Variabel acak diskrit x ditentukan oleh fungsi distribusi. Materi teori modul “teori probabilitas dan statistik matematika”

Acak diskrit Variabel adalah variabel acak yang hanya mengambil nilai yang berjauhan satu sama lain dan dapat dicantumkan terlebih dahulu.
Hukum distribusi
Hukum distribusi variabel acak adalah hubungan yang membentuk hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang sesuai.
Deret distribusi variabel acak diskrit adalah daftar nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai.
Fungsi distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi:
,
menentukan untuk setiap nilai argumen x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x ini.

Ekspektasi variabel acak diskrit
,
dimana nilai variabel acak diskrit; - probabilitas suatu variabel acak menerima nilai X.
Jika suatu variabel acak mengambil sekumpulan nilai yang mungkin dapat dihitung, maka:
.
Ekspektasi matematis dari banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam n percobaan bebas:
,

Dispersi dan deviasi standar dari variabel acak diskrit
Dispersi variabel acak diskrit:
atau .
Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam n percobaan bebas
,
dimana p adalah peluang terjadinya suatu peristiwa.
Simpangan baku dari variabel acak diskrit:
.

Contoh 1
Buatlah hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak diskrit (DRV) X – jumlah k kemunculan paling sedikit satu “enam” dalam n = 8 pelemparan sepasang dadu. Buatlah poligon distribusi. Temukan karakteristik numerik dari distribusi (mode distribusi, ekspektasi matematis M(X), dispersi D(X), simpangan baku s(X)). Larutan: Mari kita perkenalkan notasi: kejadian A – “saat melempar sepasang dadu, angka enam muncul setidaknya satu kali.” Untuk mencari peluang P(A) = p kejadian A, akan lebih mudah jika kita mencari terlebih dahulu peluang P(Ā) = q kejadian sebaliknya Ā - “saat melempar sepasang dadu, angka enam tidak pernah muncul.”
Karena peluang munculnya angka “enam” pada pelemparan satu dadu adalah 5/6, maka menurut teorema perkalian peluang
P(Ā) = q = = .
Masing-masing,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Tes dalam soal mengikuti skema Bernoulli, jadi d.s.v. besarnya X- nomor k terjadinya paling sedikit satu angka enam ketika melempar dua dadu mematuhi hukum binomial distribusi probabilitas:

dimana = adalah banyaknya kombinasi dari N Oleh k.

Perhitungan yang dilakukan untuk tugas ini dapat dengan mudah disajikan dalam bentuk tabel:
Distribusi probabilitas d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

Poligon (poligon) distribusi probabilitas suatu variabel acak diskrit X ditunjukkan pada gambar:

Beras. Poligon distribusi probabilitas d.s.v. X=k.
Garis vertikal menunjukkan ekspektasi matematis dari distribusi M(X).

Mari kita cari karakteristik numerik dari distribusi probabilitas d.s.v. X. Mode distribusinya adalah 2 (di sini P 8(2) = maksimum 0,2932). Ekspektasi matematis menurut definisi adalah:
M(X) = = 2,4444,
Di mana xk = k– nilai yang diambil oleh d.s.v. X. Perbedaan D(X) kita mencari distribusinya menggunakan rumus:
D(X) = = 4,8097.
Deviasi standar (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Contoh2
Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi

Larutan. Jika , maka (properti ketiga).
Jika, maka. Benar-benar, X dapat mengambil nilai 1 dengan probabilitas 0,3.
Jika, maka. Memang benar, jika hal tersebut dapat memenuhi ketimpangan
, maka sama dengan peluang suatu kejadian yang dapat terjadi pada saat X akan mengambil nilai 1 (probabilitas kejadian ini adalah 0,3) atau nilai 4 (probabilitas kejadian ini adalah 0,1). Karena kedua kejadian tersebut tidak serasi, maka menurut teorema penjumlahan, peluang suatu kejadian sama dengan jumlah peluang 0,3 + 0,1 = 0,4. Jika, maka. Memang benar suatu kejadian pasti, sehingga peluangnya sama dengan satu. Jadi, fungsi distribusi secara analitis dapat dituliskan sebagai berikut:

Grafik fungsi ini:
Mari kita cari probabilitas yang sesuai dengan nilai-nilai ini. Dengan syarat, kemungkinan kegagalan perangkat adalah sama: maka kemungkinan perangkat akan berfungsi selama masa garansi adalah sama:




Hukum distribusi berbentuk:

HUKUM DISTRIBUSI DAN KARAKTERISTIK

VARIABEL ACAK

Variabel acak, klasifikasinya dan metode deskripsinya.

Besaran acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, tetapi tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, untuk variabel acak, Anda hanya dapat menentukan nilai, yang salah satunya pasti akan diambil sebagai hasil eksperimen. Berikut ini kita akan menyebut nilai-nilai ini sebagai nilai yang mungkin dari variabel acak. Karena variabel acak secara kuantitatif mencirikan hasil acak suatu eksperimen, maka variabel acak dapat dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari peristiwa acak.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, misalnya X..Y..Z, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil yang sesuai.

Ada tiga jenis variabel acak:

Diskrit; Kontinu; Campur aduk.

Diskrit adalah variabel acak yang banyaknya nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung. Pada gilirannya, himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor disebut dapat dihitung. Kata “diskrit” berasal dari bahasa Latin discretus yang berarti “terputus-putus, terdiri dari bagian-bagian yang terpisah”.

Contoh 1. Variabel acak diskrit adalah jumlah bagian cacat X dalam suatu batch produk n. Memang, nilai yang mungkin dari variabel acak ini adalah rangkaian bilangan bulat dari 0 hingga n.

Contoh 2. Variabel acak diskrit adalah jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran. Di sini, seperti pada Contoh 1, nilai yang mungkin dapat diberi nomor, meskipun dalam kasus pembatas, nilai yang mungkin adalah bilangan yang sangat besar.

Kontinu adalah variabel acak yang nilai kemungkinannya terus menerus mengisi interval tertentu pada sumbu numerik, kadang disebut interval keberadaan variabel acak tersebut. Jadi, pada interval keberadaan berhingga, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu sangatlah besar.

Contoh 3. Variabel acak kontinu adalah konsumsi listrik bulanan suatu perusahaan.

Contoh 4. Variabel acak kontinu adalah kesalahan pengukuran tinggi badan dengan menggunakan altimeter. Diketahui dari prinsip pengoperasian altimeter bahwa kesalahannya terletak pada kisaran 0 sampai 2 m. Oleh karena itu, interval keberadaan variabel acak ini adalah interval dari 0 sampai 2 m.

Hukum distribusi variabel acak.

Variabel acak dianggap ditentukan sepenuhnya jika nilai yang mungkin ditunjukkan pada sumbu numerik dan hukum distribusi ditetapkan.

Hukum distribusi variabel acak adalah relasi yang membentuk hubungan antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang bersesuaian.

Variabel acak dikatakan terdistribusi menurut hukum tertentu, atau tunduk pada hukum distribusi tertentu. Sejumlah probabilitas, fungsi distribusi, kepadatan probabilitas, dan fungsi karakteristik digunakan sebagai hukum distribusi.

Hukum distribusi memberikan gambaran kemungkinan yang lengkap tentang suatu variabel acak. Menurut hukum distribusi, sebelum melakukan percobaan, seseorang dapat menilai kemungkinan nilai mana dari suatu variabel acak yang akan lebih sering muncul dan mana yang lebih jarang.

Untuk variabel acak diskrit, hukum distribusinya dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel (matriks), yang mencantumkan dalam urutan menaik semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai, yaitu.

Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit. 1

Peristiwa X 1, X 2,..., X n, yang terdiri dari kenyataan bahwa sebagai hasil pengujian, variabel acak X masing-masing akan mengambil nilai x 1, x 2,...x n, adalah tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena tabel mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah probabilitasnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit

(Unit ini entah bagaimana terdistribusi di antara nilai-nilai variabel acak, oleh karena itu istilah "distribusi").

Deret distribusi dapat digambarkan secara grafis jika nilai-nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai diplot sepanjang sumbu ordinat. Sambungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus yang disebut poligon atau poligon distribusi probabilitas (Gbr. 1).

Contoh Lotere tersebut meliputi: sebuah mobil senilai 5.000 sarang. unit, 4 TV seharga 250 den. unit, 5 perekam video senilai 200 sarang. unit Sebanyak 1000 tiket terjual selama 7 hari. unit Buatlah undang-undang pembagian kemenangan bersih yang diterima oleh seorang peserta lotere yang membeli satu tiket.

Larutan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X - kemenangan bersih per tiket - sama dengan 0-7 = -7 uang. unit (jika tiket tidak menang), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unit (jika tiketnya masing-masing berisi kemenangan VCR, TV atau mobil). Mengingat dari 1000 tiket jumlah yang bukan pemenang adalah 990, dan kemenangan yang ditunjukkan masing-masing adalah 5, 4 dan 1, dan menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, kita peroleh.

X; arti F(5); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari segmen tersebut. Buatlah poligon distribusi.

1. Fungsi distribusi F(x) dari variabel acak diskrit diketahui X:

Tetapkan hukum distribusi variabel acak X dalam bentuk tabel.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

1. Peluang toko tersebut mempunyai sertifikat mutu untuk seluruh rangkaian produk adalah 0,7. Komisi memeriksa ketersediaan sertifikat di empat toko di wilayah tersebut. Buatlah undang-undang distribusi, hitung ekspektasi matematis dan penyebaran jumlah toko di mana sertifikat mutu tidak ditemukan selama inspeksi.

1. Untuk mengetahui rata-rata waktu pembakaran lampu listrik dalam satu batch 350 kotak yang identik, diambil satu lampu listrik dari setiap kotak untuk pengujian. Perkirakan dari bawah peluang rata-rata lama pembakaran lampu listrik yang dipilih berbeda dengan rata-rata lama nyala seluruh batch dalam nilai absolut kurang dari 7 jam, jika diketahui simpangan baku lama nyala lampu listrik di setiap kotak kurang dari 9 jam.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 500 sambungan akan terjadi kejadian berikut:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X.

1. Mesin otomatis membuat roller. Diameternya diyakini merupakan variabel acak yang terdistribusi normal dengan nilai rata-rata 10 mm. Berapa simpangan bakunya jika, dengan probabilitas 0,99, diameternya berkisar antara 9,7 mm hingga 10,3 mm.

Contoh A: 6 9 7 6 4 4

Contoh B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opsi 17.

1. Di antara 35 bagian, 7 di antaranya non-standar. Temukan probabilitas bahwa dua bagian yang diambil secara acak akan menjadi standar.

1. Tiga buah dadu dilempar. Tentukan peluang terambilnya jumlah poin pada sisi yang dijatuhkan adalah kelipatan 9.

1. Kata “ADVENTURE” terdiri dari kartu-kartu, masing-masing dengan satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf menurut urutan kemunculannya membentuk kata: a) PETUALANGAN; b) TAHANAN.

1. Sebuah guci berisi 6 bola hitam dan 5 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:
1. 2 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. A dalam satu pengujian sama dengan 0,4. Temukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa A muncul 3 kali dalam rangkaian 7 uji coba independen;
2. peristiwa A akan muncul tidak kurang dari 220 dan tidak lebih dari 235 kali dalam rangkaian 400 percobaan.

1. Pabrik tersebut mengirimkan 5.000 produk berkualitas baik ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada setiap produk dalam perjalanan adalah 0,002. Tentukan peluang tidak lebih dari 3 produk yang rusak selama perjalanan.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 9 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 3 bola hitam. Diambil 3 bola secara acak dari guci pertama, dan 4 bola dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya semua bola yang warnanya sama.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Hitung ekspektasi dan varians matematisnya.

1. Ada 10 pensil di dalam kotak. 4 buah pensil diambil secara acak. Variabel acak X– jumlah pensil biru di antara yang dipilih. Temukan hukum distribusinya, momen awal dan sentral orde ke-2 dan ke-3.

1. Departemen kontrol teknis memeriksa 475 produk untuk mengetahui adanya cacat. Peluang produk cacat adalah 0,05. Temukan, dengan probabilitas 0,95, batas di mana jumlah produk cacat di antara produk yang diuji akan termuat.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,003. Tentukan peluang bahwa di antara 1000 sambungan akan terjadi hal-hal berikut:
1. setidaknya 4 koneksi salah;
2. lebih dari dua koneksi yang salah.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Buatlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus dan median dari variabel acak X.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi:

1. Berdasarkan sampel A menyelesaikan permasalahan berikut:
1. membuat rangkaian variasi;

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

Modus dan median;

Contoh A: 0 0 2 2 1 4

1. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opsi 18.

1. Di antara 10 tiket lotere, 2 adalah yang menang. Tentukan peluang bahwa dari lima tiket yang diambil secara acak, satu tiket akan menjadi pemenang.

1. Tiga buah dadu dilempar. Tentukan peluang jumlah poin yang diperoleh lebih besar dari 15.

1. Kata “PERIMETER” terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing kartu mempunyai satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf yang membentuk kata: a) PERIMETER; b) METER.

1. Sebuah guci berisi 5 bola hitam dan 7 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:
1. 4 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A dalam satu kali percobaan sama dengan 0,55. Temukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa A akan muncul 3 kali dalam rangkaian 5 tantangan;
2. peristiwa A akan muncul tidak kurang dari 130 dan tidak lebih dari 200 kali dalam rangkaian 300 percobaan.

1. Peluang pecahnya sekaleng makanan kaleng adalah 0,0005. Tentukan peluang di antara 2000 kaleng, ada dua yang bocor.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 8 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 4 bola hitam. Dua bola diambil secara acak dari guci pertama dan tiga bola diambil secara acak dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna sama.

1. Di antara suku cadang yang tiba untuk perakitan, 0,1% rusak pada mesin pertama, 0,2% pada mesin kedua, 0,25% pada mesin ketiga, dan 0,5% pada mesin keempat. Rasio produktivitas mesin masing-masing adalah 4:3:2:1. Bagian yang diambil secara acak ternyata standar. Temukan probabilitas bahwa bagian tersebut dibuat pada mesin pertama.

1. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Hitung ekspektasi dan varians matematisnya.

1. Seorang tukang listrik mempunyai tiga bola lampu, yang masing-masing mempunyai cacat dengan probabilitas 0,1. Bola lampu tersebut disekrup ke dalam soket dan arus dihidupkan. Saat arus dihidupkan, bola lampu yang rusak langsung padam dan diganti dengan yang lain. Temukan hukum distribusi, ekspektasi matematis, dan dispersi jumlah bola lampu yang diuji.

1. Kemungkinan mengenai sasaran adalah 0,3 untuk setiap 900 tembakan independen. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, perkirakan probabilitas bahwa target akan tercapai paling sedikit 240 kali dan paling banyak 300 kali.

1. Di sentral telepon, terjadi koneksi yang salah dengan probabilitas 0,002. Tentukan peluang bahwa di antara 800 sambungan akan terjadi kejadian berikut:
1. setidaknya tiga koneksi salah;
2. lebih dari empat koneksi yang salah.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X. Gambarlah grafik fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus, dan median suatu variabel acak X.

1. Variabel acak ditentukan oleh fungsi distribusi:

1. Berdasarkan sampel A menyelesaikan permasalahan berikut:
1. membuat rangkaian variasi;
2. menghitung frekuensi relatif dan akumulasi;
3. menyusun fungsi distribusi empiris dan memplotnya;
4. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh A: 4 7 6 3 3 4

1. Dengan menggunakan sampel B, selesaikan masalah berikut:
1. membuat rangkaian variasi yang dikelompokkan;
2. membangun histogram dan poligon frekuensi;
3. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

· rata-rata sampel;

· varian sampel;

deviasi sampel standar;

· modus dan median;

Contoh B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opsi 19.

1. Ada 16 perempuan dan 5 laki-laki yang bekerja di lokasi. 3 orang dipilih secara acak menggunakan nomor personelnya. Tentukan peluang bahwa semua orang yang terpilih adalah laki-laki.

2. Empat buah uang logam dilempar. Temukan probabilitas bahwa hanya dua koin yang memiliki “lambang”.

3. Kata “PSIKOLOGI” terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing terdapat satu huruf di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya huruf-huruf membentuk sebuah kata: a) PSIKOLOGI; b) STAF.

4. Guci tersebut berisi 6 bola hitam dan 7 bola putih. 5 bola diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa di antara mereka ada:

A. 3 bola putih;

B. kurang dari 3 bola putih;

C. setidaknya satu bola putih.

5. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa A dalam satu kali percobaan sama dengan 0,5. Temukan peluang kejadian berikut:

A. peristiwa A muncul 3 kali dalam rangkaian 5 uji coba independen;

B. peristiwa A akan muncul minimal 30 dan tidak lebih dari 40 kali dalam rangkaian 50 uji coba.

6. Terdapat 100 mesin dengan daya yang sama, beroperasi secara independen satu sama lain dalam mode yang sama, di mana penggeraknya dihidupkan selama 0,8 jam kerja. Berapa peluang bahwa pada suatu saat antara 70 hingga 86 mesin akan dihidupkan?

7. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, dan guci kedua berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam. 4 bola diambil secara acak dari guci pertama, dan 1 bola dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya hanya 4 bola hitam.

8. Ruang pamer penjualan mobil menerima mobil dari tiga merek setiap hari dalam volume: “Moskvich” – 40%; "Oke" - 20%; "Volga" - 40% dari semua mobil impor. Di antara mobil Moskvich, 0,5% memiliki perangkat anti maling, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Tentukan peluang bahwa mobil yang diambil untuk diperiksa mempunyai alat anti maling.

9. Angka dan dipilih secara acak pada segmen tersebut. Temukan probabilitas bahwa angka-angka ini memenuhi pertidaksamaan.

10. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

Temukan fungsi distribusi variabel acak X; arti F(2); probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai dari interval . Buatlah poligon distribusi.

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Variabel acak”.

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan untuk lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD telah diundi. dan sepuluh kemenangan masing-masing 10 USD. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya kemungkinan kemenangan.

Larutan. Nilai yang mungkin untuk X: x 1 = 0; X 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, kemungkinan menang $10. (10 tiket) – hal 2 = 0,10 dan untuk memenangkan 50 USD -P 3 = 0,01. Dengan demikian:

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Peluang pembeli telah membaca iklan produk terlebih dahulu adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian selektif terhadap kualitas iklan dilakukan dengan mensurvei pembeli terlebih dahulu yang telah mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi untuk jumlah pembeli yang disurvei.

Larutan. Sesuai dengan kondisi soal, p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat rangkaian distribusi:

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang bekerja secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan satu peningkatan tegangan yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal selama lonjakan listrik dalam jaringan.

Larutan. Mari kita pertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa N tes, event A akan muncul persis k sekali: , atau:

DI DALAM Mari kita kembali ke tugas.

Nilai yang mungkin untuk X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 – tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 – kegagalan satu elemen;

x 2 =2 – kegagalan dua elemen;

x 3 =3 – kegagalan semua elemen.

Karena dengan syarat p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diperlukan:

Masalah 4. 5.000 putaran diproduksi. Kemungkinan satu kartrid rusak . Berapa peluang terdapat tepat 3 kartrid yang rusak dalam keseluruhan batch?

Larutan. Berlaku Distribusi racun: Distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas yang sangat besar

banyaknya pengujian (tes massal), yang masing-masing peluang terjadinya kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi sebanyak k kali: , Di mana .

Di sini n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Kita cari , maka probabilitas yang diinginkan: .

Masalah 5. Saat menembak hingga pukulan pertama dengan probabilitas pukulan p = 0,6 saat menembak, Anda perlu mencari kemungkinan terjadinya pukulan pada tembakan ketiga.

Larutan. Mari kita terapkan distribusi geometri: biarkan percobaan independen dilakukan, yang masing-masing kejadian A mempunyai peluang terjadinya p (dan tidak terjadinya q = 1 – p). Tes berakhir segera setelah kejadian A terjadi.

Dalam keadaan demikian, peluang terjadinya kejadian A pada percobaan ke-k ditentukan dengan rumus: . Di sini p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Oleh karena itu, .

Masalah 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan ekspektasi matematisnya.

Larutan. .

Perhatikan bahwa arti probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Masalah 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Larutan. Di Sini .

Hukum distribusi untuk nilai kuadrat X 2 :

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan ukuran deviasi (dispersi) suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Masalah 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , M.

Mengenai variabel acak X kita dapat mengatakan: ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau – ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m. Rumusan kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian nilai X akan mengambil nilai yang terdapat dalam interval tersebut .

Larutan. Probabilitas X akan mengambil nilai dari suatu interval tertentu sama dengan pertambahan fungsi integral dalam interval tersebut, yaitu. . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu

.

Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat plotnya.

Larutan. Sejak fungsi distribusi,

Untuk , Itu

pada ;

pada ;

pada ;

pada ;

Bagan yang relevan:

Masalah 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: .

Temukan probabilitas hit X per interval

Larutan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.

Mari kita gunakan rumus: .

Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang ditentukan oleh hukum distribusi:

Seperti diketahui, variabel acak adalah besaran variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:

dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) dengan menggunakan fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau beberapa angka yang mencerminkan ciri terpenting hukum distribusi. Ini bisa berupa angka yang memiliki arti “nilai rata-rata” dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan besarnya rata-rata deviasi suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya.

Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak. :

• Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit Harapan matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit.
  M(X)=Σ x saya p saya
• Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2)− 2
  . Selisih X–M(X) disebut deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
• Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ Deviasi standar (deviasi standar).

σ(X)=√D(X)

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum distribusi variabel acak diskrit”

Tugas 1.

Larutan. 1000 tiket lotre diterbitkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Menurut kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100, dan 500.

Banyaknya tiket tanpa kemenangan adalah 1000 – (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kita menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Mari kita sajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Mari kita cari ekspektasi matematis dari nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen.

Larutan. 1. Peluang kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buatlah poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotlah. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar dari variabel acak diskrit.

Variabel acak diskrit X = (jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal). Kegagalan elemen tidak bergantung satu sama lain, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh karena itu dapat diterapkan rumus Bernoulli
. Mengingat, berdasarkan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kita menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;

Periksa: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Jadi, hukum distribusi binomial X yang diinginkan berbentuk:

3. Kami memplot kemungkinan nilai x i sepanjang sumbu absis, dan probabilitas p i yang sesuai sepanjang sumbu ordinat. Mari kita buat poin M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus, diperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

untuk x > 3 maka F(x) = 1, karena acara tersebut dapat diandalkan.

4. Grafik fungsi F(x)
Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;