મેટ્રિક્સ બહુપદી શોધો. રેખીય સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ સંકેત

ચલમાં મેટ્રિક્સ બહુપદી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે

F(l) = Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + … + Am, (1)

જ્યાં Ao, …, Am - ચોરસ મેટ્રિસિસમુખ્ય ક્ષેત્ર K ના તત્વો સાથે સમાન ક્રમમાં. સંખ્યા m એ બહુપદીની ડિગ્રી કહેવાય છે જો Ao?0. જો આ બહુપદીઓમાં મેટ્રિસિસ સમાન હોય તો બે બહુપદીઓ સમાન કહેવાય છે સમાન ડિગ્રીચલ l. મેટ્રિક્સ l-બહુપદીઓ ઉમેરવામાં આવે છે અને વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે સામાન્ય નિયમો. તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક l-બહુપદીને એક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જેનાં ઘટકો l અને તેનાથી વિપરીત સામાન્ય બહુપદી છે. ઉદાહરણ તરીકે,

1 2 + 5 6 l + 1 0 lI = lI +5l + 1 6+ 2

0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .

તેથી, મેટ્રિક્સ n-બહુપદીઓ માત્ર છે ખાસ પ્રકાર l-મેટ્રિસિસના રેકોર્ડ્સ.

બહુપદી F(n) ને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો મેટ્રિક્સ Ao ઇન્વર્ટિબલ હોય.

બેનો સરવાળો (તફાવત). મેટ્રિક્સ બહુપદીસમાન ક્રમને બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જેની ડિગ્રી આ બહુપદીની સૌથી મોટી ડિગ્રી કરતાં વધી નથી.

બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનું ઉત્પાદન એ બહુપદી સમાન છે જેની ડિગ્રી અવયવોની ડિગ્રીના સરવાળા કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય છે. જો બેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ નિયમિત બહુપદી છે, તો આ કિસ્સામાં ઉત્પાદનની ડિગ્રી હંમેશા પરિબળોની ડિગ્રીના સરવાળા જેટલી હોય છે.

સમાન ક્રમ n ના બે મેટ્રિક્સ બહુપદી A(n) અને B(n) ને આપવા દો, અને B(n) એ નિયમિત બહુપદી છે:

A(l) = Aolm + A1lm-1 + … + Am (Ao?0),

В(л) = Volr + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).

અમે કહીશું કે મેટ્રિક્સ બહુપદી Q(l) અને R(l) અનુક્રમે, સાચો ભાગ અને જમણો શેષ છે જ્યારે A(l) ને B(l) વડે ભાગતા હોય, જો

A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)

અને ડિગ્રી R(l) ડિગ્રી B(l) કરતાં ઓછી છે.

બરાબર એ જ રીતે, આપણે બહુપદી ^Q(l) અને ^R(l), અનુક્રમે, ડાબો ભાગ અને ડાબો શેષ કહીશું જ્યારે A(l) ને B(l) વડે વિભાજીત કરીએ, જો

A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)

અને ડિગ્રી ^R(l) ડિગ્રી B(l) કરતા ઓછી છે.

IN સામાન્ય કેસબહુપદી Q(l) અને R(l) ^Q(l) અને ^R(l) સાથે સુસંગત નથી.

ચાલો બતાવીએ કે જો વિભાજક નિયમિત બહુપદી હોય તો સમાન ક્રમના મેટ્રિક્સ બહુપદીનો જમણો અને ડાબો બંને ભાગ હંમેશા શક્ય અને અનન્ય છે.

B(n) દ્વારા A(n) ના જમણા વિભાજનને ધ્યાનમાં લો. જો એમ

A(l)=AoBo -1lm-pB(l) + A(1)(l).(4)

બહુપદી A(1)(l) ની ડિગ્રી m(1) m કરતા ઓછી છે:

A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + … (Ao(1)?0, m(1)

જો m(1)?p, તો આ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવાથી, આપણને મળે છે:

A(1)(l) = Ao(1)Bo -1 lm(1)-p B(l) + A(2)(l), (6)

A(2)(l) = A(2)lm(2) + … (m(2)

બહુપદી A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... ની ડિગ્રી ઘટતી હોવાથી, અમુક તબક્કે આપણે બાકીના R(l) પર આવીશું, જેની ડિગ્રી p કરતાં ઓછું છે. પછી (4), (6) થી તે અનુસરશે:

A(l) = Q(l) B(l) + R(l),

જ્યાં Q(l) = АoВо-1 lm-р + Ао(1)Во-1 lm(1)-р + …(7)

ચાલો હવે યોગ્ય વિભાજનની વિશિષ્ટતા સાબિત કરીએ. તે જ સમયે દો

A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8)

A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l), (9)

જ્યાં બહુપદી R(l) અને R*(l) ની ડિગ્રી B(l) કરતા ઓછી હોય છે, એટલે કે. પી કરતાં ઓછું (9) માંથી પદ (8) દ્વારા શબ્દ બાદ કરવાથી આપણને મળે છે:

B(l) = R*(l) - R(l).(10)

જો Q(l) - Q*(l) ? 0, તો પછી |Во|?0 થી, સમાનતાની ડાબી બાજુની ડિગ્રી (10) ડિગ્રી В(л) અને Q(л) - Q*(л) ના સરવાળા જેટલી હશે અને તેથી થશે? р. આ અશક્ય છે, કારણ કે સમાનતા (10) ની જમણી બાજુએ બહુપદીની ડિગ્રી p કરતાં ઓછી છે. આમ, Q(l) - Q*(l)?0, અને પછી (10) R*(l) - R(l)?0, એટલે કે.

Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l).

ડાબા ભાગ અને ડાબા શેષનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા બરાબર એ જ રીતે સ્થાપિત થાય છે.

પ્રમેય 1. (સામાન્યકૃત બેઝાઉટનું પ્રમેય). જ્યારે મેટ્રિક્સ બહુપદી F(n) ને દ્વિપદી lE-A વડે જમણે (ડાબે) વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ F(A) (અનુક્રમે ^F(A)) ની બરાબર હોય છે.

પુરાવો. nમા ક્રમના આર્બિટરી મેટ્રિક્સ બહુપદીને ધ્યાનમાં લો

F(l) = Fо lm + F1 lm-1 + … + Fm (Fо?0)(11)

આ બહુપદીને આ રીતે પણ લખી શકાય છે:

F(l) = lm Fo + lm-1 F1 + … + Fm (12)

સ્કેલર l માટેની બંને એન્ટ્રીઓ સમાન પરિણામ આપે છે. જો કે, જો સ્કેલર દલીલ l ને બદલે આપણે nમા ક્રમ A ના ચોરસ મેટ્રિક્સને બદલીએ, તો પછી (11) અને (12) માં અવેજીનાં પરિણામો અલગ હશે, કારણ કે મેટ્રિક્સ A ની શક્તિઓ સાથે પરિવર્તન કરી શકાતી નથી. મેટ્રિક્સ ગુણાંક Fo, F1, ..., Fm.

F(A) = Fo Am+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(A) = Am Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14)

અને જ્યારે મેટ્રિક્સ A ને l માટે બદલીએ ત્યારે અમે F(A) ને યોગ્ય મૂલ્ય અને ^F(A) બહુપદી F(l) ની ડાબી કિંમત કહીશું.

ચાલો બહુપદી F(l) ને દ્વિપદી le-A વડે ભાગીએ. આ કિસ્સામાં, જમણો શેષ R અને ડાબો શેષ ^R l પર નિર્ભર રહેશે નહીં. યોગ્ય શેષ નક્કી કરવા માટે, સામાન્ય વિભાજન યોજનાને ધ્યાનમાં લો:

F(l) = Fo lm + F1 lm-1 + … + Fm = Fo lm-1(lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + …=

= (lE-A) + (Fо А2 + F1А1+ F2) lm-2 + F3 lm-3 + … = …

… = (le-A) +

Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

અમને તે મળ્યું

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15)

તદ્દન સમાન

સાબિત પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે બહુપદી F(n) એ દ્વિપદી lE-A દ્વારા શેષ વિના જમણે (ડાબે) થી વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો F(A)=0 (અનુક્રમે ^F(A)=0) .

તપાસો કે A()=Q()B() + R().

А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

В()= - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2 ,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | = 1, B o -1 = 1 2, A 0 B 0 -1 = 2 5, A 0 B 0 -1 B() = - 2 +1 3 2 +12,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

A (1) ()= - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11 ,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

A (1) () = -2 0 -1 -11 1 0 ,

A 0 (1) B 0 -1 () = -2 0 1 2 = -2 -2,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

A 0 (1) B 0 -1 B()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6 ,

R()= A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સ તેની સાથે સંકળાયેલા બે બહુપદી ધરાવે છે: લાક્ષણિકતા અને ન્યૂનતમ. આ બહુપદીઓ મેટ્રિક્સ થિયરીમાં વિવિધ પ્રશ્નોમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સના ફંક્શનની વિભાવના, જે આપણે હવે પછીના પ્રકરણમાં રજૂ કરીશું, તે સંપૂર્ણપણે મેટ્રિક્સના ન્યૂનતમ બહુપદીના ખ્યાલ પર આધારિત હશે. આ પ્રકરણ લાક્ષણિક અને લઘુત્તમ બહુપદીના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરે છે. આ અભ્યાસ મેટ્રિક્સ ગુણાંક અને તેના પરની કામગીરી સાથે બહુપદી વિશેની મૂળભૂત માહિતીથી આગળ છે.

§ 1. મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ઉમેરો અને ગુણાકાર

એક ચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બહુપદી છે (આપેલ સંખ્યાના ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે):

મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે સત્તાઓમાં ગોઠવાય છે:

. (3)

સંખ્યાને બહુપદીની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે જો. સંખ્યાને બહુપદીનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે. આપણે બહુપદી (1) નિયમિત કહીશું જો.

અમે કેટલીકવાર મેટ્રિક્સ ગુણાંકવાળા બહુપદીને મેટ્રિક્સ બહુપદી કહીશું. મેટ્રિક્સ બહુપદીથી વિપરીત, અમે સ્કેલર ગુણાંક સાથેના સામાન્ય બહુપદીને સ્કેલર બહુપદી કહીશું.

ચાલો મેટ્રિક્સ બહુપદી પરની મૂળભૂત કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈએ. સમાન ક્રમના બે મેટ્રિક્સ બહુપદીઓ અને આપવામાં આવે. ચાલો આ બહુપદીઓની સૌથી મોટી શક્તિઓ દ્વારા સૂચિત કરીએ. આ બહુપદીઓ તરીકે લખી શકાય છે

એટલે કે, સમાન ક્રમના બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો સરવાળો (તફાવત) એક બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે જેની ડિગ્રી આ બહુપદીઓની સૌથી મોટી ડિગ્રી કરતાં વધી નથી.

ડિગ્રીના બે મેટ્રિક્સ બહુપદી અને સમાન ક્રમ આપવા દો:

જો આપણે વડે ગુણાકાર કરીએ (એટલે ​​કે, અવયવોનો ક્રમ બદલ્યો), તો આપણને, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક અલગ બહુપદી મળશે.

મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ગુણાકાર અન્ય વિશિષ્ટ ગુણધર્મ ધરાવે છે. સ્કેલર બહુપદીના ઉત્પાદનથી વિપરીત, મેટ્રિક્સ બહુપદી (4) ના ઉત્પાદનમાં અંશ કરતાં ઓછી એટલે કે, પરિબળની ડિગ્રીના સરવાળા કરતાં ઓછી હોઈ શકે છે. ખરેખર, (4) માં મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન અને માટે શૂન્ય બરાબર થઈ શકે છે. જો કે, જો ઓછામાં ઓછું એક મેટ્રિસિસ બિન-એકવચન હોય, તો તે નીચે મુજબ છે: . આમ, બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનું ઉત્પાદન એ બહુપદી સમાન છે જેની ડિગ્રી અવયવોની ડિગ્રીના સરવાળા કરતાં ઓછી અથવા બરાબર છે. જો બેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ નિયમિત બહુપદી છે, તો આ કિસ્સામાં ઉત્પાદનની ડિગ્રી હંમેશા પરિબળોની ડિગ્રીના સરવાળા જેટલી હોય છે.

મી ક્રમના મેટ્રિક્સ બહુપદીને બે રીતે લખી શકાય છે:

બંને સ્કેલર એન્ટ્રીઓ સમાન પરિણામ આપે છે. જો કે, જો આપણે સ્કેલર દલીલને બદલે મી ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સને બદલવા માંગીએ છીએ, તો પછી (5) અને (5") માં અવેજીનાં પરિણામો, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અલગ હશે, કારણ કે મેટ્રિક્સની શક્તિઓ ન પણ હોઈ શકે. મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે વિનિમયક્ષમ બનો.

અને જ્યારે મેટ્રિક્સને બદલે બદલીએ ત્યારે અમે મેટ્રિક્સ બહુપદીના જમણા અને ડાબા મૂલ્યોને કૉલ કરીશું.

ફરીથી બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો વિચાર કરો

,

અને તેમનું કાર્ય

જો માત્ર મેટ્રિક્સ તમામ મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બદલાય તો ઓળખ (7") માં પરિવર્તનો માન્ય રહે છે, જો માત્ર મેટ્રિક્સ તમામ મેટ્રિક્સ ગુણાંક સાથે બદલાય છે. તેવી જ રીતે, ઓળખ (7") માં, તમે સ્કેલરને મેટ્રિક્સ સાથે બદલી શકો છો જો મેટ્રિક્સ તમામ ગુણાંક સાથે મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે મેળવીએ છીએ: ક્રમાંકનો કોઈપણ મેટ્રિક્સ હંમેશા ઓળખને સંતોષે છે

, . (9)

સૂચનાઓ. ઓનલાઈન સોલ્યુશન માટે, તમારે મેટ્રિક્સ એક્સપ્રેશનનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. બીજા તબક્કે, મેટ્રિસિસના પરિમાણને સ્પષ્ટ કરવું જરૂરી રહેશે.

માન્ય કામગીરી: ગુણાકાર (*), સરવાળો (+), બાદબાકી (-), વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A^(-1), ઘાતાંક (A^2, B^3), મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન (A^T).
કામગીરીની સૂચિ કરવા માટે, અર્ધવિરામ (;) વિભાજકનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ કામગીરી કરવા માટે:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B)-1
તમારે તેને આ રીતે લખવાની જરૂર પડશે: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

મેટ્રિક્સ એ m પંક્તિઓ અને n કૉલમ્સ સાથેનું લંબચોરસ સંખ્યાત્મક કોષ્ટક છે, તેથી મેટ્રિક્સને યોજનાકીય રીતે લંબચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
શૂન્ય મેટ્રિક્સ (નલ મેટ્રિક્સ)એક મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બધા શૂન્ય સમાન છે અને 0 દ્વારા સૂચિત છે.
ઓળખ મેટ્રિક્સફોર્મનું ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ મેટ્રિસિસ પર મૂળભૂત કામગીરી.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો

ઉદાહરણ 6. .
મેટ્રિક્સ એડિશનની કામગીરી કોઈપણ સંખ્યાની શરતોના કિસ્સામાં વિસ્તરે છે. દેખીતી રીતે A+0=A .
ચાલો ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવીએ કે સમાન કદના માત્ર મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકાય છે; વિવિધ કદના મેટ્રિસિસ માટે, ઉમેરણ કામગીરી વ્યાખ્યાયિત નથી.

મેટ્રિસિસની બાદબાકી

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

ઉદાહરણ 7. મેટ્રિસીસ આપેલ છે અને . મેટ્રિસિસ C = A·B અને D = B·A શોધો.
ઉકેલ. સૌ પ્રથમ, નોંધ લો કે ઉત્પાદન A·B અસ્તિત્વમાં છે કારણ કે A ના સ્તંભોની સંખ્યા B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે.

ઉદાહરણ 8. મેટ્રિક્સ આપ્યું . 3A 2 – 2A શોધો.
ઉકેલ.

.
; .
.
ચાલો નીચેની રસપ્રદ હકીકત નોંધીએ.
જેમ તમે જાણો છો, બે બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર નથી. મેટ્રિસિસ માટે, સમાન સંજોગો ન પણ હોઈ શકે, એટલે કે, બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન નલ મેટ્રિક્સની સમાન હોઈ શકે છે.