Cepat atau lambat, semua anak di sekolah mulai mempelajari pecahan: penjumlahan, pembagian, perkalian, dan semua kemungkinan operasi yang dapat dilakukan dengan pecahan. Untuk memberikan bantuan yang tepat kepada anak, orang tua sendiri tidak boleh lupa bagaimana membagi bilangan bulat menjadi pecahan, jika tidak, Anda tidak akan dapat membantunya dengan cara apa pun, tetapi hanya akan membingungkannya. Jika Anda perlu mengingat tindakan ini, tetapi Anda tidak dapat memasukkan semua informasi di kepala Anda ke dalam satu aturan, artikel ini akan membantu Anda: Anda akan belajar membagi angka dengan pecahan dan melihat contoh yang jelas.
Cara membagi suatu bilangan menjadi pecahan
Tuliskan contoh Anda sebagai draf kasar sehingga Anda dapat membuat catatan dan penghapusan. Ingatlah bahwa bilangan bulat ditulis di antara sel, tepat di perpotongannya, dan bilangan pecahan ditulis di selnya masing-masing.
- Dalam cara ini, Anda perlu membalikkan pecahan, yaitu menuliskan penyebutnya menjadi pembilangnya, dan pembilangnya menjadi penyebutnya.
- Tanda pembagian harus diubah menjadi perkalian.
- Sekarang yang harus Anda lakukan adalah melakukan perkalian sesuai dengan aturan yang telah Anda pelajari: pembilangnya dikalikan dengan bilangan bulat, tetapi penyebutnya tidak disentuh.
Tentu saja, sebagai hasil dari tindakan ini Anda akan mendapatkan angka yang sangat besar di pembilangnya. Anda tidak dapat membiarkan pecahan dalam keadaan ini - guru tidak akan menerima jawaban ini. Kurangi pecahan dengan membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Tuliskan bilangan bulat yang dihasilkan di sebelah kiri pecahan di tengah sel, dan sisanya akan menjadi pembilang baru. Penyebutnya tetap tidak berubah.
Algoritma ini cukup sederhana, bahkan untuk anak-anak. Setelah menyelesaikannya lima atau enam kali, anak akan mengingat prosedurnya dan dapat menerapkannya pada pecahan apa pun.
Cara membagi suatu bilangan dengan desimal
Ada jenis pecahan lain - desimal. Pembagiannya terjadi menurut algoritma yang sama sekali berbeda. Jika Anda menemukan contoh seperti itu, ikuti petunjuknya:
- Pertama, ubah kedua angka menjadi desimal. Ini mudah dilakukan: pembagi Anda sudah direpresentasikan sebagai pecahan, dan Anda memisahkan bilangan asli yang dibagi dengan koma, sehingga mendapatkan pecahan desimal. Artinya, jika dividennya 5, Anda mendapatkan pecahan 5,0. Anda perlu memisahkan suatu bilangan dengan digit sebanyak yang ada setelah koma dan pembagi.
- Setelah ini, Anda harus membuat kedua pecahan desimal menjadi bilangan asli. Ini mungkin tampak sedikit membingungkan pada awalnya, tetapi ini adalah cara tercepat untuk membagi dan akan memakan waktu beberapa detik setelah beberapa sesi latihan. Pecahan 5,0 akan menjadi angka 50, pecahan 6,23 menjadi 623.
- Lakukan pembagiannya. Jika jumlahnya besar, atau akan terjadi pembagian dengan sisa, lakukan dalam kolom. Dengan cara ini Anda dapat dengan jelas melihat semua tindakan dalam contoh ini. Anda tidak perlu sengaja memberi koma, karena koma akan muncul dengan sendirinya selama proses pembagian yang panjang.
Pembagian jenis ini pada awalnya tampak terlalu membingungkan, karena Anda perlu mengubah pembagi dan pembagi menjadi pecahan, lalu kembali menjadi bilangan asli. Namun setelah latihan singkat, Anda akan segera mulai melihat angka-angka yang hanya perlu Anda bagi satu sama lain.
Ingatlah bahwa kemampuan membagi pecahan dan bilangan bulat dengan benar dapat berguna berkali-kali dalam hidup, oleh karena itu, seorang anak perlu mengetahui aturan dan prinsip sederhana ini dengan sempurna agar di kelas yang lebih tinggi tidak menjadi batu sandungan karena itu anak tidak dapat menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.
§ 87. Penjumlahan pecahan.
Penjumlahan pecahan memiliki banyak kemiripan dengan penjumlahan bilangan bulat. Penjumlahan pecahan adalah suatu tindakan yang terdiri dari menggabungkan beberapa bilangan (suku) tertentu menjadi satu bilangan (jumlah), yang memuat semua satuan dan pecahan dari satuan suku tersebut.
Kami akan mempertimbangkan tiga kasus secara berurutan:
1. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
2. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda.
3. Penjumlahan bilangan campuran.
1. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Perhatikan sebuah contoh: 1/5 + 2/5.
Mari kita ambil ruas AB (Gbr. 17), ambil menjadi satu dan bagi menjadi 5 bagian yang sama besar, maka bagian AC ruas ini sama dengan 1/5 ruas AB, dan bagian ruas CD yang sama sama dengan 2/5AB.
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa jika kita mengambil ruas AD sama dengan 3/5 AB; tetapi ruas AD justru merupakan penjumlahan dari ruas AC dan CD. Jadi kita bisa menulis:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Mengingat suku-suku ini dan jumlah yang dihasilkan, kita melihat bahwa pembilang dari jumlah tersebut diperoleh dengan menjumlahkan pembilang suku-suku tersebut, dan penyebutnya tetap tidak berubah.
Dari sini kita mendapatkan aturan berikut: Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
2. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Mari kita jumlahkan pecahannya: 3/4 + 3/8 Pertama, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut terkecil yang sama:
Tautan perantara 6/8 + 3/8 tidak dapat ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan.
Jadi, untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus menguranginya terlebih dahulu ke penyebut terkecilnya, menjumlahkan pembilangnya, dan memberi label pada penyebutnya.
Mari kita perhatikan sebuah contoh (kita akan menulis faktor tambahan di atas pecahan yang sesuai):
3. Penjumlahan bilangan campuran.
Mari kita jumlahkan angkanya: 2 3/8 + 3 5/6.
Pertama-tama mari kita bawa bagian pecahan dari bilangan kita ke penyebut yang sama dan tulis ulang lagi:
Sekarang kita menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara berurutan:
§ 88. Pengurangan pecahan.
Pengurangan pecahan didefinisikan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan bulat. Ini adalah tindakan yang dengannya, dengan mempertimbangkan jumlah dua suku dan salah satunya, suku lain ditemukan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus berturut-turut:
1. Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama.
2. Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.
3. Pengurangan bilangan campuran.
1. Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
13 / 15 - 4 / 15
Mari kita ambil ruas AB (Gbr. 18), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi menjadi 15 bagian yang sama besar; maka bagian AC dari segmen ini akan mewakili 1/15 AB, dan bagian AD dari segmen yang sama akan mewakili 13/15 AB. Mari kita sisihkan segmen ED lainnya yang sama dengan 4/15 AB.
Kita perlu mengurangi pecahan 4/15 dari 13/15. Pada gambar, ini berarti ruas ED harus dikurangi dengan ruas AD. Alhasil, segmen AE akan tetap ada, yakni 9/15 dari segmen AB. Jadi kita bisa menulis:
Contoh yang kita buat menunjukkan bahwa pembilang selisihnya diperoleh dengan mengurangkan pembilangnya, namun penyebutnya tetap sama.
Oleh karena itu, untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pengurang dari pembilang minuend dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
2. Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Contoh. 3/4 - 5/8
Pertama, mari kita turunkan pecahan-pecahan ini ke penyebut terkecil yang paling umum:
Perantara 6/8 - 5/8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi dapat dilewati nanti.
Jadi, untuk mengurangkan pecahan dari suatu pecahan, pertama-tama Anda harus menguranginya menjadi penyebut terkecil, kemudian mengurangi pembilang minuend dari pembilang minuend dan menandatangani penyebut persekutuan di bawah selisihnya.
Mari kita lihat sebuah contoh:
3. Pengurangan bilangan campuran.
Contoh. 10 3/4 - 7 2/3.
Mari kita kurangi bagian pecahan dari minuend dan kurangi menjadi penyebut terkecil yang sama:
Kami mengurangi keseluruhan dari keseluruhan dan pecahan dari pecahan. Namun ada kalanya bagian pecahan dari pengurang lebih besar dari bagian pecahan dari minuend. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu mengambil satu unit dari seluruh bagian minuend, membaginya menjadi bagian-bagian di mana bagian pecahan dinyatakan, dan menambahkannya ke bagian pecahan dari minuend. Dan kemudian pengurangan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya:
§ 89. Perkalian pecahan.
Saat mempelajari perkalian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
2. Menemukan pecahan suatu bilangan tertentu.
3. Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan.
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan.
5. Perkalian bilangan campuran.
6. Konsep minat.
7. Menemukan persentase suatu bilangan tertentu. Mari kita pertimbangkan secara berurutan.
1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat mempunyai arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan bilangan bulat. Mengalikan suatu pecahan (perkalian) dengan bilangan bulat (faktor) berarti menjumlahkan suku-suku yang identik, yang setiap sukunya sama dengan pengalinya, dan banyaknya sukunya sama dengan pengalinya.
Artinya jika ingin mengalikan 1/9 dengan 7, maka bisa dilakukan seperti ini:
Kami dengan mudah memperoleh hasilnya, karena tindakannya dikurangi menjadi penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Karena itu,
Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat sama dengan menambah pecahan tersebut sebanyak jumlah unit yang terkandung dalam bilangan bulat. Dan karena peningkatan pecahan dapat dicapai dengan meningkatkan pembilangnya
atau dengan mengurangi penyebutnya 
, maka kita dapat mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat atau membagi penyebutnya dengan bilangan tersebut, jika pembagian tersebut memungkinkan.
Dari sini kita mendapatkan aturannya:
Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, kalikan pembilangnya dengan bilangan bulat tersebut dan biarkan penyebutnya tetap sama, atau, jika memungkinkan, bagi penyebutnya dengan bilangan tersebut, biarkan pembilangnya tidak berubah.
Saat mengalikan, singkatan dimungkinkan, misalnya:
2. Menemukan pecahan suatu bilangan tertentu. Ada banyak soal yang mengharuskan Anda mencari, atau menghitung, bagian dari suatu bilangan. Perbedaan antara soal-soal ini dan soal-soal lainnya adalah soal-soal tersebut memberikan jumlah suatu benda atau satuan pengukuran dan Anda perlu mencari bagian dari bilangan tersebut, yang juga ditunjukkan di sini dengan pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan metode untuk menyelesaikannya.
Tugas 1. Saya punya 60 rubel; Saya menghabiskan 1/3 dari uang ini untuk membeli buku. Berapa harga bukunya?
Tugas 2. Kereta api tersebut harus menempuh jarak antara kota A dan B sebesar 300 km. Dia telah menempuh 2/3 dari jarak ini. Berapa kilometer ini?
Tugas 3. Ada 400 rumah di desa ini, 3/4nya terbuat dari batu bata, sisanya dari kayu. Berapa jumlah seluruh rumah bata?
Ini adalah beberapa dari banyak masalah yang kita temui dalam menemukan bagian dari suatu bilangan tertentu. Biasanya disebut soal mencari pecahan suatu bilangan tertentu.
Solusi untuk masalah 1. Dari 60 gosok. Saya menghabiskan 1/3 untuk membeli buku; Artinya untuk mencari harga buku, Anda perlu membagi angka 60 dengan 3:
Memecahkan masalah 2. Inti masalahnya adalah Anda perlu mencari 2/3 dari 300 km. Mari kita hitung dulu 1/3 dari 300; ini dicapai dengan membagi 300 km dengan 3:
300: 3 = 100 (itu 1/3 dari 300).
Untuk mencari dua pertiga dari 300, Anda perlu menggandakan hasil bagi yang dihasilkan, yaitu dikalikan dengan 2:
100 x 2 = 200 (yaitu 2/3 dari 300).
Memecahkan masalah 3. Di sini Anda perlu menentukan banyaknya rumah bata yang membentuk 3/4 dari 400. Pertama-tama mari kita cari 1/4 dari 400,
400: 4 = 100 (itu 1/4 dari 400).
Untuk menghitung tiga perempat dari 400, hasil bagi yang dihasilkan harus dikalikan tiga kali lipat, yaitu dikalikan 3:
100 x 3 = 300 (itu 3/4 dari 400).
Berdasarkan penyelesaian masalah tersebut, kita dapat memperoleh aturan berikut:
Untuk mencari nilai pecahan dari suatu bilangan, Anda perlu membagi bilangan tersebut dengan penyebut pecahan tersebut dan mengalikan hasil bagi dengan pembilangnya.
3. Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan.
Sebelumnya (§ 26) telah ditetapkan bahwa perkalian bilangan bulat harus dipahami sebagai penjumlahan suku-suku yang identik (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Dalam paragraf ini (poin 1) ditetapkan bahwa mengalikan suatu pecahan dengan bilangan bulat berarti mencari jumlah suku-suku identik yang sama dengan pecahan tersebut.
Dalam kedua kasus tersebut, perkalian terdiri dari mencari jumlah suku-suku yang identik.
Sekarang kita lanjutkan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan. Di sini kita akan menemui, misalnya, perkalian: 9 2/3. Jelas bahwa definisi perkalian sebelumnya tidak berlaku untuk kasus ini. Hal ini terlihat dari kenyataan bahwa kita tidak dapat mengganti perkalian tersebut dengan menjumlahkan bilangan yang sama.
Oleh karena itu, kita harus memberikan definisi baru tentang perkalian, yaitu dengan kata lain menjawab pertanyaan tentang apa yang dimaksud dengan perkalian dengan pecahan, bagaimana cara memahami tindakan tersebut.
Arti mengalikan bilangan bulat dengan pecahan jelas dari definisi berikut: mengalikan bilangan bulat (perkalian) dengan pecahan (perkalian) berarti mencari pecahan dari perkalian tersebut.
Yaitu mengalikan 9 dengan 2/3 berarti mencari 2/3 dari sembilan satuan. Pada paragraf sebelumnya, masalah tersebut telah diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahwa kita akan mendapatkan 6.
Namun kini muncul pertanyaan yang menarik dan penting: mengapa operasi-operasi yang tampaknya berbeda, seperti mencari jumlah bilangan yang sama dan mencari pecahan suatu bilangan, dalam aritmatika disebut dengan kata yang sama “perkalian”?
Hal ini terjadi karena tindakan sebelumnya (mengulang suatu bilangan dengan suku beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan suatu bilangan) memberikan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang homogen. Artinya di sini kita berangkat dari pertimbangan bahwa pertanyaan atau tugas yang homogen diselesaikan dengan tindakan yang sama.
Untuk memahami hal ini, pertimbangkan masalah berikut: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga kain tersebut sepanjang 4 m?
Masalah ini diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (4), yaitu 50 x 4 = 200 (rubel).
Mari kita ambil soal yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai pecahan: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 3/4 m kain tersebut?”
Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (3/4).
Anda dapat mengubah angka-angka di dalamnya beberapa kali lagi tanpa mengubah arti soal, misalnya ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dan seterusnya.
Karena soal-soal ini memiliki isi yang sama dan hanya berbeda dalam angka, kami menyebut tindakan yang digunakan untuk menyelesaikannya dengan kata yang sama - perkalian.
Bagaimana cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan?
Mari kita ambil angka-angka yang ditemui pada soal terakhir:
Menurut definisinya, kita harus mencari 3/4 dari 50. Pertama, cari 1/4 dari 50, lalu 3/4.
1/4 dari 50 adalah 50/4;
3/4 dari bilangan 50 adalah .
Karena itu.
Mari kita perhatikan contoh lainnya: 12 5/8 =?
1/8 dari angka 12 adalah 12/8,
5/8 dari angka 12 adalah .
Karena itu,
Dari sini kita mendapatkan aturannya:
Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan hasil kali ini sebagai pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan tersebut sebagai penyebutnya.
Mari kita tulis aturan ini menggunakan huruf:
Untuk memperjelas aturan ini, perlu diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan mengalikan suatu bilangan dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam § 38
Penting untuk diingat bahwa sebelum melakukan perkalian, Anda harus melakukan (jika memungkinkan) pengurangan, Misalnya:
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan. Mengalikan pecahan dengan pecahan mempunyai arti yang sama dengan mengalikan suatu bilangan bulat dengan pecahan, yaitu pada saat mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mencari pecahan yang merupakan faktor dari pecahan pertama (pengganda).
Yaitu mengalikan 3/4 dengan 1/2 (setengah) berarti mencari setengah dari 3/4.
Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?
Kita ambil contoh: 3/4 dikalikan 5/7. Artinya, Anda perlu mencari 5/7 dari 3/4. Pertama, cari 1/7 dari 3/4, lalu 5/7
1/7 dari bilangan 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:
5/7 angka 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:
Dengan demikian,
Contoh lain: 5/8 dikalikan 4/9.
1/9 dari 5/8 adalah ,
4/9 dari bilangan 5/8 adalah .
Dengan demikian, 
Dari contoh-contoh ini kita dapat menyimpulkan aturan berikut:
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut, dan menjadikan hasil perkalian pertama sebagai pembilangnya, dan hasil kali kedua sebagai penyebut hasil perkaliannya.
Aturan ini dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut:
Saat mengalikan, perlu dilakukan pengurangan (jika memungkinkan). Mari kita lihat contohnya:
5. Perkalian bilangan campuran. Karena bilangan campuran dapat dengan mudah diganti dengan pecahan biasa, keadaan ini biasanya digunakan saat mengalikan bilangan campuran. Artinya, jika pengali, atau pengali, atau kedua faktor dinyatakan sebagai bilangan campuran, maka keduanya akan digantikan dengan pecahan biasa. Mari kita kalikan, misalnya bilangan campuran: 2 1/2 dan 3 1/5. Mari kita ubah masing-masing pecahan menjadi pecahan biasa lalu kalikan pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan:
Aturan. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa, lalu mengalikannya sesuai aturan mengalikan pecahan dengan pecahan.
Catatan. Jika salah satu faktornya bilangan bulat, maka perkaliannya dapat dilakukan berdasarkan hukum distribusi sebagai berikut:
6. Konsep minat. Saat memecahkan masalah dan melakukan berbagai perhitungan praktis, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi harus diingat bahwa banyak besaran tidak memungkinkan sembarang besaran, tetapi pembagian alami bagi mereka. Misalnya, Anda dapat mengambil seperseratus (1/100) rubel, itu akan menjadi satu kopeck, dua perseratus adalah 2 kopeck, tiga perseratus adalah 3 kopeck. Anda dapat mengambil 1/10 rubel, itu akan menjadi "10 kopeck, atau sepuluh kopeck. Anda dapat mengambil seperempat rubel, yaitu 25 kopeck, setengah rubel, yaitu 50 kopeck (lima puluh kopeck). Tapi mereka praktis tidak mengambilnya, misalnya , 2/7 rubel karena rubel tidak dibagi menjadi tujuh.
Satuan berat, yaitu kilogram, pada dasarnya memungkinkan pembagian desimal, misalnya 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1/13 bukanlah pecahan yang umum.
Secara umum, ukuran (metrik) kami adalah desimal dan memungkinkan pembagian desimal.
Namun, perlu dicatat bahwa dalam berbagai kasus akan sangat berguna dan nyaman menggunakan metode pembagian besaran yang sama (seragam). Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahwa pembagian yang dibenarkan seperti itu adalah pembagian yang “seratus”. Mari kita perhatikan beberapa contoh yang berkaitan dengan bidang praktik manusia yang paling beragam.
1. Harga buku mengalami penurunan 12/100 dari harga sebelumnya.
Contoh. Harga buku sebelumnya adalah 10 rubel. Itu berkurang 1 rubel. 20 kopek
2. Bank tabungan membayar deposan 2/100 dari jumlah yang disimpan untuk tabungan sepanjang tahun.
Contoh. 500 rubel disimpan di mesin kasir, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini adalah 10 rubel.
3. Jumlah lulusan suatu sekolah adalah 5/100 dari jumlah seluruh siswa.
CONTOH Hanya ada 1.200 siswa di sekolah tersebut, 60 di antaranya lulus.
Bagian keseratus suatu bilangan disebut persentase.
Kata "persen" dipinjam dari bahasa Latin dan akar kata "sen" berarti seratus. Bersama dengan kata depan (pro centum), kata ini berarti “seratus”. Arti dari ungkapan ini mengikuti fakta bahwa pada mulanya di Roma kuno, bunga adalah nama yang diberikan untuk uang yang dibayarkan debitur kepada pemberi pinjaman “untuk setiap seratus”. Kata “sen” terdengar dalam kata-kata yang familiar: centner (seratus kilogram), sentimeter (katakanlah sentimeter).
Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa selama sebulan terakhir sebuah pabrik memproduksi 1/100 dari semua produk yang dihasilkannya adalah produk cacat, kita akan mengatakan ini: selama sebulan terakhir, pabrik tersebut menghasilkan satu persen produk cacat. Daripada mengatakan: pabrik menghasilkan 4/100 produk lebih banyak dari rencana yang ditetapkan, kita akan mengatakan: pabrik melebihi rencana sebesar 4 persen.
Contoh di atas dapat diungkapkan secara berbeda:
1. Harga buku mengalami penurunan sebesar 12 persen dari harga sebelumnya.
2. Bank tabungan membayar deposan sebesar 2 persen per tahun dari jumlah yang disimpan dalam tabungan.
3. Jumlah lulusan suatu sekolah adalah 5 persen dari seluruh siswa sekolah.
Untuk mempersingkat huruf, biasanya ditulis simbol % daripada kata “persentase”.
Namun perlu diingat bahwa dalam perhitungan biasanya tanda % tidak dituliskan, dapat dituliskan pada rumusan masalah dan pada hasil akhir. Saat melakukan perhitungan, Anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100, bukan bilangan bulat dengan simbol ini.
Anda harus bisa mengganti bilangan bulat dengan ikon yang ditunjukkan dengan pecahan dengan penyebut 100:
Sebaliknya, Anda harus membiasakan menulis bilangan bulat dengan simbol yang ditunjukkan, bukan pecahan dengan penyebut 100:
7. Menemukan persentase suatu bilangan tertentu.
Tugas 1. Sekolah menerima 200 meter kubik. m kayu bakar, dengan kayu bakar birch menyumbang 30%. Berapa banyak kayu bakar birch yang ada di sana?
Arti dari soal ini adalah kayu bakar birch hanya merupakan sebagian dari kayu bakar yang dikirimkan ke sekolah, dan bagian tersebut dinyatakan dalam pecahan 30/100. Artinya kita mempunyai tugas mencari pecahan suatu bilangan. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengalikan 200 dengan 30/100 (masalah mencari pecahan suatu bilangan diselesaikan dengan mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan.).
Artinya 30% dari 200 sama dengan 60.
Pecahan 30/100 yang ditemui dalam soal ini dapat dikurangi 10. Pengurangan ini dapat dilakukan dari awal; solusi terhadap masalah tersebut tidak akan berubah.
Tugas 2. Ada 300 anak dari berbagai usia di kamp tersebut. Anak usia 11 tahun mencapai 21%, anak usia 12 tahun mencapai 61%, dan terakhir anak usia 13 tahun mencapai 18%. Berapa banyak anak dari setiap usia yang ada di kamp tersebut?
Dalam soal ini perlu dilakukan tiga kali perhitungan yaitu secara berurutan mencari banyaknya anak berumur 11 tahun, kemudian berumur 12 tahun dan terakhir berumur 13 tahun.
Artinya di sini Anda perlu mencari pecahan dari bilangan tersebut sebanyak tiga kali. Ayo lakukan ini:
1) Berapa jumlah anak berumur 11 tahun di sana?
2) Berapa banyak anak berusia 12 tahun yang ada di sana?
3) Berapa banyak anak berusia 13 tahun yang ada di sana?
Setelah menyelesaikan soal, ada gunanya menjumlahkan angka-angka yang ditemukan; jumlah mereka harus 300:
63 + 183 + 54 = 300
Perlu diperhatikan juga bahwa jumlah persentase yang diberikan dalam rumusan masalah adalah 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Hal ini menunjukkan bahwa jumlah total anak di kamp tersebut diambil sebanyak 100%.
3 a d a ha 3. Pekerja tersebut menerima 1.200 rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, ia membelanjakan 65% untuk makanan, 6% untuk apartemen dan pemanas, 4% untuk gas, listrik dan radio, 10% untuk kebutuhan budaya, dan 15% untuk tabungan. Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk kebutuhan yang disebutkan dalam soal?
Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu mencari pecahan 1.200 sebanyak 5 kali.
1) Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk makanan? Soalnya pengeluaran ini adalah 65% dari total pendapatan, yaitu 65/100 dari angka 1.200. Mari kita hitung:
2) Berapa banyak uang yang Anda bayarkan untuk apartemen dengan pemanas? Dengan alasan yang mirip dengan yang sebelumnya, kita sampai pada perhitungan berikut:
3) Berapa banyak uang yang Anda keluarkan untuk gas, listrik dan radio?
4) Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk kebutuhan budaya?
5) Berapa banyak uang yang dihemat pekerja tersebut?
Untuk memeriksanya, ada gunanya menjumlahkan angka-angka yang ditemukan dalam 5 pertanyaan ini. Jumlahnya harus 1.200 rubel. Semua penghasilan diambil sebagai 100%, yang mudah diperiksa dengan menjumlahkan angka persentase yang diberikan dalam rumusan masalah.
Kami memecahkan tiga masalah. Meskipun masalah-masalah ini berhubungan dengan hal yang berbeda (pengiriman kayu bakar untuk sekolah, jumlah anak dari berbagai usia, biaya pekerja), masalah tersebut diselesaikan dengan cara yang sama. Hal ini terjadi karena dalam semua soal perlu mencari beberapa persen dari angka yang diberikan.
§ 90. Pembagian pecahan.
Saat kita mempelajari pembagian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
2. Membagi pecahan dengan bilangan bulat
3. Membagi bilangan bulat dengan pecahan.
4. Membagi pecahan dengan pecahan.
5. Pembagian bilangan campuran.
6. Menemukan bilangan dari pecahan tertentu.
7. Menemukan suatu bilangan berdasarkan persentasenya.
Mari kita pertimbangkan secara berurutan.
1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
Seperti yang telah ditunjukkan dalam pembagian bilangan bulat, pembagian adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa, dengan mengetahui hasil perkalian dua faktor (dividen) dan salah satu faktor tersebut (pembagi), ditemukan faktor lain.
Kami melihat pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat di bagian bilangan bulat. Kita menjumpai dua kasus pembagian di sana: pembagian tanpa sisa, atau “seluruhnya” (150:10 = 15), dan pembagian dengan sisa (100:9 = 11 dan 1 sisa). Oleh karena itu kita dapat mengatakan bahwa dalam bidang bilangan bulat, pembagian eksak tidak selalu memungkinkan, karena pembagian tidak selalu merupakan hasil kali pembagi dengan bilangan bulat. Setelah memperkenalkan perkalian dengan pecahan, kita dapat mempertimbangkan kemungkinan pembagian bilangan bulat (hanya pembagian dengan nol yang dikecualikan).
Misalnya membagi 7 dengan 12 berarti mencari suatu bilangan yang hasil kali 12 sama dengan 7. Bilangan tersebut adalah pecahan 7/12 karena 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14:25 = 14/25, karena 14/25 25 = 14.
Jadi, untuk membagi bilangan bulat dengan bilangan bulat, Anda perlu membuat pecahan yang pembilangnya sama dengan pembilangnya dan penyebutnya sama dengan pembaginya.
2. Membagi pecahan dengan bilangan bulat.
Bagilah pecahan 6/7 dengan 3. Berdasarkan definisi pembagian yang diberikan di atas, di sini kita mempunyai hasil kali (6/7) dan salah satu faktornya (3); kita perlu mencari faktor kedua yang, jika dikalikan dengan 3, akan menghasilkan hasil kali 6/7. Jelas, ukurannya harus tiga kali lebih kecil dari produk ini. Artinya tugas yang diberikan kepada kita adalah mengurangi pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.
Kita telah mengetahui bahwa pengurangan suatu pecahan dapat dilakukan dengan cara memperkecil pembilangnya atau menambah penyebutnya. Oleh karena itu Anda dapat menulis:
Dalam hal ini pembilang 6 habis dibagi 3, sehingga pembilangnya harus dikurangi 3 kali.
Mari kita ambil contoh lain: 5/8 dibagi 2. Di sini pembilang 5 tidak habis dibagi 2, artinya penyebutnya harus dikalikan dengan bilangan ini:
Berdasarkan hal tersebut dapat dibuat suatu aturan: Untuk membagi pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan bilangan bulat tersebut.(jika memungkinkan), menyisakan penyebut yang sama, atau mengalikan penyebut pecahan dengan bilangan ini, menyisakan pembilang yang sama.
3. Membagi bilangan bulat dengan pecahan.
Misalkan 5 perlu dibagi 1/2, yaitu mencari bilangan yang setelah dikalikan dengan 1/2 akan menghasilkan hasil kali 5. Jelasnya, bilangan ini harus lebih besar dari 5, karena 1/2 adalah pecahan biasa , dan ketika mengalikan suatu bilangan, hasil kali pecahan biasa harus lebih kecil dari hasil kali yang dikalikan. Agar lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita sebagai berikut: 5:1/2= X , yang artinya x 1 / 2 = 5.
Kita harus menemukan nomor tersebut X , yang jika dikalikan dengan 1/2 akan menghasilkan 5. Karena mengalikan suatu bilangan tertentu dengan 1/2 berarti mencari 1/2 dari bilangan tersebut, maka 1/2 dari bilangan yang tidak diketahui itu X sama dengan 5, dan bilangan bulat X dua kali lipatnya, yaitu 5 2 = 10.
Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Mari kita periksa: 
Mari kita lihat contoh lainnya. Katakanlah Anda ingin membagi 6 dengan 2/3. Pertama-tama mari kita coba mencari hasil yang diinginkan menggunakan gambar (Gbr. 19).
Gambar 19
Mari kita menggambar segmen AB sama dengan 6 unit, dan membagi setiap unit menjadi 3 bagian yang sama. Dalam setiap satuan, tiga pertiga (3/3) dari seluruh ruas AB berukuran 6 kali lebih besar, yaitu. e.18/3. Dengan menggunakan tanda kurung kecil, kami menghubungkan 18 segmen yang dihasilkan dari 2; Hanya akan ada 9 segmen. Artinya pecahan 2/3 terdapat dalam 6 satuan sebanyak 9 kali, atau dengan kata lain pecahan 2/3 adalah 9 kali lebih kecil dari 6 satuan bulat. Karena itu,
Bagaimana cara mendapatkan hasil ini tanpa gambar hanya dengan menggunakan perhitungan? Mari kita beralasan seperti ini: kita perlu membagi 6 dengan 2/3, yaitu kita perlu menjawab pertanyaan berapa kali 2/3 terkandung dalam 6. Mari kita cari tahu dulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam satuan utuh terdapat 3 pertiganya, dan dalam 6 satuan terdapat 6 kali lebih banyak, yaitu 18 pertiga; untuk mencari bilangan tersebut kita harus mengalikan 6 dengan 3. Artinya 1/3 yang terkandung dalam satuan b sebanyak 18 kali, dan 2/3 yang terkandung dalam satuan b bukan 18 kali, melainkan setengahnya, yaitu 18 : 2 = 9 . Oleh karena itu, saat membagi 6 dengan 2/3 kami melakukan hal berikut:
Dari sini kita mendapatkan aturan membagi bilangan bulat dengan pecahan. Untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat ini dengan penyebut pecahan tertentu dan, dengan menjadikan hasil kali ini sebagai pembilangnya, bagilah dengan pembilang pecahan tertentu.
Mari kita tulis aturannya menggunakan huruf:
Untuk memperjelas aturan ini, perlu diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan pembagian suatu bilangan dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam § 38. Harap dicatat bahwa rumus yang sama diperoleh di sana.
Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:
4. Membagi pecahan dengan pecahan.
Katakanlah kita perlu membagi 3/4 dengan 3/8. Berapakah arti dari bilangan hasil pembagian? Ini akan menjawab pertanyaan berapa kali pecahan 3/8 terkandung dalam pecahan 3/4. Untuk memahami masalah ini, mari kita buat gambarnya (Gbr. 20).
Mari kita ambil ruas AB, anggap menjadi satu, bagi menjadi 4 bagian yang sama besar dan tandai 3 bagian tersebut. Ruas AC sama dengan 3/4 ruas AB. Sekarang mari kita bagi masing-masing empat ruas asal menjadi dua, maka ruas AB akan dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar dan masing-masing bagian tersebut akan sama dengan 1/8 ruas AB. Mari kita hubungkan 3 ruas tersebut dengan busur, maka masing-masing ruas AD dan DC sama dengan 3/8 ruas AB. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ruas sama dengan 3/8 terdapat dalam ruas sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Artinya hasil pembagiannya dapat dituliskan sebagai berikut:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Mari kita lihat contoh lainnya. Katakanlah kita perlu membagi 15/16 dengan 3/32:
Kita dapat beralasan seperti ini: kita perlu mencari bilangan yang, setelah dikalikan dengan 3/32, akan menghasilkan hasil kali sebesar 15/16. Mari kita tulis perhitungannya seperti ini:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nomor tak dikenal X adalah 15/16
1/32 dari nomor tak dikenal X adalah ,
32/32 angka X berdandan.
Karena itu,
Jadi, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan menjadikan hasil kali pertama sebagai pembilangnya, dan yang kedua penyebutnya.
Mari kita tulis aturannya menggunakan huruf:
Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:
5. Pembagian bilangan campuran.
Saat membagi bilangan campuran, terlebih dahulu harus diubah menjadi pecahan biasa, kemudian pecahan yang dihasilkan harus dibagi sesuai aturan pembagian pecahan. Mari kita lihat sebuah contoh:
Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Sekarang mari kita bagi:
Jadi, untuk membagi bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian membaginya menggunakan aturan pembagian pecahan.
6. Menemukan bilangan dari pecahan tertentu.
Di antara berbagai soal pecahan, terkadang ada yang memberikan nilai pecahan tertentu dari bilangan yang tidak diketahui dan Anda perlu mencari bilangan tersebut. Jenis soal ini akan menjadi kebalikan dari soal mencari pecahan suatu bilangan tertentu; disana diberikan suatu bilangan dan diharuskan mencari pecahan dari bilangan tersebut, disini diberikan pecahan dari suatu bilangan dan diharuskan untuk mencari bilangan itu sendiri. Gagasan ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih ke pemecahan masalah seperti ini.
Tugas 1. Pada hari pertama, tukang kaca melapisi 50 jendela, yaitu 1/3 dari seluruh jendela rumah yang dibangun. Berapa banyak jendela yang ada di rumah ini?
Larutan. Soalnya mengatakan bahwa 50 jendela kaca merupakan 1/3 dari seluruh jendela rumah, yang berarti total jendelanya 3 kali lebih banyak, yaitu.
Rumah itu memiliki 150 jendela.
Tugas 2. Toko tersebut menjual 1.500 kg tepung, yang merupakan 3/8 dari total stok tepung yang dimiliki toko tersebut. Berapa persediaan awal tepung di toko tersebut?
Larutan. Dari kondisi permasalahan terlihat bahwa 1.500 kg tepung terigu yang terjual merupakan 3/8 dari total stok; Artinya 1/8 dari cadangan ini akan menjadi 3 kali lebih sedikit, yaitu untuk menghitungnya Anda perlu mengurangi 1500 sebanyak 3 kali:
1.500: 3 = 500 (ini 1/8 dari cadangan).
Jelas, seluruh pasokan akan menjadi 8 kali lebih besar. Karena itu,
500 8 = 4.000 (kg).
Stok awal tepung di toko sebanyak 4.000 kg.
Dari pertimbangan masalah ini, aturan berikut dapat diturunkan.
Untuk mencari suatu bilangan dari suatu nilai pecahan tertentu, cukup dengan membagi nilai tersebut dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan tersebut.
Kami memecahkan dua soal dalam menemukan bilangan berdasarkan pecahannya. Masalah-masalah seperti itu, seperti yang terlihat jelas dari masalah terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembagian (saat satu bagian ditemukan) dan perkalian (saat ditemukan bilangan bulat).
Namun setelah kita mempelajari pembagian pecahan, maka permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan satu tindakan yaitu: pembagian dengan pecahan.
Misalnya, tugas terakhir dapat diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:
Di masa depan, kita akan menyelesaikan masalah mencari bilangan dari pecahannya dengan satu tindakan - pembagian.
7. Menemukan suatu bilangan berdasarkan persentasenya.
Dalam soal ini Anda perlu mencari angka yang mengetahui beberapa persen dari angka tersebut.
Tugas 1. Pada awal tahun ini saya menerima 60 rubel dari bank tabungan. penghasilan dari jumlah yang saya simpan di tabungan setahun yang lalu. Berapa banyak uang yang saya simpan di bank tabungan? (Meja kas memberi deposan pengembalian 2% per tahun.)
Maksud masalahnya adalah saya menaruh sejumlah uang di bank tabungan dan tinggal di sana selama setahun. Setahun kemudian, saya menerima 60 rubel darinya. penghasilan yaitu 2/100 dari uang yang saya setorkan. Berapa banyak uang yang saya masukkan?
Oleh karena itu, dengan mengetahui sebagian dari uang ini, yang dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan pecahan), kita harus menemukan jumlah keseluruhannya, yang belum diketahui. Ini adalah soal biasa dalam menemukan suatu bilangan berdasarkan pecahannya. Masalah-masalah berikut diselesaikan dengan pembagian:
Ini berarti 3.000 rubel disimpan di bank tabungan.
Tugas 2. Nelayan memenuhi rencana bulanan sebesar 64% dalam dua minggu, memanen 512 ton ikan. Apa rencana mereka?
Dari kondisi permasalahan diketahui bahwa para nelayan telah menyelesaikan sebagian rencananya. Bagian ini setara dengan 512 ton, yaitu 64% dari rencana. Kami belum tahu berapa ton ikan yang perlu disiapkan sesuai rencana. Menemukan nomor ini akan menjadi solusi dari masalah tersebut.
Masalah-masalah tersebut diselesaikan dengan pembagian:
Artinya, rencananya perlu disiapkan ikan sebanyak 800 ton.
Tugas 3. Kereta berangkat dari Riga ke Moskow. Saat melewati kilometer ke-276, salah satu penumpang bertanya kepada kondektur yang lewat berapa lama perjalanan yang telah mereka tempuh. Kondektur menjawab: “Kami telah menempuh 30% dari keseluruhan perjalanan.” Berapa jarak dari Riga ke Moskow?
Dari kondisi permasalahan terlihat bahwa 30% rute Riga ke Moskow adalah 276 km. Kita perlu mencari seluruh jarak antara kota-kota ini, yaitu untuk bagian ini, cari keseluruhannya:
§ 91. Bilangan timbal balik. Mengganti pembagian dengan perkalian.
Mari kita ambil pecahan 2/3 dan ganti pembilangnya dengan penyebutnya, kita mendapatkan 3/2. Kami mendapat kebalikan dari pecahan ini.
Untuk mendapatkan pecahan yang merupakan kebalikan dari pecahan tertentu, Anda harus meletakkan pembilangnya sebagai penyebut, dan penyebutnya sebagai pembilangnya. Dengan cara ini kita bisa mendapatkan kebalikan dari pecahan apa pun. Misalnya:
3/4, membalikkan 4/3; 5/6, mundur 6/5
Dua pecahan yang mempunyai sifat pembilang pecahan pertama adalah penyebut pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama adalah pembilang pecahan kedua, disebut saling berbanding terbalik.
Sekarang mari kita pikirkan pecahan apa yang berbanding terbalik dengan 1/2. Jelasnya, hasilnya adalah 2/1, atau hanya 2. Dengan mencari kebalikan dari pecahan yang diberikan, kita mendapatkan bilangan bulat. Dan kasus ini tidak terisolasi; sebaliknya, untuk semua pecahan yang pembilangnya 1 (satu), kebalikannya adalah bilangan bulat, contoh:
1/3, mundur 3; 1/5, mundur 5
Karena dalam mencari pecahan berbanding terbalik kita juga menjumpai bilangan bulat, maka selanjutnya kita tidak akan membahas tentang pecahan berbanding terbalik, tetapi tentang bilangan berbanding terbalik.
Mari kita cari tahu cara menulis invers bilangan bulat. Untuk pecahan, ini dapat diselesaikan dengan sederhana: Anda harus meletakkan penyebutnya di tempat pembilangnya. Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan invers suatu bilangan bulat, karena bilangan bulat apa pun dapat memiliki penyebut 1. Artinya invers dari 7 adalah 1/7, karena 7 = 7/1; untuk bilangan 10 kebalikannya adalah 1/10, karena 10 = 10/1
Ide ini dapat diungkapkan dengan cara yang berbeda: kebalikan dari suatu bilangan diperoleh dengan membagi satu dengan bilangan tertentu. Pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk pecahan. Faktanya, jika kita ingin menulis kebalikan dari pecahan 5/9, maka kita dapat mengambil 1 dan membaginya dengan 5/9, yaitu.
Sekarang mari kita tunjukkan satu hal milik bilangan timbal balik, yang akan berguna bagi kita: hasil kali bilangan timbal balik sama dengan satu. Nyatanya:
Dengan menggunakan properti ini, kita dapat mencari bilangan timbal balik dengan cara berikut. Katakanlah kita perlu mencari invers dari 8.
Mari kita nyatakan dengan huruf X , lalu 8 X = 1, maka X = 1/8. Mari kita cari bilangan lain yang merupakan kebalikan dari 7/12 dan dilambangkan dengan huruf X , lalu 7/12 X = 1, maka X = 1:7/12 atau X = 12 / 7 .
Di sini kami memperkenalkan konsep bilangan timbal balik untuk sedikit melengkapi informasi tentang pembagian pecahan.
Saat kita membagi angka 6 dengan 3/5, kita melakukan hal berikut:
Berikan perhatian khusus pada ekspresi tersebut dan bandingkan dengan ekspresi yang diberikan: .
Jika kita mengambil ungkapan tersebut secara terpisah, tanpa menghubungkan dengan ungkapan sebelumnya, maka tidak mungkin menyelesaikan pertanyaan dari mana asalnya: dari membagi 6 dengan 3/5 atau dari mengalikan 6 dengan 5/3. Dalam kedua kasus tersebut, hal yang sama terjadi. Oleh karena itu kami dapat mengatakan bahwa membagi suatu bilangan dengan bilangan lain dapat diganti dengan mengalikan pembaginya dengan kebalikan dari pembaginya.
Contoh yang kami berikan di bawah ini sepenuhnya menegaskan kesimpulan ini.
Anda bisa melakukan apa saja dengan pecahan, termasuk pembagian. Artikel ini menjelaskan tentang pembagian pecahan biasa. Definisi akan diberikan dan contoh akan dibahas. Mari kita membahas secara detail pembagian pecahan dengan bilangan asli dan sebaliknya. Pembagian pecahan biasa dengan bilangan campuran akan dibahas.
Pembagian pecahan
Pembagian adalah kebalikan dari perkalian. Saat membagi, faktor yang tidak diketahui ditemukan dengan hasil kali faktor lain yang diketahui, di mana makna tertentu dipertahankan dengan pecahan biasa.
Jika pecahan biasa a b harus dibagi dengan c d, maka untuk menentukan bilangan tersebut perlu dikalikan dengan pembagi c d, yang pada akhirnya akan menghasilkan pembagian a b. Mari kita ambil sebuah bilangan dan tuliskan a b · d c , dimana d c adalah kebalikan dari bilangan c d. Persamaan dapat ditulis dengan menggunakan sifat-sifat perkalian, yaitu: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, dimana persamaan a b · d c adalah hasil bagi membagi a b dengan c d.
Dari sini kita memperoleh dan merumuskan aturan pembagian pecahan biasa:
Definisi 1
Untuk membagi pecahan biasa a b dengan c d, Anda perlu mengalikan pembagian dengan kebalikan dari pembaginya.
Mari kita tulis aturannya dalam bentuk ekspresi: a b: c d = a b · d c
Aturan pembagian direduksi menjadi perkalian. Untuk dapat menguasainya, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang perkalian pecahan.
Mari kita beralih ke pembagian pecahan biasa.
Contoh 1
Bagilah 9 7 dengan 5 3. Tulis hasilnya sebagai pecahan.
Larutan
Bilangan 5 3 merupakan kebalikan pecahan 3 5. Penting untuk menggunakan aturan pembagian pecahan biasa. Kita menulis ungkapan ini sebagai berikut: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Menjawab: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Saat mereduksi pecahan, pisahkan seluruh bagiannya jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.
Contoh 2
Bagilah 8 15: 24 65. Tulis jawabannya sebagai pecahan.
Larutan
Untuk menyelesaikannya, Anda perlu berpindah dari pembagian ke perkalian. Mari kita tuliskan dalam bentuk ini: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Perlu dilakukan pengurangan sebagai berikut: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Pilih seluruh bagian dan dapatkan 13 9 = 1 4 9.
Menjawab: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Membagi pecahan luar biasa dengan bilangan asli
Kita menggunakan aturan membagi pecahan dengan bilangan asli: untuk membagi a b dengan bilangan asli n, Anda hanya perlu mengalikan penyebutnya dengan n. Dari sini kita memperoleh ekspresi: a b: n = a b · n.
Aturan pembagian merupakan konsekuensi dari aturan perkalian. Oleh karena itu, menyatakan bilangan asli sebagai pecahan akan menghasilkan persamaan seperti ini: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Pertimbangkan pembagian pecahan dengan angka.
Contoh 3
Bagilah pecahan 16 45 dengan angka 12.
Larutan
Mari kita terapkan aturan membagi pecahan dengan angka. Kita memperoleh ekspresi dalam bentuk 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Mari kita kurangi pecahannya. Kita peroleh 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Menjawab: 16 45: 12 = 4 135 .
Membagi bilangan asli dengan pecahan
Aturan pembagiannya serupa HAI aturan membagi bilangan asli dengan pecahan biasa: untuk membagi bilangan asli n dengan pecahan biasa a b, bilangan n harus dikalikan dengan kebalikan pecahan a b.
Berdasarkan aturan tersebut, kita mempunyai n: a b = n · b a, dan berkat aturan mengalikan bilangan asli dengan pecahan biasa, kita mendapatkan ekspresi dalam bentuk n: a b = n · ba. Penting untuk mempertimbangkan pembagian ini dengan sebuah contoh.
Contoh 4
Bagilah 25 dengan 15 28.
Larutan
Kita perlu beralih dari pembagian ke perkalian. Mari kita tuliskan dalam bentuk ekspresi 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Mari kita kurangi pecahannya dan dapatkan hasilnya berupa pecahan 46 2 3.
Menjawab: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Membagi pecahan dengan bilangan campuran
Saat membagi pecahan biasa dengan bilangan campuran, Anda dapat dengan mudah mulai membagi pecahan biasa. Anda perlu mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa.
Contoh 5
Bagilah pecahan 35 16 dengan 3 1 8.
Larutan
Karena 3 1 8 adalah bilangan campuran, mari kita nyatakan sebagai pecahan biasa. Maka kita mendapatkan 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sekarang mari kita membagi pecahan. Kita peroleh 35 16:3 1 8 = 35 16:25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Menjawab: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Pembagian bilangan campuran dilakukan dengan cara yang sama seperti bilangan biasa.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Terakhir kali kita mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan (lihat pelajaran “Penjumlahan dan pengurangan pecahan”). Bagian tersulit dari tindakan tersebut adalah membawa pecahan ke penyebut yang sama.
Sekarang saatnya membahas perkalian dan pembagian. Kabar baiknya adalah operasi ini bahkan lebih sederhana daripada penjumlahan dan pengurangan. Pertama, mari kita perhatikan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan positif tanpa bagian bilangan bulat yang terpisah.
Untuk mengalikan dua pecahan, Anda harus mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Angka pertama akan menjadi pembilang pecahan baru, dan angka kedua akan menjadi penyebutnya.
Untuk membagi dua pecahan, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan pecahan kedua yang “terbalik”.
Penamaan:
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa pembagian pecahan direduksi menjadi perkalian. Untuk “membalik” pecahan, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Oleh karena itu, sepanjang pelajaran kita terutama akan membahas perkalian.
Sebagai hasil perkalian, pecahan yang dapat direduksi dapat muncul (dan sering kali memang muncul) - tentu saja, harus direduksi. Jika, setelah semua pengurangan, pecahannya ternyata salah, seluruh bagiannya harus disorot. Namun yang pasti tidak akan terjadi dengan perkalian adalah pengurangan ke penyebut yang sama: tidak ada metode silang-silang, faktor terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil.
Menurut definisi kita memiliki:
Mengalikan pecahan dengan bagian bilangan bulat dan pecahan negatif
Jika pecahan mengandung bagian bilangan bulat, maka pecahan tersebut harus diubah menjadi pecahan biasa - dan baru kemudian dikalikan sesuai dengan skema yang diuraikan di atas.
Apabila suatu pecahan terdapat tanda minus pada pembilang, penyebut, atau di depannya, maka dapat dikeluarkan dari perkalian atau dihilangkan seluruhnya menurut aturan sebagai berikut:
- Ditambah dengan minus menghasilkan minus;
- Dua hal negatif menjadi afirmatif.
Sampai saat ini, aturan-aturan ini hanya ditemui pada saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan negatif, ketika seluruh bagiannya perlu dihilangkan. Untuk sebuah karya, dapat digeneralisasikan untuk “membakar” beberapa kekurangan sekaligus:
- Kami mencoret yang negatif secara berpasangan sampai hilang sepenuhnya. Dalam kasus ekstrim, satu minus dapat bertahan - minus yang tidak memiliki pasangan;
- Jika tidak ada minus yang tersisa, operasi selesai - Anda dapat mulai mengalikan. Jika minus terakhir tidak dicoret karena tidak ada pasangannya, kita keluarkan dari batas perkalian. Hasilnya adalah pecahan negatif.
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Kita ubah semua pecahan menjadi pecahan biasa, lalu keluarkan minus dari perkaliannya. Kami mengalikan apa yang tersisa sesuai aturan biasa. Kami mendapatkan:
Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa tanda minus yang muncul di depan pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot mengacu secara khusus pada seluruh pecahan, dan bukan hanya pada bagian bilangan bulatnya (ini berlaku untuk dua contoh terakhir).
Perhatikan juga bilangan negatif: saat mengalikannya, bilangan tersebut diapit dalam tanda kurung. Hal ini dilakukan untuk memisahkan tanda minus dari tanda perkalian dan membuat keseluruhan notasi menjadi lebih akurat.
Mengurangi pecahan dengan cepat
Perkalian adalah operasi yang sangat padat karya. Angka-angka di sini ternyata cukup besar, dan untuk menyederhanakan soal, Anda dapat mencoba mengurangi pecahannya lebih jauh sebelum perkalian. Memang pada hakikatnya pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah faktor biasa, sehingga dapat dikurangi dengan menggunakan sifat dasar pecahan. Lihatlah contohnya:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Menurut definisi kita memiliki:
Dalam semua contoh, angka-angka yang telah dikurangi dan angka-angka yang tersisa ditandai dengan warna merah.
Harap dicatat: dalam kasus pertama, pengganda dikurangi sepenuhnya. Sebagai gantinya masih ada satuan yang, secara umum, tidak perlu ditulis. Pada contoh kedua, pengurangan total tidak dapat dicapai, namun jumlah total perhitungan masih mengalami penurunan.
Namun, jangan pernah menggunakan teknik ini saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan! Ya, terkadang ada angka serupa yang ingin dikurangi saja. Di sini, lihat:
Anda tidak bisa melakukan itu!
Kesalahan terjadi karena ketika pembilang suatu pecahan dijumlahkan, yang muncul adalah jumlah, bukan hasil kali bilangan. Oleh karena itu, sifat dasar pecahan tidak mungkin diterapkan, karena sifat ini secara khusus berkaitan dengan perkalian bilangan.
Tidak ada alasan lain untuk mereduksi pecahan, jadi solusi yang tepat untuk soal sebelumnya terlihat seperti ini:
Solusi yang benar:
Seperti yang Anda lihat, jawaban yang benar ternyata tidak begitu bagus. Secara umum, berhati-hatilah.
Bilangan pecahan biasa pertama kali ditemui anak-anak sekolah di kelas 5 SD dan menemani mereka sepanjang hidup mereka, karena dalam kehidupan sehari-hari seringkali perlu untuk mempertimbangkan atau menggunakan suatu benda tidak secara keseluruhan, tetapi dalam bagian-bagian yang terpisah. Mulailah mempelajari topik ini - bagikan. Saham adalah bagian yang setara, di mana objek ini atau itu dibagi. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk menyatakan, misalnya, panjang atau harga suatu produk sebagai bilangan bulat; bagian atau bagian dari suatu ukuran harus diperhitungkan. Dibentuk dari kata kerja “membagi” - membagi menjadi beberapa bagian, dan berakar dari bahasa Arab, kata “pecahan” sendiri muncul dalam bahasa Rusia pada abad ke-8.
Ekspresi pecahan telah lama dianggap sebagai cabang matematika yang paling sulit. Pada abad ke-17, ketika buku teks matematika pertama kali muncul, buku-buku tersebut disebut “bilangan rusak”, yang sangat sulit dipahami orang.
Bentuk modern dari sisa pecahan sederhana, yang bagian-bagiannya dipisahkan oleh garis horizontal, pertama kali dipromosikan oleh Fibonacci - Leonardo dari Pisa. Karya-karyanya bertanggal 1202. Namun tujuan artikel ini adalah untuk menjelaskan secara sederhana dan jelas kepada pembaca bagaimana pecahan campuran yang penyebutnya berbeda dikalikan.
Mengalikan pecahan yang penyebutnya berbeda
Awalnya ada baiknya menentukan jenis pecahan:
- benar;
- salah;
- campur aduk.
Selanjutnya, Anda perlu mengingat bagaimana bilangan pecahan dengan penyebut yang sama dikalikan. Aturan proses ini sendiri tidak sulit untuk dirumuskan secara mandiri: hasil perkalian pecahan sederhana dengan penyebut yang sama adalah ekspresi pecahan, yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebut pecahan tersebut. . Faktanya, penyebut baru adalah kuadrat dari salah satu penyebut yang sudah ada sebelumnya.
Saat mengalikan pecahan sederhana yang penyebutnya berbeda untuk dua faktor atau lebih aturannya tidak berubah:
A/B * C/D = a*c / jalang.
Satu-satunya perbedaan adalah bahwa bilangan yang terbentuk di bawah garis pecahan akan merupakan hasil kali bilangan-bilangan yang berbeda dan, tentu saja, bilangan tersebut tidak dapat disebut kuadrat dari satu ekspresi numerik.
Perlu mempertimbangkan perkalian pecahan dengan penyebut berbeda menggunakan contoh:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Contohnya menggunakan metode untuk mereduksi ekspresi pecahan. Anda hanya dapat mengurangi bilangan pembilang dengan bilangan penyebut yang berdekatan di atas atau di bawah garis pecahan tidak dapat dikurangi.
Selain pecahan sederhana, ada juga konsep pecahan campuran. Bilangan campuran terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan, yaitu jumlah dari bilangan-bilangan berikut:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Bagaimana cara kerja perkalian?
Beberapa contoh diberikan untuk dipertimbangkan.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Contohnya menggunakan perkalian suatu bilangan dengan bagian pecahan biasa, aturan tindakan ini dapat ditulis sebagai:
A* B/C = a*b /C.
Faktanya, hasil kali tersebut adalah jumlah dari sisa pecahan yang identik, dan jumlah suku menunjukkan bilangan asli ini. Kasus khusus:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ada solusi lain untuk mengalikan suatu bilangan dengan sisa pecahan. Anda hanya perlu membagi penyebutnya dengan angka ini:
D* dan/F = dan/f: d.
Teknik ini berguna untuk digunakan ketika penyebutnya dibagi dengan bilangan asli tanpa sisa atau, seperti yang mereka katakan, dengan bilangan bulat.
Ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa dan dapatkan hasil kali dengan cara yang dijelaskan sebelumnya:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Contoh ini melibatkan cara merepresentasikan pecahan campuran sebagai pecahan biasa, dan juga dapat direpresentasikan sebagai rumus umum:
A BC = a*b+ c/c, dimana penyebut pecahan baru dibentuk dengan mengalikan seluruh bagian dengan penyebutnya dan menjumlahkannya dengan pembilang sisa pecahan semula, dan penyebutnya tetap sama.
Proses ini juga bekerja dalam arah yang berlawanan. Untuk memisahkan bagian bilangan bulat dan sisa pecahan, Anda perlu membagi pembilang pecahan biasa dengan penyebutnya menggunakan “sudut”.
Mengalikan pecahan biasa diproduksi dengan cara yang diterima secara umum. Saat menulis di bawah garis pecahan tunggal, Anda perlu mengurangi pecahan seperlunya untuk mengurangi angka menggunakan cara ini dan memudahkan dalam menghitung hasilnya.
Ada banyak pembantu di Internet untuk memecahkan masalah matematika yang rumit sekalipun dalam berbagai variasi program. Cukup banyak layanan semacam itu yang menawarkan bantuannya dalam menghitung perkalian pecahan dengan angka penyebut yang berbeda - yang disebut kalkulator online untuk menghitung pecahan. Mereka tidak hanya mampu mengalikan, tetapi juga melakukan semua operasi aritmatika sederhana lainnya dengan pecahan biasa dan bilangan campuran. Cara kerjanya mudah; Anda mengisi kolom yang sesuai di halaman situs web, memilih tanda operasi matematika, dan klik “hitung.” Program ini menghitung secara otomatis.
Topik operasi hitung pecahan relevan sepanjang pendidikan siswa SMP dan SMA. Di sekolah menengah, mereka tidak lagi mempertimbangkan spesies yang paling sederhana, tapi ekspresi pecahan bilangan bulat, tetapi pengetahuan tentang aturan transformasi dan perhitungan yang diperoleh sebelumnya diterapkan dalam bentuk aslinya. Pengetahuan dasar yang dikuasai dengan baik memberikan keyakinan penuh dalam berhasil memecahkan masalah yang paling kompleks.
Sebagai kesimpulan, masuk akal untuk mengutip kata-kata Lev Nikolaevich Tolstoy, yang menulis: “Manusia adalah pecahan. Manusia tidak berhak menambah pembilangnya - kelebihannya - tetapi siapa pun dapat mengurangi penyebutnya - pendapatnya tentang dirinya sendiri, dan dengan penurunan ini ia semakin mendekati kesempurnaannya.
