વિભેદક અને અભિન્ન કલન. એક અને અનેક ચલોના કાર્યોનું વિભેદક કેલ્ક્યુલસ

સિસ્ટમ તરીકે નવી કેલ્ક્યુલસ સંપૂર્ણ રીતે ન્યૂટન દ્વારા બનાવવામાં આવી હતી, જે જો કે, લાંબા સમય સુધીતેની શોધો પ્રકાશિત કરી નથી.

ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસની સત્તાવાર જન્મ તારીખ મે ગણી શકાય, જ્યારે લીબનીઝે તેનો પ્રથમ લેખ પ્રકાશિત કર્યો « નવી પદ્ધતિઊંચા અને નીચા...". આ લેખ, સંક્ષિપ્ત અને અપ્રાપ્ય સ્વરૂપમાં, વિભેદક કેલ્ક્યુલસ નામની નવી પદ્ધતિના સિદ્ધાંતો નક્કી કરે છે.

લીબનીઝ અને તેના વિદ્યાર્થીઓ

આ વ્યાખ્યાઓ ભૌમિતિક રીતે સમજાવવામાં આવી છે, જ્યારે ફિગમાં. અનંત વધારાને મર્યાદિત તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. વિચારણા બે આવશ્યકતાઓ પર આધારિત છે. પ્રથમ:

તે જરૂરી છે કે બે જથ્થાઓ કે જે એકબીજાથી માત્ર એક અમર્યાદિત રકમથી અલગ પડે છે તે [અભિવ્યક્તિને સરળ કરતી વખતે?] બીજાને બદલે એકને ઉદાસીન રીતે લઈ શકાય.

અહીંથી તે બહાર આવ્યું છે x + ડીx = x , આગળ

ડીxy = (x + ડીx)(y + ડીy) − xy = xડીy + yડીx + ડીxડીy = (x + ડીx)ડીy + yડીx = xડીy + yડીx

આવી દરેક રેખાની ચાલુતાને વળાંકની સ્પર્શક કહેવાય છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી સ્પર્શકની તપાસ કરવી એમ = (x,y) , L'Hopital કદને ખૂબ મહત્વ આપે છે

વળાંકના વળાંક બિંદુઓ પર આત્યંતિક મૂલ્યો સુધી પહોંચવું, ગુણોત્તર ડીyથી ડીxકોઈ ખાસ મહત્વ જોડાયેલ નથી.

તે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધવા માટે નોંધપાત્ર છે. જો, વ્યાસમાં સતત વધારો સાથે xઓર્ડિનેટ yપહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે, પછી વિભેદક ડીyની સરખામણીમાં પ્રથમ હકારાત્મક ડીx, અને પછી નકારાત્મક.

પરંતુ કોઈપણ સતત વધતું કે ઘટતું મૂલ્ય અનંત અથવા શૂન્યમાંથી પસાર થયા વિના હકારાત્મકમાંથી નકારાત્મકમાં ફેરવી શકતું નથી... તે અનુસરે છે કે સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યનો તફાવત શૂન્ય અથવા અનંત સમાન હોવો જોઈએ.

આ ફોર્મ્યુલેશન કદાચ દોષરહિત નથી, જો આપણે પ્રથમ આવશ્યકતા યાદ રાખીએ: ચાલો, કહો, y = x 2 , પછી પ્રથમ જરૂરિયાતના આધારે

શૂન્ય પર જમણી બાજુશૂન્ય બરાબર છે, પરંતુ ડાબી બાજુ નથી. દેખીતી રીતે એવું કહેવું જોઈતું હતું ડીyપ્રથમ જરૂરિયાત અનુસાર રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જેથી મહત્તમ બિંદુએ ડીy= 0. . ઉદાહરણોમાં બધું જ સ્વ-સ્પષ્ટીકરણ છે, અને માત્ર ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટના સિદ્ધાંતમાં L'Hopital લખે છે કે ડીy શૂન્ય બરાબરમહત્તમ બિંદુએ, દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે ડીx .

આગળ, માત્ર ભિન્નતાઓનો ઉપયોગ કરીને, આત્યંતિક સ્થિતિઓ ઘડવામાં આવે છે અને મોટી સંખ્યામાં જટિલ કાર્યો, મુખ્યત્વે પ્લેનમાં વિભેદક ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત. પુસ્તકના અંતે, પ્રકરણમાં. 10, તે સુયોજિત કરે છે કે જેને હવે L'Hopital's નિયમ કહેવામાં આવે છે, જો કે તેના બદલે અસામાન્ય સ્વરૂપમાં. ઓર્ડિનેટની તીવ્રતા દો yવળાંકને અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જેનો અંશ અને છેદ જ્યારે અદૃશ્ય થઈ જાય છે x = a. પછી સાથે વળાંક બિંદુ x = aઓર્ડિનેટ ધરાવે છે y , ગુણોત્તર સમાનઅંશ વિભેદકથી છેદ વિભેદક ખાતે લેવામાં આવે છે x = a .

L'Hôpital ની યોજના અનુસાર, તેણે જે લખ્યું તે વિશ્લેષણનો પ્રથમ ભાગ હતો, જ્યારે બીજામાં અભિન્ન કલનનો સમાવેશ થતો હોવાનું માનવામાં આવતું હતું, એટલે કે, તેમના ભિન્નતાના જાણીતા જોડાણના આધારે ચલો વચ્ચેનું જોડાણ શોધવાની પદ્ધતિ. તેનું પ્રથમ પ્રેઝન્ટેશન જોહાન બર્નૌલી દ્વારા તેમનામાં આપવામાં આવ્યું હતું ગાણિતિક પ્રવચનોઅભિન્ન પદ્ધતિ વિશે. અહીં બહુમતી લેવાની પદ્ધતિ છે પ્રાથમિક અભિન્ન અંગોઅને ઘણા ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિભેદક સમીકરણોપ્રથમ ઓર્ડર.

યુલર

આગામી અડધી સદીમાં થયેલા ફેરફારો યુલરના વ્યાપક ગ્રંથમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. વિશ્લેષણની રજૂઆત બે વોલ્યુમ "પરિચય" ખોલે છે, જેમાં સંશોધન શામેલ છે વિવિધ રજૂઆતો પ્રાથમિક કાર્યો. "ફંક્શન" શબ્દ પ્રથમ ફક્ત લીબનીઝમાં જ દેખાય છે, પરંતુ તે યુલર હતા જેમણે તેને પ્રથમ સ્થાન આપ્યું હતું. ફંક્શનની વિભાવનાનું મૂળ અર્થઘટન એ હતું કે ફંક્શન એ ગણતરી માટેની અભિવ્યક્તિ છે (જર્મન. Rechnungsausdrϋck) અથવા વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ .

કાર્ય ચલ જથ્થોઆ ચલ જથ્થા અને સંખ્યાઓ અથવા સતત જથ્થાઓમાંથી અમુક રીતે બનેલી વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ છે.

"ફંક્શન્સ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત ચલ અને અચલથી બનેલ છે તે રીતે રહેલો છે" પર ભાર મૂકતા, યુલર ક્રિયાઓની યાદી આપે છે "જેના દ્વારા જથ્થાઓને એકબીજા સાથે જોડી અને મિશ્રિત કરી શકાય છે; આ ક્રિયાઓ છે: સરવાળો અને બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળનું નિષ્કર્ષણ; આમાં [બીજગણિત] સમીકરણોના ઉકેલનો પણ સમાવેશ થવો જોઈએ. આ ઓપરેશન્સ ઉપરાંત, જેને બીજગણિત કહેવાય છે, ત્યાં બીજા ઘણા છે, અતીન્દ્રિય, જેમ કે: ઘાતાંકીય, લઘુગણક અને અસંખ્ય અન્ય, અભિન્ન કલન દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવે છે. આ અર્થઘટનથી બહુમૂલ્યવાળા કાર્યોને સરળતાથી હેન્ડલ કરવાનું શક્ય બન્યું હતું અને કયા ક્ષેત્રમાં કાર્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી રહ્યું હતું તેની સમજૂતીની જરૂર નથી: ગણતરીની અભિવ્યક્તિ ચલોના જટિલ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, પછી ભલે તે નીચેની સમસ્યા માટે આ જરૂરી ન હોય. વિચારણા

અભિવ્યક્તિમાં કામગીરીને ફક્ત માં જ મંજૂરી આપવામાં આવી હતી મર્યાદિત સંખ્યા, અને ગુણાતીત અવિરત ની મદદ સાથે ઘૂસી મોટી સંખ્યામાં. અભિવ્યક્તિમાં આ સંખ્યા સાથે વપરાય છે કુદરતી સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંક માટે આવી અભિવ્યક્તિ સ્વીકાર્ય ગણવામાં આવે છે

જેમાં માત્ર પછીના લેખકોઅંતિમ સંક્રમણ જોયું. વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ સાથે વિવિધ રૂપાંતરણો કરવામાં આવ્યા હતા, જેણે યુલરને શ્રેણી, અનંત ઉત્પાદનો, વગેરેના સ્વરૂપમાં પ્રાથમિક કાર્યો માટે રજૂઆતો શોધવાની મંજૂરી આપી હતી. યુલરના મૂલ્યની ગણતરીની શક્યતા પર ધ્યાન આપ્યા વિના, બીજગણિતમાં ગણના માટે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરે છે. લેખિત સૂત્રોમાંથી દરેક માટે એક બિંદુ પર કાર્ય.

L'Hopital થી વિપરીત, Euler અતીન્દ્રિય કાર્યોની વિગતવાર તપાસ કરે છે અને ખાસ કરીને તેમના બે સૌથી વધુ અભ્યાસ કરેલ વર્ગો - ઘાતાંકીય અને ત્રિકોણમિતિ. તે શોધે છે કે તમામ પ્રાથમિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે અંકગણિત કામગીરીઅને બે ક્રિયાઓ - લઘુગણક અને ઘાતાંક લેવું.

સાબિતી પોતે જ અનંત વિશાળનો ઉપયોગ કરવાની તકનીકને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવે છે. સાઈન અને કોસાઈનનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કર્યા ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ, યુલર ઉમેરણના સૂત્રોમાંથી નીચે મુજબનું અનુમાન કરે છે:

માનતા અને z = nx , તે મેળવે છે

અનંત વસ્તુઓનો ત્યાગ કરવો ઉચ્ચ ઓર્ડર. આ અને સમાન અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, યુલરે તેનું પ્રખ્યાત સૂત્ર મેળવ્યું

સૂચવીને વિવિધ અભિવ્યક્તિઓફંક્શન્સ કે જેને હવે પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે, યુલર પ્લેન પરના વળાંકોને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધે છે, દોરવામાં આવે છે. મફત ચળવળહાથ તેમના મતે, આવા દરેક વળાંક માટે એકલ વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ શોધવાનું શક્ય નથી (સ્ટ્રિંગ ડિસ્પ્યુટ પણ જુઓ). 19મી સદીમાં, કેસોરાટીની ઉશ્કેરણી પર, આ વિધાનને ભૂલભરેલું માનવામાં આવતું હતું: વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય મુજબ, દરેક સતત આધુનિક અર્થમાંવક્રનું લગભગ બહુપદી દ્વારા વર્ણન કરી શકાય છે. વાસ્તવમાં, યુલર ભાગ્યે જ આનાથી સહમત હતો, કારણ કે મર્યાદામાં પસાર થવા માટે હજુ પણ પ્રતીકનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખવાની જરૂર છે.

યુલર તેમની વિભેદક ગણતરીની રજૂઆતને મર્યાદિત તફાવતોના સિદ્ધાંત સાથે શરૂ કરે છે, ત્યારબાદ ત્રીજા પ્રકરણમાં દાર્શનિક સમજૂતી દ્વારા કે "અનંત માત્રા બરાબર શૂન્ય છે," જે મોટાભાગના યુલરના સમકાલીન લોકોને અનુકૂળ ન હતી. પછી, અમર્યાદિત વૃદ્ધિ સાથે મર્યાદિત તફાવતોમાંથી ભિન્નતા રચાય છે, અને ન્યૂટનના પ્રક્ષેપ સૂત્રમાંથી, ટેલરના સૂત્રની રચના થાય છે. આ પદ્ધતિ આવશ્યકપણે ટેલર (1715) ના કાર્ય પર પાછી જાય છે. આ કિસ્સામાં, યુલર એક સ્થિર સંબંધ ધરાવે છે, જે, જો કે, બે અનંત તત્વોના સંબંધ તરીકે ગણવામાં આવે છે. છેલ્લા પ્રકરણો શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને અંદાજિત ગણતરી માટે સમર્પિત છે.

ત્રણ-વોલ્યુમ ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં, યુલર ઇન્ટિગ્રલની વિભાવનાને નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન અને પરિચય આપે છે:

ફંક્શન જેનો વિભેદક = એક્સડીx, તેને અભિન્ન કહેવામાં આવે છે અને તે ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એસ, સામે મૂકવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, યુલરના ગ્રંથનો આ ભાગ વધુ સામાન્ય માટે સમર્પિત છે આધુનિક બિંદુવિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરવાની સમસ્યાનું દૃશ્ય. તે જ સમયે, યુલર સંખ્યાબંધ અભિન્ન અને વિભેદક સમીકરણો શોધે છે જે નવા કાર્યો તરફ દોરી જાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, Γ -ફંક્શન્સ, લંબગોળ કાર્યો, વગેરે. તેમના બિન-પ્રાથમિક સ્વભાવનો સખત પુરાવો 1830 માં જેકોબી દ્વારા લંબગોળ માટે આપવામાં આવ્યો હતો. ફંક્શન્સ અને લિઓવિલે દ્વારા (પ્રાથમિક કાર્યો જુઓ).

લગરેન્જ

વિશ્લેષણની વિભાવનાના વિકાસમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવનાર આગળનું મુખ્ય કાર્ય હતું થિયરી વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો Lagrange અને Lacroix દ્વારા Lagrangeના કાર્યને થોડીક સારગ્રાહી રીતે વિસ્તૃત રીતે પુનઃકથન.

એકસાથે અસંખ્યતાથી છૂટકારો મેળવવાની ઇચ્છા રાખીને, લેગ્રેન્જે ડેરિવેટિવ્ઝ અને ટેલર શ્રેણી વચ્ચેના જોડાણને ઉલટાવી દીધું. વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય દ્વારા લેગ્રેન્જ વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ મનસ્વી કાર્યને સમજે છે. તેમણે ફંક્શનને પોતે તરીકે નિયુક્ત કર્યું f(x), આપવી ગ્રાફિક પદ્ધતિપરાધીનતાના રેકોર્ડ્સ - અગાઉ યુલરે માત્ર ચલો સાથે જ કર્યું હતું. લેગ્રેન્જ અનુસાર વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવા માટે, કાર્યને શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે.

જેના ગુણાંક નવા કાર્યો હશે x. તે નામ આપવાનું બાકી છે પીવ્યુત્પન્ન ( વિભેદક ગુણાંક) અને તેને તરીકે દર્શાવો f"(x). આમ, વ્યુત્પન્નનો ખ્યાલ ગ્રંથના બીજા પૃષ્ઠ પર અને અનંતની મદદ વિના રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. તે નોંધવાનું રહે છે

તેથી ગુણાંક qડેરિવેટિવના વ્યુત્પન્ન કરતાં બમણું છે f(x), એટલે કે

ડેરિવેટિવની વિભાવનાના અર્થઘટન માટેનો આ અભિગમ આધુનિક બીજગણિતમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે અને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના વેઇઅરસ્ટ્રાસના સિદ્ધાંતની રચના માટેના આધાર તરીકે સેવા આપે છે.

લેગ્રેન્જે ઔપચારિક શ્રેણીઓ જેવી શ્રેણીઓનું સંચાલન કર્યું અને શ્રેણી મેળવી અદ્ભુત પ્રમેય. ખાસ કરીને, પ્રથમ વખત અને તદ્દન સખત રીતે તેણે ઔપચારિક શક્તિ શ્રેણીમાં સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે પ્રારંભિક સમસ્યાની ઉકેલની ક્ષમતા સાબિત કરી.

ટેલર શ્રેણીના આંશિક સરવાળો દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ અંદાજની ચોકસાઈના મૂલ્યાંકનનો પ્રશ્ન સૌપ્રથમ લેગ્રેન્જ દ્વારા ઉઠાવવામાં આવ્યો હતો: અંતે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના સિદ્ધાંતોતેણે લેગ્રેન્જ સ્વરૂપમાં બાકીના શબ્દ સાથે જે હવે ટેલરનું સૂત્ર કહેવાય છે તે મેળવ્યું. જો કે, તેનાથી વિપરીત આધુનિક લેખકો, લેગ્રેન્જે ટેલર શ્રેણીના કન્વર્જન્સને યોગ્ય ઠેરવવા માટે આ પરિણામનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર જણાતી ન હતી.

પ્રશ્ન એ છે કે શું વિશ્લેષણમાં વપરાતા કાર્યો ખરેખર વિઘટિત થઈ શકે છે પાવર શ્રેણી, ત્યારબાદ ચર્ચાનો વિષય બન્યો હતો. અલબત્ત, લેગ્રેન્જ જાણતા હતા કે અમુક બિંદુઓ પર પ્રાથમિક કાર્યોને પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરી શકાતું નથી, પરંતુ આ બિંદુઓ પર તેઓ કોઈપણ અર્થમાં અલગ નથી. તેના માં કોચી બીજગણિત વિશ્લેષણપ્રતિઉદાહરણ તરીકે કાર્ય આપ્યું

શૂન્ય પર શૂન્ય દ્વારા વિસ્તૃત. આ કાર્ય વાસ્તવિક ધરી પર દરેક જગ્યાએ સરળ છે અને શૂન્ય પર તેની પાસે શૂન્ય મેકલોરીન શ્રેણી છે, જે, તેથી, મૂલ્યમાં કન્વર્જ થતી નથી. f(x). આ ઉદાહરણની સામે, પોઈસને વાંધો ઉઠાવ્યો હતો કે લેગ્રેન્જે ફંક્શનને એકલ વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું, જ્યારે કોચીના ઉદાહરણમાં ફંક્શનને શૂન્ય અને પર અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. માં જ XIX ના અંતમાંસદીમાં, પ્રિન્ગશેમે સાબિત કર્યું કે એક જ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવેલ એક અનંત ભિન્ન કાર્ય છે, જેના માટે મેકલોરિન શ્રેણી અલગ પડે છે. આવા કાર્યનું ઉદાહરણ અભિવ્યક્તિ છે

વધુ વિકાસ

ગ્રંથસૂચિ

શૈક્ષણિક સાહિત્ય

પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકો

ઘણા વર્ષોથી, નીચેના પાઠ્યપુસ્તકો રશિયામાં લોકપ્રિય છે:

• કુદ્ર્યાવત્સેવ, એલ.ડી. , ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ (ત્રણ વોલ્યુમમાં).

T. 1. એક ચલના કાર્યોનું વિભેદક અને અભિન્ન કલન. ટી. 2. પંક્તિઓ. વિવિધ ચલોના કાર્યોનું વિભેદક અને અભિન્ન કલન. ટી. 3. હાર્મોનિક વિશ્લેષણ. કાર્યાત્મક વિશ્લેષણના તત્વો. ખાસ ધ્યાનપાઠ્યપુસ્તક ગુણાત્મક અને પ્રસ્તુતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ, તે પણ કેટલાક પ્રતિબિંબિત કરે છે ભૌમિતિક કાર્યક્રમોવિશ્લેષણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને એન્જિનિયરિંગ ભૌતિકશાસ્ત્રની વિશેષતા ધરાવતા યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ તેમજ ગાણિતિક તાલીમ માટે અન્ય વિશેષતા ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે.

• કુરન્ટ, આર. (બે વોલ્યુમમાં). અભ્યાસક્રમની મુખ્ય પદ્ધતિસરની શોધ: પ્રથમ, મુખ્ય વિચારો સરળ રીતે જણાવવામાં આવે છે, અને પછી તે આપવામાં આવે છે કડક પુરાવા. ક્લેઈનના વિચારોના પ્રભાવ હેઠળ 1920 ના દાયકામાં ગોટિંગેન યુનિવર્સિટીમાં પ્રોફેસર હતા ત્યારે કુરન્ટ દ્વારા લખાયેલ, ત્યારબાદ 1930 ના દાયકામાં અમેરિકન ભૂમિ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું. 1934નો રશિયન અનુવાદ અને તેના પુનઃમુદ્રણમાં જર્મન આવૃત્તિ પર આધારિત લખાણ મળે છે, 1960 (કહેવાતી 4થી આવૃત્તિ)નું ભાષાંતર એ પાઠ્યપુસ્તકના જર્મન અને અમેરિકન સંસ્કરણોનું સંકલન છે અને તેથી તે ખૂબ જ વર્બોઝ છે.
• ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ, ગ્રિગોરી મિખાયલોવિચ. વિભેદક અને અભિન્ન કલનનો કોર્સ(વી ત્રણ વોલ્યુમો) // સાદડી. EqWorld પરનું વિશ્લેષણ ખૂબ જ સારું છે, પરંતુ થોડું જૂના જમાનાનું ટ્યુટોરીયલ છે.

અને એક સમસ્યા પુસ્તક

• ડેમિડોવિચ, બી.પી., ગાણિતિક વિશ્લેષણ પર સમસ્યાઓ અને કસરતોનો સંગ્રહ// સાદડી. EqWorld પર વિશ્લેષણ

એન્ટિડેમિડોવિચ હોવાનો દાવો કરતા ઘણા પ્રકાશનો છે:

• લ્યાશ્કો I. I. એટ અલ. માટે સંદર્ભ માર્ગદર્શિકા ઉચ્ચ ગણિત . વોલ્યુમ 1-5

મોટાભાગની યુનિવર્સિટીઓ પાસે તેમના પોતાના વિશ્લેષણ માર્ગદર્શિકાઓ છે:

• મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, મિકેનિક્સ અને ગણિત:

• આર્કિપોવ જી. આઈ., સડોવનીચી વી. એ., ચુબારીકોવ વી. એન.ગણિત પર પ્રવચનો. વિશ્લેષણ
• ઝોરિચ વી. એ.ગાણિતિક વિશ્લેષણ. ભાગ I. એમ.: નૌકા, 1981. 544 પૃષ્ઠ.
• ઝોરિચ વી. એ.ગાણિતિક વિશ્લેષણ. ભાગ II. એમ.: નૌકા, 1984. 640 પૃષ્ઠ.

• Ilyin V. A., Sadovnichy V. A., Sendov Bl. એક્સ.ગાણિતિક વિશ્લેષણ (બે ભાગમાં)

• મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, ફિઝિક્સ ફેકલ્ટી:

• ઇલીન વી.એ., પોઝન્યાક ઇ.જી.મૂળભૂત ગાણિતિક વિશ્લેષણ(બે ભાગમાં) // http://lib.homelinux.org.
• બ્યુઝોવ વી.એફ. એટ અલ.સાદડી. પ્રશ્નો અને કાર્યોનું વિશ્લેષણ // http://lib.homelinux.org.

• N. E. Bauman ના નામ પર MSTU:

• માં ગણિત તકનીકી યુનિવર્સિટી 21 ગ્રંથોમાં પાઠ્યપુસ્તકોનો સંગ્રહ.

• NSU, ​​મિકેનિક્સ અને ગણિત:

• રેશેટન્યાક યુ.ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. ભાગ I. પુસ્તક 1. ગાણિતિક વિશ્લેષણનો પરિચય. વિભેદક કલનએક ચલના કાર્યો. નોવોસિબિર્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ઓફ ધ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ મેથેમેટિક્સ, 1999. 454 ISBN 5-86134-066-8 સાથે.
• રેશેટન્યાક યુ.ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. ભાગ I. પુસ્તક 2. એક ચલના કાર્યોનું અભિન્ન કલન. અનેક ચલોના કાર્યોનું વિભેદક કલન. નોવોસિબિર્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ઓફ ધ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ મેથેમેટિક્સ, 1999. 512 ISBN 5-86134-067-6 સાથે.
• રેશેટન્યાક યુ.ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. ભાગ II. પુસ્તક 1. બહુપરીમાણીય જગ્યાઓમાં સરળ વિશ્લેષણની મૂળભૂત બાબતો. શ્રેણી સિદ્ધાંત. નોવોસિબિર્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ઓફ ધ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ મેથેમેટિક્સ, 2000. 440 ISBN 5-86134-086-2 સાથે.
• રેશેટન્યાક યુ.ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. ભાગ II. પુસ્તક 2. અનેક ચલોના કાર્યોનું અભિન્ન કલન. મેનીફોલ્ડ્સ પર ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ. બાહ્ય વિભેદક સ્વરૂપો. નોવોસિબિર્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ઓફ ધ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ મેથેમેટિક્સ, 2001. 444 ISBN 5-86134-089-7 સાથે.
• શ્વેડોવ આઈ. એ.ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં કોમ્પેક્ટ કોર્સ: ભાગ 1. એક ચલના કાર્યો, ભાગ 2. અનેક ચલોના કાર્યોનું વિભેદક કલન.

• ફિઝટેક, મોસ્કો

• કુદ્ર્યાવત્સેવ એલ.ડી. ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ (ત્રણ ભાગમાં)

અદ્યતન પાઠ્યપુસ્તકો

પાઠ્યપુસ્તકો:

• રુડિન યુ.ગાણિતિક વિશ્લેષણની મૂળભૂત બાબતો. એમ., 1976 - એક નાનું પુસ્તક, ખૂબ જ સ્પષ્ટ અને સંક્ષિપ્તમાં લખાયેલું.

વધતી મુશ્કેલીની સમસ્યાઓ:

• જી. પોલિયા, જી. સેજ,વિશ્લેષણમાંથી સમસ્યાઓ અને પ્રમેય. ભાગ 1, ભાગ 2, 1978. ( સૌથી વધુસામગ્રી TFKP નો સંદર્ભ આપે છે)
• પાસ્કલ, ઇ.(નાપોલી). Esercizii, 1895; 2 આવૃત્તિ, 1909 // ઇન્ટરનેટ આર્કાઇવ

ડિરેક્ટરીઓ

ઉત્તમ કામ કરે છે

• લ'હોપિટલ. અનલિસિસ ઓફ અનલિસિસ // મેટ. EqWorld પર વિશ્લેષણ
• બર્નુલી, જોહાન. Die erste Integrelrechnunug.લેઇપઝિગ-બર્લિન, 1914.
• યુલર. વિશ્લેષણનો પરિચય, વિભેદક કેલ્ક્યુલસ, ઇન્ટીગ્રલ કેલ્ક્યુલસ //મેટ. EqWorld પર વિશ્લેષણ (એનાલિસિસના પરિચયનો બીજો ભાગ ભૂલ સાથે સાચવવામાં આવ્યો હતો)
• કોચી. સારાંશવિભેદક અને અભિન્ન કલન પર પાઠ // મેટ. EqWorld પર વિશ્લેષણ
• તોફાન. વિશ્લેષણ કોર્સ. T.1,2 - ઉત્તમ અભ્યાસક્રમપેરિસિયન પોલિટેકનિક શાળા 1830.
• ગુરસા ઇ. ગણિત કોર્સ. વિશ્લેષણ તા. 1.1, 1.2 // સાદડી. EqWorld પર વિશ્લેષણ

ઇતિહાસ પુસ્તકો

• કેસ્ટનર, અબ્રાહમ ગોટગેલ્ફ. Geschichte der Mathematik. 4 વોલ્યુમો, ગોટિંગેન, 1796-1800
• કેન્ટોર, મોરિટ્ઝ. Vorlesungen über geschichte der mathematikલેઇપઝિગ: બી. જી. ટ્યુબનર, - . બી.ડી. 1, બી.ડી. 2, બી.ડી. 3, બી.ડી. 4
• એ.પી. યુશ્કેવિચ દ્વારા સંપાદિત ગણિતનો ઇતિહાસ (ત્રણ ભાગમાં):

• માર્કશેવિચ એ.આઈ. વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના સિદ્ધાંતના ઇતિહાસ પર નિબંધો. 1951
• વિલીટનર જી. ડેસકાર્ટેસથી 19મી સદીના મધ્ય સુધી ગણિતનો ઇતિહાસ. 1960
• પ્રથમ રશિયન પાઠયપુસ્તકસાદડી અનુસાર. વિશ્લેષણ: M.E. વશચેન્કો-ઝાખારચેન્કો, બીજગણિત વિશ્લેષણ અથવા ઉચ્ચ બીજગણિત. 1887

નોંધો

1. બુધ., દા.ત. કોર્નેલ અન કોર્સ
2. ન્યુટન આઈ. ગાણિતિક કાર્યો . એમ, 1937.
3. લીબનિઝ //એક્ટા એરોડિટોરમ, 1684. L.M.S., વોલ્યુમ V, p. 220-226. રુસ. ભાષાંતર.: Uspekhi Mat. વિજ્ઞાન, વોલ્યુમ 3, વિ. 1 (23), પૃ. 166-173.
4. લ'હોપિટલ. અનંત વિશ્લેષણ. M.-L.: GTTI, 1935. (ત્યારબાદ: L'Hopital) // Mat. EqWorld પર વિશ્લેષણ
5. L'Hopital, ch. 1, def. 2.
6. L'Hopital, ch. 4, def. 1.
7. L'Hopital, ch. 1, જરૂરિયાત 1.
8. L'Hopital, ch. 1, જરૂરિયાત 2.
9. L'Hopital, ch. 2, def.
10. L'Hopital, § 46.
11. L'Hopital કંઈક બીજું વિશે ચિંતિત છે: ડીyતેના માટે સેગમેન્ટની લંબાઈ અને નકારાત્મક હોવાનો અર્થ શું છે તે સમજાવવું જરૂરી છે. § 8-10 માં કરવામાં આવેલી ટિપ્પણીનો અર્થ ઘટવા સાથે પણ સમજી શકાય છે yવૃદ્ધિ સાથે xલખવું જોઈએ ડીxy = yડીx − xડીy , પરંતુ આનો વધુ ઉપયોગ થતો નથી.
12. L'Hopital, § 46.
13. બર્નુલી, જોહાન. Die erste Integrelrechnunug.લેઇપઝિગ-બર્લિન, 1914.

વિદ્યાર્થીએ આવશ્યક છે:

જાણો:

એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાનું નિર્ધારણ;

એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાના ગુણધર્મો;

· સૂત્રો અદ્ભુત મર્યાદા;

· એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યતાનું નિર્ધારણ,

સતત કાર્યોના ગુણધર્મો;

ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યા, તેની ભૌમિતિક અને ભૌતિક અર્થ; ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ, ભિન્નતા નિયમો;

વ્યુત્પન્નની ગણતરી માટેનો નિયમ જટિલ કાર્ય; કાર્યના વિભેદકની વ્યાખ્યા, તેના ગુણધર્મો; ડેરિવેટિવ્ઝની વ્યાખ્યા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના તફાવતો; કાર્યના અંતિમ ભાગનું નિર્ધારણ, એક બહિર્મુખ કાર્ય, વળાંક બિંદુઓ, એસિમ્પ્ટોટ્સ;

· અનિશ્ચિત અવિભાજ્યની વ્યાખ્યા, તેના ગુણધર્મો, ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ;

ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને અને અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય માટે ભાગો દ્વારા સંકલન સૂત્રો;

ચોક્કસ અવિભાજ્યની વ્યાખ્યા, તેના ગુણધર્મો, અભિન્ન કલનનું મૂળભૂત સૂત્ર - ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર;

ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને અને ચોક્કસ અવિભાજ્ય માટે ભાગો દ્વારા સંકલન સૂત્રો;

· ભૌમિતિક અર્થચોક્કસ અભિન્ન, ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ.

સક્ષમ થાઓ:

ક્રમ અને કાર્યોની મર્યાદાની ગણતરી કરો; અનિશ્ચિતતાઓ જાહેર કરો;

જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ, ડેરિવેટિવ્ઝ અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના તફાવતની ગણતરી કરો;

· ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા અને ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો;

ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોનું સંશોધન કરો અને તેમના આલેખ બનાવો.

ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અને ભાગો દ્વારા અનિશ્ચિત અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરો;

· તર્કસંગત, અતાર્કિક અને કેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને એકીકૃત કરો, લાગુ કરો સાર્વત્રિક અવેજી; પ્લેન આકૃતિઓના ક્ષેત્રો શોધવા માટે ચોક્કસ અભિન્ન અંગ લાગુ કરો.

કાર્ય મર્યાદા. કાર્યની મર્યાદાના ગુણધર્મો. એકતરફી મર્યાદા. બે કાર્યોના સરવાળા, ઉત્પાદન અને ભાગની મર્યાદા. સતત કાર્યો, તેમની મિલકતો. પ્રાથમિક અને જટિલ કાર્યોની સાતત્ય. નોંધપાત્ર મર્યાદા.

કાર્યના વ્યુત્પન્નનું નિર્ધારણ. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન. કાર્યની ભિન્નતા. કાર્ય વિભેદક. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. ભિન્નતાના નિયમો: સરવાળો, ઉત્પાદન અને ભાગનું વ્યુત્પન્ન. ઉચ્ચ ઓર્ડરના વ્યુત્પન્ન અને તફાવત. અનિશ્ચિતતાઓને ઉજાગર કરવી. વધારતા અને ઘટતા કાર્યો, વધારો અને ઘટાડાની શરતો. કાર્યોની ચરમસીમા, જરૂરી સ્થિતિએક ચરમસીમાનું અસ્તિત્વ. પ્રથમ વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમા શોધવી. બહિર્મુખ કાર્યો. ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ. એસિમ્પ્ટોટ્સ. સંપૂર્ણ અભ્યાસકાર્યો

અનિશ્ચિત અભિન્ન, તેના ગુણધર્મો. મૂળભૂત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ. ભાગો દ્વારા એકીકરણ. એકીકરણ તર્કસંગત કાર્યો. કેટલાક સંકલન અતાર્કિક કાર્યો. સાર્વત્રિક અવેજી.

ચોક્કસ અભિન્ન, તેના ગુણધર્મો. મૂળભૂત સૂત્રઅભિન્ન કલન. ચલના ફેરફાર દ્વારા અને ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ભાગો દ્વારા એકીકરણ. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની એપ્લિકેશનો.

ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની એક શાખા છે જે ડેરિવેટિવ્ઝ, ડિફરન્સિયલ્સ અને ફંક્શનના અભ્યાસમાં તેમના ઉપયોગનો અભ્યાસ કરે છે.

દેખાવનો ઇતિહાસ

17મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ એક સ્વતંત્ર શિસ્ત બની ગયું હતું, જે ન્યૂટન અને લીબનીઝના કાર્યોને આભારી છે, જેમણે ભિન્નતાની ગણતરીમાં મુખ્ય સિદ્ધાંતો ઘડ્યા હતા અને એકીકરણ અને ભિન્નતા વચ્ચેના જોડાણોની નોંધ લીધી હતી. તે ક્ષણથી, અવિભાજ્યની ગણતરી સાથે શિસ્તનો વિકાસ થયો, જેનાથી ગાણિતિક વિશ્લેષણનો આધાર બન્યો. આ ગણતરીઓના દેખાવે એક નવું ખોલ્યું આધુનિક સમયગાળોવી ગાણિતિક વિશ્વઅને વિજ્ઞાનમાં નવી શાખાઓના ઉદભવનું કારણ બન્યું. તેણે વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીમાં ગાણિતિક વિજ્ઞાનને લાગુ કરવાની શક્યતાને પણ વિસ્તૃત કરી.

મૂળભૂત ખ્યાલો

વિભેદક કેલ્ક્યુલસ પર આધારિત છે મૂળભૂત ખ્યાલોગણિત તેઓ છે: સાતત્ય, કાર્ય અને મર્યાદા. થોડા સમય પછી તેઓએ સ્વીકાર્યું આધુનિક દેખાવ, અભિન્ન અને વિભેદક કલન માટે આભાર.

સર્જન પ્રક્રિયા

લાગુ સ્વરૂપમાં વિભેદક કેલ્ક્યુલસની રચના, અને પછી વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિનિકોલાઈ કુઝાન્સ્કી દ્વારા બનાવવામાં આવેલ ફિલોસોફિકલ થિયરીના ઉદભવ પહેલા થયું હતું. તેમના કાર્યો ગણવામાં આવે છે ઉત્ક્રાંતિ વિકાસપ્રાચીન વિજ્ઞાનના ચુકાદાઓમાંથી. ફિલસૂફ પોતે ગણિતશાસ્ત્રી ન હતા તે હકીકત હોવા છતાં, ગાણિતિક વિજ્ઞાનના વિકાસમાં તેમનું યોગદાન નિર્વિવાદ છે. કુઝાન્સ્કી એ સમયના ગણિત પર શંકા દર્શાવતા, વિજ્ઞાનના સૌથી ચોક્કસ ક્ષેત્ર તરીકે અંકગણિતને ધ્યાનમાં લેવાનો ત્યાગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક હતા.

પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસેથી સાર્વત્રિક માપદંડત્યાં એક એકમ હતું, જ્યારે ફિલોસોફરે ચોક્કસ સંખ્યાને બદલે નવા માપ તરીકે અનંતની દરખાસ્ત કરી હતી. આ સંદર્ભે, માં ચોકસાઈની રજૂઆત ગાણિતિક વિજ્ઞાન. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન, તેમના મતે, તર્કસંગત અને બૌદ્ધિકમાં વહેંચાયેલું છે. બીજો વધુ સચોટ છે, વૈજ્ઞાનિક અનુસાર, કારણ કે પ્રથમ માત્ર અંદાજિત પરિણામ આપે છે.

આઈડિયા

વિભેદક કેલ્ક્યુલસમાં મૂળભૂત વિચાર અને ખ્યાલ ચોક્કસ બિંદુઓના નાના પડોશમાં કાર્ય સાથે સંબંધિત છે. આ કરવા માટે, એક કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે એક ગાણિતિક ઉપકરણ બનાવવું જરૂરી છે જેનું વર્તન નાના પડોશમાં હોય છે. સ્થાપિત બિંદુઓબહુપદીના વર્તનની નજીક અથવા રેખીય કાર્ય. આ વ્યુત્પન્ન અને વિભેદકની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.

દેખાવને કારણે થયો હતો મોટી સંખ્યામાંના કાર્યો કુદરતી વિજ્ઞાનઅને ગણિતશાસ્ત્રીઓ, જેમણે એક પ્રકારની મર્યાદાના મૂલ્યો શોધવા તરફ દોરી.

ઉદાહરણ તરીકે આપવામાં આવેલ મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક, ઉચ્ચ શાળામાં શરૂ કરીને, સીધી રેખા સાથે આગળ વધતા બિંદુની ગતિ નક્કી કરવી અને આ વળાંક પર સ્પર્શરેખા બાંધવી. વિભેદક આનાથી સંબંધિત છે કારણ કે પ્રશ્નમાં રેખીય કાર્ય બિંદુના નાના પડોશમાં ફંક્શનનું અનુમાન કરવું શક્ય છે.

વાસ્તવિક ચલના ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની વિભાવનાની તુલનામાં, ભિન્નતાની વ્યાખ્યા ફક્ત ફંક્શનમાં બદલાય છે સામાન્ય પ્રકૃતિ, ખાસ કરીને એક યુક્લિડિયન અવકાશની બીજી પરની છબી.

વ્યુત્પન્ન

બિંદુને ઓય અક્ષની દિશામાં જવા દો; ચાલો x ને સમય તરીકે લઈએ, જે ક્ષણની ચોક્કસ શરૂઆતથી ગણવામાં આવે છે. આવી હિલચાલનું વર્ણન ફંક્શન y=f(x) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જે ખસેડવામાં આવતા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની દરેક ક્ષણ xને સોંપવામાં આવે છે. આ કાર્યમિકેનિક્સમાં તેને ગતિનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. ગતિની મુખ્ય લાક્ષણિકતા, ખાસ કરીને અસમાન ગતિ, એ છે કે જ્યારે કોઈ બિંદુ મિકેનિક્સના નિયમ અનુસાર ઓય અક્ષ સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે રેન્ડમ સમયે x તે સંકલન f(x) મેળવે છે. સમયની ક્ષણે x + Δx, જ્યાં Δx એ સમયની વૃદ્ધિ દર્શાવે છે, તેનું સંકલન f(x + Δx) હશે. આ રીતે સૂત્ર Δy = f(x + Δx) - f(x) રચાય છે, જેને ફંક્શનની વૃદ્ધિ કહેવામાં આવે છે. તે x થી x + Δx સુધીના સમયના બિંદુ દ્વારા પ્રવાસ કરેલ પાથનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

સમયની ક્ષણે આ ગતિની ઘટનાના સંબંધમાં, એક વ્યુત્પન્ન રજૂ કરવામાં આવે છે. મનસ્વી કાર્યમાં, નિશ્ચિત બિંદુ પર વ્યુત્પન્નને મર્યાદા કહેવામાં આવે છે (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો). તે ચોક્કસ પ્રતીકો દ્વારા સૂચવી શકાય છે:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયાને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.

અનેક ચલોના કાર્યનું વિભેદક કેલ્ક્યુલસ

આ કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઘણા ચલો સાથેના કાર્યનો અભ્યાસ કરતી વખતે થાય છે. બે ચલો x અને y જોતાં, બિંદુ A પર xના સંદર્ભમાં આંશિક વ્યુત્પન્નને નિશ્ચિત y સાથે xના સંદર્ભમાં આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે.

નીચેના ચિહ્નો દ્વારા સૂચવવામાં આવી શકે છે:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x અથવા ∂f(x,y)’/∂x.

જરૂરી કૌશલ્યો

સફળતાપૂર્વક શીખવા અને પ્રસરણને ઉકેલવામાં સક્ષમ થવા માટે, એકીકરણ અને ભિન્નતામાં કુશળતા જરૂરી છે. વિભેદક સમીકરણોને સમજવાનું સરળ બનાવવા માટે, તમારી પાસે ડેરિવેટિવ્ઝના વિષયની સારી સમજ હોવી જોઈએ અને ગર્ભિત રીતે વ્યુત્પન્નને કેવી રીતે જોવું તે શીખવામાં પણ નુકસાન થશે નહીં. આપેલ કાર્ય. આ એ હકીકતને કારણે છે કે શીખવાની પ્રક્રિયામાં તમારે ઘણીવાર અભિન્ન અને ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરવો પડશે.

વિભેદક સમીકરણોના પ્રકાર

લગભગ બધામાં પરીક્ષણોતેની સાથે 3 પ્રકારના સમીકરણો સંકળાયેલા છે: સજાતીય, વિભાજિત ચલો સાથે, રેખીય અસંગત.

સમીકરણોના દુર્લભ પ્રકારો પણ છે: સાથે સંપૂર્ણ તફાવતો, Bernoulli સમીકરણો અને અન્ય.

ઉકેલની મૂળભૂત બાબતો

શરૂ કરવા માટે, આપણે બીજગણિતીય સમીકરણો યાદ કરવા જોઈએ શાળા અભ્યાસક્રમ. તેઓ ચલો અને સંખ્યાઓ ધરાવે છે. સામાન્ય સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તમારે સંતોષકારક સંખ્યાઓનો સમૂહ શોધવાની જરૂર છે આપેલ શરત. એક નિયમ તરીકે, આવા સમીકરણોમાં ફક્ત એક જ મૂળ હતું, અને શુદ્ધતા ચકાસવા માટે, આ મૂલ્યને અજાણ્યાની જગ્યાએ બદલવાની જરૂર હતી.

વિભેદક સમીકરણ આના જેવું જ છે. IN સામાન્ય કેસઆવા પ્રથમ ઓર્ડર સમીકરણમાં શામેલ છે:

• સ્વતંત્ર ચલ.
• પ્રથમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.
• કાર્ય અથવા આશ્રિત ચલ.

IN કેટલાક કિસ્સાઓમાંઅજ્ઞાતમાંથી એક, x અથવા y, ગુમ થઈ શકે છે, પરંતુ આ એટલું મહત્વનું નથી, કારણ કે પ્રથમ વ્યુત્પન્નની હાજરી, ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્સ વિના, ઉકેલ અને વિભેદક કલન સાચા હોવા માટે જરૂરી છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આપેલ અભિવ્યક્તિને બંધબેસતા તમામ કાર્યોનો સમૂહ શોધવો. કાર્યોનો સમાન સમૂહ ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે સામાન્ય નિર્ણયડીયુ.

ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ

ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની શાખાઓમાંની એક છે જે અભિન્ન, ગુણધર્મો અને તેની ગણતરીની પદ્ધતિઓની વિભાવનાનો અભ્યાસ કરે છે.

વિસ્તારની ગણતરી કરતી વખતે ઘણીવાર અભિન્નની ગણતરી થાય છે વક્ર આકૃતિ. આ વિસ્તારનો અર્થ એ છે કે આપેલ આકૃતિમાં અંકિત બહુકોણનો વિસ્તાર તેની બાજુઓમાં ધીમે ધીમે વધારો સાથે વલણ ધરાવે છે તે મર્યાદા છે, જ્યારે આ બાજુઓ અગાઉ ઉલ્લેખિત કોઈપણ મનસ્વી નાના મૂલ્ય કરતાં ઓછી કરી શકાય છે.

મનસ્વી ક્ષેત્રની ગણતરી કરવાનો મુખ્ય વિચાર ભૌમિતિક આકૃતિલંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, તે સાબિત કરે છે કે તેનો વિસ્તાર તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ઉત્પાદન સમાન છે. જ્યારે અમે વાત કરી રહ્યા છીએભૂમિતિ વિશે, પછી બધા બાંધકામો શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે, અને પછી લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર તર્કસંગત અર્થ. વિસ્તારની ગણતરી કરતી વખતે જમણો ત્રિકોણઆપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ કે જો આપણે એક જ ત્રિકોણને બાજુમાં મૂકીએ તો એક લંબચોરસ બનશે. સમાંતરગ્રામમાં, લંબચોરસ અને ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને સમાન, પરંતુ થોડી વધુ જટિલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરવામાં આવે છે. બહુકોણમાં, તેમાં સમાવિષ્ટ ત્રિકોણ દ્વારા વિસ્તારની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

જ્યારે મનસ્વી વળાંકનો વિસ્તાર નક્કી કરો આ પદ્ધતિકરશે નહીં. જો તમે તેને માં તોડી નાખો એકમ ચોરસ, પછી ખાલી જગ્યાઓ હશે. આ કિસ્સામાં, તેઓ બે કવરેજનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, જેમાં ઉપર અને નીચે લંબચોરસ હોય છે, પરિણામે તેઓ ફંક્શનના ગ્રાફનો સમાવેશ કરે છે અને કરતા નથી. અહીં જે મહત્વનું છે તે આ લંબચોરસમાં વિભાજન કરવાની પદ્ધતિ છે. ઉપરાંત, જો આપણે વધુને વધુ નાના વિભાગો લઈએ, તો ઉપર અને નીચેનો વિસ્તાર ચોક્કસ મૂલ્ય પર એકરૂપ થવો જોઈએ.

આપણે લંબચોરસમાં વિભાજન કરવાની પદ્ધતિ પર પાછા ફરવું જોઈએ. ત્યાં બે લોકપ્રિય પદ્ધતિઓ છે.

રીમેને સબગ્રાફના ક્ષેત્ર તરીકે લીબનીઝ અને ન્યુટન દ્વારા બનાવેલ ઇન્ટિગ્રલની વ્યાખ્યાને ઔપચારિક બનાવ્યું. આ કિસ્સામાં, અમે ચોક્કસ સંખ્યામાં વર્ટિકલ લંબચોરસ ધરાવતા આકૃતિઓ ધ્યાનમાં લીધા અને સેગમેન્ટને વિભાજીત કરીને મેળવ્યા. જ્યારે, પાર્ટીશન ઘટાડતી વખતે, ત્યાં એક મર્યાદા છે કે જેના માટે વિસ્તાર ઘટાડવામાં આવે છે સમાન આકૃતિ, આ મર્યાદા આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનનું રીમેન ઇન્ટિગ્રલ કહેવાય છે.

બીજી પદ્ધતિ લેબેસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલનું નિર્માણ છે, જેમાં વ્યાખ્યાયિત ડોમેનને ઇન્ટિગ્રેન્ડના ભાગોમાં વિભાજીત કરવાનો અને પછી આ ભાગોમાં પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી અભિન્ન રકમનું સંકલન કરવું, તેના મૂલ્યોની શ્રેણીને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરવી, અને પછી તેનો સારાંશ આ ઇન્ટિગ્રલ્સની વ્યસ્ત ઈમેજોના અનુરૂપ માપ સાથે.

આધુનિક લાભો

ડિફરન્શિયલ અને ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના અભ્યાસ માટેના મુખ્ય માર્ગદર્શિકાઓમાંનું એક ફિચટેનહોલ્ટ્ઝ દ્વારા લખવામાં આવ્યું હતું - "કોર્સ ઑફ ડિફરન્શિયલ અને ઇન્ટિગ્રલ કૅલ્ક્યુલસ". તેમનું પાઠ્યપુસ્તક ગાણિતિક વિશ્લેષણના અભ્યાસ માટે મૂળભૂત માર્ગદર્શિકા છે, જે અન્ય ભાષાઓમાં ઘણી આવૃત્તિઓ અને અનુવાદોમાંથી પસાર થયું છે. યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવેલ છે અને લાંબા સમયથી ઘણી રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમુખ્ય અભ્યાસ સહાયક તરીકે. સૈદ્ધાંતિક ડેટા પ્રદાન કરે છે અને વ્યવહારુ કુશળતા. પ્રથમ 1948 માં પ્રકાશિત.

કાર્ય સંશોધન અલ્ગોરિધમ

વિભેદક કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે પહેલાથી વ્યાખ્યાયિત અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

1. કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.
2. આપેલ સમીકરણના મૂળ શોધો.
3. એક્સ્ટ્રીમાની ગણતરી કરો. આ કરવા માટે, તમારે વ્યુત્પન્ન અને પોઈન્ટની ગણતરી કરવાની જરૂર છે જ્યાં તે શૂન્યની બરાબર છે.
4. અમે પરિણામી મૂલ્યને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.

વિભેદક સમીકરણોના પ્રકાર

પ્રથમ ક્રમના DEs (અન્યથા, એક ચલનું વિભેદક કેલ્ક્યુલસ) અને તેમના પ્રકારો:

• વિભાજિત સમીકરણ: f(y)dy=g(x)dx.
• સૌથી સરળ સમીકરણો, અથવા એક ચલના કાર્યનું વિભેદક કલન, જેમાં સૂત્ર છે: y"=f(x).
• પ્રથમ ક્રમનો રેખીય અસંગત DE: y"+P(x)y=Q(x).
• બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણ: y"+P(x)y=Q(x)y a.
• કુલ તફાવતો સાથેનું સમીકરણ: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો અને તેમના પ્રકારો:

• ગુણાંકના સ્થિર મૂલ્યો સાથે બીજા ક્રમનું રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ: y n +py"+qy=0 p, q એ R થી સંબંધિત છે.
• રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ સાથે સતત મૂલ્યગુણાંક: y n +py"+qy=f(x).
• રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ: y n +p(x)y"+q(x)y=0, અને અસંગત સમીકરણબીજો ક્રમ: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

ઉચ્ચ ઓર્ડર અને તેમના પ્રકારોના વિભેદક સમીકરણો:

• ઓર્ડર ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપતું વિભેદક સમીકરણ: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• રેખીય સમીકરણ ઉચ્ચ ઓર્ડરએકરૂપ: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...f 1 y"+f 0 y=0, અને અસંગત: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...f 1 y"+f 0 y=f(x).

વિભેદક સમીકરણ સાથે સમસ્યા હલ કરવાના તબક્કા

રિમોટ કંટ્રોલની મદદથી માત્ર ગાણિતિક અથવા શારીરિક પ્રશ્નો, પણ જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર અને અન્ય બાબતોની વિવિધ સમસ્યાઓ. વિષયોની વિશાળ વિવિધતા હોવા છતાં, આવી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે એક જ તાર્કિક ક્રમનું પાલન કરવું જોઈએ:

1. DU દોરવાનું. સૌથી વધુ એક મુશ્કેલ તબક્કાઓ, જેને મહત્તમ ચોકસાઈની જરૂર છે, કારણ કે કોઈપણ ભૂલ સંપૂર્ણપણે ખોટા પરિણામો તરફ દોરી જશે. પ્રક્રિયાને પ્રભાવિત કરતા તમામ પરિબળો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ અને પ્રારંભિક શરતો. તે તથ્યો અને તાર્કિક તારણો પર આધારિત પણ હોવું જોઈએ.
2. સંકલિત સમીકરણનો ઉકેલ. આ પ્રક્રિયા પ્રથમ કરતાં સરળબિંદુ, કારણ કે તેને માત્ર ગાણિતિક ગણતરીઓના કડક અમલની જરૂર છે.
3. પ્રાપ્ત પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને મૂલ્યાંકન. પરિણામના વ્યવહારુ અને સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યને સ્થાપિત કરવા માટે પરિણામી ઉકેલનું મૂલ્યાંકન કરવું જોઈએ.

દવામાં વિભેદક સમીકરણોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ

દવાના ક્ષેત્રમાં DE નો ઉપયોગ રોગચાળાના નિર્માણમાં જોવા મળે છે ગાણિતિક મોડેલ. તે જ સમયે, આપણે એ ન ભૂલવું જોઈએ કે આ સમીકરણો જીવવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રમાં પણ જોવા મળે છે, જે દવાની નજીક છે, કારણ કે વિવિધ જૈવિક વસ્તીઅને રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓમાનવ શરીરમાં.

રોગચાળાના ઉપરના ઉદાહરણમાં, આપણે એક અલગ સમાજમાં ચેપના ફેલાવાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. રહેવાસીઓને ત્રણ પ્રકારમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે:

• ચેપગ્રસ્ત, સંખ્યા x(t), જેમાં વ્યક્તિઓ, ચેપના વાહકોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી પ્રત્યેક ચેપી છે (ઉષ્ણતામાન સમયગાળો ટૂંકો છે).
• બીજા પ્રકારમાં સંવેદનશીલ વ્યક્તિઓ y(t)નો સમાવેશ થાય છે, જે સંક્રમિત વ્યક્તિઓના સંપર્ક દ્વારા સંક્રમિત થવા માટે સક્ષમ હોય છે.
• ત્રીજા પ્રકારમાં બિન-સંવેદનશીલ વ્યક્તિઓ z(t)નો સમાવેશ થાય છે, જે રોગપ્રતિકારક છે અથવા રોગને કારણે મૃત્યુ પામ્યા છે.

વ્યક્તિઓની સંખ્યા સતત છે, જન્મ નોંધણી, કુદરતી મૃત્યુઅને સ્થળાંતરને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી. બે અંતર્ગત પૂર્વધારણાઓ હશે.

ચોક્કસ સમય બિંદુ પર રોગિષ્ઠતાની ટકાવારી x(t)y(t) ની બરાબર છે (ધારણા એ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે કે બીમાર લોકોની સંખ્યા બીમાર અને સંવેદનશીલ પ્રતિનિધિઓ વચ્ચેના આંતરછેદની સંખ્યાના પ્રમાણસર છે, જે પ્રથમ અંદાજ x(t)y(t) ના પ્રમાણસર હશે, તેથી, બીમાર લોકોની સંખ્યા વધે છે, અને સંવેદનશીલ લોકોની સંખ્યા સૂત્ર ax(t)y(t) દ્વારા ગણવામાં આવે છે તે દરે ઘટે છે. (a > 0).

રોગપ્રતિકારક શક્તિ પ્રાપ્ત કરનાર અથવા મૃત્યુ પામનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા એવા દરે વધે છે જે કેસની સંખ્યાના પ્રમાણસર હોય છે, bx(t) (b > 0).

પરિણામે, તમે ત્રણેય સૂચકાંકોને ધ્યાનમાં લઈને સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો અને તેના આધારે તારણો દોરી શકો છો.

અર્થશાસ્ત્રમાં ઉપયોગનું ઉદાહરણ

વિભેદક કેલ્ક્યુલસનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે આર્થિક વિશ્લેષણ. આર્થિક વિશ્લેષણમાં મુખ્ય કાર્ય અર્થશાસ્ત્રમાંથી જથ્થાઓનો અભ્યાસ છે જે ફંક્શનના સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે. કરમાં વધારો થયા પછી તરત જ આવકમાં ફેરફાર, ફરજોની રજૂઆત, જ્યારે ઉત્પાદનોની કિંમતમાં ફેરફાર થાય ત્યારે કંપનીની આવકમાં ફેરફાર, નિવૃત્ત કર્મચારીઓને નવા સાધનો સાથે બદલવાનું શક્ય તેટલા પ્રમાણમાં શક્ય છે, જેવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે તેનો ઉપયોગ થાય છે. આવા પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે, ઇનપુટ વેરીએબલમાંથી એક લિંક ફંક્શન બનાવવું જરૂરી છે, જેનો અભ્યાસ પછી વિભેદક કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

IN આર્થિક ક્ષેત્રસૌથી વધુ શ્રેષ્ઠ સૂચકાંકો શોધવા માટે તે ઘણીવાર જરૂરી છે: મહત્તમ શ્રમ ઉત્પાદકતા, સૌથી વધુ આવક, સૌથી ઓછો ખર્ચ, વગેરે. આવા દરેક સૂચક એક અથવા વધુ દલીલોનું કાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદનને શ્રમ અને મૂડી ઇનપુટ્સના કાર્ય તરીકે ગણી શકાય. આ સંદર્ભે, એક અથવા વધુ ચલોના કાર્યના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમને શોધવા માટે યોગ્ય મૂલ્ય શોધવાનું ઘટાડી શકાય છે.

આ પ્રકારની સમસ્યાઓ આત્યંતિક સમસ્યાઓનો વર્ગ બનાવે છે આર્થિક ક્ષેત્ર, જેના ઉકેલ માટે વિભેદક કેલ્ક્યુલસની જરૂર છે. જ્યારે કોઈ આર્થિક સૂચકને બીજા સૂચકના કાર્ય તરીકે ઘટાડવા અથવા મહત્તમ કરવાની જરૂર હોય, તો મહત્તમ બિંદુએ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલોનો ગુણોત્તર શૂન્ય તરફ વળશે જો દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે. નહિંતર, જ્યારે સમાન વલણકંઈક હકારાત્મક માટે પ્રયત્ન કરે છે અથવા નકારાત્મક મૂલ્ય, ઉલ્લેખિત બિંદુ યોગ્ય નથી, કારણ કે દલીલને વધારતી અથવા ઘટાડતી વખતે, તમે બદલી શકો છો આશ્રિત જથ્થોજરૂરી દિશામાં. ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસની પરિભાષામાં, આનો અર્થ એ થશે કે ફંક્શનના મહત્તમ માટે જરૂરી શરત તેના વ્યુત્પન્નનું શૂન્ય મૂલ્ય છે.

અર્થશાસ્ત્રમાં, ઘણી વખત અનેક ચલો સાથે ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યાઓ હોય છે, કારણ કે આર્થિક સૂચકાંકોઘણા પરિબળોથી બનેલા છે. સમાન પ્રશ્નોવિભેદક ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ ચલોના કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સમાન કાર્યોમહત્તમ અને ઘટાડી શકાય તેવા ફંક્શન જ નહીં, પરંતુ પ્રતિબંધો પણ શામેલ છે. સમાન પ્રશ્નો લાગુ પડે છે ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ, અને તે વિજ્ઞાનની આ શાખા પર આધારિત, ખાસ વિકસિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

અર્થશાસ્ત્રમાં વપરાતી વિભેદક ગણતરીની પદ્ધતિઓ પૈકી, એક મહત્વપૂર્ણ વિભાગ મર્યાદા વિશ્લેષણ છે. આર્થિક ક્ષેત્રમાં, આ શબ્દ તેમના મર્યાદિત સૂચકાંકોના વિશ્લેષણના આધારે સર્જન અને વપરાશના જથ્થામાં ફેરફાર કરતી વખતે ચલ સૂચકાંકો અને પરિણામોનો અભ્યાસ કરવા માટેની તકનીકોના સમૂહને સૂચવે છે. મર્યાદા સૂચકકેટલાક ચલો માટે વ્યુત્પન્ન અથવા આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ગણવામાં આવે છે.

અનેક ચલોનું વિભેદક કલન એ ગાણિતિક વિશ્લેષણના ક્ષેત્રમાં એક મહત્વપૂર્ણ વિષય છે. માટે વિગતવાર અભ્યાસતમે ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે વિવિધ શિક્ષણ સહાયનો ઉપયોગ કરી શકો છો. એક સૌથી પ્રખ્યાત ફિચટેનહોલ્ટ્ઝ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું - "કોર્સ ઑફ ડિફરન્શિયલ અને ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ". નામ સૂચવે છે તેમ, વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે અભિન્ન સાથે કામ કરવાની કુશળતા નોંધપાત્ર મહત્વ ધરાવે છે. જ્યારે એક ચલના કાર્યનું વિભેદક કલન થાય છે, ત્યારે ઉકેલ સરળ બને છે. તેમ છતાં, તે નોંધવું જોઈએ, તે સમાન મૂળભૂત નિયમોને આધીન છે. વ્યવહારમાં વિભેદક કેલ્ક્યુલસમાં ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટે, પહેલાથી અસ્તિત્વમાં છે તે અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું પૂરતું છે, જે હાઇસ્કૂલમાં આપવામાં આવે છે અને જ્યારે નવા ચલો રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે જ તે થોડું જટિલ હોય છે.

નિયંત્રણ કાર્યોના વિકલ્પો

પૂર્ણ-સમયના વિદ્યાર્થીઓ માટે

ગણિતની ફેકલ્ટી

ભાગ 5

સેન્ટ પીટર્સબર્ગ

નામવાળી રશિયન સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટીના ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને આરઆઈએસ વિભાગના નિર્ણય દ્વારા પ્રકાશિત. A.I. હર્ઝેન

મેથડોલોજીકલ મેન્યુઅલ રશિયન સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટીના ગણિત ફેકલ્ટીના 1-3 વર્ષના પૂર્ણ-સમયના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે. A.I. હર્ઝેન.

ગાણિતિક પૃથ્થકરણ માટેના કાર્યક્રમ અનુસાર, મેન્યુઅલમાં "કેટલાક ચલોના કાર્યોના વિભેદક કેલ્ક્યુલસ", "મલ્ટીપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ અને તેમની એપ્લિકેશન્સ" વિષયો પર વ્યક્તિગત હોમ ટેસ્ટના 28 વિવિધ સંસ્કરણો શામેલ છે. પરીક્ષણ વિકલ્પો પહેલાં, કેટલીક સૈદ્ધાંતિક માહિતી આપવામાં આવે છે અને ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, જેનો ઉકેલ તેમના માટે પદ્ધતિસરની સૂચનાઓ સાથે છે.

મેન્યુઅલમાંની સામગ્રીનો ઉપયોગ ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓના પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન વિભાગોમાં પ્રાયોગિક વર્ગો, પરીક્ષણો અને પરીક્ષણો માટે થઈ શકે છે.

સિનિયર લેક્ચરર ઓ.એસ. કોર્સકોવા,

ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર, સહાયક કે.જી. મેઝેવિચ

સમીક્ષક: વિભાગના વડા ગણિત નામ આપવામાં આવ્યું રશિયન સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટીનું વિશ્લેષણ. A.I. હર્ઝેન,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. એમ.: શિક્ષણ, 1972, વોલ્યુમ 1,2.

Vilenkin N.Ya. અને અન્ય ગાણિતિક વિશ્લેષણના કોર્સ માટે સમસ્યા પુસ્તક. - એમ.: શિક્ષણ, 1971. ભાગો 1,2.

કુઝનેત્સોવ એ.એ. ઉચ્ચ ગણિતમાં કાર્યોનો સંગ્રહ., 1983.

એમ.:

સ્નાતક શાળા

કુદ્ર્યાવત્સેવ એલ.ડી. ગાણિતિક વિશ્લેષણનો કોર્સ. એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1988. ટી. 1,2.કુદ્ર્યાવત્સેવ એલ.ડી., કુટાસોવ એ.ડી., ચેખલોવ વી.આઈ., શબુનીન એમ.આઈ.

ગાણિતિક વિશ્લેષણ પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. અનેક ચલોના કાર્યો.

સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 1994.

પોવોલોત્સ્કી A.I., Likhtarnikov L.M. મેટ્રિક જગ્યાઓ.

અનેક ચલોના કાર્યોનું વિભેદક કલન.

ટ્યુટોરીયલ
/ LGPI નામ આપવામાં આવ્યું છે. A.I. હર્ઝેન.-એલ., 1985.
પોવોલોત્સ્કી A.I., Likhtarnikov L.M. અનેક ચલો અને વિભેદક સમીકરણોના કાર્યોનું અભિન્ન કલન. પાઠ્યપુસ્તક / લેનિનગ્રાડ સ્ટેટ પેડાગોજિકલ ઇન્સ્ટિટ્યુટ નામ આપવામાં આવ્યું છે. A.I. હર્ઝેન.-એલ., 1986. ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ.ગાણિતિક વિશ્લેષણની મૂળભૂત બાબતો. - એમ.: નૌકા, 1968. T.1, 2. અનેક ચલોના કાર્યો
.

પરિભાષાનું ક્ષેત્ર અને વિવિધ ચલોના કાર્યનો ગ્રાફ ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ.દરેક બિંદુ દો મેળ ખાતી સંખ્યા. ત્યારે તેઓ કહે છે કે સેટ પર
-ડીનિર્ધારિત

અનેક ચલોનું સંખ્યાત્મક કાર્ય
ઘણા nકહેવાય છે n>2 .

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર
કાર્યો, બિંદુ
દલીલ મેળ ખાતી સંખ્યાકાર્યો

આપણે આગળ બે ચલોના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈશું
. નોંધ કરો કે નીચે જણાવેલ દરેક વસ્તુ કાર્યમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે
.

ચલો, ક્યાંબધા પોઈન્ટનો સમૂહ
, જેના માટે કાર્ય
, વિશ્લેષણાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત, અર્થપૂર્ણ, કુદરતી કહેવાય છે
.

આ કાર્ય.
,
ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યનો અવકાશ

મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા 2 નું એક ખુલ્લું વર્તુળ છે, જે અસમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છેચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ
.

કાર્ય પ્લેનના તે બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત
, જેના માટે કાર્ય
.

આ અસમાનતા બે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:

અને
.

અસમાનતાની પ્રથમ સિસ્ટમ પેરાબોલા પર સ્થિત તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે.
અથવા તેની ઉપર, અને અડધા વિમાનમાં પડેલા
. આ સેટ આકૃતિ 1 માં શેડમાં છે. બીજી સિસ્ટમ ફિગમાં શેડમાં સેટમાં પડેલા પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. 2. પરિણામે, આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ મળેલા સેટ્સનું યુનિયન છે, એટલે કે. સેટ, જે ફિગમાં શેડિંગ દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે. 3.

ચોખા. 1 ફિગ. 2 ફિગ. 3

સ્તર રેખાબધા પોઈન્ટનો સમૂહ
, બિંદુઓનો સમૂહ કહેવાય છે
, સમીકરણને સંતોષે છે
.

સ્તરો સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (અથવા સ્તર સપાટી) કાર્યો nચલ જો n>2.

ઉદાહરણ 2.ચાલો ફંક્શન લેવલની રેખાઓ શોધીએ
.

નોંધ કરો કે કાર્ય સમગ્ર પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
.

સ્તર રેખાઓ બાંધવા માટે તે કોઈપણ માટે જરૂરી છે
પ્લેન, કોઓર્ડિનેટ્સ પરના બિંદુઓનો સમૂહ શોધો x, y જે સમીકરણને સંતોષે છે
. તેથી, જો
, તે
, અને જો
, તે
.

તે સ્પષ્ટ છે કે સાથેનકારાત્મક હોઈ શકતું નથી (આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે સાથેખાતે કાર્ય સ્તર c<0 ખાલી સેટ છે).

ચાલો સ્તર રેખા શોધીએ c=0:

.

એ જ રીતે, વિવિધ માટે સ્તર રેખાઓ જોવા મળે છે с>0.

ફિગ માં. 4 માટે સ્તર રેખાઓ બતાવે છે c=0, c=1અને c=2.

કાર્ય મર્યાદા

સેટ કરો (ત્રિજ્યાનું ખુલ્લું વર્તુળ
એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત
) કહેવાય છે -આસપાસનાપોઈન્ટ
. દ્વારા
આપણે બિંદુના પંચર પડોશીને દર્શાવીશું
.

ડોટ
કહેવાય છે મર્યાદા બિંદુસેટ
, જો આંતરછેદ કોઈપણ હોય -બિંદુની પડોશ
અને ઘણા ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ.કરતાં અન્ય ઓછામાં ઓછા એક બિંદુ સમાવે છે
, એટલે કે માટે

.

નોંધ કરો કે મર્યાદા બિંદુ સમૂહ સાથે સંબંધિત ન હોઈ શકે ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

કાર્ય કરવા દો
સેટ પર વ્યાખ્યાયિત ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ.અને સમયગાળો
- મર્યાદા બિંદુ ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

નંબર એદરેક બિંદુ દો કાર્યની મર્યાદા
બિંદુ પર
, જો કોઈ પડોશી માટે
પોઈન્ટ એ (
) અસ્તિત્વમાં છે - પડોશ
પોઈન્ટ
જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે

કાર્ય મૂલ્ય
નજીકમાં પડે છે
.

આમ,

:



)

:

).

ઉદાહરણ 3.ચાલો તે સાબિત કરીએ
.

નોંધ કરો કે આ કાર્ય બિંદુ (0,0 ) .

કારણ કે
, પછી કોઈપણ માટે
અસ્તિત્વમાં છે
(જેમ કે
) જેમ કે તમામ બિંદુઓ માટે
, સ્થિતિ સંતોષે છે
, અસમાનતા સાચી છે
.

કાર્ય
કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત
, જો
.

કાર્ય કહેવાય છે સેટ પર સતતફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ., જો તે સેટના દરેક બિંદુ પર સતત હોય ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

ઉદાહરણ 4. 1) કાર્ય
બિંદુ (0,0) પર સતત છે કારણ કે
(ઉદાહરણ 3 જુઓ).

2) કાર્ય
બિંદુ (0,0) પર એક વિરામ છે, કારણ કે

.

આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. વિભેદક કાર્ય

કાર્ય કરવા દો
બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત
. જો ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે
અને
, પછી તેઓને બોલાવવામાં આવે છે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝકાર્યો
બિંદુ પર
ચલો દ્વારા x અને yતે મુજબ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે
અને
(અથવા:
અને
).

આંશિક વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે (અથવા ) આનંદ જાણીતા સૂત્રોઅને એક વેરીએબલના ફંક્શનને અલગ પાડવાના નિયમો, બીજા ચલને ધ્યાનમાં લઈને y (અથવા x) સતત મૂલ્ય.

ઉદાહરણ 5.ચાલો ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ
.

જો આપણે ગણીએ y= const, તે - પાવર કાર્યથી x, એટલે જ
.

જો x= const, તે - ઘાતાંકીય કાર્યથી y, અને તેથી
.

કાર્ય
કહેવાય છે બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
, જો ત્યાં સંખ્યાઓ છે એઅને INજેમ કે વધારો

કાર્યો fબિંદુ પર
સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે

જ્યાં
ખાતે
.

સંપૂર્ણ વૃદ્ધિનો મુખ્ય ભાગ
, સંદર્ભે રેખીય
અને
, એટલે કે
, કહેવાય છે સંપૂર્ણ વિભેદકકાર્યો
બિંદુ પર
અને નિયુક્ત થયેલ છે
.

આમ,

.

વ્યાખ્યા દ્વારા, સ્વતંત્ર ચલનો તફાવત એ તેની વૃદ્ધિ છે, એટલે કે.
,
.

કાર્ય કહેવાય છે સેટ પર અલગ કરી શકાય છેફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ., જો તે સમૂહના દરેક બિંદુએ અલગ હોય ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

પ્રમેય 1. જો કાર્ય
બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
અને

આ બિંદુએ તેનો તફાવત છે, પછી આ બિંદુએ કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે f, અને વધુમાં,

=એ,
=IN.

પ્રમેય 1 કાર્યના વિભેદકની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે fસૂત્ર અનુસાર

+
.

પ્રમેય 1 મુજબ, જો કોઈ બિંદુ પર ફંક્શન અલગ-અલગ હોય, તો તે બિંદુ પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે. વિપરીત સાચું નથી. ફંક્શનને અલગ કરવા માટે, તેના કરતાં વધુની જરૂર છે મજબૂત પરિસ્થિતિઓએક બિંદુ પર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની હાજરી કરતાં.

પ્રમેય 2. જો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ
અને
કાર્યો fબિંદુના અમુક પડોશમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે
અને માં સતત છે
, પછી કાર્ય f બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
.

ઉદાહરણ 6.ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અને ફંક્શનના વિભેદકની ગણતરી કરીએ
બિંદુ પર (1, 1/5).

,

,

,
;

એક જટિલ કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ

પ્રમેય 3. કાર્યો દો
અને
બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત
, અને કાર્ય
બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત.

જો કાર્ય f બિંદુ પર તફાવત કરી શકાય તેવું
, અને બિંદુ પર
ડેરિવેટિવ્ઝ છે
, પછી બિંદુ પર
એક જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે
, અને

,
.

ઉદાહરણ 7.ચાલો જટિલ કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ
, ક્યાં , .

ઉદાહરણ 8.ચાલો જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
, જેના માટે કાર્ય
,
. આ ઉદાહરણમાં કાર્યો x અને y એક ચલ પર આધાર રાખે છે t, તેથી તે એક જટિલ કાર્ય છે
- એક ચલનું કાર્ય.

ઉદાહરણ 9.દો f(u) - મનસ્વી વિભેદક કાર્ય. ચાલો સાબિત કરીએ કે કાર્ય
સમીકરણને સંતોષે છે
.
.

ચાલો મૂકીએ

આથી,

આંશિક ડેરિવેટિવ્સ અને ભિન્નતા

કાર્ય કરવા દો
ઉચ્ચ ઓર્ડર્સ
બિંદુની નજીકમાં .

આંશિક વ્યુત્પન્ન છે ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન x ચલ દ્વારા કહેવાય છે આંશિક વ્યુત્પન્નબીજો ક્રમ xચલ દ્વારા અને નિયુક્ત થયેલ છે
.

અથવા ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન yઆંશિક વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે આંશિક વ્યુત્પન્નકહેવાય છે xઅને yચલો દ્વારા અને નિયુક્ત થયેલ છે
.

અથવા અને (
અને
સેકન્ડ ઓર્ડર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે .

) ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ તરીકે અને વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે

પ્રમેય 4. કાર્ય કરવા દો
તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે મળીને વ્યાખ્યાયિત ,,
,
બિંદુના કેટલાક પડોશમાં

અને
આ બિંદુએ સતત. પછી આ બિંદુએ મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો સમાન છે, એટલે કે.

=

.

બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝના આંશિક ડેરિવેટિવ્સને ત્રીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ કહેવામાં આવે છે:
વગેરે

આંશિક વ્યુત્પન્ન (કોઈપણ સ્વતંત્ર ચલોના સંદર્ભમાં) ઓર્ડર આંશિક વ્યુત્પન્ન m-1 ઓર્ડરનું આંશિક વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે m.

પ્રમેય 4 ત્રીજા, ચોથા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝ માટે પણ માન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કાર્ય
પોઈન્ટના અમુક પડોશમાં ઓર્ડર 3 સહિત તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે એકસાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
, અને મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝ
,
અને
આ બિંદુએ સતત હોય છે, તો પછી આ બિંદુએ મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો સમાન છે:

=

=

.

બીજા ક્રમમાં તફાવતબે ચલોના કાર્યને પ્રથમ ક્રમના વિભેદકનું વિભેદક કહેવામાં આવે છે.

જો કાર્ય
બિંદુના કેટલાક પડોશમાં બે વાર સતત અલગ પડે છે
(એટલે ​​કે ફંક્શનના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે f પોઈન્ટની આસપાસના વિસ્તારમાં સમાવિષ્ટ બીજા ક્રમ સુધી
), પછી

.

ઉદાહરણ 10.ચાલો બે વાર સતત વિભેદક જટિલ કાર્યના બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ
, જેના માટે કાર્ય
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

એ જ રીતે આપણે ગણતરી કરીએ છીએ

.

ડાયરેક્શનલ ડેરિવેટિવ. ગ્રેડિયન્ટ

દો l - માં એકમ વેક્ટર
કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે
.

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
દિશામાં વેક્ટર l બિંદુ પર
કહેવાય છે.

દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન સૂચવવામાં આવે છે

.

ઢાળકાર્યો f બિંદુ પર
એક વેક્ટર છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ એક બિંદુ પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે:

સ્નાતક f
= (
,
) =
i +
j.

દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન બતાવવું સરળ છે lની સમાન સ્કેલર ઉત્પાદનઢાળ વેક્ટર અને વેક્ટર l:

=

+

=
,

જ્યાં  વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ છે સ્નાતક f
અને l.

છેલ્લા સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે વેક્ટરની દિશાના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન સ્નાતક f
ધરાવે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્યજુદી જુદી દિશામાં વ્યુત્પન્ન વચ્ચે અને ઢાળ વેક્ટરના મોડ્યુલસની બરાબર છે.

ઉદાહરણ 11.ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
બિંદુ પર એમ(1, 0) વેક્ટરની દિશામાં MN, ક્યાં એન (5, 3) .

વેક્ટર MN કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (4, 3),
. આનો અર્થ એકમ વેક્ટર છે lકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (4/5, 3/5). ચાલો બિંદુ પર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ એમ:
,
. પછી
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

ઉદાહરણ 12.ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
બિંદુ (2,3) પર આ બિંદુએ ઢાળ વેક્ટરની દિશામાં.

ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ:

,
.

એક બિંદુ પર ઢાળ વેક્ટરની દિશામાં વ્યુત્પન્ન વેક્ટરના સંપૂર્ણ મૂલ્યની બરાબર છે સ્નાતક f. આથી,

ટેન્જેન્ટ પ્લેન અને સપાટીથી સામાન્ય

એક બિંદુ પર તફાવત માટે
કાર્યો
નીચેનો સંબંધ સાચો છે:

જ્યાં
,
(આ પ્રથમ ક્રમના વિભેદકની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે). મતભેદ એઅને INસ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
=એ,
=IN.

સમીકરણ

બિંદુ પરથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ છે
. આ પ્લેન કહેવાય છે સ્પર્શક વિમાનકાર્યના આલેખ સુધી
બિંદુ પર
.

આમ, ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક સમતલ
એક બિંદુ પર એક પ્લેન હોય છે જે તેના એપ્લિકેશન અને ફંક્શનની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત હોય છે
આ બિંદુએ એક જથ્થો છે જે સરખામણીમાં અનંત રીતે નાનો છે  ખાતે   0 .

ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સામાન્યનું સમીકરણ
બિંદુ પર
જેવો દેખાય છે

.

જો સરળ સપાટીનું સમીકરણ ગર્ભિત રીતે આપવામાં આવે છે
, પછી બિંદુ પરના સ્પર્શક સમતલનું સમીકરણ
જેવો દેખાય છે

અને આ બિંદુએ સામાન્ય સમીકરણ છે:

.

ઉદાહરણ 13.ચાલો સ્પર્શક સમતલનું સમીકરણ અને સપાટી પર સામાન્ય લખીએ
બિંદુ પર (-2, 1, 4).

,
. ટેન્જેન્ટ પ્લેન સમીકરણ છે: અથવા
.

સામાન્ય સમીકરણ: .

વિવિધ ચલોના કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા

ડોટ
બિંદુ કહેવાય છે સ્થાનિક મહત્તમ (સ્થાનિક લઘુત્તમ) કાર્યો
,
, જો બિંદુની પડોશી હોય
, જે તમામ મુદ્દાઓ માટે અસમાનતા છે

(
).

સ્થાનિક મહત્તમ પોઈન્ટ અને સ્થાનિક લઘુત્તમકાર્યો કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (0,0) એ કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે
.

પ્રમેય 5 (અંતિમ માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો કાર્ય
બિંદુ પર છે
સ્થાનિક અંતિમઅને આ બિંદુએ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે f, તે

=0 અને
=0.

ડોટ
કહેવાય છે સ્થિર બિંદુબધા પોઈન્ટનો સમૂહ f, જો
=0 અને
=0.

પ્રમેય 6 (એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ). કાર્ય કરવા દો
સ્થિર બિંદુના કેટલાક પડોશમાં બે વાર સતત તફાવત કરી શકાય છે
.

ચાલો સૂચિત કરીએ  =



- (

) 2 .

પછી > 1) જો 
0, પછી બિંદુ પર f કાર્ય

સ્થાનિક સીમા છે: મહત્તમ પર

< 0;

> 0 અને ન્યૂનતમ પર < 1) જો 
0, પછી બિંદુ પર f 2) જો 

કોઈ છેડો નથી; = 1) જો 
0, પછી બિંદુ પર f 3) જો 

સ્થાનિક એક્સ્ટ્રામમ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે (આ કિસ્સામાં, વધારાના સંશોધન જરૂરી છે).ઉદાહરણ 14.

અમે એક્સ્ટ્રીમમ માટે કાર્યની તપાસ કરીએ છીએ u નોંધ કરો કે કાર્ય
,
સમગ્ર પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત અને ભિન્નતા.

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
. આંશિક ડેરિવેટિવ્સને શૂન્ય સાથે સરખાવીને અને પરિણામી સિસ્ટમને ઉકેલવાથી, આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ છીએ: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2). u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

, તેથી, બિંદુ (1, 2) પર કાર્યમાં ન્યૂનતમ છે, u(-1, -2) = 31.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, તેથી, બિંદુ (-1, -2) પર કાર્ય મહત્તમ છે,

કાર્ય કરવા દો
કાર્યના મહત્તમ અને નાના મૂલ્યો ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

બાઉન્ડેડ બંધ સેટ પર સતત
કહેવાય છે તે ઘણાને યાદ કરોમર્યાદિત , જો આવા પડોશી અસ્તિત્વમાં છે યુ
, જો આવા પડોશી અસ્તિત્વમાં છે (0,0) જે
કહેવાય છે (0,0); ઘણાબંધ

, જો તે તેના તમામ મર્યાદા બિંદુઓ ધરાવે છે.
અને
વીયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય મુજબ, આવા બિંદુઓ છે
, શું ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ.સેટ પરના ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે
, એ ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

- સેટ પર તેનું સૌથી નાનું મૂલ્ય એક ફંક્શન કે જે બાઉન્ડેડ ડોમેનમાં અલગ હોય છે અને તેની સીમા પર સતત હોય છે તે તેના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે.સ્થિર બિંદુઓ ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

, અથવા સીમા બિંદુઓ પરચાલો સેટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધીએ ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ., સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત
,
,
.

y(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - સ્થિર

કાર્ય બિંદુઓ u (ઉદાહરણ 14 જુઓ), પરંતુ (-2,-1),

(-1,-2) સંબંધ ધરાવતા નથી ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ. ચાલો ફંક્શનના વર્તનનો અભ્યાસ કરીએ uપર

xસીમા સેટ કરો ફિખ્ટેન્ગોલ્ટ્સ જી.એમ..

ચોખા. 5
. આ એક ચલનું કાર્ય છે,

જે સ્વીકારે છે સૌથી નાનું મૂલ્યબિંદુ પર
, અને બિંદુ પરનું સૌથી મોટું મૂલ્ય
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. આ સેગમેન્ટ પર
. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો શોધવા માટે, અમે સ્થિર બિંદુઓ અને સેગમેન્ટના છેડે તેના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:
;
, પરંતુ
, તેથી અમે ગણતરી કરીએ છીએ u (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0.4) = 7. સૌથી મોટું મૂલ્ય બિંદુ (0.4) પર છે અને સૌથી નાનું મૂલ્ય બિંદુ પર છે (0,
);

3)
,
. અહીં

.

અમે સ્થિર બિંદુઓ અને સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ: ;; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4.0) = -45. સીમાના આ વિભાગ પર, ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય બિંદુ (0.4) પર અને સૌથી નાનું બિંદુ (4.0) પર છે.

ફકરા 1 માં મેળવેલ ફંકશનના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યોમાંથી -3) સીમાના વિવિધ વિભાગો પર અને સ્થિર બિંદુઓ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોમાંથી, અમે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરીએ છીએ. ઉચ્ચતમ મૂલ્ય: u (0.4) = 7, સૌથી નાનું મૂલ્ય: u (4,0)= -45.