Tujuan kegiatan: mengembangkan kemampuan siswa dalam menggeneralisasi, menyusun dan mensistematisasikan materi pada topik pelajaran.

Tujuan pendidikan: mensistematisasikan materi pendidikan dan mengidentifikasi logika pengembangan alur isi mata pelajaran, memperkuat hubungan antara pokok dan pendidikan tambahan berdasarkan mata kuliah pilihan ZFTSH di MIPT, untuk mempersiapkan siswa memecahkan masalah tingkat kompleksitas yang tinggi pada Ujian Negara Bersatu.

Tujuan pendidikan: membangkitkan minat memecahkan masalah secara mandiri, mendorong siswa untuk melakukannya pencarian aktif cara rasional untuk memecahkan masalah, mengembangkan kemampuan mengungkapkan posisi sendiri dalam diskusi, mengembangkan kemampuan merumuskan dan memperdebatkan usulan untuk bergerak menuju pencapaian hasil.

Tujuan pendidikan: mengatasi hambatan terhadap kebutuhan untuk memecahkan masalah-masalah non-standar; membentuk database metode algoritmik untuk memecahkan masalah dengan parameter, memilih metode untuk memecahkan masalah berdasarkan generalisasi materi yang dipelajari sebelumnya, menilai pencapaian seseorang pada tahap ini dan membentuk rencana untuk pendidikan mandiri lebih lanjut, mengoptimalkan sistem pekerjaan rumah, membiasakan diri dengan kemungkinannya pembelajaran jarak jauh pada topik pelajaran.

Tugas perkembangan: pengembangan pemikiran logis, memori, observasi, kemampuan untuk merangkum data dengan benar dan menarik kesimpulan, mempromosikan pengembangan keterampilan untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam kondisi yang tidak standar, pengembangan keterampilan untuk membangun hubungan sebab-akibat, pengembangan berpikir kritis.

Tugas pendidikan: memupuk minat positif terhadap mata pelajaran yang dipelajari, memberikan kondisi bagi siswa untuk menguasai algoritma pemecahan masalah dan masalah penelitian, memperkuat lingkungan kreatif kolektif, memberikan kondisi untuk mengembangkan kemampuan mengungkapkan sudut pandang.

Bentuk, metode dan teknik pedagogi.

• Metode pengajaran: presentasi yang bermasalah, riset.
• Identifikasi hipotesis merancang hasilnya, perencanaan kerja.
• Fokus utamanya adalah memotivasi aktivitas siswa.
• Metodologi kolektif aktivitas kreatif, metodologi informasi dan komunikasi, metodologi pencarian masalah.
• Pemeriksaan depan Siap untuk pelajaran - siapkan pertanyaan rumit.
• Memperbarui dan mencatat kesulitan individu.
• Membangun proyek untuk keluar dari masalah.
• Refleksi kegiatan pendidikan.

Model pembelajaran.

• Model pengajaran yang komunikatif dan diskusi
• Informasi dan komunikasi (penggunaan sumber informasi).
• Interaksi kelompok dan antarkelompok, mengubah aktivitas siswa

Perkembangan berpikir kritis: tantangan, pemahaman, refleksi.

Kemungkinan menyelesaikan pekerjaan rumah setelah diskusi:

• Solusi lengkap untuk masalah yang diajukan.
• Membuat cluster dengan tugas individu kelompok dan pilihan kriteria untuk evaluasinya.

Kemungkinan perubahan pada pekerjaan rumah bergantung pada kemajuan pelajaran. Faktanya, siswa sudah maju pekerjaan rumah untuk pekerjaan mandiri.

Penerimaan “Situasi masalah”

Pelatihan di kelas ini Mata kuliah “Aljabar dan Permulaan Analisis” berlangsung sesuai dengan bahan ajar S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkina. Mata kuliah ini tidak mengalokasikan waktu untuk mempelajari topik “Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Parameter”. Bagi banyak siswa di kelas, serangkaian masalah yang relevan cukup kompleks, dan mereka tidak berharap untuk menyelesaikan masalah tersebut dalam waktu yang bersamaan sertifikasi akhir. Namun, ketika mempersiapkan diri untuk mengikuti olimpiade universitas, topik ini tidak bisa dihindari. Pelajaran ini adalah salah satu tahapan penghubung dalam mempelajari topik-topik utama mata kuliah seperti grafik fungsi dasar, solusi persamaan kuadrat dan pertidaksamaan serta permasalahan yang dapat direduksi menjadi hal tersebut dengan menggunakan metode interval, menyusun diagram transisi ekuivalen.

Siswa ditawari satu set 10 tugas sebelumnya (seminggu sebelum pelajaran), yang mereka selesaikan di rumah, dibagi menjadi kelompok yang terdiri dari 5-6 orang. Setiap kelompok diminta untuk memilih tiga permasalahan yang penyelesaiannya dapat mereka tunjukkan kepada teman sekelasnya (rancangan permasalahan tersebut harus disajikan dalam bentuk presentasi, salah satu penyelesaiannya tentu saja salah).

Penerapan teknik ini meliputi:

• menciptakan situasi kontradiksi antara yang diketahui dan yang tidak diketahui. Semua kemungkinan tahapan penelitian dan solusi diketahui.
• Apa yang tidak diketahui adalah kemungkinan membangun hubungan antara tahapan-tahapan ini untuk membentuk suatu algoritma solusi.
• pilihan mandiri untuk memecahkan dan menyajikan masalah individu dalam kelompok kecil;
• verifikasi hasil secara kolektif;
• refleksi dengan penilaian diri terhadap tingkat kesiapan menyelesaikan tugas pada topik ini.

Tujuan pembelajaran yang dirumuskan adalah “Generalisasi metode dan teknik penyelesaian persamaan trigonometri dan mempelajari fungsi trigonometri.”

Kemungkinan pertanyaan dari siswa: “Apa hubungannya parameter dengan itu?” Dianjurkan untuk membawa siswa pada kesimpulan: “Jika Anda dapat memecahkan tidak hanya satu masalah, tetapi seluruh masalah, maka peluang Anda dalam kegiatan di masa depan akan diperluas secara signifikan.”

Memeriksa kesiapan pelajaran.

Siswa duduk dalam kelompok di mana mereka bersiap untuk mempresentasikan hasil pekerjaan rumah mereka.

Untuk menilai kondisi awal, guru membagikan tabel kepada kelompok dan menyarankan pemberian nomor tugas sesuai dengan klasifikasi yang diusulkan.

Tugas yang disarankan.

Tugas 1. Temukan semua nilai parameter a, yang masing-masingnya persamaan cos 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0 mempunyai banyak akar genap pada ruas tersebut.

Tugas 2. Temukan semua nilai parameter a yang persamaannya (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0.

Tugas 3. Temukan semua nilai parameter a yang persamaannya punya solusi.

Tugas 4. Selesaikan persamaan x 2 -2xcosa+1=0 untuk semua nilai parameter a.

Tugas 5. Selesaikan persamaan 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= untuk semua nilai parameter a.

Tugas 6. Selesaikan pertidaksamaan sin 4 x + cos 4 x a untuk semua nilai parameter a.

Tugas 7. Berapa nilai parameter a persamaan cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 mempunyai tepat dua akar pada intervalnya

Tugas 8. Temukan semua nilai parameter a, yang masing-masing merupakan himpunan nilai fungsinya berisi segmen.

Tugas 9. Untuk nilai parameter t berapakah persamaan sinx + cosx – sinxcosx =t mempunyai penyelesaian?

Tugas 10. Temukan semua nilai parameter k, yang masing-masing memiliki persamaan mempunyai paling sedikit satu solusi pada interval tersebut

Tugas klasifikasi - mengklasifikasikan tugas yang diusulkan:

1) berdasarkan tingkat kesulitan

2) menurut metode yang digunakan untuk mengubah ekspresi trigonometri

3) menggunakan informasi pengambilan keputusan tentang domain definisi ekspresi trigonometri

4) menggunakan informasi tentang himpunan nilai fungsi trigonometri dalam penyelesaiannya

5) mereduksi menjadi studi tentang himpunan solusi persamaan kuadrat atau pertidaksamaan

6) membutuhkan kemampuan memfaktorkan ekspresi

7) menyarankan metode analitis solusi

8) mengasumsikan metode solusi koordinat-parametrik

9) melibatkan penggunaan interpretasi geometris menggunakan bidang “variabel – nilai”.

Catatan: tugas yang sama mungkin termasuk dalam beberapa judul klasifikasi.

• Pilih tugas-tugas yang, dari sudut pandang Anda, dapat Anda selesaikan.
• Pilih tugas-tugas yang, dari sudut pandang Anda, ingin Anda selesaikan.
• Cobalah untuk menemukan argumen untuk membenarkan pilihan Anda.

Sebelum melakukan klasifikasi, Anda dapat menanyakan pertanyaan-pertanyaan “rumit” yang telah dipersiapkan sebelumnya oleh kelompok.

Urutan penyajian tugas oleh siswa dari lima kelompok dibentuk secara bersama-sama.

Karena siswa memilih untuk memecahkan masalah 2, 3, 4, 5, 7, 9, nomor masalah dipilih secara berkelompok dan algoritma untuk menyelesaikannya disajikan (agar tidak mengalihkan perhatian siswa, detailnya solusinya tidak diperiksa jika jawaban kelompok siswa bertepatan).

Presentasi solusi siswa ditampilkan di layar menggunakan workstation guru.

Komentar singkat tentang pembahasan solusi.

Kontradiksi jawaban tugas 2, pembahasan tentang pencantuman dan pengecualian poin (-1) dan (0). Guru menarik perhatian siswa pada kebutuhan untuk melacak semua konsekuensi dari algoritma.

Salah satu kelompok mewakili solusi yang salah untuk masalah 3. Pemecahannya berbeda dengan yang disarankan guru dan terdiri dari menghilangkan irasionalitas. Siswa melupakan syarat bahwa ruas kanan persamaan tidak boleh negatif.

Sebagai tantangannya, guru menyarankan untuk menyelesaikan pertidaksamaan daripada persamaan dengan mengganti tanda “=” dengan “” atau “”. Siswa didorong untuk menunjukkan skema transisi ekuivalen yang telah dipelajari ketika menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Kasus yang salah dalam memasukkan nilai parameter dalam respons dianalisis dalam tugas 7. Solusi kebetulan dari dua cabang dianggap sebagai satu solusi. Sebagai bahan pemikiran, Anda dapat menyajikan pertidaksamaan (cos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 dan memulai diskusi tentang topik akar persamaan ganda.

Keputusan tersebut memicu diskusi panas tugas 9. Salah satu kelompok siswa menyajikan grafik yang diperoleh dalam program Advanced Grapher untuk fungsi di sisi kiri persamaan asli, dan mendapat kesimpulan bahwa himpunan nilainya adalah segmen [-2;1]. Kelompok siswa yang berkompetisi segera membuat grafik ini dengan panduan horizontal yang sesuai, dan, dengan memperbesar skala, menunjukkan bahwa tidak ada garis singgung dengan garis t = -2. Karena peningkatan skala tidak menyebabkan perubahan situasi dengan menyentuh garis horizontal atas, kelompok pertama bersikeras bahwa solusi terhadap masalah tersebut diakui setidaknya sebagian.

Satu-satunya argumen signifikan dari para pesaing adalah kurangnya kesempatan untuk menggunakan plotter grafik apa pun pada Ujian Negara Bersatu. Namun, pertanyaannya tetap terbuka dalam keadaan nyata apa seseorang dapat mengandalkan hasil perhitungan numerik dan mengapa, sebagian besar, pembulatan nilai numerik dalam jawaban tidak diperbolehkan dalam ujian.

Gambar 1

Gambar 2

Tidak ada solusi yang tepat untuk tugas 9. Diusulkan untuk mengubah variabel sinx + cosx = p, siswa menyuarakan “kontradiksi”: 1 + sin2x = p 2 .

t(x) = kuadrat(1+sin(2x))-sin(2x)/2, grafik yang dibangun dari t(x) memberikan himpunan nilai yang sangat berbeda untuk fungsi t.

Gambar 3

Kontradiksi tersebut dihilangkan dengan persyaratan penggantian yang hati-hati: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 hanya untuk sinx +cosx 0

Garis-garis yang koordinat titik-titiknya memenuhi pertidaksamaan disorot dengan arsiran.

Gambar 4

Ketika sinx + cosx<0:

t(x) = -kuadrat(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

Garis-garis yang koordinat titik k memenuhi pertidaksamaan disorot dengan arsiran

Gambar 5

Pelajaran akan segera berakhir. Tugas 1, 6, 8, 10 tidak menemukan pengagumnya. Sambil menyajikan algoritma penyelesaian masalah yang dipilih secara kelompok, guru meninjau klasifikasi tugas yang dilakukan siswa di awal pembelajaran. Dilihat dari informasi dalam tabel, tugas 1, 8, 10 dinilai oleh siswa sebagai tugas yang sangat sulit dan tidak muncul ide untuk menyelesaikannya. Tugas 6 menyebabkan perbedaan jawaban pada tahap pendahuluan, sehingga siswa tidak memilihnya untuk presentasi.

Pekerjaan rumah: ubah masalah yang dibahas dan tawarkan solusi Anda sendiri kepada masalah tersebut. Kemungkinan cara modifikasi: mengubah persamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan; ubah koefisien numerik, rumuskan pertanyaan lain pada rumusan masalah.

Guru juga menyarankan untuk mempertimbangkan solusi analitisnya terhadap masalah yang dipilih siswa dan mengomentari kelebihan dan kekurangan solusi tersebut untuk pelajaran berikutnya.

Cerminan.

Siswa memerlukan refleksi sebagai atribut eksternal “ENAM TOPI.”

Karena tidak tersedia, kami sepakat bahwa masing-masing dari 5 kelompok secara mental memilih warna topi, warna apa saja, kecuali merah (karena ada cukup banyak emosi selama debat), dan mengungkapkan sikap mereka terhadap pelajaran yang lalu.

“Topi Putih”: dari sepuluh tugas yang diusulkan, hanya 6 yang dipertimbangkan. Banyak tugas yang memiliki kelemahan dalam penyelesaiannya. Penggunaan komputer sebagai asisten dalam tahap persiapan telah berkembang menjadi bukti yang tidak benar. Kami tidak tahu bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri.

“Topi Hitam”: tingkat tugas jelas melebihi kemampuan kami. Pada UN Unified State, trigonometri hanya terdapat pada soal paling sederhana yang penyelesaiannya lengkap; kita tidak memerlukan model serupa untuk soal UN Unified State dengan parameter. Kami memiliki kesalahan dalam memilih akar persamaan trigonometri pada interval; kami perlu mencurahkan waktu untuk ini selama sesi pelatihan. Komposisi kelompoknya tidak seimbang. Lotere memungkinkan kelompok pertama untuk memilih tugas yang lebih sederhana; hal ini tidak diperhitungkan dalam nilai. Tidak perlu dengan sengaja menyarankan untuk membuat kesalahan dalam pengambilan keputusan, dan tanpa ini akan banyak kesalahan.

“Topi Kuning” Ada baiknya sekarang, dan bukan di akhir kelas 11, kita melihat masalah yang sulit. Masalah yang dipertimbangkan memiliki algoritma untuk menyelesaikannya, Anda hanya perlu membiasakan otak Anda dengannya. Dalam buku teks, semua subparagraf paragraf 11 mewakili kelompok “masalah dengan parameter”, karena solusinya didasarkan pada algoritma yang serupa.

Ada waktu untuk menentukan “pagu” kompetensi. Atau mungkin ada yang ingin mengikuti kompetisi atau olimpiade? Kita dapat berasumsi bahwa kita telah melihat awal jalan menuju mereka.

“Topi Hijau” Menurut saya pemecahan masalah seperti itu paling cocok untuk pemrogram. Mereka perlu melakukan lompatan bersyarat, melewati nilai-nilai kritis agar program tidak hang, mungkin ada banyak program yang mempertimbangkan masalah trigonometri. Anda hanya perlu menerima posisi seorang programmer, dan semuanya akan berjalan lancar.

“Topi Biru” adalah seorang guru. Saya setuju dengan semua komentar dan pernyataan, kecuali yang sangat pragmatis. Dan para pragmatis harus ingat bahwa Anda tidak akan pernah tahu apa yang dituntut kehidupan dari Anda dalam situasi tertentu.

Ada usulan untuk mengadakan konsultasi mengenai penyelesaian masalah yang belum terselesaikan, partisipasi dalam konsultasi bersifat sukarela, tidak akan ada tugas dengan tingkat kerumitan seperti ini dalam pekerjaan pengendalian dan diagnostik dalam waktu dekat.

Kesimpulannya.

Teman-teman, hari ini kita mengambil langkah bersama, meskipun kecil, menuju pencarian kreatif solusi dalam trigonometri. Saya yakin Anda lebih memahami persamaan trigonometri dan berbagai cara penyelesaiannya.

Saat menyelesaikan pekerjaan penilaian tertulis, Anda akan memiliki kesempatan untuk memilih jenis tugas tertentu. Saya harap masalah dengan parameter tidak diabaikan oleh Anda.

Terima kasih atas kerja aktif Anda di kelas. Pelajaran sudah selesai. Selamat tinggal!

DI DALAM Lampiran 1 berisi komentar dan solusi singkat untuk masalah yang diajukan.

DI DALAM Lampiran 2 daftar literatur yang digunakan dalam menyusun pelajaran dan materi serta peralatan teknis yang diperlukan disediakan.

DI DALAM Lampiran 3 grafik yang digunakan dalam persiapan pelajaran, dibuat dalam program Advanced Grapher, disajikan.

Sergiev Posad, 2012

PERKENALAN

Masalah parameter memegang peranan penting dalam pembentukan pemikiran logis dan budaya matematika pada anak sekolah, namun penyelesaiannya menimbulkan kesulitan yang cukup besar. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa setiap persamaan dengan parameter mewakili seluruh kelas persamaan biasa, yang masing-masing persamaan tersebut harus diperoleh solusinya. Tugas-tugas tersebut ditawarkan pada ujian negara terpadu dan ujian masuk ke universitas.

Berdasarkan hasil UN Unified State 2011 (Tabel 1), dapat disimpulkan bahwa penyelesaian masalah dengan parameter menyebabkan kesulitan terbesar bagi siswa. Sekitar 87,9% tidak mulai menyelesaikan tugas jenis ini, dan hanya 0,87% yang menerima skor maksimal. Hal ini disebabkan karena program matematika sekolah menengah kurang memperhatikan penyelesaian masalah dengan parameter. Oleh karena itu, setiap guru harus meluangkan waktu dalam pembelajaran untuk memecahkan masalah tersebut. Masalah-masalah ini murni untuk kepentingan matematis, berkontribusi pada perkembangan intelektual siswa, dan berfungsi sebagai bahan yang baik untuk melatih keterampilan.

Tabel 1. Hasil rata-rata penyelesaian tugas C1-C6

Semua tugas yang dibahas dalam karya ini bertujuan untuk membantu siswa mendapatkan gambaran tentang persamaan trigonometri dengan parameter dan apa artinya menyelesaikan persamaan dengan parameter tersebut. Pada awal pengenalan parameter, siswa mengalami hambatan psikologis karena karakteristiknya yang kontradiktif. Di satu sisi, parameter dalam persamaan harus dianggap sebagai besaran yang diketahui, tetapi di sisi lain, nilai spesifik dari parameter tersebut tidak diberikan. Di satu sisi, parameternya adalah nilai konstan, namun di sisi lain dapat memiliki nilai yang berbeda. Ternyata parameter dalam persamaan tersebut adalah “kuantitas yang tidak diketahui”, “variabel konstan”. Pernyataan-pernyataan yang kontradiktif ini secara akurat mencerminkan esensi kesulitan yang perlu diatasi oleh siswa.

1. Landasan teori untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter

Jika dalam suatu persamaan beberapa koefisien tidak diberikan dengan nilai numerik tertentu, tetapi dinyatakan dengan huruf, maka koefisien tersebut disebut parameter, dan persamaan tersebut bersifat parametrik.

Tentu saja, kelas masalah ini tidak memungkinkan banyak orang untuk memahami hal utama: parameter, sebagai bilangan tetap tetapi tidak diketahui, memiliki sifat ganda. Pertama, ketenaran memungkinkan Anda untuk "berkomunikasi" dengan parameter sebagai angka, dan kedua, tingkat kebebasan komunikasi dibatasi oleh ketidakjelasannya. Jadi, membagi dengan ekspresi yang mengandung parameter dan mengekstraksi akar derajat genap dari ekspresi tersebut memerlukan penelitian pendahuluan. Biasanya, hasil penelitian ini mempengaruhi keputusan dan jawabannya.

Mari kita membuat satu komentar. Langkah penting dalam menyelesaikan persamaan dengan parameter adalah menuliskan jawabannya. Hal ini terutama berlaku pada contoh-contoh di mana solusinya tampak “bercabang” bergantung pada nilai parameter. Dalam kasus seperti ini, penyusunan respons merupakan kumpulan hasil yang diperoleh sebelumnya. Dan di sini sangat penting untuk tidak lupa mencerminkan semua tahapan solusi dalam jawabannya.

Bagaimana cara mulai memecahkan masalah seperti itu? Pertama-tama, saat menyelesaikan masalah dengan parameter, Anda perlu melakukan apa yang dilakukan saat menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan apa pun - mereduksi persamaan atau pertidaksamaan yang diberikan ke bentuk yang lebih sederhana, jika, tentu saja, memungkinkan: faktorkan ekspresi rasional; faktorkan polinomial trigonometri; singkirkan modul, logaritma, dll. Maka Anda perlu membaca tugas itu lagi dan lagi.

Jenis tugas utama dengan parameter:

Tipe 1. Masalah yang perlu diselesaikan untuk semua nilai parameter atau nilai parameter dari interval tertentu.

Tipe 2. Masalah di mana Anda perlu mencari jumlah solusi tergantung pada nilai parameter.

Tipe 3. Masalah di mana perlu untuk menemukan nilai parameter yang masalah tersebut memiliki sejumlah solusi tertentu

Tipe 4. Masalah di mana perlu untuk menemukan nilai parameter yang kumpulan solusinya memenuhi kondisi yang ditentukan.

Karya ini mengkaji persamaan trigonometri dengan parameter dan algoritma tertentu yang dapat membantu dalam menyelesaikan tugas-tugas sulit tersebut.

Jadi mari kita pertimbangkan persamaannya

F ( x, kamu, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F)

dengan x, y, ..., z yang tidak diketahui dan dengan parameter α, β, ..., γ ; untuk sistem nilai parameter apa pun yang diizinkan α 0 ,β 0 , ..., γ 0 persamaan (F) menjadi persamaan F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

dengan tidak diketahui x, y,..., z, tidak mengandung parameter. Persamaan ( Fo ) mempunyai serangkaian solusi yang terdefinisi dengan baik (mungkin kosong).

Definisi. Untuk menyelesaikan persamaan (atau sistem) yang berisi parameter, ini berarti menemukan nilai parameter untuk setiap sistem yang diizinkan

himpunan semua solusi persamaan (sistem) tertentu.

Konsep kesetaraan yang diterapkan pada persamaan yang mengandung parameter ditetapkan sebagai berikut.

Definisi. Dua persamaan (sistem)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0(F), (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F )

dengan x, y,..., z yang tidak diketahui dan dengan parameter α, β, ..., γ disebut ekuivalen jika untuk kedua persamaan (sistem) himpunan sistem nilai parameter yang dapat diterima adalah sama dan untuk setiap persamaan yang dapat diterima sistem nilai, parameter kedua persamaan (sistem persamaan) adalah ekuivalen.

Jadi, persamaan ekuivalen untuk sistem nilai apa pun yang dapat diterima

parameter mempunyai kumpulan solusi yang sama.

Transformasi suatu persamaan yang mengubah himpunan sistem nilai parameter yang dapat diterima akan menghasilkan persamaan yang tidak ekuivalen dengan persamaan yang diberikan.

Berikut rumus menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana:

1. Pendekatan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan parameter

Contoh 1. (Pengenalan variabel tambahan,)

Temukan semua nilai parameter a, yang masing-masing persamaannya

Punya solusi.

Solusi.

Mari perkenalkan variabel baru: x, t . Maka persamaan ini berbentuk: t 2 – (Sebuah + 2)t – (Sebuah + 3) = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan dengan variabel t, kita mencari diskriminannya: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Karena D≥0, persamaan kuadrat mempunyai solusi

t 1.2 = = ;

t 1 =

t 2 =

Angka -1 tidak termasuk dalam intervalJadi, persamaan trigonometri yang diberikan kepada kita dengan parameter memiliki solusi dengan syarat

0 ≤ a +3 ≤ 1, -3 ≤ a ≤ -2.

Menjawab. Persamaanmempunyai solusi untuk a.

Contoh 2. (Pengenalan variabel tambahan,)

Temukan semua nilai parameter p yang persamaannya

6dosa 3 x = p – 10cos2x tidak mempunyai akar.

Larutan:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = hal.

Mari perkenalkan variabel baru:,T maka persamaan trigonometrinya akan berbentuk 6t 3 – 20t 2 + 10 = hal.

Perhatikan fungsi y = 6t 3 – 20t 2 + 10 dan periksa nilai terbesar dan terkecil pada segmen tersebut

Menemukan turunannya:

Kami menentukan titik kritis dari fungsi tersebut:

Nomor 2 tidak termasuk dalam interval, jadi kita menghitung nilai fungsi di titik 0 dan di ujung segmen:

kamu(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

kamu(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

kamu(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

maks y(t) = 10, min y(t) = -16 pada ruas tersebut.

Artinya ketika hal persamaan aslinya tidak mempunyai akar.

Menjawab. Persamaan 6sin 3 x=p–10Cos2x tidak mempunyai akar di p

Contoh 3. (Pengenalan variabel tambahan,)

Untuk nilai parameter a berapakah ekspresi 2 + cosx(3cosx + asinx) tidak sama dengan nol untuk setiap nilai x?

Larutan:

Dengan kata lain, kita perlu mencari semua nilai parameter a yang persamaan 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 tidak mempunyai akar.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 adalah persamaan homogen derajat kedua.

Jika cosx = 0, maka sinx = 0, hal ini tidak mungkin karena cos 2 x + dosa 2 x = 1, jadi ruas kiri dan kanan persamaan homogen tersebut kita bagi menjadi.

Kami memperoleh persamaan bentuk 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita masukkan variabel baru: t = tgx, t maka 2t 2 + pada + 5 = 0.

Metode 1.

Mari kita cari dulu himpunan semua nilai parameter a yang persamaan kuadratnya dapat diselesaikan. Penambahan himpunan ini ke R akan menjadi jawaban yang diinginkan.

Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar jika dan hanya jika D≥0.

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ≥ 0, a 2 ≥ 40,

A ] ; ).

Komplemen himpunan ini ke R adalah interval (-2

Metode 2. Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika dan hanya jika D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 a 2 40,

A; ).

Menjawab. Ekspresi 2+cosx(3cosx + asinx) tidak sama dengan nol untuk setiap nilai x jika a; ).

Contoh 4. (Fungsinya diberikan sebagai)

Untuk nilai a dan b berapa persamaannya

Punya solusi tunggal?

Larutan:

Pemecahan masalah ini didasarkan pada kenyataan bahwa jika fungsinya F diberikan oleh kesetaraan, maka kondisi A=B, C=0 merupakan kondisi perlu dan cukup untuk persamaan tersebut f(x)=0 hanya punya satu solusi. Dengan demikian, penyelesaian masalah direduksi menjadi solusi mengenai parameter a dan b sistem:

Dari persamaan pertama sistem kita menemukan bahwa

Dan sejak itu

kemudian kita mulai mempertimbangkan sistem

Seperti yang mudah dilihat, solusi dari sistem kedua adalah semua nilai parameter A, didefinisikan oleh kesetaraan

Sedangkan untuk sistem pertama ternyata tidak kompatibel. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan persamaan kedua sistem, pencarian parameter yang diperlukan a dan b turun untuk menemukan solusi untuk sistem:

Jawabannya di sini jelas:

Contoh 5. (Penerapan rumus klasik)

Temukan nilai integer terbesar dari suatu parameter A , yang persamaannya

cos2x + asinx = 2 a – 7 punya solusinya.

Larutan:

Mari kita ubah persamaan yang diberikan:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 x + asinx = 2 a – 7;

sin 2 x - a sinx + a – 4 = 0;

Memecahkan persamaan
memberikan:

1. (sinх – 2) = 0;

dosax=2;

Tidak ada solusi, atau.

Ketika ≤ 1.

Ketidaksamaan ≤ 1 mempunyai solusi 2 ≤ A ≤ 6, artinya nilai integer terbesar dari parameter a adalah 6.

Jawaban: 6.

Contoh 6. Penerapan rumus klasik

Selesaikan persamaannya

Larutan:

Persamaannya dapat dengan mudah diubah menjadi:

Jika kemudian dan persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Jika Persamaan terakhir mempunyai akar jika

Kemudian

Jawaban: kapan

tidak ada akar.

Contoh 7. (Membagi rentang kemungkinan nilai variabel dan parameter)

Larutan:

Pada persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Pada

Menjawab:

Contoh 8. (Membagi rentang kemungkinan nilai variabel dan parameter)

Selesaikan persamaannya

Persamaan transendental dengan parameter dan metode penyelesaiannya

tesis

2.4 Persamaan trigonometri dengan parameter

Persamaan trigonometri - persamaan yang mengandung fungsi trigonometri dari argumen yang tidak diketahui.

Rumus penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

Saat menyelesaikan persamaan trigonometri, akan lebih mudah jika menggunakan prinsip-prinsip berikut:

1. Saat menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana, akan lebih mudah untuk mengurangi derajatnya dengan mengubah argumennya.

2. Jika verifikasi diperlukan, akan lebih mudah untuk mengganti ke dalam persamaan bukan nilai argumen yang ditemukan, tetapi nilai fungsi trigonometri yang digunakan dalam penyelesaian.

Contoh 1. Untuk semua nilai valid dari parameter a, selesaikan persamaannya

Mari kita ubah persamaannya.

Berdasarkan prinsip 1 yang disebutkan di atas, kami mengubah persamaan pertama sistem:

Perhatikan itu.

Jadi, persamaan (1) ekuivalen dengan sistem:

Oleh karena itu, agar persamaan (1) tidak memiliki solusi, maka pertidaksamaan tersebut sudah cukup dipenuhi.

Karena persamaan pertama sistem (2) selalu mempunyai solusi, kita perlu memperhatikan terpenuhinya kondisi kedua.

Berdasarkan prinsip di atas, 2 transformasi ekuivalen:

Mari kita kurangi sistem (2) menjadi bentuk:

Jadi, ketika suatu parameter dibatasi, kondisi tambahan berikut muncul: agar persamaan (1) TIDAK memiliki solusi, perlu dan cukup bahwa setiap nilai variabel x yang

memenuhi himpunan persamaan:

1) Jika, maka.

Namun, untuk persamaan (3) berbentuk seperti itu dan tidak semua solusi memenuhi himpunan (4).

Jadi, ketika persamaan (1) memiliki solusi, nilai-nilai variabel x tersebut, yaitu .

2) Jika, maka, mis.

Untuk nilai parameter a seperti itu, persamaan (3) berbentuk:

Agar persamaan (1) mempunyai solusi, maka harus ada solusinya

Lalu yang tersisa hanyalah itu.

Selebihnya, persamaan tersebut memiliki solusi dalam bentuk

Jawaban: ketika persamaan tersebut tidak memiliki solusi; pada; pada; pada .

Contoh 2. Tentukan jumlah akar persamaan

pada segmen tersebut.

Mari kita ubah sisi kirinya.

Maka persamaan aslinya akan berbentuk

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri dan ubah persamaannya lagi.

Persamaan pertama pada segmen tersebut memiliki empat akar:

Persamaan kedua untuk tidak mempunyai akar. Jika, maka jelas persamaan tersebut mempunyai solusi unik pada interval yang dipertimbangkan. Jika, maka, mis. pada suatu segmen persamaan mempunyai dua akar.

Perhatikan bahwa untuk , akar-akar persamaan kedua himpunan terdapat di antara akar-akar persamaan pertama.

Jawaban: persamaan tersebut memiliki empat akar; ketika persamaan mempunyai lima akar; ketika persamaan mempunyai enam akar.

Contoh 3. Temukan semua nilai parameter a yang persamaannya

memiliki tepat tujuh solusi.

Pada bidang koordinat cOb kita buat himpunan semua titik yang memenuhi sistem (2).

Persamaan pertama menentukan kelompok garis yang sejajar dengan suatu garis.

Persamaan kedua adalah keluarga lingkaran yang jari-jarinya berpusat di titik asal.

Namun jika syaratnya terpenuhi maka persamaan kedua adalah seperempat lingkaran yang terletak pada seperempat koordinat pertama. c dan b tidak bisa sama dengan nol pada saat yang sama, jika tidak, lingkaran akan berubah menjadi sebuah titik.T. karena jumlah akarnya harus ganjil, maka salah satu garis lurusnya

harus menyentuh lingkaran di titik Mn.

Mari kita cari jari-jari lingkaran tersebut.

Jadi, (3)

menyatakan ketergantungan parameter a pada n, dimana.

Dapat dilihat dari gambar bahwa dengan bertambahnya jari-jari seperempat lingkaran, jumlah solusi sistem (2) bertambah, dan karenanya jumlah akar persamaan awal juga bertambah. Akan ada tepat 7 titik jika seperempat lingkaran menyentuh garis lurus. Dalam hal ini berdasarkan rumus (3)

Jawaban: persamaan tersebut memiliki tujuh solusi di

Catatan. Sepintas kelihatannya seperempat lingkaran yang bersinggungan dengan garis yang diberikan oleh persamaan tersebut akan melalui titik dan. Kenyataannya hal ini tidak terjadi, karena jari-jari lingkaran tersebut adalah

Demikian pula, seperempat lingkaran yang bersinggungan dengan garis lurus tidak akan melalui titik-titik dan, karena jari-jari lingkaran tersebut

Contoh 4. Temukan semua nilai parameter a yang bilangan 2nya adalah akar persamaannya

Mari kita masukkan ke dalam persamaan. Kita mendapatkan persamaan untuk parameter a:

Jawab: jika akar persamaannya adalah .

Contoh 5. Untuk semua nilai valid dari parameter a, selesaikan persamaannya

Mari kita pertimbangkan fungsinya. Jelas sekali, .

Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Dengan menggunakan pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan rata-rata geometri dua bilangan positif (), serta sifat keanehan fungsi g(x), kita peroleh

Jadi kita punya

Kemudian, berdasarkan Teorema 7, persamaan awal ekuivalen dengan himpunan dua sistem

Jawaban: kapan, ; pada; ketika tidak ada solusi.

Selain persamaan trigonometri, di antara soal parameter juga terdapat soal parameter yang mengandung fungsi trigonometri invers.

Mari kita ingat kembali definisi fungsi trigonometri terbalik:

1. adalah fungsi yang didefinisikan pada interval [-1;1], kebalikan dari fungsi tersebut. Dengan demikian,

2. adalah fungsi yang terdefinisi pada interval [-1;1], kebalikan dari fungsi tersebut. Dengan demikian,

Untuk setiap x dari segmen [-1;1] kita mempunyai:

3. adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu interval, kebalikan dari fungsi tersebut. Dengan demikian,

Untuk setiap x yang kita miliki:

4. adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu interval, kebalikan dari fungsi tersebut. Dengan demikian,

Untuk setiap x yang kita miliki:

Fungsi tersebut disebut fungsi trigonometri terbalik atau fungsi busur. Mari kita perhatikan beberapa identitas penting

Contoh 6. Untuk setiap nilai valid dari parameter a, selesaikan persamaannya

Mari kita ubah ruas kiri persamaan menggunakan identitas

Pada bidang koordinat tOb (Gbr. 12), himpunan semua titik (t;b), yang nilai koordinat dan parameternya masing-masing memenuhi sistem campuran (2), (3), merupakan bagian dari parabola terletak di wilayah yang ditentukan oleh pertidaksamaan sistem (2), (3).

Oleh karena itu, jika

Jawaban: jika, maka;

jika, maka tidak ada solusi.

Contoh 7. Temukan semua nilai parameter a, yang masing-masing memiliki persamaan

mempunyai tepat tiga solusi.

Mari kita tulis ulang persamaan aslinya dalam bentuk

Karena persamaannya setara dengan dan, persamaan aslinya setara dengan persamaan trigonometri

Mari kita selesaikan persamaan (1).

Jika himpunan, dan oleh karena itu persamaan (1), memiliki banyak sekali akar-akar bentuk: , yang memenuhi kondisi (2). Artinya, tidak memenuhi kebutuhan tugas.

Ketika persamaan (1) memiliki banyak akar yang tak terhingga bentuknya: .

Bagi mereka, kondisi (2) berubah menjadi ketimpangan

Parameter a disertakan dalam jawaban jika dan hanya jika pertidaksamaan ini mempunyai tepat tiga solusi bilangan bulat. Dengan menggunakan interpretasi geometri modulus selisih dua bilangan, jelas bahwa ini ekuivalen dengan pertidaksamaan

Dengan mempertimbangkan kondisi tersebut, kita peroleh

Jika penyelesaian persamaan (1) semuanya bilangan real, kondisi (2) berbentuk: , sehingga himpunan penyelesaian persamaan awal adalah interval. Karena himpunan ini tidak terhingga, maka nilainya tidak disertakan dalam jawaban.

Jawaban: jika persamaan mempunyai tepat tiga solusi.

Berdasarkan semua masalah yang dipertimbangkan, kita dapat menyimpulkan bahwa yang terbaik adalah menyelesaikan persamaan transendental dengan parameter tipe pertama dan keempat menggunakan metode “percabangan”, karena semua nilai variabel harus dicari untuk setiap nilai yang mungkin. parameter (atau untuk nilai parameter dari interval tertentu) atau di mana himpunan solusi memenuhi kondisi tertentu. Namun, metode ini tidak selalu dapat diandalkan, karena proses penyelesaiannya cukup panjang dan rumit, sehingga disarankan untuk terlebih dahulu menentukan apakah mungkin untuk menerapkan pendekatan fungsional pada persamaan tertentu, yang secara signifikan menyederhanakan penyelesaian.

Tetapi menyelesaikan persamaan transendental dengan parameter tipe kedua dan ketiga jauh lebih mudah menggunakan metode grafis, karena kondisinya hanya memerlukan penentuan jumlah solusi tergantung pada nilai parameter, atau sebaliknya, nilai parameter. dimana permasalahan mempunyai sejumlah solusi. Grafik yang diplot dengan jelas menunjukkan kapan kondisi yang ditentukan terpenuhi.

Namun, tidak selalu mungkin untuk menggunakan satu atau beberapa metode lainnya; terkadang terdapat masalah yang memerlukan penggunaan bukan hanya satu, tetapi beberapa metode penyelesaian.

Grafik dan fungsinya

Karena fungsi trigonometri dipelajari dalam kurikulum sekolah, perhatian minimal diberikan pada fungsi tersebut dalam esai. Semua ketentuan pokok tercantum dalam tabel (lihat Lampiran 12), dan grafiknya diberikan di bawah ini (lihat Lampiran 13)...

Integrasi fungsi irasional

Di antara integral fungsi irasional, integral bentuk mempunyai penerapan praktis yang luas. Integral tersebut dapat dicari dengan menggunakan substitusi trigonometri. Mari kita pilih persegi lengkap di bawah tanda akar: , lalu buat penggantinya...

Dalam proses pengembangan kemampuan siswa dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, disarankan untuk membedakan tiga tahap: 1. persiapan, 2. pengembangan kemampuan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri sederhana, 3...

Perhatikan persamaan F(x,y,...,z;b,c,...,z)=0 (1) dengan x, y, ..., z yang tidak diketahui dan dengan parameter b,c, .. , g; untuk sistem nilai parameter apa pun yang dapat diterima b0, b0, ..., z0, persamaan (1) berubah menjadi persamaan F(x, y,..., z; b0, b0,... , z0) = 0 ( 2) dengan yang tidak diketahui x, y,..., z...

Contoh 1: Tentukan berapa nilai parameter a persamaan (a 2 -4) cosh=a+2 mempunyai solusi. Penyelesaian: a 2 -4=0 a 2 =4.a=±2. a) Jika a=2, maka persamaan ini berbentuk: 0 cos=4 0=4 – tidak mempunyai penyelesaian. b) Jika a = -2, maka persamaan ini berbentuk: 0 cos = 0 0 = 0 - benar untuk x R. Oleh karena itu, untuk a = -2, x adalah sembarang. c) Jika a ±2, maka persamaan tersebut kita tuliskan dalam bentuk Sejak, maka persamaan tersebut mempunyai solusi jika Jawaban: a (- ;1] )