Ketergantungan linier Dan kemandirian linier vektor.
Dasar vektor. Sistem koordinat Affine

Ada gerobak berisi coklat di auditorium, dan setiap pengunjung hari ini akan mendapatkan pasangan yang manis - geometri analitik dengan aljabar linier. Artikel ini akan membahas dua bagian sekaligus. matematika yang lebih tinggi, dan kita akan melihat bagaimana mereka menyatu dalam satu bungkus. Istirahatlah, makan Twix! ...sialan, sungguh omong kosong. Meskipun oke, saya tidak akan mencetak gol, pada akhirnya Anda harus memiliki sikap positif terhadap belajar.

Ketergantungan linier vektor, kemandirian vektor linier, dasar vektor dan istilah lain tidak hanya interpretasi geometris, tapi, yang terpenting, arti aljabar. Konsep “vektor” dari sudut pandang aljabar linier- ini tidak selalu merupakan vektor “biasa” yang dapat kita gambarkan di bidang atau ruang. Tak perlu jauh-jauh mencari bukti, cobalah menggambar vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang baru saja saya buka di Gismeteo untuk: – suhu dan tekanan atmosfer masing-masing. Contohnya tentu saja salah dari sudut pandang properti ruang vektor, namun, bagaimanapun, tidak ada yang melarang memformalkan parameter ini sebagai vektor. Nafas musim gugur...

Tidak, saya tidak akan membuat Anda bosan dengan teori, ruang vektor linier, tugasnya adalah memahami definisi dan teorema. Istilah baru (ketergantungan linier, independensi, kombinasi linier, basis, dll.) berlaku untuk semua vektor dari sudut pandang aljabar, tetapi contoh geometris akan diberikan. Jadi, semuanya sederhana, mudah diakses, dan jelas. Di luar tugas geometri analitik kita akan melihat beberapa tugas-tugas khas aljabar Untuk menguasai materi, disarankan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana cara menghitung determinannya?

Ketergantungan linier dan independensi vektor bidang.
Basis bidang dan sistem koordinat affine

Mari kita perhatikan bidang meja komputer Anda (hanya meja, meja samping tempat tidur, lantai, langit-langit, apapun yang Anda suka). Tugas tersebut akan terdiri dari tindakan berikut:

1) Pilih dasar bidang. Secara kasar, bagian atas meja memiliki panjang dan lebar, sehingga dapat dimengerti bahwa diperlukan dua vektor untuk membuat alasnya. Satu vektor saja tidak cukup, tiga vektor saja terlalu banyak.

2) Berdasarkan dasar yang dipilih mengatur sistem koordinat(koordinat grid) untuk menetapkan koordinat ke semua objek di tabel.

Jangan kaget, awalnya penjelasannya akan mudah. Apalagi milikmu. Silakan tempatkan jari telunjuk tangan kiri di tepi meja sehingga dia melihat ke monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang tempatnya jari kelingking tangan kanan di tepi meja dengan cara yang sama - sehingga diarahkan ke layar monitor. Ini akan menjadi vektor. Tersenyumlah, kamu tampak hebat! Apa yang dapat kita katakan tentang vektor? Vektor data segaris, yang artinya linier diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , dimana ada bilangan yang berbeda dari nol.

Anda dapat melihat gambar tindakan ini di kelas. Vektor untuk boneka, dimana saya menjelaskan aturan mengalikan vektor dengan angka.

Akankah jari-jari Anda meletakkan dasar pada bidang meja komputer? Jelas tidak. Vektor-vektor kolinear bergerak bolak-balik sendiri arah, dan sebuah bidang mempunyai panjang dan lebar.

Vektor yang demikian disebut bergantung secara linier.

Referensi: Kata “linier”, “linier” menunjukkan fakta bahwa dalam persamaan matematika, ekspresi tidak mengandung kuadrat, kubus, pangkat lain, logaritma, sinus, dll. Hanya ada ekspresi dan ketergantungan linier (derajat 1).

Dua vektor bidang bergantung secara linier jika dan hanya jika keduanya segaris.

Silangkan jari Anda di atas meja sehingga ada sudut di antara keduanya selain 0 atau 180 derajat. Dua vektor bidanglinier Bukan bergantung jika dan hanya jika keduanya tidak segaris. Jadi, dasar diperoleh. Tidak perlu malu karena alasnya ternyata “miring” dengan vektor-vektor tidak tegak lurus yang panjangnya berbeda-beda. Segera kita akan melihat bahwa tidak hanya sudut 90 derajat yang cocok untuk konstruksinya, dan tidak hanya vektor satuan yang panjangnya sama.

Setiap vektor bidang satu-satunya cara diperluas berdasarkan:
, di mana bilangan real. Nomor-nomor itu dipanggil koordinat vektor V atas dasar ini.

Dikatakan juga demikian vektordisajikan sebagai kombinasi linier vektor dasar. Artinya, ungkapan itu disebut dekomposisi vektorberdasarkan dasar atau kombinasi linier vektor dasar.

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa vektor didekomposisi sepanjang bidang ortonormal, atau kita dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.

Mari kita rumuskan definisi dasar secara formal: Dasar dari pesawat disebut sepasang vektor bebas linier (tidak segaris), , ketika setiap vektor bidang adalah kombinasi linier dari vektor basis.

Poin penting dari definisi ini adalah kenyataan bahwa vektor-vektor diambil V dalam urutan tertentu . Pangkalan – ini adalah dua basis yang sangat berbeda! Seperti kata pepatah, Anda tidak bisa mengganti jari kelingking tangan kiri dengan jari kelingking tangan kanan.

Kami telah mengetahui dasarnya, tetapi tidak cukup hanya dengan menetapkan kisi koordinat dan menetapkan koordinat ke setiap item di meja komputer Anda. Mengapa itu tidak cukup? Vektor-vektornya bebas dan berkeliaran di seluruh bidang. Jadi bagaimana Anda menetapkan koordinat ke titik-titik kotor kecil di atas meja yang tersisa dari akhir pekan yang liar? Diperlukan sebuah titik awal. Dan titik acuan seperti itu adalah titik yang akrab bagi semua orang - asal mula koordinat. Mari kita pahami sistem koordinat:

Saya akan mulai dengan sistem "sekolah". Sudah aktif pelajaran pengantar Vektor untuk boneka Saya menyoroti beberapa perbedaan antara sistem koordinat persegi panjang dan basis ortonormal. Berikut gambar standarnya:

Ketika mereka membicarakan tentang sistem koordinat persegi panjang, maka paling sering yang mereka maksud adalah asal koordinat, sumbu koordinat dan skala di sepanjang sumbu. Coba ketikkan “sistem koordinat persegi panjang” ke dalam mesin pencari, dan Anda akan melihat bahwa banyak sumber akan memberi tahu Anda tentang sumbu koordinat yang sudah dikenal sejak kelas 5-6 dan cara memplot titik pada bidang.

Di sisi lain, tampaknya demikian sistem persegi panjang koordinat dapat ditentukan sepenuhnya melalui dasar ortonormal. Dan itu hampir benar. Kata-katanya adalah sebagai berikut:

asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat bidang persegi panjang kartesius . Artinya, sistem koordinat persegi panjang tentu saja didefinisikan oleh satu titik dan dua satuan vektor ortogonal. Itu sebabnya Anda melihat gambar yang saya berikan di atas - masuk masalah geometri Seringkali (tetapi tidak selalu) vektor dan sumbu koordinat digambar.

Saya rasa semua orang memahami itu menggunakan titik (asal) dan dasar ortonormal TITIK APAPUN di pesawat dan VEKTOR APAPUN di pesawat koordinat dapat ditetapkan. Secara kiasan, “segala sesuatu di pesawat dapat diberi nomor”.

Apakah mereka wajib koordinat vektor terisolasi? Tidak, panjangnya bisa berubah-ubah bukan nol. Pertimbangkan poin dan dua vektor ortogonal panjang bukan nol sewenang-wenang:

Dasar seperti ini disebut ortogonal. Asal usul koordinat dengan vektor ditentukan oleh kisi koordinat, dan setiap titik pada bidang, vektor apa pun memiliki koordinatnya sendiri dalam basis tertentu. Misalnya, atau. Ketidaknyamanan yang jelas adalah vektor koordinat V kasus umum mempunyai panjang yang berbeda-beda selain kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka diperoleh basis ortonormal biasa.

! Catatan : dalam basis ortogonal, dan juga di bawah basis affine satuan bidang dan ruang sepanjang sumbu dipertimbangkan BERSYARAT. Misalnya, satu satuan sepanjang sumbu x berisi 4 cm, satu satuan sepanjang sumbu ordinat berisi 2 cm, informasi ini cukup untuk, jika perlu, mengubah koordinat “non-standar” menjadi “sentimeter biasa”.

Dan pertanyaan kedua yang sebenarnya sudah terjawab adalah apakah sudut antar vektor basis harus sama dengan 90 derajat? TIDAK! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor basisnya haruslah hanya non-kolinear. Oleh karena itu, sudutnya bisa berupa apa saja kecuali 0 dan 180 derajat.

Suatu titik di pesawat menelepon asal, Dan non-kolinear vektor, , mengatur sistem koordinat bidang affine :

Terkadang sistem koordinat seperti itu disebut miring sistem. Sebagai contoh, gambar menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang Anda pahami, sistem koordinat affine bahkan kurang mudah digunakan; rumus panjang vektor dan segmen, yang telah kita bahas di bagian kedua pelajaran, tidak berlaku di dalamnya; Vektor untuk boneka, banyak formula lezat yang berhubungan dengan produk skalar vektor. Namun aturan untuk menjumlahkan vektor dan mengalikan vektor dengan bilangan, rumus membagi segmen dalam relasi ini, serta beberapa jenis soal lain yang akan segera kita bahas adalah valid.

Dan kesimpulannya adalah kasus khusus yang paling nyaman sistem affine koordinat adalah sistem persegi panjang kartesius. Itu sebabnya kamu paling sering harus menemuinya, sayangku. ...Namun, segala sesuatu dalam hidup ini adalah relatif - ada banyak situasi di mana sudut miring (atau yang lain, misalnya, kutub) sistem koordinat. Dan humanoid mungkin menyukai sistem seperti itu =)

Mari kita beralih ke bagian praktisnya. Semua tugas pelajaran ini valid baik untuk sistem koordinat persegi panjang dan untuk kasus affine umum. Tidak ada yang rumit di sini; semua materi dapat diakses bahkan oleh anak sekolah.

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor bidang?

Hal yang khas. Agar dua vektor bidang adalah kolinear, maka koordinat-koordinatnya yang bersesuaian harus proporsional dan cukup Pada dasarnya, ini adalah perincian koordinat demi koordinat dari hubungan yang nyata.

Contoh 1

a) Periksa apakah vektor-vektornya segaris .
b) Apakah vektor-vektor tersebut membentuk basis? ?

Larutan:
a) Mari kita cari tahu apakah ada vektor koefisien proporsionalitas, sehingga persamaan terpenuhi:

Saya pasti akan memberi tahu Anda tentang jenis aplikasi yang “foppish”. aturan ini, yang bekerja cukup baik dalam praktiknya. Idenya adalah segera membuat proporsinya dan melihat apakah itu benar:

Mari kita membuat proporsi dari rasio koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Mari kita persingkat:
, sehingga koordinat yang bersesuaian adalah proporsional, oleh karena itu,

Hubungannya bisa dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk pengujian mandiri, Anda dapat menggunakan fakta bahwa vektor-vektor collinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. DI DALAM dalam hal ini ada persamaan . Validitasnya dapat dengan mudah diverifikasi melalui operasi dasar dengan vektor:

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas . Mari kita buat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dari persamaan kedua maka , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Jadi, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian tidak proporsional.

Kesimpulan: vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.

Versi sederhana dari solusinya terlihat seperti ini:

Mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Biasanya opsi ini tidak ditolak oleh pengulas, namun masalah muncul jika beberapa koordinat sama dengan nol. Seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana cara bekerja melalui proporsi di sini? (memang, Anda tidak bisa membaginya dengan nol). Karena alasan inilah saya menyebut solusi yang disederhanakan sebagai “foppish”.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Kecil contoh kreatif Untuk keputusan independen:

Contoh 2

Berapa nilai parameter vektornya apakah keduanya akan segaris?

Dalam larutan sampel, parameternya ditemukan melalui proporsi.

Ada yang anggun metode aljabar memeriksa vektor untuk mengetahui kolinearitas. Mari kita mensistematisasikan pengetahuan kita dan menambahkan ini sebagai poin kelima:

Untuk dua vektor, bidang-bidangnya ekuivalen pernyataan berikut :

2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak segaris;

+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut adalah bukan nol.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut ini ekuivalen:
1) vektor bergantung linier;
2) vektor tidak membentuk basis;
3) vektor-vektornya segaris;
4) vektor dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
+ 5) determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini, sama dengan nol .

Saya sangat, sangat berharap itu saat ini Anda sudah memahami semua syarat dan pernyataan yang Anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat poin kelima yang baru: dua vektor bidang adalah segaris jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol:. Untuk digunakan dari karakteristik ini Tentu saja, Anda harus mampu menemukan determinan.

Mari kita putuskan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris.

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Ini terlihat jauh lebih kompak dan cantik dibandingkan solusi dengan proporsi.

Dengan bantuan materi yang dibahas, dimungkinkan untuk menetapkan tidak hanya kolinearitas vektor, tetapi juga membuktikan paralelisme segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa soal dengan bentuk geometris tertentu.

Contoh 3

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah jajar genjang.

Bukti: Tidak perlu membuat gambar dalam soal, karena penyelesaiannya murni analitis. Mari kita ingat kembali definisi jajar genjang:
Genjang Segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan disebut.

Oleh karena itu, perlu dibuktikan:
1) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan;
2) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan.

Kami membuktikan:

1) Temukan vektornya:

2) Temukan vektornya:

Hasilnya adalah vektor yang sama (“menurut sekolah” – vektor yang sama). Kolinearitas cukup jelas, namun lebih baik memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .

Kesimpulan: Sisi berlawanan segiempat sejajar berpasangan, yang berarti menurut definisinya merupakan jajar genjang. Q.E.D.

Figur yang lebih bagus dan berbeda:

Contoh 4

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah trapesium.

Untuk rumusan pembuktian yang lebih teliti, tentu saja lebih baik mendapatkan definisi trapesium, tetapi cukup mengingat seperti apa bentuknya.

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Solusi lengkap di akhir pelajaran.

Dan sekarang saatnya berpindah secara perlahan dari pesawat ke luar angkasa:

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor ruang?

Aturannya sangat mirip. Agar dua vektor ruang menjadi segaris, koordinat-koordinat yang bersesuaian harus proporsional.

Contoh 5

Cari tahu apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:

A) ;
B)
V)

Larutan:
a) Mari kita periksa apakah terdapat koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

“Sederhana” diformalkan dengan memeriksa proporsinya. Dalam hal ini:
– koordinat yang bersesuaian tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

Menjawab: vektor-vektornya tidak segaris.

b-c) Ini adalah poin untuk pengambilan keputusan independen. Cobalah dengan dua cara.

Ada metode untuk memeriksa kolinearitas vektor spasial melalui determinan orde ketiga, metode ini tercakup dalam artikel tersebut Produk vektor dari vektor.

Mirip dengan kasus bidang, alat yang dipertimbangkan dapat digunakan untuk mempelajari paralelisme segmen spasial dan garis lurus.

Selamat datang di bagian kedua:

Ketergantungan linier dan independensi vektor dalam ruang tiga dimensi.
Basis spasial dan sistem koordinat affine

Banyak pola yang kami periksa di pesawat akan berlaku untuk ruang angkasa. Saya mencoba meminimalkan catatan teori, karena sebagian besar informasi telah dikunyah. Namun, saya menyarankan Anda membaca bagian pendahuluan dengan cermat, karena istilah dan konsep baru akan muncul.

Sekarang, alih-alih bidang meja komputer, kita menjelajahi ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat dasarnya. Seseorang sekarang berada di dalam ruangan, seseorang berada di luar ruangan, tetapi bagaimanapun juga, kita tidak dapat lepas dari tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh karena itu, untuk membangun suatu basis, diperlukan tiga vektor spasial. Satu atau dua vektor saja tidak cukup, vektor keempat tidak berguna.

Dan sekali lagi kita melakukan pemanasan dengan jari kita. Silakan angkat tangan Anda dan rentangkan sisi yang berbeda ibu jari, telunjuk dan jari tengah . Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeda, memiliki panjang dan ukuran yang berbeda sudut yang berbeda di antara mereka sendiri. Selamat, dasar ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu mendemonstrasikan hal ini kepada guru, tidak peduli seberapa keras Anda memutar jari, tetapi tidak ada jalan keluar dari definisi =)

Selanjutnya, mari kita bertanya masalah penting, apakah ketiga vektor tersebut dapat membentuk basis ruang tiga dimensi ? Silakan tekan tiga jari dengan kuat ke bagian atas meja komputer. Apa yang telah terjadi? Tiga vektor terletak pada bidang yang sama, dan, secara kasar, kita telah kehilangan salah satu dimensi - tinggi. Vektor-vektor tersebut adalah sebidang dan, cukup jelas bahwa dasar dari ruang tiga dimensi tidak tercipta.

Perlu dicatat bahwa vektor koplanar tidak harus terletak pada bidang yang sama, mereka dapat berada pada bidang paralel (jangan lakukan ini dengan jari Anda, hanya Salvador Dali yang melakukan ini =)).

Definisi: vektor disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar. Masuk akal untuk menambahkan di sini bahwa jika bidang seperti itu tidak ada, maka vektor-vektornya tidak akan koplanar.

Tiga vektor koplanar selalu bergantung linier, artinya, keduanya dinyatakan secara linier melalui satu sama lain. Untuk mempermudah, mari kita bayangkan lagi bahwa mereka terletak pada bidang yang sama. Pertama, vektor tidak hanya koplanar, tetapi juga bisa kolinear, maka vektor apa pun dapat dinyatakan melalui vektor apa pun. Dalam kasus kedua, jika, misalnya, vektor-vektornya tidak segaris, maka vektor ketiga dinyatakan melalui vektor-vektor tersebut dengan cara yang unik: (dan alasannya mudah ditebak dari materi di bagian sebelumnya).

Kebalikannya juga benar: tiga vektor non-coplanar selalu bebas linier, artinya, keduanya sama sekali tidak diungkapkan melalui satu sama lain. Dan, tentu saja, hanya vektor-vektor seperti itu yang dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Definisi: Dasar dari ruang tiga dimensi disebut tripel vektor-vektor bebas linier (non-koplanar), diambil dalam urutan tertentu, dan vektor ruang apa pun satu-satunya cara didekomposisi berdasarkan basis tertentu, di mana koordinat vektor dalam basis ini

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita juga dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan dalam bentuk kombinasi linier vektor dasar.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang persis sama seperti pada kasus bidang; vektor independen:

asal, Dan non-koplanar vektor, diambil dalam urutan tertentu, mengatur sistem koordinat affine ruang tiga dimensi :

Tentu saja, kisi koordinatnya “miring” dan tidak nyaman, namun, sistem koordinat yang dibangun memungkinkan kita tentu saja tentukan koordinat suatu vektor dan koordinat titik mana pun dalam ruang. Mirip dengan bidang, beberapa rumus yang telah saya sebutkan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat ruang affine.

Kasus khusus yang paling familiar dan nyaman dari sistem koordinat affine, seperti yang ditebak semua orang, adalah sistem koordinat ruang persegi panjang:

Suatu titik dalam ruang disebut asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat ruang persegi panjang kartesius . Gambar yang familier:

Sebelum beralih ke tugas praktik, mari kita sistematiskan kembali informasinya:

Untuk tiga vektor spasi, pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen:
1) vektor-vektornya bebas linier;
2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak sebidang;
4) vektor tidak dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbeda dari nol.

Saya pikir pernyataan sebaliknya dapat dimengerti.

Ketergantungan/independensi linier vektor ruang secara tradisional diperiksa menggunakan determinan (poin 5). Tersisa tugas-tugas praktis akan memiliki karakter aljabar yang jelas. Saatnya untuk menggantungkan tongkat geometri dan menggunakan tongkat baseball aljabar linier:

Tiga vektor ruang bersifat koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol: .

Saya ingin menarik perhatian Anda pada nuansa teknis kecil: koordinat vektor dapat ditulis tidak hanya dalam kolom, tetapi juga dalam baris (nilai determinan tidak akan berubah dari ini - lihat properti determinan). Tapi ini jauh lebih baik dalam kolom, karena lebih bermanfaat untuk memecahkan beberapa masalah praktis.

Bagi para pembaca yang sedikit lupa tentang metode penghitungan determinan, atau mungkin kurang memahaminya sama sekali, saya merekomendasikan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana cara menghitung determinannya?

Contoh 6

Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk basis ruang tiga dimensi:

Larutan: Faktanya, seluruh solusi bermuara pada menghitung determinan.

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinannya terungkap pada baris pertama):

, artinya vektor-vektor tersebut bebas linier (tidak sebidang) dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

Menjawab: vektor-vektor ini membentuk basis

b) Ini adalah titik untuk pengambilan keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Bertemu dan tugas kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter berapakah vektor-vektor tersebut akan menjadi koplanar?

Larutan: Vektor-vektor dikatakan koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol:

Pada dasarnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan determinan. Kami menukik angka nol seperti layang-layang di jerboa - yang terbaik adalah membuka determinan di baris kedua dan segera menghilangkan minusnya:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut dan mereduksi masalahnya menjadi persamaan linier paling sederhana:

Menjawab: pada

Sangat mudah untuk memeriksanya di sini; untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam determinan asli dan memastikannya , membukanya lagi.

Kesimpulannya, mari kita lihat satu lagi tugas khas, yang lebih bersifat aljabar dan secara tradisional dimasukkan dalam mata kuliah aljabar linier. Hal ini sangat umum sehingga layak mendapatkan topik tersendiri:

Buktikan bahwa 3 vektor membentuk basis ruang tiga dimensi
dan temukan koordinat vektor ke-4 dalam basis ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut.

Larutan: Pertama, mari kita atasi kondisinya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, vektor-vektor tersebut sudah memiliki koordinat pada basis tertentu. Apa dasar ini tidak menarik bagi kami. Dan hal berikut ini menarik: tiga vektor mungkin akan membentuk basis baru. Dan tahap pertama sepenuhnya bertepatan dengan solusi Contoh 6; perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:

, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.

Sistem vektor disebut bergantung secara linier, jika ada bilangan yang paling sedikit satu bukan nol, sehingga persamaannya https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Jika persamaan ini dipenuhi hanya jika semua , maka sistem vektor disebut independen linier.

Dalil. Sistem vektor akan melakukannya bergantung secara linier jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya.

Contoh 1. Polinomial adalah kombinasi linier dari polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomial tersusun secara linier sistem mandiri, karena polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Contoh 2. Sistem matriks, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> bebas linier, karena kombinasi linier sama dengan matriks nol hanya jika https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> bergantung linier.

Larutan.

Mari kita buat kombinasi linier dari vektor-vektor ini https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" tinggi=" 22">.

Menyamakan koordinat dengan nama yang sama vektor yang sama, kita mendapatkan https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Akhirnya kita dapatkan

Dan

Sistem ini memiliki solusi sepele yang unik, sehingga kombinasi linier dari vektor-vektor ini sama dengan nol hanya jika semua koefisien sama dengan nol. Itu sebabnya sistem ini vektor bebas linier.

Contoh 4. Vektor-vektornya bebas linier. Seperti apa sistem vektornya?

A).;

B).?

Larutan.

A). Mari kita buat kombinasi linier dan samakan dengan nol

Dengan menggunakan sifat-sifat operasi dengan vektor dalam ruang linier, kita tulis ulang persamaan terakhir dalam bentuk

Karena vektor-vektornya bebas linier, koefisien di harus sama dengan nol, yaitu..gif" width="12" height="23 src=">

Sistem persamaan yang dihasilkan mempunyai solusi sepele yang unik .

Sejak kesetaraan (*) dieksekusi hanya ketika https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – independen linier;

B). Ayo buat persamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Menerapkan alasan serupa, kami memperoleh

Memecahkan sistem persamaan dengan metode Gauss, kita peroleh

atau

Sistem yang terakhir punya himpunan tak terbatas solusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Jadi, ada himpunan koefisien bukan nol yang persamaannya memegang (**) . Oleh karena itu, sistem vektor – bergantung linier.

Contoh 5 Suatu sistem vektor bebas linier, dan sistem vektor bergantung linier..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Dalam kesetaraan (***) . Memang benar, pada , sistem akan bergantung linier.

Dari relasinya (***) kita dapatkan atau Mari kita tunjukkan .

Kami mengerti

Masalah untuk solusi mandiri (di dalam kelas)

1. Suatu sistem yang memuat vektor nol adalah bergantung linier.

2. Sistem yang terdiri dari satu vektor A, bergantung linier jika dan hanya jika, sebuah=0.

3. Suatu sistem yang terdiri dari dua vektor bergantung linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut sebanding (yaitu, salah satu vektor diperoleh dari vektor lainnya dengan mengalikannya dengan suatu bilangan).

4. Jika k linier sistem ketergantungan menambahkan vektor, Anda mendapatkan sistem bergantung linier.

5. Jika suatu vektor dihilangkan dari sistem bebas linier, maka sistem vektor yang dihasilkan adalah bebas linier.

6. Jika sistem S bebas linier, tetapi menjadi bergantung linier ketika menjumlahkan vektor B, lalu vektornya B dinyatakan secara linier melalui vektor sistem S.

C). Sistem matriks , , dalam ruang matriks orde kedua.

10. Biarkan sistem vektor A,B,C ruang vektor bebas linier. Buktikan independensi linier sistem berikut vektor:

A).sebuah+b, b, c.

B).sebuah+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nomor sewenang-wenang

C).sebuah+b, a+c, b+c.

11. Membiarkan A,B,C– tiga vektor pada bidang tempat terbentuknya segitiga. Akankah vektor-vektor ini bergantung linier?

12. Dua vektor diberikan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Ambil dua lagi vektor empat dimensi a3 dana4 sehingga sistem a1,a2,a3,a4 independen linier .

Membiarkan L- sewenang-wenang ruang linier, A Saya Î aku,- elemennya (vektor).

Definisi 3.3.1. Ekspresi , Di mana , - sewenang-wenang bilangan real, disebut kombinasi linier vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N.

Jika vektor R = , lalu mereka mengatakan itu R didekomposisi menjadi vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N.

Definisi 3.3.2. Kombinasi linear vektor disebut tidak sepele, jika di antara bilangan-bilangan tersebut paling sedikit ada satu yang bukan nol. Jika tidak, kombinasi linier disebut remeh.

Definisi 3.3.3 . Vektor a 1 , a 2 ,…, a N disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi linier nontrivial sedemikian rupa sehingga

= 0 .

Definisi 3.3.4. Vektor a 1 ,a 2 ,…, a N disebut bebas linier jika persamaannya = 0 hanya mungkin jika semua angkanya aku 1, aku 2,…, aku n secara bersamaan sama dengan nol.

Perhatikan bahwa setiap elemen bukan nol a 1 dapat dianggap sebagai sistem bebas linier, karena persamaannya aku sebuah 1 = 0 hanya mungkin jika aku= 0.

Teorema 3.3.1. Diperlukan dan kondisi cukup ketergantungan linier a 1, a 2,…, a N adalah kemungkinan untuk menguraikan setidaknya satu dari elemen-elemen ini menjadi elemen lainnya.

Bukti. Kebutuhan. Misalkan unsur a 1 , a 2 ,…, a N bergantung secara linear. Artinya = 0 , dan setidaknya salah satu angkanya aku 1, aku 2,…, aku n berbeda dari nol. Biarkan untuk kepastian aku 1 ¹ 0. Lalu

yaitu unsur a 1 didekomposisi menjadi unsur a 2 , a 3 , …, a N.

Kecukupan. Misalkan unsur a 1 diuraikan menjadi unsur a 2 , a 3 , …, a N, yaitu a 1 = . Kemudian = 0 , oleh karena itu, terdapat kombinasi vektor linier non-trivial a 1 , a 2 ,…, a N, setara 0 , jadi keduanya bergantung linier .

Teorema 3.3.2. Jika paling sedikit salah satu unsur a 1 , a 2 ,…, a N nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung linier.

Bukti . Membiarkan A N= 0 , maka = 0 , yang berarti ketergantungan linier dari unsur-unsur tersebut.

Teorema 3.3.3. Jika di antara n vektor ada p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bukti. Misalkan, agar lebih pasti, unsur-unsur a 1 , a 2 ,…, a P bergantung secara linear. Artinya terdapat kombinasi linier non-trivial sedemikian sehingga = 0 . Kesetaraan yang ditentukan akan dipertahankan jika kita menambahkan elemen ke kedua bagiannya. Kemudian + = 0 , dan setidaknya salah satu angkanya aku 1, aku 2,…, lp berbeda dari nol. Oleh karena itu, vektor a 1 , a 2 ,…, a N bergantung secara linier.

Akibat wajar 3.3.1. Jika n unsur bebas linier, maka ada k unsur bebas linier (k< n).

Teorema 3.3.4. Jika vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1 bebas linier, dan unsur-unsurnya sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1,a n bergantung linier, maka vektornya A n dapat diperluas menjadi vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1 .

Bukti. Karena dengan kondisi a 1 , a 2 ,…, A N- 1,a N bergantung linier, maka terdapat kombinasi linier nontrivial dari keduanya = 0 , dan (jika tidak, vektor-vektor a 1 , a 2 ,…, a akan menjadi bergantung linier N- 1). Tapi kemudian vektornya

,

Q.E.D.

Diperkenalkan oleh kami operasi linier atas vektor memungkinkan untuk dikompilasi berbagai ekspresi Untuk besaran vektor dan mengubahnya menggunakan properti yang ditetapkan untuk operasi ini.

Berdasarkan himpunan vektor tertentu a 1, ..., a n, Anda dapat membuat ekspresi bentuk

dimana a 1, ..., dan n adalah bilangan real sembarang. Ungkapan ini disebut kombinasi linier vektor sebuah 1, ..., sebuah n. Angka α i, i = 1, n, mewakili koefisien kombinasi linier. Himpunan vektor disebut juga sistem vektor.

Sehubungan dengan diperkenalkannya konsep kombinasi linier vektor, timbul masalah dalam mendeskripsikan himpunan vektor yang dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari suatu sistem vektor a 1, ..., a n. Selain itu, terdapat pertanyaan wajar tentang kondisi di mana terdapat representasi vektor dalam bentuk kombinasi linier, dan tentang keunikan representasi tersebut.

Definisi 2.1. Vektor a 1, ..., dan n disebut bergantung secara linier, jika terdapat himpunan koefisien α 1 , ... , α n sedemikian rupa sehingga

α 1 a 1 + ... + α n dan n = 0 (2.2)

dan setidaknya salah satu dari koefisien ini bukan nol. Jika himpunan koefisien yang ditentukan tidak ada, maka vektor disebut independen linier.

Jika α 1 = ... = α n = 0, maka jelas α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Dengan mengingat hal ini, kita dapat mengatakan ini: vektor a 1, ..., dan n bebas linier jika persamaan (2.2) mengikuti bahwa semua koefisien α 1 , ... , α n sama dengan nol.

Teorema berikut menjelaskan mengapa konsep baru ini disebut istilah "ketergantungan" (atau "kemerdekaan"), dan memberikan kriteria sederhana untuk ketergantungan linier.

Teorema 2.1. Agar vektor-vektor a 1, ..., dan n, n > 1 bergantung linier, salah satu vektor tersebut perlu dan cukup merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya.

◄ Kebutuhan. Misalkan vektor a 1, ..., dan n bergantung linier. Menurut Definisi 2.1 ketergantungan linier, pada persamaan (2.2) di sebelah kiri paling sedikit terdapat satu koefisien bukan nol, misalnya α 1. Membiarkan suku pertama di sisi kiri persamaan, kita memindahkan sisanya ke sisi kanan, mengubah tandanya, seperti biasa. Membagi persamaan yang dihasilkan dengan α 1, kita peroleh

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ an

itu. representasi vektor a 1 sebagai kombinasi linier dari sisa vektor a 2, ..., a n.

Kecukupan. Misalkan, vektor pertama a 1 dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Memindahkan semua suku dari ruas kanan ke kiri, kita memperoleh a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, yaitu. kombinasi linier vektor a 1, ..., an dengan koefisien α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, sama dengan vektor nol. Dalam kombinasi linier ini, tidak semua koefisien bernilai nol. Menurut Definisi 2.1, vektor a 1, ..., dan n bergantung linier.

Definisi dan kriteria ketergantungan linier dirumuskan untuk menyiratkan adanya dua vektor atau lebih. Namun, kita juga dapat berbicara tentang ketergantungan linier dari satu vektor. Untuk mewujudkan kemungkinan ini, alih-alih “vektor bergantung linier”, Anda perlu mengatakan “sistem vektor bergantung linier”. Sangat mudah untuk melihat bahwa ungkapan “sistem dengan satu vektor bergantung linier” berarti bahwa vektor tunggal ini adalah nol (dalam kombinasi linier hanya ada satu koefisien, dan tidak boleh sama dengan nol).

Konsep ketergantungan linier memiliki interpretasi geometris yang sederhana. Tiga pernyataan berikut memperjelas penafsiran ini.

Teorema 2.2. Dua vektor bergantung linier jika dan hanya jika keduanya segaris.

◄ Jika vektor a dan b bergantung linier, maka salah satunya, misalnya a, dinyatakan melalui vektor lainnya, yaitu. a = λb untuk suatu bilangan real λ. Menurut definisi 1.7 bekerja vektor per bilangan, vektor a dan b segaris.

Misalkan vektor a dan b segaris. Jika keduanya nol, maka jelas bahwa keduanya bergantung linier, karena setiap kombinasi linier keduanya sama dengan vektor nol. Misalkan salah satu vektor tersebut tidak sama dengan 0, misalnya vektor b. Mari kita nyatakan dengan λ perbandingan panjang vektor: λ = |a|/|b|. Vektor kolinear dapat berupa searah atau diarahkan secara berlawanan. DI DALAM kasus terakhir mari kita ubah tanda λ. Kemudian, dengan memeriksa Definisi 1.7, kita yakin bahwa a = λb. Menurut Teorema 2.1, vektor a dan b bergantung linier.

Catatan 2.1. Dalam kasus dua vektor, dengan mempertimbangkan kriteria ketergantungan linier, teorema yang telah terbukti dapat dirumuskan ulang sebagai berikut: dua vektor adalah segaris jika dan hanya jika salah satunya direpresentasikan sebagai hasil kali vektor lainnya dengan suatu bilangan. Ini adalah kriteria yang tepat untuk kolinearitas dua vektor.

Teorema 2.3. Tiga vektor bergantung linier jika dan hanya jika keduanya sebidang.

◄ Jika tiga vektor a, b, c bergantung linier, maka menurut Teorema 2.1, salah satunya, misalnya a, merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya: a = βb + γс. Mari kita gabungkan asal usul vektor b dan c di titik A. Maka vektor βb, γс akan mempunyai titik asal yang sama di titik A dan sepanjang menurut aturan jajaran genjang, jumlahnya adalah itu. vektor a akan menjadi vektor dengan titik asal A dan akhir, yang merupakan titik puncak jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor komponen. Jadi, semua vektor terletak pada bidang yang sama, yaitu koplanar.

Misalkan vektor a, b, c adalah koplanar. Jika salah satu dari vektor-vektor tersebut bernilai nol, maka jelas bahwa vektor-vektor tersebut merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya. Cukup dengan menganggap semua koefisien kombinasi linier sama dengan nol. Oleh karena itu, kita dapat berasumsi bahwa ketiga vektor tersebut tidak nol. Kompatibel dimulai vektor-vektor ini di poin umum O. Misalkan ujungnya berturut-turut adalah titik A, B, C (Gbr. 2.1). Melalui titik C kita tarik garis sejajar dengan garis yang melalui pasangan titik O, A dan O, B. Dengan menentukan titik potong A" dan B", kita peroleh jajar genjang OA"CB", maka OC" = OA" + OB". Vektor OA" dan vektor bukan nol a = OA adalah segaris, oleh karena itu vektor pertama dapat diperoleh dengan mengalikan vektor kedua dengan bilangan realα:OA" = αOA. Demikian pula, OB" = βOB, β ∈ R. Hasilnya, kita memperoleh bahwa OC" = α OA + βOB, yaitu vektor c adalah kombinasi linier dari vektor a dan b. Menurut Teorema 2.1 , vektor a , b, c bergantung linier.

Teorema 2.4. Empat vektor mana pun bergantung linier.

◄ Kami melakukan pembuktian menurut skema yang sama seperti pada Teorema 2.3. Pertimbangkan empat vektor sembarang a, b, c dan d. Jika salah satu dari empat vektor tersebut nol, atau di antara vektor-vektor tersebut terdapat dua vektor yang segaris, atau tiga dari empat vektor tersebut koplanar, maka keempat vektor tersebut bergantung linier. Misalnya, jika vektor a dan b segaris, maka kita dapat membuat kombinasi liniernya αa + βb = 0 dengan koefisien bukan nol, lalu menambahkan dua vektor sisanya ke kombinasi ini, dengan mengambil nol sebagai koefisien. Kita memperoleh kombinasi linier dari empat vektor yang sama dengan 0, yang memiliki koefisien bukan nol.

Dengan demikian, kita dapat berasumsi bahwa di antara empat vektor yang dipilih, tidak ada vektor yang bernilai nol, tidak ada dua vektor yang segaris, dan tidak ada tiga vektor yang koplanar. Mari kita pilih sebagai awal yang sama titik O. Maka ujung-ujung vektor a, b, c, d adalah beberapa titik A, B, C, D (Gbr. 2.2). Melalui titik D kita menggambar tiga bidang, sejajar dengan pesawat OBC, OCA, OAB, dan misalkan A", B", C" adalah titik potong bidang-bidang tersebut dengan garis lurus OA, OB, OS. Kita memperoleh garis paralel OA"C"B"C"B"DA ", dan vektor a, b, c terletak pada rusuk-rusuknya yang muncul dari titik sudut O. Karena segiempat OC"DC" adalah jajar genjang, maka OD = OC" + OC" . Selanjutnya, ruas OC" adalah diagonal dari jajar genjang OA"C"B", jadi OC" = OA" + OB" dan OD = OA" + OB" + OC" .

Perlu dicatat bahwa pasangan vektor OA ≠ 0 dan OA" , OB ≠ 0 dan OB" , OC ≠ 0 dan OC" adalah kolinear, dan oleh karena itu, koefisien α, β, γ dapat dipilih sehingga OA" = αOA , OB" = βOB dan OC" = γOC. Kami akhirnya mendapatkan OD = αOA + βOB + γOC. Oleh karena itu, vektor OD dinyatakan melalui tiga vektor lainnya, dan keempat vektor tersebut, menurut Teorema 2.1, bergantung linier.

Definisi. Kombinasi vektor linier a 1 , ..., a n dengan koefisien x 1 , ..., x n disebut vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

remeh, jika semua koefisien x 1 , ..., x n sama dengan nol.

Definisi. Kombinasi linier x 1 a 1 + ... + x n a n disebut tidak sepele, jika paling sedikit salah satu koefisien x 1, ..., x n tidak sama dengan nol.

independen linier, jika tidak ada kombinasi nontrivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.

Artinya, vektor-vektor a 1, ..., a n bebas linier jika x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 jika dan hanya jika x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definisi. Vektor a 1, ..., a n disebut bergantung secara linier, jika terdapat kombinasi nontrivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.

Sifat-sifat vektor bergantung linier:

Untuk vektor 2 dan 3 dimensi.

Dua vektor bergantung linier adalah kolinear. (Vektor collinear bergantung linear.)

Untuk vektor 3 dimensi.

Tiga vektor bergantung linier bersifat koplanar. (Tiga vektor koplanar- bergantung linier.)

• Untuk vektor berdimensi n.

  n + 1 vektor selalu bergantung linier.

Contoh soal ketergantungan linier dan kemandirian linier vektor:

Contoh 1. Periksa apakah vektor a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) bebas linier .

Larutan:

Vektor-vektor akan bergantung linier, karena dimensi vektor lebih kecil dari jumlah vektor.

Contoh 2. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) bebas linier.

Larutan:

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga:

Penyelesaian ini menunjukkan bahwa sistem mempunyai banyak penyelesaian yaitu terdapat kombinasi nilai bilangan x 1, x 2, x 3 yang bukan nol sedemikian rupa sehingga kombinasi linier vektor a, b, c sama dengan vektor nol, misalnya:

SEBUAH + b + c = 0

dan ini berarti vektor a, b, c bergantung linier.

Menjawab: vektor a, b, c bergantung linier.

Contoh 3. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) bebas linier.

Larutan: Mari kita cari nilai koefisien di mana kombinasi linier dari vektor-vektor ini akan sama dengan vektor nol.

Ini persamaan vektor dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan linier

Mari selesaikan sistem ini menggunakan metode Gauss

kurangi baris pertama dari baris kedua; kurangi baris pertama dari baris ketiga:

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga.