Titik kritis (matematika). Makalah penelitian dalam matematika

SEKOLAH SANATORIUM MKOOUST - ASrama

Bentuk titik dan geometris.

Pekerjaan penelitian dalam matematika.

Diselesaikan oleh: Anatoly Vasiliev, siswa kelas 3

Kepala pekerjaan:

Dubovaya Natalya Leonidovna,

Guru sekolah dasar.

Tommot, 2013

1. Ringkasan singkat. ................................................. ...... ...................2
2. Anotasi. ................................................. ......................................3
3. Artikel ilmiah. ................................................. ......................................6
4. Kesimpulan................................................. ................................................7

Referensi.

Ringkasan singkat.

Karya ini mengkaji tentang titik dan bangun ruang: garis, sinar, ruas, sudut, segitiga, segi empat, lingkaran dan lingkaran, serta peranan titik dalam susunan dan konstruksi bangun ruang tersebut.

Anotasi.

Tujuan penelitian:mengetahui apa yang dimaksud dengan konsep titik dan terdiri dari apa bangun-bangun geometri: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segitiga, lingkaran.

Objek studi:titik dan definisi bangun geometri: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segitiga, lingkaran.

Subyek penelitian:titik dan bangun datar: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segitiga, lingkaran.

Hipotesis penelitian:sebuah titik adalah satu-satunya bangun datar, dan semua bangun lainnya terdiri dari banyak titik.

Tujuan penelitian:

1. bahan pelajaran dengan topik: “Titik dan bangun ruang: garis lurus, sinar, sudut, segi empat, segitiga, lingkaran.”;
2. mencari definisi titik, garis lurus, segi empat, segitiga, sudut, sinar, lingkaran;
3. sampaikan analisis dan refleksi Anda tentang topik ini;
4. memberikan presentasi berdasarkan karya penelitian ini.

Metode penelitian:mempelajari literatur, bekerja dengan kamus, analisis penelitian, kesimpulan.

Artikel ilmiah.

Matematika muncul pada zaman dahulu dari kebutuhan praktis manusia. Tidak ada yang akan berdebat tentang jaman dahulu matematika, tetapi ada perbedaan pendapat tentang apa yang mendorong orang untuk mempelajarinya. Menurutnya, matematika, seperti halnya puisi, lukisan, musik, teater, dan seni pada umumnya, dihidupkan oleh kebutuhan spiritual manusia, oleh keinginannya yang mungkin belum sepenuhnya terwujud, akan pengetahuan dan keindahan.

Pernahkah Anda bertanya-tanya apa itu titik dan terbuat dari apa bentuk geometris?

Sekilas semuanya jelas di sini: titik adalah titik, garis lurus adalah garis lurus, apa yang tidak bisa dipahami di sini? Yah, tapi tetap saja, bagaimana seseorang bisa menjelaskan hal ini kepada seseorang yang tidak mengetahui hal ini sama sekali dan, terlebih lagi, memahami semuanya secara harfiah? Apakah sesederhana itu? Ternyata tidak sama sekali!

Pada pelajaran ketenagakerjaan, ketika kami mempelajari teknik isothread, saya berasumsi bahwa semua bangun geometri terdiri dari titik-titik. Topik inilah yang saya putuskan untuk mengabdikan pekerjaan penelitian saya.

“Saya tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa,” kata Socrates, dan melalui dialog dengan lawan bicaranya mencoba mencari tahu apa sebenarnya yang dia ketahui. Itu sebabnya saya memutuskan untuk mencari tahu dulu apa yang saya ketahui tentang bentuk geometris.

Jadi, mari kita lihat definisi bentuk geometris yang ditentukan oleh topik penelitian saya.

1. Dot - ini adalah tanda, tanda dari sentuhan, suntikan dengan sesuatu yang tajam; bintik bulat kecil, bintik; sesuatu yang sangat kecil, hampir tidak terlihat. Titik adalah bangun geometri dasar

1. Garis- ini adalah sekumpulan poin. Jika dasar penyusunan geometri adalah konsep jarak antar titik dalam ruang, maka garis lurus dapat didefinisikan sebagai garis yang jarak antara dua titiknya paling pendek. Langsung - ada garis yang letaknya sama terhadap semua titiknya. Istilah "garis" berasal dari bahasa Latin linum - "linen, benang linen."

_________________________________________________

1. Balok adalah bagian dari suatu garis yang terdiri dari semua titik pada garis tersebut yang terletak pada salah satu sisi suatu titik tertentu.

1. Segmen adalah bagian dari suatu garis yang terdiri dari semua titik pada garis tersebut yang terletak di antara dua titik tertentu.

1. Sudut- Ini adalah bangun datar yang terdiri dari titik puncak sudut dan dua garis setengah berbeda yang turun dari titik ini, sisi-sisi sudut.

1. Segi empatadalah bangun datar yang terdiri dari empat titik dan empat ruas berurutan yang menghubungkannya.

1. Segi tiga - bangun datar yang terdiri dari tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, dihubungkan oleh segmen-segmen.

1. Lingkaran -

Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Garis tertutup mengelilingi lingkaran.

KESIMPULAN.

Konsep titik dan garis lurus dapat ditemukan di mana-mana dalam kehidupan kita. Misalnya, jika Anda melihat bahasa Rusia, titik adalah tanda baca (.) yang memisahkan sebuah kalimat lengkap. Juga dalam bahasa Rusia ada tanda baca seperti titik koma, titik dua, elipsis.

Dalam fisika, titik adalah nilai tertentu dari suatu besaran.

Dalam geografi, suatu titik dianggap sebagai lokasi tertentu dalam ruang.

Dalam biologi, ini adalah titik tumbuh tumbuhan.

Dalam kimia – titik beku, titik didih, titik leleh.

Dalam musik, titik merupakan tanda yang merupakan salah satu unsur utama notasi musik.

Dalam matematika, titik adalah bangun geometri dasar; perpotongan dua garis lurus, batas ruas garis, titik awal sinar, dan sebagainya.

Untuk membangun angka apa pun, kita memerlukan sebuah titik. Berdasarkan pengertian garis lurus,GARIS ADALAH BANYAK TITIK, dan dari definisinya kita mengetahui bahwa setiap bangun datar dibangun menggunakan titik dan garis, oleh karena itu semua bangun terdiri dari titik.

Dalam hidup kita, titik adalah ikon suntikan, sebuah titik kecil.

Pekerjaan penelitian saya memungkinkan saya untuk menyimpulkan bahwa titik adalah satu-satunya bangun datar geometris. Segala sesuatu dimulai dari suatu titik dan berakhir di sana, dan belum diketahui penemuan seperti apa yang akan menjadi permulaannya.

Literatur:

1 .Aksenova M.D. Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11. - Matematika, M.: Avanta+, 1999. Halaman 575.

2 .Atanasyan L.S., geometri, 7-9: buku teks untuk lembaga pendidikan / edisi ke-12. - M.: Pendidikan, 2002. Hal. 5, 146, 177.178.

3. Atanasyan L.S., geometri, 10-11: buku teks untuk lembaga pendidikan / edisi ke-15, tambahan. - M.: Pendidikan, 2006. hlm.5-7.

4 .Vinogradov I.M., ensiklopedia matematika/M.: ensiklopedia Soviet. Halaman 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Kamus bahasa Rusia. - M.: Pendidikan, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fisika: bahan referensi. - M.: Pendidikan, 1991.

7 .Kramer G. Metode matematika statistika, terjemahan dari bahasa Inggris, 2nd ed., M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Kamus penjelasan sekolah bahasa Rusia. - M.: Pencerahan, 1981.

9 .Prokhorov A.M. Kamus ensiklopedis besar. - M.: Pendidikan, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Kamus ensiklopedis matematika. - M.: Pendidikan, 1998.

11 .Savin A.P. Kamus ensiklopedis seorang ahli matematika muda. - M.: Pedagogi, 1985, hal.69.

12 Sharygin I.F. Geometri visual. - M.: Pendidikan, 1995.

Dot- benda abstrak dalam ruang yang tidak mempunyai ciri-ciri terukur (benda berdimensi nol). Titik merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika.

Titik dalam geometri Euclidean

Euclid mendefinisikan titik sebagai “benda yang tidak memiliki bagian”. Dalam aksioma modern geometri Euclidean, titik adalah konsep utama, yang hanya ditentukan oleh daftar propertinya - aksioma.

Dalam sistem koordinat yang dipilih, setiap titik dalam ruang Euclidean dua dimensi dapat direpresentasikan sebagai pasangan terurut ( X; kamu) bilangan real. Begitu pula dengan titik N-ruang Euclidean berdimensi (serta ruang vektor atau affine) dapat direpresentasikan sebagai tupel ( A 1 , A 2 , … , A N) dari N angka.

Tautan

• Titik(Bahasa Inggris) di situs PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Point (Bahasa Inggris) di situs Wolfram MathWorld.

intinya adalah:

Pola titik-titik. | Titik injeksi. | Kota ini ditandai pada peta dengan titik kecil dan orang hanya bisa menebak keberadaan jalan pintas.

2. Dot- ini adalah sesuatu yang sangat kecil, sulit dilihat karena jarak atau alasan lainnya.

Sebuah titik di cakrawala. | Saat bola mendekati cakrawala di langit barat, ukurannya mulai mengecil secara perlahan hingga menjadi sebuah titik.

3. Dot- tanda baca yang diletakkan di akhir kalimat atau saat menyingkat kata.

Sampaikan maksudnya. | Jangan lupa memberi tanda titik di akhir kalimat

4. Dalam matematika, geometri dan fisika dot- ini adalah satuan yang mempunyai kedudukan dalam ruang, batas suatu ruas garis.

Poin matematika.

5. Dot sebutkan tempat tertentu di ruang angkasa, di tanah atau di permukaan sesuatu.

Titik penempatan. | Titik sakit.

6. Dot mereka menyebut tempat di mana sesuatu berada atau dilakukan, suatu simpul tertentu dalam suatu sistem atau jaringan dari beberapa titik.

Setiap gerai ritel pasti memiliki tandanya masing-masing.

7. Dot Mereka menyebut batas perkembangan sesuatu, tingkat atau momen tertentu dalam perkembangan.

Poin tertinggi. | Poin dalam pengembangan. | Keadaan telah mencapai titik kritis. | Inilah titik tertinggi perwujudan kekuatan spiritual manusia.

8. Dot Mereka menyebut batas suhu di mana suatu zat diubah dari satu keadaan agregasi ke keadaan agregasi lainnya.

Titik didih. | Titik beku. | Titik lebur. | Semakin tinggi suatu tempat, semakin rendah titik didih air.

9. Titik koma (;) disebut tanda baca yang digunakan untuk memisahkan bagian-bagian umum yang lebih independen dari suatu kalimat kompleks.

Dalam bahasa Inggris, tanda baca yang hampir sama digunakan seperti dalam bahasa Rusia: titik, koma, titik koma, tanda hubung, apostrof, tanda kurung, elipsis, tanda tanya dan seru, tanda hubung.

10. Saat mereka membicarakan sudut pandang, maksudnya pendapat seseorang tentang suatu masalah tertentu, cara memandang sesuatu.

Sudut pandang lain, yang sebelumnya diterima secara universal, kini kurang populer. | Tidak ada seorang pun yang memiliki sudut pandang ini di zaman kita.

11. Jika mereka mengatakan tentang orang-orang yang mereka miliki kesamaan, yang berarti mereka memiliki kepentingan yang sama.

Mungkin kita bisa menemukan titik temu.

12. Jika ada sesuatu yang dikatakan titik ke titik, yang kami maksud adalah pencocokan yang benar-benar tepat.

Titik ke titik, di tempat yang ditunjuk, ada sebuah mobil berwarna kopi.

13. Jika mereka mengatakan tentang seseorang bahwa dia mencapai titik Artinya dia telah mencapai batas ekstrim dalam perwujudan beberapa kualitas negatif.

Kita sudah sampai pada intinya! Anda tidak bisa hidup seperti ini lagi! | Anda tidak dapat mengatakan kepadanya bahwa layanan khusus telah mencapai titik di bawah kepemimpinannya yang bijaksana.

14. Jika seseorang mengakhirinya dalam beberapa bisnis, itu berarti dia menghentikannya.

Kemudian dia kembali dari emigrasi ke tanah airnya, ke Rusia, ke Uni Soviet, dan dengan ini dia mengakhiri semua pencarian dan pemikirannya.

15. Jika seseorang beri titik pada huruf “i”.(atau atas saya), yang berarti dia membawa segala sesuatunya pada kesimpulan logisnya dan tidak meninggalkan apa pun yang tidak terucapkan.

Mari kita tandai semua huruf i. Saya tidak tahu apa pun tentang inisiatif Anda.

16. Jika seseorang mencapai satu titik, yang berarti dia memusatkan seluruh usahanya untuk mencapai satu tujuan.

Itulah sebabnya gambarannya begitu jelas; dia selalu mencapai titik yang sama, tidak pernah terbawa oleh detail kecil. | Dia paham betul apa tugas bisnisnya dan sengaja mencapai satu poin.

17. Jika seseorang tepat sasaran, artinya dia mengatakan atau melakukan apa yang diperlukan, tebakannya benar.

Surat pertama yang masuk ke putaran kompetisi berikutnya mengejutkan para editor - di salah satu opsi yang tercantum, pembaca kami langsung tepat sasaran!

akupresur.

Kamus penjelasan bahasa Rusia oleh Dmitriev. D.V.Dmitriev. 2003.

Dot

Dot mungkin berarti:

• Titik adalah suatu benda abstrak dalam ruang yang tidak mempunyai ciri-ciri terukur selain koordinat.
• Titik adalah diakritik yang diletakkan di atas, di bawah, atau di tengah-tengah suatu huruf.
• Titik adalah satuan pengukuran jarak dalam sistem pengukuran Rusia dan Inggris.
• Titik adalah salah satu representasi pemisah desimal.
• Dot (teknologi jaringan) - penunjukan domain root dalam hierarki domain jaringan global.
• Tochka - jaringan toko elektronik dan hiburan
• Tochka - album grup "Leningrad"
• The Point adalah sebuah film Rusia tahun 2006 berdasarkan kisah berjudul sama karya Grigory Ryazhsky
• Tochka adalah album studio kedua oleh artis rap Stan.
• Tochka - kompleks rudal divisi.
• Tochka - Majalah subkultur pemuda Krasnoyarsk.
• Tochka adalah klub dan tempat konser di Moskow.
• Titik merupakan salah satu simbol kode Morse.
• Intinya adalah tempat tugas tempur.
• Titik (pemrosesan) - proses pemesinan, pembubutan, penajaman.
• POINT - Program informasi dan analitis di NTV.
• Tochka adalah band rock dari Norilsk yang didirikan pada tahun 2012.

Toponim

Kazakstan

• Dot- hingga tahun 1992, nama desa Bayash Utepov di distrik Ulan di wilayah Kazakhstan Timur.

Rusia

• Tochka adalah sebuah desa di distrik Sheksninsky di wilayah Vologda.
• Tochka adalah sebuah desa di distrik Volotovsky di wilayah Novgorod.
• Tochka adalah sebuah desa di distrik Lopatinsky di wilayah Penza.

Bisakah Anda mendefinisikan konsep seperti titik dan garis?

Sekolah-sekolah dan universitas-universitas kita tidak memiliki definisi-definisi ini, meskipun menurut saya definisi-definisi tersebut penting (saya tidak tahu bagaimana definisi tersebut berlaku di negara-negara lain). Kita dapat mendefinisikan konsep-konsep ini sebagai “berhasil dan tidak berhasil” dan mempertimbangkan apakah hal ini berguna untuk perkembangan pemikiran.

pegulat

Aneh memang, tapi mereka memberi kita definisi tentang suatu hal. Merupakan suatu benda abstrak (konvensi) yang terletak pada ruang yang tidak mempunyai dimensi. Ini adalah hal pertama yang terlintas di benak kita saat masih di sekolah - sebuah titik tidak memiliki dimensi, ia adalah objek "berdimensi nol". Konsep bersyarat, seperti segala sesuatu dalam geometri.

Lebih sulit lagi dengan garis lurus. Pertama-tama, ini adalah sebuah garis. Kedua, itu adalah sekumpulan titik-titik yang terletak dalam ruang dengan cara tertentu. Dalam definisi paling sederhana, garis adalah garis yang dibatasi oleh dua titik yang dilaluinya.

Medivh

Titik adalah sejenis objek abstrak. Suatu titik mempunyai koordinat, tetapi tidak mempunyai massa dan dimensi. Dalam geometri, segala sesuatu dimulai tepat dengan sebuah titik; ini adalah awal dari semua bentuk lainnya (Ngomong-ngomong, dalam tulisan, tanpa titik tidak akan ada awal sebuah kata). Garis lurus adalah jarak antara dua titik.

Leonid Kutniy

Segala sesuatu dapat didefinisikan dengan cara apa pun. Namun ada pertanyaan: apakah definisi ini akan “berhasil” dalam ilmu pengetahuan tertentu? Berdasarkan apa yang kita miliki, tidak ada gunanya memberikan definisi tentang titik, garis, dan bidang. Saya sangat menyukai komentar Arthur. Saya ingin menambahkan bahwa suatu titik memiliki banyak sifat: tidak memiliki panjang, lebar, tinggi, tidak memiliki massa atau berat, dll. Tetapi sifat utama suatu titik adalah titik tersebut dengan jelas menunjukkan lokasinya. suatu benda, suatu benda di bidang datar, di ruang angkasa. Itu sebabnya kita memerlukan sebuah poin! Namun pembaca yang cerdas akan mengatakan bahwa buku, kursi, jam tangan, dan benda-benda lain dapat dianggap sebagai sebuah poin. Benar sekali! Oleh karena itu, tidak ada gunanya memberikan definisi suatu titik. Hormat kami, L.A. Kutniy

Garis lurus merupakan salah satu konsep dasar geometri.

Titik adalah tanda baca ketika menulis dalam banyak bahasa.

Selain itu, titik merupakan salah satu simbol kode Morse

Banyak sekali definisinya :D

Definisi titik, garis lurus, dan bidang diberikan oleh saya pada akhir tahun 80an dan awal tahun 90an abad ke-20. Saya berikan tautannya:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

Dalam volume 328 halaman, esensi kognitif dari konsep-konsep ini dijelaskan dalam aspek yang benar-benar baru, yang dijelaskan berdasarkan pandangan dunia fisik yang nyata dan perasaan “Aku”, yang berarti “Aku” ada, sama seperti Alam semesta tempat saya berada itu ada.

Segala sesuatu yang tertulis dalam karya ini ditegaskan oleh pengetahuan umat manusia tentang alam dan sifat-sifatnya yang telah lama ditemukan dan masih terus dieksplorasi hingga saat ini. Matematika menjadi begitu sulit untuk dipahami dan dikonseptualisasikan untuk menerapkan gambaran abstraknya pada praktik terobosan teknologi. Dengan mengungkap Landasan, yang merupakan prinsip-prinsip dasar, kita dapat menjelaskan bahkan kepada siswa sekolah dasar alasan-alasan yang mendasari keberadaan Alam Semesta. Baca dan dekati Kebenaran. Tenang saja, dunia tempat kami berada terbuka di hadapan Anda dalam cahaya baru.

Apakah ada definisi konsep “titik” dalam matematika dan geometri.

Mikhail Levin

Apakah "konsep yang tidak dapat ditentukan" merupakan sebuah definisi?

Faktanya, justru ketidakpastian konsep yang memungkinkan penerapan matematika pada objek yang berbeda.

Seorang ahli matematika bahkan dapat mengatakan "pada suatu titik saya akan memahami bidang Euclidean, pada suatu bidang - titik Euclidean" - periksa semua aksioma dan dapatkan geometri baru atau teorema baru.

Faktanya adalah untuk mendefinisikan istilah A, Anda perlu menggunakan istilah B. Untuk mendefinisikan B, Anda memerlukan istilah C. Dan seterusnya ad infinitum. Dan untuk menyelamatkan diri kita dari ketidakterbatasan ini, kita harus menerima beberapa istilah tanpa definisi dan membangun definisi lain berdasarkan istilah tersebut. ©

Grigory Piven

Dalam matematika Piven Gregory Titik adalah suatu bagian ruang yang secara abstrak (dicerminkan) diambil sebagai ruas yang panjangnya minimal sama dengan 1, yang digunakan untuk mengukur bagian ruang lainnya. Oleh karena itu, seseorang memilih skala suatu titik demi kenyamanan, untuk proses pengukuran yang produktif: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 sdm. tahun. dll.

Lihat juga: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Selama dua setengah milenium, matematika telah menggunakan abstraksi titik tak berdimensi, yang tidak hanya bertentangan dengan akal sehat, tetapi juga pengetahuan tentang dunia sekitar yang diperoleh dari ilmu-ilmu seperti fisika, kimia, mekanika kuantum, dan ilmu komputer.

Tidak seperti abstraksi lainnya, abstraksi titik matematika tak berdimensi tidak mengidealkan realitas, menyederhanakan pengetahuannya, tetapi dengan sengaja mendistorsinya, memberikan makna yang berlawanan, yang, khususnya, membuat pemahaman dan studi ruang berdimensi lebih tinggi pada dasarnya tidak mungkin!

Penggunaan abstraksi titik tak berdimensi dalam matematika dapat dibandingkan dengan penggunaan satuan mata uang dasar yang bernilai nol dalam perhitungan ekonomi. Untungnya, perekonomian tidak memikirkan hal ini.

Mari kita buktikan absurditas abstraksi suatu titik tak berdimensi.

Dalil. Titik matematika bersifat volumetrik.

Bukti.

Sama seperti dalam matematika

ukuran_titik = 0,

Untuk segmen dengan panjang berhingga (bukan nol) yang kita miliki

Ukuran_segmen = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Besaran nol yang dihasilkan dari suatu ruas, sebagai barisan titik-titik penyusunnya, bertentangan dengan syarat bahwa panjang ruas tersebut berhingga. Selain itu, ukuran titik nol tidak masuk akal karena jumlah angka nol tidak bergantung pada jumlah suku, yaitu jumlah titik “nol” pada suatu ruas tidak mempengaruhi besar kecilnya ruas tersebut.

Oleh karena itu, asumsi awal tentang besar kecilnya titik matematika adalah SALAH.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu titik matematika mempunyai ukuran bukan nol (berhingga). Karena titik tidak hanya termasuk dalam ruas, tetapi juga milik ruang di mana ruas tersebut berada, maka ia mempunyai dimensi ruang, yaitu titik matematisnya adalah volumetrik. Q.E.D.

Konsekuensi.

Pembuktian di atas, yang dilakukan dengan menggunakan peralatan matematika kelompok junior sebuah taman kanak-kanak, menanamkan kebanggaan akan kearifan tak terbatas para pendeta dan pakar “ratu segala ilmu”, yang berhasil dibawa selama ribuan tahun dan dilestarikan untuk anak cucu di bentuk aslinya adalah khayalan kuno umat manusia.

Ulasan

Alexander sayang! Saya tidak pandai matematika, tapi mungkin ANDA bisa memberi tahu saya di mana dan oleh siapa dinyatakan bahwa titik sama dengan nol? Hal lainnya adalah bahwa ia mempunyai nilai yang sangat kecil, bahkan sampai pada titik konvensi, tetapi tidak nol sama sekali. Jadi, setiap segmen dapat dianggap nol, karena ada segmen lain yang berisi segmen asli dalam jumlah tak terhingga, secara kasar. Mungkin tidak perlu bingung antara matematika dan fisika. Matematika adalah ilmu tentang keberadaan, fisika adalah ilmu tentang keberadaan. Sungguh-sungguh.

Saya menyebutkan Achilles dua kali secara rinci dan berulang kali:
"Mengapa Achilles tidak mengejar kura-kura itu"
"Achilles dan kura-kura - paradoks yang dipotong dadu"

Mungkin salah satu solusi terhadap paradoks Zeno adalah bahwa ruang bersifat diskrit dan waktu bersifat kontinu. Dia percaya, seperti Anda, bahwa keduanya berbeda. Suatu benda dapat berada pada suatu titik di ruang angkasa untuk beberapa waktu. Tapi dia tidak bisa berada di tempat yang berbeda pada waktu yang sama. Ini semua, tentu saja, amatirisme, seperti keseluruhan dialog kita. Sungguh-sungguh.
Ngomong-ngomong, jika suatu titik berbentuk tiga dimensi, berapakah dimensinya?

Kebijaksanaan waktu mengikuti, misalnya, dari aporia “Panah”. Hanya sebuah elektron yang dapat “berada di tempat berbeda pada waktu yang sama” bagi fisikawan, yang pada prinsipnya tidak memahami dan tidak menerima baik struktur eter maupun struktur ruang 4 dimensi. Saya tidak tahu contoh lain dari fenomena ini. Saya tidak melihat adanya “amatirisme” dalam percakapan kami. Sebaliknya, semuanya sangatlah sederhana: suatu titik tidak berdimensi atau memiliki ukuran; kontinuitas dan ketidakterbatasan ada atau tidak. Tidak ada pilihan ketiga - BENAR atau SALAH! Sayangnya, prinsip-prinsip dasar matematika dibangun di atas dogma-dogma palsu yang diadopsi karena ketidaktahuan 2500 tahun yang lalu.

Besar kecilnya titik tergantung pada kondisi masalah yang dipecahkan dan akurasi yang dibutuhkan. Misalnya, jika Anda merancang roda gigi untuk jam tangan, keakuratannya dapat dibatasi oleh ukuran atom, yaitu delapan tempat desimal. Atom itu sendiri di sini akan menjadi analogi fisik dari suatu titik matematika. Mungkin diperlukan ketelitian hingga 16 digit di suatu tempat; maka peran suatu titik akan dimainkan oleh partikel eter. Harap dicatat bahwa pembicaraan tentang akurasi yang dianggap "tak terbatas" dalam praktiknya berubah menjadi omong kosong, atau, secara halus, absurditas.

Saya masih tidak mengerti: apakah intinya ada? Jika ia ada secara obyektif, maka ia mempunyai nilai fisik tertentu; jika ia ada secara subyektif, berupa abstraksi pikiran kita, maka ia mempunyai nilai matematis. Nol TIDAK ADA, tidak ada, ini adalah definisi abstrak dari Ketiadaan dalam matematika atau kekosongan dalam fisika. Suatu titik tidak ada dengan sendirinya di luar hubungan. Segera setelah titik kedua muncul, sebuah segmen muncul - Sesuatu, dll. Topik ini dapat dikembangkan tanpa henti. Dengan sinar UV.

Sepertinya saya telah memberikan contoh yang jelas, tetapi mungkin tidak cukup rinci. Secara obyektif, ada Dunia yang diketahui oleh sains, dan saat ini ia mengetahuinya terutama dengan menggunakan metode matematika. Matematika memahami dunia dengan membangun model matematika. Untuk membangun model tersebut digunakan abstraksi matematika dasar, khususnya seperti: titik, garis, kontinuitas, tak terhingga. Abstraksi-abstraksi ini bersifat mendasar karena tidak mungkin lagi memecah-mecah dan menyederhanakannya. Masing-masing abstraksi dasar bisa sesuai dengan realitas objektif (benar) atau tidak (salah). Semua abstraksi di atas pada dasarnya salah karena bertentangan dengan pengetahuan terkini tentang dunia nyata. Ini berarti bahwa abstraksi ini menghalangi pemahaman yang benar tentang dunia nyata. Hal ini dapat ditoleransi ketika sains mempelajari dunia 3 dimensi. Namun, abstraksi dari titik tak berdimensi dan kontinuitas membuat semua dunia berdimensi lebih tinggi pada prinsipnya tidak dapat diketahui!

Batu bata alam semesta - sebuah titik - tidak mungkin kosong. Semua orang tahu bahwa tidak ada sesuatu pun yang muncul dari kekosongan. Fisikawan, setelah menyatakan eter tidak ada, mengisi dunia dengan kekosongan. Saya percaya bahwa matematika dengan titik kosongnya mendorong mereka pada kebodohan ini. Saya bahkan tidak berbicara tentang titik atom dunia dengan dimensi lebih tinggi dari 4D. Jadi, untuk setiap dimensi, peran titik matematika yang tidak dapat dibagi (secara kondisional) dimainkan oleh atom (yang secara kondisional) tidak dapat dibagi di dunia ini (ruang, materi). Untuk 3D - atom fisik, untuk 4D - partikel eter, untuk 5D - atom astral, untuk 6D - atom mental, dan seterusnya. Sungguh-sungguh,

Jadi, apakah batu bata alam semesta mempunyai nilai absolut? Dan menurut Anda, seperti apa di dunia eterik atau mental. Saya bahkan takut untuk bertanya tentang dunia itu sendiri. Dengan minat...

Partikel eter (ini bukan atom!) adalah pasangan elektron-positron, di mana partikel-partikel itu sendiri berputar relatif satu sama lain dengan kecepatan cahaya. Ini sepenuhnya menjelaskan struktur semua nukleon, perambatan osilasi elektromagnetik dan semua efek dari apa yang disebut vakum fisik. Struktur atom pemikiran tidak diketahui siapa pun. Yang ada hanyalah bukti bahwa SEMUA alam tertinggi adalah material, yaitu mereka memiliki atomnya sendiri. Terserah soal Yang Mutlak. Namun, Anda bersikap ironis dengan sia-sia. Apakah lubang cacing dan ledakan besar tampak lebih masuk akal bagi Anda?

Sungguh ironi, saya hanya sedikit terkejut setelah begitu banyak informasi. Tidak seperti Anda, saya bukan seorang profesional dan saya merasa sulit untuk mengatakan apa pun tentang ruang lima atau enam dimensi. Saya berbicara tentang kepanjangsabaran kita... Sejauh yang saya pahami, Anda menentang kesinambungan material, dan titik, Anda memiliki atom “Demokrat” yang benar-benar ada. "Batu Bata Alam Semesta." Mungkin saya lalai, tapi tetap saja, akan sulit untuk mengulangi apa itu struktur, parameter fisik, dimensi, dll.
Dan juga jawabannya, apakah unit itu ada dengan sendirinya, di luar hubungan apa pun? Terima kasih.

Setelah memahami apa itu satuan pengukuran dan dimensi, kini kita dapat beralih ke pengukuran sebenarnya. Dalam matematika sekolah, dua alat ukur digunakan - (1) penggaris untuk mengukur jarak dan (2) busur derajat untuk mengukur sudut.

Dot

Jarak selalu diukur antara dua titik mana pun. Secara praktis, titik adalah titik kecil yang tertinggal di atas kertas jika ditusuk dengan pensil atau pulpen. Cara lain yang lebih disukai untuk menentukan suatu titik adalah dengan menggambar salib dengan dua garis tipis, yang menghasilkan pendefinisian dot persimpangan mereka. Pada gambar di buku, titik sering digambarkan sebagai lingkaran hitam kecil. Tapi ini semua hanyalah perkiraan gambaran visual, dan dalam pengertian matematis yang ketat, dot - itu adalah benda imajiner yang ukurannya ke segala arah adalah nol. Bagi ahli matematika, seluruh dunia terdiri dari titik-titik. Titik-titiknya ada dimana-mana. Ketika kita menusukkan pena ke kertas atau menggambar salib, kita tidak membuat titik baru, tetapi hanya memberi tanda pada titik yang sudah ada untuk menarik perhatian seseorang padanya. Kecuali dinyatakan lain, diasumsikan bahwa titik-titik tersebut tidak bergerak dan tidak mengubah posisi relatifnya. Namun tidak sulit membayangkan sebuah titik bergerak yang berpindah dari satu tempat ke tempat lain, seolah-olah menyatu dengan satu titik tetap, lalu dengan titik tetap lainnya.

Lurus

Dengan menempatkan penggaris pada dua titik, kita dapat menggambar garis lurus melalui titik tersebut, dan lebih jauh lagi satu-satunya cara. Matematika imajiner lurus, digambar sepanjang penggaris ideal imajiner, mempunyai ketebalan nol dan memanjang di kedua arah hingga tak terhingga. Dalam gambar nyata, struktur imajiner ini berbentuk:

Faktanya, semua yang ada di gambar ini salah. Ketebalan garis di sini jelas lebih besar dari nol, dan tidak ada cara untuk mengatakan bahwa garis tersebut memanjang hingga tak terhingga. Meski demikian, gambar tidak beraturan seperti itu sangat berguna sebagai penunjang imajinasi, dan kami akan terus menggunakannya. Untuk memudahkan membedakan satu titik dengan titik lainnya, biasanya ditandai dengan huruf kapital alfabet Latin. Pada gambar ini, misalnya, titik-titik ditunjukkan dengan huruf A Dan B. Garis yang melalui titik-titik A Dan B, secara otomatis menerima nama “straight AB" Untuk singkatnya, notasi ( AB), dimana kata “lurus” dihilangkan dan ditambahkan tanda kurung. Garis lurus juga dapat dilambangkan dengan huruf kecil. Pada gambar di atas, garis lurus AB ditunjukkan oleh surat itu N.

Melampaui titik-titik A Dan B pada garis lurus N ada sejumlah besar titik lainnya, yang masing-masing dapat direpresentasikan sebagai perpotongan dengan garis lain. Banyak garis lurus yang berbeda dapat ditarik melalui satu titik yang sama.

Jika kita mengetahui bahwa ada titik-titik yang tidak berhimpitan pada suatu garis A, B, C Dan D, maka itu berhak ditetapkan tidak hanya sebagai ( AB), namun juga bagaimana ( AC), (BD), (CD) dll.

Segmen. Panjang segmen. Jarak antar titik

Bagian garis yang dibatasi oleh dua titik disebut segmen. Titik-titik pembatas ini juga termasuk dalam segmen tersebut dan disebut miliknya berakhir. Ruas yang ujung-ujungnya bertumpu pada titik-titik A Dan B, dilambangkan sebagai “segmen AB"atau, lebih singkatnya, [ AB].

Setiap segmen ditandai panjang- jumlah (mungkin pecahan) “langkah” yang harus diambil sepanjang segmen untuk berpindah dari satu ujung ke ujung lainnya. Dalam hal ini, panjang “langkah” itu sendiri adalah nilai yang tetap, yang diambil sebagai satuan pengukuran. Cara paling mudah adalah mengukur panjang segmen yang digambar pada selembar kertas sentimeter. Jika ujung-ujung ruas tersebut jatuh pada titik-titik tersebut A Dan B, maka panjangnya dilambangkan sebagai | AB|.

Di bawah jarak antara dua titik adalah panjang ruas yang menghubungkan kedua titik tersebut. Namun pada kenyataannya, tidak perlu menggambar segmen untuk mengukur jarak - cukup dengan menempelkan penggaris pada kedua titik (di mana jejak “langkah” sudah ditandai sebelumnya). Karena dalam matematika suatu titik adalah objek fiktif, tidak ada yang menghalangi kita untuk menggunakan dalam imajinasi kita penggaris ideal yang mengukur jarak dengan akurasi mutlak. Namun, tidak boleh dilupakan bahwa penggaris asli yang diterapkan pada titik atau pusat salib di atas kertas memungkinkan Anda mengatur jarak hanya kira-kira - dengan akurasi satu milimeter. Jaraknya selalu non-negatif.

Kedudukan suatu titik pada suatu garis

Mari kita diberi garis lurus. Mari kita tandai titik sembarang di atasnya dan tandai dengan huruf HAI. Mari kita letakkan angka 0 di sebelahnya. Sebut salah satu dari dua kemungkinan arah sepanjang garis lurus sebagai "positif", dan arah sebaliknya - "negatif". Biasanya arah positif diambil dari kiri ke kanan atau dari bawah ke atas, namun hal ini tidak perlu. Mari tandai arah positif dengan panah, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Sekarang untuk setiap titik yang terletak pada suatu garis, kita dapat menentukannya posisi. Posisi titik A diberikan oleh nilai yang bisa negatif, nol atau positif. Nilai absolutnya sama dengan jarak antar titik HAI Dan A(yaitu, panjang segmen HAIA), dan tandanya ditentukan oleh arah dari suatu titik HAI Anda harus bergerak untuk langsung ke intinya A. Jika Anda perlu bergerak ke arah positif, maka tandanya positif. Jika negatif maka tandanya negatif. Alih-alih kata "posisi", kata "yang sering digunakan" koordinat».

Bilangan irasional dan bilangan real

Ketika kita berhadapan dengan gambar nyata dan menentukan posisi titik nyata pada bukaan nyata dengan menggunakan penggaris sekolah, kita mendapatkan nilai yang dibulatkan ke milimeter terdekat. Dengan kata lain, hasilnya adalah nilai yang diambil dari rangkaian berikut:

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm dll.

Hasilnya tidak boleh sama dengan, misalnya 1/3 cm, karena, seperti yang kita ketahui, sepertiga sentimeter dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik tak hingga

0,333333333... cm,

yang setelah pembulatan harus menjadi sama dengan 0,3 cm.

Lain halnya jika kita memanipulasi objek matematika ideal dalam imajinasi kita.

Pertama, dalam hal ini Anda dapat dengan mudah membuang satuan pengukuran dan beroperasi secara eksklusif dengan besaran tak berdimensi. Kemudian kita sampai pada konstruksi geometris yang kita kenal ketika kita membahas bilangan rasional, dan yang kita sebut garis bilangan:

Karena kata “lurus” dalam geometri sudah “dimuat” dengan berat, konstruksi yang sama sering disebut sumbu angka atau hanya sumbu.

Kedua, kita dapat membayangkan bahwa koordinat suatu titik diberikan oleh pecahan desimal periodik, misalnya

Apalagi kita bisa membayangkan sesuatu yang tak terhingga non-periodik pecahan - seperti, misalnya,

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Bilangan imajiner seperti itu, yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak hingga, disebut irasional. Bilangan irasional, bersama dengan bilangan rasional yang sudah kita kenal, membentuk apa yang disebut sah angka. Selain kata “nyata” kita juga akan menggunakan kata “ nyata" Posisi suatu titik pada suatu garis dapat dinyatakan sebagai bilangan real. Dan sebaliknya, jika kita diberi suatu bilangan real X, kita selalu bisa membayangkan suatu hal X, yang posisinya ditentukan oleh nomor X.

Bias

Membiarkan A- koordinat titik A, A B- koordinat titik B. Lalu nilainya

ay = B − A

adalah pemindahan, yang menerjemahkan maksudnya A langsung ke intinya B. Hal ini menjadi jelas jika persamaan sebelumnya ditulis ulang dalam bentuk

B = A + ay.

Terkadang alih-alih menggunakan kata "perpindahan" mereka menggunakan kata " vektor" Sangat mudah untuk melihat situasinya X titik sewenang-wenang X- ini tidak lebih dari offset yang menerjemahkan maksudnya HAI(dengan koordinat sama dengan nol) ke suatu titik X:

X= 0 + X.

Offset dapat ditambahkan satu sama lain dan juga dikurangi satu sama lain. Jadi, jika offset ( B − A) menerjemahkan maksudnya A langsung ke intinya B, dan offsetnya ( C − B) poin B langsung ke intinya C, lalu offset

(B − A) + (C − B) = C − A

menerjemahkan titik A langsung ke intinya C.

Catatan. Logikanya, cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan irasional perlu diperjelas, karena perpindahannya mungkin saja menjadi irasional. Tentu saja, ahli matematika berhati-hati dalam mengembangkan prosedur formal yang sesuai, tetapi dalam praktiknya kami tidak akan melakukan ini, karena perhitungan perkiraan dengan nilai yang dibulatkan selalu cukup untuk menyelesaikan masalah praktis. Untuk saat ini, kita hanya akan percaya bahwa konsep “penjumlahan” dan “pengurangan” – serta “perkalian” dan “pembagian” – didefinisikan dengan benar untuk dua bilangan real (dengan peringatan, bagaimanapun, bahwa Anda tidak dapat dibagi dengan nol).

Di sini, mungkin, tepat untuk memperhatikan perbedaan halus antara konsep “perpindahan” dan “jarak”. Jaraknya selalu non-negatif. Ini sebenarnya mewakili perpindahan yang diambil dalam nilai absolut. Jadi, jika diimbangi

ay = B − A

menerjemahkan titik A langsung ke intinya B, lalu jaraknya S antar titik A Dan B sama

S = |v| = |B − sebuah|.

Persamaan ini tetap berlaku terlepas dari angka mana yang lebih besar - A atau B.

Pesawat

Dalam arti praktis, bidang adalah selembar kertas tempat kita menggambar desain geometris. Imajiner bidang matematika berbeda dari selembar kertas karena ketebalannya nol dan permukaannya tidak terbatas, memanjang ke berbagai arah hingga tak terhingga. Selain itu, tidak seperti selembar kertas, bidang matematika benar-benar kaku: bidang tersebut tidak pernah bengkok atau berkerut - bahkan jika bidang tersebut robek dari meja dan ditempatkan di ruang angkasa dengan cara apa pun.

Letak bidang di ruang angkasa ditentukan secara unik oleh tiga titik (kecuali titik-titik tersebut terletak pada satu garis lurus). Untuk membayangkannya lebih jelas, mari kita gambarkan tiga titik sembarang, HAI, A Dan B, dan tarik dua garis lurus melaluinya O.A. Dan O.B. seperti yang ditunjukkan pada gambar:

“Meregangkan” sebuah bidang dalam imajinasi Anda pada dua garis lurus yang berpotongan agak lebih mudah daripada “menopangnya” pada tiga titik. Namun untuk lebih jelasnya, mari kita lakukan beberapa konstruksi tambahan. Mari kita ambil beberapa titik secara acak: satu titik di mana saja pada garis tersebut O.A., dan yang lainnya - di mana saja pada garis lurus O.B.. Mari kita tarik garis baru melalui pasangan titik ini. Selanjutnya, dengan cara yang sama, pilih sepasang titik lain dan tarik garis lurus lain melalui titik tersebut. Mengulangi prosedur ini berkali-kali, kita mendapatkan sesuatu seperti jaring laba-laba:

Memasang bidang pada struktur seperti itu sudah cukup sederhana - terutama karena jaring imajiner ini dapat dibuat sangat tebal sehingga menutupi seluruh bidang tanpa celah.

Perhatikan bahwa jika kita mengambil sepasang titik yang berbeda pada sebuah bidang dan menggambar garis lurus melalui titik tersebut, maka garis lurus tersebut pasti terletak pada bidang yang sama.

Abstrak

Dot (A, B, dst.): sebuah benda imajiner yang ukurannya ke segala arah adalah nol.

Lurus (N, M atau ( AB)): garis yang sangat tipis; ditarik melalui dua titik ( A Dan B) sepanjang garis dengan jelas; meluas ke dua arah hingga tak terhingga.

Segmen ([AB]): bagian garis yang dibatasi oleh dua titik ( A Dan B) - ujung segmen, yang juga dianggap milik segmen tersebut.

Panjang bagian(|AB|): (pecahan) jumlah sentimeter (atau satuan ukuran lain) yang pas di antara ujung-ujungnya ( A Dan B).

Jarak antara dua titik: panjang ruas yang berakhir di titik-titik tersebut.

Kedudukan suatu titik pada suatu garis (koordinat): jarak dari suatu titik ke suatu pusat yang telah dipilih sebelumnya (juga terletak pada garis lurus) dengan tanda plus atau minus yang ditetapkan, bergantung pada sisi pusat mana titik tersebut berada.

Posisi suatu titik pada suatu garis ditentukan sah(nyata)nomor, yaitu pecahan desimal, yang dapat berupa (1) periodik berhingga atau tak terhingga ( bilangan rasional), atau (2) non-periodik tak terhingga ( bilangan irasional).

Bias, yang menerjemahkan maksudnya A(dengan koordinat A) langsung pada intinya B(dengan koordinat B): ay = B − A.

Jarak sama dengan perpindahan yang diambil dalam nilai absolut: | AB| = |B − A|.

Pesawat: selembar kertas yang sangat tipis yang memanjang pada sisi yang berbeda hingga tak terbatas; didefinisikan secara unik oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama.

Konsep titik kritis dapat digeneralisasikan pada kasus pemetaan terdiferensiasi, dan pada kasus pemetaan manifold sembarang yang dapat dibedakan. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\ke M^(m)). Dalam hal ini yang dimaksud dengan titik kritis adalah rank matriks Jacobian dari pemetaan tersebut f (\gaya tampilan f) itu berisi kurang dari nilai maksimum yang mungkin sama dengan .

Titik kritis fungsi dan peta memainkan peran penting dalam bidang matematika seperti persamaan diferensial, kalkulus variasi, teori stabilitas, serta mekanika dan fisika. Studi tentang titik-titik kritis pemetaan yang mulus adalah salah satu pertanyaan utama teori bencana. Konsep titik kritis juga digeneralisasikan pada kasus fungsi yang didefinisikan pada ruang fungsi berdimensi tak hingga. Menemukan titik kritis dari fungsi tersebut merupakan bagian penting dari kalkulus variasi. Titik kritis suatu fungsi (yang selanjutnya merupakan fungsi) disebut olahraga ekstrim.

Definisi formal

Kritis(atau spesial atau tidak bergerak) titik pemetaan yang dapat dibedakan secara kontinu f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) titik di mana diferensial pemetaan ini disebut f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) adalah merosot transformasi linier dari ruang singgung yang bersesuaian T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) Dan T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), yaitu dimensi gambar transformasi f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) lebih sedikit menit ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Dalam notasi koordinat kapan n = m (\gaya tampilan n=m) Artinya, Jacobian adalah determinan matriks pemetaan Jacobian f (\gaya tampilan f), terdiri dari semua turunan parsial ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- menjadi nol pada suatu titik. Spasi dan R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) dalam definisi ini dapat diganti dengan varietas N n (\gaya tampilan N^(n)) Dan M m (\gaya tampilan M^(m)) dimensi yang sama.

teorema Sard

Nilai pemetaan pada titik kritis disebut nya nilai kritis. Menurut teorema Sard, himpunan nilai kritis dari setiap pemetaan cukup mulus f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) tidak mempunyai ukuran Lebesgue (walaupun titik kritisnya bisa berapa saja; misalnya, untuk pemetaan identitas, titik mana pun adalah titik kritis).

Tampilan peringkat konstan

Jika berada di sekitar suatu titik x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) peringkat pemetaan yang dapat dibedakan secara kontinyu f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) sama dengan angka yang sama r (\gaya tampilan r), lalu di sekitar titik ini x 0 (\gaya tampilan x_(0)) ada koordinat lokal yang berpusat di x 0 (\gaya tampilan x_(0)), dan di sekitar gambarnya - titik y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- ada koordinat lokal (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ltitik ,y_(m))) berpusat di f (\gaya tampilan f) diberikan oleh relasi:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ltitik ,\ y_(m)=0.)

Khususnya, jika r = n = m (\gaya tampilan r=n=m), lalu ada koordinat lokal (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) berpusat di x 0 (\gaya tampilan x_(0)) dan koordinat lokal (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) berpusat di kamu 0 (\gaya tampilan y_(0)), sehingga di dalamnya ada pemetaan f (\gaya tampilan f) identik.

Kejadian M = 1

Dalam hal ini, definisi ini berarti gradien ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) pada titik ini menghilang.

Mari kita asumsikan fungsinya f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ) memiliki kelas kehalusan tidak lebih rendah C 3 (\gaya tampilan C^(3)). Titik kritis suatu fungsi F ditelepon tidak merosot, jika berisi Hessian |∂ 2 f ∂ x 2 | F(\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))

berbeda dari nol. Di sekitar titik kritis tak berdegenerasi terdapat koordinat yang fungsinya mempunyai bentuk normal kuadrat (Morse lemma). Generalisasi alami dari lemma Morse untuk titik-titik kritis yang merosot adalah F Teorema Tujron: di sekitar titik kritis fungsi yang merosot, dapat dibedakan berkali-kali () dengan multiplisitas berhingga μ (\gaya tampilan \mu ) ada sistem koordinat yang fungsi halusnya berbentuk polinomial derajat μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(sebagai P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) kita dapat mengambil polinomial Taylor dari fungsi tersebut

f (x) (\gaya tampilan f(x)) pada suatu titik pada koordinat aslinya). Pada f (\gaya tampilan f) m = 1 (\gaya tampilan m=1) Masuk akal untuk menanyakan tentang fungsi maksimum dan minimum. Menurut pernyataan analisis matematis yang terkenal, fungsi terdiferensiasi kontinu, ditentukan di seluruh ruang R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) atau pada himpunan bagian terbukanya, dapat mencapai maksimum (minimum) lokal hanya pada titik-titik kritis, dan jika titik tersebut tidak merosot, maka matriksnya(∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Lebih Besar))=(\Besar ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Lebih Besar)),)

Kejadian N = M = 2

i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ltitik ,n,) itu harus pasti negatif (positif). Yang terakhir ini juga merupakan kondisi yang cukup untuk maksimum lokal (minimum). Jika F n=m=2 F kami memiliki tampilan bidang ke bidang (atau manifold dua dimensi ke manifold dua dimensi lainnya). Mari kita asumsikan bahwa pemetaan terdiferensiasi berkali-kali ( F C ∞ (\displaystyle C^(\infty )) F pada titik-titik tersebut memiliki inti satu dimensi. Kondisi kekhasan yang kedua adalah bahwa di sekitar titik yang dimaksud pada bidang prototipe, himpunan titik-titik kritis membentuk kurva beraturan. S, dan di hampir semua titik kurva S inti ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) tidak menjadi perhatian S, dan titik-titik di mana hal ini tidak terjadi diisolasi dan titik singgungnya berada pada urutan pertama. Titik kritis tipe pertama disebut titik lipat, dan tipe kedua - titik-titik perakitan. Lipatan dan rakitan adalah satu-satunya jenis singularitas pemetaan bidang-ke-bidang yang stabil terhadap gangguan kecil: untuk gangguan kecil, titik lipatan dan titik kumpulan hanya bergerak sedikit seiring dengan deformasi kurva S, tapi jangan hilang, jangan merosot dan jangan hancur menjadi fitur lain.