Pandangan umum persamaan parabola. Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Parabola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu(fokus)dan dari suatu garis tertentu yang tidak melalui suatu titik tertentu (kepala sekolah), terletak di bidang yang sama(Gbr. 5).

Dalam hal ini, sistem koordinat dipilih sehingga menjadi sumbu
melewati tegak lurus terhadap direktriks melalui fokus, arah positifnya dipilih dari direktriks menuju fokus. Sumbu ordinat sejajar dengan direktriks, di tengah-tengah antara direktriks dan fokus, sehingga diperoleh persamaan direktriks
, koordinat fokus
. Titik asal adalah titik puncak parabola, dan sumbu x adalah sumbu simetrinya. Eksentrisitas parabola
.

Dalam beberapa kasus, parabola yang ditentukan oleh persamaan juga dipertimbangkan

A)

B)
(untuk semua kasus
)

V)
.

Dalam kasus a) parabola simetris terhadap sumbunya
dan diarahkan ke arah negatifnya (Gbr. 6).

Dalam kasus b) dan c) sumbu simetri adalah sumbunya
(Gbr. 6). Koordinat fokus untuk kasus berikut:

A)
B)
V)
.

Persamaan direktriks:

A)
B)
V)
.

Contoh 4. Parabola yang mempunyai titik sudut di titik asal melewati suatu titik
dan simetris terhadap sumbunya
. Tulis persamaannya.

Larutan:

Karena parabola simetris terhadap sumbunya
dan melewati titik tersebut dengan absis positif, maka bentuknya seperti pada Gambar 5.

Mengganti koordinat titik ke dalam persamaan parabola tersebut
, kita mendapatkan
, yaitu.
.

Oleh karena itu, diperlukan persamaan

,

fokus parabola ini
, persamaan direktriks
.

4. Transformasi persamaan garis orde kedua ke bentuk kanonik.

Persamaan umum derajat kedua berbentuk

di mana koefisiennya
jangan pergi ke nol pada saat yang sama.

Setiap garis yang ditentukan oleh persamaan (6) disebut garis orde kedua. Dengan menggunakan transformasi sistem koordinat, persamaan garis orde kedua dapat direduksi menjadi bentuk yang paling sederhana (kanonik).

1. Dalam persamaan (6)
. Dalam hal ini, persamaan (6) berbentuk

Ini diubah ke bentuk paling sederhana menggunakan terjemahan paralel sumbu koordinat sesuai dengan rumus

(8)

Di mana
– koordinat awal yang baru
(dalam sistem koordinat lama). As roda baru
Dan
sejajar dengan yang lama. Dot
adalah pusat elips atau hiperbola dan titik sudut dalam kasus parabola.

Persamaan (7) dapat direduksi menjadi bentuk yang paling sederhana dengan mudah menggunakan metode mengisolasi kuadrat lengkap, serupa dengan yang dilakukan pada lingkaran.

Contoh 5. Ubah persamaan garis orde kedua menjadi bentuk yang paling sederhana. Tentukan jenis dan lokasi garis ini. Temukan koordinat fokusnya. Buatlah gambar.

Larutan:

Kami mengelompokkan anggota yang hanya berisi tapi hanya , mengambil koefisien untuk Dan di belakang braket:

Kami melengkapi ekspresi dalam tanda kurung untuk melengkapi kotak:

Dengan demikian, persamaan ini diubah ke dalam bentuk

Kami menunjuk

atau

Dibandingkan dengan persamaan (8), kita melihat bahwa rumus ini menentukan perpindahan paralel sumbu koordinat ke suatu titik
. Pada sistem koordinat baru, persamaannya akan ditulis sebagai berikut:

Memindahkan suku bebas ke kanan dan membaginya, kita mendapatkan:

.

Jadi, garis orde kedua ini berbentuk elips dengan sumbu semi
,
. Pusat elips berada pada titik asal yang baru
, dan sumbu fokusnya adalah sumbu
. Jarak fokus dari pusat, jadi koordinat fokus baru
. Koordinat lama dari fokus yang sama ditemukan dari rumus terjemahan paralel:

Begitu pula dengan koordinat fokus kiri yang baru
,
. Koordinat lamanya:
,
.

Setelah mendapatkan simpul elips, kita menggambar elips itu sendiri (Gbr. 7). Komentar
. Untuk memperjelas gambar, ada gunanya mencari titik potong garis ini (7) dengan sumbu koordinat lama. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita harus memasukkan rumus (7)
, kemudian

dan selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Munculnya akar kompleks berarti garis (7) tidak memotong sumbu koordinat yang bersangkutan.

Misalnya, untuk soal elips yang baru saja dibahas, diperoleh persamaan berikut:
Persamaan kedua ini memiliki akar kompleks, sehingga sumbu elips

tidak melintasi. Akar persamaan pertama adalah:
Dan
Pada titik-titik
elips memotong sumbu

(Gbr. 7). Contoh 6.

Larutan:

Ubah persamaan garis orde kedua menjadi bentuk yang paling sederhana. Tentukan jenis dan letak garis, cari koordinat fokusnya. Sejak anggota dengan :

hilang, maka Anda perlu memilih kotak lengkap saja

.

Kami menunjuk

atau

Kami juga mengambil koefisien di
Hal ini menghasilkan perpindahan paralel sistem koordinat ke suatu titik

.

Besarnya

.

setara untuknya.

Oleh karena itu fokusnya mempunyai koordinat baru
Koordinat lamanya
Jika kita memasukkan persamaan ini
atau
, maka kita mengetahui bahwa parabola tersebut memotong sumbunya
pada intinya

2. , dan sumbu
. Persamaan umum (1) derajat kedua diubah menjadi bentuk (2), yaitu. dengan yang dibahas pada paragraf 1. kasusnya, dengan memutar sumbu koordinat dengan suatu sudut
menurut rumus

(9)

Di mana
– koordinat baru. Sudut
ditemukan dari persamaan

Sumbu koordinat diputar sehingga muncul sumbu baru
Dan
sejajar dengan sumbu simetri garis orde kedua.

Penuh arti
, dapat ditemukan
Dan
menggunakan rumus trigonometri

,
.

Jika sudut rotasi
setuju dianggap lancip, maka pada rumus tersebut kita harus mengambil tanda tambah, dan untuk
kita juga harus mengambil solusi positif untuk persamaan (5).

Khususnya, kapan
sistem koordinat harus diputar miring
. Rumus rotasi batubara adalah sebagai berikut:

(11)

Contoh 7. Ubah persamaan garis orde kedua menjadi bentuk yang paling sederhana. Tetapkan jenis dan lokasi garis ini.

Larutan:

Pada kasus ini
, 1
,
, jadi sudut rotasinya
ditemukan dari persamaan

.

Solusi untuk persamaan ini
Dan
. Membatasi pada sudut lancip
, mari kita ambil yang pertama. Kemudian

,

,
.

Mengganti nilai-nilai ini Dan ke dalam persamaan ini

Membuka tanda kurung dan membawa yang serupa, kita dapatkan

.

Terakhir, membaginya dengan suku tiruan, kita sampai pada persamaan elips

.

Oleh karena itu
,
, dan sumbu utama elips diarahkan sepanjang sumbu
, dan yang kecil – di sepanjang sumbu
.

Anda mengerti maksudnya
, yang radiusnya
condong ke sumbu
pada suatu sudut
, untuk itu
. Oleh karena itu, melalui poin ini
dan sumbu x baru akan lewat. Lalu kita tandai pada sumbunya
Dan
simpul elips dan gambar elips (Gbr. 9).

Perhatikan bahwa elips ini memotong sumbu koordinat lama di titik-titik yang diperoleh dari persamaan kuadrat (jika kita masukkan ke dalam persamaan ini
Koordinat lamanya
):

Dan
.

Bagaimana cara membuat parabola? Ada beberapa cara untuk membuat grafik fungsi kuadrat. Masing-masing dari mereka memiliki pro dan kontra. Mari kita pertimbangkan dua cara.

Mari kita mulai dengan memplot fungsi kuadrat dari bentuk y=x²+bx+c dan y= -x²+bx+c.

Contoh.

Gambarkan fungsi y=x²+2x-3.

Larutan:

y=x²+2x-3 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas. Koordinat titik parabola

Dari titik sudut (-1;-4) kita buat grafik parabola y=x² (dari titik asal koordinat. Alih-alih (0;0) - titik sudut (-1;-4). Dari (-1; -4) kita ke kanan sebanyak 1 satuan dan ke atas sebanyak 1 satuan, lalu ke kiri sebanyak 1 dan ke atas sebanyak 1; lalu: 2 - kanan, 4 - atas, 2 - kiri, 3 - atas; kiri, 9 - atas Jika. 7 poin ini tidak cukup, maka 4 ke kanan, 16 ke atas, dst.).

Grafik fungsi kuadrat y= -x²+bx+c adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Untuk membuat grafik, kita mencari koordinat titik dan dari situ kita membuat parabola y= -x².

Contoh.

Gambarkan fungsi y= -x²+2x+8.

Larutan:

y= -x²+2x+8 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat titik parabola

Dari atas kita membuat parabola y= -x² (1 - ke kanan, 1- bawah; 1 - kiri, 1 - bawah; 2 - kanan, 4 - bawah; 2 - kiri, 4 - bawah, dst.):

Cara ini memungkinkan Anda membuat parabola dengan cepat dan tidak menimbulkan kesulitan jika Anda mengetahui cara membuat grafik fungsi y=x² dan y= -x². Kerugian: jika koordinat titik adalah bilangan pecahan, akan sangat tidak mudah untuk membuat grafik. Jika Anda ingin mengetahui nilai pasti titik potong grafik dengan sumbu Ox, Anda juga harus menyelesaikan persamaan x²+bx+c=0 (atau -x²+bx+c=0), meskipun titik-titik tersebut dapat ditentukan langsung dari gambar.

Cara lain untuk membuat parabola adalah dengan titik-titik, yaitu, Anda dapat menemukan beberapa titik pada grafik dan menggambar parabola melalui titik-titik tersebut (dengan mempertimbangkan bahwa garis x=xₒ adalah sumbu simetrinya). Biasanya untuk ini mereka mengambil titik puncak parabola, titik potong grafik dengan sumbu koordinat dan 1-2 titik tambahan.

Gambarlah grafik fungsi y=x²+5x+4.

Larutan:

y=x²+5x+4 adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas. Koordinat titik parabola

yaitu titik puncak parabola adalah titik (-2.5; -2.25).

Mencari . Di titik potong sumbu Sapi y=0: x²+5x+4=0. Akar persamaan kuadrat x1=-1, x2=-4, yaitu kita mendapat dua titik pada grafik (-1; 0) dan (-4; 0).

Di titik potong grafik dengan sumbu Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Kami mengerti maksudnya (0; 4).

Untuk memperjelas grafik, Anda dapat menemukan poin tambahan. Misalkan x=1, maka y=1²+5∙1+4=10, yaitu titik lain pada grafik tersebut adalah (1; 10). Kami menandai titik-titik ini pada bidang koordinat. Dengan mempertimbangkan simetri parabola terhadap garis lurus yang melalui titik puncaknya, kita menandai dua titik lagi: (-5; 6) dan (-6; 10) dan menggambar parabola melalui titik-titik tersebut:

Gambarkan fungsi y= -x²-3x.

Larutan:

y= -x²-3x adalah fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat titik parabola

Titik puncak (-1,5; 2,25) adalah titik pertama parabola.

Di titik potong grafik dengan sumbu x y=0, yaitu kita selesaikan persamaan -x²-3x=0. Akarnya adalah x=0 dan x=-3, yaitu (0;0) dan (-3;0) - dua titik lagi pada grafik. Titik (o; 0) juga merupakan titik potong parabola dengan sumbu ordinatnya.

Pada x=1 y=-1²-3∙1=-4, yaitu (1; -4) merupakan titik tambahan untuk membuat plot.

Membuat parabola dari titik-titik adalah metode yang lebih memakan waktu dibandingkan metode pertama. Jika parabola tidak memotong sumbu Ox, diperlukan lebih banyak titik tambahan.

Sebelum melanjutkan membuat grafik fungsi kuadrat berbentuk y=ax²+bx+c, mari kita perhatikan pembuatan grafik fungsi menggunakan transformasi geometri. Cara paling mudah juga adalah membuat grafik fungsi dalam bentuk y=x²+c menggunakan salah satu transformasi berikut—translasi paralel.

Sepanjang bab ini diasumsikan bahwa pada bidang (di mana semua gambar di bawah ini berada) skala tertentu telah dipilih; Hanya sistem koordinat persegi panjang dengan skala ini yang dipertimbangkan.

§ 1. Parabola

Parabola diketahui oleh pembaca dari mata pelajaran matematika sekolah sebagai kurva, yang merupakan grafik suatu fungsi

(Gbr. 76). (1)

Grafik trinomial kuadrat apa pun

juga merupakan parabola; dimungkinkan hanya dengan menggeser sistem koordinat (dengan beberapa vektor OO), yaitu mentransformasikan

memastikan grafik fungsi (pada sistem koordinat kedua) bertepatan dengan grafik (2) (pada sistem koordinat pertama).

Faktanya, mari kita substitusikan (3) ke dalam persamaan (2). Kita mendapatkan

Kita ingin memilih agar koefisien pada dan suku bebas polinomial (terhadap ) pada ruas kanan persamaan ini sama dengan nol. Untuk melakukan ini, kita menentukan dari persamaan

yang memberikan

Sekarang kita tentukan dari kondisinya

di mana kita mengganti nilai yang sudah ditemukan. Kita mendapatkan

Jadi, melalui shift (3), dimana

kami pindah ke sistem koordinat baru, di mana persamaan parabola (2) berbentuk

(Gbr. 77).

Mari kita kembali ke persamaan (1). Ini bisa menjadi definisi parabola. Mari kita ingat kembali sifat-sifatnya yang paling sederhana. Kurva mempunyai sumbu simetri: jika suatu titik memenuhi persamaan (1), maka suatu titik yang simetris terhadap titik M terhadap sumbu ordinat juga memenuhi persamaan (1) - kurva tersebut simetris terhadap sumbu ordinat (Gbr. 76) .

Jika , maka parabola (1) terletak pada setengah bidang atas, mempunyai satu titik persekutuan O dengan sumbu absis.

Dengan peningkatan nilai absolut absis yang tidak terbatas, ordinatnya juga meningkat tanpa batas. Gambaran umum kurva ditunjukkan pada Gambar. 76, sebuah.

Jika (Gbr. 76, b), maka kurva terletak pada setengah bidang bawah secara simetris terhadap sumbu absis terhadap kurva.

Jika kita berpindah ke sistem koordinat baru, diperoleh dari sistem lama dengan mengganti arah sumbu ordinat positif dengan arah sumbu ordinat yang berlawanan, maka parabola yang memiliki persamaan y pada sistem lama, akan memperoleh persamaan y pada sistem baru. sistem koordinasi. Oleh karena itu, ketika mempelajari parabola, kita dapat membatasi diri pada persamaan (1), dimana .

Terakhir, mari kita ubah nama sumbunya, yaitu kita akan berpindah ke sistem koordinat baru, yang sumbu ordinatnya akan menjadi sumbu absis yang lama, dan sumbu absisnya akan menjadi sumbu ordinat yang lama. Pada sistem baru ini, persamaan (1) akan ditulis dalam bentuk

Atau, jika bilangan tersebut dilambangkan dengan , dalam bentuk

Persamaan (4) dalam geometri analitik disebut persamaan kanonik parabola; sistem koordinat persegi panjang yang parabola tertentu memiliki persamaan (4) disebut sistem koordinat kanonik (untuk parabola ini).

Sekarang kita akan menetapkan arti geometri dari koefisien. Untuk melakukan ini, kami mengambil poinnya

disebut fokus parabola (4), dan garis lurus d, ditentukan oleh persamaan

Garis ini disebut direktriks parabola (4) (lihat Gambar 78).

Misalkan menjadi titik sembarang pada parabola (4). Dari persamaan (4) maka jarak titik M dari direktriks d adalah bilangan

Jarak titik M dari fokus F adalah

Tapi, oleh karena itu

Jadi, semua titik M pada parabola berjarak sama dari fokus dan direktriksnya:

Sebaliknya setiap titik M yang memenuhi syarat (8) terletak pada parabola (4).

Memang,

Karena itu,

dan, setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa,

Kita telah membuktikan bahwa setiap parabola (4) merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari fokus F dan dari direktriks d parabola tersebut.

Pada saat yang sama, kita telah menetapkan arti geometri dari koefisien dalam persamaan (4): bilangan tersebut sama dengan jarak antara fokus dan direktriks parabola.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa titik F dan garis d yang tidak melalui titik ini diberikan secara sembarang pada bidang. Mari kita buktikan adanya parabola dengan fokus F dan direktriks d.

Untuk melakukannya, tarik garis g melalui titik F (Gbr. 79), tegak lurus terhadap garis d; mari kita nyatakan titik potong kedua garis dengan D; jarak (yaitu jarak antara titik F dan garis lurus d) akan dilambangkan dengan .

Mari kita ubah garis lurus g menjadi sumbu, dengan mengambil arah DF padanya sebagai positif. Mari kita jadikan sumbu ini sebagai sumbu absis dari sistem koordinat persegi panjang, yang titik asal adalah titik tengah O dari segmen tersebut

Maka garis lurus d juga menerima persamaan .

Sekarang kita dapat menulis persamaan kanonik parabola dalam sistem koordinat yang dipilih:

dimana titik F menjadi fokus, dan garis lurus d menjadi direktriks parabola (4).

Di atas kita telah menetapkan bahwa parabola adalah tempat kedudukan titik M yang berjarak sama dari titik F dan garis d. Jadi, kita dapat memberikan definisi parabola secara geometris (yaitu, tidak bergantung pada sistem koordinat apa pun).

Definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap (“fokus” parabola) dan suatu garis tetap (“direktriks” parabola).

Dengan menyatakan jarak antara fokus dan direktriks parabola dengan , kita selalu dapat menemukan sistem koordinat persegi panjang yang kanonik untuk parabola tertentu, yaitu sistem yang persamaan parabolanya berbentuk kanonik:

Sebaliknya, setiap kurva yang memiliki persamaan seperti itu dalam sistem koordinat persegi panjang adalah parabola (dalam pengertian geometris yang baru saja dibuat).

Jarak antara fokus dan direktriks parabola disebut parameter fokus, atau sederhananya parameter parabola.

Garis yang melalui fokus tegak lurus terhadap direktriks parabola disebut sumbu fokusnya (atau sekadar sumbu); ini adalah sumbu simetri parabola - ini berarti bahwa sumbu parabola adalah sumbu absis dalam sistem koordinat, yang relatif terhadap persamaan parabola berbentuk (4).

Jika suatu titik memenuhi persamaan (4), maka suatu titik yang simetris terhadap titik M terhadap sumbu absis juga memenuhi persamaan ini.

Titik potong parabola dengan sumbunya disebut titik puncak parabola; itu adalah asal mula sistem koordinat kanonik untuk parabola tertentu.

Mari kita berikan interpretasi geometris lain dari parameter parabola.

Mari kita tarik garis lurus melalui fokus parabola, tegak lurus terhadap sumbu parabola; itu akan memotong parabola di dua titik (lihat Gambar 79) dan menentukan apa yang disebut tali busur fokus parabola (yaitu tali busur yang melalui fokus sejajar dengan direktriks parabola). Setengah panjang tali pusat adalah parameter parabola.

Faktanya, setengah panjang tali busur fokus adalah nilai absolut dari ordinat salah satu titik, yang absisnya masing-masing sama dengan absis fokus, yaitu. Oleh karena itu, untuk ordinat setiap titik yang kita miliki

Q.E.D.

- (Parabola Yunani, dari parabollo mendekatkan). 1) alegori, perumpamaan. 2) garis lengkung yang berasal dari suatu bagian kerucut oleh suatu bidang yang sejajar dengan beberapa bidang pembangkitnya. 3) garis lengkung yang terbentuk selama penerbangan bom, bola meriam, dll. Kamus... ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

Alegori, perumpamaan (Dahl) Lihat contoh... Kamus sinonim

- (Parabola Yunani) kurva datar (urutan ke-2). Parabola adalah himpunan titik M yang jaraknya ke titik tertentu F (fokus) dan ke garis lurus D1D2 (direktriks) adalah sama. Pada sistem koordinat yang tepat, persamaan parabola berbentuk: y2=2px, dimana p=2OF.… … Kamus Ensiklopedis Besar

PARABOLA, kurva matematis, BAGIAN KEMBANG yang dibentuk oleh suatu titik yang bergerak sedemikian rupa sehingga jaraknya ke titik tetap, fokus, sama dengan jaraknya ke garis lurus tetap, direktriks. Parabola terbentuk jika kerucut dipotong... ... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Perempuan, Yunani alegori, perumpamaan. | tikar. garis lengkung, dari antara bagian berbentuk kerucut; potong roti gula secara miring, sejajar dengan sisi yang berlawanan. Perhitungan parabola. Pidato parabola, heterolog, pidato asing, kiasan... ... Kamus Penjelasan Dahl

parabola- kamu, w. parabola f. gr. parabola. 1. ketinggalan jaman Perumpamaan, alegori. BAS 1. Orang Prancis, yang ingin menertawakan kedatangan orang Rusia ke Paris, bertanya: Apa arti parabol, faribol, dan obol? Namun dia segera menjawabnya: Parabolus, ada sesuatu yang tidak kamu mengerti;... ... Kamus Sejarah Gallisisme Bahasa Rusia

PARABOLA- (1) garis lengkung terbuka orde 2 pada bidang yang merupakan grafik fungsi y2 = 2px, dimana p adalah parameternya. Parabola diperoleh dengan memotong bidang lingkaran (lihat) dengan bidang yang tidak melalui titik puncaknya dan sejajar dengan salah satu generatornya.... ... Ensiklopedia Politeknik Besar

- (dari parabola Yunani), kurva datar, jarak setiap titik M ke titik tertentu F (fokus) dan ke garis lurus tertentu D 1D1 (direktriks) adalah sama (MD=MF) ... Ensiklopedia modern

PARABOLA, parabola, wanita. (Yunani: parabola). 1. Kurva orde kedua yang mewakili bagian kerucut dari kerucut lingkaran siku-siku oleh bidang yang sejajar dengan salah satu generatrik (mat.). || Jalur yang digambarkan oleh benda berat (misalnya peluru) yang dilemparkan ke bawah... ... Kamus Penjelasan Ushakov

PARABOLA, s, perempuan. Dalam matematika: kurva terbuka yang terdiri dari satu cabang yang terbentuk ketika permukaan kerucut memotong sebuah bidang. | adj. parabola, oh, oh. Kamus penjelasan Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 … Kamus Penjelasan Ozhegov

- “PARABOLA”, Rusia, 1992, berwarna, 30 menit. Esai dokumenter. Upaya memahami esensi mistik dari kisah suku Udmurt, masyarakat kecil di wilayah Volga. Sutradara: Svetlana Stasenko (lihat Svetlana STASENKO). Penulis Naskah: Svetlana Stasenko (lihat STASENKO... ... Ensiklopedia Sinema

Buku

• Parabola dari rencana pencarian kerja impian. Pola dasar manajer SDM..., Marina Zorina. Buku Marina Zorina “Parabola Rencana Pencarian Kerja Impian” didasarkan pada pengalaman nyata penulis dan berisi informasi berguna mengenai pola proses rekrutmen internal.…
• Parabola dalam hidupku, Titta Ruffo. Penulis buku ini adalah penyanyi Italia paling terkenal, solois gedung opera terkemuka dunia. Memoar Titta Ruffo, yang ditulis dengan gamblang dan lugas, memuat sketsa-sketsa kehidupan teatrikal masa pertama...

Kelas 10 . Kurva orde kedua.

10.1. Elips. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, grafik.

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, asimtot, grafik.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Kurva orde kedua pada suatu bidang adalah garis yang definisi implisitnya berbentuk:

Di mana
- diberi bilangan real,
- koordinat titik kurva. Garis terpenting di antara kurva orde kedua adalah elips, hiperbola, dan parabola.

10.1. Elips. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, grafik.

Definisi elips.Elips adalah kurva bidang yang jumlah jarak dari dua titik tetap adalah
pesawat ke titik mana pun

(itu.). Poin
disebut fokus elips.

Persamaan elips kanonik:
. (2)

(atau sumbu
) melewati trik
, dan asal adalah intinya - terletak di tengah ruas
(Gbr. 1). Elips (2) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal (pusat elips). Permanen
,
disebut setengah sumbu elips.

Jika elips diberikan oleh persamaan (2), maka fokus elips dicari seperti ini.

1) Pertama, kita tentukan letak fokusnya: fokus terletak pada sumbu koordinat tempat sumbu semi utama berada.

2) Kemudian panjang fokus dihitung (jarak dari fokus ke asal).

Pada
fokus terletak pada sumbu
;
;
.

Pada
fokus terletak pada sumbu
;
;
.

Keanehan elips disebut besaran: (pada
);(pada
).

Elips selalu
.

Eksentrisitas berfungsi sebagai karakteristik kompresi elips.

,
Jika elips (2) digerakkan sehingga titik tengah elips menyentuh titik

.

, maka persamaan elips yang dihasilkan berbentuk

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semi-sumbu, eksentrisitas, asimtot, grafik.Definisi hiperbola.
pesawat ke titik mana pun
Hiperbola adalah kurva bidang yang mempunyai nilai mutlak selisih jarak dua titik tetap
(itu.). kurva ini memiliki nilai konstan yang tidak bergantung pada titiknya
Poin

disebut fokus hiperbola.:
Koordinat lamanya
. (3)

Persamaan hiperbola kanonik
(atau sumbu
) melewati trik
, dan asal adalah intinya - terletak di tengah ruas
Persamaan ini diperoleh jika sumbu koordinat
,
disebut ..

Hiperbola (3) simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal. Permanen

setengah sumbu hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
Fokus hiperbola ditemukan seperti ini.

setengah sumbu hiperbola
fokus terletak pada sumbu
:
Di hiperbola

(Gbr. 2.a). (Gbr. 2.b)
.

Keanehan Di Sini

- panjang fokus (jarak dari fokus ke titik asal). Itu dihitung dengan rumus:
);- panjang fokus (jarak dari fokus ke titik asal). Itu dihitung dengan rumus:
).

hiperbola adalah kuantitas:
.

Asimtot hiperbola(3) adalah dua garis lurus:
. Kedua cabang hiperbola mendekati asimtot tanpa batas seiring bertambahnya .

Pembuatan grafik hiperbola harus dilakukan sebagai berikut: pertama sepanjang sumbu semi
kita membuat persegi panjang bantu dengan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koordinat; kemudian tarik garis lurus melalui titik sudut yang berlawanan dari persegi panjang ini, ini adalah asimtot hiperbola; akhirnya kita menggambarkan cabang-cabang hiperbola, mereka menyentuh titik tengah sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi panjang bantu dan semakin dekat dengan pertumbuhan menjadi asimtot (Gbr. 2).

Jika hiperbola (3) dipindahkan sehingga pusatnya menyentuh suatu titik
, dan sumbu semi akan tetap sejajar dengan sumbu
,
, maka persamaan hiperbola yang dihasilkan akan ditulis dalam bentuk

,
.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parameter parabola, grafik.

Definisi parabola.Parabola adalah kurva bidang yang, untuk titik mana pun
kurva ini adalah jarak dari
ke titik tetap bidang (disebut fokus parabola) sama dengan jarak darinya
ke garis lurus tetap pada bidang(disebut direktriks parabola) .

Persamaan parabola kanonik:
, (4)

Di mana - sebuah konstanta dipanggil parameter parabola.

Dot
parabola (4) disebut titik puncak parabola. Sumbu
adalah sumbu simetri. Fokus parabola (4) berada pada titik
, persamaan direktriks
.
Dan
Grafik parabola (4) beserta maknanya

ditunjukkan pada Gambar. 3.a dan 3.b masing-masing.
Persamaannya
juga mendefinisikan parabola di pesawat
,
, yang sumbunya, dibandingkan dengan parabola (4),

bertukar tempat.
Jika parabola (4) digerakkan hingga titik sudutnya menyentuh suatu titik
, dan sumbu simetri akan tetap sejajar dengan sumbu

.

, maka persamaan parabola yang dihasilkan berbentuk

Mari beralih ke contoh. Contoh 1
. Kurva orde kedua diberikan oleh persamaan
.

. Beri nama pada kurva ini. Temukan fokus dan eksentrisitasnya. Gambarlah kurva dan fokusnya pada bidang datar
Larutan. Kurva ini berbentuk elips yang berpusat pada suatu titik
dan poros gandar
. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menggantinya
. Transformasi ini berarti transisi dari sistem koordinat Cartesian tertentu
ke sistem koordinat kartesius baru
, poros siapa
,
sejajar dengan sumbu
. Transformasi koordinat ini disebut pergeseran sistem
tepat
. Dalam sistem koordinat baru

persamaan kurva diubah menjadi persamaan kanonik elips
, grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 4.
Ayo temukan triknya.
, jadi triknya
:
elips terletak pada sumbu
.. Dalam sistem koordinat
.

Karena, dalam sistem koordinat lama

Larutan. Mari kita pilih kuadrat sempurna berdasarkan suku-suku yang mengandung variabel Dan .

Sekarang persamaan kurvanya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Oleh karena itu, kurva yang diberikan adalah elips yang berpusat di suatu titik
Larutan. Kurva ini berbentuk elips yang berpusat pada suatu titik
. Informasi yang diperoleh memungkinkan kita menggambar grafiknya.

Contoh 3. Beri nama dan grafik garis tersebut
.

Larutan. .
Larutan. Kurva ini berbentuk elips yang berpusat pada suatu titik
.

Ini adalah persamaan kanonik elips yang berpusat di suatu titik
Karena,
, kami menyimpulkan: persamaan yang diberikan ditentukan pada bidang

bagian bawah elips (Gbr. 5). Contoh 4
. Beri nama kurva orde kedua

. Temukan fokusnya, eksentrisitas. Berikan grafik kurva ini.
.

- Persamaan kanonik hiperbola dengan semi-sumbu

Focal length. , grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 4.
Tanda minus mendahului suku dengan
hiperbola terletak pada sumbunya
.

:.

Cabang-cabang hiperbola terletak di atas dan di bawah sumbu

- eksentrisitas hiperbola.

Asimtot hiperbola: . Pembuatan grafik hiperbola ini dilakukan sesuai dengan prosedur yang diuraikan di atas: kita membuat persegi panjang bantu, menggambar asimtot hiperbola, menggambar cabang hiperbola (lihat Gambar 2.b).
Contoh 5

. Cari tahu jenis kurva yang diberikan oleh persamaan
dan merencanakannya.

- hiperbola yang berpusat di suatu titik
dan poros gandar.
Karena , kita menyimpulkan: persamaan yang diberikan menentukan bagian hiperbola yang terletak di sebelah kanan garis lurus
.
Lebih baik menggambar hiperbola dalam sistem koordinat bantu

, diperoleh dari sistem koordinat menggeser

, lalu sorot bagian hiperbola yang diinginkan dengan garis tebal :

Contoh 6

. Cari tahu jenis kurvanya dan gambarkan grafiknya.
Larutan. Mari kita pilih persegi lengkap berdasarkan suku-suku dengan variabel
Mari kita tulis ulang persamaan kurvanya. Berikut persamaan parabola yang titik sudutnya di titik tersebut
.
Dengan menggunakan transformasi shift, persamaan parabola diubah menjadi bentuk kanonik
, yang jelas merupakan parameter parabola. Fokus

parabola dalam sistem.

memiliki koordinat
,, dan dalam sistem

(menurut transformasi shift). Grafik parabola ditunjukkan pada Gambar. 7.
Pekerjaan rumah

1. Gambarlah elips yang diberikan oleh persamaan:
Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitasnya dan tunjukkan pada grafik elips lokasi fokusnya.

2. Gambarlah hiperbola yang diberikan oleh persamaan:
mendefinisikan bagian kurva orde ke-2. Temukan persamaan kanonik kurva ini, tuliskan namanya, buat grafiknya dan sorot bagian kurva yang sesuai dengan persamaan aslinya.