Cara mencari luas jajar genjang jika diketahui sudutnya. Luas jajar genjang

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya sejajar berpasangan.

Pada gambar ini, sisi-sisi dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan di satu titik dan membagi dua titik tersebut. Rumus luas jajar genjang memungkinkan Anda mencari nilai melalui sisi, tinggi, dan diagonal. Jajargenjang juga dapat disajikan dalam kasus-kasus khusus. Mereka dianggap persegi panjang, persegi dan belah ketupat.
Pertama, mari kita lihat contoh menghitung luas jajar genjang berdasarkan tinggi dan sisi turunnya.

Kasus ini tergolong klasik dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Lebih baik mempertimbangkan rumus menghitung luas melalui dua sisi dan sudut di antara keduanya. Metode yang sama digunakan dalam perhitungan. Jika diketahui sisi-sisinya dan sudut antara keduanya, maka luasnya dihitung sebagai berikut:

Misalkan kita diberikan jajar genjang dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm. Sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita cari luasnya:

Luas jajar genjang melalui diagonal

Rumus luas jajar genjang menggunakan diagonal memungkinkan Anda menemukan nilainya dengan cepat.
Untuk perhitungannya, Anda memerlukan ukuran sudut yang terletak di antara diagonal.

Mari kita perhatikan contoh menghitung luas jajar genjang menggunakan diagonal. Misalkan terdapat jajar genjang dengan diagonal D = 7 cm, d = 5 cm. Sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal memberi kita hasil yang sangat baik - 8,75.

Mengetahui rumus luas jajar genjang melalui diagonal, Anda dapat memecahkan banyak masalah menarik. Mari kita lihat salah satunya.

Tugas: Diberikan sebuah jajar genjang dengan luas 92 meter persegi. lihat Titik F terletak di tengah-tengah sisi BC. Mari kita cari luas ADFB trapesium yang terletak pada jajar genjang kita. Pertama, mari kita gambar semua yang kita terima sesuai dengan kondisi.
Mari kita ke solusinya:

Menurut kondisi kita, ah =92, dan luas trapesium kita akan sama dengan

Genjang disebut segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar satu sama lain. Tugas pokok di sekolah pada topik ini adalah menghitung luas jajar genjang, keliling, tinggi, dan diagonalnya. Nilai dan rumus yang ditunjukkan untuk perhitungannya akan diberikan di bawah ini.

Sifat-sifat jajar genjang

Sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang, serta sudut-sudut yang berhadapan, adalah sama besar:
AB=CD, BC=AD,

Diagonal jajar genjang pada titik potongnya dibagi menjadi dua bagian yang sama besar:

AO=OC, OB=OD.

Sudut yang berdekatan dengan salah satu sisi (sudut yang berdekatan) berjumlah 180 derajat.

Masing-masing diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga dengan luas dan dimensi geometris yang sama.

Sifat luar biasa lainnya yang sering digunakan ketika memecahkan masalah adalah bahwa jumlah kuadrat diagonal-diagonal dalam jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Fitur utama jajaran genjang:

1. Segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan adalah jajar genjang.
2. Segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sama panjang adalah jajar genjang.
3. Segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sama panjang dan sejajar adalah jajar genjang.
4. Jika diagonal-diagonal suatu segi empat pada titik potongnya terbagi dua, maka itu adalah jajar genjang.
5. Segi empat yang sudut-sudutnya berhadapan sama besar berpasangan adalah jajar genjang

Garis bagi jajar genjang

Garis bagi sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang bisa sejajar atau berhimpitan.

Garis bagi sudut-sudut yang berdekatan (berdekatan dengan satu sisi) berpotongan tegak lurus (tegak lurus).

Tinggi jajaran genjang

Tinggi jajaran genjang- ini adalah segmen yang ditarik dari sudut tegak lurus alas. Oleh karena itu, dua ketinggian dapat ditarik dari setiap sudut.

Rumus luas jajar genjang

Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi dan tinggi yang ditarik padanya. Rumus luasnya adalah sebagai berikut

Rumus kedua yang tidak kalah populer dalam perhitungan dan didefinisikan sebagai berikut: luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya.

Berdasarkan rumus di atas, Anda akan mengetahui cara menghitung luas jajar genjang.

Keliling jajar genjang

Rumus menghitung keliling jajar genjang adalah

artinya keliling sama dengan dua kali jumlah sisi-sisinya. Soal-soal yang berkaitan dengan jajar genjang akan dibahas pada materi selanjutnya, namun untuk saat ini pelajari rumus-rumusnya. Kebanyakan soal dalam menghitung sisi dan diagonal jajar genjang cukup sederhana dan bermuara pada pengetahuan tentang teorema sinus dan teorema Pythagoras.

Jajar genjang adalah bangun datar berbentuk segi empat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar dan berpasangan sama besar. Sudut-sudut yang berhadapan juga sama besar, dan titik potong diagonal-diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua, sehingga menjadi pusat simetri bangun tersebut. Kasus khusus jajar genjang adalah bentuk geometris seperti persegi, persegi panjang, dan belah ketupat. Luas jajar genjang dapat dicari dengan berbagai cara, tergantung data awal apa yang menyertai rumusan masalah.

1. Dalam kasus paling sederhana, luas jajar genjang didefinisikan sebagai hasil kali alas dan tingginya.
   

   S = DC ∙ jam

   
   

   dimana S adalah luas jajaran genjang;
   a - basis;
   h adalah tinggi yang ditarik ke alas tertentu.

   Rumus ini sangat mudah dipahami dan diingat jika melihat gambar berikut.

   

   Seperti yang terlihat dari gambar ini, jika kita memotong segitiga imajiner di sebelah kiri jajar genjang dan menempelkannya di sebelah kanan, hasilnya akan menjadi persegi panjang. Seperti yang Anda ketahui, luas persegi panjang ditemukan dengan mengalikan panjangnya dengan tingginya. Hanya dalam kasus jajar genjang, panjangnya akan menjadi alasnya, dan tinggi persegi panjang akan menjadi tinggi jajar genjang yang diturunkan ke sisi tertentu.

2. Luas jajar genjang juga dapat dicari dengan mengalikan panjang dua alas yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   dimana AD, AB adalah alas-alas yang berdekatan membentuk titik potong dan sudut a antara keduanya;
   α adalah sudut antara alas AD dan AB.

   

3. Anda juga dapat mencari luas jajar genjang dengan membagi setengah hasil kali panjang diagonal jajar genjang dengan sinus sudut di antara keduanya.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   dimana AC, BD adalah diagonal-diagonal jajar genjang;
   β adalah sudut antara diagonalnya.

   

4. Ada juga rumus untuk mencari luas jajar genjang melalui jari-jari lingkaran yang terdapat di dalamnya. Tertulis sebagai berikut:

Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

Luas jajar genjang. Dalam banyak soal geometri yang berkaitan dengan perhitungan luas, termasuk tugas-tugas Ujian Negara Bersatu, digunakan rumus luas jajar genjang dan segitiga. Ada beberapa di antaranya, kita akan melihatnya di sini.

Akan terlalu sederhana untuk mencantumkan rumus-rumus ini; sudah cukup banyak hal ini di buku referensi dan di berbagai situs web. Saya ingin menyampaikan intinya - agar Anda tidak menjejalkannya, tetapi memahaminya dan dapat dengan mudah mengingatnya kapan saja. Setelah mempelajari materi pada artikel tersebut, Anda akan memahami bahwa tidak perlu mempelajari rumus-rumus tersebut sama sekali. Secara obyektif, hal-hal tersebut sering muncul dalam pengambilan keputusan sehingga tetap tersimpan dalam ingatan untuk waktu yang lama.

1. Jadi mari kita lihat jajaran genjang. Definisinya berbunyi:

Mengapa demikian? Sederhana saja! Untuk memperjelas arti dari rumus tersebut, mari kita lakukan beberapa konstruksi tambahan, yaitu membuat tinggi:

Luas segitiga (2) sama dengan luas segitiga (1) - tanda kedua persamaan segitiga siku-siku “sepanjang kaki dan sisi miring”. Sekarang mari kita secara mental "memotong" yang kedua dan memindahkannya ke atas yang pertama - kita mendapatkan persegi panjang, yang luasnya akan sama dengan luas jajaran genjang asli:

Luas suatu persegi panjang diketahui sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan. Terlihat dari sketsa, salah satu sisi persegi panjang yang dihasilkan sama dengan sisi jajar genjang, dan sisi lainnya sama dengan tinggi jajar genjang. Oleh karena itu, kita memperoleh rumus luas jajar genjang S = a∙h A

2. Lanjutkan rumus lain untuk luasnya. Kami memiliki:

Luas rumus jajar genjang

Mari kita nyatakan sisi-sisinya sebagai a dan b, sudut antara keduanya adalah "gamma", tingginya adalah h a. Perhatikan segitiga siku-siku: