ઉદાહરણ

પ્રદાન કરેલ કાર્યની સીમા શોધો એક્સઅને ખાતેસંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે:
ભૌમિતિક રીતે, સમસ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે: લંબગોળ પર
.

વિમાન
આ સમસ્યા આ રીતે ઉકેલી શકાય છે: સમીકરણમાંથી
એક્સ:

અમે શોધીએ છીએ
તે પ્રદાન કર્યું
.

, અંતરાલ પર એક ચલના કાર્યની સીમા શોધવાની સમસ્યામાં ઘટાડો ભૌમિતિક રીતે, સમસ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે: લંબગોળ પર
ભૌમિતિક રીતે, સમસ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે: લંબગોળ પર
, સિલિન્ડરને પાર કરીને મેળવવામાં આવે છે , તમારે એપ્લિકેશનનું મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે
આ સમસ્યા આ રીતે ઉકેલી શકાય છે: સમીકરણમાંથી
(Fig.9). આ સમસ્યા આ રીતે ઉકેલી શકાય છે: સમીકરણમાંથી એક્સ:

. પ્લેનના સમીકરણમાં y ની મળેલી કિંમતને બદલીને, આપણે એક ચલનું કાર્ય મેળવીએ છીએ
અમે શોધીએ છીએ
આમ, કાર્યના અંતિમ ભાગને શોધવાની સમસ્યા

, અંતરાલ પર એક ચલના ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યામાં ઘટાડો. તેથી, શોધવાની સમસ્યા શરતી અંતિમ
- આ ઉદ્દેશ્ય કાર્યના અંતિમ ભાગને શોધવાની સમસ્યા છે એક્સ, પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ચલો ખાતેઅને
પ્રતિબંધને આધીન , કહેવાય છે

જોડાણ સમીકરણ. ચાલો તે કહીએ
બિંદુ , કપ્લીંગ સમીકરણને સંતોષતા,સ્થાનિક શરતી મહત્તમ (ન્યૂનતમ
), જો કોઈ પડોશી હોય
જેમ કે કોઈપણ પોઈન્ટ માટે

, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ કનેક્શન સમીકરણને સંતોષે છે, અસમાનતા સંતુષ્ટ થાય છે. ખાતેજો યુગલ સમીકરણમાંથી કોઈ વ્યક્તિ માટે અભિવ્યક્તિ શોધી શકે છે , પછી, આ અભિવ્યક્તિને મૂળ ફંક્શનમાં બદલીને, આપણે બાદમાંને એક ચલના જટિલ કાર્યમાં ફેરવીએ છીએ

એક્સ. શરતી આત્યંતિક સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિ છેલેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ . ચાલો એક સહાયક કાર્ય બનાવીએ, જ્યાં ─ અમુક સંખ્યા. આ કાર્ય કહેવામાં આવે છે Lagrange કાર્ય , એ ─ લેગ્રેન્જ ગુણક. આમ, શરતી સીમા શોધવાનું કાર્ય લેગ્રેન્જ ફંક્શન માટે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ શોધવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે. સંભવિત અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે, તમારે ત્રણ અજ્ઞાત સાથે 3 સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે x, y

અને.

પછી તમારે એક્સ્ટ્રીમ માટે નીચેની પૂરતી સ્થિતિનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.. પ્રમેય
લેગ્રેન્જ ફંક્શન માટે બિંદુને સંભવિત એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ બનવા દો. ચાલો ધારીએ કે બિંદુની નજીકમાં વિધેયોના બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે અને

. ચાલો સૂચિત કરીએ
પછી જો
, તે
─ કાર્યનું શરતી અંતિમ બિંદુ
જોડાણ સમીકરણ સાથે
પછી જો
આ કિસ્સામાં, જો
પછી જો
─ શરતી લઘુત્તમ બિંદુ, જો

§8. ઢાળ અને દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન

કાર્ય કરવા દો
કેટલાક (ખુલ્લા) પ્રદેશમાં વ્યાખ્યાયિત. કોઈપણ બિંદુ ધ્યાનમાં લો
આ વિસ્તાર અને કોઈપણ નિર્દેશિત સીધી રેખા (અક્ષ) , આ બિંદુમાંથી પસાર થવું (ફિગ. 1). દો
- આ અક્ષ પર કોઈ અન્ય બિંદુ,
- વચ્ચેના સેગમેન્ટની લંબાઈ
વિધેયોના બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે
, વત્તા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, જો દિશા
ધરીની દિશા સાથે મેળ ખાય છે , અને જો તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોય તો ઓછા ચિહ્ન સાથે.

દો
અનિશ્ચિત સમય સુધી પહોંચે છે
. મર્યાદા

કહેવાય છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
દિશામાં (અથવા ધરી સાથે ) અને નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે:

.

આ વ્યુત્પન્ન બિંદુ પર ફંક્શનના "ફેરફારનો દર" દર્શાવે છે
દિશામાં . ખાસ કરીને, સામાન્ય આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ,"દિશાના સંદર્ભમાં" ડેરિવેટિવ્ઝ તરીકે પણ વિચારી શકાય છે.

ચાલો હવે ધારીએ કે ફંક્શન
વિચારણા હેઠળના પ્રદેશમાં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે. ધરી દો સંકલન અક્ષો સાથે ખૂણા બનાવે છે
વિધેયોના બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે . બનાવેલ ધારણાઓ હેઠળ, દિશાત્મક વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

.

જો વેક્ટર
તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
, પછી ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન
વેક્ટરની દિશામાં
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

.

કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર
કહેવાય છે ઢાળ વેક્ટરકાર્યો
બિંદુ પર
. ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર આપેલ બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા સૂચવે છે.

ઉદાહરણ

ફંક્શન આપેલ છે, બિંદુ A(1, 1) અને વેક્ટર
. શોધો: 1) બિંદુ A પર ગ્રેડ z; 2) વેક્ટરની દિશામાં બિંદુ A પર વ્યુત્પન્ન .

એક બિંદુ પર આપેલ કાર્યના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ
:

;
.

પછી આ બિંદુએ ફંક્શનનો ઢાળ વેક્ટર છે:
. વેક્ટર વિઘટનનો ઉપયોગ કરીને ઢાળ વેક્ટર પણ લખી શકાય છે વિધેયોના બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે :

. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન વેક્ટરની દિશામાં :

તેથી,
,
.◄

શરતી આત્યંતિક.

અનેક ચલોના કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા

ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.

સ્થાનિક આત્યંતિક FNP

ફંક્શન આપવા દો અને= f(P), РÎDÌR nઅને બિંદુ P 0 દો ( એ 1 , એ 2 , ..., એક પી) –આંતરિકસેટ ડી બિંદુ.

વ્યાખ્યા 9.4.

1) બિંદુ P 0 કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ કાર્યો અને= f(P), જો આ બિંદુ U(P 0) М D ની પડોશ હોય તો કોઈપણ બિંદુ P( માટે એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , શરત સંતુષ્ટ છે f(પી) £ f(પી 0). અર્થ f(P 0) મહત્તમ બિંદુ પર કાર્ય કહેવાય છે કાર્યની મહત્તમ અને નિયુક્ત થયેલ છે f(P0) = મહત્તમ f(પી).

2) બિંદુ P 0 કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ કાર્યો અને= f(P), જો આ બિંદુ U(P 0)Ì D ની પડોશ હોય તો કોઈપણ બિંદુ P( માટે એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , શરત સંતુષ્ટ છે f(P)³ f(પી 0). અર્થ f(P 0) લઘુત્તમ બિંદુ પર કાર્ય કહેવાય છે ન્યૂનતમ કાર્ય અને નિયુક્ત થયેલ છે f(P 0) = મિનિટ f(પી).

ફંક્શનના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ, એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોને કહેવામાં આવે છે કાર્યની અંતિમ

વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ, અસમાનતાઓ f(પી) £ f(પી 0) , f(P)³ f(P 0) માત્ર બિંદુ P 0 ના ચોક્કસ પડોશમાં જ સંતુષ્ટ હોવું જોઈએ, અને ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં નહીં, જેનો અર્થ છે કે ફંક્શનમાં એક જ પ્રકારના ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે (કેટલાક મિનિમા, ઘણા મેક્સિમા) . તેથી, ઉપર નિર્ધારિત અંતિમો કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક(સ્થાનિક) ચરમસીમાઓ.

પ્રમેય 9.1 (FNP ના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી સ્થિતિ)

જો કાર્ય અને= f(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x n) બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવે છે, તો આ બિંદુએ તેના પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ કાં તો શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પુરાવો.બિંદુ P 0 પર ચાલો ( એ 1 , એ 2 , ..., એક પી) કાર્ય અને= f(P) પાસે એક્સ્ટ્રીમ છે, ઉદાહરણ તરીકે, મહત્તમ. ચાલો દલીલો ઠીક કરીએ એક્સ 2 , ..., x n, મૂકવું એક્સ 2 =એ 2 ,..., x n = એક પી. પછી અને= f(પી) = f 1 ((એક્સ 1 , એ 2 , ..., એક પી) એ એક ચલનું કાર્ય છે એક્સ 1. ત્યારથી આ કાર્ય છે એક્સ 1 = એ 1 આત્યંતિક (મહત્તમ), પછી f 1 ¢=0 અથવા જ્યારે અસ્તિત્વમાં નથી એક્સ 1 =એ 1 (એક ચલના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ). પરંતુ, તેનો અર્થ એ છે કે બિંદુ P 0 પર અસ્તિત્વમાં નથી - આત્યંતિક બિંદુ. તેવી જ રીતે, આપણે અન્ય ચલોના સંદર્ભમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્સને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. સીટીડી.

ફંક્શનના ડોમેનમાં એવા બિંદુઓ કે જેના પર પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ આ કાર્ય.

પ્રમેય 9.1 માંથી નીચે મુજબ, FNP ના અંતિમ બિંદુઓ કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ વચ્ચે માંગવા જોઈએ. પરંતુ, એક ચલના કાર્ય માટે, દરેક નિર્ણાયક બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી.

પ્રમેય 9.2 (FNP ના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી સ્થિતિ)

P 0 એ ફંક્શનનો નિર્ણાયક બિંદુ છે અને= f(પી) અને આ ફંક્શનનો બીજો ક્રમ તફાવત છે. પછી

a) જો ડી 2 u(P 0) > 0 પર , પછી P 0 એક બિંદુ છે ન્યૂનતમકાર્યો અને= f(પી);

b) જો ડી 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка મહત્તમકાર્યો અને= f(પી);

c) જો ડી 2 u(P 0) ચિહ્ન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી, પછી P 0 એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી;

અમે પુરાવા વિના આ પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું.

નોંધ કરો કે પ્રમેય જ્યારે કેસને ધ્યાનમાં લેતા નથી ડી 2 u(P 0) = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. આનો અર્થ એ છે કે આવી પરિસ્થિતિઓમાં બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે - અમને જરૂર છે વધારાના સંશોધન, ઉદાહરણ તરીકે, આ બિંદુએ કાર્યના વધારાનો અભ્યાસ કરવો.

વધુ વિગતવાર ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં તે સાબિત થાય છે કે, ખાસ કરીને કાર્ય માટે z = f(x,y) બે ચલોનો, જેનો બીજો ક્રમ વિભેદક ફોર્મનો સરવાળો છે

નિર્ણાયક બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો અભ્યાસ સરળ બનાવી શકાય છે.

ચાલો સૂચિત કરીએ, , . ચાલો નિર્ણાયક કંપોઝ કરીએ

.

તારણ:

ડી 2 z> બિંદુ P 0 પર 0, એટલે કે. P 0 - ન્યૂનતમ બિંદુ, જો એ(P 0) > 0 અને D(P 0) > 0;

ડી 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если એ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

જો D(P 0)< 0, то ડી 2 zબિંદુ P 0 ની નજીકમાં તે ચિહ્ન બદલે છે અને બિંદુ P 0 પર કોઈ અંતિમ નથી;

જો D(Р 0) = 0 હોય, તો નિર્ણાયક બિંદુ Р 0 ની નજીકમાં કાર્યનો વધારાનો અભ્યાસ પણ જરૂરી છે.

આમ, કાર્ય માટે z = f(x,y) આપણી પાસે બે ચલો છે આગામી અલ્ગોરિધમ(ચાલો તેને "એલ્ગોરિધમ ડી" કહીએ) એક્સ્ટ્રીમમ શોધવા માટે:

1) વ્યાખ્યા D(નું ડોમેન શોધો f) કાર્યો.

2) શોધો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ, એટલે કે ડી થી પોઈન્ટ( f), જેના માટે અને શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

3) દરેક નિર્ણાયક બિંદુ પર P 0 તપાસો પૂરતી શરતોઆત્યંતિક આ કરવા માટે, શોધો , જ્યાં , , અને D(P 0) અને ગણતરી કરો એ(P 0).પછી:

જો D(P 0) >0, તો બિંદુ P 0 પર એક સીમા છે, અને જો એ(P 0) > 0 – પછી આ ન્યૂનતમ છે, અને જો એ(પૃષ્ઠ 0)< 0 – максимум;

જો D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

જો D(P 0) = 0, તો વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

4) મળેલા અંતિમ બિંદુઓ પર, કાર્યની કિંમતની ગણતરી કરો.

ઉદાહરણ 1.

કાર્યની સીમા શોધો z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

ઉકેલ.આ કાર્યનો અવકાશ સમગ્ર છે સંકલન વિમાન. ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ.

, , Þ P 0 (0,0), .

ચાલો તપાસ કરીએ કે એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો પૂરી થાય છે કે કેમ. અમે શોધીશું

6એક્સ, = -3, = 48ખાતેઅને = 288xy – 9.

પછી D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – બિંદુ Р 1 પર એક સીમા છે, અને ત્યારથી એ(P 1) = 3 >0, તો પછી આ એક્સ્ટ્રીમમ ન્યૂનતમ છે. તેથી મિ z=z(P 1) = .

ઉદાહરણ 2.

કાર્યની સીમા શોધો .

ઉકેલ: D( f) =R 2 . જટિલ મુદ્દાઓ: ; જ્યારે અસ્તિત્વમાં નથી ખાતે= 0, જેનો અર્થ થાય છે P 0 (0,0) એ આ કાર્યનો નિર્ણાયક બિંદુ છે.

2, = 0, = , = , પરંતુ D(P 0) વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી તેની નિશાનીનો અભ્યાસ કરવો અશક્ય છે.

આ જ કારણસર, પ્રમેય 9.2 ને સીધું લાગુ કરવું અશક્ય છે - ડી 2 zઆ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો ફંક્શનના વધારાને ધ્યાનમાં લઈએ f(x, y) બિંદુ P 0 પર. જો ડી f =f(પી) - f(P 0)>0 "P, તો P 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, પરંતુ જો D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

ડી f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

ખાતે ડી x= 0.1 અને ડી y= -0.008 આપણને ડી મળે છે f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 અને ડી y= 0.001 ડી f= 0.01 + 0.1 > 0, એટલે કે. બિંદુ P 0 ની નજીકમાં કોઈપણ સ્થિતિ D સંતુષ્ટ નથી f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) અને તેથી P 0 એ મહત્તમ બિંદુ નથી), અને શરત D નથી f>0 (એટલે ​​કે f(x, y) > f(0, 0) અને પછી P 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ નથી). આનો અર્થ એ છે કે, એક્સ્ટ્રીમમની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, આ ફંક્શનમાં કોઈ સીમા નથી.

શરતી આત્યંતિક.

ફંક્શનની ગણવામાં આવેલ સીમા કહેવાય છે બિનશરતી, કારણ કે ફંક્શન દલીલો પર કોઈ નિયંત્રણો (શરતો) લાદવામાં આવતા નથી.

વ્યાખ્યા 9.2.કાર્યની આત્યંતિક અને = f(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x n), તેની દલીલો શરત હેઠળ મળી એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x nસમીકરણો j 1 ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x n) = 0, …, j ટી(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x n) = 0, જ્યાં P ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x n) ઓ ડી( f), કહેવાય છે શરતી અંતિમ .

સમીકરણો જે k(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, કહેવાય છે જોડાણ સમીકરણો.

ચાલો કાર્યો જોઈએ z = f(x,y) બે ચલો. જો જોડાણ સમીકરણ એક છે, એટલે કે. , તો પછી કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ શોધવાનો અર્થ એ છે કે એક્સ્ટ્રીમમને ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં નહીં, પરંતુ D(માં આવેલા કેટલાક વળાંક પર શોધવામાં આવે છે. f) (એટલે ​​​​કે, તે સર્વોચ્ચ અથવા સર્વોચ્ચ નથી નીચા પોઈન્ટસપાટીઓ z = f(x,y), અને સિલિન્ડર સાથે આ સપાટીના આંતરછેદના બિંદુઓમાંથી સૌથી વધુ અથવા સૌથી નીચા બિંદુઓ, ફિગ. 5).

ફંક્શનની શરતી સીમા z = f(x,yબે ચલોમાંથી ) નીચેની રીતે શોધી શકાય છે( દૂર કરવાની પદ્ધતિ). સમીકરણમાંથી, ચલોમાંના એકને બીજાના ફંક્શન તરીકે વ્યક્ત કરો (ઉદાહરણ તરીકે, લખો ) અને, ચલના આ મૂલ્યને ફંક્શનમાં બદલીને, બાદમાંને એક ચલના ફંક્શન તરીકે લખો. ). એક ચલના પરિણામી કાર્યની સીમા શોધો.

પ્રથમ, ચાલો બે ચલોના કાર્યના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ. $M_0(x_0;y_0)$ બિંદુ પર ફંક્શન $z=f(x,y)$ ની શરતી સીમા એ આ ફંક્શનની સીમા છે, તે શરત હેઠળ પ્રાપ્ત થાય છે કે ચલોમાં $x$ અને $y$ આ બિંદુની નજીકમાં જોડાણ સમીકરણ $\ varphi (x,y)=0$ સંતોષે છે.

"શરતી" એક્સ્ટ્રીમમ નામ એ હકીકતને કારણે છે કે વધારાની સ્થિતિ $\varphi(x,y)=0$ ચલો પર લાદવામાં આવી છે. જો એક ચલને કનેક્શન સમીકરણમાંથી બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, તો પછી શરતી સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યા એક ચલના કાર્યની સામાન્ય સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યામાં ઘટાડો થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કનેક્શન સમીકરણ $y=\psi(x)$ સૂચવે છે, તો $y=\psi(x)$ ને $z=f(x,y)$ માં બદલીને, અમે એક ચલ $z નું કાર્ય મેળવીએ છીએ. =f\ડાબે (x,\psi(x)\જમણે)$. IN સામાન્ય કેસજો કે, આ પદ્ધતિનો થોડો ઉપયોગ થતો નથી, તેથી નવા અલ્ગોરિધમનો પરિચય જરૂરી છે.

બે ચલોના કાર્યો માટે લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ.

લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિમાં કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ શોધવા માટે લેગ્રેન્જ ફંક્શન બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ પેરામીટર કહેવાય છે. લેગ્રેન્જ ગુણક). એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેમાંથી સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવામાં આવે છે:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(સંરેખિત) \right.

એક પર્યાપ્ત શરત કે જેનાથી વ્યક્તિ છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરી શકે છે તે છે $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. જો માં સ્થિર બિંદુ$d^2F > 0$, પછી ફંક્શન $z=f(x,y)$ આ બિંદુએ શરતી લઘુત્તમ છે, પરંતુ જો $d^2F< 0$, то условный максимум.

એક્સ્ટ્રીમની પ્રકૃતિ નક્કી કરવાની બીજી રીત છે. જોડાણ સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, તેથી કોઈપણ સ્થિર બિંદુ પર અમારી પાસે છે:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^(")^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^(")^2 F_(yy)^ ("") \ અધિકાર)$$

બીજું પરિબળ (કૌંસમાં સ્થિત) આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

નિર્ણાયક $\left| ના તત્વો લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે. \\begin(એરે) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end (એરે)\right|$, જે લેગ્રેન્જ ફંક્શનનું હેસિયન છે. જો $H > 0$, તો $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, એટલે કે અમારી પાસે ફંક્શન $z=f(x,y)$નું શરતી ન્યૂનતમ છે.

નિર્ણાયક $H$ ના સંકેત સંબંધિત નોંધ. બતાવો\ છુપાવો

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ અંત(એરે) \right| $$

આ સ્થિતિમાં, ઉપર ઘડવામાં આવેલ નિયમ નીચે પ્રમાણે બદલાશે: જો $H > 0$, તો ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ છે, અને જો $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ માટે બે ચલોના કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. લેગ્રેન્જ ફંક્શન $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ કંપોઝ કરો
2. સિસ્ટમ ઉકેલો $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(સંરેખિત) \right.$
3. પાછલા ફકરામાં જોવા મળેલા દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. આ કરવા માટે, નીચેની કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો:
   • $H$ ના નિર્ણાયકની રચના કરો અને તેની નિશાની શોધો
   • યુગલ સમીકરણને ધ્યાનમાં રાખીને, $d^2F$ ની ચિહ્નની ગણતરી કરો

n ચલોના કાર્યો માટે લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે $n$ ચલોનું કાર્ય છે $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ અને $m$ કપલિંગ સમીકરણો ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange ગુણકને $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ તરીકે દર્શાવીને, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કમ્પોઝ કરીએ છીએ:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

શરતી સીમાની હાજરી માટે જરૂરી શરતો સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાંથી સ્થિર બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને લેગ્રેન્જ ગુણાકારના મૂલ્યો જોવા મળે છે:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ઓવરલાઇન(1,m)) \end(સંરેખિત) \right.$$

તમે $d^2F$ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને, પહેલાની જેમ, મળેલા બિંદુ પર ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ અથવા શરતી મહત્તમ છે કે કેમ તે શોધી શકો છો. જો મળેલ બિંદુ $d^2F > 0$ પર હોય, તો ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ હોય છે, પરંતુ જો $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક $\left| \begin(એરે) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\આંશિક x_(2)\આંશિક x_(3)) &\ldots અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\આંશિક x_(3) \આંશિક x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( એરે) \right|$, મેટ્રિક્સ $L$ માં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત, લેગ્રેન્જ ફંક્શનનું હેસિયન છે. અમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

• જો ચિહ્નો ખૂણે સગીરો$H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ મેટ્રિસિસ $L$ $(-1)^m$ ના ચિહ્ન સાથે એકરુપ થાય છે, પછી અભ્યાસ હેઠળનો સ્થિર બિંદુ એ ફંક્શન $નો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• જો કોણીય સગીરોના ચિહ્નો $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ વૈકલ્પિક, અને નાના $H_(2m+1)$નું ચિહ્ન $(-1)^(m+1) નંબરના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે )$, પછી સ્થિર બિંદુ એ ફંક્શન $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ નો શરતી મહત્તમ બિંદુ છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

$x^2+y^2=10$ શરત હેઠળ $z(x,y)=x+3y$ ફંક્શનની શરતી સીમા શોધો.

આ સમસ્યાનું ભૌમિતિક અર્થઘટન નીચે મુજબ છે: તમારે સૌથી મોટું અને શોધવાની જરૂર છે સૌથી નાનું મૂલ્યસિલિન્ડર $x^2+y^2=10$ સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ માટે પ્લેન $z=x+3y$ લાગુ કરે છે.

કપલિંગ સમીકરણમાંથી એક ચલને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરવું અને તેને $z(x,y)=x+3y$ ફંક્શનમાં બદલવું થોડું મુશ્કેલ છે, તેથી આપણે લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ સૂચવતા, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) F)(\આંશિક x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

ચાલો લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (સંરેખિત)\right.$$

જો આપણે $\lambda=0$ ધારીએ, તો પ્રથમ સમીકરણ બનશે: $1=0$. પરિણામી વિરોધાભાસ સૂચવે છે કે $\lambda\neq 0$. $\lambda\neq 0$ શરત હેઠળ, પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણી પાસે છે: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. પ્રાપ્ત મૂલ્યોને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(સંરેખિત) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(સંરેખિત) \right.\\ \begin(સંરેખિત) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(સંરેખિત) $$

તેથી, સિસ્ટમ પાસે બે ઉકેલો છે: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ અને $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ચાલો આપણે દરેક સ્થિર બિંદુ પર છેડાની પ્રકૃતિ શોધીએ: $M_1(1;3)$ અને $M_2(-1;-3)$. આ કરવા માટે, અમે દરેક બિંદુ પર $H$ ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(એરે) \right|= \ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(એરે) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right| $$

બિંદુ $M_1(1;3)$ પર આપણને મળે છે: $H=8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(એરે) \right|=40 > 0$, તેથી આ પર બિંદુ $M_1(1;3)$ ફંક્શન $z(x,y)=x+3y$ પાસે શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

એ જ રીતે, બિંદુ $M_2(-1,-3)$ પર આપણે શોધીએ છીએ: $H=8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(એરે) \right|=-40$. $H થી< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

હું નોંધું છું કે દરેક બિંદુ પર નિર્ણાયક $H$ ના મૂલ્યની ગણતરી કરવાને બદલે, તેને વિસ્તૃત કરવું વધુ અનુકૂળ છે સામાન્ય દૃશ્ય. વિગતો સાથે ટેક્સ્ટને ગડબડ ન કરવા માટે, હું આ પદ્ધતિને નોંધ હેઠળ છુપાવીશ.

સામાન્ય સ્વરૂપમાં નિર્ણાયક $H$ લખવું. બતાવો\ છુપાવો

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(એરે)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\જમણે). $$

સૈદ્ધાંતિક રીતે, તે પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે કે $H$ નું શું ચિહ્ન છે. કારણ કે $M_1$ અથવા $M_2$માંથી કોઈપણ બિંદુ મૂળ સાથે એકરુપ નથી, પછી $y^2+x^2>0$. તેથી, $H$ નું ચિહ્ન $\lambda$ ના ચિહ્નની વિરુદ્ધ છે. તમે ગણતરીઓ પૂર્ણ કરી શકો છો:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(સંરેખિત) $$

સ્થિર બિંદુઓ $M_1(1;3)$ અને $M_2(-1;-3)$ પરના એક્સ્ટ્રીમમની પ્રકૃતિ વિશેનો પ્રશ્ન નિર્ણાયક $H$ નો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલી શકાય છે. ચાલો દરેક સ્થિર બિંદુ પર $d^2F$ ની નિશાની શોધીએ:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\જમણે) $$

મને નોંધ લેવા દો કે નોટેશન $dx^2$ નો અર્થ બરાબર $dx$ બીજા પાવરમાં વધારો થાય છે, એટલે કે. $\left(dx \જમણે)^2$. તેથી અમારી પાસે છે: $dx^2+dy^2>0$, તેથી, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ સાથે અમને $d^2F મળે છે< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без વધારાના પરિવર્તનો. IN નીચેના ઉદાહરણ$d^2F$ ની નિશાની નક્કી કરવા માટે $dx$ અને $dy$ વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી રહેશે.

જવાબ આપો: બિંદુએ $(-1;-3)$ ફંક્શનમાં શરતી ન્યૂનતમ છે, $z_(\min)=-10$. બિંદુએ $(1;3)$ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=10$

ઉદાહરણ નંબર 2

$x+y=0$ શરત હેઠળ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ફંક્શનની શરતી સીમા શોધો.

પ્રથમ પદ્ધતિ (લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ)

$\varphi(x,y)=x+y$ દર્શાવતા, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(સંરેખિત) \right.

સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ અને $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. અમારી પાસે બે સ્થિર બિંદુઓ છે: $M_1(0;0)$ અને $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. ચાલો નિર્ણાયક $H$ નો ઉપયોગ કરીને દરેક સ્થિર બિંદુ પર છેડાની પ્રકૃતિ શોધીએ.

$$H=\ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(એરે) \right|= \ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 અને 1 અને 1\\ 1 અને 8 અને -1 \\ 1 & -1 અને 18y \end(એરે) \right|=-10-18y $$

બિંદુએ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, તેથી આ બિંદુએ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ, $z_(\max)=\frac(500)(243)$ છે.

અમે $d^2F$ ની નિશાની પર આધારિત, એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને દરેક બિંદુએ એક્સ્ટ્રામમની પ્રકૃતિની તપાસ કરીએ છીએ:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

જોડાણ સમીકરણ $x+y=0$ પરથી આપણી પાસે છે: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

ત્યારથી $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, પછી $M_1(0;0)$ એ $z(x,y)=3y^3+ ફંક્શનનો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે 4x^ 2-xy$. તેવી જ રીતે, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

બીજી રીત

જોડાણ સમીકરણ $x+y=0$ પરથી આપણને મળે છે: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ફંકશનમાં $y=-x$ ને બદલીને, અમે $x$ ચલનું અમુક કાર્ય મેળવીએ છીએ. ચાલો આ ફંકશનને $u(x)$ તરીકે દર્શાવીએ:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

આમ, અમે બે ચલોના ફંક્શનની શરતી સીમા શોધવાની સમસ્યાને એક ચલના ફંક્શનની સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યામાં ઘટાડો કર્યો.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

અમે $M_1(0;0)$ અને $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ મેળવ્યા. અભ્યાસક્રમ પરથી વધુ સંશોધન જાણવા મળે છે વિભેદક કલનએક ચલ સાથેના કાર્યો. દરેક સ્થિર બિંદુ પર $u_(xx)^("")$ ના ચિહ્નની તપાસ કરીને અથવા મળેલા બિંદુઓ પર $u_(x)^(")$ ના ચિહ્નમાં ફેરફારને તપાસીને, અમે સમાન તારણો મેળવીએ છીએ જ્યારે પ્રથમ પદ્ધતિને હલ કરવી ઉદાહરણ તરીકે, અમે $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

ત્યારથી $u_(xx)^("")(M_1)>0$, તો $M_1$ એ ફંક્શન $u(x)$, અને $u_(\min)=u(0)=0 નો ન્યૂનતમ બિંદુ છે $. $u_(xx)^("")(M_2) થી<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

આપેલ કનેક્શન શરત માટે ફંક્શન $u(x)$ ના મૂલ્યો ફંકશન $z(x,y)$ ના મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે. ફંક્શન $u(x)$ ની શોધાયેલ એક્સ્ટ્રીમા એ $z(x,y)$ ફંક્શનની શરતી સીમા છે.

જવાબ આપો: બિંદુ $(0;0)$ પર ફંક્શનમાં શરતી ન્યૂનતમ છે, $z_(\min)=0$. બિંદુએ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

ચાલો બીજા એક ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં અમે $d^2F$ ની નિશાની નક્કી કરીને અંતિમ ભાગની પ્રકૃતિને સ્પષ્ટ કરીશું.

ઉદાહરણ નંબર 3

$z=5xy-4$ ફંકશનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો જો $x$ અને $y$ ચલો હકારાત્મક હોય અને જોડાણ સમીકરણ $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

ચાલો Lagrange ફંક્શન કંપોઝ કરીએ: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. ચાલો Lagrange ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(સંરેખિત) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(સંરેખિત) \right.

બધા આગળના પરિવર્તનો $x > 0 ને ધ્યાનમાં લઈને હાથ ધરવામાં આવે છે; \; y > 0$ (આ સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત છે). બીજા સમીકરણમાંથી આપણે $\lambda=-\frac(5x)(y)$ વ્યક્ત કરીએ છીએ અને પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. $x=2y$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

ત્યારથી $y=1$, પછી $x=2$, $\lambda=-10$. અમે $d^2F$ ના ચિન્હના આધારે $(2;1)$ બિંદુ પર છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરીએ છીએ.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

ત્યારથી $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, પછી:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

સૈદ્ધાંતિક રીતે, અહીં તમે સ્થિર બિંદુ $x=2$, $y=1$ અને પરિમાણ $\lambda=-10$ ના કોઓર્ડિનેટ્સ તરત જ બદલી શકો છો, મેળવી શકો છો:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

જો કે, શરતી સીમા પર અન્ય સમસ્યાઓમાં ઘણા સ્થિર બિંદુઓ હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય સ્વરૂપમાં $d^2F$નું પ્રતિનિધિત્વ કરવું વધુ સારું છે, અને પછી દરેક મળી આવેલા સ્થિર બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બદલો:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ને બદલીને, અમને મળે છે:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 થી< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

જવાબ આપો: બિંદુ $(2;1)$ પર ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=6$.

આગળના ભાગમાં આપણે વિધેયો માટે લેગ્રેન્જ પદ્ધતિના ઉપયોગ વિશે વિચારણા કરીશું વધુચલો

વ્યાખ્યા 1: ફંક્શનને બિંદુ પર સ્થાનિક મહત્તમ હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો< 0.

વ્યાખ્યા2: કાર્યને બિંદુ પર લઘુત્તમ સ્થાનિક હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો > 0.

વ્યાખ્યા 3: બિંદુઓ સ્થાનિક મિનિમાઅને મહત્તમ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ.

શરતી ચરમસીમાઓ

જ્યારે ઘણા ચલોના ફંક્શનની આત્યંતિકતા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણીવાર કહેવાતા સંબંધિત સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે શરતી અંતિમ.આ ખ્યાલને બે ચલોના કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે.

એક ફંક્શન અને લીટી આપવા દો એલપ્લેનમાં 0xy. કાર્ય લાઇન પર મેળવવાનું છે એલઆવા બિંદુ શોધો P(x, y),જેમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય રેખા પરના બિંદુઓ પર આ ફંક્શનના મૂલ્યોની તુલનામાં સૌથી મોટું અથવા નાનું હોય છે એલ, બિંદુની નજીક સ્થિત છે પી. આવા બિંદુઓ પીકહેવાય છે શરતી આત્યંતિક બિંદુઓલાઇન પર કાર્યો એલ. સામાન્ય એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટથી વિપરીત, શરતી એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના ફંક્શનના મૂલ્યો સાથે તેના પડોશના તમામ બિંદુઓ પર નહીં, પરંતુ ફક્ત તે જ સાથે કરવામાં આવે છે જે રેખા પર આવેલા હોય છે. એલ.

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સામાન્ય ચરમસીમાનો મુદ્દો (તેઓ પણ કહે છે બિનશરતી અંતિમ) આ બિંદુ પરથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા માટે શરતી અંતિમ બિંદુ પણ છે. વાતચીત, અલબત્ત, સાચી નથી: શરતી આત્યંતિક બિંદુ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ ન હોઈ શકે. મેં જે કહ્યું તે મને સમજાવવા દો સામાન્ય ઉદાહરણ. કાર્યનો ગ્રાફ ઉપલા ગોળાર્ધ (પરિશિષ્ટ 3 (ફિગ. 3)) છે.

આ કાર્ય મૂળ પર મહત્તમ છે; શિરોબિંદુ તેને અનુલક્ષે છે એમગોળાર્ધ જો રેખા એલબિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે એઅને IN(તેનું સમીકરણ x+y-1=0), પછી તે ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આ રેખાના બિંદુઓ માટે ઉચ્ચતમ મૂલ્યબિંદુઓ વચ્ચે મધ્યમાં આવેલા બિંદુ પર કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે એઅને INઆ લાઇન પર ફંક્શનના શરતી આત્યંતિક (મહત્તમ) નું બિંદુ છે; તે ગોળાર્ધ પરના પોઈન્ટ M 1 ને અનુરૂપ છે, અને આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં કોઈ સામાન્ય અંતિમની વાત કરી શકાતી નથી.

નોંધ કરો કે કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાના અંતિમ ભાગમાં બંધ વિસ્તારઆપણે આ પ્રદેશની સીમા પર ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવા પડશે, એટલે કે. અમુક લાઇન પર, અને ત્યાંથી શરતી આત્યંતિક સમસ્યા હલ કરો.

ચાલો હવે Z= f(x, y) ફંક્શનના કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટ માટે વ્યવહારુ શોધ તરફ આગળ વધીએ, જો કે x અને y ચલ સમીકરણ (x, y) = 0 દ્વારા સંબંધિત છે. અમે આ સંબંધને કહીશું જોડાણ સમીકરણ. જો કપ્લીંગ સમીકરણમાંથી y ને x: y=(x) ના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય, તો આપણે એક ચલ Z= f(x, (x)) = Ф(x) નું કાર્ય મેળવીએ છીએ.

મૂલ્ય x કે જેના પર આ ફંક્શન એક્સ્ટ્રીમમ સુધી પહોંચે છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, અને પછી કનેક્શન સમીકરણ પરથી અનુરૂપ y મૂલ્યો નક્કી કર્યા પછી, અમે શરતી સીમાના ઇચ્છિત બિંદુઓ મેળવીએ છીએ.

તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, સંબંધ સમીકરણ x+y-1=0 પરથી આપણી પાસે y=1-x છે. અહીંથી

તે તપાસવું સરળ છે કે z તેની મહત્તમ x = 0.5 પર પહોંચે છે; પરંતુ પછી કનેક્શન સમીકરણ y = 0.5 થી, અને આપણને ભૌમિતિક વિચારણાઓમાંથી મળેલ બિંદુ P બરાબર મળે છે.

જ્યારે કનેક્શન સમીકરણ રજૂ કરી શકાય ત્યારે પણ શરતી સીમાની સમસ્યા ખૂબ જ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે પેરામેટ્રિક સમીકરણો x=x(t), y=y(t). x અને y માટેના અભિવ્યક્તિઓને માં બદલીને આ કાર્ય, આપણે ફરી એક ચલના ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યા પર આવીએ છીએ.

જો કપ્લીંગ સમીકરણ કરતાં વધુ હોય જટિલ દેખાવઅને અમે કાં તો એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં અસમર્થ છીએ, અથવા તેને પેરામેટ્રિક સમીકરણો સાથે બદલી શકીએ છીએ, તો શરતી સીમા શોધવાનું કાર્ય વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે. અમે એમ માનવાનું ચાલુ રાખીશું કે ફંક્શન z= f(x, y) ની અભિવ્યક્તિમાં ચલ (x, y) = 0. ફંક્શન z= f(x, y) નું કુલ વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

જ્યાં વિભેદક નિયમનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન y` જોવા મળે છે ગર્ભિત કાર્ય. શરતી સીમાના બિંદુઓ પર, મળી આવેલ કુલ વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ; આ x અને y ને લગતું એક સમીકરણ આપે છે. કારણ કે તેઓએ જોડાણ સમીકરણને પણ સંતોષવું આવશ્યક છે, અમને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને પ્રમાણના રૂપમાં લખીને અને નવી સહાયક અજ્ઞાત રજૂ કરીને આ સિસ્ટમને વધુ અનુકૂળમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

(સામે માઈનસ ચિહ્ન સુવિધા માટે છે). આ સમાનતાઓમાંથી નીચેની સિસ્ટમમાં જવાનું સરળ છે:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

જે, જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે મળીને, અજાણ્યા x, y અને સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે.

આ સમીકરણો (*) નો ઉપયોગ કરીને યાદ રાખવા માટે સૌથી સરળ છે આગામી નિયમ: ફંક્શનના શરતી એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોઈ શકે તેવા પોઈન્ટ શોધવા માટે

Z= f(x, y) જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે, તમારે સહાયક કાર્ય બનાવવાની જરૂર છે

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

ક્યાં અમુક સ્થિર છે, અને આ કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો બનાવો.

સમીકરણોની સૂચવેલ સિસ્ટમ, નિયમ તરીકે, ફક્ત પ્રદાન કરે છે જરૂરી શરતો, એટલે કે મૂલ્યોની દરેક જોડી x અને y જે આ સિસ્ટમને સંતોષે છે તે આવશ્યકપણે શરતી અંતિમ બિંદુ નથી. હું શરતી આત્યંતિક બિંદુઓ માટે પૂરતી શરતો આપીશ નહીં; ઘણી વાર સમસ્યાની વિશિષ્ટ સામગ્રી પોતે જ સૂચવે છે કે શોધાયેલ બિંદુ શું છે. શરતી સીમા પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વર્ણવેલ તકનીકને લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

અનેક ચલોના કાર્યોની એક્સ્ટ્રીમા. એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ. શરતી આત્યંતિક. લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ. સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો.

વ્યાખ્યાન 5.

વ્યાખ્યા 5.1.ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) > f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y) એમ 0.

વ્યાખ્યા 5.2.ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) < f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y)બિંદુના અમુક પડોશમાંથી એમ 0.

નોંધ 1. મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓકેટલાક ચલોના કાર્યો.

ટીકા 2. કોઈપણ સંખ્યાના ચલોના કાર્ય માટે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 5.1(એક છેડા માટે જરૂરી શરતો). જો M 0 (x 0, y 0)- કાર્યનો અંતિમ બિંદુ z = f (x, y),પછી આ બિંદુએ આ ફંક્શનના પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પુરાવો.

ચાલો વેરીએબલની કિંમત ઠીક કરીએ ખાતે, ગણતરી y = y 0. પછી કાર્ય f (x, y 0)એક ચલનું કાર્ય હશે એક્સ, જેના માટે x = x 0આત્યંતિક બિંદુ છે. તેથી, ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા, અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. આ જ નિવેદન માટે સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

વ્યાખ્યા 5.3.અનેક ચલોના ફંક્શનના ડોમેન સાથે જોડાયેલા પોઈન્ટ કે જેના પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્ય સમાન હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બિંદુઓઆ કાર્ય.

ટિપ્પણી. આમ, અંતિમ બિંદુ માત્ર સ્થિર બિંદુઓ પર પહોંચી શકાય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી કે તે દરેક પર અવલોકન કરવામાં આવે.

પ્રમેય 5.2(એક છેડા માટે પૂરતી શરતો). બિંદુના કેટલાક પડોશમાં દો M 0 (x 0, y 0), જે કાર્યનું સ્થિર બિંદુ છે z = f (x, y),આ ફંક્શનમાં 3જી ઓર્ડર સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે. ચાલો પછી સૂચિત કરીએ:

1) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0મહત્તમ જો એસી-બી² > 0, એ < 0;

2) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0ન્યૂનતમ જો એસી-બી² > 0, એ > 0;

3) નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ અંતિમ નથી જો એસી-બી² < 0;

4) જો એસી-બી² = 0, વધુ સંશોધનની જરૂર છે.

પુરાવો.

ચાલો ફંક્શન માટે સેકન્ડ ઓર્ડર ટેલર ફોર્મ્યુલા લખીએ f(x,y),યાદ રાખવું કે સ્થિર બિંદુ પર પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે:

જ્યાં જો સેગમેન્ટ વચ્ચેનો કોણ M 0 M, ક્યાં M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ખાતે), અને O અક્ષ એક્સφ દર્શાવો, પછી Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. આ કિસ્સામાં, ટેલરનું સૂત્ર ફોર્મ લેશે: . ચાલો પછી આપણે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને વિભાજીત અને ગુણાકાર કરી શકીએ એ. અમને મળે છે:

ચાલો હવે ચારનો વિચાર કરીએ શક્ય કેસો:

1) એસી-બી² > 0, એ < 0. Тогда , и પર્યાપ્ત નાના Δρ પર. તેથી, કેટલાક પડોશમાં M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), એટલે કે એમ 0- મહત્તમ બિંદુ.

2) ચાલો એસી-બી² > 0, A > 0.પછી , અને એમ 0- ન્યૂનતમ બિંદુ.

3) ચાલો એસી-બી² < 0, એ> 0. કિરણ φ = 0 સાથે દલીલોના વધારાને ધ્યાનમાં લો. પછી (5.1) થી તે અનુસરે છે , એટલે કે, જ્યારે આ કિરણ સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે કાર્ય વધે છે. જો આપણે એવા કિરણ સાથે આગળ વધીએ કે tg φ 0 = -A/B,તે , તેથી, જ્યારે આ કિરણ સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે કાર્ય ઘટે છે. તેથી, સમયગાળો એમ 0આત્યંતિક બિંદુ નથી.

3`) ક્યારે એસી-બી² < 0, એ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

પાછલા એક જેવું જ.

3``) જો એસી-બી² < 0, એ= 0, પછી. તે જ સમયે. પછી પૂરતા પ્રમાણમાં નાના માટે φ અભિવ્યક્તિ 2 બી cosφ + સી sinφ 2 ની નજીક છે IN, એટલે કે, તે સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, પરંતુ બિંદુની નજીકમાં sinφ ચિહ્ન બદલાય છે એમ 0.આનો અર્થ એ છે કે કાર્યની વૃદ્ધિ સ્થિર બિંદુની નજીકમાં ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે, જે તેથી એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ નથી.

4) જો એસી-બી² = 0, અને , , એટલે કે, વૃદ્ધિની નિશાની 2α 0 ના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વના પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે વધુ સંશોધન જરૂરી છે.

ઉદાહરણ. ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધીએ z = x² - 2 xy + 2y² + 2 xસ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ . તેથી, સ્થિર બિંદુ (-2,-1) છે. તે જ સમયે A = 2, IN = -2, સાથે= 4. પછી એસી-બી² = 4 > 0, તેથી, સ્થિર બિંદુ પર એક સીમા સુધી પહોંચે છે, એટલે કે ન્યૂનતમ (ત્યારથી એ > 0).

વ્યાખ્યા 5.4.જો કાર્ય દલીલ કરે છે f (x 1 , x 2 ,…, x n)જોડાયેલ વધારાની શરતોફોર્મમાં mસમીકરણો ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (5.2)

જ્યાં ફંક્શન φ i માં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ હોય છે, તો સમીકરણો (5.2) કહેવાય છે જોડાણ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા 5.5.કાર્યની આત્યંતિક f (x 1 , x 2 ,…, x n)જ્યારે શરતો (5.2) પૂરી થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે શરતી અંતિમ.

ટિપ્પણી. અમે બે ચલોના ફંક્શનના શરતી સીમાનું નીચેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપી શકીએ છીએ: ફંક્શનની દલીલો દો f(x,y)સમીકરણ φ દ્વારા સંબંધિત (x,y)= 0, O પ્લેનમાં કેટલાક વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે xy. આ વળાંકના દરેક બિંદુથી સમતલ O પર લંબરૂપ પુનઃનિર્માણ xyજ્યાં સુધી તે સપાટી સાથે છેદે નહીં z = f (x,y),અમે વળાંક φ ની ઉપરની સપાટી પર પડેલો અવકાશી વળાંક મેળવીએ છીએ (x,y)= 0. કાર્ય પરિણામી વળાંકના અંતિમ બિંદુઓને શોધવાનું છે, જે, અલબત્ત, સામાન્ય કિસ્સામાં કાર્યના બિનશરતી અંતિમ બિંદુઓ સાથે મેળ ખાતા નથી. f(x,y).

ચાલો પ્રથમ પરિચય આપીને બે ચલોના કાર્ય માટે શરતી સીમા માટે જરૂરી શરતો નક્કી કરીએ નીચેની વ્યાખ્યા:

વ્યાખ્યા 5.6.કાર્ય L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

જ્યાં λi -કેટલાક સતત છે, કહેવાય છે Lagrange કાર્ય, અને સંખ્યાઓ λ i– અનિશ્ચિત પરિબળોલગરેન્જ.

પ્રમેય 5.3(શરતી અંતિમ માટે જરૂરી શરતો). ફંક્શનની શરતી સીમા z = f (x, y)જોડાણ સમીકરણની હાજરીમાં φ ( x, y)= 0 લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ પર જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

પુરાવો. કપ્લીંગ સમીકરણ ગર્ભિત અવલંબનનો ઉલ્લેખ કરે છે ખાતેથી એક્સ, તેથી અમે તે ધારીશું ખાતેથી એક કાર્ય છે એક્સ: y = y(x).પછી zછે જટિલ કાર્યથી એક્સ, અને તેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: . (5.4) જોડાણ સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે . (5.5)

ચાલો સમાનતા (5.5) ને અમુક સંખ્યા λ વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેને (5.4) સાથે ઉમેરીએ. અમને મળે છે:

, અથવા

છેલ્લી સમાનતા સ્થિર બિંદુઓ પર સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ, જેમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

(5.6)

ત્રણ અજાણ્યાઓ માટે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે: x, yઅને λ, અને પ્રથમ બે સમીકરણો લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુ માટે શરતો છે. સિસ્ટમ (5.6) માંથી સહાયક અજ્ઞાત λ ને બાકાત રાખીને, અમે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ કે જેના પર મૂળ કાર્ય શરતી સીમા ધરાવતું હોઈ શકે છે.

રિમાર્ક 1. પ્રમેય 5.2 સાથે સામ્યતા દ્વારા લેગ્રેન્જ ફંક્શનના બીજા-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરીને શોધી શકાય તેવા બિંદુ પર શરતી અંતિમની હાજરી ચકાસી શકાય છે.

ટિપ્પણી 2. બિંદુઓ કે જેના પર કાર્યની શરતી સીમા સુધી પહોંચી શકાય છે f (x 1 , x 2 ,…, x n)જ્યારે શરતો (5.2) પૂરી થાય છે, ત્યારે તેને સિસ્ટમના ઉકેલો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (5.7)

ઉદાહરણ. ચાલો ફંક્શનની શરતી સીમા શોધીએ z = xyઆપેલ છે x + y= 1. ચાલો Lagrange ફંક્શન કંપોઝ કરીએ L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). સિસ્ટમ (5.6) આના જેવો દેખાય છે:

જ્યાં -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. તે જ સમયે L(x,y)ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, તેથી સ્થિર બિંદુ પર L(x,y)મહત્તમ છે અને z = xy -શરતી મહત્તમ.