતિક રીતે ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાં, જેમ કે અમે સંમત થયા હતા, સીરીયલ નંબર n. અને તે ખૂબ જ સારી રીતે હોઈ શકે છે કે આ વિશ્વ સીરીયલ નંબર સાથે વિશ્વની માત્ર એક નજીવી ઈંટ છે n+ 1, અને આપણું વિશ્વ, બદલામાં, સીરીયલ નંબરો સાથે અકલ્પનીય રીતે મોટી સંખ્યામાં વિશ્વોનો સમાવેશ કરે છે n- 1, જેને આપણે કણો કહીએ છીએ. અને તેથી જાહેરાત અનંત - પહોળાઈ અને ઊંડાઈ બંનેમાં. વેલેરી બ્રાયસોવે તેમની કવિતા "ધી વર્લ્ડ ઓફ ઇલેક્ટ્રોન" માં આવી અનંતતા વિશે લખ્યું છે; આજકાલ, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ગંભીર પૂર્વધારણાઓ વ્યક્ત કરે છે જે મુજબ "બ્લેક હોલ" (ઉદાહરણ તરીકે, એકેડેમીશિયન M.A. માર્કોવ દ્વારા "ફ્રીડમોન્સ") જેવા કણો છે, જે આપણા બ્રહ્માંડથી અસ્પષ્ટ છે, અને પૂર્વધારણાઓ કે જેના અનુસાર આપણું સમગ્ર બ્રહ્માંડ "બ્લેક હોલ" છે. "- કોઈ અન્ય, અકલ્પનીય રીતે વિશાળ વિશ્વનો એક કણ...
દેખીતી રીતે, ફક્ત આવી અનંતતા ખરેખર અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે: આ એક મોટી અનંત છે, જેની મધ્યમાં ક્યાંક છે (જો કે અનંત કયા પ્રકારનું હોઈ શકે છે?) આપણું વિશ્વ ખોવાઈ ગયું છે; મહાન અનંતની બધી દુનિયા, એકસાથે લેવામાં આવે છે, અસ્તિત્વમાં છે, જેમ કે તે સમયની બહાર હતી, કારણ કે જો તે અવિરતપણે વહે છે, તો પછી કોઈપણ ક્ષણને શરૂઆતથી અનંત દૂર ગણી શકાય, જે ક્યારેય અસ્તિત્વમાં ન હતી, જેમ કે તેને વિલીન ગણી શકાય. શરૂઆત
અને જો ગણિત, કોઈપણ અનંતતાથી ડરતું નથી, તો ચોક્કસ વર્ણન કરે છે ગ્રેટર અનંત, પછી ભૌતિકશાસ્ત્ર ફક્ત તેના અમર્યાદિત નાના ભાગનું વર્ણન કરે છે, જેમાં ચોક્કસપણે નાના અને મોટા બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
જ્યાં પણ આપણી નજર વળશે ત્યાં આપણે દ્રવ્ય જોશું. દરેક ગ્રામમાં લગભગ 10 કણો હોય છે - ઇલેક્ટ્રોન, પ્રોટોન, ન્યુટ્રોન. જો આ દરેક કણો સીરીયલ નંબરની દુનિયા છે n- 1, પછી, તેનો અર્થ એ છે કે તેમાંના દરેકની અંદર અસંખ્ય તારાઓ બળી રહ્યા છે, અસંખ્ય ગ્રહોને પ્રકાશિત કરે છે, જેમાંથી એવા પણ હોઈ શકે છે કે જેના પર જીવંત જીવો અનંત વિશે વિચારવા સક્ષમ છે.
ફક્ત આ જગતમાં બધું જ આપણા કરતાં અમાપ રીતે ઝડપથી થાય છે - કદાચ આપણું વિશ્વ ઇલેક્ટ્રોન કરતાં અનેક ગણું મોટું છે (જો, બ્રાયસોવને અનુસરીને, આપણે ધારીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોનની દુનિયા આપણાથી અસ્પષ્ટ છે) લગભગ 10 41 વખત. પછી જો આપણા માટે ત્વરિત 0.1 સેકન્ડ ચાલે છે, તો પછી સીરીયલ નંબરની દુનિયામાં n- આ માટે 1 સમય પસાર થશેઆશરે 10 23 બિલિયન વર્ષ, અને તે 10 બિલિયન વર્ષો કે જે આપણું વિશ્વ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, વિશ્વના સમયના ધોરણે સીરીયલ નંબર સાથે n+ 1 10-24 સેકન્ડમાં ફ્લેશ થશે - અમારા ઇન્સ્ટન્ટ કરતાં અપાર ટૂંકા.
આ અસંખ્ય વિશ્વો દરેક મીણબત્તીની જ્યોતમાં અને આપણા શરીરના દરેક કોષમાં ધ્રૂજે છે. વિશ્વની સંખ્યા એક હિમપ્રપાતની જેમ દ્રવ્યની પહોળાઈ અને ઊંડાઈ બંનેમાં ચળવળ સાથે અનંત સુધી વધે છે. માળખાકીય સ્તરબીજાને. આ બધી દુનિયા જીવે છે સંપૂર્ણ લોહીવાળું જીવન, અને જો પૃથ્વી બુદ્ધિનું એકમાત્ર પારણું છે, તો પણ તેનો અર્થ એ નથી કે આપણે બ્રહ્માંડમાં એકલા છીએ: વિશ્વની અસંખ્ય સંખ્યા ધરાવતા ધૂળના દરેક મામૂલી સ્પેકમાં પણ, ત્યાં અસંખ્ય ગ્રહો હોવા જોઈએ. વસવાટ બુદ્ધિશાળી માણસો. અને કદાચ, ઇલેક્ટ્રોન-પોઝીટ્રોન જોડીના જન્મની દરેક ક્રિયા અસંખ્ય વિશ્વોના જન્મની ક્રિયા છે, અને વિનાશની દરેક ક્રિયા તેમના મૃત્યુનો પુરાવો છે?
આ બધા ખૂબ ઉદાસી વિચારો તરફ દોરી જાય છે. ચાલો આપણી નાની પૃથ્વી પર પાછા ફરીએ, જ્યાં દિવસ દરમિયાન સૂર્ય ચમકે છે અને રાત્રે તારાઓ, જ્યાં સમુદ્ર અને આકાશ બંને છે, અને જ્યાં સંબંધીઓ અને મિત્રો છે, જેની બાજુમાં તમે અનંત વિશે અથવા તેના વિશે બિલકુલ વિચારી શકતા નથી. હકીકત એ છે કે દરેક વસ્તુની જેની શરૂઆત હોય છે, કમનસીબે, તેનો અંત પણ હોય છે.
અનંત: ગણિતમાં...
એ. ફોમેન્કો
આધુનિક ગણિતના દરેક ક્ષેત્ર (ભૂમિતિ, બીજગણિત, વગેરે) પાસે તેની પોતાની "અનંતની પેટર્ન" છે અને તેના પોતાના સમૂહને સાંકળે છે મનોવૈજ્ઞાનિક છબીઓઅને લાગણીઓ. સ્વાભાવિક રીતે, આ છબીઓ ભૂમિતિમાં સૌથી વધુ સ્પષ્ટ છે. ભૌમિતિક અનંત નિદર્શન માટે સૌથી વધુ સુલભ છે અને તે જ સમયે અત્યંત જટિલ છે, કારણ કે તે ઘણીવાર આના આધારે આપણી ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન સાથે સંઘર્ષ કરે છે. રોજિંદા અનુભવ. મુદ્દો એ છે કે શારીરિક મિકેનિઝમ્સધારણા સંભવતઃ "ભૌમિતિક અનંતની કલ્પના" ના અમૂર્ત બૌદ્ધિક કાર્યને પર્યાપ્ત રીતે પ્રતિસાદ આપવામાં અસમર્થ છે અને આપણા મગજને "સાચું અનંત" ને સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ અને રફ ભૌમિતિક ઑબ્જેક્ટ સાથે બદલવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે, કેટલીકવાર તે અગોચર ભૂલ કરે છે, એક અવેજી. તેથી, ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન, ગાણિતિક સત્યને સમજવાનું એક શક્તિશાળી માધ્યમ છે, કેટલીકવાર કપટી રીતે ગંભીર ભૂલો તરફ દોરી શકે છે, જેમાંથી, અનુભવ દર્શાવે છે કે, અનુભવી સંશોધકો પણ રોગપ્રતિકારક નથી. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, શાળામાંથી લીટીનો પરિચિત ખ્યાલ લઈએ. જો તમે તમારો સમય કાઢો અને તેને વધુ કાળજીપૂર્વક વિચારો, તો તે ટૂંક સમયમાં તેની બધી જટિલતા જાહેર કરશે. ગણિતની ભાષામાં, રેખા (વળાંક) એ "એક-પરિમાણીય પદાર્થ" છે, જેમાં "એક પરિમાણ" છે. યુક્લિડે રેખાને "પહોળાઈ વગરની લંબાઈ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. વિશિષ્ટ પ્રયોગોના આધારે 18મી...19મી સદીના ક્લાસિકલ મિકેનિક્સે નીચેનાનો વિકાસ કર્યો કુદરતી રજૂઆતરેખા (વળાંક) વિશે. જો આપણે પૂરતા નાના કદના અવકાશમાં ફરતા શરીરને ધ્યાનમાં લઈએ (એક અનંત બિંદુ), તો તેની હિલચાલના માર્ગને રેખા કહી શકાય. આમ, રેખા (વળાંક) એ ગતિશીલ બિંદુનું નિશાન છે. આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, "સતત ચળવળ" નો કેસ, જ્યારે બિંદુ ત્વરિત અણધારી કૂદકા મારતો નથી, એટલે કે, જ્યારે તેના ટ્રેસમાં કોઈ વિરામ નથી, તે પ્રથમ અભ્યાસ કરવા લાયક છે. કારણ કે બિંદુની હિલચાલ સમયે થાય છે, તેથી, ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ, આપણે કહી શકીએ કે રેખા એ સમયના સેગમેન્ટની છબી છે સતત પ્રદર્શન(સેગમેન્ટ) અવકાશમાં. જ્યાં સુધી આપણે સામાન્ય સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ, ખૂબ જટિલ નથી યાંત્રિક સિસ્ટમો, લાઇનનો આ ખ્યાલ અમને ખૂબ જ અનુકૂળ આવે છે. તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે સતત નથી જટિલ ચળવળબિંદુઓ એક-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ દ્વારા રજૂ થાય છે - એક રેખા. જો કે, જલદી આપણે "અનંત પ્રક્રિયાઓ" ને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ, અમારા રચનાની અપૂર્ણતા અને પરિણામે, અમારી ભૌમિતિક અને યાંત્રિક અંતર્જ્ઞાનની મર્યાદાઓ કે જેના પર આ ખ્યાલ આધારિત હતો તે તરત જ પ્રગટ થાય છે. મુદ્દો એ છે કે દર્શાવેલ રેખાઓબિંદુની માત્ર "ખૂબ જ કપટી નથી" હિલચાલનું નિરૂપણ કરો. હવે ચાલો ધારીએ કે તે ઘણી વાર તેની હિલચાલની દિશા બદલવાનું શરૂ કરે છે, અને આવા "કિંક્સ" ની સંખ્યાને વધવા દો અને અનંત તરફ વળવા દો (આ બધું તદ્દન સચોટ રીતે વર્ણવી શકાય છે). પછી બિંદુનો જટિલ ટ્રેસ સામાન્ય એક-પરિમાણીય રેખાથી સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે ચોરસ, ગોળા, બોલ અથવા તો કહેવાતા હોઈ શકે છે. n-પરિમાણીય આકૃતિ, જ્યાં "પરિમાણ" nતમને ગમે તેટલું મોટું હોઈ શકે છે. ફરીથી, ગણિતની ભાષાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે આ તમામ પદાર્થો એક-પરિમાણીય સેગમેન્ટની સતત છબીઓ છે. તે જ સમયે, અમારી મૂળ વ્યાખ્યા મુજબ, તે રેખાઓ છે. તેથી વિચિત્ર સંજોગો 1890 માં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ડી. પીઆનો દ્વારા સૌપ્રથમવાર જોવામાં આવ્યું હતું, તેમના માનમાં વર્ણવેલ "વળાંક" ને પીઆનો વણાંકો કહેવામાં આવે છે. તેથી, આપણું ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન (જે આપણને "બિંદુની ચળવળના એક-પરિમાણીય માર્ગ" દોરે છે) જ્યારે એક જટિલ રેખા બાંધવાની અનંત પ્રક્રિયાનો સામનો કરવામાં આવે ત્યારે નિષ્ફળ જાય છે.
આધુનિક ભૂમિતિ આ પ્રકારના ઘણા ઉદાહરણો જાણે છે, અને તે બધામાં, એક અથવા બીજી રીતે, એક અનંત પ્રક્રિયા (વાસ્તવિક અનંત) છે, જે આખરે રોજિંદા, "મર્યાદિત" અનુભવના આધારે રચાયેલા આપણા રીઢો વિચારોનો નાશ કરે છે. પોતાની અદ્ભુત રચના કરતી વખતે તેણે આ સંજોગોનો સફળતાપૂર્વક લાભ લીધો ગ્રાફિક કાર્યોપ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ કલાકાર એમ.કે. એશર, જેની કોતરણી અમારા લોકપ્રિય વિજ્ઞાન પ્રેસમાં વારંવાર પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી. એક તરફ, તેણે "અનંત જટિલ વસ્તુઓ" અને બીજી તરફ, "અશક્ય પદાર્થો" ( શાશ્વત ગતિ મશીનોવગેરે), આપણી ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાનની અપૂર્ણતા અને મર્યાદાઓનો કુશળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરવો આમ કરવાથી, તેમણે આધુનિક બીજગણિત, ભૂમિતિ, ક્રિસ્ટલોગ્રાફી વગેરેમાં વપરાતી ગાણિતિક રચનાઓ પર આધાર રાખ્યો. ભૌમિતિક અનંતતાની પ્રકૃતિમાં આ ઊંડો પ્રવેશ છે જે દર્શક પર એશરના "ગાણિતિક" કાર્યોની મજબૂત અસરને સમજાવે છે. અને સામાન્ય રીતે, ખૂબ વિકસિત સમજઆસપાસની જગ્યાની અનંતતા, ઘણા મોટા કલાકારોની કૃતિઓમાં હાજર છે જેમની પાસે ખાસ નથી ગણિતનું શિક્ષણ, એ હકીકતમાં મૂળ છે કે તેમાંના દરેકે "મર્યાદિત માધ્યમો" દ્વારા અનંતને દર્શાવવા માટે પોતાની તકનીકો બનાવી છે. છેવટે, કેનવાસ પર વ્યક્તિ ફક્ત અનંતના ભ્રમનું નિરૂપણ કરી શકે છે, પરંતુ અનંતતાને નહીં, અને જે "દર્શકને છેતરવા" માટે શ્રેષ્ઠ રીતે મેનેજ કરે છે તે પ્રાપ્ત કરે છે. સૌથી મોટી અસર. તેથી જ, પુનરુજ્જીવનથી શરૂ કરીને, ઘણા ચિત્રકારોએ ફક્ત પરિપ્રેક્ષ્યના સિદ્ધાંતનો જ નહીં, પણ ગાણિતિક માળખાનો પણ ગંભીરતાથી અભ્યાસ કર્યો, જે આપણા "આરામદાયક વિશ્વ" ની સીમાઓ દ્વારા નિર્ધારિત સીમાઓથી આગળ વધવાનો પ્રયાસ કર્યો.
નિષ્કર્ષમાં, હું નોંધું છું કે માં આધુનિક ગણિતઅનંતની વિભાવના જેટલી ઊંડી ઘણી વિભાવનાઓ છે, અને તેમાંથી દરેક તેની પોતાની "વાર્તા" ને પાત્ર છે.
...અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં
એમ. હર્ઝેનસ્ટીન
ગીતો અને ગણિત - જે, એવું લાગતું હતું, વિપરીત હોઈ શકે છે. પરંતુ વિરોધીઓ ઘણીવાર ભેગા થાય છે, અને કેટલીકવાર ગીતકારો ગણિતશાસ્ત્રીઓને ઊંડા પ્રશ્નો પૂછે છે. એક નિયમ તરીકે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ (અને તેમની સાથે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ - છેવટે, આજે ગણિત વિના ભૌતિકશાસ્ત્ર નથી અને હોઈ શકતું નથી) ફક્ત આ પ્રશ્નોને બાજુ પર રાખો. પરંતુ કેટલીકવાર, થોડા સમય પછી, તે અચાનક બહાર આવે છે કે ગીતકારોના પ્રશ્નોમાં એક સબટેક્સ્ટ હતો જેની વૈજ્ઞાનિકોને શંકા પણ નહોતી.
લેખમાં પ્રખ્યાત ભૌતિકશાસ્ત્રી E. Wigner “The Incomprehensible Efficiency of Mathematics in કુદરતી વિજ્ઞાન“એ નોંધ્યું છે કે ગણિત એ ખાસ શોધાયેલ ખ્યાલો પર ખાસ વિકસિત નિયમો અનુસાર કરવામાં આવતી બુદ્ધિશાળી કામગીરીનું વિજ્ઞાન છે. વાસ્તવિક દુનિયા સાથે આનો શું સંબંધ છે? અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા શોધાયેલા નિયમોનું કડક પાલન ક્યાં અને ક્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને ખોટા પરિણામ તરફ દોરી શકે છે?
ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક પૂર્ણાંકોની દુનિયા લો. અમે જાણીએ છીએ કે તમે કોઈપણ પૂર્ણાંકમાં એક ઉમેરી શકો છો અને વધુ મેળવી શકો છો મોટી સંખ્યા. જો તમે આ ઓપરેશન કરો છો n→ ∞ વખત, પછી આપણને અનંતતા મળે છે; જો તમે સંખ્યા બમણી કરો તો તે જ થાય છે. જો કે, કોઈપણ સંખ્યાને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, પરિણામે નાની સંખ્યા બને છે વાસ્તવિક સંખ્યા, જે વધુમાં વધુ અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, ઓછામાં ઓછું આ ઓપરેશનનું પુનરાવર્તન કરો n→ ∞ વખત.
પરંતુ વાસ્તવિક દુનિયામાં, અફસોસ, સંક્રમણ કરવું શક્ય નથી n→ ∞. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે માત્ર 1 સે.મી.ની લંબાઇવાળા સેગમેન્ટને બમણું કરવાનું શરૂ કરીએ, તો લગભગ 100 સમાન ક્રિયાઓ પછી આપણે એક સેગમેન્ટ મેળવીશું. કદ સમાનઆપણા સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં, અને તેનું વધુ બમણું થવાથી તેનો ભૌતિક અર્થ ખોવાઈ જશે. અને તેનાથી વિપરિત, જો આપણે 1 સે.મી. લાંબા સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાનું શરૂ કરીએ, તો આવી લગભગ 50 ક્રિયાઓ પછી આપણે નાના અંતરની સીમા જેટલો એક સેગમેન્ટ મેળવી શકીશું જેનો આપણે પ્રાયોગિક રીતે સંપર્ક કર્યો છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર. તો શા માટે ગણિત, જે વાસ્તવિક દુનિયામાં સ્પષ્ટપણે અશક્ય છે તેવી અનંતતાઓ સાથેની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરે છે, તે જ વાસ્તવિક દુનિયા વિશેના પ્રશ્નોના સાચા જવાબો ભૌતિકશાસ્ત્ર શા માટે આપે છે? વિગ્નર દ્વારા પૂછવામાં આવેલા પ્રશ્નનો આ સાર છે, જો તે અનંતની સમસ્યા સાથે સંબંધિત છે.
આ ગીતો માટે આનંદનો સમય છે: જો તમે, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, જ્યારે વિચારી રહ્યા છો, વાસ્તવિક દુનિયામાં અશક્ય હોય તેવા ઑપરેશન્સનો આશરો લેશો, તો પછી તમારા સિદ્ધાંતો વાજબી મર્યાદિત જથ્થાઓ નહીં પણ અનંતતા ઉત્પન્ન કરે તો આશ્ચર્યજનક છે? વાજબીતામાં, આપણે કહી શકીએ કે ગણિતમાં જ અનંત સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ છે.
જેમ કે, તાજેતરમાં સુધી, ગણિતશાસ્ત્રીઓને નિષ્ઠાપૂર્વક ખાતરી હતી કે તેમના કડક વિજ્ઞાનમાં, સ્વયંસિદ્ધ સીમિત પ્રણાલીના આધારે, કંઈપણ ઉમેરવું અથવા બાદ કરવું અશક્ય હતું. પરંતુ ના, એવું બહાર આવ્યું છે કે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીના માળખામાં એવા નિવેદનો હોઈ શકે છે જેનું સત્ય અથવા અસત્ય સ્થાપિત કરી શકાતું નથી, અને તેથી ગણિતમાં ઘણા નવા સ્વયંસિદ્ધ ઉમેરી શકાય છે, અને તેની સુમેળમાં વિક્ષેપ આવશે નહીં...
ગીતકાર, મારા મતે, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને વ્યર્થ "લાત મારવા" છે, તેમાં પણ લખે છે સબજેક્ટિવ મૂડ: "...તે તારણ આપે છે કે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ કંઈપણ વર્ણન કરતું નથી." કુદરતનું કોઈપણ વર્ણન એ સાપેક્ષ સત્ય છે, જે હંમેશા આપણા માટે અજાણ્યા સંપૂર્ણ સત્યની નજીક હોય છે. મૂળભૂત પ્રકૃતિના કારણો (શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના સમીકરણોની અચોક્કસતા) અને તેના બદલે અસ્પષ્ટ કારણોને લીધે (અભ્યાસ માટે, વર્ણનની અતિશય ચોકસાઈ ક્યારેક અપર્યાપ્ત તરીકે હાનિકારક હોય છે) બંનેને કારણે અંદાજિત.
મને "બહારથી" અને "અંદરથી" વિશ્વના દૃશ્યો વિશેના શબ્દો પણ ગમ્યા નહીં. મને લાગે છે કે તેઓ નિરીક્ષકની ભૂમિકા પર વધુ ભાર મૂકે છે. પરંતુ આપણે, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, બાદમાં માટે દોષી પણ છીએ: તેઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના પાયા અને સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતને રજૂ કરતી વખતે નિરીક્ષકની ભૂમિકા વિશે વધુ પડતી વાત કરે છે.
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત બંનેમાં, આપણે સૌ પ્રથમ કોઈક રીતે અવકાશ અને સમયને ગણિતશાસ્ત્રીઓ અભ્યાસ કરતા પદાર્થો સાથે જોડવા જોઈએ - સૌથી સરળ કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ સાથે. પણ કેવી રીતે? શૂન્યાવકાશ એ પૃથ્વીની સપાટી નથી; તમે તેમાં સીમાચિહ્નો મૂકી શકતા નથી! અલબત્ત, તમે ઑબ્જેક્ટને એકલા છોડી શકો છો અને તેને પ્રારંભિક બિંદુ ગણી શકો છો. પરંતુ જો આ પદાર્થ કેટલાક સાથે જડતા દ્વારા ફરે છે પ્રારંભિક ઝડપ, પછી અવલોકન હાથ ધરવામાં આવે તે સમય દરમિયાન, સંદર્ભ બિંદુ અજાણી દિશામાં અજ્ઞાત અંતર તરફ શિફ્ટ થઈ શકે છે. આ સ્થિતિમાં શું કરવું? ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત વચ્ચે સેતુ કેવી રીતે બાંધવો?
તેથી, સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતમાં આપણે વાત કરવી પડશે સંકલન સિસ્ટમઆ અથવા તે નિરીક્ષક, તેનો અર્થ શું છે તે વિશે વિગતવાર ગયા વિના. તેમ છતાં, તે ચોક્કસપણે આ અભિગમ હતો જેણે પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ કરાયેલા રસપ્રદ તારણો મેળવવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. મેં નોંધ્યું છે કે ગણિતને વાસ્તવિકતા સાથે જોડતા પુલની કેટલીક વિશેષતાઓ પ્રમાણમાં તાજેતરમાં મળી આવી હતી: ઉદાહરણ તરીકે, તે બહાર આવ્યું છે કે, લોરેન્ટ્ઝ સંકોચન હોવા છતાં, ફરતા બોલ લંબગોળ જેવો દેખાતો નથી, પરંતુ એક બોલ, અને આ પણ પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી. !
ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ ગુણધર્મો અણુના રેડિયેશન સ્પેક્ટ્રમની પ્રકૃતિ નક્કી કરે છે, પરંતુ રેડિયેશન સ્પેક્ટ્રમ કોઈ તેને અવલોકન કરે છે કે કેમ તેના પર નિર્ભર નથી. સ્વાભાવિક રીતે, જો ક્વોન્ટમ એક જગ્યાએ શોષાય છે, તો તે એક સાથે અન્ય જગ્યાએ શોષી શકાતું નથી. જો ક્વોન્ટમના પાથમાં બે છિદ્રોવાળી સ્ક્રીન મૂકવામાં આવે છે, તો ક્વોન્ટમ, કોઈપણ તરંગની જેમ, બંને છિદ્રોમાંથી એક જ સમયે પ્રવેશ કરશે અને એક દખલગીરી પેટર્ન આપશે જે પર પણ અવલોકન કરી શકાય છે. કોસ્મિક અંતર. પરંતુ જો ફોટોન રીસીવરો છિદ્રોની પાછળ મૂકવામાં આવે, તો ક્વોન્ટમ તેમાંથી માત્ર એકને જ કામ કરવા દબાણ કરશે, પ્રશ્ન એ છે કે - બીજા રીસીવરને કેવી રીતે ખબર પડી (સુપરલ્યુમિનલ ઝડપે, તરત!) કે પ્રથમ એક કામ કરે છે?
જો કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને સાપેક્ષતા બંને વગરના સિદ્ધાંતો છે આંતરિક વિરોધાભાસઅને, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેઓ કહેવાતા " સામાન્ય જ્ઞાન”, નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત સંબંધિત સત્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
નિષ્કર્ષમાં, મેટ્રિઓશ્કા વિશ્વ વિશે થોડાક શબ્દો. નિઃશંકપણે, વિચાર પોતે સુંદર છે, અને તે ઘણીવાર ગંભીર ભૌતિકશાસ્ત્ર સાહિત્યમાં ચર્ચા કરવામાં આવે છે. પરંતુ, મારા મતે, તે ફક્ત લેખકોની કલ્પનાની ગરીબીની સાક્ષી આપે છે. જથ્થાત્મક ફેરફારોહંમેશા ગુણાત્મક ફેરફારો તરફ દોરી જાય છે: નેસ્ટિંગ ડોલ્સ તેમના ગુણધર્મોમાં સંપૂર્ણપણે સમાન હોઈ શકતી નથી, ફક્ત કદમાં અલગ હોય છે. ખરેખર, આ કાવ્યાત્મક પૂર્વધારણામાંથી પ્રાયોગિક ચકાસણી માટે સુલભ કોઈ નક્કર પરિણામો મેળવવાનું હજી શક્ય બન્યું નથી, તેના કેટલાક નિષ્કર્ષો પહેલાથી જ જાણીતા તથ્યોનો વિરોધાભાસ કરે છે.
અનંત વિશેના ગીતાત્મક વિચારો ખૂબ ઊંડા હોવાનું બહાર આવ્યું અને અમને મોખરે શું છે તે વિશે વાત કરવાની મંજૂરી આપી. આધુનિક વિજ્ઞાન. આપણે આશા રાખવી જોઈએ કે આ વાતચીત ચાલુ રહેશે. પરંતુ, અલબત્ત, અનિશ્ચિત નથી.
માહિતીનો સ્ત્રોત:
"યુવાનો માટે ટેકનોલોજી", નંબર 12, 1990.
હું ભાંગી ગયો છું. કારણ તેનો પ્રેમ છે. હું ફોન ડાયલ કરું છું, જે ઇમરજન્સી કૉલ માટે ભરેલો હોય છે, અને મારા બોયફ્રેન્ડના ઠેકાણા વિશે જાણવા માટે બીપને ધ્યાનથી સાંભળું છું. હું પચીસ વર્ષનો છું, મારે એક પતિની જરૂર છે, સૌથી ખરાબ રીતે, એક માણસ જેની સાથે હું આત્મવિશ્વાસ અનુભવી શકું, અને તરાપાની જેમ અસ્થિર ન થઈ શકું. લાંબા માપેલા અવાજો અને હું ફરીથી પ્લાસ્ટિક દ્વારા ગૂંગળામણની લાગણી અનુભવું છું, તે જવાબ આપતો નથી, તે પોતાને ભૂલી જાય છે, ભૂલી જાય છે કે દારૂ અને પાર્ટીઓ સિવાય હું પણ છું. સુખની એક લાંબી, માદક લાગણી બરાબર એક વર્ષ સુધી ચાલી હતી, એડ્રેનાલિનનું પ્રકાશન જે ઘણા વર્ષોથી સંચિત હતું, ફૂલો સાથેની કેટલીક સુંદર તારીખો અને બસ - હું તેનો છું. મને એવું લાગતું હતું કે હું એક પરીકથામાં છું, કારણ કે જ્યાં જોયું, ઇગોર સોકોલોવ્સ્કી પોતે, મોસ્કોમાં એક પ્રખ્યાત અને પ્રભાવશાળી માણસનો પુત્ર હતો, તેથી તેણે મારા જેવા સિમ્પલટનને પસંદ કરવાનું નક્કી કર્યું.
બધું ખરેખર એક પરીકથા હતી, હું તેનો ઇનકાર કરતો નથી, પરંતુ આ રમત મીણબત્તીની કિંમતની ન હતી, તે રાત્રે આંસુ અને પીડા વહાવવા માટે મૂલ્યવાન ન હતી જ્યારે નજીકમાં માત્ર એક ઠંડુ ઓશીકું હતું, અને અન્ય લોકોની પેન્ટી હતી. કેબિનેટમાં પડેલો, તેણે એ પણ નોંધ્યું નહીં કે કેવી રીતે તેની ગર્લફ્રેન્ડે તેના અન્ડરવેર લગભગ મારા નાકની નીચે છોડી દીધા, મારા પ્રદેશને ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. સારું, તેણીએ તે કર્યું, હું તૂટી ગયો, અંદર હું રડવા અને મારી વસ્તુઓ પેક કરવા તૈયાર હતો. ફક્ત દયા જ મને પાછળ રાખે છે, પ્રેમ અને દયા, એવી વસ્તુઓ જે સુખના ઘટકો નથી લાગતી, પરંતુ સંબંધો પર ખૂબ પ્રભાવ પાડે છે, હું રહી ગયો, એવું વિચારીને કે બધું બદલાઈ જશે, વિશ્વાસ રાખીને અને માત્ર શ્રેષ્ઠની જ આશા રાખતા.
શ્રેષ્ઠ હવે ત્યાં હતું, ક્લબ અથવા બારમાં, જ્યાં દારૂથી લઈને વેશ્યાઓ સુધી બધું છે, જ્યાં સંગીત જીવનનો મુખ્ય ભાગ છે, અને મારે ફક્ત તે સ્વીકારવું હતું, તે બધું છોડીને આગળ વધવું હતું. તેની પાછળ ચાલવું, તેની શર્ટની સ્લીવ પકડીને, ગૌરવ અને હિંમતના અવશેષોને ફાડી નાખવું - હું તૂટી ગયો છું, અને તેનું કારણ તેનો પ્રેમ છે.
બેલ, દરવાજાની બીજી બાજુનો અધમ અવાજ, એક મહાન સાંજની મૂર્ખ આશા એકસાથે થોડીક સેકંડમાં ધૂળમાં ફેરવાઈ ગઈ. તે તે જ હતો, તે તેના અધમ હાથ હતા જેણે બળથી દરવાજો અથડાવ્યો, જેનાથી મારું હૃદય સ્થિર થઈ ગયું. મને ડર હતો, ડર હતો કે તે પાગલ થઈ જશે, કે તેને હવે કંઈપણ લાગશે નહીં, કે હું તેના માટે માત્ર એક વ્યક્તિ છું, મૂર્ખ, પ્રેમમાં. ઉતાવળથી જેકેટ પર ફેંક્યા પછી, મેં ધ્રુજારી હાથે દરવાજો ખોલ્યો, સાંકળને સ્થાને છોડી દીધી - તે વધુ સુરક્ષિત છે. તે મારી કલ્પના કરતા પણ ખરાબ દેખાતો હતો - તેના અંગૂઠા તૂટેલા હતા, તેના હાથ ઉઝરડા હતા, તેના મોટાભાગના ચહેરા પર ઉઝરડા હતા, તેના હોઠ એક ભયાનક દૃશ્ય હતું - ખૂણા લોહીથી ઢંકાયેલા હતા, ચામડી સહેજ સૂજી હતી. મને લડાઈના કારણ વિશે કોઈ શંકા નહોતી - તેને ધૂમાડાની ગંધ આવી, જેમ કે તેઓ કહે છે, "એક માઈલ દૂર."
માફ કરશો, વિક, ફરી નહીં થાય. - જ્યારે પણ તે સંપૂર્ણ આનંદની સ્થિતિમાં ઘરે આવ્યો ત્યારે તેણે આ વાક્યનું પુનરાવર્તન કર્યું, મેં તે વિશે વિચાર્યું પણ નથી કે તે તેને યોગ્ય રીતે સમજે છે કે કેમ, શું "વધુ" ની વિભાવનાનો અર્થ તેના માટે તે જ છે જે તે મારા માટે કરે છે? હું, શું કરવું તે સમજાતું નથી, લોક પર ક્લિક કરો અને તેને પહોળું ખોલો આગળનો દરવાજો, તે કેવો છે તેની મને પરવા નથી, તે પાછો આવ્યો છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તે અહીં છે.
હું પહેલેથી જ ભૂલી ગયો છું કે તમે કેવા દેખાવ છો. તમે આજે સવારે ગાયબ થઈ ગયા. - હું બૂમો ન પાડવાનો પ્રયત્ન કરું છું, હું તેને મારી પાસે રાખું છું, હું મારા મોબાઇલ પર તેની રખાતના સવારના કૉલ વિશે બોલતો નથી, અથવા તેની રખાતના નહીં - થાક, હવે મને તે જ લાગે છે. સવારના બે વાગ્યા પછી થોડો સમય છે, અને પથારીને બદલે હું ઇગોરની આંખોમાં જોઉં છું, જવાબ શોધી રહ્યો છું પોતાનો પ્રશ્ન- શું તે મને પ્રેમ કરે છે, શું હું તેને કંઈ કહેવા માગું છું?
માફ કરજો બેબી, મારે થોડું કામ કરવાનું હતું,” મારા પર હિંચકી પડી, અને હું મારા શરીરના ભારેપણાને અનુભવીને ધ્રુસકે ધ્રુસકે રડી પડ્યો. તે મારા માટે ખૂબ બોજ છે અને હું એક પગલું ભરું છું ત્યારે હું ચીસો પાડું છું, અને પછી તેની સાથે કાર્પેટ પર પીડાદાયક રીતે પડી જાઉં છું. - વાહિયાત.
તે ધીમે ધીમે વધે છે અને આગળ વધે છે, ભાગ્યે જ ફ્લોરની સપાટી પર પગ મૂકે છે, હજુ પણ ભાગ્યે જ તેની હિલચાલને નિયંત્રિત કરે છે. તે મારી નોંધ લીધા વિના જ આગળ વધે છે, અત્યારે તે મારી ધારણાઓને સાબિત કરી રહ્યો છે - તે હમણાં જ અમારા સંબંધમાં પસાર થઈ ગયો. તેણે માત્ર એક જ ભૂમિકા ભજવી હતી - તેણે પ્રેમ વિશે વાત કરી હતી, આર્થિક રીતે પ્રદાન કર્યું હતું અને તેના વિશે શંકાઓ ઊભી થાય છે - શું તે પિતાના ખિસ્સામાંથી હતું? હું મારા હાથમાં માથું પકડું છું, આ આટલા લાંબા સમય સુધી ચાલી શકતું નથી, હું આટલા લાંબા સમય સુધી ટકી શકતો નથી. ભગવાન.
મેં બાથરૂમમાં અવાજ સાંભળ્યો, તેથી મેં સ્નાન કરવાનું નક્કી કર્યું. મારી સંપૂર્ણ ઉદાસીનતાની સ્થિતિને છોડી દેવા અને મારી જાતને વ્યવસ્થિત રાખવાથી મને નુકસાન થશે નહીં, હું એક સ્ત્રી છું. જો તમે તમારી જાતને આ રીતે વર્તવાની મંજૂરી આપો તો તમે વિમ્પ છો - મારી અર્ધજાગ્રત ચીસો અને હું સમજું છું કે આ સાચું છે. કે વિશ્વ સંપૂર્ણપણે અલગ છે, તેની ચાર દિવાલોની અંદર કોઈ મર્યાદા નથી, તે સંપૂર્ણ રીતે વિકસિત છે, ત્યાં લોકો છે, ત્યાં જીવન છે. અહીં, આ ઘરમાં, જીવન લાંબા સમયથી કિરણોત્સર્ગી હવામાં ફેરવાઈ ગયું છે, જે તમને ધીમે ધીમે મૃત્યુ પામે છે, તમારા એક ભાગને મારી નાખે છે, સુખ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને ગૌરવ તમારા ફેફસાંમાંથી સંપૂર્ણપણે બાષ્પીભવન કરે છે.
ટુવાલ ક્યાં છે?
મારું માથું ઉન્મત્તની જેમ દુખે છે, મારી છાતી પરના રુંવાટીવાળું બોલ અને મારા પગ પર ધાબળો સિવાય હું અનુભવી શકું છું. મને ઇગોર લાગતો નથી, હું તેના ઠેકાણાનો અંદાજ લગાવવાનો પ્રયાસ પણ કરતો નથી. તે આલ્કોહોલની મદદથી તેની માતા સમક્ષ તેના અપરાધનું પ્રાયશ્ચિત કરવા ગયો, આ રીતે તે "નુકસાન" શબ્દને સમજે છે, તે રીતે હું "અંત" શબ્દને સમજી શકું છું, તે બરાબર તે જ છે. જલદી હું પથારીમાંથી બહાર નીકળું છું, મારી પાસે તેમનો એક સાથેનો ફોટો અને નજીકમાં એક નોંધ આવે છે, શું તે ખરેખર શુભ સવારની શુભેચ્છા છે?
હું નીકળી ગયો. કાયમ. આ રીતે તે વધુ સારું રહેશે, હું તમારાથી કંટાળી ગયો છું, તમારી શાશ્વત ચીસોથી, એવા પ્રશ્નોથી જે પૂછવા ન જોઈએ, જો તમને જવાબ ખબર હોય. તમે ખૂબ જ મૂર્ખ છો. ગુડબાય.
ઇગોર.
જો અમુક ક્રમમાં કન્વર્જ થાય છે મર્યાદિત સંખ્યા a , પછી તેઓ લખે છે
.
અગાઉ અમે વિચારણામાં અનંત મોટા સિક્વન્સ રજૂ કર્યા હતા. અમે ધારીએ છીએ કે તેઓ કન્વર્જન્ટ હતા અને તેમની મર્યાદા પ્રતીકો અને . આ પ્રતીકો રજૂ કરે છેઅનંત પર પોઈન્ટ . તેઓ ટોળા સાથે જોડાયેલા નથીવાસ્તવિક સંખ્યાઓ
. પરંતુ મર્યાદાની વિભાવના આપણને આવા બિંદુઓને રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમની મિલકતોનો અભ્યાસ કરવા માટે એક સાધન પ્રદાન કરે છે.
વ્યાખ્યાઅનંત પર બિંદુ
, અથવા સહી વિનાની અનંતતા, એ મર્યાદા છે કે જેના પર અનંત મોટા ક્રમનું વલણ હોય છે.અનંત વત્તા અનંત પર બિંદુ
, એ મર્યાદા છે કે જેમાં સકારાત્મક શબ્દો સાથેનો અનંત મોટો ક્રમ વલણ ધરાવે છે.અનંત ઓછા અનંત પર બિંદુ
, એ મર્યાદા છે જેમાં નકારાત્મક પદો સાથેનો અનંત મોટો ક્રમ વલણ ધરાવે છે.
;
.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે નીચેની અસમાનતાઓ ધરાવે છે: વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે ખ્યાલ રજૂ કર્યો.
અનંત પર એક બિંદુની પડોશી
બિંદુની પડોશ એ સમૂહ છે.
છેલ્લે, બિંદુની પડોશ એ સમૂહ છે.
અહીં M એક મનસ્વી, મનસ્વી રીતે મોટી વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આમ, અમે તેમાં નવા તત્વો દાખલ કરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ વિસ્તાર્યો છે. આ સંદર્ભે, ત્યાં છે:
વિસ્તૃત નંબર લાઇનઅથવા વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો વિસ્તૃત સમૂહએ તત્વો દ્વારા પૂરક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે અને :
.
પ્રથમ, આપણે તે ગુણધર્મો લખીશું જે પોઈન્ટ કરે છે અને. આગળ આપણે કડકના મુદ્દાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએગાણિતિક વ્યાખ્યા
આ મુદ્દાઓ અને આ ગુણધર્મોના પુરાવાઓ માટે કામગીરી.
અનંત પરના બિંદુઓના ગુણધર્મો.
;
;
;
;
સરવાળો અને તફાવત.
;
;
;
;
;
;
;
.
ઉત્પાદન અને ગુણાંક.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે સંબંધ
;
;
;
;
;
.
ચાલો મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા બનીએ. પછી > 0
ચાલો એ
;
;
.
ચાલો મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા બનીએ. પછી < 0
ચાલો એ
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
પછી
અવ્યાખ્યાયિત કામગીરી
અનંત પરના બિંદુઓના ગુણધર્મોના પુરાવા
ગાણિતિક કામગીરીની વ્યાખ્યા અમે પહેલાથી જ અનંત બિંદુઓ માટે વ્યાખ્યાઓ આપી છે. હવે આપણે તેમના માટે ગાણિતિક ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે. અમે સિક્વન્સનો ઉપયોગ કરીને આ બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કર્યા હોવાથી, આ બિંદુઓ સાથેની ક્રિયાઓ પણ સિક્વન્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવી જોઈએ.
તેથી,
બે પોઈન્ટનો સરવાળો
,
c = a + b,
,
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વિસ્તૃત સમૂહ સાથે સંબંધિત,
અમે મર્યાદા કહીશું
જ્યાં અને મર્યાદા ધરાવતા મનસ્વી ક્રમ છે અને ..
બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માત્ર, વિભાજનના કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકના છેદમાં તત્વો ન હોવા જોઈએ
શૂન્ય બરાબર
પછી બે બિંદુઓનો તફાવત:
શૂન્ય બરાબર
- આ મર્યાદા છે: .
શૂન્ય બરાબર
પોઈન્ટનું ઉત્પાદન: ખાનગી:, .
અહીં અને મનસ્વી ક્રમ છે જેની મર્યાદા અનુક્રમે a અને b છે. IN
બાદમાં કેસ
મિલકતોના પુરાવા
.
અનંત પરના બિંદુઓના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે, આપણે અનંત મોટા સિક્વન્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.
,
મિલકત ધ્યાનમાં લો:
1
તે સાબિત કરવા માટે, આપણે તે બતાવવું જોઈએ
;
.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થતા બે સિક્વન્સનો સરવાળો વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થાય છે.
.
નીચેની અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે:
પછી માટે અને અમારી પાસે છે:
ચાલો મૂકીએ.
પછી
ખાતે,
ક્યાં.
.
આનો અર્થ એ છે કે.
,
અન્ય ગુણધર્મો સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે વધુ એક સાબિતી આપીએ છીએ.
ચાલો તે સાબિત કરીએ:
આ કરવા માટે આપણે તે બતાવવું જોઈએ જ્યાં અને મર્યાદાઓ સાથે અને મનસ્વી અનુક્રમો છે.એટલે કે, આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે બે અનંત મોટા ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત વિશાળ ક્રમ છે. 1
તે સાબિત કરવા માટે, આપણે તે બતાવવું જોઈએ
;
.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થતા બે સિક્વન્સનો સરવાળો વત્તા અનંતમાં કન્વર્જ થાય છે.
.
નીચેની અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે:
પછી માટે અને અમારી પાસે છે:
ચાલો મૂકીએ.
પછી
ચાલો તે સાબિત કરીએ. ત્યારથી અને , પછી કેટલાક કાર્યો છે અને તેથી કોઈપણ માટે
હકારાત્મક સંખ્યા એમઅવ્યાખ્યાયિત કામગીરી ભાગવ્યાખ્યાયિત નથી. તેમની અનિશ્ચિતતા દર્શાવવા માટે, જ્યારે ઓપરેશનનું પરિણામ તેમાં સમાવિષ્ટ સિક્વન્સની પસંદગી પર આધારિત હોય ત્યારે કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓ આપવા જરૂરી છે.
આ કામગીરી ધ્યાનમાં લો:
.
તે બતાવવાનું સરળ છે કે જો અને , તો ક્રમના સરવાળાની મર્યાદા ક્રમની પસંદગી અને .
ખરેખર, ચાલો તેને લઈએ.
આ સિક્વન્સની મર્યાદાઓ છે.
રકમ મર્યાદા
અનંત સમાન છે.
હવે લઈએ. આ સિક્વન્સની મર્યાદાઓ પણ સમાન છે.પરંતુ તેમની રકમની મર્યાદા
શૂન્ય બરાબર.
