Garis tengah gambar dalam planimetri - segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisi gambar tertentu. Konsep yang digunakan untuk bangun-bangun berikut: segitiga, segi empat, trapesium.
Garis tengah segitiga
Properti
- garis tengah segitiga sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengahnya.
- garis tengah memotong segitiga yang sebangun dan homotetis dengan segitiga aslinya dengan koefisien 1/2; luasnya sama dengan seperempat luas segitiga asal.
- tiga garis tengah membagi segitiga asal menjadi empat segitiga sama besar. Pusat segitiga ini disebut segitiga komplementer atau medial.
Tanda-tanda
- jika suatu ruas sejajar dengan salah satu sisi segitiga dan menghubungkan titik tengah salah satu sisi segitiga dengan titik yang terletak di sisi lain segitiga, maka itu adalah garis tengah.
Garis tengah segi empat
Garis tengah segi empat- segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat.
Properti
Garis pertama menghubungkan 2 sisi yang berhadapan. Yang kedua menghubungkan 2 sisi berlawanan lainnya. Yang ketiga menghubungkan pusat dua diagonal (tidak semua segiempat diagonalnya terbagi dua di titik perpotongan).
- Jika pada segiempat cembung garis tengahnya membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan diagonal-diagonal segiempat tersebut, maka diagonal-diagonalnya sama besar.
- Panjang garis tengah suatu segi empat kurang dari setengah jumlah kedua sisi lainnya atau sama dengan garis tengah jika sisi-sisi tersebut sejajar, dan hanya dalam kasus ini.
- Titik tengah sisi-sisi suatu segi empat sembarang adalah titik-titik sudut jajar genjang. Luasnya sama dengan setengah luas segiempat, dan pusatnya terletak pada titik potong garis tengah. Jajar genjang ini disebut jajaran genjang Varignon;
- Poin terakhir artinya sebagai berikut: Pada segi empat cembung dapat ditarik empat garis tengah jenis kedua. Garis tengah jenis kedua- empat segmen di dalam segi empat, melewati titik tengah sisi-sisi yang berdekatan sejajar dengan diagonal. Empat garis tengah jenis kedua dari segi empat cembung, potonglah menjadi empat segitiga dan satu segiempat pusat. Segiempat pusat ini adalah jajaran genjang Varignon.
- Titik potong garis tengah suatu segi empat adalah titik tengah persekutuannya dan membagi dua ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonalnya. Selain itu, ini adalah pusat massa dari simpul-simpul segiempat.
- Dalam segi empat sembarang, vektor garis tengah sama dengan setengah jumlah vektor alasnya.
Garis tengah trapesium
Garis tengah trapesium
Garis tengah trapesium- ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi trapesium ini. Ruas yang menghubungkan titik tengah alas trapesium disebut garis tengah trapesium kedua.
Itu dihitung menggunakan rumus: EF = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Di mana IKLAN Dan SM- alas trapesium.
Garis tengah segitiga
Properti
- Garis tengah segitiga sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengahnya.
- bila ketiga garis tengah ditarik, terbentuklah 4 segitiga sama besar, sebangun (bahkan homotetis) dengan segitiga aslinya dengan koefisien 1/2.
- garis tengah memotong segitiga yang sebangun dengan segitiga ini, dan luasnya sama dengan seperempat luas segitiga aslinya.
Garis tengah segi empat
Garis tengah segi empat- segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat.
Properti
Garis pertama menghubungkan 2 sisi yang berhadapan. Yang kedua menghubungkan 2 sisi berlawanan lainnya. Yang ketiga menghubungkan pusat dua diagonal (tidak semua segi empat mempunyai pusat yang berpotongan)
- Jika pada segiempat cembung garis tengahnya membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan diagonal-diagonal segiempat tersebut, maka diagonal-diagonalnya sama besar.
- Panjang garis tengah suatu segi empat kurang dari setengah jumlah kedua sisi lainnya atau sama dengan garis tengah jika sisi-sisi tersebut sejajar, dan hanya dalam kasus ini.
- Titik tengah sisi-sisi suatu segi empat sembarang adalah titik-titik sudut jajar genjang. Luasnya sama dengan setengah luas segiempat, dan pusatnya terletak pada titik potong garis tengah. Jajar genjang ini disebut jajaran genjang Varignon;
- Titik potong garis tengah suatu segi empat adalah titik tengah persekutuannya dan membagi dua ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonalnya. Selain itu, ini adalah pusat massa dari simpul-simpul segiempat.
- Dalam segi empat sembarang, vektor garis tengah sama dengan setengah jumlah vektor alasnya.
Garis tengah trapesium
Garis tengah trapesium- ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi trapesium ini. Ruas yang menghubungkan titik tengah alas trapesium disebut garis tengah trapesium kedua.
Properti
- garis tengahnya sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah jumlah alasnya.
Lihat juga
Catatan
Yayasan Wikimedia.
2010.
Lihat apa itu "Garis Tengah" di kamus lain: GARIS TENGAH - (1) ruas trapesium yang menghubungkan titik tengah sisi lateral trapesium. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya; (2) suatu segitiga, suatu ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga ini: sisi ketiga dalam hal ini... ...
Segitiga (trapesium) adalah ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (sisi trapesium)... Kamus Ensiklopedis Besar
garis tengah- 24 garis tengah : Garis khayal yang melewati profil ulir sehingga tebal bahu sama dengan lebar alur. Sumber … Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
Segitiga (trapesium), ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (sisi trapesium). * * * GARIS TENGAH GARIS TENGAH segitiga (trapesium), yaitu ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (sisi lateral trapesium) ... Kamus Ensiklopedis
garis tengah- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti tenis menjadi paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: bahasa inggris. garis tengah; jalur tengah vok. Mittellinie, dari Rusia. garis tengah...Sporto terminų žodynas
garis tengah- Vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: bahasa inggris. garis tengah; jalur tengah vok. Mittellinie, dari Rusia. garis tengah...Sporto terminų žodynas
garis tengah- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: bahasa inggris. garis tengah; jalur tengah vok. Mittellinie, dari Rusia. garis tengah...Sporto terminų žodynas
1) S.l. segitiga, ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (sisi ketiga disebut alas). S.l. segitiga sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengahnya; luas bagian-bagian segitiga yang menjadi tempat c membaginya. aku.,... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Ruas segitiga yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga. Sisi ketiga segitiga disebut dasar segitiga. S.l. suatu segitiga sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah panjangnya. Dalam segitiga apa pun S. l. terputus dari... ... Ensiklopedia Matematika
Segitiga (trapesium), ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (sisi trapesium) ... Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis
Konferensi Ilmiah dan Praktis Anak Sekolah Gomel tentang Matematika, Penerapannya dan Teknologi Informasi “Pencarian”
Pekerjaan pendidikan dan penelitian
Garis tengah bentuk geometris
Morozova Elizaveta
Gomel 2010
Perkenalan
1.Sifat garis tengah
2. Segitiga, segi empat, jajar genjang
3. Segi empat, tetrahedron. Pusat massa
4. Tetrahedron, segi delapan, paralelepiped, kubus
Kesimpulan
Daftar literatur bekas
Aplikasi
Perkenalan
Geometri adalah bagian integral dari budaya umum, dan metode geometris berfungsi sebagai alat untuk memahami dunia, berkontribusi pada pembentukan gagasan ilmiah tentang ruang di sekitarnya, dan penemuan harmoni dan kesempurnaan Alam Semesta. Geometri dimulai dengan segitiga. Selama dua milenium, segitiga telah menjadi simbol geometri, namun bukan merupakan simbol. Segitiga adalah atom geometri. Segitiga tidak ada habisnya - sifat-sifat barunya terus ditemukan. Untuk membicarakan semua sifat-sifatnya yang diketahui, Anda memerlukan volume yang sebanding dengan volume Ensiklopedia Besar. Kami ingin berbicara tentang garis tengah bentuk geometris dan sifat-sifatnya.
Pekerjaan kami menelusuri rangkaian teorema yang mencakup keseluruhan mata kuliah geometri. Ini dimulai dengan teorema tentang garis tengah segitiga dan mengarah pada sifat-sifat menarik dari tetrahedron dan polihedra lainnya.
Garis tengah suatu bangun adalah ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu bangun.
1. Sifat garis tengah
Sifat-sifat segitiga:
Bila ketiga garis tengah ditarik, maka terbentuklah 4 segitiga sama besar, sebangun dengan segitiga asal dengan koefisien 1/2.
garis tengah sejajar dengan alas segitiga dan sama dengan setengahnya;
garis tengah memotong segitiga yang sebangun dengan segitiga ini, dan luasnya seperempat luasnya.
Sifat-sifat segi empat:
jika pada segiempat cembung garis tengahnya membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan diagonal-diagonal segiempat tersebut, maka diagonal-diagonalnya sama besar.
panjang garis tengah suatu segiempat kurang dari setengah jumlah dua sisi lainnya atau sama dengan garis tengah tersebut jika sisi-sisinya sejajar, dan hanya dalam kasus ini.
titik tengah sisi-sisi segi empat sembarang adalah titik-titik jajar genjang.
Luasnya sama dengan setengah luas segiempat, dan pusatnya terletak pada titik potong garis tengah. Jajar genjang ini disebut jajaran genjang Varignon;
Titik potong garis tengah suatu segi empat adalah titik tengah persekutuannya dan membagi dua ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonalnya. Selain itu, ini adalah pusat massa dari simpul-simpul segiempat.
Sifat trapesium:
garis tengah sejajar dengan alas trapesium dan sama dengan jumlah setengahnya;
Titik tengah sisi trapesium sama kaki adalah titik sudut belah ketupat.
Pada sembarang segitiga KLM dapat dilampirkan tiga buah segitiga sama besar AKM, BLK, CLM yang masing-masing bersama segitiga KLM membentuk jajar genjang (Gbr. 1). Dalam hal ini AK = ML = KB, dan titik sudut K berdekatan dengan tiga sudut yang sama dengan tiga sudut segitiga yang berbeda, berjumlah 180°, maka K adalah titik tengah ruas AB; demikian pula, L adalah titik tengah ruas BC, dan M adalah titik tengah ruas CA.
Teorema 1. Jika kita menghubungkan titik tengah sisi-sisi dalam segitiga mana pun, kita mendapatkan empat segitiga sama besar, dengan segitiga di tengahnya membentuk jajar genjang dengan tiga segitiga lainnya.
Rumusan ini melibatkan ketiga garis tengah segitiga sekaligus.
Teorema 2. Ruas yang menghubungkan titik tengah kedua sisi segitiga sejajar dengan sisi ketiga segitiga dan sama dengan setengahnya (lihat Gambar 1).
Teorema inilah dan kebalikannya - bahwa garis lurus yang sejajar dengan alas dan melewati titik tengah salah satu sisi segitiga membagi sisi lainnya menjadi dua - paling sering diperlukan ketika memecahkan masalah.
Teorema garis tengah segitiga mengikuti sifat-sifat garis tengah trapesium (Gbr. 2), serta teorema segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi segi empat sembarang.
Teorema 3. Titik tengah sisi-sisi suatu segi empat adalah titik-titik sudut jajar genjang. Sisi-sisi jajar genjang ini sejajar dengan diagonal-diagonal segi empat, dan panjangnya sama dengan setengah panjang diagonalnya.
Faktanya, jika K dan L adalah titik tengah sisi AB dan BC (Gbr. 3), maka KL adalah garis tengah segitiga ABC, sehingga ruas KL sejajar dengan diagonal AC dan sama dengan setengahnya; jika M dan N adalah titik tengah sisi CD dan AD, maka ruas MN juga sejajar AC dan sama dengan AC/2. Jadi, ruas KL dan MN sejajar dan sama besar, artinya segi empat KLMN merupakan jajar genjang.
Sebagai konsekuensi dari Teorema 3, kita memperoleh fakta menarik (Bagian 4).
Teorema 4. Pada segi empat mana pun, ruas-ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan dibagi dua oleh titik potongnya.
Pada segmen-segmen ini Anda dapat melihat diagonal-diagonal jajar genjang (lihat Gambar 3), dan pada jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potong (titik ini adalah pusat simetri jajar genjang).
Kita melihat bahwa Teorema 3 dan 4 dan alasan kita tetap benar baik untuk segiempat non-cembung maupun untuk garis putus-putus tertutup segi empat yang berpotongan sendiri (Gbr. 4; dalam kasus terakhir mungkin jajar genjang KLMN “merosot” - titik K, L, M, N terletak pada satu garis lurus).
Mari kita tunjukkan bagaimana dari Teorema 3 dan 4 kita dapat memperoleh teorema utama tentang median sebuah segitiga.
Dalil5 . Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi dengan perbandingan 2:1 (dihitung dari titik sudut dimana mediannya diambil).
Mari kita menggambar dua median AL dan SC dari segitiga ABC. Biarkan O menjadi titik potongnya. Titik tengah sisi-sisi segiempat ABCO non-cembung adalah titik K, L, M dan N (Gbr. 5) - simpul jajar genjang, dan titik potong diagonal KM dan LN untuk konfigurasi kita adalah titik potong median O. Jadi AN = NO = OL dan CM = MO = OK, yaitu titik O membagi masing-masing median AL dan CK dengan perbandingan 2:1.
Daripada menggunakan median SC, kita dapat mempertimbangkan median yang diambil dari titik B dan memastikan dengan cara yang sama median tersebut membagi median AL dengan perbandingan 2:1, yaitu melewati titik O yang sama.
3. Segi empat dan tetrahedron. Pusat massa
Teorema 3 dan 4 juga berlaku untuk setiap garis putus-putus tertutup spasial yang terdiri dari empat tautan AB, BC, CD, DA, yang keempat simpul A, B, C, D tidak terletak pada bidang yang sama.
Segiempat spasial seperti itu dapat diperoleh dengan memotong segi empat ABCD dari kertas dan menekuknya secara diagonal pada sudut tertentu (Gbr. 6, a). Jelaslah bahwa garis tengah KL dan MN segitiga ABC dan ADC tetap menjadi garis tengahnya dan sejajar dengan ruas AC dan sama dengan AC/2. (Di sini kita menggunakan fakta bahwa sifat dasar garis sejajar tetap berlaku untuk ruang: jika dua garis KL dan MN sejajar dengan garis ketiga AC, maka KL dan MN terletak pada bidang yang sama dan sejajar satu sama lain.)
Jadi, titik K, L, M, N adalah titik sudut jajar genjang; Jadi, ruas KM dan LN berpotongan dan terbagi dua oleh titik potongnya. Alih-alih segiempat, kita dapat berbicara tentang tetrahedron - piramida segitiga ABCD: titik tengah K, L, M, N dari sisi-sisinya AB, AC, CD dan DA selalu terletak pada bidang yang sama. Dengan memotong tetrahedron sepanjang bidang ini (Gbr. 6, b), kita memperoleh jajar genjang KLMN, yang dua sisinya sejajar dengan tepi AC dan sama besar
AC/2, dan dua lainnya sejajar dengan tepi BD dan sama dengan BD/2.
Jajargenjang yang sama - "bagian tengah" dari tetrahedron - dapat dibuat untuk pasangan sisi berlawanan lainnya. Masing-masing dua dari tiga jajaran genjang ini memiliki diagonal yang sama. Dalam hal ini, titik tengah diagonalnya bertepatan. Jadi kita mendapatkan akibat wajar yang menarik:
Teorema 6. Tiga segmen yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan dari tetrahedron berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik tersebut (Gbr. 7).
Fakta ini dan fakta lain yang dibahas di atas secara alami dijelaskan dalam bahasa mekanika - menggunakan konsep pusat massa. Teorema 5 berbicara tentang salah satu titik luar biasa dari segitiga - titik perpotongan median; dalam Teorema 6 - tentang titik yang luar biasa untuk empat simpul tetrahedron. Titik-titik ini masing-masing merupakan pusat massa segitiga dan tetrahedron. Mari kita kembali ke Teorema 5 tentang median.
Mari kita tempatkan tiga beban identik pada titik sudut segitiga (Gbr. 8).
Mari kita ambil massa masing-masing sebagai satu. Mari kita cari pusat massa sistem beban ini.
Mari kita perhatikan dulu dua beban yang terletak di titik A dan B: pusat massanya terletak di tengah-tengah ruas AB, sehingga beban tersebut dapat diganti dengan satu beban bermassa 2 yang ditempatkan di tengah-tengah K ruas AB. (Gbr. 8, a). Sekarang Anda perlu mencari pusat massa sistem dengan dua beban: satu bermassa 1 di titik C dan yang kedua bermassa 2 di titik K. Menurut aturan tuas, pusat massa sistem tersebut terletak di titik O, membagi ruas SC dengan perbandingan 2:1 (mendekati beban di titik K dengan massa lebih besar - Gambar 8, b).
Pertama-tama kita bisa menggabungkan beban-beban di titik B dan C, lalu menghasilkan beban bermassa 2 di tengah L ruas BC dengan beban di titik A. Atau kita gabungkan dulu beban A dan C, a. lalu tambahkan B. Apa pun yang terjadi, kita akan mendapatkan hasil yang sama. Pusat massa terletak di titik O, membagi masing-masing median dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik puncak. Pertimbangan serupa dapat menjelaskan Teorema 4 - fakta bahwa segmen-segmen yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berlawanan dari suatu segiempat membagi dua satu sama lain (berfungsi sebagai diagonal-diagonal jajar genjang): cukup dengan menempatkan bobot yang identik pada simpul-simpul segi empat dan menggabungkannya dalam berpasangan dalam dua cara (Gbr. 9).
Tentu saja, empat satuan berat yang terletak pada suatu bidang atau ruang (pada simpul tetrahedron) dapat dibagi menjadi dua pasang dengan tiga cara; pusat massa terletak di tengah-tengah antara titik tengah ruas-ruas yang menghubungkan pasangan titik-titik tersebut (Gbr. 10) - penjelasan Teorema 6. (Untuk segi empat datar, hasil yang diperoleh seperti ini: dua ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berhadapan, dan ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonalnya, berpotongan di satu titik Oh dan membaginya menjadi dua).
Melalui titik O - pusat massa dari empat beban identik - empat segmen lagi lewat, menghubungkan masing-masing segmen dengan pusat massa tiga lainnya. Keempat ruas ini dibagi oleh titik O dengan perbandingan 3:1. Untuk menjelaskan fakta ini, pertama-tama Anda harus mencari pusat massa ketiga beban tersebut, lalu melampirkan beban keempat.
4. Tetrahedron, segi delapan, paralelepiped, kubus
Pada awal pekerjaan, kita melihat sebuah segitiga yang dibagi oleh garis tengah menjadi empat segitiga identik (lihat Gambar 1). Mari kita coba melakukan konstruksi yang sama untuk piramida segitiga sembarang (tetrahedron). Mari kita potong tetrahedron menjadi beberapa bagian sebagai berikut: melalui bagian tengah dari tiga sisi yang keluar dari setiap titik, kita membuat potongan rata (Gbr. 11, a). Kemudian empat tetrahedron kecil yang identik akan dipotong dari tetrahedron tersebut. Dengan analogi segitiga, orang akan mengira akan ada tetrahedron lain yang serupa di tengahnya. Namun tidak demikian: polihedron yang tersisa dari tetrahedron besar setelah empat tetrahedron kecil dihilangkan akan memiliki enam simpul dan delapan sisi - ini disebut segi delapan (Gbr. 11.6). Cara mudah untuk mengujinya adalah dengan menggunakan sepotong keju berbentuk tetrahedron. Oktahedron yang dihasilkan memiliki pusat simetri, karena titik tengah dari tepi berlawanan dari tetrahedron berpotongan pada satu titik yang sama dan dibagi dua olehnya.
Salah satu konstruksi menarik dikaitkan dengan sebuah segitiga yang dibagi oleh garis tengah menjadi empat segitiga: kita dapat menganggap angka ini sebagai pengembangan dari tetrahedron tertentu.
Bayangkan sebuah segitiga lancip dipotong dari kertas. Dengan menekuknya di sepanjang garis tengah sehingga simpul-simpulnya menyatu pada satu titik, dan menempelkan tepi-tepi kertas yang menyatu pada titik ini, kita mendapatkan sebuah tetrahedron yang keempat sisinya adalah segitiga sama besar; sisi-sisinya yang berhadapan sama besar (Gbr. 12). Tetrahedron seperti itu disebut semi-reguler. Masing-masing dari tiga "bagian tengah" tetrahedron ini - jajaran genjang yang sisi-sisinya sejajar dengan tepi yang berlawanan dan sama dengan bagiannya - akan menjadi belah ketupat.
Oleh karena itu, diagonal-diagonal jajar genjang ini - tiga ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan - tegak lurus satu sama lain. Di antara banyak sifat tetrahedron semi beraturan, kami mencatat hal berikut: jumlah sudut yang konvergen pada setiap simpulnya sama dengan 180° (sudut-sudut ini masing-masing sama dengan sudut segitiga aslinya). Khususnya, jika kita memulai dengan segitiga sama sisi, kita mendapatkan tetrahedron beraturan dengan
Pada awal pekerjaan kita melihat bahwa setiap segitiga dapat dianggap sebagai segitiga yang dibentuk oleh garis tengah segitiga yang lebih besar. Tidak ada analogi langsung dalam ruang untuk konstruksi semacam itu. Namun ternyata tetrahedron apa pun dapat dianggap sebagai "inti" dari sebuah paralelepiped, di mana keenam tepi tetrahedron berfungsi sebagai diagonal permukaannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan konstruksi ruang berikut. Melalui setiap sisi tetrahedron kita menggambar sebuah bidang yang sejajar dengan sisi yang berlawanan. Bidang-bidang yang ditarik melalui sisi-sisi berlawanan dari tetrahedron akan sejajar satu sama lain (bidang-bidang tersebut sejajar dengan bidang "bagian tengah" - jajar genjang dengan simpul di tengah-tengah empat sisi tetrahedron lainnya). Ini menghasilkan tiga pasang bidang paralel, perpotongannya membentuk paralelepiped yang diinginkan (dua bidang paralel berpotongan dengan sepertiga sepanjang garis lurus paralel). Simpul dari tetrahedron berfungsi sebagai empat simpul yang tidak berdekatan dari paralelepiped yang dibangun (Gbr. 13). Sebaliknya, dalam paralelepiped mana pun, Anda dapat memilih empat simpul yang tidak berdekatan dan memotong tetrahedron sudut dari simpul tersebut dengan bidang yang melewati ketiga simpul tersebut. Setelah ini, "inti" akan tetap ada - sebuah tetrahedron, yang ujung-ujungnya adalah diagonal dari permukaan paralelepiped.
Jika tetrahedron aslinya berbentuk setengah beraturan, maka setiap sisi jajar genjang yang dibangun akan menjadi jajar genjang dengan diagonal yang sama, yaitu. persegi panjang.
Kebalikannya juga benar: “inti” dari paralelepiped persegi panjang adalah tetrahedron semi beraturan. Tiga belah ketupat - bagian tengah dari tetrahedron tersebut - terletak pada tiga bidang yang saling tegak lurus. Mereka berfungsi sebagai bidang simetri segi delapan yang diperoleh dari tetrahedron tersebut dengan memotong sudutnya.
Untuk tetrahedron beraturan, paralelepiped yang dibatasi di sekitarnya akan menjadi sebuah kubus (Gbr. 14), dan pusat-pusat permukaan kubus ini - titik tengah dari tepi-tepi tetrahedron - akan menjadi simpul-simpul dari segi delapan beraturan, semuanya yang mukanya berbentuk segitiga beraturan. (Tiga bidang simetri oktahedron memotong tetrahedron dalam bentuk persegi.)
Jadi, pada Gambar 14 kita langsung melihat tiga dari lima padatan Platonis (polihedra beraturan) - kubus, tetrahedron, dan oktahedron.
Kesimpulan
Berdasarkan pekerjaan yang dilakukan, kesimpulan berikut dapat ditarik:
Garis tengah memiliki berbagai sifat berguna dalam bentuk geometris.
Salah satu teorema dapat dibuktikan dengan menggunakan garis tengah gambar, dan juga dijelaskan dalam bahasa mekanika - dengan menggunakan konsep pusat massa.
Dengan menggunakan garis tengah, Anda dapat membuat berbagai bangun datar (jajar genjang, belah ketupat, persegi) dan stereometrik (kubus, segi delapan, tetrahedron, dll.).
Sifat-sifat garis tengah membantu menyelesaikan masalah secara rasional di tingkat mana pun.
Daftar sumber dan literatur yang digunakan
Jurnal fisika dan matematika sains populer bulanan dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet dan Akademi Ilmu Sastra Pedagogis. “Quantum No. 6 1989 hal. 46.
S.Aksimova. Matematika yang menghibur. – St.Petersburg, “Trigon”, 1997 hal. 526.
V.V.
Shlykov, L.E. Zezetko. Pelajaran praktis geometri, kelas 10: manual untuk guru - Mn.: TetraSystems, 2004 hal.
68,76, 78.
Aplikasi
Mengapa garis tengah trapesium tidak dapat melewati titik potong diagonalnya?
BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepiped.
Titik E dan F merupakan titik potong diagonal-diagonal permukaannya. AA1B 1 B dan BB 1 C 1 C, dan titik K dan T masing-masing merupakan titik tengah rusuk AD dan DC.
Benarkah garis EF dan CT sejajar? Pada prisma segitiga ABCA 1 B 1 C 1 titik O dan F berturut-turut merupakan titik tengah rusuk AB dan BC. Titik T dan K masing-masing terletak di tengah ruas AB 1 dan BC 1. Bagaimana letak jalur langsung TK dan OF? ABCA 1 B 1 C 1 adalah prisma segitiga beraturan yang semua rusuknya sama besar. Titik O berada di tengah tepi CC 1, dan titik F terletak di tepi BB] sehingga BF:FB X =1:3. Bagaimana letak jalur langsung TK dan OF? Bangunlah sebuah titik K dimana garis lurus l melalui titik F sejajar dengan garis lurus AO memotong bidang ABC. Hitung luas permukaan prisma jika KF = 1 cm. angka Lebih awal. 2. Ini geometris angka . Ini dibentuk oleh yang tertutup
garis
. Ada yang cembung dan non cembung. kamu
angka
ada sisi..., sektor, bola, ruas, sinus, tengah,
rata-rata
garis
Mari kita menggambar diagonal \(AC\) yang membagi segi empat ini menjadi dua segitiga sama besar: \(ABC\) dan \(CDA\) . Segitiga-segitiga ini mempunyai dua sisi yang sama besar dan sudut diantara keduanya (\(AC\) adalah sisi persekutuan, \(AB = CD\) dengan syarat, \(\angle 1 = \angle 2\) adalah sudut-sudut yang bersilangan pada titik potongnya dari garis sejajar \ (AB\) dan \(CD\) garis potong \(AC\) ), jadi \(\angle 3 = \angle 4\) . Tetapi sudut \(3\) dan \(4\) terletak bersilangan pada perpotongan garis \(AD\) dan \(BC\) oleh garis potong \(AC\), maka \(AD\parallel BC \) . Jadi, pada segiempat \(ABCD\) sisi-sisi yang berhadapan sejajar berpasangan, sehingga segiempat \(ABCD\) tersebut merupakan jajar genjang.
Teorema (tanda kedua jajar genjang)
Jika pada suatu segi empat sisi-sisi yang berhadapan sama besar berpasangan, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.
rata-rata
Mari kita menggambar diagonal \(AC\) dari segi empat \(ABCD\) yang membaginya menjadi segitiga \(ABC\) dan \(CDA\) .
Segitiga-segitiga ini mempunyai tiga sisi yang sama besar (\(AC\) – persekutuan, \(AB = CD\) dan \(BC = DA\) dengan syarat), oleh karena itu \(\sudut 1 = \sudut 2\) – terletak melintang di \(AB\) dan \(CD\) dan garis potong \(AC\) . Oleh karena itu \(AB\parallel CD\) . Karena \(AB = CD\) dan \(AB\parallel CD\) , maka menurut kriteria pertama jajar genjang, maka segi empat \(ABCD\) adalah jajar genjang.
Teorema (tanda ketiga jajar genjang)
Jika diagonal-diagonal suatu segi empat berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.
rata-rata
Perhatikan suatu segi empat \(ABCD\) yang diagonal-diagonalnya \(AC\) dan \(BD\) berpotongan di titik \(O\) dan dibagi dua oleh titik tersebut.
Segitiga \(AOB\) dan \(COD\) adalah sama besar berdasarkan tanda pertama persamaan segitiga (\(AO = OC\), \(BO = OD\) dengan syarat, \(\angle AOB = \angle COD\) sebagai sudut vertikal), jadi \(AB = CD\) dan \(\angle 1 = \angle 2\) . Dari persamaan sudut \(1\) dan \(2\) (melintang terletak di \(AB\) dan \(CD\) dan garis potong \(AC\) ) maka \(AB\sejajar CD \) .
Jadi, pada segi empat \(ABCD\) sisi-sisi \(AB\) dan \(CD\) adalah sama panjang dan sejajar, artinya menurut kriteria pertama jajar genjang, segi empat \(ABCD\) tersebut adalah jajar genjang .
Sifat-sifat jajar genjang:
1. Pada jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar dan sudut-sudut yang berhadapan juga sama besar.
2. Diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya.
Sifat-sifat garis bagi jajar genjang:
1. Garis bagi suatu jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya.
2. Garis bagi sudut-sudut yang berdekatan pada jajar genjang berpotongan tegak lurus.
3. Garis bagi sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar dan sejajar.
rata-rata
1) Misalkan \(ABCD\) adalah jajar genjang, \(AE\) adalah garis bagi sudut \(BAD\) .
Sudut \(1\) dan \(2\) sama besar, terletak bersilangan dengan garis sejajar \(AD\) dan \(BC\) serta garis potong \(AE\). Sudut \(1\) dan \(3\) adalah sama besar, karena \(AE\) merupakan garis bagi. Pada akhirnya \(\sudut 3 = \sudut 1 = \sudut 2\), maka segitiga \(ABE\) adalah segitiga sama kaki.
2) Misalkan \(ABCD\) adalah jajar genjang, \(AN\) dan \(BM\) masing-masing adalah garis bagi sudut \(BAD\) dan \(ABC\).
Karena jumlah sudut satu sisi garis sejajar dan garis transversal sama dengan \(180^(\circ)\), maka \(\sudut DAB + \sudut ABC = 180^(\circ)\).
Karena \(AN\) dan \(BM\) merupakan garis bagi, maka \(\sudut BAN + \sudut ABM = 0,5(\sudut DAB + \sudut ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), Di mana \(\sudut AOB = 180^\circ - (\sudut BAN + \sudut ABM) = 90^\circ\).
3. Misalkan \(AN\) dan \(CM\) adalah garis bagi sudut-sudut jajar genjang \(ABCD\) .
Karena sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah sama besar, maka \(\sudut 2 = 0,5\cdot\sudut BURUK = 0,5\cdot\sudut BCD = \sudut 1\). Selain itu, sudut \(1\) dan \(3\) adalah sama besar, terletak bersilangan dengan garis sejajar \(AD\) dan \(BC\) serta garis potong \(CM\), maka \(\angle 2 = \angle 3\) , yang menyiratkan bahwa \(AN\parallel CM\) . Selain itu, \(AM\parallel CN\) , maka \(ANCM\) adalah jajar genjang, maka \(AN = CM\) .
Segi empat yang hanya dua sisinya sejajar disebut trapesium.
Sisi-sisi sejajar trapesium disebut sisi-sisinya alasan, dan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut sisi. Jika sisi-sisinya sama panjang, maka trapesium tersebut adalah sama kaki. Jarak antar alas disebut tinggi trapesium.
Trapesium Garis Tengah
Garis tengah adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi trapesium. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.
Dalil:
Jika garis lurus yang memotong bagian tengah salah satu sisinya sejajar dengan alas trapesium, maka garis tersebut membagi dua sisi trapesium yang lain.
Dalil:
Panjang garis tengah sama dengan rata-rata aritmatika dari panjang alasnya
MN || AB || DCSAYA = MD; BN=NC
Garis tengah MN, AB dan CD - alas, AD dan BC - sisi lateral
MN = (AB + DC)/2
Dalil:
Panjang garis tengah trapesium sama dengan rata-rata aritmatika panjang alasnya.
Tugas utama: Buktikan bahwa garis tengah trapesium membagi dua ruas yang ujung-ujungnya terletak di tengah alas trapesium.
Garis Tengah Segitiga
Ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu segitiga disebut garis tengah segitiga. Letaknya sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan setengah panjang sisi ketiga.
Dalil: Jika suatu garis yang memotong titik tengah salah satu sisi suatu segitiga sejajar dengan sisi segitiga yang lain, maka garis tersebut membagi dua sisi ketiganya.
AM = MC dan BN = NC =>
Menerapkan sifat-sifat garis tengah segitiga dan trapesium
Membagi suatu segmen menjadi beberapa bagian yang sama besar.
Tugas: Bagilah ruas AB menjadi 5 bagian sama besar.
Larutan:
Misalkan p adalah suatu sinar acak yang asal titik A dan tidak terletak pada garis lurus AB. Kita sisihkan 5 ruas yang sama besar secara berurutan pada p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Kita menghubungkan A 5 ke B dan menarik garis-garis tersebut melalui A 4, A 3, A 2 dan A 1 yang sejajar dengan A 5 B. Garis-garis tersebut masing-masing memotong AB di titik B 4, B 3, B 2 dan B 1. Titik-titik tersebut membagi ruas AB menjadi 5 bagian yang sama besar. Memang dari trapesium BB 3 A 3 A 5 kita melihat bahwa BB 4 = B 4 B 3. Dengan cara yang sama, dari trapesium B 4 B 2 A 2 A 4 kita peroleh B 4 B 3 = B 3 B 2
Sedangkan dari trapesium B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Maka dari B 2 AA 2 diperoleh B 2 B 1 = B 1 A. Kesimpulannya kita peroleh:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jelas bahwa untuk membagi segmen AB menjadi beberapa bagian yang sama, kita perlu memproyeksikan jumlah segmen yang sama ke sinar p. Dan kemudian lanjutkan dengan cara yang dijelaskan di atas.
