Sistem fungsi ortogonal. Sistem vektor ortogonal

Definisi. vektorA DanB disebut ortogonal (tegak lurus) satu sama lain jika hasil kali skalarnya sama dengan nol, yaitu.A × B = 0.

Untuk vektor bukan nol A Dan B persamaan hasil kali skalar dengan nol berarti cos J= 0, yaitu . Vektor nol ortogonal terhadap vektor apa pun, karena A × 0 = 0.

Latihan. Misalkan dan menjadi vektor ortogonal. Maka wajar untuk mempertimbangkan diagonal persegi panjang dengan sisi dan . Buktikan itu

,

itu. kuadrat dari panjang diagonal suatu persegi panjang sama dengan jumlahnya kuadrat dari panjang kedua sisinya yang tidak sejajar(Teorema Pythagoras).

Definisi. Sistem vektorA 1 ,…, A m disebut ortogonal jika ada dua vektor dari sistem ini yang ortogonal.

Jadi, untuk sistem vektor ortogonal A 1 ,…,A M persamaannya benar: A Saya × A J= 0 jam Saya¹ J, Saya= 1,…, M; J= 1,…,M.

Teorema 1.5. Sistem ortogonal yang terdiri dari vektor-vektor bukan nol adalah bebas linier. .

□ Kami melakukan pembuktian dengan kontradiksi. Misalkan sistem ortogonal dari vektor-vektor bukan nol A 1 , …, A M bergantung secara linear. Kemudian

aku 1 A 1 + …+ aku MA M= 0 , pada saat yang sama. (1.15)

Misalkan, l 1 ¹ 0. Kalikan dengan A 1 kedua sisi persamaan (1,15):

aku 1 A 1× A 1 + …+ aku M A M × A 1 = 0.

Semua suku kecuali suku pertama sama dengan nol karena ortogonalitas sistem A 1 , …, A M. Lalu aku 1 A 1× A 1 =0, berikut ini A 1 = 0 , yang bertentangan dengan kondisi tersebut. Asumsi kami ternyata salah. Artinya sistem ortogonal dari vektor-vektor tak nol adalah bebas linier. ■

Teorema berikut berlaku.

Teorema 1.6. Dalam ruang Rn selalu terdapat basis yang terdiri dari vektor-vektor ortogonal (basis ortogonal)
(tidak ada bukti).

Basis ortogonal cocok digunakan terutama karena koefisien muai vektor sembarang pada basis tersebut dapat ditentukan dengan mudah.

Misalkan kita perlu mencari dekomposisi suatu vektor sembarang B secara ortogonal e 1 ,…,e N. Mari kita buat perluasan vektor ini dengan koefisien muai yang masih belum diketahui dasar ini:

Mari kalikan kedua ruas persamaan ini secara skalar dengan vektor e 1. Berdasarkan aksioma 2° dan 3° dari produk skalar vektor, kita peroleh

Sejak vektor basis e 1 ,…,e N saling ortogonal, maka semua produk skalar dari vektor basis, kecuali vektor pertama, sama dengan nol, yaitu. koefisien ditentukan oleh rumus

.

Mengalikan persamaan (1.16) secara bergantian dengan vektor basis lainnya, kita memperoleh rumus sederhana untuk menghitung koefisien muai vektor B :

. (1.17)

Rumus (1.17) masuk akal karena .

Definisi. VektorA disebut dinormalisasi (atau satuan) jika panjangnya sama dengan 1, yaitu. (A , A )= 1.

Setiap vektor bukan nol dapat dinormalisasi. Membiarkan A ¹ 0 . Kemudian , dan vektornya adalah vektor yang dinormalisasi.

Definisi. Sistem vektor e 1 ,…,e n dikatakan ortonormal jika ortogonal dan panjang setiap vektor sistem sama dengan 1, yaitu

(1.18)

Karena selalu ada basis ortogonal dalam ruang Rn dan vektor-vektor basis ini dapat dinormalisasi, maka selalu ada basis ortonormal di Rn.

Contoh basis ortonormal ruang R n adalah sistem vektor e 1 ,=(1,0,…,0),…, e N=(0,0,…,1) dengan hasil kali skalar yang ditentukan oleh persamaan (1.9). Secara ortonormal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e N=(0,0,…,1) rumus (1.17) untuk menentukan koordinat penguraian vektor B mempunyai bentuk yang paling sederhana:

Membiarkan A Dan B – dua vektor sembarang dari ruang R n dengan basis ortonormal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e N=(0,0,…,1). Mari kita nyatakan koordinat vektor-vektornya A Dan B di dasar e 1 ,…,e N sesuai melalui A 1 ,…,A N Dan B 1 ,…, B N dan temukan ekspresi produk skalar dari vektor-vektor ini melalui koordinatnya dalam basis ini, yaitu. misalkan itu

, .

Dari persamaan terakhir, berdasarkan aksioma dan relasi perkalian skalar (1.18), kita peroleh

Akhirnya kita punya

. (1.19)

Dengan demikian, dalam basis ortonormal, hasil kali skalar dua vektor sama dengan jumlah hasil kali koordinat-koordinat yang bersesuaian dari vektor-vektor tersebut.

Sekarang mari kita pertimbangkan basis yang sepenuhnya arbitrer (secara umum, bukan ortonormal) dalam ruang Euclidean berdimensi n R n dan temukan ekspresi untuk produk skalar dari dua vektor arbitrer A Dan B melalui koordinat vektor-vektor ini dalam basis yang ditentukan.

Sistem fungsi ortogonal

sistem fungsi ((φ N(X)}, N= 1, 2,..., ortogonal dengan bobot ρ ( X) pada segmen [ A, B], yaitu sedemikian rupa sehingga

Contoh. Sistem trigonometri 1, karena nx,dosa nx; N= 1, 2,..., - O.s. F. dengan bobot 1 pada ruas [-π, π]. Fungsi Bessel n = 1, 2,..., J ν ( X), bentuk untuk setiap ν > - 1/2 O. s. F. dengan berat X pada segmen tersebut.

Jika setiap fungsi φ ( X) dari O.s. F. apakah itu x) berdasarkan nomor

Studi sistematis tentang O. s. F. dimulai sehubungan dengan metode solusi Fourier masalah nilai batas persamaan fisika matematika. Metode ini, misalnya, mengarah pada pencarian solusi masalah Sturm-Liouville (Lihat masalah Sturm-Liouville) untuk persamaan [ρ( X) kamu" ]" + Q(X) kamu = λ pada, memuaskan kondisi batas pada(A) + hai"(A) = 0, kamu(B) + Hai"(B) = 0, dimana H Dan N- permanen. Keputusan-keputusan inilah yang disebut. fungsi asli tugas - bentuk O. s. F. dengan berat ρ ( X) pada segmen [ A, B].

Sangat kelas penting OS F. - Polinomial ortogonal - ditemukan oleh P. L. Chebyshev dalam penelitiannya tentang interpolasi menggunakan metode kuadrat terkecil dan masalah momen. Pada abad ke-20 penelitian tentang O.s. F. dilakukan terutama berdasarkan teori integral dan ukuran Lebesgue. Hal ini berkontribusi pada pemisahan studi-studi ini menjadi cabang matematika yang independen. Salah satu tugas utama teori O. s. f. - masalah dekomposisi suatu fungsi F(X) dalam rangkaian bentuk p ( X)) - O.s. F. Jika kita mengatakannya secara formal P( X)) - O. s yang dinormalisasi. f., dan izinkan kemungkinan integrasi suku demi suku, lalu kalikan deret ini dengan φ N(X) ρ( X) dan mengintegrasikan dari A ke B, kita mendapatkan:

Kemungkinan S hal, disebut koefisien Fourier dari fungsi relatif terhadap sistem (φ N(X)), mempunyai sifat ekstrim sebagai berikut: bentuk linier X):

memiliki nilai terkecil dibandingkan dengan kesalahan yang diberikan dengan hal yang sama N ekspresi linier lainnya dari bentuk tersebut

Deret ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) dengan peluang S hal, dihitung menggunakan rumus (*), disebut deret Fourier dari fungsi tersebut F(X) menurut O. s yang dinormalisasi. F. (φ N(X)). Untuk aplikasi, pertanyaan yang paling penting adalah apakah fungsi tersebut didefinisikan secara unik F(X) dengan koefisien Fouriernya. OS f., dimana hal ini terjadi, disebut lengkap, atau tertutup. Kondisi untuk O. s. F. dapat diberikan dalam beberapa bentuk yang setara. 1) Apa saja fungsi berkelanjutan F(X) dapat diperkirakan secara rata-rata dengan tingkat akurasi apa pun dengan kombinasi fungsi linear φ k(X), yaitu, C n φ n (x) rata-rata konvergen ke fungsi tersebut F(X)]. 2) Untuk fungsi apa pun F(X), yang kuadratnya kita integrasikan terhadap bobot ρ( X), kondisi ketertutupan Lyapunov-Steklov terpenuhi:

3) Tidak ada fungsi bukan nol yang dapat diintegralkan pada interval [ A, B] persegi ortogonal terhadap semua fungsi φ N(X), N = 1, 2,....

Jika kita menganggap fungsi dengan persegi yang dapat diintegralkan sebagai elemen ruang Hilbert (Lihat ruang Hilbert), maka O.S. F. akan menjadi sistem vektor satuan koordinat ruang ini, dan pemuaian seri dalam O.s yang dinormalisasi. F. - perluasan vektor dalam vektor satuan. Dengan pendekatan ini, banyak konsep teori sistem operasional yang dinormalisasi. F. memperoleh visual makna geometris. Misalnya rumus (*) berarti proyeksi vektor ke vektor satuan sama dengan hasil kali skalar vektor dan satuan; persamaan Lyapunov - Steklov dapat diartikan sebagai teorema Pythagoras untuk ruang berdimensi tak hingga: kuadrat panjang suatu vektor sama dengan jumlah kuadrat proyeksinya pada sumbu koordinat; isolasi O. s. F. berarti subruang tertutup terkecil yang memuat semua vektor sistem ini berimpit dengan seluruh ruang, dan seterusnya.

menyala.: Tolstov G.P., Seri Fourier, edisi ke-2, M., 1960; Natanson I.P., Teori konstruktif fungsi, M. - L., 1949; olehnya, Teori fungsi variabel real, edisi ke-2, M., 1957; Jackson D., Deret Fourier dan polinomial ortogonal, trans. dari bahasa Inggris, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teori deret ortogonal, trans. dari Jerman, M., 1958.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu “Sistem fungsi ortogonal” di kamus lain:

- (Ortogonios persegi panjang Yunani) sistem fungsi berhingga atau terhitung yang termasuk dalam ruang Hilbert (dapat dipisahkan) L2(a,b) (fungsi yang dapat diintegralkan secara kuadrat) dan memenuhi kondisi F ction g(x) disebut. menimbang O. s. f.,* artinya... ... Ensiklopedia fisik

Sistem fungsi??n(x)?, n=1, 2,..., ditentukan pada segmen TRANSFORMASI ORTHOGONAL transformasi linier ruang vektor Euclidean, mempertahankan panjang yang tidak berubah atau (yang setara dengan ini) produk skalar vektor . .. Kamus Ensiklopedis Besar

Sistem fungsi (φn(x)), n = 1, 2, ..., ditentukan pada interval [a, b] dan memuaskan kondisi selanjutnya ortogonalitas: untuk k≠l, dengan ρ(x) adalah suatu fungsi yang disebut bobot. Misal sistem trigonometrinya adalah 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Kamus Ensiklopedis

Suatu sistem fungsi ((фn(х)), n=1, 2, ..., terdefinisi pada interval [a, b] dan memenuhi trace, kondisi ortogonalitas untuk k tidak sama dengan l, dimana p(x ) adalah fungsi tertentu yang disebut bobot. Misalnya sistem trigonometri 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis

Lihat Seni. Sistem fungsi ortogonal. Ensiklopedia fisik. Dalam 5 volume. M.: Ensiklopedia Soviet. Pemimpin Redaksi A.M.Prokhorov. 1988 ... Ensiklopedia fisik

1) O.s. vektor adalah himpunan vektor bukan nol dari ruang Euclidean (Hilbert) dengan hasil kali skalar (. , .) sedemikian rupa sehingga untuk (ortogonalitas) dan (normalisasi). M. I. Voitsekhovsky. 2) O.s. fungsi dan sistem fungsi ruang... ... Ensiklopedia Matematika

Konstruksi untuk sistem yang diberikan fungsi (fn(x)) yang terintegrasi persegi pada interval [a, b]fungsi sistem ortogonal (jn(x)) dengan menerapkan proses ortogonalisasi tertentu atau dengan memperluas fungsi fn(x).ke fungsi yang lebih panjang ... ... Ensiklopedia Matematika

sistem fungsi ((φ N(X)}, N= 1, 2,..., ortogonal dengan bobot ρ ( X) pada segmen [ A, B], yaitu sedemikian rupa sehingga

Contoh. Sistem trigonometri 1, karena nx,dosa nx; N= 1, 2,..., - O.s. F. dengan bobot 1 pada ruas [-π, π]. Fungsi Bessel n = 1, 2,..., J ν ( X), bentuk untuk setiap ν > - 1/2 O. s. F. dengan berat X pada segmen tersebut.

Jika setiap fungsi φ ( X) dari O.s. F. apakah itu x) berdasarkan nomor

Studi sistematis tentang O. s. F. dimulai sehubungan dengan metode Fourier untuk memecahkan masalah nilai batas persamaan fisika matematika. Metode ini, misalnya, mengarah pada pencarian solusi masalah Sturm-Liouville (Lihat masalah Sturm-Liouville) untuk persamaan [ρ( X) kamu" ]" + Q(X) kamu = λ pada, memenuhi kondisi batas pada(A) + hai"(A) = 0, kamu(B) + Hai"(B) = 0, dimana H Dan N- permanen. Keputusan-keputusan inilah yang disebut. fungsi eigen dari masalah membentuk O.s. F. dengan berat ρ ( X) pada segmen [ A, B].

Kelas O. s. F. - Polinomial ortogonal- ditemukan oleh P. L. Chebyshev dalam penelitiannya tentang interpolasi dengan metode kuadrat terkecil dan masalah momen. Pada abad ke-20 penelitian tentang O.s. F. dilakukan terutama berdasarkan teori integral dan ukuran Lebesgue. Hal ini berkontribusi pada pemisahan studi-studi ini menjadi cabang matematika yang independen. Salah satu tugas utama teori O. s. f. - masalah dekomposisi suatu fungsi F(X) dalam rangkaian bentuk p ( X)) - O.s. F. Jika kita mengatakannya secara formal P( X)) - O. s yang dinormalisasi. f., dan izinkan kemungkinan integrasi suku demi suku, lalu kalikan deret ini dengan φ N(X) ρ( X) dan mengintegrasikan dari A ke B, kita mendapatkan:

Kemungkinan S hal, disebut koefisien Fourier dari fungsi relatif terhadap sistem (φ N(X)), memiliki sifat ekstrem berikut: bentuk linier x):

memiliki nilai terkecil dibandingkan dengan kesalahan yang diberikan untuk hal yang sama N ekspresi linier lainnya dari bentuk tersebut

Deret ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) dengan peluang S hal, dihitung menggunakan rumus (*), disebut deret Fourier dari fungsi tersebut F(X) menurut O. s yang dinormalisasi. F. (φ N(X)). Untuk aplikasi, pertanyaan yang paling penting adalah apakah fungsi tersebut didefinisikan secara unik F(X) dengan koefisien Fouriernya. OS f., dimana hal ini terjadi, disebut lengkap, atau tertutup. Kondisi untuk O. s. F. dapat diberikan dalam beberapa bentuk yang setara. 1) Fungsi berkelanjutan apa pun F(X) dapat diperkirakan secara rata-rata dengan tingkat akurasi apa pun dengan kombinasi fungsi linear φ k(X), yaitu, C n φ n (x) rata-rata konvergen ke fungsi tersebut F(X)]. 2) Untuk fungsi apa pun F(X), yang kuadratnya kita integrasikan terhadap bobot ρ( X), kondisi ketertutupan Lyapunov-Steklov terpenuhi:

3) Tidak ada fungsi bukan nol yang dapat diintegralkan pada interval [ A, B] persegi ortogonal terhadap semua fungsi φ N(X), N = 1, 2,....

Jika kita menganggap fungsi dengan persegi yang dapat diintegralkan sebagai elemen ruang Hilbert (Lihat ruang Hilbert), maka O.S. F. akan menjadi sistem vektor satuan koordinat ruang ini, dan pemuaian seri dalam O.s yang dinormalisasi. F. - perluasan vektor dalam vektor satuan. Dengan pendekatan ini, banyak konsep teori sistem operasional yang dinormalisasi. F. memperoleh makna geometris yang jelas. Misalnya rumus (*) berarti proyeksi vektor ke vektor satuan sama dengan hasil kali skalar vektor dan satuan; persamaan Lyapunov - Steklov dapat diartikan sebagai teorema Pythagoras untuk ruang berdimensi tak hingga: kuadrat panjang suatu vektor sama dengan jumlah kuadrat proyeksinya pada sumbu koordinat; isolasi O. s. F. berarti subruang tertutup terkecil yang memuat semua vektor sistem ini berimpit dengan seluruh ruang, dan seterusnya.

menyala.: Tolstov G.P., Seri Fourier, edisi ke-2, M., 1960; Natanson I.P., Teori fungsi konstruktif, M. - L., 1949; olehnya, Teori fungsi variabel real, edisi ke-2, M., 1957; Jackson D., Deret Fourier dan polinomial ortogonal, trans. dari bahasa Inggris, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teori deret ortogonal, trans. dari Jerman, M., 1958.

• - sekelompok semua orang transformasi linier ruang vektor berdimensi n V di atas bidang k, mempertahankan sifat tetap yang tidak merosot bentuk kuadrat Q pada V)=Q untuk apa pun)...

  Ensiklopedia Matematika

• - matriks pada ring komutatif R dengan unit 1, yang matriks transposisinya berimpit dengan inversnya. Penentu O.m.

  Ensiklopedia Matematika

• - jaringan di mana garis singgung pada titik tertentu terhadap garis-garis dari keluarga yang berbeda adalah ortogonal. Contoh sistem operasional: jaringan asimtotik pada permukaan minimal, jaringan kelengkungan garis. A.V.Ivanov...

  Ensiklopedia Matematika

• - 1) Oh....

  Ensiklopedia Matematika

• - larik ortogonal, OA - matriks berukuran kx N yang elemen-elemennya berupa bilangan 1, 2, .....

  Ensiklopedia Matematika

• - lihat lintasan Isogonal...

  Ensiklopedia Matematika

• - sistem fungsi ortonormal (j) dari ruang Hilbert H tertentu sedemikian rupa sehingga di H tidak terdapat fungsi yang ortogonal terhadap semua fungsi suatu keluarga tertentu...

  Ensiklopedia Matematika

• - lihat Proyeksi...

  Kamus Besar Ensiklopedis Politeknik

• - penentuan subordinasi fungsi berbagai objek...

  Kamus istilah bisnis

• - penguatan fungsi, salah satu Ch. cara transformasi progresif organ dalam perjalanan evolusi hewan. Jika. biasanya berhubungan dengan komplikasi struktur organ dan tubuh secara keseluruhan...

  Biologis kamus ensiklopedis

• - penguatan fungsi, salah satu cara utama transformasi progresif organ dalam perjalanan evolusi hewan. Jika. dikaitkan dengan komplikasi struktur organ dan menyebabkan peningkatan umum dalam tingkat aktivitas vital...
• - urutan n Matriks...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - kasus khusus proyeksi paralel, jika sumbu atau bidang proyeksi tegak lurus terhadap arah proyeksi...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - sistem fungsi (), n = 1, 2,..., ortogonal dengan bobot ρ pada segmen tersebut, yaitu sedemikian rupa sehingga Contoh. Sistem trigonometri 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. F. dengan bobot 1 pada segmen tersebut...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - sistem fungsi = (φ), yang didefinisikan pada suatu interval, sehingga tidak ada fungsi f yang,...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - Sistem FUNGSI ORTHOGONAL - sistem fungsi??n?, n=1, 2,.....

  Kamus ensiklopedis besar

"Sistem fungsi ortogonal" dalam buku

Paragraf XXIV Sistem perang parit lama dan sistem pawai modern