Topik “Bilangan Berganda” dipelajari di kelas 5 sekolah menengah. Tujuannya adalah untuk meningkatkan keterampilan perhitungan matematis tertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep-konsep baru diperkenalkan - "bilangan ganda" dan "pembagi", teknik mencari pembagi dan kelipatan bilangan asli, dan kemampuan mencari KPK dengan berbagai cara dipraktikkan.
Topik ini sangat penting. Pengetahuannya dapat diterapkan ketika menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari penyebut yang sama dengan menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Kelipatan A adalah bilangan bulat yang habis dibagi A tanpa sisa.
Setiap bilangan asli mempunyai jumlah kelipatan yang tak terhingga. Itu sendiri dianggap yang terkecil. Kelipatannya tidak boleh kurang dari bilangan itu sendiri.
Anda perlu membuktikan bahwa bilangan 125 merupakan kelipatan dari bilangan 5. Untuk melakukannya, Anda perlu membagi bilangan pertama dengan bilangan kedua. Jika 125 habis dibagi 5 tanpa sisa maka jawabannya iya.
Cara ini berlaku untuk jumlah kecil.
Ada kasus khusus saat menghitung LOC.
1. Jika Anda perlu mencari kelipatan persekutuan dari 2 bilangan (misalnya, 80 dan 20), yang salah satunya (80) habis dibagi (20), maka bilangan tersebut (80) adalah kelipatan terkecil keduanya dua angka.
KPK(80, 20) = 80.
2. Jika dua bilangan tidak mempunyai pembagi persekutuan, maka KPKnya dapat dikatakan merupakan hasil kali kedua bilangan tersebut.
KPK(6, 7) = 42.
Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 terhadap 42 adalah pembagi. Mereka membagi kelipatan suatu bilangan tanpa sisa.
Dalam contoh ini, 6 dan 7 merupakan faktor berpasangan. Hasil kali mereka sama dengan kelipatan terbanyak (42).
Suatu bilangan disebut bilangan prima jika bilangan tersebut hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri atau oleh 1 (3:1=3; 3:3=1). Sisanya disebut komposit.
Contoh lainnya adalah menentukan apakah 9 merupakan pembagi dari 42.
42:9=4 (sisa 6)
Jawaban : 9 bukan merupakan pembagi dari 42 karena jawabannya mempunyai sisa.
Pembagi berbeda dari kelipatan karena pembagi adalah bilangan yang membagi bilangan asli, dan kelipatan itu sendiri dibagi dengan bilangan tersebut.
Pembagi bilangan persekutuan terbesar A Dan B, dikalikan dengan kelipatan terkecilnya, akan menghasilkan hasil kali bilangan itu sendiri A Dan B.
Yaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Kelipatan persekutuan untuk bilangan yang lebih kompleks dapat dicari dengan cara berikut.
Misalnya, cari KPK dari 168, 180, 3024.
Kita memfaktorkan angka-angka ini menjadi faktor sederhana dan menuliskannya sebagai hasil kali pangkat:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
KPK(168, 180, 3024) = 15120.
Namun banyak pula bilangan asli yang habis dibagi bilangan asli lainnya.
Misalnya:
Bilangan 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Bilangan-bilangan yang habis dibagi seluruhnya (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A- adalah bilangan asli yang membagi bilangan tertentu A tanpa jejak. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut gabungan .
Perlu diketahui bahwa angka 12 dan 36 mempunyai faktor persekutuan. Bilangan-bilangan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar bilangan-bilangan tersebut adalah 12. Pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut A Dan B- ini adalah bilangan yang membagi kedua bilangan tersebut tanpa sisa A Dan B.
Kelipatan persekutuan beberapa bilangan adalah bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut. Misalnya, bilangan 9, 18, dan 45 mempunyai kelipatan persekutuan 180. Namun 90 dan 360 juga merupakan kelipatan persekutuannya. Di antara semua kelipatan persekutuan selalu ada yang terkecil, dalam hal ini adalah 90. Bilangan ini disebut Terkecilkelipatan persekutuan (CMM).
KPK selalu merupakan bilangan asli yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang didefinisikannya.
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.
Komutatifitas:
Asosiatif:
Khususnya, jika dan merupakan bilangan koprima, maka:
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat M Dan N adalah pembagi semua kelipatan persekutuan lainnya M Dan N. Apalagi himpunan kelipatan persekutuan M N bertepatan dengan himpunan kelipatan KPK ( M N).
Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.
Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:
Berikut definisi dan sifat fungsi Landau g(n).
Berikut ini hukum distribusi bilangan prima.
Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:
1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:
2. Diketahui penguraian kanonik kedua bilangan menjadi faktor prima:
Di mana hal 1 ,...,halk- berbagai bilangan prima, dan d 1 ,...,dk Dan e 1 ,...,ek— bilangan bulat non-negatif (dapat bernilai nol jika bilangan prima yang bersesuaian tidak ada dalam pemuaian).
Kemudian NOC ( A,B) dihitung dengan rumus:
Dengan kata lain, penguraian KPK memuat semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya salah satu penguraian bilangan a, b, dan diambil eksponen terbesar dari dua eksponen faktor tersebut.
Contoh:
Menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan KPK dua bilangan secara berurutan:
Aturan. Untuk mencari KPK dari serangkaian angka, Anda memerlukan:
- menguraikan bilangan menjadi faktor prima;
- pindahkan hasil perkalian terbesar (perkalian faktor-faktor dari bilangan terbesar yang diberikan) ke faktor-faktor hasil kali yang diinginkan, lalu tambahkan faktor-faktor hasil penguraian bilangan-bilangan lain yang tidak muncul pada bilangan pertama atau muncul di dalamnya kali lebih sedikit;
— hasil kali faktor prima adalah KPK dari bilangan-bilangan tersebut.
Dua atau lebih bilangan asli mempunyai KPKnya masing-masing. Jika bilangan-bilangan tersebut bukan kelipatan satu sama lain atau tidak mempunyai faktor pemuaian yang sama, maka KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.
Faktor prima dari bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (bilangan 21), maka hasil perkaliannya (84) adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 21 dan 28.
Faktor prima dari bilangan terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 dari bilangan 25, hasil kali 150 lebih besar dari bilangan terbesar 30 dan habis dibagi semua bilangan tertentu tanpa sisa. Ini adalah hasil kali terkecil (150, 250, 300...) yang merupakan kelipatan dari semua bilangan yang diberikan.
Bilangan 2,3,11,37 adalah bilangan prima, jadi KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.
Aturan. Untuk menghitung KPK bilangan prima, Anda perlu mengalikan semua bilangan tersebut.
Pilihan lain:
Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan, Anda memerlukan:
1) nyatakan setiap bilangan sebagai hasil kali faktor primanya, misalnya:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) tuliskan pangkat semua faktor prima:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) tuliskan semua pembagi prima (pengganda) dari masing-masing bilangan tersebut;
4) pilih derajat terbesar dari masing-masing bilangan, yang terdapat pada semua perluasan bilangan-bilangan tersebut;
5) kalikan kekuatan ini.
Contoh. Tentukan KPK dari bilangan tersebut: 168, 180 dan 3024.
Larutan. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Kita tuliskan pangkat terbesar dari semua pembagi prima dan kalikan:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Pembagi persekutuan terbesar
Definisi 2
Jika bilangan asli a habis dibagi bilangan asli $b$, maka $b$ disebut pembagi $a$, dan $a$ disebut kelipatan $b$.
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Bilangan $c$ disebut pembagi persekutuan dari $a$ dan $b$.
Himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $a$ dan $b$ adalah berhingga, karena tidak ada pembagi yang lebih besar dari $a$. Artinya di antara pembagi tersebut terdapat pembagi terbesar yang disebut pembagi persekutuan terbesar dari bilangan $a$ dan $b$ dan dilambangkan dengan notasi berikut:
$GCD\(a;b)\ atau \D\(a;b)$
Untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan, Anda memerlukan:
- Temukan hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
Contoh 1
Temukan KPK dari angka $121$ dan $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pilihlah angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka tersebut
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Temukan hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
$PBB=2\cdot 11=22$
Contoh 2
Temukan gcd dari monomial $63$ dan $81$.
Kami akan menemukannya sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini:
Mari kita faktorkan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kami memilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mari kita cari hasil kali bilangan-bilangan yang ditemukan pada langkah 2. Bilangan yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
$GCD=3\cdot 3=9$
Anda dapat mencari KPK dari dua bilangan dengan cara lain, yaitu dengan menggunakan sekumpulan pembagi bilangan.
Contoh 3
Temukan KPK dari angka $48$ dan $60$.
Larutan:
Mari kita cari himpunan pembagi bilangan $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Sekarang mari kita cari himpunan pembagi dari bilangan $60$:$\ \kiri\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kanan\) $
Mari kita cari perpotongan himpunan ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - himpunan ini akan menentukan himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam himpunan ini adalah angka $12$. Artinya pembagi persekutuan terbesar dari bilangan $48$ dan $60$ adalah $12$.
Definisi NPL
Definisi 3
Kelipatan persekutuan bilangan asli$a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang merupakan kelipatan $a$ dan $b$.
Kelipatan persekutuan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi bilangan asli tanpa sisa. Misalnya, untuk bilangan $25$ dan $50$, kelipatan persekutuannya adalah bilangan $50,100,150,200$, dst.
Kelipatan persekutuan terkecil disebut kelipatan persekutuan terkecil dan dinotasikan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$
Untuk mencari KPK dari dua bilangan, Anda perlu:
- Faktorkan bilangan menjadi faktor prima
- Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan pertama dan tambahkan ke faktor-faktor tersebut faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan kedua dan bukan bagian dari bilangan pertama.
Contoh 4
Tentukan KPK dari bilangan $99$ dan $77$.
Kami akan menemukannya sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini
Faktorkan bilangan menjadi faktor prima
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam faktor pertama
tambahkan ke dalamnya pengganda yang merupakan bagian dari yang kedua dan bukan bagian dari yang pertama
Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Menyusun daftar pembagi bilangan seringkali merupakan tugas yang sangat memakan waktu. Ada cara untuk mencari GCD yang disebut algoritma Euclidean.
Pernyataan yang menjadi dasar algoritma Euclidean:
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli maka $b
Dengan menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita dapat mengurangi bilangan-bilangan yang dipertimbangkan secara berturut-turut hingga kita mencapai sepasang bilangan sehingga salah satunya habis dibagi yang lain. Maka angka yang lebih kecil akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan untuk angka $a$ dan $b$.
Sifat-sifat GCD dan KPK
- Kelipatan persekutuan $a$ dan $b$ habis dibagi K$(a;b)$
- Jika $a\vdots b$ , maka К$(a;b)=a$
Jika K$(a;b)=k$ dan $m$ bilangan asli, maka K$(am;bm)=km$
Jika $d$ adalah pembagi persekutuan untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ adalah kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$
Untuk bilangan asli $a$ dan $b$ persamaannya berlaku
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Pembagi bilangan $a$ dan $b$ adalah pembagi bilangan $D(a;b)$
Kelipatan adalah bilangan yang habis dibagi suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) suatu kelompok bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap bilangan dalam kelompok tersebut tanpa meninggalkan sisa. Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, Anda perlu mencari faktor prima dari bilangan-bilangan tertentu. KPK juga dapat dihitung menggunakan sejumlah metode lain yang berlaku untuk kelompok dua bilangan atau lebih.
Langkah
Serangkaian kelipatan
- Misalnya, cari kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8. Ini adalah bilangan kecil, jadi Anda bisa menggunakan cara ini.
-
Kelipatan adalah bilangan yang habis dibagi suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan dapat ditemukan di tabel perkalian.
- Misal bilangan kelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Tuliskan deretan bilangan yang merupakan kelipatan bilangan pertama. Lakukan ini di bawah kelipatan angka pertama untuk membandingkan dua kumpulan angka.
- Misalnya bilangan kelipatan 8 adalah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.
-
Temukan bilangan terkecil yang ada pada kedua himpunan kelipatan. Anda mungkin harus menulis rangkaian kelipatan yang panjang untuk menemukan jumlah totalnya. Bilangan terkecil yang terdapat pada kedua himpunan kelipatan adalah kelipatan persekutuan terkecil.
- Misalnya bilangan terkecil yang muncul pada rangkaian kelipatan 5 dan 8 adalah bilangan 40. Oleh karena itu, 40 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8.
Faktorisasi prima
-
Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan ketika diberikan dua angka, yang masing-masing lebih besar dari 10. Jika angka yang diberikan lebih kecil, gunakan metode lain.
- Misalnya, cari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 20 dan 84. Masing-masing angka tersebut lebih besar dari 10, maka Anda bisa menggunakan cara ini.
-
Faktorkan bilangan pertama menjadi faktor prima. Artinya, Anda perlu mencari bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tertentu. Setelah Anda menemukan faktor prima, tulislah sebagai persamaan.
- Misalnya, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\kali 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Jadi, faktor prima dari bilangan 20 adalah bilangan 2, 2 dan 5. Tuliskan sebagai persamaan: .
-
Faktorkan bilangan kedua menjadi faktor prima. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti Anda memfaktorkan bilangan pertama, yaitu mencari bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut.
- Misalnya, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\kali 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\kali 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Jadi, faktor prima dari bilangan 84 adalah bilangan 2, 7, 3 dan 2. Tulislah sebagai persamaan: .
-
Tuliskan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Tuliskan faktor-faktor seperti operasi perkalian. Saat Anda menulis setiap faktor, coretlah kedua ekspresi tersebut (pernyataan yang menjelaskan faktorisasi suatu bilangan menjadi faktor prima).
- Misalnya, kedua bilangan mempunyai faktor persekutuan 2, maka tulislah 2 × (\displaystyle 2\kali ) dan coret angka 2 di kedua ekspresi.
- Persamaan kedua bilangan tersebut adalah faktor 2 lainnya, jadi tulislah 2 × 2 (\displaystyle 2\kali 2) dan coret angka 2 kedua di kedua ekspresi.
-
Tambahkan faktor sisanya ke operasi perkalian. Ini adalah faktor yang tidak dicoret pada kedua persamaan, yaitu faktor yang tidak persekutuan pada kedua bilangan tersebut.
- Misalnya saja pada ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\kali 2\kali 5) Kedua pasangan (2) dicoret karena merupakan faktor persekutuan. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tulislah operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\kali 2\kali 5)
- Dalam ekspresi 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) keduanya berpasangan (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tulislah operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3).
-
Hitung kelipatan persekutuan terkecil. Untuk melakukan ini, kalikan angka-angka dalam operasi perkalian tertulis.
- Misalnya, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 84 adalah 420.
Menemukan faktor persekutuan
-
Gambarlah kotak seperti permainan tic-tac-toe. Grid seperti itu terdiri dari dua garis sejajar yang berpotongan (tegak lurus) dengan dua garis sejajar lainnya. Ini akan memberi Anda tiga baris dan tiga kolom (kisinya sangat mirip dengan ikon #). Tuliskan angka pertama pada baris pertama dan kolom kedua. Tuliskan angka kedua pada baris pertama dan kolom ketiga.
- Misalnya, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 18 dan 30. Tuliskan angka 18 pada baris pertama dan kolom kedua, dan tuliskan angka 30 pada baris pertama dan kolom ketiga.
-
Temukan pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut. Tuliskan pada baris pertama dan kolom pertama. Lebih baik mencari faktor prima, tapi ini bukan keharusan.
- Misalnya 18 dan 30 bilangan genap, maka faktor persekutuannya adalah 2. Jadi tulislah 2 pada baris pertama dan kolom pertama.
-
Bagilah setiap bilangan dengan pembagi pertama. Tuliskan setiap hasil bagi di bawah angka yang sesuai. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan.
- Misalnya, 18 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), jadi tulislah 9 di bawah 18 tahun.
- 30 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tuliskan 15 di bawah 30.
-
Temukan pembagi yang sama untuk kedua hasil bagi. Jika tidak ada pembagi seperti itu, lewati dua langkah berikutnya. Jika tidak, tuliskan pembagi pada baris kedua dan kolom pertama.
- Misalnya 9 dan 15 habis dibagi 3, maka tulislah 3 pada baris kedua dan kolom pertama.
-
Bagilah setiap hasil bagi dengan pembagi keduanya. Tuliskan setiap hasil pembagian di bawah hasil bagi yang sesuai.
- Misalnya, 9 − 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulislah 3 di bawah 9.
- 15 − 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), jadi tulislah 5 di bawah 15.
-
Jika perlu, tambahkan sel tambahan ke grid. Ulangi langkah-langkah yang dijelaskan sampai hasil bagi memiliki pembagi yang sama.
-
Lingkari angka-angka pada kolom pertama dan baris terakhir grid. Kemudian tuliskan angka-angka yang dipilih sebagai operasi perkalian.
- Misalnya angka 2 dan 3 ada di kolom pertama, dan angka 3 dan 5 ada di baris terakhir, maka tuliskan operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5).
-
Temukan hasil perkalian angka. Ini akan menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan tertentu.
- Misalnya, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5=90). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 adalah 90.
Algoritma Euclid
-
Ingat terminologi yang terkait dengan operasi pembagian. Dividen adalah angka yang dibagikan. Pembagi adalah bilangan yang dibagi. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan. Sisanya adalah bilangan yang tersisa ketika dua bilangan dibagi.
- Misalnya saja pada ungkapan 15 − 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
15 adalah dividen
6 adalah pembagi
2 adalah hasil bagi
3 adalah sisanya.
- Misalnya saja pada ungkapan 15 − 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan bila diberikan dua angka, yang masing-masing kurang dari 10. Jika angka yang diberikan lebih besar, gunakan metode lain.
Kriteria pembagian bilangan asli.
Bilangan yang habis dibagi 2 tanpa sisa disebutbahkan .
Bilangan yang tidak habis dibagi 2 disebutaneh .
Uji pembagian dengan 2
Jika suatu bilangan asli berakhiran angka genap, maka bilangan tersebut habis dibagi 2 tanpa sisa, dan jika suatu bilangan berakhiran angka ganjil, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 2.
Misalnya saja angka 60 , 30 8 , 8 4 habis dibagi 2 tanpa sisa dan bilangannya 51 , 8 5 , 16 7 tidak habis dibagi 2 tanpa sisa.
Uji pembagian dengan 3
Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan tersebut habis dibagi 3; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 3, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.
Misalnya, mari kita cari tahu apakah bilangan 2772825 habis dibagi 3. Untuk melakukannya, mari kita hitung jumlah digit angka ini: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - habis dibagi 3. Artinya bilangan 2772825 habis dibagi 3.
Uji keterbagian sebanyak 5
Jika pencatatan suatu bilangan diakhiri dengan angka 0 atau 5, maka bilangan tersebut habis dibagi 5 tanpa sisa.
Misalnya saja angka 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 habis dibagi 5 tanpa sisa, dan bilangan tersebut adalah 17 , 37 8 , 9 1 jangan berbagi.
Uji keterbagian sebesar 9
Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan tersebut habis dibagi 9; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 9, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 9.
Misalnya, mari kita cari tahu apakah bilangan 5402070 habis dibagi 9. Untuk melakukannya, mari kita hitung jumlah digit angka ini: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - tidak habis dibagi 9 Artinya bilangan 5402070 tidak habis dibagi 9.
Uji keterbagian sebesar 10
Jika suatu bilangan asli diakhiri dengan angka 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 tanpa sisa. Jika suatu bilangan asli diakhiri dengan angka lain, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 10.
Misalnya saja angka 40 , 17 0 , 1409 0 habis dibagi 10 tanpa sisa, dan bilangan 17 , 9 3 , 1430 7 - jangan berbagi.
Aturan untuk mencari pembagi persekutuan terbesar (PBB).
Untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari beberapa bilangan asli, Anda perlu:
2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu bilangan tersebut, coretlah faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan lainnya;
3) temukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.
Contoh. Mari kita cari GCD (48;36). Mari kita gunakan aturannya.
1. Mari kita faktorkan bilangan 48 dan 36 menjadi faktor prima.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan 48, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Faktor sisanya adalah 2, 2 dan 3.
3. Kalikan faktor sisanya dan dapatkan 12. Bilangan ini merupakan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 48 dan 36.
KPK (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan asli, Anda perlu:
1) memfaktorkannya menjadi faktor prima;
2) menuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu bilangan;
3) menambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan-bilangan yang tersisa;
4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.
Contoh. Mari kita cari LOC (75;60). Mari kita gunakan aturannya.
1. Mari kita faktorkan bilangan 75 dan 60 menjadi faktor prima.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan 75: 3, 5, 5.
KPK(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Tambahkan ke dalamnya faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan 60, yaitu. 2, 2.
KPK(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan
KPK(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
