Pada artikel ini saya akan membicarakannya algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, poin minimum dan maksimum.
Dari teori pasti bermanfaat bagi kita tabel turunan Dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di piring ini:
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.
Lebih mudah bagi saya untuk menjelaskannya contoh spesifik. Mempertimbangkan:
Contoh: Menemukan nilai tertinggi fungsi y=x^5+20x^3–65x pada interval [–4;0].
Langkah 1. Kami mengambil turunannya.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Langkah 2. Menemukan titik ekstrem.
Titik ekstrem kita menyebut titik-titik di mana fungsi tersebut mencapai nilai terbesar atau minimumnya.
Untuk mencari titik ekstrem, Anda perlu menyamakan turunan fungsi tersebut dengan nol (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Sekarang mari kita selesaikan ini persamaan bikuadrat dan akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.
Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Mari kita kurangi persamaannya sebanyak 5, kita peroleh: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + akar(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - akar(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Kami membuat perubahan sebaliknya x^2 = t:
X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami kecualikan, tidak mungkin ada angka negatif, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)
Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kita.
Langkah 3. Tentukan yang terbesar dan terbanyak nilai yang lebih rendah.
Metode substitusi.
Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Intinya x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu memperhatikan batas kiri dan kanan ruas kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukannya, kita substitusikan ketiga titik tersebut ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan bahwa yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa orang mulai mensubstitusikannya ke dalam turunan...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
kamu(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Artinya nilai terbesar fungsi tersebut adalah [b]44 dan dicapai di titik [b]-1 yang disebut titik maksimum fungsi pada ruas [-4; 0].
Kami memutuskan dan menerima jawaban, kami baik-baik saja, Anda dapat bersantai. Tapi berhenti! Tidakkah menurut Anda menghitung y(-4) terlalu sulit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan cara lain, saya sebut saja:
Melalui interval keteguhan tanda.
Interval ini ditemukan untuk turunan fungsi, yaitu persamaan bikuadrat kita.
Saya melakukannya seperti ini. Saya menggambar segmen terarah. Saya menempatkan poin: -4, -1, 0, 1. Meskipun 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, namun tetap harus diperhatikan untuk menentukan interval keteguhan tanda dengan benar. Mari kita ambil suatu bilangan yang berkali-kali lebih besar dari 1, katakanlah 100, dan secara mental substitusikan bilangan tersebut ke dalam persamaan bikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apa pun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda tambah. Artinya untuk interval 1 sampai 100 mempunyai tanda tambah. Ketika melewati 1 (kita berjalan dari kanan ke kiri), fungsinya akan berubah tanda menjadi minus. Ketika melewati titik 0, fungsi tersebut akan mempertahankan tandanya, karena ini hanyalah batas segmen, dan bukan akar persamaan. Ketika melewati -1, fungsinya akan kembali berubah tanda menjadi plus.
Dari teori kita mengetahui dimana turunan dari fungsi tersebut (dan kita menggambarnya secara tepat) perubahan tanda dari plus ke minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44, seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini(secara logika sangat bisa dimaklumi, fungsinya berhenti bertambah karena sudah mencapai maksimal dan mulai berkurang).
Dengan demikian, dimana turunan dari fungsi tersebut perubahan tanda dari minus menjadi plus, tercapai minimum lokal suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan maksudnya minimum lokal adalah 1 dan y(1) adalah nilai minimum fungsi pada suatu segmen, misalkan dari -1 sampai +∞. Perlu diketahui bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum nyata (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.
Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teori, dan metode kedua lebih sederhana dari sudut pandang operasi aritmatika, tetapi jauh lebih rumit dari sudut pandang teoretis. Lagi pula, terkadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda ketika melewati akar persamaan, dan secara umum Anda bisa bingung dengan maksimum dan minimum lokal, global, meskipun Anda tetap harus menguasainya dengan baik jika Anda berencana untuk mendaftar Universitas Teknik(kenapa lagi kamu mengambilnya? profil Ujian Negara Bersatu dan menyelesaikan masalah ini). Namun latihan dan hanya latihan yang akan mengajarkan Anda untuk memecahkan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .
Jika Anda memiliki pertanyaan atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda dan melakukan perubahan dan penambahan artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama-sama!
Biarkan fungsinya kamu =F(X) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini. Fungsi tersebut juga dapat mengambil nilai-nilai ini titik dalam segmen [ a, b], atau pada batas segmen.
Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada ruas [ a, b] diperlukan:
1) temukan poin kritis fungsi dalam interval ( a, b);
2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;
3) menghitung nilai fungsi pada ujung-ujung ruas, yaitu kapan X=A dan x = B;
4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.
Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
pada segmen tersebut.
Menemukan poin-poin penting:
Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;
pada intinya X= 3 dan pada intinya X= 0.
Mempelajari fungsi konveksitas dan titik belok.
Fungsi kamu = F (X) ditelepon cembung diantara (A, B) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada titik mana pun dalam interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung), jika grafiknya terletak di atas garis singgung.
Titik dimana konveksitas digantikan oleh cekungan atau sebaliknya disebut titik belok.
Algoritma untuk memeriksa konveksitas dan titik belok:
1. Carilah titik-titik kritis jenis kedua, yaitu titik-titik yang turunan keduanya sama dengan nol atau tidak ada.
2. Gambarkan titik-titik kritis pada garis bilangan, bagi menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsinya cembung ke atas, jika , maka fungsinya cembung ke bawah.
3. Jika ketika melewati suatu titik kritis jenis kedua tandanya berubah dan pada titik tersebut turunan keduanya sama dengan nol, maka titik tersebut adalah absis titik belok. Temukan ordinatnya.
Asimtot grafik suatu fungsi. Studi tentang fungsi asimtot.
Definisi. Asimtot grafik suatu fungsi disebut lurus, yang mempunyai sifat bahwa jarak dari titik mana pun pada grafik ke garis ini cenderung nol karena titik pada grafik bergerak tanpa batas dari titik asal.
Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.
Definisi. Garis lurus disebut asimtot vertikal grafik fungsi kamu = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu
dimana adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut, artinya tidak termasuk dalam domain definisi.
Contoh.
D ( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – titik istirahat.
Definisi. Lurus kamu =A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi kamu = f(x) di, jika
Contoh.
|
X | |||
|
kamu |
Definisi. Lurus kamu =kx+B (k≠ 0) dipanggil asimtot miring grafik fungsi kamu = f(x) dimana
Skema umum untuk mempelajari fungsi dan membuat grafik.
Algoritma Penelitian Fungsikamu = f(x) :
1. Temukan domain dari fungsi tersebut D (kamu).
2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika X= 0 dan pada kamu = 0).
3. Periksa kegenapan dan keanehan fungsi tersebut ( kamu (‒ X) = kamu (X) ‒ keseimbangan; kamu(‒ X) = ‒ kamu (X) ‒ aneh).
4. Temukan asimtot grafik fungsi tersebut.
5. Temukan interval monotonisitas fungsi tersebut.
6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.
7. Tentukan interval kecembungan (concavity) dan titik belok grafik fungsi.
8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.
Contoh. Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.
1) D (kamu) =
X= 4 – titik istirahat.
2) Kapan X = 0,
(0; ‒ 5) – titik potong dengan Oh.
Pada kamu = 0,
3)
kamu(‒
X)=
fungsi pandangan umum(tidak genap maupun ganjil).
4) Kami memeriksa asimtotnya.
a) vertikal
b) horisontal
c) temukan asimtot miring di mana
‒persamaan asimtot miring
5)B persamaan yang diberikan tidak perlu mencari interval monotonisitas suatu fungsi.
6)
Titik kritis ini membagi seluruh domain definisi fungsi ke dalam interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.
Pernyataan masalah 2:
Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada interval tertentu. Anda perlu mencari nilai fungsi terbesar (terkecil) pada interval ini.
Landasan teori.
Teorema (Teorema Weierstrass Kedua):
Jika suatu fungsi terdefinisi dan kontinu dalam interval tertutup, maka fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya dalam interval tersebut.
Suatu fungsi dapat mencapai nilai terbesar dan terkecilnya baik pada titik-titik dalam interval maupun pada batas-batasnya. Mari kita ilustrasikan semua opsi yang memungkinkan. 
Penjelasan:
1) Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada batas kiri interval di titik , dan nilai minimumnya pada batas kanan interval di titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya di suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya berada di batas kanan interval di titik tersebut.
3) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada batas kiri interval di titik , dan nilai minimumnya di titik (ini adalah titik minimum).
4) Fungsinya konstan pada interval, yaitu. ia mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada titik mana pun dalam interval, dan nilai minimum dan maksimumnya sama satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai terbesarnya di titik , dan nilai minimumnya di titik (walaupun fungsi tersebut memiliki maksimum dan minimum pada interval ini).
6) Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya di suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya di suatu titik (ini adalah titik minimum).
Komentar:
"Maksimal" dan " nilai maksimum" - Hal yang berbeda. Hal ini mengikuti definisi maksimum dan pemahaman intuitif dari frase “nilai maksimum”.
Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.
4) Pilih nilai terbesar (terkecil) dari nilai yang diperoleh dan tuliskan jawabannya.
Contoh 4:
Tentukan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi 
pada segmen tersebut.
Larutan:
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut. 
2) Temukan titik stasioner (dan titik yang diduga ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Perhatikan titik-titik yang tidak mempunyai turunan berhingga dua sisi. 
3) Hitung nilai fungsi dalam titik stasioner dan pada batas interval.
4) Pilih nilai terbesar (terkecil) dari nilai yang diperoleh dan tuliskan jawabannya.
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .
Anda dapat memverifikasi kebenaran perhitungan dengan melihat grafik fungsi yang diteliti. 
Komentar: Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan nilai minimumnya pada batas segmen.
Kasus khusus.
Misalkan Anda perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari beberapa fungsi pada suatu segmen. Setelah menyelesaikan poin pertama dari algoritma, yaitu. perhitungan turunan, menjadi jelas, misalnya, hanya dibutuhkan nilai-nilai negatif atas seluruh segmen yang dipertimbangkan. Ingatlah bahwa jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami menemukan bahwa fungsinya menurun di seluruh segmen. Situasi ini ditunjukkan pada grafik No. 1 di awal artikel.
Fungsinya menurun pada segmen tersebut, mis. tidak memiliki titik ekstrem. Terlihat dari gambar bahwa fungsi tersebut akan mengambil nilai terkecil pada batas kanan ruas, dan nilai terbesar pada batas kiri. jika turunan pada ruas tersebut positif dimana-mana, maka fungsinya bertambah. Nilai terkecil ada di tepi kiri ruas, nilai terbesar ada di tepi kanan.
pada segmen tersebut
. Selanjutnya, kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi 
