સરળ કાર્ય વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો. સરળ કાર્ય

તેના ભિન્નતાના બિંદુઓ તેના પર ગાઢ છે અને તેમાં સાતત્ય છે. ત્યાં સતત કાર્યો છે જે સંખ્યા રેખા પર સરળ હોય છે અને ભિન્નતા ધરાવતા નથી. જી. એફ. દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન છે સ્થાનિક અંતિમઅને, આ કારણે, સરળ માટે સતત કાર્યોમુખ્ય પ્રમેય માન્ય રહે છે વિભેદક કલન- રોલે, લેગ્રેન્જ, કોચીના પ્રમેય,

ડાર્બોક્સ અને અન્ય.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ.

આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ.

1977-1985.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "સ્મૂથ ફંક્શન" શું છે તે જુઓ:અથવા સતત વિભેદક કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે સમગ્ર વ્યાખ્યા સમૂહ પર સતત વ્યુત્પન્ન ધરાવે છે. મૂળભૂત માહિતી ઉચ્ચ ઓર્ડરના સરળ કાર્યોને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે, સરળતાના ક્રમ સાથેનું કાર્ય ... ... વિકિપીડિયા

સરળ કાર્ય- એક ફંક્શન જે તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ, ક્રમ સુધી r સહિત, સતત છે. આનો અર્થ "ક્રમ r ની સરળતા." ... સરળ કાર્ય

- એક ફંક્શન કે જેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ, ક્રમ સુધી r સહિત, સતત હોય છે. આનો અર્થ છે "ઓર્ડર r ની સરળતા". વિષયો: અર્થશાસ્ત્ર EN સરળ કાર્ય…ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા Piecewise સ્મૂથ ફંક્શન એ સેટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છેવાસ્તવિક સંખ્યાઓ

, વ્યાખ્યાના ડોમેન બનાવે છે તે દરેક અંતરાલ પર ભિન્નતા. ઔપચારિક વ્યાખ્યાફોર્મ્યુલા ચેન્જ પોઈન્ટ આપવા દો. દરેક વસ્તુને પીસવાઈઝ પસંદ કરો... ... વિકિપીડિયા

- બિન-ડિજનરેટ ધરાવતા મેનીફોલ્ડ પરનું એક સરળ કાર્ય છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ

. મોર્સ ફંક્શન્સ ઉદ્દભવે છે અને તેનો ઉપયોગ મોર્સ થિયરીમાં થાય છે, જે વિભેદક ટોપોલોજીના મુખ્ય સાધનોમાંનું એક છે. વિષયવસ્તુ 1 વ્યાખ્યા 2 ગુણધર્મો ... વિકિપીડિયા એક સરળ કાર્ય કે જે ચોક્કસ વિશેષ ગુણધર્મો ધરાવે છે. એમ. એફ. ઉદભવે છે અને તેનો ઉપયોગ મોર્સ સિદ્ધાંતમાં થાય છે. સરળ હિલ્બર્ટને પૂર્ણ થવા દો (કેટલાક રીમેનિયન મેટ્રિકના સંદર્ભમાં) મેનીફોલ્ડ (ઉદાહરણ તરીકે, મર્યાદિત-પરિમાણીય) જેની સીમા છે... ...ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

1) પી. એફ. ત્રિકોણમિતિ શ્રેણીના સિદ્ધાંતમાં, બી. રીમેન (બી. રીમેન, 1851) દ્વારા રજૂ કરાયેલ કાર્ય (જુઓ) ત્રિકોણમિતિ કાર્યની પ્રતિનિધિત્વ પરના મુદ્દાનો અભ્યાસ કરવા માટે. નજીક શ્રેણી (*) મર્યાદિત સાથે આપવામાં આવે... ... નિર્ણાયક મુદ્દાઓ

સરળ, બહિર્મુખ, પીસવાઇઝ સહિત, સરળ કાર્યના ખ્યાલનું સામાન્યીકરણ રેખીય કાર્યો. વ્યાખ્યા જો દરેક બિંદુ પર સબસેટ હોય તો ફંક્શનને અર્ધસમર્થ કહેવામાં આવે છે રેખીય ઓપરેટરોજેમ કે કોઈપણ ક્રમ માટે... વિકિપીડિયા

સ્પલાઇન કાર્ય- સમય શ્રેણીને સંરેખિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા piecewise સ્મૂથ ફંક્શન. એસ.એફ.ની અરજી. સામાન્ય વલણ કાર્યોને બદલે, તે અસરકારક છે જ્યારે શ્રેણીના વલણ અને દિશા વિશ્લેષણના સમયગાળામાં બદલાય છે. એસ. એફ. મદદ કરે છે...... આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ

વ્યાખ્યાઓના સમગ્ર સેટ પર. ઘણી વાર હેઠળ સરળફંક્શન્સનો અર્થ એવા કાર્યો છે કે જેમાં તમામ ઓર્ડરના સતત ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે.

મૂળભૂત[ | ]

ઉચ્ચ ઓર્ડરના સરળ કાર્યોને પણ ગણવામાં આવે છે, એટલે કે, સાથેનું કાર્ય સરળતાનો ક્રમ r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0)સુધીના તમામ ઓર્ડરના સતત ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે r (\displaystyle r)સમાવિષ્ટ (ઝીરોથ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ એ ફંક્શન પોતે છે). આવા કાર્યો કહેવામાં આવે છે r (\displaystyle r)-સરળ. ઘણા r (\displaystyle r)- ડોમેનમાં નિર્ધારિત સરળ કાર્યો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે C r (Ω) (\ displaystyle C^(r)(\Omega)). રેકોર્ડ f ∈ C ∞ (Ω) (\ displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega))મતલબ કે f ∈ C r (Ω) (\ displaystyle f\in C^(r)(\Omega))કોઈપણ માટે r (\displaystyle r), આવા કાર્યો કહેવામાં આવે છે અવિરતપણે-સરળ(ક્યારેક નીચે સરળ કાર્યોતેઓનો અર્થ અનંત સરળ). કેટલીકવાર નોટેશનનો પણ ઉપયોગ થાય છે f ∈ C ω (Ω) (\ displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega))અથવા f ∈ C a (Ω) (\ displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), જેનો અર્થ થાય છે f (\પ્રદર્શન શૈલી f)- વિશ્લેષણાત્મક.

ઉદાહરણ તરીકે, C 0 (Ω) (\Displaystyle C^(0)(\Omega))- સતત સમૂહ Ω (\Displaystyle \Omega )કાર્યો, અને C 1 (Ω) (\Displaystyle C^(1)(\Omega))- પર સતત વિભેદક સમૂહ Ω (\Displaystyle \Omega )ફંક્શન્સ, એટલે કે, આ પ્રદેશમાં દરેક બિંદુએ સતત વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યો.

જો સરળતાનો ક્રમ નિર્દિષ્ટ ન હોય, તો તે સામાન્ય રીતે વર્તમાન તર્ક દરમિયાન કાર્ય પર કરવામાં આવતી તમામ ક્રિયાઓ માટે પર્યાપ્ત હોવાનું માનવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો દ્વારા અંદાજ[ | ]

વિસ્તાર દો Ω (\Displaystyle \Omega )પર ખોલો R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))અને f ∈ C k (Ω) (\ displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). દો ( K p ) (\ displaystyle \(K_(p)\))- કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સનો ક્રમ Ω (\Displaystyle \Omega )જેમ કે K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\ displaystyle K_(p)\ સબસેટ K_(p+1))અને ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). દો ( n p ) (\ displaystyle \(n_(p)\))- હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો એક મનસ્વી ક્રમ અને m p = મિનિટ (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). છેલ્લે, દો ( ε p ) (\ displaystyle \(\varepsilon _(p)\))- મનસ્વી ક્રમ હકારાત્મક સંખ્યાઓ. પછી એક વાસ્તવિક-વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે g (\displaystyle g), માં વ્યાખ્યાયિત Ω (\Displaystyle \Omega )જેમ કે દરેક માટે p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0)અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

જ્યાં ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\backslash K_(p))) ))મહત્તમ ધોરણો સૂચવે છે (સમાન સંપાતના અર્થમાં, એટલે કે, સેટ પરના મોડ્યુલસની મહત્તમ K p + 1 ∖ K p (\ displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ f − g (\પ્રદર્શન શૈલી f-g)શૂન્ય થી તમામ ઓર્ડર m p (\ displaystyle (m_(p)))સમાવિષ્ટ

વ્યાખ્યાઓના સમગ્ર સેટ પર.

મૂળભૂત

ઉચ્ચ ઓર્ડરના સરળ કાર્યોને પણ ગણવામાં આવે છે, એટલે કે, સાથેનું કાર્ય સરળતાનો ક્રમ $આર$ઓર્ડરનું સતત વ્યુત્પન્ન છે $આર$. ઘણાક્ષેત્રમાં વ્યાખ્યાયિત આવા કાર્યો $\backslash ઓમેગા$દ્વારા સૂચિત $C^r(\backslash Omega)$. $f\backslash in\; C^\backslash infty(\backslash Omega)$મતલબ કે $f\backslash c^r(\backslash ઓમેગા)\; માં$કોઈપણ માટે $આર$, એ $f\backslash in\; C^\backslash omega(\backslash Omega)=C^a(\backslash Omega)$મતલબ કે $f$ - વિશ્લેષણાત્મક.

ઉદાહરણ તરીકે, $C^0(\backslash Omega)$- સતત સમૂહ $\backslash ઓમેગા$કાર્યો, અને $C^1(\backslash Omega)$- પર સતત વિભેદક સમૂહ $\backslash ઓમેગા$કાર્યો, એટલે કે આ પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યો.

જો સરળતાનો ક્રમ નિર્દિષ્ટ ન હોય, તો તે સામાન્ય રીતે વર્તમાન તર્ક દરમિયાન કાર્ય પર કરવામાં આવતી તમામ ક્રિયાઓ માટે પર્યાપ્ત હોવાનું માનવામાં આવે છે.

ઉત્તમ વર્ગ વિશ્લેષણ માટે વિભેદક કાર્યોખ્યાલ પણ રજૂ કરે છે એક બિંદુ પર અપૂર્ણાંક સરળતાઅથવા હોલ્ડર ઘાતાંક, જે સરળતાના ઉપરોક્ત તમામ ખ્યાલોને સામાન્ય બનાવે છે.

કાર્ય $f$વર્ગનો છે $C^(r,\backslash ;\backslash alpha)$, ક્યાં $આર$બિન-ઋણાત્મક પૂર્ણાંક છે અને , જો તે ઓર્ડર કરવા માટે ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે $આર$સમાવિષ્ટ અને $f^((r))$ઘાતાંક સાથે હોલ્ડર છે $\backslash આલ્ફા$.

ભાષાંતરિત સાહિત્યમાં, શબ્દ સાથે "હોલ્ડર ઘાતાંક", "લિપ્સિટ્ઝ ઘાતાંક" શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે.

વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો દ્વારા સતત અલગ-અલગ કાર્યોનો અંદાજ

દો $\backslash ઓમેગા$માં ખોલો $\backslash R^n$અને $f\backslash c^k(\backslash ઓમેગા)\; માં$, $0\backslash leqslant\; k\backslash leqslant\backslash infty$. દો $\backslash (K\_p\backslash )$- કોમ્પેક્ટ સબસેટ્સનો ક્રમ $\backslash ઓમેગા$જેમ કે $K\_0=\backslash varnothing$, $K\_p\backslash સબસેટ\; K\_(p+1)$અને $\backslash bigcup\; K\_p=\backslash Omega$. દો $\backslash (n\_p\backslash )$- હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો એક મનસ્વી ક્રમ અને $m\_p=\backslash min(k,\backslash ;n\_p)$. છેલ્લે, દો $\backslash (\backslash varepsilon\_p\backslash )$- હકારાત્મક સંખ્યાઓનો મનસ્વી ક્રમ. પછી ત્યાં છે $\backslash R$- વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય $g$વી $\backslash ઓમેગા$જેમ કે દરેક માટે $p\backslash geqslant\; 0$:

પણ જુઓ

લેખ "સરળ કાર્ય" વિશે સમીક્ષા લખો

સરળ કાર્યને દર્શાવતો અવતરણ

જ્યારે પ્રિન્સેસ મારિયા રડવા લાગી, ત્યારે તેને સમજાયું કે તે રડતી હતી કે નિકોલુષ્કા પિતા વિના રહેશે. મહાન પ્રયત્નો સાથે તેણે જીવનમાં પાછા ફરવાનો પ્રયાસ કર્યો અને તેને તેમના દૃષ્ટિકોણ સુધી પહોંચાડવામાં આવ્યો.
“હા, તેઓને તે દયનીય લાગશે! - તેણે વિચાર્યું. "તે કેટલું સરળ છે!"
"હવાનાં પંખીઓ ન તો વાવે છે કે ન તો લણતાં નથી, પણ તારા પિતા તેમને ખવડાવે છે," તેણે પોતાની જાતને કહ્યું અને રાજકુમારીને તે જ કહેવા માંગતો હતો. “પણ ના, તેઓ પોતાની રીતે સમજશે, સમજશે નહિ! તેઓ જે સમજી શકતા નથી તે એ છે કે આ બધી લાગણીઓ જે તેઓ મૂલ્યવાન છે તે આપણી છે, આ બધા વિચારો જે આપણા માટે એટલા મહત્વપૂર્ણ લાગે છે કે તેમની જરૂર નથી. અમે એકબીજાને સમજી શકતા નથી." - અને તે મૌન થઈ ગયો.

પ્રિન્સ આંદ્રેનો નાનો પુત્ર સાત વર્ષનો હતો. તે ભાગ્યે જ વાંચી શકતો હતો, તે કંઈ જાણતો નહોતો. તેણે આ દિવસ પછી ઘણું અનુભવ્યું, જ્ઞાન, અવલોકન અને અનુભવ મેળવ્યો; પરંતુ જો તેની પાસે આ બધી પછીથી પ્રાપ્ત કરેલી ક્ષમતાઓ હતી, તો તે તેના પિતા, પ્રિન્સેસ મેરિયા અને નતાશા વચ્ચેના દ્રશ્યનો સંપૂર્ણ અર્થ વધુ સારી રીતે સમજી શક્યો ન હોત. તે બધું સમજી ગયો અને, રડ્યા વિના, ઓરડામાંથી બહાર નીકળી, ચૂપચાપ નતાશા પાસે ગયો, જે તેની પાછળ પાછળ આવી હતી, અને શરમાઈને તેની તરફ વિચારશીલ, સુંદર આંખોથી જોયું; તેના ઉભા થયેલા, ગુલાબી ઉપલા હોઠ ધ્રૂજતા હતા, તે તેની સામે માથું ટેકવીને રડવા લાગ્યો હતો.
તે દિવસથી, તે દેસાલેસને ટાળતો હતો, તેને સ્નેહ આપતી કાઉન્ટેસને ટાળતો હતો, અને કાં તો એકલો બેઠો હતો અથવા ડરપોક રીતે પ્રિન્સેસ મેરિયા અને નતાશા પાસે ગયો હતો, જેમને તે તેની કાકી કરતા પણ વધુ પ્રેમ કરતો હતો, અને શાંતિથી અને શરમાળ રીતે તેમને સ્નેહ કરતો હતો.
પ્રિન્સેસ મરિયા, પ્રિન્સ આંદ્રેને છોડીને, નતાશાના ચહેરાએ તેણીને જે કહ્યું તે બધું સંપૂર્ણપણે સમજી ગઈ. તેણીએ હવે નતાશા સાથે તેનો જીવ બચાવવાની આશા વિશે વાત કરી નહીં. તેણીએ તેની સાથે તેના સોફા પર વૈકલ્પિક કર્યું અને હવે રડ્યું નહીં, પરંતુ સતત પ્રાર્થના કરી, તેણીના આત્માને તે શાશ્વત, અગમ્ય તરફ ફેરવી, જેની હાજરી હવે મૃત્યુ પામેલા માણસ પર એટલી સ્પષ્ટ હતી.

પ્રિન્સ આંદ્રે માત્ર જાણતા ન હતા કે તે મરી જશે, પરંતુ તેને લાગ્યું કે તે મરી રહ્યો છે, તે પહેલેથી જ અડધો મરી ગયો હતો. તેણે પૃથ્વીની દરેક વસ્તુથી વિમુખતાની સભાનતા અને અસ્તિત્વની આનંદકારક અને વિચિત્ર હળવાશનો અનુભવ કર્યો. તે, ઉતાવળ વિના અને ચિંતા કર્યા વિના, તેની આગળ શું છે તેની રાહ જોતો હતો. તે ખતરનાક, શાશ્વત, અજાણ્યા અને દૂર, જેની હાજરી તેણે આખા જીવન દરમિયાન અનુભવવાનું બંધ કર્યું ન હતું, તે હવે તેની નજીક હતું અને - તેણે અનુભવેલી વિચિત્ર હળવાશને કારણે - લગભગ સમજી શકાય તેવું અને લાગ્યું.