Di antara berbagai ekspresi yang dibahas dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut suku-suku polinomial. Monomial juga diklasifikasikan sebagai polinomial, mengingat monomial adalah polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Mari kita nyatakan semua suku dalam bentuk monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Mari kita sajikan suku-suku serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua sukunya merupakan monomial dari bentuk standar, dan tidak ada yang serupa di antara mereka. Polinomial seperti ini disebut polinomial bentuk standar.

Untuk derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuasaan tertinggi dari para anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang memuat satu variabel disusun dalam urutan eksponen menurun. Misalnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Terkadang suku-suku polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dan setiap kelompok diapit tanda kurung. Karena tanda kurung kurawal merupakan kebalikan dari tanda kurung buka, maka rumusannya mudah aturan untuk membuka tanda kurung:

Jika tanda “+” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda “-” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) hasil kali monomial dan polinomial

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, Anda dapat mengubah (menyederhanakan) hasil kali monomial dan polinomial menjadi polinomial. Misalnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali monomial dan polinomial sama dengan jumlah hasil kali monomial tersebut dan masing-masing suku polinomialnya.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, Anda harus mengalikan monomial tersebut dengan masing-masing suku polinomial tersebut.

Kami telah menggunakan aturan ini beberapa kali untuk mengalikan dengan suatu jumlah.

Produk polinomial. Transformasi (penyederhanaan) hasil kali dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial sama dengan jumlah hasil kali setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku dari polinomial lainnya.

Biasanya aturan berikut digunakan.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menjumlahkan hasil perkaliannya.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah kuadrat, selisih dan selisih kuadrat

Anda harus lebih sering menangani beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu kuadrat dari jumlah, kuadrat dari perbedaan dan perbedaan kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b . Namun, kuadrat dari jumlah a dan b tidak terlalu sering muncul; sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, ia berisi berbagai ekspresi, terkadang cukup rumit.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dapat dengan mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar; pada kenyataannya, Anda telah menemui tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Penting untuk mengingat identitas yang dihasilkan dan menerapkannya tanpa perhitungan perantara. Rumusan verbal singkat membantu dalam hal ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah tersebut sama dengan jumlah kuadrat dan hasil kali gandanya.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya sama dengan jumlah kuadrat tanpa hasil kali ganda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan seseorang untuk mengganti bagian kirinya dengan bagian kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal tersulit adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami bagaimana variabel a dan b diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Ekspresi numerik dan aljabar. Mengonversi Ekspresi.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika? Mengapa kita memerlukan konversi ekspresi?

Pertanyaannya, seperti kata mereka, menarik... Faktanya adalah bahwa konsep-konsep ini adalah dasar dari semua matematika. Semua matematika terdiri dari ekspresi dan transformasinya. Tidak begitu jelas? Biar saya jelaskan.

Katakanlah Anda memiliki contoh yang jahat di depan Anda. Sangat besar dan sangat kompleks. Katakanlah Anda pandai matematika dan tidak takut pada apa pun! Bisakah Anda memberikan jawaban segera?

Anda harus melakukannya memutuskan contoh ini. Secara konsisten, langkah demi langkah, contoh ini menyederhanakan. Tentu saja dengan aturan tertentu. Itu. Mengerjakan konversi ekspresi. Semakin berhasil Anda melakukan transformasi ini, semakin kuat Anda dalam matematika. Jika Anda tidak tahu cara melakukan transformasi yang benar, Anda tidak akan bisa melakukannya dalam matematika. Tidak ada...

Untuk menghindari masa depan (atau masa kini...) yang tidak nyaman, tidak ada salahnya untuk memahami topik ini.)

Pertama, mari kita cari tahu apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika. Apa yang terjadi ekspresi numerik dan apa adanya ekspresi aljabar.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika?

Ekspresi dalam matematika- ini adalah konsep yang sangat luas. Hampir semua yang kita bahas dalam matematika adalah sekumpulan ekspresi matematika. Contoh, rumus, pecahan, persamaan, dan sebagainya semuanya terdiri dari ekspresi matematika.

3+2 adalah ekspresi matematika. c 2 - hari 2- ini juga merupakan ekspresi matematika. Pecahan sehat dan satu bilangan genap semuanya merupakan ekspresi matematika. Misalnya persamaannya adalah:

5x + 2 = 12

terdiri dari dua ekspresi matematika yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Satu ekspresi ada di kiri, yang lain di kanan.

Secara umum, istilah " ekspresi matematika"paling sering digunakan untuk menghindari mooing. Mereka akan menanyakan apa itu pecahan biasa, misalnya? Dan bagaimana menjawabnya?!

Jawaban pertama: "Ini... mmmmmm... hal seperti itu... di mana... Bisakah saya menulis pecahan dengan lebih baik? Kamu mau yang mana?"

Jawaban kedua: “Pecahan biasa adalah (dengan riang dan gembira!) ekspresi matematika , yang terdiri dari pembilang dan penyebut!"

Opsi kedua akan lebih mengesankan, bukan?)

Inilah maksud dari ungkapan “ ekspresi matematika "sangat bagus. Benar dan solid. Namun untuk penggunaan praktis Anda perlu memiliki pemahaman yang baik jenis ekspresi tertentu dalam matematika .

Jenis spesifiknya adalah masalah lain. Ini Ini masalah yang sangat berbeda! Setiap jenis ekspresi matematika memiliki milikku seperangkat aturan dan teknik yang harus digunakan ketika mengambil keputusan. Untuk bekerja dengan pecahan - satu set. Untuk bekerja dengan ekspresi trigonometri - yang kedua. Untuk bekerja dengan logaritma - yang ketiga. Dan sebagainya. Di suatu tempat aturan-aturan ini bertepatan, di suatu tempat mereka sangat berbeda. Tapi jangan takut dengan kata-kata menakutkan ini. Kita akan menguasai logaritma, trigonometri dan hal misterius lainnya pada bagian yang sesuai.

Di sini kita akan menguasai (atau - ulangi, tergantung siapa...) dua tipe utama ekspresi matematika. Ekspresi numerik dan ekspresi aljabar.

Ekspresi numerik.

Apa yang terjadi ekspresi numerik? Ini adalah konsep yang sangat sederhana. Namanya sendiri mengisyaratkan bahwa ini adalah ekspresi dengan angka. Ya, begitulah adanya. Ekspresi matematika yang terdiri dari angka, tanda kurung, dan simbol aritmatika disebut ekspresi numerik.

7-3 adalah ekspresi numerik.

(8+3.2) 5.4 juga merupakan ekspresi numerik.

Dan monster ini:

juga ekspresi numerik, ya...

Bilangan biasa, pecahan, contoh perhitungan apa pun tanpa X dan huruf lainnya - semua ini adalah ekspresi numerik.

Tanda utama numerik ekspresi - di dalamnya tidak ada surat. Tidak ada. Hanya angka dan simbol matematika (bila perlu). Sederhana saja, bukan?

Dan apa yang dapat Anda lakukan dengan ekspresi numerik? Ekspresi numerik biasanya dapat dihitung. Untuk melakukan ini, kebetulan Anda harus membuka tanda kurung, mengubah tanda, menyingkat, menukar istilah - mis. Mengerjakan konversi ekspresi. Namun lebih lanjut tentang itu di bawah.

Di sini kita akan membahas kasus lucu dengan ekspresi numerik kamu tidak perlu melakukan apa pun. Ya, tidak ada apa-apa! Operasi yang menyenangkan ini - tidak melakukan apa pun)- dijalankan ketika ekspresi tidak masuk akal.

Kapan ekspresi numerik menjadi tidak masuk akal?

Jelas sekali jika kita melihat semacam omong kosong di depan kita, seperti

maka kita tidak akan melakukan apa pun. Karena tidak jelas apa yang harus dilakukan. Semacam omong kosong. Mungkin menghitung jumlah plusnya...

Tapi ada ekspresi luar yang cukup baik. Misalnya ini:

(2+3): (16 - 2 8)

Namun, ungkapan ini juga tidak masuk akal! Karena alasan sederhana bahwa di tanda kurung kedua - jika Anda menghitung - Anda mendapatkan nol. Tapi Anda tidak bisa membaginya dengan nol! Ini adalah operasi terlarang dalam matematika. Oleh karena itu, tidak perlu melakukan apa pun dengan ungkapan ini juga. Untuk tugas apa pun dengan ekspresi seperti itu, jawabannya akan selalu sama: "Ekspresi itu tidak ada artinya!"

Untuk memberikan jawaban seperti itu, tentu saja saya harus menghitung apa yang ada di dalam tanda kurung. Dan terkadang ada banyak hal dalam tanda kurung... Ya, tidak ada yang bisa Anda lakukan untuk mengatasinya.

Tidak banyak operasi terlarang dalam matematika. Hanya ada satu dalam topik ini. Pembagian dengan nol. Pembatasan tambahan yang timbul pada akar dan logaritma dibahas dalam topik terkait.

Jadi, gambaran tentang apa itu ekspresi numerik- diterima. Konsep ekspresi numerik tidak masuk akal- diwujudkan. Mari kita lanjutkan.

Ekspresi aljabar.

Jika huruf muncul dalam ekspresi numerik, ekspresi ini menjadi... Ekspresi menjadi... Ya! Itu menjadi ekspresi aljabar. Misalnya:

5a 2; 3x-2 tahun; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Ekspresi seperti itu disebut juga ekspresi literal. Atau ekspresi dengan variabel. Praktisnya sama saja. Ekspresi 5a +c, misalnya - baik literal maupun aljabar, dan ekspresi dengan variabel.

Konsep ekspresi aljabar - lebih luas dari numerik. Dia termasuk dan semua ekspresi numerik. Itu. ekspresi numerik juga merupakan ekspresi aljabar, hanya saja tanpa huruf. Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring...)

Mengapa alfabetis- Sudah jelas. Nah, karena ada huruf... Frase ekspresi dengan variabel Ini juga tidak terlalu membingungkan. Jika Anda memahami bahwa angka tersembunyi di bawah huruf. Segala macam angka dapat disembunyikan di bawah huruf... Dan 5, dan -18, dan lainnya. Artinya, surat bisa saja mengganti ke nomor yang berbeda. Itu sebabnya surat-surat itu disebut variabel.

Dalam ekspresi kamu+5, Misalnya, pada- nilai variabel. Atau mereka hanya mengatakan " variabel", tanpa kata "besarnya". Berbeda dengan lima yang nilainya konstan. Atau sederhananya - konstan.

Ketentuan ekspresi aljabar artinya untuk menggunakan ungkapan ini Anda perlu menggunakan hukum dan aturan aljabar. Jika hitung bekerja dengan nomor tertentu, lalu aljabar- dengan semua nomor sekaligus. Contoh sederhana untuk klarifikasi.

Dalam aritmatika kita bisa menulisnya

Tetapi jika kita menulis persamaan tersebut melalui ekspresi aljabar:

a + b = b + a

kami akan segera memutuskannya Semua pertanyaan. Untuk semua nomor dalam satu gerakan. Untuk segala sesuatu yang tidak terbatas. Karena di bawah huruf A Dan B tersirat Semua angka. Dan tidak hanya angka, tapi bahkan ekspresi matematika lainnya. Beginilah cara kerja aljabar.

Kapan ekspresi aljabar tidak masuk akal?

Segala sesuatu tentang ekspresi numerik jelas. Anda tidak dapat membagi dengan nol di sana. Dan dengan huruf, apakah mungkin untuk mengetahui apa yang kita bagi?!

Mari kita ambil contoh ekspresi ini dengan variabel:

2: (A - 5)

Apakah ini masuk akal? Siapa yang tahu? A- nomor berapa pun...

Apapun, apapun... Tapi ada satu arti A, untuk itulah ungkapan ini tepat tidak masuk akal! Dan nomor berapa ini? Ya! Ini 5! Jika variabel A ganti (mereka bilang "pengganti") dengan angka 5, dalam tanda kurung Anda mendapatkan nol. Yang tidak dapat dipisahkan. Jadi ternyata ekspresi kita tidak masuk akal, Jika sebuah = 5. Tapi untuk nilai lain A apakah itu masuk akal? Bisakah Anda mengganti nomor lain?

Tentu. Dalam kasus seperti itu mereka hanya mengatakan ungkapan itu

2: (A - 5)

masuk akal untuk nilai apa pun A, kecuali a = 5 .

Seluruh rangkaian angka itu Bisa mensubstitusikan ke dalam ekspresi tertentu disebut rentang nilai yang dapat diterima ekspresi ini.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Mari kita lihat ekspresi dengan variabel dan cari tahu: pada nilai variabel berapa operasi terlarang (pembagian dengan nol) diperoleh?

Dan kemudian pastikan untuk melihat pertanyaan tugas. Apa yang mereka tanyakan?

tidak masuk akal, makna terlarang kita akan menjadi jawabannya.

Jika Anda bertanya pada nilai variabel apa ekspresi tersebut masuk akal(rasakan bedanya!), jawabannya adalah semua nomor lainnya kecuali yang terlarang.

Mengapa kita membutuhkan arti ungkapan? Dia ada, dia tidak... Apa bedanya?! Intinya konsep ini menjadi sangat penting di SMA. Sangat penting! Ini adalah dasar dari konsep padat seperti domain nilai yang dapat diterima atau domain suatu fungsi. Tanpa ini, Anda tidak akan bisa menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan yang serius sama sekali. Seperti ini.

Mengonversi Ekspresi. Transformasi identitas.

Kami diperkenalkan dengan ekspresi numerik dan aljabar. Kami memahami apa arti ungkapan “ekspresi tidak ada artinya”. Sekarang kita perlu mencari tahu apa itu konversi ekspresi. Jawabannya sederhana, sampai pada titik yang memalukan.) Ini adalah tindakan apa pun yang memiliki ekspresi. Itu saja. Anda telah melakukan transformasi ini sejak kelas satu.

Mari kita ambil ekspresi numerik keren 3+5. Bagaimana cara mengubahnya? Ya, sangat sederhana! Menghitung:

Perhitungan ini akan menjadi transformasi ekspresi. Anda dapat menulis ekspresi yang sama secara berbeda:

Di sini kami tidak menghitung apa pun. Tulis saja ekspresinya dalam bentuk yang berbeda. Ini juga akan menjadi transformasi ekspresi. Anda dapat menulisnya seperti ini:

Dan ini juga merupakan transformasi sebuah ekspresi. Anda dapat melakukan transformasi sebanyak yang Anda inginkan.

Setiap tindakan pada ekspresi setiap menuliskannya dalam bentuk lain disebut mentransformasikan ekspresi. Dan itu saja. Ini sangat sederhana. Tapi ada satu hal di sini aturan yang sangat penting. Sangat penting sehingga dapat dipanggil dengan aman aturan utama semua matematika. Melanggar aturan ini mau tidak mau mengarah pada kesalahan. Apakah kita akan membahasnya?)

Katakanlah kita mengubah ekspresi kita secara sembarangan, seperti ini:

Konversi? Tentu. Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda, apa yang salah di sini?

Bukan seperti itu.) Intinya transformasi "sembarangan" sama sekali tidak tertarik pada matematika.) Semua matematika dibangun di atas transformasi yang tampilannya berubah, tapi inti ungkapannya tidak berubah. Tiga tambah lima bisa ditulis dalam bentuk apa saja, tapi harus delapan.

Transformasi, ekspresi yang tidak mengubah esensi dipanggil identik.

Tepat transformasi identitas dan izinkan kami, selangkah demi selangkah, mengubah contoh kompleks menjadi ekspresi sederhana, sambil tetap mempertahankannya inti dari contoh tersebut. Jika kita melakukan kesalahan dalam rantai transformasi, kita melakukan transformasi yang TIDAK identik, maka kita akan memutuskan lain contoh. Dengan jawaban lain yang tidak berhubungan dengan jawaban yang benar.)

Ini adalah aturan utama untuk menyelesaikan tugas apa pun: menjaga identitas transformasi.

Saya memberi contoh dengan ekspresi numerik 3+5 untuk kejelasan. Dalam ekspresi aljabar, transformasi identitas diberikan oleh rumus dan aturan. Katakanlah dalam aljabar ada rumus:

a(b+c) = ab + ac

Ini berarti bahwa dalam contoh apa pun kita dapat menggunakan ekspresi Sebuah(b+c) jangan ragu untuk menulis ekspresi ab + ac. Dan sebaliknya. Ini transformasi yang identik. Matematika memberi kita pilihan antara dua ekspresi ini. Dan yang mana yang akan ditulis bergantung pada contoh spesifiknya.

Contoh lain. Salah satu transformasi yang paling penting dan perlu adalah sifat dasar pecahan. Anda dapat melihat detail lebih lanjut di tautan tersebut, tetapi di sini saya hanya akan mengingatkan Anda tentang aturannya: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, atau suatu persamaan yang tidak sama dengan nol, maka pecahan tersebut tidak akan berubah. Berikut adalah contoh transformasi identitas menggunakan properti ini:

Seperti yang mungkin Anda duga, rantai ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu...) Properti yang sangat penting. Inilah yang memungkinkanmu mengubah segala jenis monster contoh menjadi putih dan halus.)

Ada banyak rumus yang mendefinisikan transformasi identik. Namun yang terpenting adalah angka yang cukup masuk akal. Salah satu transformasi dasar adalah faktorisasi. Ini digunakan dalam semua matematika - dari dasar hingga lanjutan. Mari kita mulai dengan dia. Dalam pelajaran berikutnya.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Angka dan ekspresi yang membentuk ekspresi asli dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama. Transformasi ekspresi asli seperti itu menghasilkan ekspresi yang identik dengannya.

Misalnya, dalam ekspresi 3+x, angka 3 dapat diganti dengan jumlah 1+2, yang akan menghasilkan ekspresi (1+2)+x, yang identik dengan ekspresi aslinya. Contoh lain: dalam persamaan 1+a 5, pangkat a 5 dapat digantikan dengan hasil kali yang identik sama, misalnya, dalam bentuk a·a 4. Ini akan memberi kita ekspresi 1+a·a 4 .

Transformasi ini tidak diragukan lagi bersifat artifisial, dan biasanya merupakan persiapan untuk beberapa transformasi lebih lanjut. Misalnya, pada penjumlahan 4 x 3 +2 x 2, dengan memperhatikan sifat-sifat derajat, suku 4 x 3 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 2 x 2 2 x. Setelah transformasi ini, ekspresi aslinya akan berbentuk 2 x 2 2 x+2 x 2. Jelasnya, suku-suku dalam jumlah yang dihasilkan memiliki faktor persekutuan 2 x 2, sehingga kita dapat melakukan transformasi berikut - tanda kurung. Setelah itu kita sampai pada ekspresi: 2 x 2 (2 x+1) .

Penjumlahan dan pengurangan bilangan yang sama

Transformasi buatan lainnya dari suatu ekspresi adalah penjumlahan dan pengurangan simultan dari angka atau ekspresi yang sama. Transformasi ini identik karena pada dasarnya setara dengan penjumlahan nol, dan penjumlahan nol tidak mengubah nilainya.

Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita ambil ekspresi x 2 +2·x. Jika Anda menambahkan satu ke dalamnya dan mengurangi satu, ini akan memungkinkan Anda melakukan transformasi serupa lainnya di masa depan - kuadratkan binomialnya: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Referensi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.

Sifat dasar penjumlahan dan perkalian bilangan.

Sifat komutatif penjumlahan: penataan ulang suku-sukunya tidak mengubah nilai penjumlahan. Untuk sembarang bilangan a dan b persamaannya benar

Sifat gabungan penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama. Untuk sembarang bilangan a, b, dan c persamaannya benar

Sifat komutatif perkalian: penataan ulang faktor-faktornya tidak mengubah nilai hasil kali. Untuk sembarang bilangan a, b, dan c persamaannya benar

Sifat gabungan perkalian: untuk mengalikan hasil kali dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan bilangan pertama dengan hasil kali bilangan kedua dan ketiga.

Untuk sembarang bilangan a, b, dan c persamaannya benar

Sifat Distributif: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu penjumlahan, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya. Untuk sembarang bilangan a, b, dan c persamaannya benar

Dari sifat komutatif dan kombinatif penjumlahan berikut ini: dalam jumlah berapa pun Anda dapat mengatur ulang suku-suku tersebut sesuka Anda dan secara sewenang-wenang menggabungkannya ke dalam kelompok.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1,23+13,5+4,27.

Untuk melakukan ini, akan lebih mudah untuk menggabungkan suku pertama dengan suku ketiga. Kami mendapatkan:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Dari sifat komutatif dan kombinatif perkalian berikut ini: dalam perkalian apa pun, Anda dapat mengatur ulang faktor-faktornya dengan cara apa pun dan menggabungkannya secara sewenang-wenang ke dalam kelompok.

Contoh 2 Mari kita cari nilai hasil kali 1.8·0.25·64·0.5.

Menggabungkan faktor pertama dengan faktor keempat, dan faktor kedua dengan faktor ketiga, kita mendapatkan:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Sifat distributif juga berlaku jika suatu bilangan dikalikan dengan jumlah tiga suku atau lebih.

Misalnya, untuk sembarang bilangan a, b, c, dan d persamaannya benar

a(b+c+d)=ab+ac+iklan.

Kita tahu bahwa pengurangan dapat diganti dengan penjumlahan dengan menjumlahkan bilangan kebalikan dari pengurangnya ke dalam minuend:

Hal ini memungkinkan ekspresi numerik dalam bentuk a-b dianggap sebagai jumlah bilangan a dan -b, ekspresi numerik dalam bentuk a+b-c-d dianggap sebagai jumlah bilangan a, b, -c, -d, dst. properti tindakan yang dipertimbangkan juga valid untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari kita cari nilai ekspresi 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ekspresi ini merupakan jumlah dari angka 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menerapkan sifat penjumlahan, kita mendapatkan: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil kali 36·().

Pengganda dapat dianggap sebagai jumlah dari angka dan -. Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, diperoleh:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identitas

Definisi. Dua ekspresi yang nilai korespondensinya sama untuk setiap nilai variabel disebut sama identik.

Definisi. Persamaan yang berlaku untuk sembarang nilai variabel disebut identitas.

Mari kita cari nilai ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Kami mendapat hasil yang sama. Dari sifat distribusi dapat disimpulkan bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y yang bersesuaian adalah sama.

Sekarang mari kita perhatikan ekspresi 2x+y dan 2xy. Ketika x=1, y=2 keduanya mengambil nilai yang sama:

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi tersebut tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, namun ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x+y)=x+3y, berlaku untuk sembarang nilai x dan y, adalah suatu identitas.

Persamaan numerik yang sebenarnya juga dianggap sebagai identitas.

Jadi, identitas adalah persamaan yang menyatakan sifat dasar operasi bilangan:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh identitas lainnya dapat diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi ekspresi yang identik

Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama disebut transformasi identik atau sekadar transformasi suatu ekspresi.

Transformasi identik ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi bilangan.

Untuk mencari nilai ekspresi xy-xz untuk nilai x, y, z tertentu, Anda perlu melakukan tiga langkah. Misalnya, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita mendapatkan:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Hasil ini dapat diperoleh hanya dengan melakukan dua langkah, jika Anda menggunakan ekspresi x(y-z), yang identik dengan ekspresi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Kami telah menyederhanakan penghitungan dengan mengganti ekspresi xy-xz dengan ekspresi identik x(y-z).

Transformasi ekspresi yang identik banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lainnya. Beberapa transformasi identik sudah harus dilakukan, misalnya membawa suku serupa, membuka tanda kurung. Mari kita mengingat kembali aturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf yang sama;

jika ada tanda tambah sebelum tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan tetap menjaga tanda setiap suku yang diapit tanda kurung;

Jika terdapat tanda kurang sebelum tanda kurung, maka tanda kurung tersebut dapat dihilangkan dengan cara mengganti tanda setiap suku yang ada di dalam tanda kurung.

Contoh 1 Mari kita nyatakan suku-suku serupa dalam jumlah 5x+2x-3x.

Mari kita gunakan aturan untuk mengurangi suku-suku serupa:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Contoh 2 Mari kita buka tanda kurung pada ekspresi 2a+(b-3c).

Menggunakan aturan tanda kurung buka yang diawali dengan tanda plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat kombinatif penjumlahan.

Contoh 3 Mari kita buka tanda kurung pada ekspresi a-(4b-c).

Mari kita gunakan aturan tanda kurung buka yang diawali dengan tanda minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat kombinatif penjumlahan. Mari kita tunjukkan. Mari kita nyatakan suku kedua -(4b-c) dalam persamaan ini sebagai hasil kali (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Menerapkan sifat-sifat tindakan yang ditentukan, kita memperoleh:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.