Mungkin semua orang tahu apa itu parabola. Namun kita akan melihat bagaimana menggunakannya dengan benar dan kompeten ketika memecahkan berbagai masalah praktis di bawah ini.
Pertama, mari kita uraikan konsep dasar yang diberikan aljabar dan geometri pada istilah ini. Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan jenis grafik ini.
Mari cari tahu semua karakteristik utama dari fungsi ini. Mari kita pahami dasar-dasar konstruksi kurva (geometri). Mari pelajari cara mencari nilai puncak dan nilai dasar lainnya dari grafik jenis ini.
Mari kita cari tahu: cara membuat kurva yang diinginkan dengan benar menggunakan persamaan, apa saja yang perlu Anda perhatikan. Mari kita lihat penerapan praktis utama dari nilai unik ini dalam kehidupan manusia.
Apa itu parabola dan seperti apa bentuknya?
Aljabar: Istilah ini mengacu pada grafik fungsi kuadrat.
Geometri: ini adalah kurva orde kedua yang memiliki sejumlah ciri khusus:
Persamaan parabola kanonik
Gambar tersebut menunjukkan sistem koordinat persegi panjang (XOY), ekstrem, arah cabang-cabang fungsi yang menggambar sepanjang sumbu absis.
Persamaan kanoniknya adalah:
kamu 2 = 2 * p * x,
dimana koefisien p adalah parameter fokus parabola (AF).
Dalam aljabar akan ditulis berbeda:
y = a x 2 + b x + c (pola yang dapat dikenali: y = x 2).
Sifat dan grafik fungsi kuadrat
Fungsi tersebut mempunyai sumbu simetri dan pusat (ekstrim). Daerah definisinya adalah semua nilai sumbu absis.
Kisaran nilai fungsi – (-∞, M) atau (M, +∞) bergantung pada arah cabang kurva. Parameter M di sini berarti nilai fungsi di bagian atas baris.
Cara menentukan kemana arah cabang parabola
Untuk menemukan arah kurva jenis ini dari suatu ekspresi, Anda perlu menentukan tanda sebelum parameter pertama dari ekspresi aljabar. Jika a ˃ 0, maka diarahkan ke atas. Jika sebaliknya, turun.
Cara mencari titik puncak parabola menggunakan rumus
Menemukan titik ekstrem adalah langkah utama dalam memecahkan banyak masalah praktis. Tentu saja Anda bisa membuka kalkulator online khusus, tapi lebih baik bisa melakukannya sendiri.
Bagaimana cara menentukannya? Ada rumus khusus. Jika b tidak sama dengan 0, kita perlu mencari koordinat titik tersebut.
Rumus mencari titik puncak:
- x 0 = -b / (2 * a);
- kamu 0 = kamu (x 0).
Contoh.
Terdapat fungsi y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Mari kita cari titik sudut dari fungsi ini.
Untuk garis seperti ini:
- x = -16 / (2 * 4) = -2;
- kamu = 4*4 - 16*2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Kita mendapatkan koordinat titik (-2, -41).
Perpindahan parabola
Kasus klasiknya adalah ketika dalam fungsi kuadrat y = a x 2 + b x + c, parameter kedua dan ketiga sama dengan 0, dan = 1 - titik puncaknya berada di titik (0; 0).
Pergerakan sepanjang sumbu absis atau sumbu ordinat disebabkan oleh perubahan parameter b dan c masing-masing. Garis pada bidang akan digeser tepat dengan jumlah satuan yang sama dengan nilai parameter.
Contoh.
Kita mempunyai: b = 2, c = 3.
Artinya bentuk klasik kurva akan bergeser sebesar 2 satuan ruas sepanjang sumbu absis dan 3 ruas sepanjang sumbu ordinat.
Cara membuat parabola menggunakan persamaan kuadrat
Penting bagi anak sekolah untuk mempelajari cara menggambar parabola dengan benar sesuai dengan parameter yang diberikan.
Dengan menganalisis ekspresi dan persamaan, Anda dapat melihat hal berikut:
- Titik potong garis yang diinginkan dengan vektor ordinat akan bernilai c.
- Semua titik pada grafik (sepanjang sumbu x) akan simetris terhadap titik ekstrem utama fungsi tersebut.
Selain itu, titik potong dengan OX dapat dicari dengan mengetahui diskriminan (D) dari fungsi tersebut:
D = (b 2 - 4 * a * c).
Untuk melakukan ini, Anda perlu menyamakan ekspresi tersebut dengan nol.
Keberadaan akar parabola bergantung pada hasilnya:
- D ˃ 0, maka x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D = 0, maka x 1, 2 = -b / (2*a);
- D ˂ 0, maka tidak ada titik potong dengan vektor OX.
Kami mendapatkan algoritma untuk membuat parabola:
- menentukan arah cabang;
- temukan koordinat titik;
- temukan perpotongan dengan sumbu ordinat;
- carilah perpotongan dengan sumbu x.
Contoh 1.
Diketahui fungsi y = x 2 - 5 * x + 4. Kita perlu membuat parabola. Kami mengikuti algoritma:
- a = 1, oleh karena itu cabang-cabangnya mengarah ke atas;
- koordinat ekstrem: x = - (-5) / 2 = 5/2; kamu = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- berpotongan dengan sumbu ordinat pada nilai y = 4;
- mari kita cari diskriminannya: D = 25 - 16 = 9;
- mencari akar:
- X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).
Contoh 2.
Untuk fungsi y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 Anda perlu membuat parabola. Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang diberikan:
- a = 3, jadi cabangnya mengarah ke atas;
- koordinat ekstrem: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; kamu = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- akan berpotongan dengan sumbu y pada nilai y = -1;
- mari kita cari pembedanya: D = 4 + 12 = 16. Jadi akar-akarnya adalah:
- X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
Dengan menggunakan titik-titik yang diperoleh, Anda dapat membuat parabola.
Direktriks, eksentrisitas, fokus parabola
Berdasarkan persamaan kanonik, fokus F mempunyai koordinat (p/2, 0).
Garis lurus AB merupakan direktriks (semacam tali busur parabola yang panjangnya tertentu). Persamaannya adalah x = -p/2.
Eksentrisitas (konstan) = 1.
Kesimpulan
Kami melihat topik yang dipelajari siswa di sekolah menengah. Sekarang Anda tahu, dengan melihat fungsi kuadrat parabola, bagaimana mencari titik puncaknya, ke arah mana cabang-cabangnya akan diarahkan, apakah ada perpindahan sepanjang sumbu, dan, dengan memiliki algoritma konstruksi, Anda dapat menggambar grafiknya.
Saya menyarankan agar pembaca lainnya memperluas pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola secara signifikan. Hiperbola dan parabola - apakah sederhana? ...Tidak sabar =)
Hiperbola dan persamaan kanoniknya
Struktur penyajian materi secara umum akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan tugas membangunnya.
Persamaan kanonik hiperbola berbentuk , dimana bilangan real positif. Harap dicatat bahwa, tidak seperti elips, syaratnya tidak berlaku di sini, yaitu nilai “a” boleh lebih kecil dari nilai “menjadi”.
Saya harus mengatakan, secara tidak terduga… persamaan hiperbola “sekolah” bahkan tidak mirip dengan notasi kanonik. Namun misteri ini masih harus menunggu kita, namun untuk saat ini mari kita garuk-garuk kepala dan mengingat ciri-ciri apa yang dimiliki kurva tersebut? Mari kita sebarkan di layar imajinasi kita grafik suatu fungsi ….
Hiperbola mempunyai dua cabang yang simetris.
Bukan kemajuan yang buruk! Hiperbola apa pun memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher baris ini:
Contoh 4
Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan
Larutan: pada langkah pertama, kita membawa persamaan ini ke bentuk kanonik. Harap ingat prosedur standar. Di sebelah kanan Anda perlu mendapatkan “satu”, jadi kita bagi kedua ruas persamaan awal dengan 20: 
Di sini Anda dapat mengurangi kedua pecahan, tetapi akan lebih optimal jika melakukan masing-masing pecahan tiga lantai:
Dan baru setelah itu lakukan pengurangan:
Pilih kotak di penyebutnya:
Mengapa lebih baik melakukan transformasi dengan cara ini? Toh pecahan di ruas kiri bisa langsung dikurangi dan diperoleh. Faktanya adalah bahwa dalam contoh yang dipertimbangkan kami sedikit beruntung: angka 20 habis dibagi 4 dan 5. Secara umum, angka seperti itu tidak berfungsi. Misalnya saja persamaannya. Di sini semuanya lebih menyedihkan dengan dan tanpa keterbagian pecahan tiga lantai tidak mungkin lagi: 
Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:
Bagaimana cara membuat hiperbola?
Ada dua pendekatan untuk membangun hiperbola - geometris dan aljabar.
Dari sudut pandang praktis, menggambar dengan kompas... Saya bahkan akan mengatakan utopis, jadi jauh lebih menguntungkan untuk sekali lagi menggunakan perhitungan sederhana untuk membantu.
Dianjurkan untuk mengikuti algoritma berikut, pertama gambar yang sudah jadi, lalu komentar:
Dalam prakteknya, sering dijumpai kombinasi rotasi dengan sudut sembarang dan translasi paralel hiperbola. Situasi ini dibahas di kelas Mereduksi persamaan garis orde 2 menjadi bentuk kanonik.
Parabola dan persamaan kanoniknya
Sudah selesai! Dialah orangnya. Siap mengungkap banyak rahasia. Persamaan kanonik parabola berbentuk , dimana merupakan bilangan real. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam posisi standarnya parabola “terletak pada sisinya” dan titik puncaknya berada di titik asal. Dalam hal ini, fungsinya menentukan cabang atas dari garis ini, dan fungsinya – cabang bawah. Jelas bahwa parabola simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya kenapa repot-repot:
Contoh 6
Buatlah sebuah parabola
Larutan: titik puncaknya diketahui, cari titik tambahannya. Persamaan 
menentukan busur atas parabola, persamaan menentukan busur bawah.
Untuk mempersingkat pencatatan perhitungan, kami akan melakukan perhitungan “dengan satu kuas”: 
Untuk pencatatan yang ringkas, hasilnya dapat diringkas dalam sebuah tabel.
Sebelum melakukan gambar dasar poin demi poin, mari kita rumuskan secara ketat
definisi parabola:
Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu yang tidak melalui titik tersebut.
Intinya disebut fokus parabola, garis lurus - kepala sekolah (dieja dengan satu "es") parabola. Konstanta "pe" dari persamaan kanonik disebut parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke direktriks. Dalam hal ini. Dalam hal ini, fokusnya memiliki koordinat , dan direktriksnya diberikan oleh persamaan .
Dalam contoh kita: 
Definisi parabola bahkan lebih sederhana untuk dipahami dibandingkan definisi elips dan hiperbola. Untuk setiap titik pada parabola, panjang segmen (jarak fokus ke titik) sama dengan panjang tegak lurus (jarak titik ke direktriks):
Selamat! Banyak dari Anda telah membuat penemuan nyata hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola sama sekali bukan grafik fungsi “biasa”, tetapi mempunyai asal usul geometri yang jelas.
Jelasnya, dengan peningkatan parameter fokus, cabang-cabang grafik akan “naik” ke atas dan ke bawah, mendekati sumbu tanpa batas. Ketika nilai “pe” menurun, mereka akan mulai memampatkan dan meregang sepanjang sumbu
Eksentrisitas parabola apa pun sama dengan satu:
Rotasi dan translasi paralel parabola
Parabola adalah salah satu garis paling umum dalam matematika, dan Anda harus sering membuatnya. Oleh karena itu, harap berikan perhatian khusus pada paragraf terakhir pelajaran ini, di mana saya akan membahas pilihan umum untuk lokasi kurva ini.
! Catatan : seperti halnya kurva sebelumnya, lebih tepat berbicara tentang rotasi dan translasi paralel sumbu koordinat, tetapi penulis akan membatasi dirinya pada versi penyajian yang disederhanakan sehingga pembaca memiliki pemahaman dasar tentang transformasi ini.
Parabola adalah kurva tak hingga yang terdiri dari titik-titik yang berjarak sama dari suatu garis tertentu, yang disebut direktriks parabola, dan suatu titik tertentu yang disebut fokus parabola. Parabola adalah bagian berbentuk kerucut, yaitu perpotongan bidang dan kerucut lingkaran.
Secara umum persamaan matematika parabola berbentuk: y=ax^2+bx+c, dengan a tidak sama dengan nol, b mencerminkan perpindahan horizontal grafik fungsi relatif terhadap titik asal, dan c adalah vertikal perpindahan grafik fungsi relatif terhadap titik asal. Apalagi jika a>0, maka saat memplot grafiknya akan mengarah ke atas, dan jika aSifat parabola
Parabola adalah kurva orde dua yang mempunyai sumbu simetri yang melalui titik fokus parabola dan tegak lurus terhadap direktriks parabola.
Parabola mempunyai sifat optik khusus, yaitu memfokuskan sinar cahaya yang sejajar dengan sumbu simetrinya dan diarahkan ke parabola di titik puncak parabola dan pengaburan berkas cahaya yang diarahkan ke titik puncak parabola menjadi sinar cahaya paralel relatif terhadap sumbu yang sama.
Jika parabola dipantulkan relatif terhadap suatu garis singgung, maka bayangan parabola tersebut akan muncul pada direktriksnya. Semua parabola sebangun satu sama lain, yaitu untuk setiap dua titik A dan B pada satu parabola, terdapat titik A1 dan B1 yang pernyataan |A1,B1| = |A,B|*k, dimana k adalah koefisien kemiripan yang nilai numeriknya selalu lebih besar dari nol.
Manifestasi parabola dalam kehidupan
Beberapa benda kosmik, seperti komet atau asteroid, yang melintas di dekat objek kosmik besar dengan kecepatan tinggi memiliki lintasan berbentuk parabola. Properti benda kosmik kecil ini digunakan dalam manuver gravitasi pesawat ruang angkasa.
Untuk melatih kosmonot masa depan, penerbangan pesawat khusus dilakukan di darat sepanjang lintasan parabola, sehingga mencapai efek tanpa bobot di medan gravitasi bumi.
Dalam kehidupan sehari-hari, parabola dapat ditemukan pada berbagai perlengkapan pencahayaan. Hal ini disebabkan oleh sifat optik parabola. Salah satu cara terbaru untuk menggunakan parabola, berdasarkan sifat pemfokusan dan pengaburan sinar cahaya, adalah panel surya, yang semakin banyak dimasukkan dalam sektor pasokan energi di wilayah selatan Rusia.
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari titik F tertentu dan garis lurus d yang tidak melalui titik tersebut. Definisi geometris ini mengungkapkan sifat direksional parabola.
Properti direktori parabola
Titik F disebut fokus parabola, garis d adalah direktriks parabola, titik tengah O tegak lurus diturunkan dari fokus ke direktriks adalah titik sudut parabola, jarak p dari fokus ke direktriks adalah parameter parabola, dan jarak \frac(p)(2) dari titik puncak parabola ke fokusnya adalah panjang fokus (Gbr. 3.45a). Garis lurus yang tegak lurus terhadap direktriks dan melalui fokus disebut sumbu parabola (sumbu fokus parabola). Segmen FM yang menghubungkan titik sembarang M parabola dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M. Ruas yang menghubungkan dua titik pada parabola disebut tali busur parabola.
Untuk titik sembarang parabola, perbandingan jarak ke fokus dan jarak ke direktriks sama dengan satu. Membandingkan sifat direksional dari , dan parabola, kami menyimpulkan bahwa eksentrisitas parabola menurut definisi sama dengan satu (e=1).
Definisi geometris parabola, yang menyatakan sifat direkturnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang ditentukan oleh persamaan kanonik parabola:
Memang, mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.45, b). Kita ambil titik puncak O parabola sebagai titik asal sistem koordinat; kita ambil garis lurus yang melalui fokus tegak lurus direktriks sebagai sumbu absis (arah positifnya adalah dari titik O ke titik F); Mari kita ambil garis lurus yang tegak lurus sumbu absis dan melalui titik puncak parabola sebagai sumbu ordinat (arah pada sumbu ordinat dipilih agar sistem koordinat persegi panjang Oxy benar).
Mari kita buat persamaan parabola menggunakan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat direksional parabola. Pada sistem koordinat yang dipilih, kita menentukan koordinat fokus F\!\kiri(\frac(p)(2);\,0\kanan) dan persamaan direktriks x=-\frac(p)(2) . Untuk titik sembarang M(x,y) yang termasuk dalam parabola, kita mempunyai:
FM=MM_d,
Di mana M_d\!\kiri(\frac(p)(2);\,y\kanan)- proyeksi ortogonal dari titik M(x,y) ke direktriks. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:
\sqrt((\kiri(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Kami mengkuadratkan kedua sisi persamaan: (\kiri(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Membawa istilah serupa, kita dapatkan persamaan parabola kanonik
y^2=2\cdot p\cdot x, itu. sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.
Dengan melakukan penalaran dalam urutan terbalik, kita dapat menunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.51), dan hanya titik tersebut, termasuk dalam tempat kedudukan titik-titik yang disebut parabola. Jadi, definisi analitis parabola setara dengan definisi geometriknya, yang menyatakan sifat direksional parabola.
Persamaan parabola dalam sistem koordinat kutub
Persamaan parabola dalam sistem koordinat kutub Fr\varphi (Gbr. 3.45, c) memiliki bentuk
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), dimana p adalah parameter parabola, dan e=1 adalah eksentrisitasnya.
Faktanya, sebagai kutub sistem koordinat kutub kita memilih fokus F parabola, dan sebagai sumbu kutub - sinar yang berawal di titik F, tegak lurus terhadap direktriks dan tidak memotongnya (Gbr. 3.45, c) . Kemudian untuk titik sembarang M(r,\varphi) yang termasuk dalam parabola, menurut definisi geometri (sifat arah) dari parabola, kita mempunyai MM_d=r. Karena MM_d=p+r\cos\varphi, kita memperoleh persamaan parabola dalam bentuk koordinat:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Panah kiri-kanan \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Perhatikan bahwa dalam koordinat kutub persamaan elips, hiperbola, dan parabola bertepatan, tetapi menggambarkan garis yang berbeda, karena eksentrisitasnya berbeda (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 untuk ).
Arti geometris dari parameter dalam persamaan parabola
Mari kita jelaskan arti geometris dari parameter p dalam persamaan parabola kanonik. Mengganti x=\frac(p)(2) ke dalam persamaan (3.51), kita memperoleh y^2=p^2, yaitu y=\pm p . Oleh karena itu, parameter p adalah setengah panjang tali busur parabola yang melalui fokusnya tegak lurus sumbu parabola.
Parameter fokus parabola, serta untuk elips dan hiperbola, disebut setengah panjang tali busur yang melalui fokusnya tegak lurus sumbu fokus (lihat Gambar 3.45, c). Dari persamaan parabola pada koordinat kutub di \varphi=\frac(\pi)(2) kita mendapatkan r=p, yaitu parameter parabola bertepatan dengan parameter fokusnya.
Catatan 3.11.
1. Parameter p parabola mencirikan bentuknya. Semakin besar p, semakin lebar cabang parabola, semakin dekat p ke nol, maka semakin sempit cabang parabola (Gbr. 3.46).
2. Persamaan y^2=-2px (untuk p>0) mendefinisikan parabola yang terletak di sebelah kiri sumbu ordinat (Gbr. 3.47,a). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik dengan mengubah arah sumbu x (3.37). Pada Gambar. 3.47,a menunjukkan sistem koordinat Oxy dan Ox"y" kanonik.
3. Persamaan (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 mendefinisikan parabola dengan titik puncak O"(x_0,y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu absis (Gbr. 3.47,6). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36).
Persamaan (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, juga mendefinisikan parabola dengan titik puncak O"(x_0,y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu ordinat (Gbr. 3.47, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36) dan mengganti nama menjadi sumbu koordinat (3.38). Pada Gambar 3.47,b,c menggambarkan sistem koordinat yang diberikan Oxy dan sistem koordinat kanonik Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 adalah parabola yang mempunyai titik sudut di titik tersebut O"\!\kiri(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan), yang sumbunya sejajar dengan sumbu ordinat, cabang-cabang parabola mengarah ke atas (untuk a>0) atau ke bawah (untuk a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\kanan)^2=\frac(1)(a)\kiri(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan)\!,
yang direduksi menjadi bentuk kanonik (y")^2=2px" , di mana p=\kiri|\frac(1)(2a)\kanan|, menggunakan penggantian y"=x+\frac(b)(2a) Dan x"=\pm\!\kiri(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan).
Tanda tersebut dipilih bertepatan dengan tanda koefisien utama a. Penggantian ini sesuai dengan komposisi: transfer paralel (3.36) dengan x_0=-\frac(b)(2a) Dan y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), mengganti nama sumbu koordinat (3.38), dan dalam kasus a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 dan sebuah<0 соответственно.
5. Sumbu x dari sistem koordinat kanonik adalah sumbu simetri parabola, karena mengganti variabel y dengan -y tidak mengubah persamaan (3.51). Dengan kata lain, koordinat titik M(x,y), yang termasuk dalam parabola, dan koordinat titik M"(x,-y), simetris terhadap titik M terhadap sumbu x, memenuhi persamaan (3.S1). Sumbu sistem koordinat kanonik disebut sumbu utama parabola.
Contoh 3.22.
Gambarlah parabola y^2=2x dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan parameter fokus, koordinat fokus, dan persamaan direktriks. Larutan. Kami membuat parabola, dengan mempertimbangkan simetrinya relatif terhadap sumbu absis (Gbr. 3.49). Jika perlu, tentukan koordinat beberapa titik parabola. Misalnya, dengan mensubstitusikan x=2 ke persamaan parabola, kita peroleh y^2=4~\Panah Kanan Kiri~y=\pm2
. Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat (2;2),\,(2;-2) termasuk dalam parabola. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik (3.S1), kami menentukan parameter fokus: p=1. Koordinat fokus x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , yaitu F\!\kiri(\frac(1)(2),\,0\kanan)
. Kami menyusun persamaan direktriks x=-\frac(p)(2) , yaitu. x=-\frac(1)(2) .
1. Properti direktur dapat digunakan sebagai definisi tunggal dari elips, hiperbola, parabola (lihat Gambar 3.50): tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang masing-masing perbandingan jarak ke titik tertentu F (fokus) dengan jarak ke garis lurus tertentu d (direktriks) yang tidak melalui suatu titik tertentu adalah konstan dan sama dengan eksentrisitas e , disebut:
a) jika 0\leqslant e<1 ;
b) jika e>1;
c) parabola jika e=1.
2. Elips, hiperbola, dan parabola diperoleh sebagai bidang pada bagian kerucut lingkaran dan oleh karena itu disebut bagian berbentuk kerucut. Properti ini juga dapat berfungsi sebagai definisi geometris dari elips, hiperbola, dan parabola.
3. Sifat umum elips, hiperbola dan parabola antara lain properti bisektoral garis singgung mereka. Di bawah garis singgung terhadap suatu garis di suatu titik K dipahami sebagai kedudukan batas garis potong KM apabila titik M yang masih berada pada garis yang ditinjau cenderung ke titik K. Garis lurus yang tegak lurus garis singgung suatu garis dan melalui titik singgung tersebut disebut normal ke baris ini.
Sifat garis bagi garis singgung (dan normal) elips, hiperbola, dan parabola dirumuskan sebagai berikut: garis singgung (normal) elips atau hiperbola membentuk sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus titik singgung tersebut(Gbr. 3.51, a, b); garis singgung (normal) parabola membentuk sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus titik singgung dan garis tegak lurus turun ke arah direktriks(Gbr. 3.51, c). Dengan kata lain, garis singgung elips di titik K adalah garis bagi sudut luar segitiga F_1KF_2 (dan garis normal adalah garis bagi sudut dalam F_1KF_2 segitiga); garis singgung hiperbola adalah garis bagi sudut dalam segitiga F_1KF_2 (dan garis normal adalah garis bagi sudut luar); garis singgung parabola adalah garis bagi sudut dalam segitiga FKK_d (dan garis normal adalah garis bagi sudut luar). Sifat garis bagi garis singgung parabola dapat dirumuskan dengan cara yang sama seperti elips dan hiperbola, jika kita berasumsi bahwa parabola mempunyai fokus kedua pada titik tak terhingga.
4. Dari sifat-sifat garis-bagi berikut ini sifat optik elips, hiperbola dan parabola, menjelaskan arti fisik dari istilah "fokus". Mari kita bayangkan permukaan yang dibentuk dengan memutar elips, hiperbola, atau parabola di sekitar sumbu fokus. Jika lapisan reflektif diterapkan pada permukaan ini, diperoleh cermin elips, hiperbolik, dan parabola. Menurut hukum optik, sudut datang berkas cahaya pada cermin sama dengan sudut pantul, yaitu. sinar datang dan sinar pantul membentuk sudut yang sama besar dengan garis normal permukaan, dan kedua sinar serta sumbu rotasi berada pada bidang yang sama. Dari sini kita mendapatkan properti berikut:
– jika sumber cahaya terletak pada salah satu fokus cermin elips, maka sinar cahaya yang dipantulkan dari cermin dikumpulkan pada fokus lain (Gbr. 3.52, a);
– jika sumber cahaya terletak di salah satu fokus cermin hiperbolik, maka sinar cahaya yang dipantulkan dari cermin akan menyimpang seolah-olah datang dari fokus lain (Gbr. 3.52, b);
– jika sumber cahaya berada pada fokus cermin parabola, maka sinar cahaya yang dipantulkan dari cermin sejajar dengan sumbu fokus (Gbr. 3.52, c).
5. Properti diametris elips, hiperbola dan parabola dapat dirumuskan sebagai berikut:
– titik tengah tali busur sejajar suatu elips (hiperbola) terletak pada satu garis lurus yang melalui pusat elips (hiperbola);
– titik tengah tali busur sejajar parabola terletak pada sumbu simetri parabola yang lurus dan segaris.
Tempat kedudukan titik tengah semua tali busur sejajar elips (hiperbola, parabola) disebut diameter elips (hiperbola, parabola), konjugasi ke akord ini.
Inilah definisi diameter dalam arti sempit (lihat contoh 2.8). Sebelumnya pengertian diameter diberikan dalam arti luas, dimana diameter suatu elips, hiperbola, parabola, dan garis orde kedua lainnya adalah garis lurus yang memuat titik tengah semua tali busur sejajar. Dalam arti sempit, diameter elips adalah setiap tali busur yang melalui pusatnya (Gbr. 3.53, a); diameter hiperbola adalah setiap garis lurus yang melalui pusat hiperbola (kecuali asimtot), atau bagian dari garis lurus tersebut (Gbr. 3.53,6); Diameter parabola adalah setiap sinar yang memancar dari suatu titik tertentu pada parabola dan segaris terhadap sumbu simetri (Gbr. 3.53, c).
Dua diameter, yang masing-masing membagi dua tali busur yang sejajar dengan diameter lainnya, disebut konjugasi. Pada Gambar 3.53, garis tebal menunjukkan diameter konjugasi elips, hiperbola, dan parabola.
Garis singgung elips (hiperbola, parabola) di titik K dapat didefinisikan sebagai posisi batas garis potong sejajar M_1M_2, ketika titik M_1 dan M_2, yang tetap berada pada garis yang ditinjau, cenderung ke titik K. Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa garis singgung yang sejajar dengan tali busur melewati ujung diameter yang terkonjugasi dengan tali busur tersebut.
6. Elips, hiperbola, dan parabola, selain yang diberikan di atas, memiliki banyak sifat geometris dan aplikasi fisik. Misalnya, Gambar 3.50 dapat berfungsi sebagai ilustrasi lintasan benda luar angkasa yang terletak di sekitar pusat gravitasi F.
