અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યની 5 વ્યાખ્યા. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય

1. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યઅને તેણીનું શેડ્યૂલ

y = P(x) / Q(x) સ્વરૂપનું કાર્ય, જ્યાં P(x) અને Q(x) બહુપદી છે, તેને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય કહેવાય છે.

ખ્યાલ સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓતમે કદાચ પહેલેથી જ એકબીજાને જાણો છો. તેવી જ રીતે તર્કસંગત કાર્યો એવા વિધેયો છે જેને બે બહુપદીના ભાગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

જો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય એ બે રેખીય કાર્યોનો ભાગ છે - પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદી, એટલે કે. ફોર્મનું કાર્ય

y = (ax + b) / (cx + d), તો તેને અપૂર્ણાંક રેખીય કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે ફંક્શન y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (અન્યથા ફંક્શન રેખીય y = ax/d + b/d બને છે) અને તે a/c ≠ b/d (અન્યથા કાર્ય સ્થિર છે). અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય બધા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, x = -d/c સિવાય. તમે જાણો છો તે આલેખ y = 1/x કરતાં અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના ગ્રાફ આકારમાં ભિન્ન નથી હોતા. એક વળાંક કે જે ફંક્શન y = 1/x નો ગ્રાફ છે તેને કહેવામાં આવે છે અતિશય. x માં અમર્યાદિત વધારા સાથે સંપૂર્ણ મૂલ્યકાર્ય y = 1/x નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં અનિશ્ચિત રૂપે ઘટે છે અને ગ્રાફની બંને શાખાઓ x-અક્ષ સુધી પહોંચે છે: જમણી બાજુ ઉપરથી અને ડાબી બાજુ નીચેથી આવે છે. હાયપરબોલા અભિગમની શાખાઓ જે રેખાઓ તરફ જાય છે તેને તેના કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

ઉકેલ.

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

હવે એ જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 3 દ્વારા shift એકમ સેગમેન્ટજમણી તરફ, Oy અક્ષ સાથે 7 વખત ખેંચાઈ અને 2 એકમ સેગમેન્ટને ઉપર તરફ ખસેડો.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક y = (ax + b) / (cx + d) સમાન રીતે લખી શકાય છે, "પૂર્ણાંક ભાગ" ને પ્રકાશિત કરે છે. પરિણામે, તમામ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના આલેખ હાયપરબોલાસ છે, જે સાથે વિવિધ રીતે શિફ્ટ થાય છે. સંકલન અક્ષોઅને ઓય ધરી સાથે વિસ્તરેલ.

કોઈપણ મનસ્વી અપૂર્ણાંકનો આલેખ બાંધવો રેખીય કાર્યઆ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી નથી. કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આલેખ એક હાયપરબોલા છે, તે સીધી રેખાઓ શોધવા માટે પૂરતું હશે જ્યાં તેની શાખાઓ પહોંચે છે - હાયપરબોલા x = -d/c અને y = a/c ના એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 2.

ફંક્શન y = (3x + 5)/(2x + 2) ના આલેખના લક્ષણો શોધો.

ઉકેલ.

x = -1 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા x = -1 સેવા આપે છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ. હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, ચાલો શોધીએ કે જ્યારે દલીલ x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વધે છે ત્યારે ફંક્શન y(x) ની કિંમતો શું થાય છે.

આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા વિભાજીત કરો:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ તરીકે અપૂર્ણાંક 3/2 તરફ વળશે. અર્થ, આડી એસિમ્પ્ટોટ– આ સીધી રેખા y = 3/2 છે.

ઉદાહરણ 3.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (2x + 1)/(x + 1).

ઉકેલ.

ચાલો અપૂર્ણાંકનો "સંપૂર્ણ ભાગ" પસંદ કરીએ:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

હવે એ જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 1 એકમ દ્વારા ડાબી તરફની શિફ્ટ, Oxના સંદર્ભમાં એક સપ્રમાણ પ્રદર્શન અને એક શિફ્ટ દ્વારા Oy અક્ષ સાથે 2 એકમ સેગમેન્ટ્સ ઉપર.

ડોમેન D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

અક્ષો સાથે આંતરછેદ બિંદુઓ: c Oy: (0; 1); c બળદ: (-1/2; 0). વ્યાખ્યાના ડોમેનના દરેક અંતરાલ પર કાર્ય વધે છે.

જવાબ: આકૃતિ 1.

2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

ફોર્મ y = P(x) / Q(x) ના અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં P(x) અને Q(x) એ પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બહુપદી છે.

આવા તર્કસંગત કાર્યોના ઉદાહરણો:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) અથવા y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

જો ફંક્શન y = P(x) / Q(x) પ્રથમ કરતા વધુ ડિગ્રીના બે બહુપદીના ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો તેનો આલેખ, નિયમ તરીકે, વધુ જટિલ હશે, અને તેને ચોક્કસ રીતે બાંધવું ક્યારેક મુશ્કેલ બની શકે છે. , તમામ વિગતો સાથે. જો કે, અમે ઉપર રજૂ કરી છે તે જેવી જ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવા માટે તે ઘણીવાર પૂરતું છે.

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંક રહેવા દો (n< m). Известно, что любую несократимую તર્કસંગત અપૂર્ણાંકરજૂ કરી શકાય છે, અને એક અનન્ય રીતે, સરવાળો તરીકે મર્યાદિત સંખ્યાપ્રાથમિક અપૂર્ણાંક, જેનું સ્વરૂપ અપૂર્ણાંક Q(x) ના છેદને વાસ્તવિક પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટન કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

દેખીતી રીતે શેડ્યૂલ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યપ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના ગ્રાફના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના પ્લોટિંગ ગ્રાફ

ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના ગ્રાફ બનાવવાની ઘણી રીતો પર વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4.

કાર્ય y = 1/x 2 નો આલેખ કરો.

ઉકેલ.

અમે y = 1/x 2 નો ગ્રાફ બનાવવા માટે ફંક્શન y = x 2 ના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને આલેખને "વિભાજન" કરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (0; +∞).

અક્ષો સાથે આંતરછેદના કોઈ બિંદુઓ નથી. કાર્ય સમ છે. અંતરાલ (-∞; 0) થી તમામ x માટે વધે છે, x માટે 0 થી +∞ સુધી ઘટે છે.

જવાબ: આકૃતિ 2.

ઉદાહરણ 5.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

ઉકેલ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

અહીં આપણે એક લીનિયર ફંક્શનમાં ફેક્ટરાઇઝેશન, રિડક્શન અને રિડક્શનની ટેકનિકનો ઉપયોગ કર્યો છે.

જવાબ: આકૃતિ 3.

ઉદાહરણ 6.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

ઉકેલ.

વ્યાખ્યાનું ડોમેન D(y) = R છે. કાર્ય સમ હોવાથી, ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે. ગ્રાફ બનાવતા પહેલા, ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી રૂપાંતરિત કરીએ, આખા ભાગને પ્રકાશિત કરીએ:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

નોંધ કરો કે આલેખ બનાવતી વખતે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના સૂત્રમાં પૂર્ણાંક ભાગને અલગ પાડવો એ મુખ્ય મુદ્દાઓમાંનું એક છે.

જો x → ±∞, તો y → 1, એટલે કે. સીધી રેખા y = 1 એ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ: આકૃતિ 4.

ઉદાહરણ 7.

ચાલો ફંક્શન y = x/(x 2 + 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય ચોક્કસપણે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે. સૌથી વધુ ઉચ્ચ બિંદુ જમણો અડધોગ્રાફિક્સ આ ગ્રાફને સચોટ રીતે બનાવવા માટે, આજનું જ્ઞાન પૂરતું નથી. દેખીતી રીતે, આપણો વળાંક ખૂબ ઊંચો "ઉદય" કરી શકતો નથી, કારણ કે છેદ ઝડપથી અંશને "ઓવરટેક" કરવાનું શરૂ કરે છે. ચાલો જોઈએ કે ફંક્શનની કિંમત 1 ની બરાબર હોઈ શકે છે કે કેમ. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 હલ કરવાની જરૂર છે. આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયા સૌથી મોટા A સમીકરણ A = x/(x 2 + 1) પાસે ઉકેલ હશે. અમે બદલીશું મૂળ સમીકરણવર્ગ: Ax 2 – x + A = 0. આ સમીકરણનો ઉકેલ છે જ્યારે 1 – 4A 2 ≥ 0. અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ ઉચ્ચતમ મૂલ્ય A = 1/2.

જવાબ: આકૃતિ 5, મહત્તમ y(x) = ½.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિધેયોનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી હોય, ત્યારે સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

IN આ પાઠઆપણે અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈશું, અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય, મોડ્યુલ, પરિમાણનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: પુનરાવર્તન

પાઠ: અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય

વ્યાખ્યા:

ફોર્મનું કાર્ય:

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો આલેખ અતિપરવલય છે.

ચાલો અંશમાં કૌંસમાંથી બે લઈએ અને મેળવીએ:

આપણી પાસે અંશ અને છેદ બંનેમાં x છે. હવે આપણે રૂપાંતર કરીએ છીએ જેથી અભિવ્યક્તિ અંશમાં દેખાય:

હવે ચાલો અપૂર્ણાંક શબ્દને શબ્દ દ્વારા ઘટાડીએ:

દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો આલેખ અતિપરવલય છે.

અમે સાબિતીની બીજી પદ્ધતિ પ્રસ્તાવિત કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, કૉલમમાં છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો:

પ્રાપ્ત:

રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો આલેખ સરળતાથી બાંધવામાં સક્ષમ બનવું મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને, હાયપરબોલાના સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર શોધવા માટે. ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ.

ઉદાહરણ 1 - ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો:

અમે પહેલાથી જ રૂપાંતર કર્યું છે આ કાર્યઅને મેળવ્યું:

બાંધવું આ શેડ્યૂલનીઅમે અક્ષો અથવા હાઇપરબોલાને જ બદલીશું નહીં. અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પ્રમાણભૂત પદ્ધતિસ્થિર ચિહ્નના અંતરાલોની હાજરીનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન ગ્રાફનું નિર્માણ.

અમે એલ્ગોરિધમ અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ. પ્રથમ, ચાલો આપેલ કાર્ય તપાસીએ.

આમ, અમારી પાસે સતત ચિહ્નના ત્રણ અંતરાલો છે: ખૂબ જમણી બાજુએ () ફંક્શનમાં વત્તા ચિહ્ન છે, પછી ચિહ્નો વૈકલ્પિક છે, કારણ કે તમામ મૂળમાં પ્રથમ ડિગ્રી છે. તેથી, અંતરાલ પર કાર્ય નકારાત્મક છે, અંતરાલ પર કાર્ય હકારાત્મક છે.

અમે ODZ ના મૂળ અને બ્રેક પોઈન્ટ્સની નજીકમાં ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ. આપણી પાસે છે: એક બિંદુએ ફંક્શનનું ચિહ્ન વત્તાથી બાદમાં બદલાય છે, વક્ર પ્રથમ અક્ષની ઉપર છે, પછી શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે અને પછી x અક્ષની નીચે સ્થિત છે. જ્યારે અપૂર્ણાંકનો છેદ લગભગ છે શૂન્ય બરાબર, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય ત્રણ તરફ વળે છે, ત્યારે અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. IN આ કિસ્સામાં, જ્યારે દલીલ ડાબી બાજુએ ટ્રિપલની નજીક આવે છે, ત્યારે ફંક્શન નકારાત્મક હોય છે અને અનંતતાને બાદ કરે છે, જમણી બાજુએ ફંક્શન હકારાત્મક હોય છે અને વત્તા અનંતને છોડી દે છે.

હવે આપણે અનંતની પડોશમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ દૂરસ્થ બિંદુઓ, એટલે કે જ્યારે દલીલ વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, સતત શરતોની અવગણના કરી શકાય છે. અમારી પાસે છે:

આમ, આપણી પાસે આડી એસિમ્પ્ટોટ છે અને એક ઊભી છે, હાઇપરબોલાનું કેન્દ્ર બિંદુ છે (3;2). ચાલો સમજાવીએ:

ચોખા. 1. ઉદાહરણ તરીકે 1 હાઇપરબોલાનો ગ્રાફ

અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય સાથેની સમસ્યાઓ મોડ્યુલસ અથવા પરિમાણની હાજરી દ્વારા જટિલ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, તમારે નીચેના અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

ચોખા. 2. અલ્ગોરિધમનું ચિત્રણ

પરિણામી ગ્રાફમાં શાખાઓ છે જે x-અક્ષની ઉપર અને x-અક્ષની નીચે છે.

1. ઉલ્લેખિત મોડ્યુલ લાગુ કરો. આ કિસ્સામાં, x-અક્ષની ઉપર સ્થિત ગ્રાફના ભાગો યથાવત રહે છે, અને અક્ષની નીચે સ્થિત છે તે x-અક્ષની તુલનામાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. અમને મળે છે:

ચોખા. 3. અલ્ગોરિધમનું ચિત્રણ

ઉદાહરણ 2 - ફંક્શન પ્લોટ કરો:

ચોખા. 4. ઉદાહરણ તરીકે કાર્ય ગ્રાફ 2

નીચેના કાર્યને ધ્યાનમાં લો - કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો. આ કરવા માટે, તમારે નીચેના અલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે:

1. સબમોડ્યુલર ફંક્શનનો આલેખ કરો

ચાલો ધારીએ કે આપણને નીચેનો ગ્રાફ મળે છે:

ચોખા. 5. અલ્ગોરિધમનું ચિત્રણ

1. ઉલ્લેખિત મોડ્યુલ લાગુ કરો. આ કેવી રીતે કરવું તે સમજવા માટે, ચાલો મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ.

આમ, બિન-નકારાત્મક દલીલ મૂલ્યો સાથેના કાર્ય મૂલ્યો માટે, કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. બીજા સમીકરણ વિશે, આપણે જાણીએ છીએ કે તે y-અક્ષ વિશે સમપ્રમાણરીતે મેપ કરીને મેળવવામાં આવે છે. અમારી પાસે ફંક્શનનો ગ્રાફ છે:

ચોખા. 6. અલ્ગોરિધમનું ચિત્રણ

ઉદાહરણ 3 - ફંક્શનની રચના કરો:

અલ્ગોરિધમ મુજબ, તમારે સૌપ્રથમ સબમોડ્યુલર ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે, અમે તેને પહેલેથી જ બનાવી લીધું છે (જુઓ આકૃતિ 1)

ચોખા. 7. ઉદાહરણ તરીકે ફંક્શનનો ગ્રાફ 3

ઉદાહરણ 4 - પરિમાણ સાથે સમીકરણના મૂળની સંખ્યા શોધો:

યાદ કરો કે પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે પરિમાણના તમામ મૂલ્યોમાંથી પસાર થવું અને તે દરેક માટે જવાબ સૂચવવો. અમે પદ્ધતિ અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ, આપણે આ પહેલાના ઉદાહરણમાં પહેલેથી જ કર્યું છે (જુઓ આકૃતિ 7). આગળ, તમારે અલગ-અલગ a માટે રેખાઓના પરિવાર સાથે આલેખનું વિચ્છેદન કરવાની જરૂર છે, આંતરછેદ બિંદુઓ શોધો અને જવાબ લખો.

આલેખને જોતા, અમે જવાબ લખીએ છીએ: ક્યારે અને સમીકરણના બે ઉકેલો છે; જ્યારે સમીકરણનો એક ઉકેલ હોય છે; જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

ચાલો "અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યનો આલેખ બનાવવો" જેવા વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિના પ્રશ્નોને ધ્યાનમાં લઈએ. કમનસીબે, તેનો અભ્યાસ મૂળભૂત પ્રોગ્રામમાંથી કાઢી નાખવામાં આવ્યો છે અને તેના વર્ગોમાં ગણિત શિક્ષક આપણે ઈચ્છીએ તેટલી વાર તેને સ્પર્શતા નથી. જો કે, ગણિતના વર્ગોહજુ સુધી કોઈએ GIA ના બીજા ભાગને પણ રદ કર્યો નથી. અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં કાર્ય C5 (પરિમાણો દ્વારા) ના શરીરમાં તેના પ્રવેશની સંભાવના છે. તેથી, તમારે તમારી સ્લીવ્ઝ રોલ અપ કરવી પડશે અને સરેરાશ અથવા સાધારણ મજબૂત વિદ્યાર્થી સાથે પાઠમાં તેને સમજાવવા માટેની પદ્ધતિ પર કામ કરવું પડશે. એક નિયમ તરીકે, ગણિતના શિક્ષક મુખ્ય વિભાગો માટે સમજૂતીની પદ્ધતિઓ વિકસાવે છે શાળા અભ્યાસક્રમકામના પ્રથમ 5-7 વર્ષ દરમિયાન. આ સમય દરમિયાન, વિવિધ કેટેગરીના ડઝનેક વિદ્યાર્થીઓ શિક્ષકની આંખો અને હાથમાંથી પસાર થવાનું સંચાલન કરે છે. ઉપેક્ષિત અને સ્વાભાવિક રીતે નબળા બાળકો, છોડી દેનારા અને તરછોડનારાઓથી લઈને હેતુપૂર્ણ પ્રતિભાઓ સુધી.

સમય જતાં, ગણિતના શિક્ષક સમજૂતીમાં નિપુણતા મેળવે છે જટિલ ખ્યાલો સરળ ભાષામાંગાણિતિક સંપૂર્ણતા અને ચોકસાઈનો બલિદાન આપ્યા વિના. ઉત્પાદિત વ્યક્તિગત શૈલીસામગ્રી, ભાષણ, વિઝ્યુઅલ સપોર્ટ અને રેકોર્ડિંગની રજૂઆત. કોઈપણ અનુભવી શિક્ષક તેની સાથે પાઠ કહેશે આંખો બંધ, કારણ કે તે અગાઉથી જાણે છે કે સામગ્રીને સમજવામાં કઈ સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે અને તેને ઉકેલવા માટે શું જરૂરી છે. તે પસંદ કરવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે સાચા શબ્દોઅને નોંધો, પાઠની શરૂઆત માટેના ઉદાહરણો, મધ્ય અને અંત માટે, તેમજ હોમવર્ક માટે યોગ્ય રીતે કસરતો કંપોઝ કરો.

થીમ સાથે કામ કરવા માટેની કેટલીક વિશિષ્ટ તકનીકો આ લેખમાં ચર્ચા કરવામાં આવશે.

ગણિત શિક્ષક કયા ગ્રાફથી શરૂ કરે છે?

તમારે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરીને પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય એ ફોર્મનું કાર્ય છે. તેનું બાંધકામ મકાન સુધી આવે છે સૌથી સામાન્ય હાઇપરબોલઆલેખને બદલવા માટે જાણીતી સરળ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને. વ્યવહારમાં, તેઓ ફક્ત શિક્ષક માટે જ સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. જો કોઈ મજબૂત વિદ્યાર્થી શિક્ષક પાસે ગણતરી અને પરિવર્તનની પૂરતી ઝડપ સાથે આવે તો પણ તેણે આ ટેકનિકો અલગથી શીખવવી પડે છે. શા માટે? 9મા ધોરણમાં શાળામાં, આલેખ ફક્ત સ્થળાંતર દ્વારા બનાવવામાં આવે છે અને સંખ્યાત્મક ગુણક (સંકોચન અને સ્ટ્રેચિંગ પદ્ધતિઓ) ઉમેરવાની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરતા નથી. ગણિત શિક્ષક કયા ગ્રાફનો ઉપયોગ કરે છે? શરૂ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ સ્થળ ક્યાં છે? મારા મતે, કાર્યના સૌથી અનુકૂળ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બધી તૈયારી હાથ ધરવામાં આવે છે . મારે બીજું શું વાપરવું જોઈએ? 9મા ધોરણમાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ આલેખ વિના કરવામાં આવે છે (અને પાઠ્યપુસ્તકોમાં કે જે ગણિતમાં રાજ્ય પરીક્ષાની શરતોને અનુરૂપ ફેરફાર કરવામાં આવ્યા છે, તે બિલકુલ શીખવવામાં આવતા નથી). ચતુર્ભુજ કાર્યઆ વિષયમાં રુટની જેમ "પદ્ધતિગત વજન" નથી. શા માટે? 9મા ધોરણમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદીસંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને વિદ્યાર્થી પાળી વિના બાંધકામની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં તદ્દન સક્ષમ છે. ફોર્મ તરત જ કૌંસ ખોલવા માટે પ્રતિબિંબ પેદા કરે છે, જેના પછી તમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ અને મૂલ્યોના કોષ્ટક દ્વારા પ્રમાણભૂત પ્લોટિંગનો નિયમ લાગુ કરી શકો છો. આવા દાવપેચથી તે કરવું શક્ય બનશે નહીં અને ગણિતના શિક્ષક માટે વિદ્યાર્થીને અભ્યાસ માટે પ્રેરિત કરવાનું સરળ બનશે. સામાન્ય તકનીકોપરિવર્તનો મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરીને y=|x| તે પણ પોતાને ન્યાયી ઠેરવતું નથી, કારણ કે તે મૂળની જેમ નજીકથી અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી અને શાળાના બાળકો તેનાથી ભયંકર રીતે ડરતા હોય છે. આ ઉપરાંત, મોડ્યુલ પોતે (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેનું "હેંગિંગ") અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિવર્તનની સંખ્યામાં શામેલ છે.

તેથી, શિક્ષક પાસે પરિવર્તનની તૈયારી કરતાં વધુ અનુકૂળ અને અસરકારક કંઈ નથી વર્ગમૂળ. તમારે આના જેવું કંઈક આલેખ બનાવવા માટે પ્રેક્ટિસની જરૂર છે. ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે આ તૈયારી એક મહાન સફળતા હતી. બાળક ખસેડી શકે છે અને આલેખને સંકુચિત/સ્ટ્રેચ પણ કરી શકે છે. આગળ શું છે?

આગળનો તબક્કો એ આખા ભાગને અલગ કરવાનું શીખવાનું છે. કદાચ આ ગણિતના શિક્ષકનું મુખ્ય કાર્ય છે, કારણ કે પછી આખો ભાગફાળવવામાં આવશે, તે વિષય પરના સમગ્ર કમ્પ્યુટિંગ લોડનો સિંહફાળો લે છે. ફંક્શનને એવા સ્વરૂપમાં તૈયાર કરવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે જે પ્રમાણભૂત બાંધકામ યોજનાઓમાંની એકમાં બંધબેસે છે. પરિવર્તનના તર્કનું સુલભ, સમજી શકાય તેવી રીતે અને બીજી તરફ, ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ અને સુમેળભર્યું વર્ણન કરવું પણ મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે ગ્રાફ બનાવવા માટે તમારે અપૂર્ણાંકને ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે . ચોક્કસપણે આ માટે, અને માટે નહીં
, છેદ રાખીને. શા માટે? ગ્રાફ પર રૂપાંતરણ કરવું મુશ્કેલ છે જેમાં માત્ર ટુકડાઓ જ નથી, પણ એસિમ્પ્ટોટ્સ પણ છે. સાતત્યનો ઉપયોગ બે અથવા ત્રણ વધુ અથવા ઓછા સ્પષ્ટ રીતે ખસેડાયેલા બિંદુઓને એક રેખા સાથે જોડવા માટે થાય છે. કિસ્સામાં અવ્યવસ્થિત કાર્યકયા બિંદુઓને કનેક્ટ કરવા તે તમે તરત જ શોધી શકશો નહીં. તેથી, હાયપરબોલને સંકુચિત કરવું અથવા ખેંચવું એ અત્યંત અસુવિધાજનક છે. ગણિતના શિક્ષકને ફક્ત એકલા શિફ્ટ સાથે કેવી રીતે કરવું તે શીખવવા માટે બંધાયેલા છે.

આ કરવા માટે, આખો ભાગ પસંદ કરવા ઉપરાંત, તમારે છેદમાંથી ગુણાંક દૂર કરવાની પણ જરૂર છે. c.

અપૂર્ણાંકમાંથી પૂર્ણાંક ભાગ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

આખા ભાગને હાઇલાઇટ કરવાનું કેવી રીતે શીખવવું? ગણિતના શિક્ષકો હંમેશા વિદ્યાર્થીના જ્ઞાનના સ્તરનું પર્યાપ્ત મૂલ્યાંકન કરતા નથી અને તેની ગેરહાજરી હોવા છતાં વિગતવાર અભ્યાસશેષ સાથે બહુપદી માટેના વિભાજન પ્રમેય ખૂણાના વિભાજનનો નિયમ લાગુ કરે છે. જો કોઈ શિક્ષક કોર્નર ડિવિઝન લે છે, તો તેણે લગભગ અડધો પાઠ સમજાવવા માટે ખર્ચ કરવો પડશે (જો, અલબત્ત, બધું કાળજીપૂર્વક ન્યાયી છે). કમનસીબે, શિક્ષક પાસે આ સમય હંમેશા ઉપલબ્ધ હોતો નથી. કોઈપણ ખૂણાને યાદ ન રાખવું વધુ સારું છે.

વિદ્યાર્થી સાથે કામ કરવાના બે સ્વરૂપો છે:
1) શિક્ષક તેને બતાવે છે તૈયાર અલ્ગોરિધમનોઅપૂર્ણાંક કાર્યના કેટલાક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને.
2) શિક્ષક આ અલ્ગોરિધમ માટે તાર્કિક શોધ માટે શરતો બનાવે છે.

બીજા પાથનો અમલ મને ટ્યુટરિંગ પ્રેક્ટિસ માટે સૌથી રસપ્રદ અને અત્યંત ઉપયોગી લાગે છે વિદ્યાર્થીઓની વિચારસરણીનો વિકાસ કરવા. ચોક્કસ સંકેતો અને દિશાનિર્દેશોની મદદથી, સાચા પગલાઓના ચોક્કસ ક્રમની શોધ તરફ દોરી જવાનું ઘણીવાર શક્ય છે. કોઈએ બનાવેલી યોજનાના યાંત્રિક અમલથી વિપરીત, 9મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી તેને સ્વતંત્ર રીતે જોવાનું શીખે છે. સ્વાભાવિક રીતે, બધા ખુલાસાઓ ઉદાહરણો સાથે થવું જોઈએ. આ હેતુ માટે, ચાલો એક કાર્ય લઈએ અને અલ્ગોરિધમના શોધ તર્ક પર શિક્ષકની ટિપ્પણીઓને ધ્યાનમાં લઈએ. ગણિતના શિક્ષક પૂછે છે: “અક્ષો સાથે પાળીનો ઉપયોગ કરીને માનક ગ્રાફ ટ્રાન્સફોર્મેશન કરવાથી અમને શું અટકાવે છે? અલબત્ત, અંશ અને છેદ બંનેમાં X ની એક સાથે હાજરી. આનો અર્થ એ છે કે તેને અંશમાંથી દૂર કરવું આવશ્યક છે. આનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે કરવું ઓળખ પરિવર્તન? માત્ર એક જ રસ્તો છે - અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે. પરંતુ અમારી પાસે સમાન પરિબળો (કૌંસ) નથી. આનો અર્થ એ છે કે આપણે તેમને કૃત્રિમ રીતે બનાવવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. પણ કેવી રીતે? તમે કોઈપણ સમાન સંક્રમણ વિના અંશને છેદ સાથે બદલી શકતા નથી. ચાલો અંશને રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ જેથી તેમાં છેદ સમાન કૌંસનો સમાવેશ થાય. ચાલો તેને ત્યાં મૂકીએ બળજબરીથીઅને ગુણાંકને "ઓવરલે" કરો જેથી કરીને જ્યારે તેઓ કૌંસને "પ્રભાવિત" કરે, એટલે કે, જ્યારે તે ખુલે અને ઉમેરે સમાન શરતો, તે કામ કરશે રેખીય બહુપદી 2x+3.

ગણિતના શિક્ષક ખાલી લંબચોરસના રૂપમાં ગુણાંક માટે ગાબડા દાખલ કરે છે (જેમ કે ગ્રેડ 5-6 માટે પાઠયપુસ્તકો વારંવાર ઉપયોગ કરે છે) અને તેમને સંખ્યાઓ સાથે ભરવા માટે કાર્ય સેટ કરે છે. પસંદગી હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ ડાબેથી જમણે, પ્રથમ પાસથી શરૂ કરીને. વિદ્યાર્થીએ કલ્પના કરવી જોઈએ કે તે કૌંસ કેવી રીતે ખોલશે. કારણ કે તેનું વિસ્તરણ X સાથે માત્ર એક જ પદમાં પરિણમશે, તો તેનો ગુણાંક જૂના અંશ 2x+3માં સૌથી વધુ ગુણાંક જેટલો હોવો જોઈએ. તેથી, તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ ચોરસમાં નંબર 2 છે. તે ભરવામાં આવે છે. ગણિતના શિક્ષકે c=1 સાથે એકદમ સરળ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય લેવું જોઈએ. આ પછી જ આપણે અંશ અને છેદ (અપૂર્ણાંક ગુણાંક સહિત) ના અપ્રિય દેખાવ સાથે ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરવા આગળ વધી શકીએ છીએ.

ચાલો આગળ વધીએ. શિક્ષક કૌંસ ખોલે છે અને તેની ઉપર સીધા પરિણામ પર સહી કરે છે.
તમે પરિબળોની અનુરૂપ જોડીને શેડ કરી શકો છો. "ખુલ્લી મુદત" માં, જૂના અંશનો મફત ગુણાંક મેળવવા માટે બીજા ગેપમાંથી આવી સંખ્યા ઉમેરવી જરૂરી છે. દેખીતી રીતે તે 7 છે.

આગળ, અપૂર્ણાંકને વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (હું સામાન્ય રીતે અપૂર્ણાંકને વાદળ વડે વર્તુળ કરું છું, તેમની ગોઠવણીને બટરફ્લાયની પાંખો સાથે સરખાવીને). અને હું કહું છું: "ચાલો બટરફ્લાય વડે અપૂર્ણાંક તોડીએ." શાળાના બાળકો આ વાક્ય સારી રીતે યાદ રાખે છે.

ગણિતના શિક્ષક એક સંપૂર્ણ ભાગને એક ફોર્મમાં અલગ કરવાની સંપૂર્ણ પ્રક્રિયા બતાવે છે જેમાં તમે પહેલેથી જ હાયપરબોલા શિફ્ટ અલ્ગોરિધમ લાગુ કરી શકો છો:

જો છેદ પાસે નથી એક સમાનઉચ્ચતમ ગુણાંક, પછી કોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે તેને ત્યાં છોડવું જોઈએ નહીં. આનાથી ટ્યુટર અને વિદ્યાર્થી બંનેને વધારાના મળશે માથાનો દુખાવોહાથ ધરવાની જરૂરિયાત સાથે સંકળાયેલ છે વધારાનું પરિવર્તન, અને સૌથી મુશ્કેલ વસ્તુ: કમ્પ્રેશન - સ્ટ્રેચિંગ. સીધા પ્રમાણસરતાના ગ્રાફના યોજનાકીય બાંધકામ માટે, અંશનો પ્રકાર મહત્વપૂર્ણ નથી. મુખ્ય વસ્તુ તેની નિશાની જાણવાની છે. પછી તેમાં છેદના ઉચ્ચતમ ગુણાંકને સ્થાનાંતરિત કરવું વધુ સારું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ફંક્શન સાથે કામ કરીએ , પછી આપણે ફક્ત કૌંસમાંથી 3 લઈએ છીએ અને તેને અંશમાં "વધારો" કરીએ છીએ, તેમાં એક અપૂર્ણાંક બનાવીએ છીએ. અમને બાંધકામ માટે વધુ અનુકૂળ અભિવ્યક્તિ મળે છે: જે બાકી છે તે જમણી તરફ અને 2 ઉપર શિફ્ટ કરવાનું છે.

જો સંપૂર્ણ ભાગ 2 અને બાકીના અપૂર્ણાંક વચ્ચે "માઈનસ" હોય, તો તેને અંશમાં શામેલ કરવું પણ વધુ સારું છે. નહિંતર, બાંધકામના ચોક્કસ તબક્કે, તમારે વધુમાં Oy અક્ષને સંબંધિત હાઇપરબોલા દર્શાવવું પડશે. આ ફક્ત પ્રક્રિયાને જટિલ બનાવશે.

ગણિતના શિક્ષકનો સુવર્ણ નિયમ:
બધા અસુવિધાજનક ગુણાંક કે જે ગ્રાફના સમપ્રમાણતા, સંકોચન અથવા ખેંચાણ તરફ દોરી જાય છે તે અંશમાં સ્થાનાંતરિત થવું આવશ્યક છે.

કોઈપણ વિષય સાથે કામ કરવા માટેની તકનીકોનું વર્ણન કરવું મુશ્કેલ છે. હંમેશા અમુક અલ્પોક્તિની લાગણી હોય છે. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય વિશે અમે કેટલી હદ સુધી વાત કરી શક્યા તે તમારા પર નિર્ભર છે. લેખ પર તમારી ટિપ્પણીઓ અને સમીક્ષાઓ મોકલો (તેઓ તમે પૃષ્ઠના તળિયે જુઓ છો તે બૉક્સમાં લખી શકાય છે). હું તેમને ચોક્કસપણે પ્રકાશિત કરીશ.

કોલ્પાકોવ એ.એન. ગણિતના શિક્ષક મોસ્કો. સ્ટ્રોગિનો. શિક્ષકો માટેની પદ્ધતિઓ.

“સુબાશી બેઝિક એજ્યુકેશનલ સ્કૂલ” બાલતાસી મ્યુનિસિપલ ડિસ્ટ્રિક્ટ

રિપબ્લિક ઓફ ટાટારસ્તાન

પાઠ વિકાસ - 9 મા ધોરણ

વિષય: અપૂર્ણાંક – રેખીય કાર્યtion

લાયકાત શ્રેણી

ગેરીફુલીનએરેલઆઈરિફ્કાટોવના

201 4

પાઠ વિષય: અપૂર્ણાંક એક રેખીય કાર્ય છે.

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

શૈક્ષણિક: વિદ્યાર્થીઓને ખ્યાલોનો પરિચય આપોઅપૂર્ણાંક - રેખીય કાર્ય અને એસિમ્પ્ટોટ્સનું સમીકરણ;

વિકાસલક્ષી: તકનીકોની રચના તાર્કિક વિચારસરણીવિષયમાં રસનો વિકાસ; વ્યાખ્યાના ડોમેનના નિર્ધારણનો વિકાસ કરો, અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યના મૂલ્યનું ડોમેન અને તેના ગ્રાફના નિર્માણમાં કુશળતાની રચના;

- પ્રેરક ધ્યેય:એપ્લિકેશન દ્વારા વિદ્યાર્થીઓની ગાણિતિક સંસ્કૃતિ, સચેતતા, જાળવણી અને વિષયના અભ્યાસમાં રસ વિકસાવવો વિવિધ સ્વરૂપોજ્ઞાનની નિપુણતા.

સાધનો અને સાહિત્ય: લેપટોપ, પ્રોજેક્ટર, ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ, ફંક્શન y= ના સમતલ અને ગ્રાફનું સંકલન કરો , પ્રતિબિંબ નકશો, મલ્ટીમીડિયા પ્રસ્તુતિ,બીજગણિત: 9મા ધોરણના મૂળભૂત માટે પાઠ્યપુસ્તક માધ્યમિક શાળા/ યુ.એન. મકરીચેવ, એન.જી. મેન્ડ્યુક, કે.આઈ. સુવેરોવા; S.A. Telyakovsky / M દ્વારા સંપાદિત: "Prosveshchenie", 2004 ઉમેરાઓ સાથે.

પાઠનો પ્રકાર:

જ્ઞાન, કૌશલ્ય, ક્ષમતાઓ સુધારવાનો પાઠ.

પાઠની પ્રગતિ.

આઈ સંસ્થાકીય ક્ષણ:

લક્ષ્ય: - મૌખિક કમ્પ્યુટિંગ કુશળતાનો વિકાસ;

પુનરાવર્તન સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીઅને નવા વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે જરૂરી વ્યાખ્યાઓ.

શુભ બપોર અમે હોમવર્ક તપાસીને પાઠ શરૂ કરીએ છીએ:

સ્ક્રીન પર ધ્યાન આપો (સ્લાઇડ 1-4):

કાર્ય - 1.

કૃપા કરીને આ ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્ન 3 નો જવાબ આપો (ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો, ...)

( 24 )

કાર્ય -2. અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો:

- =

કાર્ય-3: મૂળનો સરવાળો ત્રણ ગણો શોધો ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

એક્સ 2 -671∙X + 670= 0.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે:

1+(-671)+670 = 0. તેથી x 1 =1 અને x 2 = આથી,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

હવે ચાલો બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ક્રમશઃ તમામ 3 કાર્યોના જવાબો લખીએ. (ડિસેમ્બર 24, 2013.)

પરિણામ: હા, તે સાચું છે! તેથી, આજના પાઠનો વિષય:

અપૂર્ણાંક એક રેખીય કાર્ય છે.

રસ્તા પર વાહન ચલાવતા પહેલા ડ્રાઈવરને નિયમોની જાણકારી હોવી જોઈએ ટ્રાફિક: પ્રતિબંધિત અને ચિહ્નોની પરવાનગી. આજે તમારે અને મારે પણ કેટલાક પ્રતિબંધિત અને અનુમતિજનક ચિહ્નો યાદ રાખવાની જરૂર છે. સ્ક્રીન પર ધ્યાન આપો! (સ્લાઇડ-6 )

નિષ્કર્ષ:

અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી;

યોગ્ય અભિવ્યક્તિ, જવાબ: -2;

સાચી અભિવ્યક્તિ, જવાબ: -0;

તમે 0 ને શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી!

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો, શું બધું બરાબર લખેલું છે? (સ્લાઇડ - 7)

1) ; 2) = ; 3) = એ .

(1) સાચી સમાનતા, 2) = - ; 3) = - a )

II. નવો વિષય શીખવો: (સ્લાઇડ - 8).

લક્ષ્ય: અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેન અને મૂલ્યના ડોમેનને શોધવાનું કૌશલ્ય શીખવવા માટે, એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ફંક્શનના ગ્રાફના સમાંતર ટ્રાન્સફરનો ઉપયોગ કરીને તેનો ગ્રાફ બનાવવો.

કયા ફંક્શનનો ગ્રાફ આપવામાં આવ્યો છે તે નક્કી કરો સંકલન વિમાન?

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર ફંક્શનનો ગ્રાફ આપવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન

અપેક્ષિત પ્રતિભાવ

કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો, (ડી( y)=?)

X ≠0, અથવા(-∞;0]UUU

અમે Ox અક્ષ (abscissa) 1 એકમ સાથે સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનના ગ્રાફને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ;

તમે કયું કાર્ય આલેખ્યું?

અમે Oy (ઓર્ડિનેટ) અક્ષ સાથે સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનના ગ્રાફને 2 એકમો ઉપરની તરફ ખસેડીએ છીએ;

હવે, તમે કયું કાર્ય આલેખ્યું છે?

x=1 અને y=2 સીધી રેખાઓ દોરો

તમે કેવી રીતે વિચારો છો? તમને અને મને કયા સીધા સંદેશા મળ્યા?

આ સીધા છે, જેમાં ફંક્શન ગ્રાફના વળાંકના બિંદુઓ જ્યારે અનંતતા તરફ જાય છે ત્યારે તે પહોંચે છે.

અને તેઓને બોલાવવામાં આવે છે- એસિમ્પ્ટોટ્સ.

એટલે કે, હાયપરબોલાનું એક એસિમ્પ્ટોટ તેની જમણી બાજુએ 2 એકમના અંતરે y-અક્ષની સમાંતર ચાલે છે, અને બીજું એસિમ્પોટ તેની ઉપર 1 એકમના અંતરે x-અક્ષની સમાંતર ચાલે છે.

શાબાશ! હવે ચાલો નિષ્કર્ષ કરીએ:

રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો આલેખ એ હાઇપરબોલા છે, જે હાઇપરબોલા y = માંથી મેળવી શકાય છે.ઉપયોગ કરીને સમાંતર પરિવહનસંકલન અક્ષો સાથે. આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યનું સૂત્ર નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવું આવશ્યક છે: y=

જ્યાં n એ એકમોની સંખ્યા છે જેના દ્વારા હાઇપરબોલાને જમણી કે ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે છે, m એ એકમોની સંખ્યા છે જેના દ્વારા હાઇપરબોલા ઉપર અથવા નીચે ખસેડવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ સીધી રેખાઓ x = m, y = n પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.

ચાલો અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યના ઉદાહરણો આપીએ:

; .

અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય એ ફોર્મ y = નું કાર્ય છે , જ્યાં x એ ચલ છે, a, b, c, d એ અમુક સંખ્યાઓ છે, અને c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 અનેજાહેરાત- પૂર્વે≠0, કારણ કે c=0 પર ફંક્શન રેખીય કાર્યમાં ફેરવાય છે.

જોજાહેરાત- પૂર્વે=0, પરિણામી અપૂર્ણાંક એ મૂલ્ય છે જે બરાબર છે (એટલે કે સતત).

અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યના ગુણધર્મો:

1. જ્યારે વધી રહી છે હકારાત્મક મૂલ્યોદલીલ, કાર્ય મૂલ્યો ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ હકારાત્મક રહે છે.

2. જેમ જેમ કાર્યના હકારાત્મક મૂલ્યો વધે છે તેમ, દલીલના મૂલ્યો ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ હકારાત્મક રહે છે.

III – આવરી લેવામાં આવેલ સામગ્રીનું એકીકરણ.

લક્ષ્ય: - પ્રસ્તુતિ કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવોફોર્મ માટે અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યના સૂત્રો:

એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણો દોરવાની અને અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવાની કુશળતાને મજબૂત બનાવો.

ઉદાહરણ-1:

ઉકેલ: પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, અમે આ ફંક્શનને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ છીએ .

= (સ્લાઇડ 10)

શારીરિક શિક્ષણ મિનિટ:

(વૉર્મ-અપનું નેતૃત્વ ફરજ અધિકારી કરે છે)

લક્ષ્ય: - માનસિક તણાવ દૂર કરવા અને વિદ્યાર્થીઓના સ્વાસ્થ્યમાં સુધારો કરવો.

પાઠ્યપુસ્તક સાથે કામ કરવું: નંબર 184.

ઉકેલ: પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, અમે આ ફંક્શનને y=k/(x-m)+n સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ.

= de x≠0.

ચાલો એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ લખીએ: x=2 અને y=3.

તેથી કાર્યનો આલેખ ઓક્સ અક્ષ સાથે તેની જમણી તરફ 2 એકમોના અંતરે અને તેની ઉપર 3 એકમોના અંતરે ઓય ધરી સાથે ખસે છે.

જૂથ કાર્ય:

લક્ષ્ય: - અન્યને સાંભળવાની ક્ષમતા વિકસાવવી અને તે જ સમયે ખાસ કરીને કોઈનો અભિપ્રાય વ્યક્ત કરવો;

નેતૃત્વ માટે સક્ષમ વ્યક્તિનું શિક્ષણ;

વિદ્યાર્થીઓમાં ગાણિતિક ભાષણની સંસ્કૃતિનું સંવર્ધન.

વિકલ્પ #1

આપેલ કાર્ય:

વિકલ્પ નંબર 2

એક ફંકશન આપ્યું

1. રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યને ઘટાડવું પ્રમાણભૂત દૃશ્યઅને એસિમ્પ્ટોટ્સનું સમીકરણ લખો.

2. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો

3. કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો

1. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો અને એસિમ્પ્ટોટ્સનું સમીકરણ લખો.

2. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો.

3. ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો.

(જે જૂથે પ્રથમ કાર્ય પૂર્ણ કર્યું તે બચાવ કરવાની તૈયારી કરી રહ્યું છે જૂથ કાર્યબ્લેકબોર્ડ પર. કાર્યનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવી રહ્યું છે.)

IV. પાઠનો સારાંશ.

લક્ષ્ય: - સૈદ્ધાંતિક વિશ્લેષણ અને વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓવર્ગમાં;

વિદ્યાર્થીઓમાં આત્મસન્માન કુશળતાની રચના;

પ્રતિબિંબ, વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિ અને ચેતનાનું સ્વ-મૂલ્યાંકન.

અને તેથી, મારા પ્રિય વિદ્યાર્થીઓ! પાઠનો અંત આવી રહ્યો છે. તમારે પ્રતિબિંબ કાર્ડ ભરવાનું રહેશે. તમારા મંતવ્યો કાળજીપૂર્વક અને સુવાચ્ય રીતે લખો

છેલ્લું નામ અને પ્રથમ નામ _____________________________________________

પાઠ પગલાં

પાઠના તબક્કાઓની જટિલતાનું સ્તર નક્કી કરવું

તમારા અમને-ત્રણ

પાઠમાં તમારી પ્રવૃત્તિનું મૂલ્યાંકન, 1-5 પોઇન્ટ

સરળ

મધ્યમ ભારે

મુશ્કેલ

સંસ્થાકીય તબક્કો

નવી સામગ્રી શીખવી

અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ બાંધવામાં કુશળતાની રચના

જૂથ કાર્ય

પાઠ વિશે સામાન્ય અભિપ્રાય

હોમવર્ક:

લક્ષ્ય: - આ વિષયની નિપુણતાનું સ્તર તપાસી રહ્યું છે.

[ક્લોઝ 10*, નંબર 180(a), 181(b).]

રાજ્ય પરીક્ષાની તૈયારી: (" પર કામ કરોવર્ચ્યુઅલ વૈકલ્પિક" )

વ્યાયામ GIA શ્રેણીમાંથી (નં. 23 - મહત્તમ સ્કોર):

Y= ફંક્શનનો આલેખ કરોઅને નક્કી કરો કે c ના કયા મૂલ્યો પર સીધી રેખા y=c ગ્રાફ સાથે બરાબર એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે.

પ્રશ્નો અને સોંપણીઓ 14.00 થી 14.30 સુધી પ્રકાશિત કરવામાં આવશે.

1. અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્ય અને તેનો ગ્રાફ

તર્કસંગત સંખ્યાઓની વિભાવનાથી તમે કદાચ પહેલાથી જ પરિચિત છો. તેવી જ રીતે તર્કસંગત કાર્યોએવા વિધેયો છે જેને બે બહુપદીના ભાગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

y = (ax + b) / (cx + d), તો તેને અપૂર્ણાંક રેખીય કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે ફંક્શન y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (અન્યથા ફંક્શન રેખીય y = ax/d + b/d બને છે) અને તે a/c ≠ b/d (અન્યથા કાર્ય સ્થિર છે). રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્ય x = -d/c સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તમે જાણો છો તે આલેખ y = 1/x કરતાં અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના ગ્રાફ આકારમાં ભિન્ન નથી હોતા. એક વળાંક કે જે ફંક્શન y = 1/x નો ગ્રાફ છે તેને કહેવામાં આવે છે અતિશય. નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં x માં અમર્યાદિત વધારા સાથે, કાર્ય y = 1/x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં અમર્યાદિત ઘટાડો થાય છે અને ગ્રાફની બંને શાખાઓ એબ્સીસા સુધી પહોંચે છે: જમણી બાજુ ઉપરથી અને ડાબી બાજુ નીચેથી આવે છે. હાયપરબોલા અભિગમની શાખાઓ જે રેખાઓ તરફ જાય છે તેને તેના કહેવામાં આવે છે એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

ઉકેલ.

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

હવે તે જોવાનું સરળ છે કે આ ફંક્શનનો ગ્રાફ નીચેના રૂપાંતરણો દ્વારા ફંક્શન y = 1/x ના ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે: 3 એકમ સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જમણી તરફ શિફ્ટ કરો, Oy અક્ષ સાથે 7 વખત ખેંચો અને 2 દ્વારા ખસેડો એકમ વિભાગો ઉપર તરફ.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક y = (ax + b) / (cx + d) સમાન રીતે લખી શકાય છે, "પૂર્ણાંક ભાગ" ને પ્રકાશિત કરે છે. પરિણામે, તમામ અપૂર્ણાંક રેખીય કાર્યોના આલેખ હાઇપરબોલાસ છે, જે સંકલન અક્ષો સાથે વિવિધ રીતે સ્થાનાંતરિત થાય છે અને ઓય અક્ષ સાથે ખેંચાય છે.

કોઈપણ મનસ્વી અપૂર્ણાંક-રેખીય કાર્યનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી નથી. કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આલેખ એક હાયપરબોલા છે, તે સીધી રેખાઓ શોધવા માટે પૂરતું હશે જ્યાં તેની શાખાઓ પહોંચે છે - હાયપરબોલા x = -d/c અને y = a/c ના એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ઉદાહરણ 2.

ફંક્શન y = (3x + 5)/(2x + 2) ના આલેખના લક્ષણો શોધો.

ઉકેલ.

x = -1 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા x = -1 વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ તરીકે સેવા આપે છે. હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, ચાલો શોધીએ કે જ્યારે દલીલ x સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વધે છે ત્યારે ફંક્શન y(x) ની કિંમતો શું થાય છે.

આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા વિભાજીત કરો:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ તરીકે અપૂર્ણાંક 3/2 તરફ વળશે. આનો અર્થ એ છે કે આડી એસિમ્પ્ટોટ સીધી રેખા y = 3/2 છે.

ઉદાહરણ 3.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (2x + 1)/(x + 1).

ઉકેલ.

ચાલો અપૂર્ણાંકનો "સંપૂર્ણ ભાગ" પસંદ કરીએ:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

ડોમેન D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

જવાબ: આકૃતિ 1.

2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય

આવા તર્કસંગત કાર્યોના ઉદાહરણો:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) અથવા y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંક રહેવા દો (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનો ગ્રાફ પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના આલેખના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોના પ્લોટિંગ ગ્રાફ

ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના ગ્રાફ બનાવવાની ઘણી રીતો પર વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4.

કાર્ય y = 1/x 2 નો આલેખ કરો.

ઉકેલ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

મૂલ્યોની શ્રેણી E(y) = (0; +∞).

જવાબ: આકૃતિ 2.

ઉદાહરણ 5.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

ઉકેલ.

ડોમેન D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

જવાબ: આકૃતિ 3.

ઉદાહરણ 6.

ફંક્શનનો ગ્રાફ y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

ઉકેલ.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

જો x → ±∞, તો y → 1, એટલે કે. સીધી રેખા y = 1 એ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ: આકૃતિ 4.

ઉદાહરણ 7.

ચાલો ફંક્શન y = x/(x 2 + 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય ચોક્કસપણે શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે. ગ્રાફના જમણા અડધા ભાગમાં સૌથી વધુ બિંદુ. આ ગ્રાફને સચોટ રીતે બનાવવા માટે, આજનું જ્ઞાન પૂરતું નથી. દેખીતી રીતે, આપણો વળાંક ખૂબ ઊંચો "ઉદય" કરી શકતો નથી, કારણ કે છેદ ઝડપથી અંશને "ઓવરટેક" કરવાનું શરૂ કરે છે. ચાલો જોઈએ કે ફંક્શનની કિંમત 1 ની બરાબર હોઈ શકે છે કે કેમ. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 હલ કરવાની જરૂર છે. આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયા સૌથી મોટા A સમીકરણ A = x/(x 2 + 1) પાસે ઉકેલ હશે. ચાલો મૂળ સમીકરણને ચતુર્ભુજ સાથે બદલીએ: Ax 2 – x + A = 0. આ સમીકરણનો ઉકેલ છે જ્યારે 1 – 4A 2 ≥ 0. અહીંથી આપણે સૌથી મોટું મૂલ્ય A = 1/2 શોધીએ છીએ.

જવાબ: આકૃતિ 5, મહત્તમ y(x) = ½.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિધેયોનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.