Mata kuliah pilihan matematika "nilai absolut". Portal pendidikan Persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan:

№3. <3х–3,

Nomor 4. x 2 -3+2>0,

Nomor 5. x 2 x<3,

Nomor 6. x 2 -6x+7-<0,

nomor 7. 3+x 2 –7>0,

№8. >.

Pelajaran No.7. Menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Contoh. Pada nilai apa A pertidaksamaan tersebut benar: ah 2 +4+a+3<0 ?

Pada x0 kita punya ah 2 +4x+a+3<0 . Koefisien senior A harus negatif, diskriminannya harus kurang dari nol.

A<0, Д=16–4a(a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; A<-4 Dan sebuah>1;

absis titik puncak parabola x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, Di mana A<-4 .

Pada X<0 kita punya ah 2 –4x+a+3<0 . Dengan argumen serupa, kita mendapatkan: A<-4 .

Jawaban: kapan A<-4 pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai riil x.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan dengan parameter:

No.2. (Ha)<0,

Nomor 3. Apakah ada nilai a yang pertidaksamaannya ah 2 >2+5 tidak punya solusi?

Pelajaran No.8 - 9. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung modulus.

Mari kita perhatikan metode interval menggunakan contoh penyelesaian persamaan

-+3-2=x+2.

Untuk mengatasi ketimpangan ini, perlu dilakukan perluasan modul. Untuk melakukan ini, kita memilih interval, yang masing-masing ekspresi di bawah tanda modulus hanya mengambil nilai positif atau negatif. Menemukan interval tersebut didasarkan pada teorema: jika pada interval (a; b) fungsi f kontinu dan tidak hilang, maka f tetap bertanda konstan pada interval tersebut.

Untuk menyorot interval tanda konstan, kita mencari titik di mana ekspresi yang ditulis di bawah modulus menjadi nol:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Titik-titik yang dihasilkan akan membagi garis menjadi interval-interval yang diperlukan. Mari kita definisikan tanda-tanda ekspresi

x+1, x, x–1, x–2 pada interval berikut:

Dengan mempertimbangkan tanda-tandanya, kami akan memperluas modul. Hasilnya, kita memperoleh sekumpulan sistem yang setara dengan persamaan ini:

Himpunan terakhir direduksi menjadi bentuk:

Penyelesaian himpunan sistem dan persamaan ini: -2; X 2.

Teknik yang digunakan disebut metode interval. Hal ini juga digunakan dalam menyelesaikan kesenjangan.

Selesaikan pertidaksamaan: +x–2<0.

1) Temukan angka nol dari ekspresi: x 2 -3x.

x 1 =0, x 2 =3.

2) Mari kita membagi garis koordinat menjadi interval-interval dan menetapkan tanda ekspresi x 2 -3x pada setiap interval:

3) Mari perluas modul:

Solusi sistem pertama: , solusi sistem kedua. Solusi atas ketimpangan ini: .

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

№3

Pelajaran No.10 - 11. Memecahkan pertidaksamaan bentuk , melalui transisi yang setara.

Mari kita perhatikan pertidaksamaan bentuk dan . Mari kita terima teorema berikut tanpa bukti: untuk setiap nilai a pertidaksamaansetara dengan sistem ketimpangan dan ketimpangansetara dengan sekumpulan pertidaksamaan

Mari kita lihat contohnya: selesaikan pertidaksamaan: >x+2.

Dengan menggunakan teorema yang dirumuskan, mari kita beralih ke himpunan pertidaksamaan:

Sistem dan ketimpangan 0x>2 tidak punya solusi. Oleh karena itu, solusi terhadap populasi (dan kesenjangan ini) adalah X.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Pelajaran No.12. Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

Saat menyelesaikan beberapa masalah, properti modul digunakan. (Jika perlu, ulangi, lihat pelajaran No. 1).

Mari kita ilustrasikan penggunaan properti modul dalam menyelesaikan contoh berikut.

Ketika menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda mutlak, teknik yang sama digunakan seperti ketika menyelesaikan persamaan yang mengandung sesuatu yang tidak diketahui di bawah tanda mutlak, yaitu: menyelesaikan pertidaksamaan awal direduksi menjadi menyelesaikan beberapa pertidaksamaan yang dipertimbangkan pada interval tanda konstan ekspresi di bawah tanda mutlak diperbesar.

Contoh: Selesaikan ketimpangan

Solusi: Mari kita perhatikan interval tanda konstan dari ekspresi x 2 - 2, yang berada di bawah tanda besaran absolut.

1) Misalkan itu

maka pertidaksamaan (*) berbentuk

Perpotongan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini dan pertidaksamaan x 2 -2 0 mewakili himpunan penyelesaian pertama pertidaksamaan awal (Gambar 1): x(-2; -].

• 2) Misalkan x 2 - 2
• 2 - x 2 + x

Perpotongan himpunan solusi pertidaksamaan ini dan pertidaksamaan x 2 - 2

Jawaban: x(-2; -1).

Berbeda dengan persamaan, kesenjangan tidak dapat diverifikasi secara langsung. Namun, dalam banyak kasus, Anda dapat memverifikasi kebenaran hasil yang diperoleh secara grafis. Mari kita tuliskan pertidaksamaan dari contoh tersebut dalam bentuk

Mari kita buat fungsi y 1 = x 2 - 2 dan y 2 = -x yang termasuk dalam ruas kiri dan kanan pertidaksamaan yang sedang dipertimbangkan, dan temukan nilai argumen yang y 1

Pada Gambar. 3, area sumbu x yang diarsir berisi nilai x yang diperlukan. Penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung tanda nilai absolut terkadang dapat dikurangi secara signifikan dengan menggunakan persamaan x 2 = x 2.

Gambar 3

Contoh: Selesaikan ketimpangan

Penyelesaian: Pertidaksamaan awal untuk semua x -2 ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut

x - 1> x + 2. (**)

Dengan mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan (**), setelah membawa suku-suku yang serupa, kita memperoleh pertidaksamaan tersebut

Dengan mempertimbangkan himpunan nilai yang diperbolehkan dari pertidaksamaan awal yang ditentukan oleh kondisi x -2, akhirnya kita peroleh bahwa pertidaksamaan (*) terpenuhi untuk semua x(-; -2)(-2; -1/2) .

Jawaban: (-; -2)(-2; -1/2).

Contoh: Temukan bilangan bulat terkecil x yang memenuhi pertidaksamaan:

Penyelesaian: Karena x +1 0 dan, dengan syarat, x +1 0, pertidaksamaan ini setara dengan persamaan berikut: 2x + 5 > x +1. Yang terakhir, pada gilirannya, setara dengan sistem pertidaksamaan -(2x + 5)

• -(2x + 5)
• 2x + 5 > x +1,

Bilangan bulat terkecil x yang memenuhi sistem pertidaksamaan ini adalah 0. Perhatikan bahwa x adalah -1, jika tidak, ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan ini tidak masuk akal.

Contoh: Selesaikan ketimpangan:

Jawaban: [-1; 1].

Contoh: Selesaikan ketimpangan

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Larutan. x 2 - 3x + 2 negatif di 1

• 2. - ? X? 1. Kita mempunyai pertidaksamaan x2 - x - 2? 0. Solusinya adalah -1? X? 2. Oleh karena itu, seluruh segmen -S? X? 1 memenuhi pertidaksamaan.
• 4.x? 2. Pertidaksamaannya sama seperti pada kasus 2. Hanya x = 2 yang cocok.

Jawaban: 5 - 41 2 ? X? 2.

Contoh: Selesaikan ketimpangan.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Larutan. Mari kita selesaikan ketimpangan ini dengan cara yang tidak standar.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerovo

Institusi Pendidikan Kota "Sekolah Menengah No. 37"

Mata kuliah pilihan

untuk siswa kelas 10-11

Persamaan, pertidaksamaan dan sistem,

Disusun oleh:

Kaplunova Zoya Nikolaevna

guru matematika

Catatan penjelasan………………………………………..halaman 2

Kurikulum dan rencana tematik……………………………...hal. 6

Daftar kata kunci…………………………………………………...halaman 7

Sastra untuk guru……………………………………………..halaman 8

Sastra untuk siswa……………………………………hal.8

Catatan penjelasan.

Tugas utama pengajaran matematika di sekolah adalah untuk memastikan bahwa siswa memiliki penguasaan yang kuat dan sadar terhadap sistem pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari dan pekerjaan setiap anggota masyarakat modern, cukup untuk mempelajari disiplin ilmu terkait dan melanjutkan pendidikan.

Selain pemecahan masalah utama, kajian matematika yang lebih mendalam melibatkan pembentukan minat berkelanjutan siswa terhadap mata pelajaran, identifikasi dan pengembangan kemampuan matematika mereka, orientasi terhadap profesi yang secara signifikan berkaitan dengan matematika, dan persiapan untuk belajar di universitas.

Masalah diferensiasi pengajaran matematika tetap relevan, di satu sisi memungkinkan untuk memberikan pelatihan matematika dasar, dan di sisi lain, untuk memenuhi kebutuhan setiap orang yang menunjukkan minat pada mata pelajaran tersebut.

Program mata kuliah “Persamaan, pertidaksamaan, dan sistem yang mengandung tanda nilai mutlak” ini menawarkan kajian tentang permasalahan-permasalahan yang tidak sepenuhnya termasuk dalam mata kuliah matematika sekolah dasar, tetapi diperlukan untuk kajian lebih lanjut.

Konsep nilai mutlak (modulus) merupakan salah satu ciri terpenting suatu bilangan, baik dalam bidang bilangan real maupun dalam bidang bilangan kompleks. Konsep ini banyak digunakan tidak hanya di berbagai bagian mata pelajaran sekolah, tetapi juga dalam mata kuliah matematika, fisika, dan ilmu teknik yang lebih tinggi yang dipelajari di universitas. Misalnya, dalam teori perhitungan perkiraan, konsep kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan digunakan. Dalam mekanika dan geometri dipelajari konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor). Dalam analisis matematis, konsep nilai mutlak suatu bilangan terkandung dalam pengertian konsep-konsep dasar seperti limit, fungsi berbatas, dan lain-lain. Permasalahan yang berkaitan dengan nilai mutlak sering dijumpai pada olimpiade matematika, ujian masuk perguruan tinggi dan ujian. Ujian Negara Bersatu.

Kurikulum mata pelajaran matematika sekolah tidak mengatur generalisasi dan sistematisasi pengetahuan tentang modul dan sifat-sifatnya yang diperoleh siswa selama seluruh masa studi.

Oleh karena itu, mata kuliah Persamaan, Pertidaksamaan, dan Sistem yang Mengandung Tanda Nilai Absolut ini dirancang untuk memperluas mata kuliah dasar aljabar dan pengantar analisis serta memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk mengenal teknik dasar dan metode penyelesaian tugas yang berkaitan dengan tanda nilai mutlak. modul. Membangkitkan minat penelitian terhadap isu-isu ini, mengembangkan pemikiran logis, dan berkontribusi pada perolehan pengalaman dalam mengerjakan tugas yang tingkat kerumitannya lebih tinggi daripada tingkat kerumitan yang disyaratkan.

Kursus “Persamaan, pertidaksamaan dan sistem yang mengandung tanda nilai mutlak” dimaksudkan untuk pelatihan khusus siswa di kelas 10-11 dan dirancang selama 34 jam (1 jam per minggu).

Dalam proses pengajaran mata kuliah ini diusulkan untuk menggunakan berbagai metode untuk mengaktifkan aktivitas kognitif siswa, serta berbagai bentuk pengorganisasian kerja mandiri mereka.

Selama mempelajari mata kuliah ini, mahasiswa menguasai materi teori dan melakukan tugas praktek. Hasil penguasaan program mata kuliah adalah penyajian karya kreatif pada pembelajaran akhir

Saat mempelajari kursus, kontrol tes disediakan.

Tujuan kursus:

*generalisasi dan sistematisasi, perluasan dan pendalaman pengetahuan tentang topik “Nilai absolut”;

*memperoleh keterampilan praktis dalam menyelesaikan tugas dengan modul;

*meningkatkan tingkat persiapan matematika siswa.

Tujuan Kursus

* membekali siswa dengan sistem pengetahuan tentang topik “Nilai Mutlak”

*mengembangkan keterampilan dalam menerapkan pengetahuan ini ketika memecahkan masalah dengan kompleksitas yang berbeda-beda;

*mempersiapkan siswa untuk Ujian Negara Bersatu;

*mengembangkan keterampilan kerja mandiri dan kerja kelompok;

*mengembangkan keterampilan dalam bekerja dengan literatur referensi;

Persyaratan tingkat penguasaan materi pendidikan

Sebagai hasil dari mempelajari program kursus, siswa mendapat kesempatan

mengetahui dan memahami:

*definisi, konsep dan algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan dan sistem pertidaksamaan dengan modulus;

*aturan untuk membuat grafik fungsi yang mengandung tanda nilai absolut;

Mampu:

*menerapkan definisi, sifat-sifat nilai absolut suatu bilangan real pada penyelesaian bilangan real pada penyelesaian masalah tertentu;

*menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus;

*mampu melakukan penelitian kecil-kecilan secara mandiri.

1.Pendahuluan 1 jam

Maksud dan tujuan kursus. Masalah yang dibahas dalam kursus dan strukturnya. Berkenalan dengan sastra, topik karya kreatif.

2. (4 jam)

Penentuan nilai absolut. Interpretasi geometris dari konsep modul. Operasi pada nilai absolut. . Penerapan properti modul saat memecahkan masalah.

3. Grafik fungsi yang mengandung tanda nilai absolut (8 jam)

Aturan dan algoritma untuk membuat grafik fungsi. Definisi fungsi genap. Transformasi geometri grafik fungsi yang mengandung tanda modulus. Konstruksi dasar grafik menggunakan contoh fungsi paling sederhana. Grafik persamaan: y=f|x|; kamu=f(-|x|); kamu=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),di mana f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Persamaan yang mengandung nilai absolut.(10 jam)

Pengungkapan modul menurut definisi, peralihan dari persamaan awal ke sistem ekuivalen, mengkuadratkan kedua ruas persamaan, metode interval, metode grafis, penggunaan sifat nilai mutlak. Persamaan bentuk: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Metode penggantian variabel ketika menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Persamaan bentuk:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Solusi grafis persamaan yang mengandung nilai absolut.

5. Pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut (10 jam)

Ketimpangan dengan satu hal yang tidak diketahui. Metode dasar untuk mengatasi kesenjangan

dengan modul |f(x)|>a. Pertidaksamaan berbentuk a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6.Pelajaran terakhir (1 jam)

Presentasi karya kreatif.

Bagian III. Rencana pendidikan dan tematik

Bagian IV. Daftar kata kunci.

Algoritma, persamaan, pertidaksamaan, modulus, grafik, sumbu koordinat, translasi paralel, kesimetrian pusat dan aksial, metode interval, trinomial kuadrat, polinomial, faktorisasi polinomial, rumus perkalian yang disingkat, persamaan simetris, persamaan timbal balik, sifat-sifat nilai mutlak, daerah definisi , rentang nilai yang dapat diterima.

Bagian V. Sastra untuk guru.

1.Bashmakov M.I. Persamaan dan pertidaksamaan. (Teks)/ M.I. Bashmakov.-M.: VZMSH

di Universitas Negeri Moskow, 1983.-138p.

2.Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. (Teks)/N.Ya.

Vilenkin-M.: Pendidikan, 2007.-280 hal.

3. Gaidukov I.I. Nilai mutlak. (Teks)/ Gaidukov I.I. –M.: Pendidikan, 1968.-96 hal.

4. Gelfand I. M. dkk. Fungsi dan grafik (Teks) / I. M. Gelfand - M.: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 soal aljabar (Teks)/V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 hal.

6. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Yang Esa

Ujian negara. (Teks)/ Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299 hal.

7. Nikolskaya I.L. Kursus opsional dalam matematika. (Teks)/I.L. Nikolskaya-

M.: Pendidikan, 1995.-80 hal.

8.Olekhnik S.N. dan lain-lain. Metode solusi non-standar.

(Teks)/ .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219 hal.

Bagian VI. Sastra untuk siswa

1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 soal aljabar (Teks)/V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 hal.

2. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Yang Esa

... Untukpilihan mata pelajaran akademik tertentu (dalam kurikulum, bagian: “ Pilihankursus") V 10 -11 kelas...dan juga di sistem pendidikan tambahan. Untuk kategori-kategori ini siswa mengembangkan dan mengimplementasikan pelatihan jaringan kursusOleh setiap orang...

Isi hidangan utama

Nilai absolut suatu bilangan. Properti dasar (1 jam).

Penentuan nilai mutlak suatu bilangan atau modul. Catatan analitis definisi. Arti geometris. Properti dasar. Informasi sejarah.

Tujuan utamanya adalah untuk mensistematisasikan dan menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang topik “Nilai Absolut” yang diperoleh mereka di kelas 6 dan 8; mempertimbangkan makna geometris dari nilai absolut dan sifat-sifat dasar; memberikan informasi sejarah tentang masuknya istilah “modulus” dan “tanda modulus”; pertimbangkan contoh yang solusinya didasarkan pada definisi modul.

Menyelesaikan persamaan dengan modul (3 jam).

Menyelesaikan persamaan linier, kuadrat dengan moduli, serta persamaan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Tujuan utama– interpretasi geometris dari ekspresi dan penggunaannya untuk menyelesaikan persamaan bentuk; pertimbangkan penyelesaian persamaan linear berdasarkan definisi modulus; menyelesaikan persamaan kuadrat yang mengandung tanda nilai mutlak, serta menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai mutlak dengan parameter secara grafis.

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan modul (3 jam).

Menyelesaikan pertidaksamaan linier, kuadrat dengan modulus, serta pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Tujuan utama– mengembangkan kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan modulus dengan berbagai cara (menggunakan makna geometri, mengkuadratkan pertidaksamaan, menggunakan pertidaksamaan ganda); pertidaksamaan kuadrat yang melibatkan tanda nilai mutlak, dengan menggunakan sketsa skema grafik fungsi kuadrat, serta metode interval; memberikan gambaran penyelesaian pertidaksamaan yang melibatkan nilai absolut dengan parameter.

Metode interval (2 jam).

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai absolut menggunakan metode interval.

Tujuan utama – mengajar anak sekolah menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak dengan menggunakan metode interval; merumuskan teorema yang menjadi dasar pencarian interval tanda konstan; menemukan modulus nol.

Pertidaksamaan bentuk diselesaikan melalui transisi ekuivalen (2 jam).

Penyelesaian pertidaksamaan bentuk melalui transisi ekuivalen ke sekumpulan pertidaksamaan, dan pertidaksamaan - ke sistem pertidaksamaan.

Tujuan utama– memantapkan konsep kesetaraan yang diketahui siswa sejak kelas 8; merumuskan (dan membuktikan di kelas “kuat”) sifat transisi ekuivalen dari pertidaksamaan ke himpunan dan dari pertidaksamaan ke sistem.

Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan (1 jam).

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan (linier, kuadrat, derajat lebih tinggi dari dua), serta sistem persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak.

Tujuan utama– ulangi, jika perlu, properti dasar modul; mengajarkan siswa menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan (linier, kuadrat, derajat di atas dua), serta sistem persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak; menunjukkan teknik grafis saat menulis jawaban; perluas kelas persamaan dengan modulus (pertimbangkan persamaan dengan dua variabel).

Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan nilai absolut pada garis koordinat (1 jam).

Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier yang bernilai mutlak pada garis koordinat.

Tujuan utama– ulangi rumus jarak antara dua titik A( x 1) dan B( x 2) garis koordinat; mengajar siswa menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus pada garis koordinat.

Modulus dan transformasi akar (1 jam).

Penerapan konsep modul saat beroperasi dengan akar aritmatika. Transformasi ekspresi irasional yang penyelesaiannya menggunakan modul.

Tujuan utama– mengembangkan kemampuan untuk melakukan transformasi ekspresi yang mengandung akar kuadrat, di mana modul tersebut digunakan.

Modulus dan persamaan irasional (2 jam).

Menyelesaikan persamaan irasional dengan metode mengisolasi kuadrat sempurna atau memasukkan variabel baru.

Tujuan utama– mengulangi definisi persamaan irasional yang diketahui siswa kelas 8; tunjukkan dengan contoh penyelesaian persamaan irasional yang berkaitan dengan kebutuhan penggunaan modul.

Rencana pendidikan dan tematik

Daftar literatur untuk guru

• Golubev V.I. Nilai absolut angka dalam ujian kompetitif matematika (berdasarkan materi dari universitas terkemuka di negara itu).
• Golubev V. Metode efektif untuk memecahkan masalah pada topik “Nilai absolut”. - M.: Chistye Prudy, 2006.
• Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Persiapan pra-profil siswa kelas 9 mata pelajaran matematika - M.: 5 untuk pengetahuan, 2006.
• Rurukin A.N. Panduan untuk persiapan intensif ujian matematika “Wisuda, masuk, Ujian Negara Bersatu untuk 5+.” - M.: VAKO, 2006.
• Smykalova E.V. Matematika (modul, parameter, polinomial), persiapan pra-profil, kelas 8-9 - St. Petersburg: SMIO-Press, 2006.

Daftar literatur untuk siswa

• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika. Bahan Referensi. - M.: Pencerahan, 1988.
• Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Panduan Matematika bagi yang masuk perguruan tinggi. - M.: Nauka, 1973.
• Zorin V.V. Panduan matematika bagi mereka yang masuk perguruan tinggi. - M.: Higher School, 1974.
• Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Masalah peningkatan kompleksitas dalam aljabar dan prinsip analisis - M.: Pendidikan, 1990.
• Kalnin R.A. Aljabar dan fungsi dasar, penerbit “Nauka”, kantor redaksi utama literatur fisika dan matematika - M.: Nauka, 1975.
• Krulikovsky N.N. Soal matematika untuk pelamar - Tomsk: ed. Universitas Tomsk, 1973.
• Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Tujuan ujian masuk matematika. - M.: Nauka, 1986.
• Sharygin I.F. Matematika untuk siswa sekolah menengah, Moskow, “Drofa”, 1995.

Materi metodologis

Pelajaran No.1: Penentuan nilai mutlak suatu bilangan (modulus suatu bilangan), makna geometrinya, dan sifat-sifat dasarnya.

Nilai absolut (atau modulus) suatu bilangan real a adalah bilangan itu sendiri jika bilangan tersebut non-negatif, dan bilangan tersebut diambil dengan tanda kebalikannya jika bilangan tersebut negatif.

Modulus suatu bilangan dilambangkan sebagai berikut: Membangun hubungan antara modulus suatu bilangan dan bilangan itu sendiri, kita memperoleh notasi analitis dari definisi:

=

Modulus suatu bilangan juga merupakan jarak dari titik asal ke titik yang mewakili bilangan tersebut pada garis koordinat. Ini makna geometris modul. Itu. Istilah “modulus”, “nilai absolut” atau “nilai absolut” dari suatu bilangan digunakan. Sesuai dengan definisi di atas = 5, = 3, =0. Modulus suatu bilangan juga dapat didefinisikan sebagai bilangan terbesar a dan – a.

Informasi sejarah: istilah "modul" (dari bahasa Latin modulus - ukuran) diperkenalkan oleh ahli matematika Inggris R. Cotes (1682-1716), dan tanda modulus diperkenalkan oleh ahli matematika Jerman K. Weierstrass (1815-1897), pada tahun 1841.

Properti utama modul:

Mari kita lihat contoh yang solusinya didasarkan pada definisi modul.

No 1. Selesaikan persamaan =4.

Berdasarkan definisi modul; X=4 atau X=-4.

No 2. Selesaikan persamaan: =3.

Persamaan tersebut setara dengan kombinasi dua persamaan:

Di mana: x 1=2 dan x 2=-1.

Nomor 3. Selesaikan persamaan: =-2.

Berdasarkan sifat 1: modulus suatu bilangan real adalah bilangan non-negatif, kita menyimpulkan bahwa tidak ada penyelesaian.

Nomor 4. Selesaikan persamaan: = X–5.

Untuk properti yang sama 1: X–50, X 5.

Nomor 5. Selesaikan persamaan: + X=0.

=- x, X 0.

Nomor 6. Selesaikan persamaan: = X+2.

Berbeda dengan contoh sebelumnya, ruas kanan persamaan ini berisi ekspresi dengan variabel. Oleh karena itu, persamaan tersebut memiliki solusi asalkan X+20, yaitu x-2. Lalu kita punya:

2x+1= x +2 atau

2x+1 = - x – 2.

Itu. pada x -2, kami memiliki:

Selesaikan persamaan:

Pelajaran No.2. Menyelesaikan persamaan linear dengan moduli.

Saat menyelesaikan persamaan linier, digunakan makna geometri modulus suatu bilangan atau pengungkapan tanda modulus. Mari kita lihat contohnya: selesaikan persamaannya

a) Kami menggunakan arti geometris dari modulus suatu bilangan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk: +=7. Kemudian d=x–5- jarak dari titik X untuk menunjuk 5 pada garis bilangan, f =x–(-2)- jarak dari titik X ke titik (-2). Menurut kondisi soal, jumlah jarak tersebut d+f=7. Mari kita gambarkan titik 5 dan -2 pada garis bilangan. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa untuk bilangan apa pun dari interval [-2;5] jumlah jaraknya d+f sama dengan panjang ruas AB, yaitu 7. Juga mudah untuk mengatur poin apa x atau x>5 jumlah jarak d+f>7. Oleh karena itu, penyelesaian persamaan tersebut adalah interval.

b) Mari kita perluas tanda modulusnya. Caranya, gambarkan titik -2 dan 5 pada garis bilangan. Titik-titik ini membaginya menjadi tiga interval. Mari kita perhatikan tanda-tanda modul di setiap interval.

Di interval 1 (x kita mendapatkan: -(x–5)–(x+2)=7 atau –x+5–x–2=7 atau - 2x+3=7, dari mana kita mendapatkan: x=-2. Namun poin ini tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan. Itu sebabnya x=-2 bukanlah sebuah solusi.

Dalam interval 2: X kita mendapatkan: -(x–5)+(x+2)=7 atau 7=7. Karena persamaan tersebut benar, setiap titik dalam interval ini merupakan solusi persamaan ini.

Di interval 3 (x>5) kita mendapatkan: (x-5)+(x+2)=7 atau 2x-3=7, Di mana x=5. Dot x=5 tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan dan bukan merupakan solusi persamaan.

Jadi, solusi persamaan ini adalah: -2x5.

Selesaikan persamaan:

Pelajaran No.3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan modulus.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat dengan modul menggunakan contoh:

No.1. Selesaikan persamaannya

Mari kita perkenalkan penggantinya =kamu, lalu di kamu 0 persamaannya berbentuk:

y 2 –6у+8=0, dari mana kamu 1 = 2 dan kamu 2 = 4. sebuah x= 2 atau -2; 4 atau -4.

No.2. Selesaikan persamaan:

Persamaannya ekuivalen dengan sistem: Dari mana X=1.

Nomor 3. Selesaikan persamaan:

2X – 1.

Persamaan tersebut memiliki solusi asalkan 2 X–10, dan kesetaraan dimungkinkan asalkan: arti dari ekspresi x 2 + x–1 dan 2 X–1 sama atau berlawanan. Itu. kami memiliki: x0,5. Mari kita buat persamaannya: x 2 + x–1=2X–1 atau x 2+X–1=-(2X–1); menyelesaikan yang mana, kita dapatkan

Nomor 4. Temukan akar persamaan: .

Mari kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk: = X 2 – 1, dari mana:

x – 1 = x 2 – 1,

atau x – 1 = - (x 2 – 1).

x 2 – 1 jam x - 1 Dan x 1.Memecahkan persamaan, kita peroleh dari persamaan pertama: x=0 Dan x=1, dari yang kedua: x=-2 Dan x=1.

Menjawab: x=1; x=-2.

Nomor 5. Temukan seluruh akar persamaan: = .

Dengan menggunakan definisi modul, kita sampai pada kesimpulan bahwa kesetaraan dimungkinkan jika nilai ekspresi x–x 2 –1 Dan 2x+3–x 2 sama atau berlawanan, yaitu persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan:

Menyelesaikan himpunan tersebut, kita memperoleh akar persamaan ini: x=-4;-0,5;2. Bilangan bulat diantaranya: -4 dan 2.

Nomor 6. Selesaikan persamaan: =2x 2 –3x+1.

Mari kita tunjukkan ekspresi tersebut 3x-1-2x 2 surat A. Maka persamaan ini akan berbentuk: =-a. Berdasarkan notasi analitik definisi modulus, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan ini ekuivalen dengan pertidaksamaan: 3x–1-2x 2 0, menyelesaikan yang mana, kita mendapatkan jawabannya: x0,5 Dan x1.

Latihan untuk kerja mandiri.

Selesaikan persamaan:

No.1.=x 2 + x–20.

No.2. + 3x -5=0,

Nomor 3. =(x–1)(x+1),

Nomor 4. x 2 –6+5=0,

Nomor 5. x 2 +8=9,

No.6.=x 2 –6x+6,

nomor 7. x = -8.

Pelajaran No.4. Menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Mari kita perhatikan sebuah contoh: selesaikan persamaan dengan parameter

Mari kita membuat grafik fungsi kamu=3–x Dan kamu=. Jadwal kamu=3–x sudah tetap dan tidak bergantung pada parameter. Jadwal kamu= diperoleh dari grafik fungsi kamu=, tergantung pada parameter A. Oleh karena itu, mari kita pertimbangkan 3 kasus:

Kasus ini, seperti terlihat dari gambar, akan terjadi kapan A. Grafik fungsi-fungsi ini berpotongan di satu titik B. Perhatikan segitiga ABC, yang sudut A sama dengan sudut B dan sama dengan 45 0, gambarkan ketinggian VD pada segitiga tersebut. Karena segitiga ABC sama kaki, maka BD juga merupakan median segitiga tersebut. Oleh karena itu, absis titik D X=(sebuah + 3)/2.

Kasus ini terjadi ketika A=3. Kemudian grafik fungsi berimpit sepanjang segmen AB dan absis titik mana pun pada sinar ini adalah solusi persamaan ini, yaitu. X

Dalam hal ini A>3. Terlihat grafik fungsi tidak berpotongan, yaitu. tidak mempunyai poin yang sama. Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan persamaan:

Nomor 3. (sebuah–2)=sebuah–2,

Nomor 4. a 2 x 2 + a = 0.

Pelajaran No.5. Menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan moduli.

Pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus diselesaikan dengan berbagai cara; Mari kita lihat contoh yang cukup sederhana:

No.1.Menyelesaikan ketimpangan:

Metode pertama: Kami memiliki: >4,

Secara geometris, ungkapan tersebut berarti jarak pada garis koordinat antar titik X dan 2.5. Ini berarti kita perlu menemukan semua titik tersebut X, yang berjarak lebih dari 2 dari titik 2,5, adalah titik-titik dari interval x dan x>4.5.

Cara kedua: Karena kedua ruas pertidaksamaan tersebut non-negatif, kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan ini: 2 >4 2.

(2x–5) 2 >4 2 ,

(2x–5) 2 –16>0,

(2x–5–4)(2x–5+4)>0,

2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

(x–4,5)(x–0,5)>0.

Menerapkan metode interval, kita mendapatkan: x.5 dan x>4.5.

Cara ketiga: Ekspresi 2x–5 mungkin non-negatif atau negatif. Itu. kami memiliki kombinasi dua sistem:

Di mana: x dan x>4.5.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh No. 2. Selesaikan pertidaksamaan:

Ketimpangan ini setara dengan kombinasi dua sistem:

Dari sistem pertama kita dapatkan 2x, dari yang kedua -1-1

Contoh No.3. Mengatasi ketimpangan: 3 x+3.

Ketimpangan ini setara dengan ketimpangan ganda -x-33x–3x+3 atau sistem

Kita punya : 0x3.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan kesenjangan:

№3. ->-2.

Pelajaran No.6. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan moduli.

Mari kita lihat contoh No.1. Selesaikan pertidaksamaan: +x–2.

Pertidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interval. Mari pertimbangkan solusi lain berdasarkan pernyataan berikut: untuk setiap nilai a, pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan sistem pertidaksamaan: ,dan ketimpangansetara dengan sekumpulan pertidaksamaan.

Oleh karena itu, ketimpangan kita setara dengan sistem ketimpangan: menyelesaikan yang mana, kita mendapatkan:

Mari kita tuliskan jawabannya: (1-;2-).

Contoh No.2. Temukan solusi bilangan bulat untuk pertidaksamaan: 2x–x 2. Masalahnya bermuara pada penyelesaian dua sistem ketidaksetaraan:

Mari kita selesaikan sistem pertama: dari pertidaksamaan pertama yang kita peroleh: x1; x2.

dari yang kedua: 2x 2 –5x+20, atau 0,5x2.

Setelah mencatat solusi yang ditemukan untuk pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem pertama pada garis koordinat, kita menemukan perpotongan solusi tersebut.

Itu. 0,5x1 Dan x=2. Ini adalah solusi dari sistem pertama.

Mari kita selesaikan sistem kedua: dari pertidaksamaan pertama yang kita peroleh: 1-(x 2 -3x+2)2x–x 2, atau – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, atau x2.

Dengan memperhatikan penyelesaian yang ditemukan terhadap pertidaksamaan pertama dan kedua sistem kedua pada garis koordinat, kita memperoleh: 1

Menggabungkan solusi yang ditemukan untuk sistem ketidaksetaraan 0,5x1; x=2; 1 0,5x2 dll. seluruh solusi akan menjadi x=1 Dan x=2.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan:

Nomor 4. x 2 -3+2>0,

Nomor 6. x 2 -6x+7-

nomor 7. 3+x 2 –7>0,

№8. >.

Pelajaran No.7. Menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung nilai absolut dengan parameter.

Contoh. Pada nilai apa A pertidaksamaan tersebut benar: ah 2 +4+a+3 ?

Pada x0 kita punya ah 2 +4x+a+3. Koefisien senior A harus negatif, diskriminannya harus kurang dari nol.

a 16–4a(a+3) 0; ai sebuah>1;

absis titik puncak parabola x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, Di mana A.

Pada x kita punya ah 2 –4x+a+3. Dengan argumen serupa, kita mendapatkan: A.

Jawaban: kapan dan pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai riil x.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Selesaikan pertidaksamaan dengan parameter:

Nomor 3. Apakah ada nilai a yang pertidaksamaannya ah 2 >2+5 tidak punya solusi?

Pelajaran No.8 - 9. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung modulus.

Mari kita perhatikan metode interval menggunakan contoh penyelesaian persamaan

-+3-2=x+2.

Untuk mengatasi ketimpangan ini, perlu dilakukan perluasan modul. Untuk melakukan ini, kita memilih interval, yang masing-masing ekspresi di bawah tanda modulus hanya mengambil nilai positif atau negatif. Menemukan interval tersebut didasarkan pada teorema: jika pada interval (a; b) fungsi f kontinu dan tidak hilang, maka f tetap bertanda konstan pada interval tersebut.

Untuk menyorot interval tanda konstan, kita mencari titik di mana ekspresi yang ditulis di bawah modulus menjadi nol:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Titik-titik yang dihasilkan akan membagi garis menjadi interval-interval yang diperlukan. Mari kita definisikan tanda-tanda ekspresi

x+1, x, x–1, x–2 pada interval berikut:

Dengan mempertimbangkan tanda-tandanya, kami akan memperluas modul. Hasilnya, kita memperoleh sekumpulan sistem yang setara dengan persamaan ini:

Himpunan terakhir direduksi menjadi bentuk:

Penyelesaian himpunan sistem dan persamaan ini: -2; X 2.

Teknik yang digunakan disebut metode interval. Hal ini juga digunakan dalam menyelesaikan kesenjangan.

Selesaikan pertidaksamaan: +x–2

1) Temukan angka nol dari ekspresi: x 2 -3x.

x 1 =0, x 2 =3.

2) Mari kita membagi garis koordinat menjadi interval-interval dan menetapkan tanda ekspresi x 2 -3x pada setiap interval:

3) Mari perluas modul:

Solusi sistem pertama: , solusi sistem kedua. Solusi atas ketimpangan ini: .

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

№3

Pelajaran No.10 - 11. Memecahkan pertidaksamaan bentuk , melalui transisi yang setara.

Mari kita perhatikan pertidaksamaan bentuk dan. Mari kita terima teorema berikut tanpa bukti: untuk setiap nilai a pertidaksamaansetara dengan sistem ketimpangan dan ketimpangansetara dengan sekumpulan pertidaksamaan

Mari kita lihat contohnya: selesaikan pertidaksamaan: >x+2.

Dengan menggunakan teorema yang dirumuskan, mari kita beralih ke himpunan pertidaksamaan:

Sistem dan ketimpangan 0x>2 tidak punya solusi. Oleh karena itu, solusi terhadap populasi (dan kesenjangan ini) adalah X.

Latihan untuk pekerjaan mandiri:

Pelajaran No.12. Penerapan sifat-sifat nilai absolut dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

Saat menyelesaikan beberapa masalah, properti modul digunakan. (Jika perlu, ulangi, lihat pelajaran No. 1).

Catatan penjelasan

Matematika adalah bahasa yang digunakan tidak hanya oleh ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika adalah bahasa peradaban manusia. Praktis telah merambah ke segala bidang kehidupan manusia. Produksi modern, komputerisasi masyarakat, dan pengenalan teknologi informasi modern memerlukan literasi matematika.

Pendidikan matematika berkontribusi pada pembentukan budaya umum seseorang. Studi matematika berkontribusi pada pendidikan estetika seseorang, pemahaman keindahan dan keanggunan penalaran matematika.

Mata kuliah pilihan “Persamaan dan Pertidaksamaan yang Mengandung Tanda Nilai Mutlak” dibuat untuk dilaksanakan di 9 kelas.

Mata kuliah ini dirancang untuk memperluas pengetahuan dan keterampilan mahasiswa tentang permasalahan yang berkaitan dengan konsep nilai mutlak suatu bilangan, membuat grafik fungsi dan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan secara grafis yang mengandung tanda nilai mutlak.

Konsep nilai absolut (modulus) merupakan salah satu ciri terpenting suatu bilangan, baik dalam bidang bilangan real maupun bilangan kompleks. Konsep ini banyak digunakan tidak hanya di berbagai bagian mata pelajaran matematika sekolah, tetapi juga dalam mata kuliah matematika tingkat tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di universitas. Misalnya, dalam teori perhitungan perkiraan, konsep kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan digunakan. Dalam mekanika dan geometri dipelajari konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor). Dalam analisis matematis, konsep nilai mutlak suatu bilangan terkandung dalam pengertian konsep-konsep dasar seperti limit, fungsi berbatas, dan lain-lain. Soal-soal yang berkaitan dengan nilai mutlak sering dijumpai pada olimpiade matematika, ujian masuk perguruan tinggi dan Ujian Terpadu. Ujian Negara.

Kursus ini akan membantu guru untuk mempersiapkan siswa dengan cara terbaik untuk Olimpiade matematika, Ujian Negara Bersatu, Ujian Negara Bersatu dan ujian untuk masuk ke universitas.

Program mata kuliah pilihan melibatkan pengenalan teori dan praktik dari masalah yang sedang dipertimbangkan dan dirancang untuk 34 jam: 7,5 jam kuliah dan 26,5 jam kelas praktik.

Isi kursus terdiri dari delapan bagian, termasuk pendahuluan dan penutup pelajaran. Guru, tergantung pada tingkat persiapan siswa, tingkat kerumitan materi yang dipelajari dan persepsi siswa terhadapnya, tidak boleh mengambil semua topik untuk dipelajari, sambil menambah jumlah jam untuk mempelajari topik lain. Guru juga dapat mengubah tingkat kesulitan materi yang disampaikan.

Program ini berisi topik karya kreatif dan daftar referensi topik yang diusulkan.

Dalam proses pembelajaran mata kuliah ini diharapkan dapat menggunakan berbagai metode pengaktifan aktivitas kognitif anak sekolah, serta berbagai bentuk pengorganisasian kerja mandirinya.

Hasil penguasaan program kursus adalah penyajian karya individu dan kelompok yang kreatif oleh anak sekolah pada pembelajaran akhir.

Tujuan kursus:

• mengembangkan minat berkelanjutan terhadap matematika di kalangan siswa;
• penguasaan pengetahuan matematika khusus yang diperlukan untuk diterapkan dalam kegiatan praktik;
• persiapan untuk penguasaan sadar atas kursus sistematis dalam aljabar dan geometri;
• generalisasi dan sistematisasi, perluasan dan pendalaman pengetahuan tentang topik “Nilai absolut”; memperoleh keterampilan praktis dalam menyelesaikan tugas dengan modul; meningkatkan tingkat pelatihan matematika anak sekolah.

Tujuan kursus:

• mengembangkan kemampuan siswa dalam menyusun grafik fungsi yang mengandung tanda nilai mutlak dengan menggunakan metode transformasi geometri, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus;
• mengembangkan keterampilan dalam menerapkan pengetahuan ini ketika memecahkan berbagai masalah dengan kompleksitas yang berbeda-beda;
• mempersiapkan siswa untuk Ujian Negara Bersatu;
• mengembangkan keterampilan kerja mandiri dan bekerja dalam kelompok kecil;
• mengembangkan keterampilan dalam bekerja dengan buku referensi dan komputer;
• mengembangkan keterampilan dan kemampuan kerja penelitian;
• mempromosikan pengembangan pemikiran algoritmik siswa;
• mempromosikan pembentukan minat kognitif dalam matematika.

(1 jam per minggu, total 34 jam)

1. Pendahuluan (1 jam)

Maksud dan tujuan mata kuliah pilihan. Masalah yang dibahas dalam kursus dan strukturnya. Berkenalan dengan sastra, topik karya kreatif. Persyaratan peserta kursus. Lelang “Apa yang saya ketahui tentang nilai absolut?”

2. Nilai absolut bilangan real a (4 jam)

Nilai absolut bilangan real a. Modul bilangan berlawanan. Interpretasi geometris dari konsep modul a. Modulus jumlah dan modulus selisih bilangan real berhingga. Modulus selisih modulus dua bilangan. Modul produk dan modul hasil bagi. Operasi pada nilai absolut. Penyederhanaan ekspresi yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Penerapan properti modul saat memecahkan masalah Olimpiade.

3. Grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitisnya mengandung tanda nilai absolut (5 jam)

Penerapan program komputer “Advanced Grapher” dalam membuat grafik fungsi yang ekspresi analitisnya mengandung tanda modulus. Aturan dan algoritma untuk membuat grafik persamaan yang ekspresi analitisnya mengandung tanda modulus. Grafik persamaan

Grafik dari beberapa fungsi paling sederhana, ditentukan secara eksplisit dan implisit, ekspresi analitisnya berisi tanda modulus. Grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitiknya berisi tanda nilai absolut dalam tugas olimpiade.

4. Persamaan yang mengandung nilai absolut (11 jam)

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Pengungkapan modul menurut definisi, peralihan dari persamaan awal ke sistem ekuivalen, mengkuadratkan kedua ruas persamaan, metode interval, metode grafis, penggunaan sifat nilai mutlak. Persamaan bentuk

Metode penggantian variabel ketika menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Metode interval untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut. Persamaan bentuk

Sebuah metode untuk mengungkapkan modul secara berurutan ketika menyelesaikan persamaan yang berisi “modul di dalam modul.” Solusi grafis persamaan yang mengandung nilai absolut. Menggunakan sifat-sifat nilai absolut saat menyelesaikan persamaan. Persamaan dengan parameter yang mengandung nilai absolut. Pertahanan tugas Olimpiade yang diselesaikan.

5. Pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak (7 jam)

Ketimpangan bentuk

Ketimpangan bentuk

Metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung tanda modulus. Pertidaksamaan dengan parameter yang mengandung nilai absolut. Pertidaksamaan dengan dua variabel.

Sistem persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak.

Pertanyaan lain yang menggunakan konsep nilai absolut.

6. Pelajaran terakhir (1 jam)

Kalender dan perencanaan tematik

Daftar materi pendidikan dan metodologi

1.Bashmakov M.I. Persamaan dan pertidaksamaan. – M.: VZMSH di Universitas Negeri Moskow, 1983.

2. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. kelas 11 – M.: Pendidikan, 1993.

3. Gaidukov I.I. Nilai mutlak. – M.: Pendidikan, 1968.

4. Galitsky M.L. dan lain-lain Kumpulan Soal Aljabar Kelas 8 – 9. – M.: Pendidikan, 1995.

5. Govorov V.M. dan lain-lain Kumpulan soal kompetitif matematika.

6. Gornshtein P.I. dan lain-lain. – M.: Ilexa, Kharkov: Gimnasium, 2003.

7. Kolesnikova S.I. Matematika. Kursus persiapan intensif untuk Negara Bersatu

Ujian. M.: Iris-press, 2004.

8. Merzlyak A.G. dan lain-lain. – M.: Ilexa, 2001.

9. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8 – M.: Mnemosyne, 2000.

10. Neshkov K.I. dan lainnya. Hubungan. Angka. Kuantitas. – M.: Pendidikan, 1978.

11. Nikolskaya I.L. Kursus opsional dalam matematika. – M.: Pendidikan, 1995.

12. Olehnik S.N. dan lain-lain. Metode solusi non-standar. kelas 10 – 11 –

M.: Bustard, 1995.

13. Sharygin I.F. Kursus opsional dalam matematika kelas 10 – 11. – M.: Pendidikan, 1989.

14. Buku teks elektronik “Aljabar 7 – 11”.

15. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. – M.: Pendidikan, 1986.

Topik karya kreatif

1. Penerapan modul mekanika dan aljabar vektor.
2. Modulus dalam definisi batas.
3. Kesalahan.
4. Draf memo aturan dan algoritma untuk membuat grafik persamaan (termasuk fungsi), yang ekspresi analitisnya berisi tanda modulus.
5. Membuat permainan “Lotto Matematika” dengan topik “Grafik persamaan yang ekspresi analitisnya mengandung tanda modulus”.
6. Proyek sinyal referensi tentang metode penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus.
7. Fungsi paling sederhana, ditentukan secara eksplisit dan implisit, ekspresi analitiknya berisi tanda modulus, dan grafiknya.

Tugas membangun grafik fungsi "modulus" dan masalah dengan parameter secara tradisional merupakan salah satu topik tersulit dalam matematika, oleh karena itu selalu dimasukkan dalam tugas-tugas pada Ujian Negara tingkat lanjut dan tinggi serta Ujian Negara Terpadu.

Konsep “modul” dipelajari di sekolah sejak kelas 6 SD, dan pada tataran hanya definisi dan perhitungan, padahal konsep ini banyak digunakan di banyak bagian mata pelajaran matematika sekolah, misalnya dalam pembelajaran bilangan absolut. dan kesalahan relatif dari suatu jumlah perkiraan; dalam geometri dan fisika akan dipelajari konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor). Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Lulusan dihadapkan pada masalah keberhasilan lulus Ujian Negara di kelas 9, dan selanjutnya Ujian Negara Bersatu.

Tahun ini dalam pelajaran matematika kita mengenal konsep fungsi linier dan belajar bagaimana membuat grafiknya. Terlihat bahwa grafik ini dijadikan dasar untuk membangun fungsi “modulus”. Selain itu, guru mengatakan bahwa persamaan hadir dengan satu dan beberapa modul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena akan berguna bagi saya ketika lulus ujian.

Subjek "Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut"

Tujuan pekerjaan: studi tentang kemungkinan konstruksi rasional grafik dengan modul untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul dan parameter

Mempelajari teori penyelesaian metode persamaan dengan modulus.

Belajar menyelesaikan persamaan derajat 1 yang mengandung tanda nilai mutlak.

Mengklasifikasikan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan.

Analisis kelebihan dan kekurangan berbagai metode untuk memplot grafik fungsi modulus.

Cari tahu apa itu parameter

Menerapkan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Objek – metode penyelesaian persamaan dengan modulus

Subyek: metode grafis untuk menyelesaikan persamaan

Metode penelitian: teoritis dan praktis:

teoretis - ini adalah studi literatur tentang topik penelitian; informasi internet;

praktis - ini adalah analisis informasi yang diperoleh dari studi literatur, hasil yang diperoleh ketika menyelesaikan persamaan dengan modulus dengan berbagai cara;

perbandingan metode penyelesaian persamaan tergantung pada rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modulus.

Konsep dan definisi

1.1. Konsep “modul” banyak digunakan di banyak bagian mata pelajaran matematika sekolah, misalnya, ketika mempelajari kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan; dalam geometri dan fisika konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Kata “modul” berasal dari bahasa latin “modulus” yang berarti “mengukur”. Kata ini memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, fisika dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman, dan ilmu eksakta lainnya. Istilah ini diyakini dikemukakan oleh Cotes, seorang murid Newton. Tanda modulus diperkenalkan pada abad ke-19 oleh Weierstrass.

Dalam arsitektur, modul adalah unit pengukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu. Dalam teknologi, ini adalah istilah yang digunakan dalam berbagai bidang teknologi, digunakan untuk menunjukkan berbagai koefisien dan besaran, misalnya modulus elastisitas, modulus keterlibatan. Dalam matematika, modul memiliki beberapa arti, namun saya akan menganggapnya sebagai nilai mutlak suatu bilangan.

Definisi : Modulus (nilai absolut) suatu bilangan real A nomor ini sendiri disebut jika A≥0, atau angka sebaliknya – A, Jika dan modulus nol adalah nol.

Modulus adalah jarak pada garis koordinat dari nol ke suatu titik.

1.2. Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang memuat variabel yang berada di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modulus). Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan semua akar-akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar-akarnya. Cara menyelesaikan persamaan dengan modulus:

1.Menurut definisi modul - "menghapus modul". Keputusan terjadi berdasarkan definisi.

2. Metode analitik - menyelesaikan persamaan menggunakan transformasi ekspresi yang termasuk dalam persamaan dan sifat-sifat modul.

3.Metode interval: perluasan modul pada interval dan setengah interval yang dibentuk oleh "nol" modul.

4.Metode grafis. Inti dari metode ini adalah membuat grafik dari fungsi-fungsi ini yang mewakili ruas kiri dan kanan persamaan. Jika grafik-grafik tersebut berpotongan, maka absis titik potong grafik-grafik tersebut akan menjadi akar-akar persamaan tersebut.

1.3.Metode untuk memplot fungsi dengan modulus

1.3.1. Menurut definisi. Dibangun dua garis y=khx+b, di mana x>0, y=-khx+b, di mana x

1.3.2 Metode simetri. Digambar grafik y=kx+b, untuk x>0

1.3.3.Konversi fungsi:

a) y=|x |+n grafik bergeser ke atas sepanjang sumbu ordinat sebanyak satuan

b) y=|x |-n grafiknya bergeser ke bawah sepanjang ordinat

c) kamu=|x +n | grafik bergeser ke kiri sepanjang sumbu absis

d)у=|x -n | grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu absis

1.3.4. Metode interval. Garis koordinat dibagi menjadi interval dan setengah interval dengan modulus nol. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi modul, untuk setiap luas yang ditemukan kita memperoleh persamaan yang harus diselesaikan pada interval tertentu dan memperoleh suatu fungsi.

1.3.5. Metode perluasan wilayah nol. Jika ada beberapa modul, akan lebih mudah untuk tidak memperluas modul, tetapi menggunakan pernyataan berikut: jumlah aljabar modul N ekspresi linier adalah fungsi linier sepotong-sepotong, yang grafiknya terdiri dari N+1 segmen lurus.

Kemudian grafiknya dapat dibuat menurut N+2 poin, N yang mewakili akar ekspresi intramodular, yang lainnya adalah titik sembarang dengan absis yang lebih kecil dari akar yang lebih kecil, dan yang terakhir dengan absis yang lebih besar dari akar yang lebih besar.

1.4. Kami memiliki persamaannya kapak+b=c. Dalam persamaan ini X- tidak dikenal, a,b,c– koefisien yang dapat mengambil nilai numerik berbeda. Koefisien yang ditentukan dengan cara ini disebut parameter. Satu persamaan dengan parameter mendefinisikan banyak persamaan (untuk semua kemungkinan nilai parameter).

ini semua persamaan yang ditentukan oleh persamaan dengan parameter kapak+b=c.

Menyelesaikan persamaan dengan parameter berarti:

Tunjukkan pada nilai parameter apa persamaan tersebut memiliki akar dan berapa banyak akar untuk nilai parameter yang berbeda.

Temukan semua ekspresi untuk akar-akarnya dan tunjukkan untuk masing-masing ekspresi tersebut nilai parameter di mana ekspresi ini menentukan akar persamaan.

1.5.Kesimpulan:

Oleh karena itu, terdapat berbagai metode untuk membuat grafik dengan modulus, yang perlu diselidiki untuk kemungkinan penggunaan rasionalnya.

Analisis metode pembuatan grafik fungsi yang berisi modul dan aplikasi

3. Metode interval

4.Analitis

3. Modul bersarang

|||x n| m||= sebuah

1.Menurut definisi modul

2.Grafik

Kesimpulan: dengan demikian, klasifikasi persamaan memberi kita metode umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan - menurut definisi, ini adalah modulus dan metode grafis.

2.2.Analisis Grafik.

2.2.1. Tipe 1. Konstruksi y=|x |

2.2.1.1.Menurut definisi.

1. Buatlah garis lurus y=x

2. Pilih bagian garis di x 0

3.Buatlah garis lurus y=-x

4. Pilih bagian garis di x

2.2.1.2. Metode simetri

1. Buatlah garis lurus y=x

2. Kita membangun simetri terhadap sumbu absis di x

5. Pilih bagian garis pada interval

2.2.2.2.Metode Perluasan Area Nol

1.Nol: 3 dan 1; area yang diperluas: 2,4,0

2. Kita hitung nilai pada : 3,1,2,4,0 yaitu : -2, -2, -2, 0, 0

3. Tempatkan titik-titik beserta koordinatnya dan hubungkan

Kesimpulan: Metode perluasan wilayah nol lebih rasional

2.2.3. Tipe 3. Modul bersarang - “matryoshka”

DAN Mari kita jelajahi konstruksi y=||x|-1|

2.2.3.1.Menurut definisi modul

Berdasarkan definisi modul utama yang kita miliki:

1) x>0 kamu=|x|-1

2. “Hapus” modul berikut:

Modul: y=x-1, x>0 dan y=-x+1 x

y=-x+1 x>0 y=x-1 x

3. Kami membuat grafik

2.2.3.2.Metode simetri

1.kamu=|x|-1

y=x-1, simetri

2. Simetri terhadap sumbu absis bagian grafik dimana x-1

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional.

2.2.4. Mari kita rangkum analisis hasil dalam sebuah tabel:

Pengetahuan dan keterampilan

Kekurangan

Menurut definisi

Definisi Modul

Mengetahui: cara menentukan koordinat titik-titik pada garis lurus

Mampu mengidentifikasi bagian garis lurus dengan menggunakan pertidaksamaan

Solusi besar

Penerapan sejumlah besar pengetahuan

Saat “melepas” modul, kesalahan bisa saja terjadi

Metode simetri

Mengetahui dan mampu menerapkan transformasi fungsi

Bangun simetri di sekitar sumbu absis

Metode interval

Temukan modulus nol

Tentukan interval dan setengah interval

Perluas modul

Hitung modul

Berikan istilah serupa

Bangun garis lurus

Solusi besar

Banyak perhitungan dan transformasi saat menghilangkan angka nol

Membutuhkan banyak waktu

Definisi interval dan setengah interval yang benar

Metode perluasan area nol

Temukan modulus nol

Mampu memperluas area nol

Mampu menghitung moduli pada titik-titik ini

Mampu menyusun titik-titik berdasarkan koordinatnya

Membiarkan kesalahan dalam perhitungan

Metode transformasi fungsi

Ketahui algoritma konversi

Mampu menyusun titik-titik berdasarkan koordinatnya

Mampu menghitung koordinat titik

Mampu menerapkan algoritma konversi

Pengetahuan tentang algoritma konversi grafik

Kesimpulan: menganalisis tabel, kami menyimpulkan bahwa metode simetri dan perluasan daerah nol adalah yang paling rasional, karena mengandung jumlah langkah konstruksi paling sedikit, yang berarti menghemat waktu.

2.3.Penerapan metode grafik rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus dan parameter

2.3.1. Selesaikan persamaan:

Kami membangun y=

dan y=0,5

2.Area yang diperluas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Gambarlah ruas dan sinarnya

2.3.2. Ujian Negara Bersatu 2009 Temukan semua nilai a, yang masing-masing persamaannya

, memiliki tepat 1 root.a =7. Selama pekerjaan yang dilakukan, kami dapat mempelajari dan menganalisis berbagai metode untuk membuat grafik. Dari hasil analisis dan perbandingan metode grafik diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Terjemahan masalah aljabar ke dalam bahasa G Rafikov memungkinkan Anda menghindari keputusan yang rumit;

Saat menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus dan parameter, metode grafis lebih visual dan relatif lebih sederhana;

Saat membuat grafik yang berisi 2 modul dan “matryoshka”, metode simetri lebih praktis;

Meskipun metode grafis untuk menyelesaikan persamaan adalah perkiraan, karena keakuratannya bergantung pada segmen satuan yang dipilih, ketebalan pensil, sudut perpotongan garis, dll., tetapi metode ini memungkinkan Anda memperkirakan jumlah akar persamaan untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.

Mengingat beberapa tugas yang paling populer untuk Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara adalah persamaan dengan modulus, hasil utama saya adalah saya dapat menyelesaikan persamaan dengan modulus dan parameter secara grafis.

Referensi

1.Dankova I. “Persiapan pra-profil dalam matematika”, Moskow, 2006.

2. Kegiatan ekstrakurikuler matematika. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3.Matematika. Buku teks diedit oleh Ant L.Ya., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematika. Kelas 8-9 : kumpulan mata kuliah pilihan. Edisi-2. Penulis-kompiler: M.E. Kozina, Volgograd: Guru, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. M, 2006

Tugas membangun grafik fungsi "modulus" dan masalah dengan parameter secara tradisional merupakan salah satu topik tersulit dalam matematika, oleh karena itu selalu dimasukkan dalam tugas-tugas pada Ujian Negara tingkat lanjut dan tinggi serta Ujian Negara Terpadu.

Konsep “modul” dipelajari di sekolah sejak kelas 6 SD, dan pada tataran hanya definisi dan perhitungan, padahal konsep ini banyak digunakan di banyak bagian mata pelajaran matematika sekolah, misalnya dalam pembelajaran bilangan absolut. dan kesalahan relatif dari suatu jumlah perkiraan; dalam geometri dan fisika akan dipelajari konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor). Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Lulusan dihadapkan pada masalah keberhasilan lulus Ujian Negara di kelas 9, dan selanjutnya Ujian Negara Bersatu.

Tahun ini dalam pelajaran matematika kita mengenal konsep fungsi linier dan belajar bagaimana membuat grafiknya. Terlihat bahwa grafik ini dijadikan dasar untuk membangun fungsi “modulus”. Selain itu, guru mengatakan bahwa persamaan hadir dengan satu dan beberapa modul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena akan berguna bagi saya ketika lulus ujian.

Subjek "Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung nilai absolut"

Tujuan pekerjaan : studi tentang kemungkinan konstruksi rasional grafik dengan modul untuk menyelesaikan persamaan yang berisi modul dan parameter

Mempelajari teori penyelesaian metode persamaan dengan modulus.

Belajar menyelesaikan persamaan derajat 1 yang mengandung tanda nilai mutlak.

Mengklasifikasikan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan.

Analisis kelebihan dan kekurangan berbagai metode untuk memplot grafik fungsi modulus.

Cari tahu apa itu parameter

Menerapkan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Objek – metode penyelesaian persamaan dengan modulus

Subyek: metode grafis untuk menyelesaikan persamaan

Metode penelitian: teoritis dan praktis:

teoretis - ini adalah studi literatur tentang topik penelitian; informasi internet;

praktis - ini adalah analisis informasi yang diperoleh dari studi literatur, hasil yang diperoleh ketika menyelesaikan persamaan dengan modulus dengan berbagai cara;

perbandingan metode penyelesaian persamaan tergantung pada rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modulus.

Bab I

Konsep dan definisi

1.1. Konsep “modul” banyak digunakan di banyak bagian mata pelajaran matematika sekolah, misalnya, ketika mempelajari kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan; dalam geometri dan fisika konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Konsep modul digunakan dalam mata kuliah matematika tinggi, fisika dan ilmu teknik yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Kata “modul” berasal dari bahasa latin “modulus” yang berarti “mengukur”. Kata ini memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, fisika dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman, dan ilmu eksakta lainnya. Istilah ini diyakini dikemukakan oleh Cotes, seorang murid Newton. Tanda modulus diperkenalkan pada abad ke-19 oleh Weierstrass.

Dalam arsitektur, modul adalah unit pengukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu. Dalam teknologi, ini adalah istilah yang digunakan dalam berbagai bidang teknologi, digunakan untuk menunjukkan berbagai koefisien dan besaran, misalnya modulus elastisitas, modulus keterlibatan. Dalam matematika, modul memiliki beberapa arti, namun saya akan menganggapnya sebagai nilai mutlak suatu bilangan.

Definisi : Modulus (nilai absolut) suatu bilangan real A nomor ini sendiri disebut jika A≥0, atau angka sebaliknya – A, Jika A<0; modulus nol adalah nol.

Modulus adalah jarak pada garis koordinat dari nol ke suatu titik.

1.2. Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang memuat variabel yang berada di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modulus). Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan semua akar-akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar-akarnya. Cara menyelesaikan persamaan dengan modulus:

1.Menurut definisi modul - "menghapus modul". Keputusan terjadi berdasarkan definisi.

2. Metode analitik - menyelesaikan persamaan menggunakan transformasi ekspresi yang termasuk dalam persamaan dan sifat-sifat modul.

3.Metode interval: perluasan modul pada interval dan setengah interval yang dibentuk oleh "nol" modul.

4.Metode grafis. Inti dari metode ini adalah membuat grafik dari fungsi-fungsi ini yang mewakili ruas kiri dan kanan persamaan. Jika grafik-grafik tersebut berpotongan, maka absis titik potong grafik-grafik tersebut akan menjadi akar-akar persamaan tersebut.

1.3.Metode untuk memplot fungsi dengan modulus

1.3.1. Menurut definisi. Dua garis dibuat y=khx+b, di mana x>0, y=-khx+b, di mana x<0

1.3.2 Metode simetri. Digambar grafik y=kx+b, untuk x>0<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Konversi fungsi:

a) y=|x |+n grafik bergeser ke atas sepanjang sumbu ordinat sebanyak satuan

b) y=|x |-n grafiknya bergeser ke bawah sepanjang ordinat

c) kamu=|x +n | grafik bergeser ke kiri sepanjang sumbu absis

d )y=|x -n | grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu absis

1.3.4. Metode interval. Garis koordinat dibagi menjadi interval dan setengah interval dengan modulus nol. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi modul, untuk setiap luas yang ditemukan kita memperoleh persamaan yang harus diselesaikan pada interval tertentu dan memperoleh suatu fungsi.

1.3.5. Metode perluasan wilayah nol. Jika ada beberapa modul, akan lebih mudah untuk tidak memperluas modul, tetapi menggunakan pernyataan berikut: jumlah aljabar modul N ekspresi linier adalah fungsi linier sepotong-sepotong, yang grafiknya terdiri dari N+1 segmen lurus.

Kemudian grafiknya dapat dibuat menurut N+2 poin, N yang mewakili akar ekspresi intramodular, yang lainnya adalah titik sembarang dengan absis yang lebih kecil dari akar yang lebih kecil, dan yang terakhir dengan absis yang lebih besar dari akar yang lebih besar.

1.4. Kami memiliki persamaannya kapak+b=c. Dalam persamaan ini X- tidak dikenal, a,b,c– koefisien yang dapat mengambil nilai numerik berbeda. Koefisien yang ditentukan dengan cara ini disebut parameter. Satu persamaan dengan parameter mendefinisikan banyak persamaan (untuk semua kemungkinan nilai parameter).

ini semua persamaan yang ditentukan oleh persamaan dengan parameter kapak+b=c.

Menyelesaikan persamaan dengan parameter berarti:

Tunjukkan pada nilai parameter apa persamaan tersebut memiliki akar dan berapa banyak akar untuk nilai parameter yang berbeda.

Temukan semua ekspresi untuk akar-akarnya dan tunjukkan untuk masing-masing ekspresi tersebut nilai parameter di mana ekspresi ini menentukan akar persamaan.

1.5.Kesimpulan:

Oleh karena itu, terdapat berbagai metode untuk membuat grafik dengan modulus, yang perlu diselidiki untuk kemungkinan penggunaan rasionalnya.

Bab II

Analisis metode pembuatan grafik fungsi yang berisi modul dan aplikasi

« Grafik adalah garis yang berbicara

yang bisa memberitahumu banyak hal"

M.B.Balk

2.1. Mempelajari jenis-jenis persamaan dengan modulus, kita melihat bahwa persamaan-persamaan tersebut dapat dibagi berdasarkan jenis dan metode penyelesaiannya.

Meja. Klasifikasi jenis persamaan dan metode penyelesaiannya.

Jenis persamaan

Jenis persamaan

Metode solusi

1. Persamaan dengan satu modul

|x n|=suatu

|x| n=a

1.Menurut definisi modul

2.Grafik

3.Analitis

2.Persamaan berisi 2 modul

|x n| |x m|=suatu

1.Menurut definisi modul

2.Grafik

3. Metode interval

4.Analitis

3. Modul bersarang

|||x n| m||= A

1.Menurut definisi modul

2.Grafik

Kesimpulan: dengan demikian, klasifikasi persamaan memberi kita metode umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan - menurut definisi, ini adalah modulus dan metode grafis.

2.2.Analisis Grafik.

2.2.1. Tipe 1. Konstruksi y=|x |

2.2.1.1.Menurut definisi.

1. Buatlah garis lurus y=x

2. Pilih bagian garis di x 0

3.Buatlah garis lurus y=-x

4. Pilih bagian garis di x<0

2.2.1.2. Metode simetri

1. Buatlah garis lurus y=x

2. Kita membangun simetri terhadap sumbu absis di x<0

2.2.1.3. Konstruksi y=|x -2|

1. Buatlah garis lurus y=x-2

2. Pilih bagian garis lurus di x-2 0

3.Buatlah garis lurus y=-x+2

4. Pilih bagian garis lurus di x-2<0

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional

2.2.2. Tipe 2.

Tugas: membuat grafik y=

2.2.2.1.Metode interval

1. pada
kita mendapatkan y=-x+3+1-x-4; kamu = -2x

2. pada
kita peroleh=-x+3-1+x-4; kamu = -2

3. aktif
kita mendapatkan y=x-3-1+x-4; kamu = 2x-8

4. Kami membangun semua garis lurus.

5. Pilih bagian garis pada interval

2.2.2.2.Metode Perluasan Area Nol

1.Nol: 3 dan 1; area yang diperluas: 2,4,0

2. Kita hitung nilai pada : 3,1,2,4,0 yaitu : -2, -2, -2, 0, 0

3. Tempatkan titik-titik beserta koordinatnya dan hubungkan

Kesimpulan: Metode perluasan wilayah nol lebih rasional

2.2.3. Tipe 3. Modul bersarang - “matryoshka”

DAN Mari kita jelajahi konstruksi y=||x|-1|

2.2.3.1.Menurut definisi modul

Berdasarkan definisi modul utama yang kita miliki:

1) x>0 kamu=|x|-1

2)x<0 у=-|х|+1

2. “Hapus” modul berikut:

Modul: y=x-1, x>0 dan y=-x+1 x<0

y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0

3. Kami membuat grafik

2.2.3.2.Metode simetri

1.kamu=|x|-1
y=x-1, simetri

2. Simetri terhadap sumbu absis bagian grafik dimana x-1<0

Kesimpulan: metode simetri lebih rasional.

2.2.4. Mari kita rangkum analisis hasil dalam sebuah tabel:

Pengetahuan dan keterampilan

Kekurangan

Menurut definisi

Definisi Modul

Mengetahui: cara menentukan koordinat titik-titik pada garis lurus

Mampu mengidentifikasi bagian garis lurus dengan menggunakan pertidaksamaan

Solusi besar

Penerapan sejumlah besar pengetahuan

Saat “melepas” modul, kesalahan bisa saja terjadi

Metode simetri

Mengetahui dan mampu menerapkan transformasi fungsi

Bangun simetri di sekitar sumbu absis

Pengetahuan tentang algoritma konversi grafik

Metode interval

Temukan modulus nol

Tentukan interval dan setengah interval

Perluas modul

Hitung modul

Berikan istilah serupa

Mampu menyusun titik-titik berdasarkan koordinatnya

Bangun garis lurus

Solusi besar

Banyak perhitungan dan transformasi saat menghilangkan angka nol

Membutuhkan banyak waktu

Definisi interval dan setengah interval yang benar

Metode perluasan area nol

Temukan modulus nol

Mampu memperluas area nol

Mampu menghitung moduli pada titik-titik ini

Mampu menyusun titik-titik berdasarkan koordinatnya

Membiarkan kesalahan dalam perhitungan

Metode transformasi fungsi

Ketahui algoritma konversi

Mampu menyusun titik-titik berdasarkan koordinatnya

Mampu menghitung koordinat titik

Mampu menerapkan algoritma konversi

Pengetahuan tentang algoritma konversi grafik

Kesimpulan: menganalisis tabel, kami menyimpulkan bahwa metode simetri dan perluasan daerah nol adalah yang paling rasional, karena mengandung jumlah langkah konstruksi paling sedikit, yang berarti menghemat waktu.

2.3.Penerapan metode grafik rasional untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus dan parameter

2.3.1. Selesaikan persamaan:

Kami membangun y=
dan y=0,5

2.Area yang diperluas: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Gambarlah ruas dan sinarnya

2.3.2. Ujian Negara Bersatu 2009 Temukan semua nilai a, yang masing-masing persamaannya
, memiliki tepat 1 root.a =7. Selama pekerjaan yang dilakukan, kami dapat mempelajari dan menganalisis berbagai metode untuk membuat grafik. Dari hasil analisis dan perbandingan metode grafik diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Terjemahan masalah aljabar ke dalam bahasa G Rafikov memungkinkan Anda menghindari keputusan yang rumit;

Saat menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus dan parameter, metode grafis lebih visual dan relatif lebih sederhana;

Saat membuat grafik yang berisi 2 modul dan “matryoshka”, metode simetri lebih praktis;

Meskipun metode grafis untuk menyelesaikan persamaan adalah perkiraan, karena keakuratannya bergantung pada segmen satuan yang dipilih, ketebalan pensil, sudut perpotongan garis, dll., tetapi metode ini memungkinkan Anda memperkirakan jumlah akar persamaan untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.

Mengingat beberapa tugas yang paling populer untuk Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara adalah persamaan dengan modulus, hasil utama saya adalah saya dapat menyelesaikan persamaan dengan modulus dan parameter secara grafis.

Referensi

1.Dankova I. “Persiapan pra-profil dalam matematika”, Moskow, 2006.

2. Kegiatan ekstrakurikuler matematika. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3.Matematika. Buku teks diedit oleh Ant L.Ya., Moscow Bridge, 1994.

4. Matematika. Kelas 8-9 : kumpulan mata kuliah pilihan. Edisi-2. Penulis-kompiler: M.E. Kozina, Volgograd: Guru, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. M, 2006