Konsep nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi.
Konsep nilai terbesar dan terkecil erat kaitannya dengan konsep titik kritis suatu fungsi.
Definisi 1
$x_0$ disebut titik kritis fungsi $f(x)$ jika:
1) $x_0$ - titik internal domain definisi;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak ada.
Sekarang mari kita perkenalkan definisi nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi.
Definisi 2
Fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ mencapai nilai maksimumnya jika terdapat titik $x_0\di X$ sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua $x\in X$
Definisi 3
Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ mencapai nilai minimumnya jika terdapat titik $x_0\di X$ sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua $x\in X$
Teorema Weierstrass tentang fungsi kontinu pada suatu interval
Mari kita perkenalkan dulu konsep fungsi kontinu pada suatu interval:
Definisi 4
Suatu fungsi $f\left(x\right)$ dikatakan kontinu pada interval $$ jika kontinu di setiap titik pada interval $(a,b)$, dan juga kontinu di sebelah kanan titik tersebut. $x=a$ dan di sebelah kiri pada titik $x =b$.
Mari kita merumuskan teorema tentang fungsi kontinu pada suatu interval.
Teorema 1
teorema Weierstrass
Suatu fungsi $f\left(x\right)$ yang kontinu pada suatu interval $$ mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada interval ini, yaitu terdapat titik $\alpha ,\beta \in $ sehingga untuk semua $x\in $ ketidaksetaraan $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.
Interpretasi geometris dari teorema ditunjukkan pada Gambar 1.
Di sini fungsi $f(x)$ mencapai nilai minimumnya di titik $x=\alpha $ mencapai nilai maksimumnya di titik $x=\beta $.
Skema untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $f(x)$ pada segmen $$
1) Temukan turunan $f"(x)$;
2) Temukan titik di mana turunan $f"\left(x\right)=0$;
3) Temukan titik di mana turunan $f"(x)$ tidak ada;
4) Pilih dari titik-titik yang diperoleh pada langkah 2 dan 3 titik-titik yang termasuk dalam segmen $$;
5) Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh pada langkah 4, serta pada ujung segmen $$;
6) Pilih nilai terbesar dan terkecil dari nilai yang diperoleh.
Masalah mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen
Contoh 1
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Larutan.
1) $f"\kiri(x\kanan)=6x^2-30x+36$;
2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;
\ \ \
4) $2\di \kiri,\ 3\di $;
5) Nilai:
\ \ \ \
6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $33$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $1$. Jadi, kita mendapatkan:
Menjawab:$maks=33,\ menit=1$.
Contoh 2
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$
Larutan.
Kami akan melakukan solusinya sesuai dengan skema di atas.
1) $f"\kiri(x\kanan)=3x^2-6x-45$;
2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;
\ \ \
3) $f"(x)$ ada di semua titik domain definisi;
4) $-3\notin \kiri,\ 5\in $;
5) Nilai:
\ \ \
6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $225$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $50$. Jadi, kita mendapatkan:
Menjawab:$maks=225,\ menit=50$.
Contoh 3
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$
Larutan.
Kami akan melakukan solusinya sesuai dengan skema di atas.
1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;
2) $f"\kiri(x\kanan)=0$;
\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \
3) $f"(x)$ tidak ada di titik $x=1$
4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, namun 1 tidak termasuk dalam domain definisi;
5) Nilai:
\ \ \
6) Nilai terbesar yang ditemukan adalah $1$, nilai terkecil yang ditemukan adalah $-8\frac(1)(3)$. Jadi, kita mendapatkan: \end(menghitung)
Menjawab:$maks=1,\min==-8\frac(1)(3)$.
Dalam tugas B14 dari Unified State Examination matematika, Anda perlu mencari nilai terkecil atau terbesar dari suatu fungsi dari satu variabel. Ini adalah masalah yang cukup sepele dari analisis matematis, dan oleh karena itu setiap lulusan sekolah menengah dapat dan harus belajar menyelesaikannya secara normal. Mari kita lihat beberapa contoh yang dipecahkan oleh anak-anak sekolah selama pekerjaan diagnostik matematika, yang diadakan di Moskow pada tanggal 7 Desember 2011.
Bergantung pada interval di mana Anda ingin mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, salah satu algoritma standar berikut digunakan untuk menyelesaikan masalah ini.
I. Algoritma untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi pada suatu segmen:
- Temukan turunan dari fungsi tersebut.
- Pilih dari titik-titik yang dicurigai sebagai titik ekstrem yang termasuk dalam segmen dan domain definisi fungsi tertentu.
- Hitung nilai fungsi(bukan turunan!) pada titik-titik ini.
- Di antara nilai yang diperoleh, pilih yang terbesar atau terkecil, itu akan menjadi nilai yang diinginkan.
Contoh 1. Temukan nilai terkecil dari fungsi tersebut
kamu = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 pada segmen tersebut.
Larutan: Kami mengikuti algoritma untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen:
- Ruang lingkup suatu fungsi tidak terbatas: D(kamu) = R.
- Turunan dari fungsinya sama dengan: kamu' = 3X 2 – 36X+ 81. Daerah definisi turunan suatu fungsi juga tidak dibatasi: D(kamu’) = R.
- Nol dari turunannya: kamu' = 3X 2 – 36X+ 81 = 0 yang artinya X 2 – 12X+ 27 = 0, dari mana X= 3 dan X= 9, interval kita hanya mencakup X= 9 (satu poin mencurigakan secara ekstrem).
- Kami menemukan nilai fungsi pada titik yang mencurigakan terhadap ekstrem dan di tepi celah. Untuk memudahkan penghitungan, kami merepresentasikan fungsi tersebut dalam bentuk: kamu = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- kamu(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- kamu(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- kamu(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.
Jadi, dari nilai yang didapat, yang terkecil adalah 23. Jawaban: 23.
II. Algoritma untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi:
- Temukan domain definisi fungsi.
- Temukan turunan dari fungsi tersebut.
- Identifikasi titik-titik yang mencurigakan bagi ekstrem (titik-titik di mana turunan fungsi hilang, dan titik-titik di mana tidak ada turunan berhingga dua sisi).
- Tandai titik-titik tersebut dan daerah definisi fungsinya pada garis bilangan dan tentukan tanda-tandanya turunan(bukan fungsi!) pada interval yang dihasilkan.
- Tentukan nilai fungsi(bukan turunannya!) pada titik minimum (titik di mana tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus), nilai terkecil dari nilai tersebut akan menjadi nilai terkecil dari fungsi tersebut. Jika tidak ada titik minimum, maka fungsi tersebut tidak memiliki nilai minimum.
- Tentukan nilai fungsi(bukan turunannya!) pada titik maksimum (titik di mana tanda turunannya berubah dari plus ke minus), nilai terbesarnya akan menjadi nilai fungsi terbesar. Jika tidak ada titik maksimum, maka fungsi tersebut tidak mempunyai nilai terbesar.
Contoh 2. Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut.
Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah optimasi beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Perlu diperhatikan bahwa nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi biasanya dicari pada interval X tertentu, yang merupakan seluruh domain fungsi atau sebagian dari domain definisi. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka 
, interval tak terbatas.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang ditentukan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .
Navigasi halaman.
Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.
Mari kita lihat secara singkat definisi utama.
Nilai fungsi terbesar 
itu untuk siapa pun 
ketimpangan memang benar adanya.
Nilai terkecil dari fungsi tersebut y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu 
itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.
Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.
Poin stasioner– ini adalah nilai argumen di mana turunan fungsi menjadi nol.
Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai titik ekstrim (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.
Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.
Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat memiliki nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.
Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.
Di segmen tersebut
Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].
Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan nilai terbesar dicapai pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.
Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.
Pada interval terbuka
Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).
Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.
Tanpa batas
Pada contoh yang disajikan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.
Selama interval tersebut, fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terbesar. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.
Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
- Kami menemukan domain definisi fungsi dan memeriksa apakah fungsi tersebut berisi seluruh segmen.
- Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut ditemukan dalam fungsi dengan argumen di bawah tanda modulus dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional pecahan). Jika tidak ada poin seperti itu, lanjutkan ke poin berikutnya.
- Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang termasuk dalam segmen tersebut, maka lanjutkan ke titik berikutnya.
- Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
- Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi terbesar dan terkecil yang diperlukan.
Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.
Contoh.
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
- pada segmen tersebut;
- di segmen [-4;-1] .
Larutan.
Daerah definisi suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol. Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.
Temukan turunan fungsi terhadap: 
Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].
Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.
Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4: 
Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar 
dicapai pada x=1, dan nilai terkecil 
– pada x=2.
Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner): 
Larutan.
Mari kita mulai dengan domain fungsinya. Trinomial kuadrat pada penyebut pecahan tidak boleh hilang: 
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua interval dari pernyataan masalah termasuk dalam domain definisi fungsi.
Mari kita bedakan fungsinya: 
Jelasnya, turunannya ada di seluruh domain definisi fungsi.
Mari kita cari titik stasioner. Turunannya menjadi nol pada . Titik stasioner ini berada pada interval (-3;1] dan (-3;2).
Sekarang Anda dapat membandingkan hasil yang diperoleh di setiap titik dengan grafik fungsinya. Garis putus-putus berwarna biru menunjukkan asimtot.
Pada titik ini kita dapat menyelesaikannya dengan mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut. Algoritme yang dibahas dalam artikel ini memungkinkan Anda mendapatkan hasil dengan tindakan minimal. Namun, akan berguna jika terlebih dahulu menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi dan baru setelah itu menarik kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut pada interval mana pun. Hal ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan justifikasi yang tepat atas hasilnya.
Terkadang pada soal B15 terdapat fungsi yang “buruk” sehingga sulit mencari turunannya. Dulunya hal ini hanya terjadi pada saat ujian sampel, namun kini tugas-tugas tersebut sudah sangat umum sehingga tidak bisa lagi diabaikan saat mempersiapkan Ujian Negara Bersatu yang sebenarnya.
Dalam hal ini, teknik lain berfungsi, salah satunya adalah nada datar.
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik monoton pada suatu ruas jika untuk sembarang titik x 1 dan x 2 pada ruas tersebut berlaku:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Suatu fungsi f(x) dikatakan menurun secara monoton pada suatu ruas jika untuk sembarang titik x 1 dan x 2 pada ruas tersebut berlaku:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Dengan kata lain, untuk fungsi naik, semakin besar x, semakin besar pula f(x). Untuk fungsi menurun, yang terjadi adalah kebalikannya: semakin besar x, semakin besar x lebih sedikit f(x).
Misalnya, logaritma bertambah secara monoton jika basis a > 1, dan menurun secara monoton jika 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f(x) = log ax (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Akar kuadrat aritmatika (dan bukan hanya kuadrat) meningkat secara monoton di seluruh domain definisi:
Fungsi eksponensial berperilaku mirip dengan logaritma: fungsi eksponensial bertambah untuk a > 1 dan menurun untuk 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Terakhir, derajat dengan eksponen negatif. Anda dapat menuliskannya sebagai pecahan. Mereka memiliki titik istirahat di mana kemonotonan terpecahkan.
Semua fungsi ini tidak pernah ditemukan dalam bentuk aslinya. Mereka menambahkan polinomial, pecahan, dan omong kosong lainnya, sehingga sulit untuk menghitung turunannya. Mari kita lihat apa yang terjadi dalam kasus ini.
Koordinat titik parabola
Paling sering argumen fungsi diganti dengan trinomial kuadrat dari bentuk y = kapak 2 + bx + c. Grafiknya adalah parabola standar yang kami minati:
- Cabang-cabang parabola bisa naik (untuk a > 0) atau ke bawah (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Titik puncak parabola adalah titik ekstrem suatu fungsi kuadrat dimana fungsi tersebut bernilai minimum (untuk a > 0) atau maksimum (a< 0) значение.
Yang paling menarik adalah puncak parabola, absisnya dihitung dengan rumus:
Jadi, kita telah menemukan titik ekstrem dari fungsi kuadrat. Tetapi jika fungsi aslinya monotonik, maka titik x 0 juga akan menjadi titik ekstrem. Jadi, mari kita rumuskan aturan utamanya:
Titik ekstrem suatu trinomial kuadrat dan fungsi kompleks yang mencakupnya bertepatan. Oleh karena itu, Anda dapat mencari x 0 untuk trinomial kuadrat, dan melupakan fungsinya.
Dari alasan di atas, masih belum jelas titik mana yang kita peroleh: maksimum atau minimum. Namun, tugas-tugas tersebut dirancang khusus sehingga hal ini tidak menjadi masalah. Nilailah sendiri:
- Tidak ada segmen dalam pernyataan masalah. Oleh karena itu, f(a) dan f(b) tidak perlu dihitung. Yang tersisa hanyalah mempertimbangkan titik-titik ekstremnya;
- Tetapi hanya ada satu titik seperti itu - ini adalah titik puncak parabola x 0, yang koordinatnya dihitung secara lisan dan tanpa turunan apa pun.
Dengan demikian, penyelesaian masalah menjadi sangat disederhanakan dan hanya membutuhkan dua langkah:
- Tuliskan persamaan parabola y = ax 2 + bx + c dan cari titik puncaknya menggunakan rumus: x 0 = −b /2a ;
- Temukan nilai fungsi awal pada titik ini: f (x 0). Jika tidak ada syarat tambahan, inilah jawabannya.
Sekilas, algoritma ini dan alasannya mungkin tampak rumit. Saya sengaja tidak memposting diagram solusi yang “telanjang”, karena penerapan aturan seperti itu yang tidak bijaksana akan penuh dengan kesalahan.
Mari kita lihat soal nyata dari ujian Unified State Examination matematika - di sinilah teknik ini paling sering ditemukan. Pada saat yang sama, kami akan memastikan bahwa dengan cara ini banyak masalah B15 menjadi hampir bersifat lisan.
Di bawah akar terdapat fungsi kuadrat y = x 2 + 6x + 13. Grafik fungsi ini berbentuk parabola bercabang ke atas, karena koefisien a = 1 > 0.
Titik puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Karena cabang-cabang parabola mengarah ke atas, maka pada titik x 0 = −3 fungsi y = x 2 + 6x + 13 mengambil nilai minimumnya.
Akar bertambah secara monoton, artinya x 0 adalah titik minimum seluruh fungsi. Kami memiliki:
Tugas. Temukan nilai terkecil dari fungsi tersebut:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Di bawah logaritma ada lagi fungsi kuadrat: y = x 2 + 2x + 9. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas, karena sebuah = 1 > 0.
Titik puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Jadi, pada titik x 0 = −1 fungsi kuadrat mengambil nilai minimumnya. Namun fungsi y = log 2 x monotonik, jadi:
y menit = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponennya berisi fungsi kuadrat y = 1 − 4x − x 2 . Mari kita tulis ulang dalam bentuk normal: y = −x 2 − 4x + 1.
Jelasnya, grafik fungsi ini adalah parabola, bercabang ke bawah (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Fungsi aslinya eksponensial, monotonik, sehingga nilai terbesarnya ada di titik ditemukan x 0 = −2:
Pembaca yang penuh perhatian mungkin akan memperhatikan bahwa kami tidak menuliskan kisaran nilai akar dan logaritma yang diizinkan. Tapi ini tidak diperlukan: di dalamnya terdapat fungsi yang nilainya selalu positif.
Akibat wajar dari domain suatu fungsi
Terkadang menemukan titik puncak parabola saja tidak cukup untuk menyelesaikan Soal B15. Nilai yang Anda cari mungkin berbohong di akhir segmen, dan sama sekali tidak pada titik ekstrem. Jika masalahnya tidak menentukan segmen sama sekali, lihat rentang nilai yang dapat diterima fungsi asli. Yaitu:
Harap dicatat lagi: nol mungkin berada di bawah akar, tetapi tidak pernah berada di logaritma atau penyebut pecahan. Mari kita lihat cara kerjanya dengan contoh spesifik:
Tugas. Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut:
Di bawah akar terdapat lagi fungsi kuadrat: y = 3 − 2x − x 2 . Grafiknya berbentuk parabola, tetapi bercabang ke bawah karena a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Kami menuliskan kisaran nilai yang diizinkan (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Sekarang mari kita cari titik puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Intinya x 0 = −1 termasuk dalam segmen ODZ - dan ini bagus. Sekarang kita menghitung nilai fungsi di titik x 0, serta di ujung ODZ:
kamu(−3) = kamu(1) = 0
Jadi, kita mendapat angka 2 dan 0. Kita diminta mencari yang terbesar - ini angka 2.
Tugas. Temukan nilai terkecil dari fungsi tersebut:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Di dalam logaritma terdapat fungsi kuadrat y = 6x − x 2 − 5. Ini adalah parabola dengan cabang ke bawah, tetapi tidak boleh ada bilangan negatif di logaritma, jadi kita tuliskan ODZ-nya:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Harap diperhatikan: ketidaksetaraannya sangat ketat, sehingga ujung-ujungnya bukan milik ODZ. Inilah perbedaan logaritma dari akar, di mana ujung-ujung segmennya cukup cocok untuk kita.
Kami mencari titik puncak parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Titik puncak parabola sesuai dengan ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Tetapi karena kita tidak tertarik pada ujung-ujung ruas tersebut, kita menghitung nilai fungsinya hanya di titik x 0:
y menit = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Dalam praktiknya, turunan sering digunakan untuk menghitung nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Kami melakukan tindakan ini ketika kami mengetahui cara meminimalkan biaya, meningkatkan keuntungan, menghitung beban produksi yang optimal, dll., yaitu, jika kami perlu menentukan nilai optimal dari suatu parameter. Untuk menyelesaikan soal seperti itu dengan benar, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik tentang nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Biasanya kita mendefinisikan nilai-nilai ini dalam interval tertentu x, yang pada gilirannya mungkin sesuai dengan seluruh domain fungsi atau bagiannya. Itu bisa seperti segmen [a; b ] , dan interval terbuka (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval tak hingga (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) atau interval tak hingga - ∞ ; sebuah , (- ∞ ; sebuah ] , [ sebuah ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
Pada materi kali ini kami akan memberi tahu Anda cara menghitung nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang didefinisikan secara eksplisit dengan satu variabel y=f(x) y = f (x) .
Definisi dasar
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan perumusan definisi dasar.
Definisi 1
Nilai terbesar dari fungsi y = f (x) pada interval tertentu x adalah nilai m a x y = f (x 0) x ∈ X, yang mana untuk nilai berapapun x x ∈ X, x ≠ x 0 membuat pertidaksamaan f (x) ≤ f(x) sah 0) .
Definisi 2
Nilai terkecil dari fungsi y = f (x) pada interval tertentu x adalah nilai m i n x ∈ X y = f (x 0) , yang untuk nilai berapa pun x ∈ X, x ≠ x 0 membuat pertidaksamaan f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Definisi-definisi ini cukup jelas. Lebih sederhananya lagi, kita dapat mengatakan ini: nilai terbesar suatu fungsi adalah nilai terbesarnya pada interval yang diketahui pada absis x 0, dan nilai terkecil adalah nilai terkecil yang diterima pada interval yang sama pada x 0.
Definisi 3
Titik stasioner adalah nilai argumen suatu fungsi yang turunannya menjadi 0.
Mengapa kita perlu mengetahui apa itu titik stasioner? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengingat teorema Fermat. Oleh karena itu, titik stasioner adalah titik di mana titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi berada (yaitu, minimum atau maksimum lokalnya). Akibatnya, fungsi tersebut akan mengambil nilai terkecil atau terbesar pada interval tertentu tepatnya di salah satu titik stasioner.
Suatu fungsi juga dapat memperoleh nilai terbesar atau terkecil pada titik-titik di mana fungsi itu sendiri terdefinisi dan turunan pertamanya tidak ada.
Pertanyaan pertama yang muncul ketika mempelajari topik ini: dalam semua kasus, dapatkah kita menentukan nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi pada interval tertentu? Tidak, kita tidak dapat melakukan ini jika batas interval tertentu bertepatan dengan batas domain definisi, atau jika kita berhadapan dengan interval tak terhingga. Hal ini juga terjadi bahwa suatu fungsi pada segmen tertentu atau pada tak terhingga akan mengambil nilai yang sangat kecil atau besar yang tak terhingga. Dalam kasus ini, tidak mungkin menentukan nilai terbesar dan/atau terkecil.
Poin-poin ini akan menjadi lebih jelas setelah digambarkan dalam grafik:
Gambar pertama menunjukkan kepada kita suatu fungsi yang mengambil nilai terbesar dan terkecil (m a x y dan m i n y) pada titik-titik stasioner yang terletak pada segmen [ - 6 ; 6].
Mari kita periksa secara rinci kasus yang ditunjukkan pada grafik kedua. Mari kita ubah nilai segmen menjadi [ 1 ; 6 ] dan kita menemukan bahwa nilai fungsi terbesar akan dicapai pada titik dengan absis pada batas kanan interval, dan nilai terkecil pada titik stasioner.
Pada gambar ketiga, absis titik-titik tersebut mewakili titik-titik batas ruas [ - 3 ; 2]. Mereka sesuai dengan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi tertentu.
Sekarang mari kita lihat gambar keempat. Di dalamnya, fungsi tersebut mengambil m a x y (nilai terbesar) dan m i n y (nilai terkecil) pada titik stasioner pada interval terbuka (- 6 ; 6).
Jika kita mengambil interval [ 1 ; 6), maka kita dapat mengatakan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut akan dicapai pada titik stasioner. Nilai terbesarnya tidak kita ketahui. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai maksimumnya pada x sama dengan 6 jika x = 6 termasuk dalam interval. Hal ini persis seperti yang ditunjukkan pada grafik 5.
Pada grafik 6, fungsi ini memperoleh nilai terkecilnya pada batas kanan interval (- 3; 2 ], dan kita tidak dapat menarik kesimpulan pasti tentang nilai terbesarnya.
Pada Gambar 7 kita melihat bahwa fungsi tersebut akan memiliki m a x y pada titik stasioner yang absisnya sama dengan 1. Fungsi tersebut akan mencapai nilai minimumnya pada batas interval sebelah kanan. Pada minus tak terhingga, nilai fungsi akan mendekati y = 3 secara asimtotik.
Jika kita mengambil intervalnya x ∈ 2 ; + ∞ , maka kita akan melihat bahwa fungsi yang diberikan tidak akan mengambil nilai terkecil maupun terbesar. Jika x cenderung 2, maka nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga, karena garis lurus x = 2 merupakan asimtot vertikal. Jika absisnya cenderung ditambah tak terhingga, maka nilai fungsinya akan mendekati y = 3 secara asimtotik. Hal ini persis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.
Pada paragraf ini kami akan menyajikan urutan tindakan yang perlu dilakukan untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi pada segmen tertentu.
- Pertama, mari kita cari domain definisi fungsinya. Mari kita periksa apakah segmen yang ditentukan dalam kondisi termasuk di dalamnya.
- Sekarang mari kita hitung titik-titik yang terdapat pada segmen ini yang tidak memiliki turunan pertamanya. Paling sering mereka dapat ditemukan dalam fungsi yang argumennya ditulis di bawah tanda modulus, atau dalam fungsi pangkat yang eksponennya berupa bilangan rasional pecahan.
- Selanjutnya, kita akan mengetahui titik stasioner mana yang akan berada pada segmen tertentu. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung turunan dari fungsi tersebut, lalu menyamakannya dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, lalu memilih akar-akar yang sesuai. Jika kita tidak mendapatkan satu titik stasioner pun atau titik tersebut tidak termasuk dalam segmen tertentu, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.
- Kita menentukan nilai apa yang akan diambil fungsi tersebut pada titik stasioner tertentu (jika ada), atau pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), atau kita menghitung nilai x = a dan x = b.
- 5. Kita mempunyai sejumlah nilai fungsi, yang sekarang kita perlu memilih yang terbesar dan terkecil. Ini akan menjadi nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang perlu kita cari.
Mari kita lihat cara menerapkan algoritma ini dengan benar saat memecahkan masalah.
Contoh 1
Kondisi: fungsi y = x 3 + 4 x 2 diberikan. Tentukan nilai terbesar dan terkecilnya pada ruas [ 1 ; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .
Larutan:
Mari kita mulai dengan mencari domain definisi dari suatu fungsi tertentu. Dalam hal ini, ini akan menjadi himpunan semua bilangan real kecuali 0. Dengan kata lain, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Kedua segmen yang ditentukan dalam kondisi akan berada di dalam area definisi.
Sekarang kita menghitung turunan fungsi menurut aturan diferensiasi pecahan:
y" = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Kita telah mempelajari bahwa turunan suatu fungsi akan ada di semua titik pada segmen [ 1 ; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .
Sekarang kita perlu menentukan titik stasioner dari fungsi tersebut. Mari kita lakukan ini menggunakan persamaan x 3 - 8 x 3 = 0. Ia hanya mempunyai satu akar real yaitu 2. Ini akan menjadi titik stasioner dari fungsi tersebut dan akan jatuh ke dalam segmen pertama [1; 4].
Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen pertama dan pada titik ini, yaitu. untuk x = 1, x = 2 dan x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Kami menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 akan tercapai pada x = 1, dan m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pada x = 2.
Segmen kedua tidak mencakup satu titik stasioner, jadi kita perlu menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen tertentu:
kamu (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Artinya m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = kamu (- 4) = - 3 3 4 .
Menjawab: Untuk segmen [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m saya n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , untuk ruas [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = kamu (- 4) = - 3 3 4 .
Lihat gambar:
Sebelum mempelajari metode ini, kami menyarankan Anda untuk meninjau cara menghitung dengan benar batas satu sisi dan batas tak terhingga, serta mempelajari metode dasar untuk menemukannya. Untuk mencari nilai terbesar dan/atau terkecil suatu fungsi pada interval terbuka atau tak hingga, lakukan langkah-langkah berikut secara berurutan.
- Pertama, Anda perlu memeriksa apakah interval yang diberikan merupakan bagian dari domain definisi fungsi ini.
- Mari kita tentukan semua titik yang terdapat dalam interval yang diperlukan dan di mana turunan pertamanya tidak ada. Mereka biasanya muncul untuk fungsi yang argumennya diapit tanda modulus, dan untuk fungsi pangkat dengan eksponen rasional pecahan. Jika poin-poin tersebut hilang, maka Anda dapat melanjutkan ke langkah berikutnya.
- Sekarang mari kita tentukan titik stasioner mana yang berada dalam interval tertentu. Pertama, kita menyamakan turunannya dengan 0, menyelesaikan persamaannya dan memilih akar-akar yang sesuai. Jika kita tidak memiliki satu titik stasioner atau tidak berada dalam interval yang ditentukan, maka kita segera melanjutkan ke tindakan lebih lanjut. Mereka ditentukan oleh jenis interval.
- Jika intervalnya berbentuk [ a ; b) , maka kita perlu menghitung nilai fungsi di titik x = a dan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) .
- Jika intervalnya berbentuk (a; b ], maka kita perlu menghitung nilai fungsi di titik x = b dan limit satu sisi lim x → a + 0 f (x).
- Jika intervalnya berbentuk (a ; b), maka kita perlu menghitung limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Jika intervalnya berbentuk [ a ; + ∞), maka kita perlu menghitung nilai di titik x = a dan limit di plus tak terhingga lim x → + ∞ f (x) .
- Jika intervalnya terlihat seperti (- ∞ ; b ] , kita menghitung nilai di titik x = b dan limit di minus tak terhingga lim x → - ∞ f (x) .
- Jika - ∞ ; b , maka kita perhatikan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) dan limit di minus tak terhingga lim x → - ∞ f (x)
- Jika - ∞; + ∞ , lalu kita perhatikan limit minus dan plus tak terhingga lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Pada akhirnya, Anda perlu menarik kesimpulan berdasarkan nilai dan limit fungsi yang diperoleh. Ada banyak pilihan yang tersedia di sini. Jadi, jika limit satu sisi sama dengan minus tak terhingga atau plus tak terhingga, maka jelaslah bahwa tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terkecil dan terbesar dari fungsi tersebut. Di bawah ini kita akan melihat satu contoh tipikal. Deskripsi terperinci akan membantu Anda memahami apa itu. Jika perlu, Anda dapat kembali ke Gambar 4 - 8 pada materi bagian pertama.
Kondisi: fungsi yang diberikan y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Hitung nilai terbesar dan terkecilnya dalam interval - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Larutan
Pertama-tama, kita mencari domain definisi fungsi. Penyebut pecahan mengandung trinomial kuadrat, yang tidak boleh berubah menjadi 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Kami telah memperoleh domain definisi fungsi yang mencakup semua interval yang ditentukan dalam kondisi.
Sekarang mari kita bedakan fungsinya dan dapatkan:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1" · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Akibatnya, turunan suatu fungsi ada di seluruh domain definisinya.
Mari kita lanjutkan mencari titik stasioner. Turunan fungsinya menjadi 0 di x = - 1 2 . Ini adalah titik stasioner yang terletak pada interval (- 3 ; 1 ] dan (- 3 ; 2) .
Mari kita hitung nilai fungsi di x = - 4 untuk interval (- ∞ ; - 4 ], serta limitnya di minus tak terhingga:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Karena 3 e 1 6 - 4 > - 1, berarti m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Hal ini tidak memungkinkan kita menentukan secara unik nilai terkecil dari fungsi. Kita hanya dapat menyimpulkan bahwa terdapat batasan di bawah - 1, karena pada nilai inilah fungsi tersebut mendekati secara asimtotik pada minus tak terhingga.
Keunikan interval kedua adalah tidak ada satu pun titik stasioner dan tidak ada satu pun batas tegas di dalamnya. Akibatnya, kita tidak akan bisa menghitung nilai terbesar atau terkecil dari fungsi tersebut. Setelah mendefinisikan limit pada minus tak terhingga dan argumennya cenderung - 3 di sisi kiri, kita hanya mendapatkan interval nilai:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Artinya nilai fungsi akan ditempatkan pada interval - 1; +∞
Untuk mencari nilai terbesar suatu fungsi pada interval ketiga, kita tentukan nilainya di titik stasioner x = - 1 2 jika x = 1. Kita juga perlu mengetahui limit satu sisi untuk kasus ketika argumennya cenderung - 3 di sisi kanan:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 tahun (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Ternyata fungsi tersebut akan mengambil nilai terbesar pada titik stasioner m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sedangkan untuk nilai terkecilnya, kita tidak bisa menentukannya. Semua yang kita tahu , adalah adanya batas bawah ke -4 .
Untuk interval (- 3 ; 2), ambil hasil perhitungan sebelumnya dan hitung kembali berapa besar limit satu sisi jika dicondongkan ke 2 pada sisi kiri:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Artinya m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dan nilai terkecil tidak dapat ditentukan, dan nilai fungsi dibatasi dari bawah oleh angka - 4 .
Berdasarkan apa yang kita peroleh pada dua perhitungan sebelumnya, kita dapat mengatakan bahwa pada interval [ 1 ; 2) fungsi tersebut akan mengambil nilai terbesar pada x = 1, tetapi tidak mungkin menemukan nilai terkecil.
Pada interval (2 ; + ∞) fungsi tidak akan mencapai nilai terbesar atau terkecil, yaitu itu akan mengambil nilai dari interval - 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Setelah menghitung berapa nilai fungsinya pada x = 4, kita mengetahui bahwa m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dan fungsi yang diberikan pada plus tak terhingga akan mendekati garis lurus y = - 1 secara asimtotik.
Mari kita bandingkan apa yang kita peroleh dalam setiap perhitungan dengan grafik fungsi yang diberikan. Pada gambar, asimtot ditunjukkan dengan garis putus-putus.
Itu saja yang ingin kami sampaikan kepada Anda tentang mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Urutan tindakan yang kami berikan akan membantu Anda membuat perhitungan yang diperlukan secepat dan sesederhana mungkin. Namun perlu diingat bahwa sering kali berguna untuk mengetahui terlebih dahulu pada interval mana fungsi tersebut akan menurun dan pada interval mana fungsi tersebut akan meningkat, setelah itu Anda dapat menarik kesimpulan lebih lanjut. Dengan cara ini Anda dapat lebih akurat menentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dan membenarkan hasil yang diperoleh.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
