Himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa dalam matematika

Sejak akhir abad ke-19, contoh objek serupa dengan sifat patologis dari sudut pandang analisis klasik telah muncul dalam matematika. Ini termasuk yang berikut:

• Himpunan Cantor bukanlah himpunan sempurna yang tak terhitung jumlahnya. Dengan memodifikasi prosedurnya, seseorang juga dapat memperoleh himpunan panjang positif yang tidak padat;
• segitiga Sierpinski (“taplak meja”) dan karpet Sierpinski adalah analog dari set Cantor di pesawat;
• Spons Menger adalah analog dari set Cantor dalam ruang tiga dimensi;
• contoh oleh Weierstrass dan van der Waerden tentang fungsi kontinu yang tidak terdiferensiasi;
• Kurva Koch adalah kurva kontinu yang tidak berpotongan sendiri dengan panjang tak terhingga yang tidak mempunyai garis singgung di titik mana pun;
• Kurva Peano - kurva kontinu yang melalui semua titik persegi;
• lintasan partikel Brown juga tidak dapat dibedakan dengan probabilitas 1. Dimensi Hausdorffnya adalah dua [ ] .

Prosedur rekursif untuk mendapatkan kurva fraktal

Fraktal sebagai titik tetap pemetaan kompresi

Properti kesamaan diri dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut. Biarlah pemetaan kontraktif bidang tersebut. Perhatikan pemetaan himpunan semua himpunan bagian kompak (tertutup dan terbatas) berikut pada bidang tersebut: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \titik dua K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Hal ini dapat ditunjukkan dengan pemetaan Ψ (\displaystyle \Psi ) adalah peta kontraksi pada himpunan compacta dengan metrik Hausdorff. Oleh karena itu, berdasarkan teorema Banach, pemetaan ini mempunyai titik tetap yang unik. Titik tetap ini akan menjadi fraktal kita.

Prosedur rekursif untuk mendapatkan kurva fraktal yang dijelaskan di atas adalah kasus khusus dari konstruksi ini. Ini berisi semua tampilan ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- tampilan kesamaan, dan n (\gaya tampilan n)- jumlah tautan generator.

Sangat populer untuk membuat gambar grafis yang indah berdasarkan dinamika kompleks dengan mewarnai titik-titik bidang tergantung pada perilaku sistem dinamis yang sesuai. Misalnya, untuk menyelesaikan set Mandelbrot, Anda dapat mewarnai titik-titiknya tergantung pada kecepatan aspirasinya z n (\gaya tampilan z_(n)) hingga tak terhingga (didefinisikan, katakanlah, sebagai bilangan terkecil n (\gaya tampilan n), di mana | z n | (\gaya tampilan |z_(n)|)).

akan melebihi nilai tetap yang besar

A (\gaya tampilan A)

Biomorf adalah fraktal yang dibangun berdasarkan dinamika kompleks dan mengingatkan kita pada organisme hidup.

• Fraktal stokastik
• Benda-benda alam seringkali mempunyai bentuk fraktal. Fraktal stokastik (acak) dapat digunakan untuk memodelkannya. Contoh fraktal stokastik:
• lintasan gerak Brown pada bidang datar dan ruang angkasa;
• batas lintasan gerak Brown pada suatu bidang. Pada tahun 2001, Lawler, Schramm dan Werner membuktikan hipotesis Mandelbrot bahwa dimensinya adalah 4/3.

Evolusi Schramm-Löwner adalah kurva fraktal invarian konformal yang muncul dalam model mekanika statistik dua dimensi yang kritis, seperti model Ising dan perkolasi.

berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif di mana parameter acak dimasukkan pada setiap langkah. Plasma adalah contoh penggunaan fraktal dalam grafik komputer. Benda alam dengan sifat fraktal Benda alam (

• kuasifraktal
  • ) berbeda dari fraktal abstrak ideal dalam ketidaklengkapan dan ketidakakuratan pengulangan struktur. Kebanyakan struktur mirip fraktal yang ditemukan di alam (batas awan, garis pantai, pepohonan, daun tanaman, karang, ...) adalah kuasi-fraktal, karena pada skala kecil struktur fraktal tersebut menghilang. Struktur alami tidak dapat menjadi fraktal sempurna karena keterbatasan yang disebabkan oleh ukuran sel hidup dan, pada akhirnya, oleh ukuran molekul.
  • Di alam liar:
  • Bintang laut dan bulu babi
  • Bunga dan tanaman (brokoli, kubis)
  • Mahkota pohon dan daun tanaman
• Buah (nanas)
  • Sistem peredaran darah dan bronkus manusia dan hewan
  • Di alam mati:
  • Batasan objek geografis (negara, wilayah, kota)

Pola beku pada kaca jendela

Stalaktit, stalagmit, heliktit.

Dalam fisika, fraktal secara alami muncul ketika memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses adsorpsi difusi kompleks, api, awan, dan sejenisnya. Fraktal digunakan dalam pemodelan bahan berpori, misalnya dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah). Setelah kurva Koch dibuat, diusulkan untuk menggunakannya saat menghitung panjang garis pantai.

Rekayasa radio

Antena fraktal

Menggunakan geometri fraktal dalam desain

Fraktal

Fraktal (lat. fraktus- hancur, pecah, pecah) adalah bangun datar yang mempunyai sifat kemiripan diri, yaitu tersusun dari beberapa bagian yang masing-masing mirip dengan keseluruhan bangun. Dalam matematika, fraktal dipahami sebagai himpunan titik-titik dalam Euclidean ruang yang mempunyai dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik yang berbeda dengan dimensi topologi. Fraktasme adalah ilmu eksakta independen yang mempelajari dan menyusun fraktal.

Dengan kata lain, fraktal adalah objek geometris dengan dimensi pecahan. Misalnya dimensi suatu garis adalah 1, luasnya 2, dan volumenya 3. Untuk suatu fraktal, nilai dimensinya bisa antara 1 dan 2 atau antara 2 dan 3. Misalnya, dimensi fraktal suatu benda kusut bola kertas kira-kira 2,5. Dalam matematika, ada rumus kompleks khusus untuk menghitung dimensi fraktal. Cabang-cabang saluran trakea, daun di pohon, urat di tangan, sungai - ini adalah fraktal. Secara sederhana, fraktal adalah sosok geometris, yang bagian tertentu berulang-ulang, berubah ukurannya - ini adalah prinsip kesamaan diri. Fraktal serupa dengan dirinya sendiri, mereka serupa dengan dirinya sendiri di semua tingkatan (yaitu pada skala apa pun). Ada banyak jenis fraktal. Pada prinsipnya dapat dikatakan bahwa segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal, baik itu awan maupun molekul oksigen.

Kata “chaos” membuat seseorang berpikir tentang sesuatu yang tidak bisa ditebak, namun nyatanya chaos itu cukup teratur dan mematuhi hukum-hukum tertentu. Tujuan mempelajari chaos dan fraktal adalah untuk memprediksi pola yang, pada pandangan pertama, mungkin tampak tidak dapat diprediksi dan sepenuhnya kacau.

Pelopor bidang ilmu ini adalah ahli matematika Perancis-Amerika, Profesor Benoit B. Mandelbrot. Pada pertengahan tahun 1960-an, ia mengembangkan geometri fraktal, yang tujuannya adalah untuk menganalisis bentuk-bentuk yang rusak, berkerut, dan kabur. Himpunan Mandelbrot (ditunjukkan pada gambar) merupakan asosiasi pertama yang muncul pada diri seseorang ketika mendengar kata “fraktal”. Omong-omong, Mandelbrot menetapkan bahwa dimensi fraktal garis pantai Inggris adalah 1,25.

Fraktal semakin banyak digunakan dalam sains. Mereka menggambarkan dunia nyata lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Gerak Brown, misalnya, adalah pergerakan partikel debu yang tersuspensi dalam air secara acak dan kacau. Jenis gerakan ini mungkin merupakan aspek geometri fraktal yang paling banyak digunakan secara praktis. Gerak Brown acak memiliki respon frekuensi yang dapat digunakan untuk memprediksi fenomena yang melibatkan data dan statistik dalam jumlah besar. Misalnya, Mandelbrot meramalkan perubahan harga wol menggunakan gerak Brown.

Kata "fraktal" tidak hanya dapat digunakan sebagai istilah matematika. Dalam pers dan literatur sains populer, fraktal dapat disebut sebagai sosok yang memiliki salah satu sifat berikut:

Ia memiliki struktur yang tidak sepele di semua skala. Hal ini berbeda dengan bangun datar biasa (seperti lingkaran, elips, grafik fungsi halus): jika kita perhatikan sebuah pecahan kecil dari bangun biasa dalam skala yang sangat besar, maka akan terlihat seperti pecahan garis lurus. Untuk fraktal, peningkatan skala tidak menyebabkan penyederhanaan struktur; pada semua skala kita akan melihat gambaran yang sama rumitnya.

Apakah mirip dengan diri sendiri atau kira-kira mirip dengan diri sendiri.

Ia memiliki dimensi metrik pecahan atau dimensi metrik yang melebihi dimensi topologi.

Penggunaan fraktal yang paling berguna dalam teknologi komputer adalah kompresi data fraktal. Pada saat yang sama, gambar dikompresi jauh lebih baik dibandingkan dengan metode konvensional - hingga 600:1. Keuntungan lain dari kompresi fraktal adalah ketika diperbesar, tidak ada efek pikselasi, yang memperburuk gambar secara drastis. Selain itu, gambar yang dikompresi secara fraktal sering kali terlihat lebih baik setelah diperbesar dibandingkan sebelumnya. Ilmuwan komputer juga mengetahui bahwa fraktal dengan kompleksitas dan keindahan tak terbatas dapat dihasilkan dengan rumus sederhana. Industri film banyak menggunakan teknologi grafis fraktal untuk menciptakan elemen lanskap yang realistis (awan, batu, dan bayangan).

Studi tentang turbulensi arus beradaptasi dengan sangat baik terhadap fraktal. Hal ini memungkinkan kita untuk lebih memahami dinamika arus yang kompleks. Dengan menggunakan fraktal, Anda juga dapat menyimulasikan api. Bahan berpori terwakili dengan baik dalam bentuk fraktal karena memiliki geometri yang sangat kompleks. Untuk mengirimkan data jarak jauh, antena dengan bentuk fraktal digunakan, yang sangat mengurangi ukuran dan beratnya. Fraktal digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan. Permukaan yang tidak rata ditandai dengan kombinasi dua fraktal yang berbeda.

Banyak benda di alam yang mempunyai sifat fraktal, misalnya pantai, awan, tajuk pohon, kepingan salju, sistem peredaran darah, dan sistem alveolar manusia atau hewan.

Fraktal, terutama di bidang pesawat, populer karena kombinasi keindahannya dengan kemudahan konstruksinya menggunakan komputer.

Contoh pertama himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa muncul pada abad ke-19 (misalnya, fungsi Bolzano, fungsi Weierstrass, himpunan Cantor). Istilah "fraktal" diciptakan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 dan mendapatkan popularitas luas dengan diterbitkannya bukunya "The Fractal Geometry of Nature" pada tahun 1977.

Gambar di sebelah kiri menunjukkan contoh sederhana fraktal Darer Pentagon, yang tampak seperti sekumpulan segi lima yang dihimpit. Faktanya, ia dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, yang perbandingan sisinya yang lebih besar dan yang lebih kecil sama persis dengan apa yang disebut rasio emas (1,618033989 atau 1/(2cos72°)) sebagai sebuah generator. Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah tiap segi lima, sehingga menghasilkan bentuk seperti 5 segi lima kecil yang direkatkan pada satu segi lima besar.

Teori chaos mengatakan bahwa sistem nonlinier yang kompleks tidak dapat diprediksi secara turun-temurun, tetapi pada saat yang sama menyatakan bahwa cara untuk mengekspresikan sistem yang tidak dapat diprediksi tersebut ternyata benar bukan dalam persamaan eksak, tetapi dalam representasi perilaku sistem - dalam grafik penarik aneh. , yang terlihat seperti fraktal. Dengan demikian, teori chaos, yang dianggap oleh banyak orang sebagai ketidakpastian, ternyata merupakan ilmu yang dapat diprediksi bahkan dalam sistem yang paling tidak stabil sekalipun. Kajian terhadap sistem dinamik menunjukkan bahwa persamaan sederhana dapat menimbulkan perilaku chaos dimana sistem tidak pernah kembali ke keadaan stabil dan tidak muncul pola. Seringkali sistem seperti itu berperilaku normal hingga nilai tertentu dari parameter kunci, kemudian mengalami transisi di mana terdapat dua kemungkinan untuk pengembangan lebih lanjut, lalu empat, dan akhirnya serangkaian kemungkinan yang kacau.

Skema proses yang terjadi pada objek teknis memiliki struktur fraktal yang jelas. Struktur sistem teknis minimal (TS) menyiratkan terjadinya dua jenis proses di dalam TS - proses utama dan proses pendukung, dan pembagian ini bersifat kondisional dan relatif. Setiap proses dapat menjadi proses utama dalam kaitannya dengan proses pendukungnya, dan setiap proses pendukung dapat dianggap sebagai proses utama dalam kaitannya dengan proses pendukung “nya”. Lingkaran pada diagram menunjukkan efek fisik yang memastikan terjadinya proses-proses yang tidak memerlukan pembuatan kendaraan "Anda sendiri" secara khusus. Proses-proses tersebut merupakan hasil interaksi antar zat, medan, zat dan medan. Tepatnya, efek fisik adalah kendaraan yang prinsip pengoperasiannya tidak dapat kita pengaruhi, dan kita tidak ingin atau tidak mempunyai kesempatan untuk mengganggu desainnya.

Alur proses utama yang ditunjukkan pada diagram dipastikan dengan adanya tiga proses pendukung yang merupakan proses utama bagi TS yang menghasilkannya. Agar adil, kami mencatat bahwa untuk memfungsikan TS minimal, tiga proses jelas tidak cukup, yaitu. Skema ini sangat-sangat berlebihan.

Semuanya tidak sesederhana yang ditunjukkan pada diagram. Suatu proses yang berguna (dibutuhkan oleh seseorang) tidak dapat dilakukan dengan efisiensi seratus persen. Energi yang hilang dihabiskan untuk menciptakan proses berbahaya - pemanasan, getaran, dll. Akibatnya, proses yang merugikan muncul bersamaan dengan proses yang menguntungkan. Tidak selalu mungkin untuk mengganti proses yang “buruk” dengan proses yang “baik”, sehingga perlu untuk mengatur proses baru yang bertujuan untuk mengkompensasi konsekuensi yang merugikan sistem. Contoh tipikalnya adalah kebutuhan untuk memerangi gesekan, yang memaksa seseorang untuk mengatur skema pelumasan yang cerdik, menggunakan bahan anti-gesekan yang mahal, atau menghabiskan waktu untuk melumasi komponen dan suku cadang atau penggantian berkala.

Karena pengaruh lingkungan yang mudah berubah, proses yang bermanfaat mungkin perlu dikelola. Pengendalian dapat dilakukan baik dengan menggunakan alat otomatis maupun langsung oleh seseorang. Diagram proses sebenarnya adalah sekumpulan perintah khusus, mis. algoritma. Esensi (deskripsi) dari setiap perintah adalah totalitas dari satu proses yang berguna, proses berbahaya yang menyertainya, dan serangkaian proses kontrol yang diperlukan. Dalam algoritma seperti itu, kumpulan proses pendukung adalah subrutin reguler - dan di sini kita juga menemukan fraktal. Dibuat seperempat abad yang lalu, metode R. Koller memungkinkan terciptanya sistem dengan kumpulan fungsi (proses) yang cukup terbatas.

Himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa dalam matematika

Sejak akhir abad ke-19, contoh objek serupa dengan sifat patologis dari sudut pandang analisis klasik telah muncul dalam matematika. Ini termasuk yang berikut:

Himpunan Cantor bukanlah himpunan sempurna yang tak terhitung banyaknya. Dengan memodifikasi prosedurnya, seseorang juga dapat memperoleh himpunan panjang positif yang tidak padat.

segitiga Sierpinski (“taplak meja”) dan karpet Sierpinski adalah analog dari set Cantor di pesawat.

Spons Menger adalah analog dari set Cantor dalam ruang tiga dimensi;

contoh Weierstrass dan Van der Waerden dari fungsi kontinu yang tidak terdiferensiasi.

Kurva Koch adalah kurva kontinu yang tidak berpotongan sendiri dengan panjang tak terhingga yang tidak mempunyai garis singgung di titik mana pun;

Kurva Peano adalah kurva kontinu yang melalui semua titik pada persegi.

lintasan partikel Brown juga tidak dapat dibedakan dengan probabilitas 1.

Dimensi Hausdorffnya adalah dua

Konstruksi kurva Koch

Ada prosedur rekursif sederhana untuk mendapatkan kurva fraktal pada bidang. Mari kita definisikan garis putus-putus sembarang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya kita ganti setiap segmen yang ada di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya garis putus-putus mirip generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada batasnya kita mendapatkan kurva fraktal. Gambar di sebelah kanan menunjukkan empat langkah pertama dari prosedur kurva Koch.

Contoh kurva tersebut adalah:

kurva naga,

Kurva Koch (kepingan salju Koch),

Kurva Lewy,

Kurva Minkowski,

kurva Hilbert,

Patah (kurva) naga (Fraktal Harter-Haithway),

Kurva Peano.

Dengan menggunakan prosedur serupa, diperoleh pohon Pythagoras.

Fraktal sebagai titik tetap pemetaan kompresi

Properti kesamaan diri dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut. Biarlah pemetaan kontraktif bidang tersebut. Perhatikan pemetaan himpunan semua himpunan bagian kompak (tertutup dan terbatas) berikut pada bidang tersebut:

Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraksi pada himpunan compacta dengan metrik Hausdorff. Oleh karena itu, berdasarkan teorema Banach, pemetaan ini mempunyai titik tetap yang unik. Titik tetap ini akan menjadi fraktal kita.

Prosedur rekursif untuk mendapatkan kurva fraktal yang dijelaskan di atas adalah kasus khusus dari konstruksi ini. Di dalamnya, semua pemetaan adalah pemetaan kesamaan, dan - jumlah link generator.

Untuk segitiga Sierpinski dan petanya, , adalah homotheties dengan pusat di titik sudut segitiga beraturan dan koefisien 1/2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segitiga Sierpinski berubah menjadi dirinya sendiri ketika dipetakan.

Dalam kasus dimana pemetaannya merupakan transformasi kemiripan dengan koefisien, dimensi fraktal (dalam beberapa kondisi teknis tambahan) dapat dihitung sebagai solusi persamaan. Jadi, untuk segitiga Sierpinski kita peroleh .

Dengan teorema Banach yang sama, dimulai dengan himpunan kompak apa pun dan menerapkan iterasi peta padanya, kita memperoleh urutan himpunan kompak yang konvergen (dalam pengertian metrik Hausdorff) ke fraktal kita.

Fraktal dalam dinamika kompleks

Julia siap

Set Julia lainnya

Fraktal muncul secara alami ketika mempelajari sistem dinamika nonlinier. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamik ditentukan oleh iterasi fungsi polinomial atau holomorfik dari variabel kompleks pada bidang. Studi pertama di bidang ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama Fatou dan Julia.

Membiarkan F(z) - polinomial, z 0 adalah bilangan kompleks. Perhatikan urutan berikut: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Kami tertarik pada perilaku barisan ini sebagaimana kecenderungannya N hingga tak terbatas. Urutan ini dapat:

berjuang menuju ketidakterbatasan,

berjuang untuk batas akhir

menunjukkan perilaku siklik dalam batasnya, misalnya: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

berperilaku semrawut, yaitu tidak menunjukkan salah satu dari ketiga jenis perilaku tersebut.

Kumpulan nilai z 0, yang barisannya menunjukkan satu tipe perilaku tertentu, serta beberapa titik bifurkasi di antara tipe yang berbeda, sering kali memiliki sifat fraktal.

Jadi, himpunan Julia adalah himpunan titik bifurkasi untuk polinomial F(z)=z 2 +C(atau fungsi serupa lainnya), yaitu nilai-nilai tersebut z 0 yang perilaku barisannya ( z N) dapat berubah secara dramatis dengan perubahan kecil yang sewenang-wenang z 0 .

Pilihan lain untuk mendapatkan himpunan fraktal adalah dengan memasukkan parameter ke dalam polinomial F(z) dan pertimbangan himpunan nilai parameter yang urutannya ( z N) menunjukkan perilaku tertentu pada waktu yang tetap z 0 . Jadi, himpunan Mandelbrot adalah himpunan semua yang ( z N) Untuk F(z)=z 2 +C Dan z 0 tidak sampai tak terhingga.

Contoh lain yang terkenal dari jenis ini adalah kolam Newton.

Sangat populer untuk membuat gambar grafis yang indah berdasarkan dinamika kompleks dengan mewarnai titik-titik bidang tergantung pada perilaku sistem dinamis yang sesuai. Misalnya, untuk menyelesaikan himpunan Mandelbrot, Anda dapat mewarnai titik-titiknya tergantung pada kecepatan aspirasinya ( z N) hingga tak terhingga (didefinisikan, katakanlah, sebagai bilangan terkecil N, di mana | z N| akan melebihi nilai tetap yang besar A.

Biomorf adalah fraktal yang dibangun berdasarkan dinamika kompleks dan mengingatkan kita pada organisme hidup.

Fraktal stokastik

Fraktal acak berdasarkan himpunan Julia

Benda-benda alam seringkali mempunyai bentuk fraktal. Fraktal stokastik (acak) dapat digunakan untuk memodelkannya. Contoh fraktal stokastik:

lintasan gerak Brown pada bidang datar dan ruang angkasa;

batas lintasan gerak Brown pada suatu bidang. Pada tahun 2001, Lawler, Schramm dan Werner membuktikan hipotesis Mandelbrot bahwa dimensinya adalah 4/3.

Evolusi Schramm-Löwner adalah kurva fraktal invarian konformal yang muncul dalam model mekanika statistik dua dimensi yang kritis, misalnya, dalam model Ising dan perkolasi.

berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif di mana parameter acak dimasukkan pada setiap langkah. Plasma adalah contoh penggunaan fraktal dalam grafik komputer.

Di alam

Tampak depan trakea dan bronkus

Pohon bronkial

Jaringan pembuluh darah

Aplikasi

Ilmu pengetahuan Alam

Dalam fisika, fraktal secara alami muncul saat memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses adsorpsi difusi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan material berpori, misalnya dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah).

Rekayasa radio

Antena fraktal

Penggunaan geometri fraktal dalam desain perangkat antena pertama kali digunakan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang saat itu tinggal di pusat kota Boston, di mana pemasangan antena eksternal pada bangunan dilarang. Nathan memotong bentuk kurva Koch dari aluminium foil dan menempelkannya pada selembar kertas, lalu menempelkannya pada receiver. Cohen mendirikan perusahaannya sendiri dan memulai produksi serialnya.

Ilmu Komputer

Kompresi gambar

Artikel utama: Algoritma kompresi fraktal

Pohon fraktal

Ada algoritma kompresi gambar menggunakan fraktal. Mereka didasarkan pada gagasan bahwa alih-alih gambar itu sendiri, seseorang dapat menyimpan peta kompresi di mana gambar ini (atau gambar terdekat) adalah titik tetapnya. Salah satu varian dari algoritma ini digunakan [ sumber tidak ditentukan 895 hari] oleh Microsoft ketika menerbitkan ensiklopedianya, tetapi algoritma ini tidak digunakan secara luas.

Grafik komputer

Pohon fraktal lainnya

Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer untuk membuat gambar objek alam, seperti pohon, semak, pemandangan gunung, permukaan laut, dan sebagainya. Ada banyak program yang digunakan untuk menghasilkan gambar fraktal, lihat Fractal Generator (program).

Jaringan terdesentralisasi

Sistem penetapan alamat IP di jaringan Netsukuku menggunakan prinsip kompresi informasi fraktal untuk menyimpan informasi tentang node jaringan secara kompak. Setiap node di jaringan Netsukuku hanya menyimpan 4 KB informasi tentang status node tetangga, sementara setiap node baru terhubung ke jaringan umum tanpa memerlukan regulasi pusat mengenai distribusi alamat IP, yang, misalnya, merupakan tipikal untuk jaringan Netsukuku. Internet. Dengan demikian, prinsip kompresi informasi fraktal menjamin desentralisasi sepenuhnya, dan karenanya, pengoperasian seluruh jaringan yang paling stabil.

Fraktal telah dikenal selama hampir satu abad, dipelajari dengan baik dan memiliki banyak penerapan dalam kehidupan. Fenomena ini didasarkan pada ide yang sangat sederhana: keindahan dan variasi bentuk yang tak terbatas dapat diperoleh dari desain yang relatif sederhana hanya dengan menggunakan dua operasi - penyalinan dan penskalaan.

Konsep ini tidak memiliki definisi yang tegas. Oleh karena itu, kata “fraktal” bukanlah istilah matematika. Ini biasanya merupakan nama yang diberikan kepada bangun geometri yang memenuhi satu atau lebih sifat berikut:

• memiliki struktur kompleks pada perbesaran berapa pun;
• adalah (kira-kira) mirip dengan diri sendiri;
• memiliki dimensi pecahan Hausdorff (fraktal), yang lebih besar dari dimensi topologi;
• dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang fraktal lebih bersifat episodik daripada sistematis, karena sebelumnya para ahli matematika terutama mempelajari objek-objek “baik” yang dapat dipelajari dengan menggunakan metode dan teori umum. Pada tahun 1872, ahli matematika Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat terdiferensiasi. Namun konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, Helge von Koch dari Swedia menemukan kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan cukup mudah untuk digambar. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu varian dari kurva ini disebut “kepingan salju Koch”.

Gagasan kemiripan diri diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya “Kurva dan permukaan bidang dan spasial yang terdiri dari bagian-bagian yang serupa dengan keseluruhan” diterbitkan, yang menggambarkan fraktal lain - kurva Lévy C. Semua fraktal yang tercantum di atas secara kondisional dapat diklasifikasikan sebagai satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lainnya adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Penelitian pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Perancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, Julia menerbitkan karya setebal hampir dua ratus halaman tentang iterasi fungsi rasional yang kompleks, yang menggambarkan himpunan Julia - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan oleh Akademi Perancis, namun tidak memuat satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk mengapresiasi keindahan benda terbuka. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan ahli matematika pada waktu itu, karya ini dengan cepat dilupakan.

Perhatian kembali terhadap karya Julia dan Fatou baru muncul setengah abad kemudian, dengan munculnya komputer: merekalah yang memperlihatkan kekayaan dan keindahan dunia fraktal. Lagi pula, Fatou tidak akan pernah bisa melihat gambar yang sekarang kita kenal sebagai gambar himpunan Mandelbrot, karena jumlah perhitungan yang diperlukan tidak dapat dilakukan dengan tangan. Orang pertama yang menggunakan komputer untuk hal ini adalah Benoit Mandelbrot.

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot “Fractal Geometry of Nature” diterbitkan, di mana penulis mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada saat itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot memberikan penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus berat dan konstruksi matematika, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang diperoleh dengan menggunakan komputer dan cerita sejarah, yang dengannya penulis dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah monografi, buku tersebut menjadi buku terlaris, dan fraktal dikenal masyarakat umum. Keberhasilan mereka di kalangan non-matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan rumus yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh seorang siswa sekolah menengah, diperoleh gambaran dengan kompleksitas dan keindahan yang luar biasa. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh arah seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang membahas topik ini.

Contoh fraktal

“Fraktal” mulai digunakan oleh para ahli matematika kurang dari setengah abad yang lalu, dan segera menjadi, bersama dengan sinergi dan penarik, salah satu dari “tiga pilar” dari Teori Kekacauan deterministik muda, dan saat ini sudah diakui sebagai salah satu dari elemen fundamental dari struktur alam semesta.

DENGAN kata Latin fractus diterjemahkan sebagai "rusak", bahasa Latin modern memberinya arti "sobek". Fraktal adalah sesuatu yang identik dengan keseluruhan/lebih besar dari bagiannya, dan, pada saat yang sama, menyalin setiap bagian penyusunnya. Jadi, “fraktalitas” adalah kemiripan tak terhingga antara “segala sesuatu” dengan komponen-komponennya, yaitu kemiripan diri pada tingkat mana pun. Setiap tingkat cabang fraktal disebut “iterasi”; semakin berkembang sistem yang dijelaskan atau digambarkan secara grafis, semakin banyak iterasi fraktal yang dilihat oleh pengamat. Dalam hal ini, titik terjadinya pembelahan (misalnya batang menjadi cabang, sungai menjadi dua aliran, dan lain-lain) disebut titik bifurkasi.

Istilah fraktus dipilih oleh ahli matematika Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk mendeskripsikan penemuan ilmiah dan menjadi populer beberapa tahun kemudian setelah ia mengembangkan topik tersebut untuk khalayak yang lebih luas dalam bukunya The Fractal Geometry of Nature.

Saat ini, fraktal dikenal luas sebagai pola fantastis yang disebut “seni fraktal” yang diciptakan oleh program komputer. Tetapi dengan bantuan komputer Anda tidak hanya dapat menghasilkan gambar abstrak yang indah, tetapi juga pemandangan alam yang sangat dapat dipercaya - gunung, sungai, hutan. Faktanya, di sinilah titik transisi antara sains dan kehidupan nyata, atau sebaliknya, jika kita berasumsi bahwa secara umum dapat dipisahkan.

Faktanya adalah itu prinsip fraktal cocok tidak hanya untuk menggambarkan penemuan-penemuan dalam ilmu eksakta. Ini, pertama-tama, adalah prinsip struktur dan perkembangan alam itu sendiri. Segala sesuatu di sekitar kita adalah fraktal! Kelompok contoh yang paling jelas adalah sungai dengan anak-anak sungainya, sistem vena dengan kapiler, petir, pola embun beku, pepohonan... Baru-baru ini, para ilmuwan, melakukan pengujian teori fraktal, secara eksperimental telah memverifikasi bahwa berdasarkan diagram satu pohon seseorang dapat menarik kesimpulan tentang kawasan hutan tempat pohon-pohon tersebut tumbuh. Contoh lain dari kelompok fraktal: atom - molekul - sistem planet - tata surya - galaksi - alam semesta... Menit - jam - hari - minggu - bulan - tahun - abad... Bahkan komunitas orang mengatur dirinya sendiri menurut prinsip-prinsip fraktalitas: I - keluarga - marga - kebangsaan - kebangsaan - ras... Individu - kelompok - partai - negara. Karyawan - departemen - departemen - perusahaan - perhatian... Bahkan panteon ketuhanan dari berbagai agama dibangun di atas prinsip yang sama, termasuk agama Kristen: Tuhan Bapa - Trinitas - orang suci - gereja - orang percaya, belum lagi organisasi panteon ketuhanan agama-agama kafir.

Cerita menyatakan bahwa kumpulan kemiripan diri pertama kali diketahui pada abad ke-19 dalam karya ilmuwan - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, tetapi kenyataannya adalah bahwa para penyembah berhala Slavia telah meninggalkan kita bukti bahwa orang memahami keberadaan individu sebagai detail kecil di alam semesta yang tak terhingga. Ini adalah objek budaya rakyat yang disebut “laba-laba”, dipelajari oleh sejarawan seni Belarus dan Ukraina. Ini adalah semacam prototipe patung dalam gaya "bergerak" modern (bagian-bagiannya bergerak konstan satu sama lain). “Laba-laba” sering kali terbuat dari jerami dan terdiri dari elemen-elemen kecil, sedang, dan besar dengan bentuk yang sama, digantung satu sama lain sehingga setiap bagian yang lebih kecil mengulangi bagian yang lebih besar dan keseluruhan struktur secara keseluruhan. Desain ini digantung di sudut utama rumah, seolah-olah menandakan rumah seseorang sebagai elemen dari seluruh dunia.

Teori fraktalitas berlaku di mana-mana saat ini, termasuk dalam filsafat, yang mengatakan bahwa selama setiap kehidupan, dan semua kehidupan secara keseluruhan adalah fraktal, terdapat “titik percabangan” ketika perkembangan dapat mengambil jalur berbeda ke tingkat yang lebih tinggi dan momen ketika a seseorang “menemukan dirinya sebelum suatu pilihan”, adalah “titik bufurkasi” yang nyata dalam fraktal kehidupannya.

Teori Kekacauan deterministik mengatakan bahwa perkembangan setiap fraktal tidak ada habisnya. Para ilmuwan percaya bahwa pada saat tertentu ada batas di mana pertumbuhan iterasi berhenti dan fraktal mulai "menyempit", secara bertahap mencapai satuan ukuran aslinya, dan kemudian prosesnya kembali berputar - mirip dengan inhalasi dan pernafasan, perubahan alam pada pagi dan malam, musim dingin dan musim panas.

Matematika,
jika Anda melihatnya dengan benar,
tidak hanya mencerminkan kebenaran,
tapi juga keindahan yang tiada tara.
Bertrand Russel.

Anda tentu pernah mendengar tentang fraktal. Anda pasti pernah melihat gambar-gambar menakjubkan dari Bryce3d yang lebih nyata daripada kenyataan itu sendiri. Gunung, awan, kulit pohon - semua ini melampaui geometri Euclidean biasa. Kita tidak bisa menggambarkan suatu batu atau batas suatu pulau dengan menggunakan garis lurus, lingkaran, dan segitiga. Dan di sinilah fraktal membantu kita. Apa sajakah orang asing yang familiar ini? Kapan mereka muncul?

Sejarah penampilan.

Ide pertama geometri fraktal muncul pada abad ke-19. Cantor, dengan menggunakan prosedur rekursif (berulang) sederhana, mengubah garis menjadi kumpulan titik-titik yang tidak terhubung (yang disebut Cantor Dust). Dia akan mengambil garis dan menghapus sepertiga bagian tengah dan kemudian mengulangi hal yang sama dengan bagian yang tersisa. Peano menggambar garis khusus (Gambar No. 1). Untuk menggambarnya, Peano menggunakan algoritma berikut.

Pada langkah pertama, ia mengambil sebuah garis lurus dan menggantinya dengan 9 ruas yang 3 kali lebih pendek dari panjang garis aslinya (Bagian 1 dan 2 Gambar 1). Kemudian dia melakukan hal yang sama pada setiap segmen garis yang dihasilkan. Dan seterusnya tanpa batas. Keunikannya adalah memenuhi seluruh bidang. Terbukti bahwa untuk setiap titik pada bidang terdapat titik yang termasuk dalam garis Peano. Kurva Peano dan debu Cantor melampaui objek geometris biasa. Mereka tidak mempunyai dimensi yang jelas. Debu Cantor sepertinya dibangun berdasarkan garis lurus satu dimensi, tetapi terdiri dari titik-titik (dimensi 0). Dan kurva Peano dibangun berdasarkan garis satu dimensi, dan hasilnya adalah sebuah bidang. Di banyak bidang ilmu pengetahuan lainnya, muncul masalah yang penyelesaiannya membawa hasil yang aneh seperti yang dijelaskan di atas (gerakan Brown, harga saham).

Bapak Fraktal

Hingga abad ke-20, data tentang benda-benda aneh tersebut terakumulasi, tanpa ada upaya untuk mensistematisasikannya. Sampai Benoit Mandelbrot, bapak geometri fraktal modern dan kata fraktal, mempelajarinya. Saat bekerja sebagai analis matematika di IBM, ia mempelajari kebisingan di sirkuit elektronik yang tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan statistik. Secara bertahap membandingkan fakta, ia sampai pada penemuan arah baru dalam matematika - geometri fraktal.

Apa itu fraktal? Mandelbrot sendiri memperoleh kata fraktal dari kata latin fractus yang artinya pecah (terbagi menjadi beberapa bagian). Dan salah satu pengertian fraktal adalah suatu bangun datar yang terdiri dari bagian-bagian dan dapat dibagi menjadi beberapa bagian, yang masing-masing mewakili salinan yang lebih kecil dari keseluruhan (setidaknya kira-kira).

Untuk membayangkan fraktal dengan lebih jelas, mari kita perhatikan contoh yang diberikan dalam buku B. Mandelbrot “The Fractal Geometry of Nature”, yang telah menjadi buku klasik - “Berapa panjang pantai Inggris?” Jawaban atas pertanyaan ini tidak sesederhana kelihatannya. Itu semua tergantung dari panjang alat yang akan kita gunakan. Dengan mengukur pantai menggunakan penggaris kilometer, kita akan mendapatkan panjang tertentu. Namun, kita akan kehilangan banyak teluk kecil dan semenanjung yang ukurannya jauh lebih kecil dari garis kita. Dengan mengurangi ukuran penggaris menjadi, katakanlah, 1 meter, kami akan memperhitungkan detail lanskap ini, dan karenanya, panjang pantai akan menjadi lebih besar. Mari kita melangkah lebih jauh dan mengukur panjang pantai menggunakan penggaris milimeter, kita akan memperhitungkan detail yang lebih besar dari satu milimeter, panjangnya akan lebih besar lagi. Akibatnya, jawaban atas pertanyaan yang tampaknya sederhana ini dapat membingungkan siapa pun - panjang pantai Inggris tidak ada habisnya.

Sedikit tentang dimensi.

Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita selalu menjumpai dimensi. Kami memperkirakan panjang jalan (250 m), mencari luas apartemen (78 m2) dan mencari volume botol bir pada stiker (0,33 dm3). Konsep ini cukup intuitif dan sepertinya tidak memerlukan klarifikasi. Garis tersebut berdimensi 1. Artinya dengan memilih titik acuan, kita dapat menentukan titik mana pun pada garis tersebut dengan menggunakan 1 bilangan - positif atau negatif. Selain itu, ini berlaku untuk semua garis - lingkaran, persegi, parabola, dll.

Dimensi 2 berarti kita dapat secara unik mendefinisikan suatu titik dengan dua angka. Jangan mengira dua dimensi berarti datar. Permukaan bola juga bersifat dua dimensi (dapat ditentukan menggunakan dua nilai - sudut seperti lebar dan bujur).

Jika dilihat dari sudut pandang matematika, dimensi ditentukan sebagai berikut: untuk objek satu dimensi, menggandakan ukuran liniernya akan menyebabkan peningkatan ukuran (dalam hal ini, panjang) sebanyak dua kali (2^ 1).

Untuk objek dua dimensi, penggandaan dimensi linier menghasilkan peningkatan ukuran (misalnya luas persegi panjang) sebanyak empat kali (2^2).

Untuk objek 3 dimensi, menggandakan dimensi linier menyebabkan peningkatan volume delapan kali lipat (2^3) dan seterusnya.

Jadi, dimensi D dapat dihitung berdasarkan ketergantungan pertambahan “ukuran” benda S pada pertambahan dimensi linier L. D=log(S)/log(L). Untuk baris D=log(2)/log(2)=1. Untuk bidang D=log(4)/log(2)=2. Untuk volume D=log(8)/log(2)=3. Ini mungkin sedikit membingungkan, tetapi secara keseluruhan mudah dan dapat dimengerti.

Kenapa aku menceritakan semua ini? Dan untuk memahami cara memisahkan fraktal dari, katakanlah, sosis. Mari kita coba menghitung dimensi kurva Peano. Jadi, kita mempunyai garis asli, terdiri dari tiga ruas dengan panjang X, diganti dengan 9 ruas yang tiga kali lebih pendek. Jadi, ketika ruas minimum bertambah 3 kali lipat, panjang seluruh garis bertambah 9 kali lipat dan D=log(9)/log(3)=2 adalah benda dua dimensi!!!

Jadi, ketika dimensi suatu bangun yang diperoleh dari beberapa objek sederhana (segmen) lebih besar dari dimensi objek tersebut, kita berhadapan dengan fraktal.

Fraktal dibagi menjadi beberapa kelompok. Kelompok terbesar adalah:

Fraktal geometris.

Di sinilah sejarah fraktal dimulai. Fraktal jenis ini diperoleh melalui konstruksi geometris sederhana. Biasanya, ketika membangun fraktal ini, mereka melakukan ini: mereka mengambil "benih" - sebuah aksioma - sekumpulan segmen yang menjadi dasar pembuatan fraktal. Selanjutnya, seperangkat aturan diterapkan pada “benih” ini, yang mengubahnya menjadi semacam bentuk geometris. Selanjutnya, seperangkat aturan yang sama diterapkan lagi pada setiap bagian dari gambar ini. Dengan setiap langkah, angka tersebut akan menjadi semakin kompleks, dan jika kita melakukan (setidaknya dalam pikiran kita) transformasi dalam jumlah tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal geometris.

Kurva Peano yang dibahas di atas adalah fraktal geometris. Gambar di bawah menunjukkan contoh fraktal geometris lainnya (dari kiri ke kanan Kepingan Salju Koch, Liszt, Segitiga Sierpinski).

Lembaran

Segitiga Sierpinski

Dari fraktal geometris ini, yang pertama, kepingan salju Koch, sangat menarik dan cukup terkenal. Itu dibangun berdasarkan segitiga sama sisi. Setiap baris yang ___ diganti dengan 4 baris yang masing-masing 1/3 panjang _/\_ aslinya. Jadi, dengan setiap iterasi, panjang kurva bertambah sepertiga. Dan jika kita melakukan iterasi dalam jumlah tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal - kepingan salju Koch dengan panjang tak terbatas. Ternyata kurva tak hingga kita mencakup area terbatas. Cobalah melakukan hal yang sama dengan menggunakan metode dan gambar dari geometri Euclidean.

Dimensi kepingan salju Koch (bila kepingan salju bertambah 3 kali lipat, panjangnya bertambah 4 kali lipat) D=log(4)/log(3)=1,2619...

Apa yang disebut Sistem-L sangat cocok untuk membangun fraktal geometris. Inti dari sistem ini adalah adanya sekumpulan simbol sistem tertentu, yang masing-masing menunjukkan tindakan tertentu dan seperangkat aturan konversi simbol. Misalnya deskripsi kepingan salju Koch menggunakan L-Systems di program Fractint

Dalam uraian ini, makna geometris dari simbol-simbol tersebut adalah sebagai berikut:

F artinya menarik garis + memutar searah jarum jam – memutar berlawanan arah jarum jam

Sifat fraktal yang kedua adalah kesamaan diri. Ambil contoh segitiga Sierpinski. Untuk membangunnya, kita “memotong” sebuah segitiga dari pusat segitiga sama sisi. Mari ulangi prosedur yang sama untuk ketiga segitiga yang terbentuk (kecuali segitiga tengah) dan seterusnya ad infinitum. Jika sekarang kita mengambil salah satu segitiga yang dihasilkan dan memperbesarnya, kita akan mendapatkan salinan keseluruhannya. Dalam hal ini kita berhadapan dengan kesamaan diri yang utuh.

Izinkan saya segera membuat reservasi bahwa sebagian besar gambar fraktal dalam artikel ini diperoleh dengan menggunakan program Fractint. Jika Anda tertarik dengan fraktal, maka ini adalah program yang wajib Anda miliki. Dengan bantuannya, Anda dapat membuat ratusan fraktal berbeda, mendapatkan informasi lengkap tentangnya, dan bahkan mendengarkan bunyi fraktal;).

Mengatakan bahwa program ini baik berarti tidak mengatakan apa-apa. Hebat, kecuali satu hal - versi terbaru 20.0 hanya tersedia dalam versi DOS :(. Anda dapat menemukan program ini (versi terbaru 20.0) di http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

Tinggalkan komentar

Komentar

Sebagai permulaan, contoh menarik dari Microsoft Excel, sel A2 dan B2 memiliki nilai yang sama antara 0 dan 1. dengan nilai 0,5 tidak ada pengaruhnya.

Halo semuanya yang berhasil membuat program menggunakan gambar fratal. Siapa yang bisa memberi tahu saya metode siklus mana yang terbaik untuk saya gunakan untuk membangun pembersihan pakis fraktal dengan dukungan 3d max dengan iterasi dt 100.000 di atas batu dengan 2800 mH

Ada kode sumber dengan program untuk menggambar kurva Naga, juga fraktal.

Artikelnya luar biasa. Dan Excel mungkin merupakan kesalahan koprosesor (pada digit urutan rendah terakhir)