Kembar tiga Pythagoras dan jumlahnya. Bilangan tripel Pythagoras (Karya kreatif siswa) Bilangan tripel Pythagoras Karya kreatif siswa

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mengembangkan metode dan algoritma untuk menghitung tripel Pythagoras dalam bentuk a2+b2=c2. Proses analisis dilakukan sesuai dengan prinsip pendekatan sistem. Selain model matematika, digunakan model grafis yang menampilkan setiap anggota tripel Pythagoras dalam bentuk persegi komposit yang masing-masing terdiri dari sekumpulan persegi satuan. Telah ditetapkan bahwa himpunan tripel Pythagoras tak terhingga mengandung himpunan bagian yang jumlahnya tak terhingga, dibedakan berdasarkan selisih nilai b–c. Sebuah algoritma untuk pembentukan tripel Pythagoras dengan nilai selisih yang telah ditentukan telah diusulkan. Terlihat bahwa tripel Pythagoras ada untuk sembarang nilai 3≤a

Tripel Pythagoras

analisis sistem

model matematika

model grafis

1.Anosov D.N. Sekilas tentang matematika dan sesuatu darinya. – M.: MTsNMO, 2003. – 24 hal.: sakit.

2. Eierland K., Rosen M. Pengantar klasik teori bilangan modern. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analisis sistem dan teknologi informasi dalam organisasi: Buku Ajar. – M.: RUDN, 2012. – 392 hal.

4.Simon Singh. Teorema Terakhir Fermat.

5. Fermat P. Studi teori bilangan dan analisis Diophantine. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Tersedia di: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Tripel Pythagoras adalah kohort tiga bilangan bulat yang memenuhi relasi Pythagoras x2 + y2 = z2. Secara umum, ini adalah kasus khusus persamaan Diophantine, yaitu sistem persamaan yang jumlah persamaannya lebih banyak daripada jumlah persamaannya. Mereka sudah dikenal sejak lama, sejak zaman Babilonia, jauh sebelum Pythagoras. Dan mereka memperoleh nama mereka setelah Pythagoras membuktikan teorema terkenalnya berdasarkan teorema tersebut. Namun, sebagai berikut dari analisis berbagai sumber yang sampai tingkat tertentu menyinggung masalah kembar tiga Pythagoras, pertanyaan tentang kelas yang ada dari kembar tiga ini dan kemungkinan cara pembentukannya belum sepenuhnya terungkap.

Jadi dalam buku Simon Singh dikatakan: - "Para murid dan pengikut Pythagoras ... memberi tahu dunia rahasia menemukan apa yang disebut tiga kunci Pythagoras." Namun, setelah ini kita membaca: - “Orang Pythagoras bermimpi menemukan kembar tiga Pythagoras lainnya, kotak lain yang dapat ditambahkan kotak besar ketiga. …Seiring dengan bertambahnya jumlah, kembar tiga Pythagoras menjadi semakin berkurang dan semakin sulit ditemukan. Orang-orang Pythagoras menemukan metode untuk menemukan kembar tiga Pythagoras dan, dengan menggunakannya, mereka membuktikan bahwa jumlah kembar tiga Pythagoras tak terhingga banyaknya.”

Dalam kutipan di atas, kata-kata yang menimbulkan kebingungan ditonjolkan. Mengapa “Orang-orang Pythagoras bermimpi menemukan…” jika mereka “menemukan metode untuk menemukan kembar tiga seperti itu…”, dan mengapa untuk jumlah besar “menjadi semakin sulit untuk menemukan mereka…”.

Dalam karya matematikawan terkenal D.V. Anosov, jawaban yang diperlukan sepertinya telah diberikan. - “Ada kembar tiga dari bilangan asli (yaitu bilangan bulat positif) x, y, z sedemikian rupa sehingga

x2 + y2 = z2. (1)

…apakah mungkin untuk menemukan semua solusi persamaan x2+y2=z2 dalam bilangan asli? …Ya. Jawabannya adalah: setiap solusi tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

dimana l, m, n adalah bilangan asli, dengan m>n, atau dalam bentuk serupa dimana x dan y ditukar. Kita dapat mengatakan secara lebih singkat bahwa x, y, z dari (2) dengan semua kemungkinan alami l dan m > n adalah solusi yang mungkin untuk (1) hingga permutasi x dan y. Misalnya tripel (3, 4, 5) diperoleh dengan l=1, m=2, n=1. ... Tampaknya, orang Babilonia mengetahui jawaban ini, namun bagaimana mereka sampai pada jawaban tersebut tidak diketahui.”

Secara umum, ahli matematika dikenal sangat ketat dalam menentukan ketelitian rumusannya. Namun dalam kutipan ini tidak ada kekerasan seperti itu. Jadi apa sebenarnya: temukan atau bayangkan? Jelas ini adalah hal yang sangat berbeda. Di bawah ini adalah sederet kembar tiga yang “baru dipanggang” (diperoleh dengan metode yang dijelaskan di bawah):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Tidak diragukan lagi bahwa masing-masing triplet tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk relasi (2) dan kemudian nilai l, m, n dapat dihitung. Tapi, ini setelah semua nilai tripelnya ditemukan. Apa yang harus dilakukan sebelum itu?

Tidak dapat disangkal bahwa jawaban atas pertanyaan-pertanyaan tersebut telah lama diketahui. Namun entah kenapa mereka belum ditemukan. Dengan demikian, tujuan dari pekerjaan ini adalah analisis sistematis dari sekumpulan contoh tripel Pythagoras yang diketahui, pencarian hubungan pembentuk sistem dalam berbagai kelompok tripel dan identifikasi ciri-ciri sistem yang menjadi ciri kelompok-kelompok ini dan, kemudian, pengembangan dari algoritma sederhana yang efektif untuk menghitung kembar tiga dengan konfigurasi yang telah ditentukan. Dengan konfigurasi kita memahami hubungan antara besaran-besaran yang termasuk dalam rangkap tiga.

Alat yang digunakan adalah perangkat matematika pada tingkat yang tidak melampaui lingkup matematika yang diajarkan di sekolah menengah, dan analisis sistem berdasarkan metode yang diuraikan dalam.

Bangunan model

Dari sudut pandang analisis sistem, tripel Pythagoras adalah sistem yang dibentuk oleh benda-benda yang berupa tiga bilangan beserta sifat-sifatnya. Totalitasnya, di mana objek-objek ditempatkan dalam hubungan-hubungan tertentu dan membentuk suatu sistem yang mempunyai sifat-sifat baru yang tidak melekat pada objek-objek individual atau himpunan lainnya, di mana objek-objek ditempatkan dalam hubungan-hubungan lain.

Pada persamaan (1), objek sistemnya adalah bilangan asli yang dihubungkan dengan hubungan aljabar sederhana: di sebelah kiri tanda sama dengan adalah jumlah dua bilangan yang dipangkatkan 2, di sebelah kanan adalah bilangan ketiga, juga dipangkatkan pangkat 2. Bilangan individu, di sebelah kiri persamaan, dipangkatkan 2, bilangan tersebut tidak memberlakukan batasan apa pun pada operasi penjumlahannya - jumlah yang dihasilkan bisa berupa apa saja. Tetapi tanda sama dengan yang ditempatkan setelah operasi penjumlahan memberlakukan batasan sistemik pada nilai jumlah ini: jumlah tersebut harus berupa bilangan sedemikian rupa sehingga hasil operasi mengekstraksi akar kuadrat adalah bilangan asli. Namun kondisi ini tidak terpenuhi untuk bilangan apa pun yang disubstitusikan ke sisi kiri persamaan. Jadi, tanda sama dengan yang ditempatkan di antara dua suku persamaan dan suku ketiga mengubah ketiga suku tersebut menjadi suatu sistem. Fitur baru dari sistem ini adalah pengenalan pembatasan nilai bilangan asli.

Berdasarkan bentuk notasinya, tripel Pythagoras dapat dianggap sebagai model matematis suatu sistem geometri yang terdiri dari tiga persegi yang saling berhubungan melalui hubungan penjumlahan dan persamaan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1. Gambar. 1 adalah model grafis dari sistem yang sedang dipertimbangkan, dan model verbalnya adalah pernyataan:

Luas persegi yang panjang sisinya c dapat dibagi tanpa sisa menjadi dua persegi yang panjang sisinya a dan b, sehingga jumlah luasnya sama dengan luas persegi aslinya, yaitu semua tiga besaran a, b, dan c dihubungkan oleh relasi

Model grafis dekomposisi persegi

Dalam kerangka kanon analisis sistem, diketahui bahwa jika suatu model matematika cukup mencerminkan sifat-sifat sistem geometri tertentu, maka analisis sifat-sifat sistem itu sendiri memungkinkan kita untuk memperjelas sifat-sifat model matematikanya, untuk memahaminya lebih dalam, memperjelasnya, dan, jika perlu, memperbaikinya. Inilah jalan yang akan kami ikuti.

Mari kita perjelas bahwa menurut prinsip analisis sistem, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada objek gabungan, yaitu objek yang terdiri dari sekumpulan objek dasar. Oleh karena itu, kita akan menganggap persegi apa pun sebagai bangun datar yang terdiri dari kumpulan persegi dasar, atau persegi satuan. Maka syarat untuk memperoleh penyelesaian bilangan asli sama dengan menerima syarat kuadrat satuan tidak dapat dibagi.

Persegi satuan adalah persegi yang panjang setiap sisinya sama dengan satu. Artinya, luas suatu satuan persegi ditentukan oleh ekspresi berikut.

Parameter kuantitatif suatu persegi adalah luasnya, ditentukan oleh banyaknya satuan persegi yang dapat ditempatkan pada suatu luas tertentu. Untuk persegi dengan nilai x yang berubah-ubah, ekspresi x2 menentukan luas persegi yang dibentuk oleh segmen-segmen dengan panjang x satuan segmen. Luas persegi ini dapat menampung x2 satuan persegi.

Definisi di atas mungkin dianggap sepele dan jelas, namun sebenarnya tidak. D.N. Anosov mendefinisikan konsep luas secara berbeda: - “... luas suatu bangun sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya. Mengapa kami yakin demikian? ...Kita bayangkan suatu bangun datar terbuat dari suatu bahan homogen, kemudian luasnya sebanding dengan jumlah zat yang dikandungnya - massanya. Hal ini lebih lanjut menyiratkan bahwa ketika kita membagi suatu benda menjadi beberapa bagian, jumlah massanya sama dengan massa benda aslinya. Hal ini dapat dimengerti, karena segala sesuatu terdiri dari atom dan molekul, dan karena jumlahnya tidak berubah, maka massa totalnya juga tidak berubah... Faktanya, massa sepotong bahan homogen sebanding dengan volumenya; Artinya, perlu Anda ketahui bahwa volume “lembaran” yang berbentuk suatu bangun sebanding dengan luasnya. Singkat kata, ...bahwa luas suatu bangun sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya, hal ini harus dibuktikan secara geometri. ... Dalam buku teks Kiselev, keberadaan suatu kawasan yang memiliki properti yang sama dengan yang sedang kita diskusikan secara jujur ​​dipostulatkan sebagai semacam asumsi, dan dikatakan bahwa hal tersebut memang benar, namun kami tidak akan membuktikannya. Jadi teorema Pythagoras, jika dibuktikan dengan luas, dalam arti logis murni tidak akan terbukti sepenuhnya.”

Tampak bagi kita bahwa definisi luas satuan yang diperkenalkan di atas menghilangkan D.N. Ketidakpastian Anosov. Lagi pula, jika luas persegi dan persegi panjang ditentukan oleh jumlah unit persegi yang mengisinya, maka ketika persegi panjang dibagi menjadi bagian-bagian sembarang yang berdekatan satu sama lain, luas persegi panjang secara alami adalah sama dengan jumlah seluruh bagiannya.

Selain itu, definisi yang diperkenalkan menghilangkan ketidakpastian penggunaan konsep “membagi” dan “menambah” dalam kaitannya dengan bangun geometris abstrak. Sebenarnya apa yang dimaksud dengan membagi persegi panjang atau bangun datar lainnya menjadi beberapa bagian? Jika berupa selembar kertas, maka dapat dipotong dengan gunting. Kalau sebidang tanah, buatlah pagar. Kamar - letakkan partisi. Bagaimana jika itu adalah gambar persegi? Buatlah garis pemisah dan nyatakan persegi tersebut terbagi? Tapi, bagaimanapun juga, D.I. Mendeleev: “...Anda dapat mendeklarasikan segalanya, tetapi Anda harus pergi dan mendemonstrasikannya!”

Dan ketika menggunakan definisi yang diusulkan, “Bagilah suatu bangun” berarti membagi jumlah kotak satuan yang mengisi bangun tersebut menjadi dua (atau lebih) bagian. Jumlah persegi satuan pada masing-masing bagian menentukan luasnya. Bagian-bagian ini dapat diberi konfigurasi apa pun, tetapi jumlah luasnya akan selalu sama dengan luas bangun aslinya. Mungkin ahli matematika akan menganggap argumen ini salah, lalu kita akan menerimanya sebagai asumsi. Jika asumsi seperti itu dapat diterima dalam buku teks Kiselyov, maka merupakan dosa jika kita tidak menggunakan teknik serupa.

Tahap pertama dari analisis sistem adalah mengidentifikasi situasi masalah. Pada awal tahap ini, beberapa ratus tripel Pythagoras yang ditemukan di berbagai sumber ditinjau. Pada saat yang sama, perhatian tertuju pada fakta bahwa seluruh kumpulan kembar tiga Pythagoras yang disebutkan dalam publikasi dapat dibagi menjadi beberapa kelompok yang berbeda konfigurasinya. Sebagai tanda konfigurasi tertentu, kita akan mempertimbangkan selisih panjang sisi persegi asli dan persegi yang dikurangkan, yaitu nilai c-b. Misalnya, publikasi sering kali menunjukkan kembar tiga yang memenuhi kondisi c-b=1 sebagai contoh. Mari kita asumsikan bahwa seluruh kumpulan tripel Pythagoras tersebut membentuk suatu himpunan, yang kita sebut “Kelas c-1”, dan menganalisis properti kelas ini.

Perhatikan tiga persegi yang ditunjukkan pada gambar, dengan c adalah panjang sisi persegi yang dikurangi, b adalah panjang sisi persegi yang dikurangi, dan a adalah panjang sisi persegi yang terbentuk dari selisihnya. Pada Gambar. 1 Dapat dilihat bahwa ketika luas persegi yang dikurangi dikurangi dengan luas persegi yang dikurangi, sisanya adalah dua strip persegi satuan:

Agar persegi dapat terbentuk dari sisa tersebut, syaratnya harus dipenuhi

Hubungan ini memungkinkan untuk menentukan nilai semua anggota rangkap tiga menggunakan satu bilangan c. Bilangan terkecil c yang memenuhi relasi (6) adalah bilangan c = 5. Jadi, ditentukan panjang ketiga sisi persegi yang memenuhi relasi (1). Ingatlah bahwa nilai b dari sisi kuadrat rata-rata

dipilih ketika kita memutuskan untuk membentuk persegi tengah dengan memperkecil sisi persegi aslinya sebanyak satu. Kemudian dari relasi (5), (6). (7) kita memperoleh hubungan berikut:

dari sini nilai yang dipilih c = 5 secara unik menetapkan nilai b = 4, a = 3.

Hasilnya, diperoleh relasi yang memungkinkan kita untuk merepresentasikan tripel Pythagoras dari kelas "c - 1" dalam bentuk di mana nilai ketiga suku ditentukan oleh satu parameter yang ditentukan - nilai c:

Mari kita tambahkan bahwa angka 5 pada contoh di atas muncul sebagai nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c yang persamaan (6) memiliki solusi dalam bilangan asli. Bilangan berikutnya yang mempunyai sifat yang sama adalah 13, lalu 25, lalu 41, 61, 85, dst. Seperti yang Anda lihat, dalam rangkaian bilangan ini jarak antar bilangan yang bertetangga bertambah dengan cepat. Jadi, misalnya setelah nilai valid, nilai valid berikutnya adalah, dan setelahnya, nilai valid berikutnya adalah, yaitu, nilai validnya berjarak lebih dari lima puluh juta dari nilai sebelumnya!

Sekarang jelas dari mana ungkapan ini berasal dalam buku: - “Seiring dengan bertambahnya jumlah, kembar tiga Pythagoras semakin jarang ditemukan, dan semakin sulit untuk menemukannya…”. Namun pernyataan ini tidak benar. Kita hanya perlu melihat tripel Pythagoras yang bersesuaian dengan pasangan nilai c yang bertetangga di atas, dan satu fitur langsung menarik perhatian - pada kedua pasangan, di mana nilai c dipisahkan oleh interval yang begitu besar, maka nilai suatu ternyata merupakan bilangan ganjil yang bertetangga. Memang untuk pasangan pertama kita punya

dan untuk pasangan kedua

Jadi, bukan kembar tiga itu sendiri yang “menjadi semakin jarang”, tetapi interval antara nilai c yang berdekatan semakin meningkat. Tripel Pythagoras itu sendiri, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, ada untuk bilangan asli apa pun.

Sekarang mari kita lihat kembar tiga dari kelas berikutnya - “Kelas c-2”. Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 1, bila persegi bersisi c dikurangkan dari persegi bersisi (c - 2), maka akan terbentuk sisa berupa penjumlahan dua garis satuan. Nilai jumlah ini ditentukan oleh persamaan:

Dari persamaan (10) kita memperoleh relasi yang mendefinisikan sembarang himpunan triplet tak hingga kelas “c-2”:

Syarat adanya penyelesaian persamaan (11) bilangan asli adalah sembarang nilai c yang a merupakan bilangan asli. Nilai minimum c yang penyelesaiannya ada adalah c = 5. Maka tripel “awal” untuk golongan tripel ini ditentukan oleh himpunan a = 4, b = 3, c = 5. Sekali lagi, ini adalah nilai klasik terbentuklah rangkap tiga 3, 4, 5, hanya saja sekarang luas persegi yang dikurangi lebih kecil dari luas sisanya.

Dan terakhir, kami akan menganalisis kembar tiga kelas “s-8”. Untuk golongan rangkap tiga ini, jika luas persegi dikurangkan dari luas c2 persegi asal, diperoleh:

Maka dari persamaan (12) sebagai berikut:

Nilai minimum c yang mempunyai solusi adalah c = 13. Tripel Pythagoras pada nilai ini berbentuk 12, 5, 13. Dalam hal ini, sekali lagi, luas persegi yang dikurangi lebih kecil dari luas ​sisanya. Dan dengan menata ulang notasinya, kita mendapatkan triple 5, 12, 13, yang dalam konfigurasinya termasuk dalam kelas “c - 1”. Tampaknya analisis lebih lanjut terhadap kemungkinan konfigurasi lain tidak akan mengungkapkan sesuatu yang baru secara fundamental.

Output dari rasio yang dihitung

Pada bagian sebelumnya, logika analisis dikembangkan sesuai dengan persyaratan analisis sistem dalam empat dari lima tahapan utamanya: analisis situasi masalah, pembentukan tujuan, pembentukan fungsi, dan pembentukan struktur. Sekarang saatnya beralih ke tahap terakhir, tahap kelima - pengecekan kelayakan, yaitu pengecekan sejauh mana tujuan telah tercapai. .

Tabelnya ditunjukkan di bawah ini. 1 yang menunjukkan nilai tripel Pythagoras yang termasuk dalam kelas “c - 1”. Kebanyakan tripel ditemukan di berbagai publikasi, namun tripel untuk nilai sama dengan 999, 1001 belum ditemukan di publikasi terkenal.

Tabel 1

Tripel Pythagoras kelas “c-1”

Dapat dibuktikan bahwa semua kembar tiga memenuhi hubungan (3). Dengan demikian, salah satu tujuan yang ditetapkan telah tercapai. Relasi (9), (11), (13) yang diperoleh pada bagian sebelumnya memungkinkan pembentukan himpunan kembar tiga tak terhingga dengan menentukan satu parameter c - sisi persegi yang diperkecil. Ini, tentu saja, merupakan pilihan yang lebih konstruktif daripada relasi (2), untuk menggunakannya kita harus secara sewenang-wenang menentukan tiga bilangan l, m, n, yang memiliki nilai apa pun, kemudian mencari solusi, hanya mengetahui bahwa pada akhirnya adalah tripel Pythagoras pasti akan didapat, dan mana yang belum diketahui sebelumnya. Dalam kasus kita, konfigurasi tripel yang terbentuk telah diketahui sebelumnya dan hanya satu parameter yang perlu ditentukan. Namun sayangnya, tidak ada solusi untuk setiap nilai parameter ini. Dan Anda perlu mengetahui terlebih dahulu nilai-nilai yang diperbolehkan. Jadi hasil yang didapat sudah bagus, namun jauh dari ideal. Solusi yang diinginkan adalah agar tripel Pythagoras dapat dihitung untuk bilangan asli apa pun yang diberikan secara sembarang. Untuk tujuan ini, kita akan kembali ke tahap keempat - pembentukan struktur hubungan matematika yang diperoleh.

Karena pemilihan c sebagai parameter dasar untuk menentukan anggota tripel yang tersisa ternyata merepotkan, maka opsi lain harus dicoba. Seperti dapat dilihat dari tabel. 1, pemilihan parameter a sebagai basis tampaknya lebih disukai, karena nilai parameter ini berurutan dalam rangkaian bilangan asli ganjil. Setelah transformasi sederhana, kami membawa hubungan (9) ke bentuk yang lebih konstruktif:

Hubungan (14) memungkinkan kita menemukan tripel Pythagoras untuk setiap nilai ganjil a. Selain itu, kesederhanaan ekspresi b memungkinkan penghitungan bahkan tanpa kalkulator. Memang, dengan memilih, misalnya, angka 13, kita mendapatkan:

Dan untuk angka 99 masing-masing kita peroleh:

Hubungan (15) memungkinkan kita memperoleh nilai ketiga suku string Pythagoras untuk n tertentu, mulai dari n=1.

Sekarang perhatikan tripel Pythagoras kelas “c - 2”. Dalam tabel 2 menunjukkan sepuluh kembar tiga sebagai contoh. Selain itu, dalam publikasi terkenal hanya ditemukan tiga pasang kembar tiga - 8, 15, 23; 12, 35, 36; dan 16, 63, 65. Ini cukup untuk menentukan pola pembentukannya. Tujuh sisanya ditemukan dari hubungan yang diturunkan sebelumnya (11). Untuk memudahkan perhitungan, rasio-rasio ini ditransformasikan sehingga semua parameter dinyatakan melalui nilai a. Dari (11) jelas terlihat bahwa semua kembar tiga untuk kelas “c - 2” memenuhi hubungan berikut:

Tabel 2

Tripel Pythagoras kelas “c-2”

Seperti dapat dilihat dari tabel. 2, seluruh himpunan tripel kelas “c - 2” tak terhingga dapat dibagi menjadi dua subkelas. Untuk kembar tiga yang nilai a habis dibagi 4 tanpa sisa, maka nilai b dan c ganjil. Tripel yang FPB = 1 disebut primitif. Untuk tripel yang nilai a-nya tidak habis dibagi 4 pada bilangan bulat, maka ketiga anggota tripel a, b, c adalah genap.

Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan hasil analisis kelas ketiga yang teridentifikasi - kelas "c - 8". Relasi terhitung untuk kelas ini, diperoleh dari (13), berbentuk:

Relasi (20), (21) pada dasarnya identik. Perbedaannya hanya pada pilihan urutan tindakan. Atau sesuai dengan (20), dipilih nilai a yang diinginkan (dalam hal ini nilai tersebut harus dibagi 4), kemudian ditentukan nilai b dan c. Atau, suatu bilangan sembarang dipilih, dan kemudian, dari relasi (21), ketiga anggota tripel Pythagoras ditentukan. Dalam tabel Gambar 3 menunjukkan jumlah tripel Pythagoras yang dihitung dengan cara ini. Namun, menghitung nilai tripel Pythagoras bisa lebih sederhana lagi. Jika setidaknya satu nilai diketahui, maka semua nilai berikutnya ditentukan dengan sangat sederhana oleh hubungan berikut:

Tabel 3

Validitas hubungan (22) untuk setiap orang dapat diverifikasi dengan menggunakan tiga kali lipat dari tabel. 2, dan menurut sumber lain. Sebagai contoh pada tabel. 4 yang dicetak miring adalah kembar tiga dari tabel ekstensif kembar tiga Pythagoras (10.000 kembar tiga) yang dihitung berdasarkan program komputer menggunakan relasi (2) dan yang dicetak tebal adalah kembar tiga yang dihitung menggunakan relasi (20). Nilai-nilai ini tidak ada dalam tabel yang ditentukan.

Tabel 4

Kembar tiga Pythagoras dari kelas "c-8"

Oleh karena itu, untuk bentuk rangkap tiga, relasi berikut dapat digunakan:

Dan untuk anak kembar tiga<>, kita mempunyai hubungan:

Perlu ditekankan bahwa kelas kembar tiga “c - 1”, “c - 2”, “c - 8” yang dibahas di atas merupakan lebih dari 90% dari seribu kembar tiga pertama dari tabel yang diberikan. Hal ini memberikan alasan untuk menganggap kelas-kelas ini sebagai kelas dasar. Mari kita tambahkan bahwa ketika menurunkan relasi (22), (23), (24), kita tidak menggunakan sifat khusus bilangan yang dipelajari dalam teori bilangan (prima, koprima, dll.). Pola pembentukan kembar tiga Pythagoras yang terungkap hanya ditentukan oleh sifat sistemik dari bangun geometri yang dijelaskan oleh kembar tiga ini - bujur sangkar, yang terdiri dari sekumpulan bujur sangkar satuan.

Kesimpulan

Sekarang, seperti yang dikatakan Andrew Wiles pada tahun 1993: “Saya pikir saya harus berhenti di situ.” Tujuan yang ditetapkan telah tercapai sepenuhnya. Hal ini menunjukkan bahwa analisis sifat-sifat model matematika, yang strukturnya dikaitkan dengan bangun-bangun geometris, disederhanakan secara signifikan jika, dalam proses analisis, bersama dengan perhitungan matematis murni, sifat-sifat geometris dari model yang dipelajari juga adalah diperhitungkan. Penyederhanaan dicapai, khususnya, karena peneliti “melihat” hasil yang diinginkan tanpa melakukan transformasi matematis.

Misalnya saja kesetaraan

menjadi jelas tanpa transformasi di sisi kiri, Anda hanya perlu melihat Gambar. 1, yang menunjukkan model grafis persamaan ini.

Hasilnya, berdasarkan analisis, terlihat bahwa untuk setiap persegi yang memiliki sisi, dapat ditemukan persegi dengan sisi b dan c sedemikian rupa sehingga berlaku persamaan dan diperoleh hubungan yang menjamin diperolehnya hasil dengan jumlah perhitungan minimum:

untuk nilai ganjil a,

dan - untuk nilai genap.

Tautan bibliografi

Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan metode yang diketahui untuk menghasilkan tripel Pythagoras yang efektif. Siswa Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan cara sederhana untuk menghasilkan tripel Pythagoras, menggunakan rumus yang bagian-bagiannya mewakili tripel Pythagoras:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Di mana M- tidak berpasangan, M>2. Benar-benar,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Rumusan serupa dikemukakan oleh filsuf Yunani kuno Plato:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Di mana M- nomor berapa pun. Untuk M= 2,3,4,5 dihasilkan tripel berikut:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Seperti yang bisa kita lihat, rumus ini tidak dapat memberikan semua kemungkinan kembar tiga primitif.

Perhatikan polinomial berikut, yang dapat diperluas menjadi jumlah polinomial:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Oleh karena itu rumus berikut untuk memperoleh tripel primitif:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Rumus ini menghasilkan kembar tiga yang angka rata-ratanya berbeda tepat satu dari angka terbesar, sehingga tidak semua kemungkinan kembar tiga juga dihasilkan. Di sini tiga yang pertama sama dengan: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Untuk menentukan cara menghasilkan semua triplet primitif, propertinya harus diperiksa. Pertama, jika ( a,b,c) adalah tripel primitif A Dan B, B Dan C, A Dan C- harus relatif sederhana. Membiarkan A Dan B dibagi menjadi D. Kemudian A 2 + B 2 - juga habis dibagi D. Masing-masing, C 2 dan C harus dibagi D. Artinya, ini bukan tiga primitif.

Kedua, di antara angka-angka A, B yang satu harus berpasangan dan yang lainnya tidak berpasangan. Memang benar jika A Dan B- berpasangan, kalau begitu Dengan akan berpasangan, dan angka-angka tersebut dapat dibagi minimal 2. Jika keduanya tidak berpasangan, maka keduanya dapat direpresentasikan sebagai 2 k+1 saya 2 aku+1, di mana k,aku- beberapa nomor. Kemudian A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4aku 2 +4aku+1, yaitu, Dengan 2, seperti A 2 + B 2 mempunyai sisa 2 jika dibagi 4.

Membiarkan Dengan- nomor berapa pun, yaitu Dengan = 4k+Saya (Saya=0,…,3). Kemudian Dengan 2 = (4k+Saya) 2 mempunyai sisa 0 atau 1 dan tidak dapat mempunyai sisa 2. Jadi, A Dan B tidak bisa tidak berpasangan, yaitu A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4aku 2 +4aku+1 dan sisa divisi Dengan 2 kali 4 harus 1, artinya Dengan harus tidak berpasangan.

Persyaratan unsur-unsur tripel Pythagoras dipenuhi oleh bilangan-bilangan berikut:

A = 2M N, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Di mana M Dan N— relatif prima dengan pasangan yang berbeda. Ketergantungan ini pertama kali diketahui dari karya Euclid, yang hidup pada tahun 2300 r. kembali.

Mari kita buktikan validitas ketergantungan (2). Membiarkan A- berpasangan, kalau begitu B Dan C- tidak berpasangan. Kemudian C + B Saya C − B- berpasangan. Mereka dapat direpresentasikan sebagai C + B = 2kamu Dan C − B = 2ay, Di mana kamu,ay- beberapa bilangan bulat. Itu sebabnya

A 2 = Dengan 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2kamu·2 ay = 4sinar UV

Dan oleh karena itu ( A/2) 2 = sinar UV.

Hal ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi tersebut kamu Dan ay- saling sederhana. Membiarkan kamu Dan ay- dibagi menjadi D. Kemudian ( C + B) Dan ( C − B) dibagi menjadi D. Dan seterusnya C Dan B harus dibagi D, dan ini bertentangan dengan kondisi tripel Pythagoras.

Karena sinar UV = (A/2) 2 dan kamu Dan ay relatif prima, mudah untuk membuktikannya kamu Dan ay harus berupa kuadrat dari beberapa angka.

Jadi ada bilangan bulat positif M Dan N, seperti yang kamu = M 2 dan ay = N 2. Kemudian

A 2 = 4sinar UV = 4M 2 N 2 jadi
A = 2M N; B = kamu − ay = M 2 − N 2 ; C = kamu + ay = M 2 + N 2 .

Karena B> 0, lalu M > N.

Masih harus ditunjukkan hal itu M Dan N mempunyai pasangan yang berbeda. Jika M Dan N- berpasangan, kalau begitu kamu Dan ay harus berpasangan, tetapi hal ini tidak mungkin, karena keduanya relatif prima. Jika M Dan N- tidak berpasangan, kalau begitu B = M 2 − N 2 dan C = M 2 + N 2 akan dipasangkan, yang tidak mungkin karena C Dan B- saling sederhana.

Jadi, tripel Pythagoras primitif mana pun harus memenuhi kondisi (2). Pada saat yang sama, angkanya M Dan N dipanggil menghasilkan angka kembar tiga primitif. Sebagai contoh, mari kita punya tripel Pythagoras primitif (120.119.169). Dalam hal ini

A= 120 = 2·12·5, B= 119 = 144 − 25, dan C = 144+25=169,

Di mana M = 12, N= 5 — menghasilkan angka, 12 > 5; 12 dan 5 saling berpasangan prima dan berpasangan berbeda.

Hal sebaliknya dapat dibuktikan yaitu angka M, N menggunakan rumus (2) mereka memberikan tripel Pythagoras primitif (a,b,c). Benar-benar,

A 2 + B 2 = (2M N) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Yaitu ( A,B,C) adalah tripel Pythagoras. Mari kita buktikan dalam kasus ini A,B,C adalah bilangan prima karena kontradiksi. Biarkan angka-angka ini habis dibagi P> 1. Sejak M Dan N memiliki pasangan yang berbeda, kalau begitu B Dan C- tidak berpasangan, yaitu P≠ 2. Sejak R membagi B Dan C, Itu R harus membagi 2 M 2 dan 2 N 2, tapi ini tidak mungkin, karena P≠ 2. Oleh karena itu M, N- saling prima dan A,B,C- juga relatif sederhana.

Tabel 1 menunjukkan semua tripel Pythagoras primitif yang dihasilkan menggunakan rumus (2) untuk M≤10.

Tabel 1. Tripel Pythagoras primitif untuk M≤10

Analisis tabel ini menunjukkan adanya rangkaian pola berikut:

• atau A, atau B habis dibagi 3;
• salah satu nomornya A,B,C habis dibagi 5;
• nomor A habis dibagi 4;
• bekerja A· B habis dibagi 12.

Pada tahun 1971, matematikawan Amerika Teigan dan Hedwin mengusulkan parameter segitiga siku-siku yang kurang diketahui seperti tingginya untuk menghasilkan kembar tiga. H = C− b dan kelebihan (sukses) e = A + B − C. Pada Gambar.1. besaran-besaran ini ditunjukkan pada segitiga siku-siku tertentu.

Gambar 1. Segitiga siku-siku beserta pertambahan dan kelebihannya

Nama “kelebihan” berasal dari fakta bahwa itu adalah jarak tambahan yang harus dilalui sepanjang kaki-kaki segitiga dari satu titik sudut ke titik sudut lainnya, jika tidak sepanjang diagonalnya.

Melalui pertambahan dan pertambahan sisi-sisi segitiga Pythagoras dapat dinyatakan sebagai:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Tidak semua kombinasi H Dan e mungkin sesuai dengan segitiga Pythagoras. Untuk suatu hal H nilai yang mungkin e adalah produk dengan jumlah tertentu D. Nomor ini D memiliki nama pertumbuhan dan mengacu pada H sebagai berikut: D adalah bilangan bulat positif terkecil yang kuadratnya habis dibagi 2 H. Karena e banyak D, maka ditulis sebagai e = kd, Di mana k adalah bilangan bulat positif.

Menggunakan pasangan ( k,H) Anda dapat membuat semua segitiga Pythagoras, termasuk segitiga non-primitif dan umum, sebagai berikut:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Terlebih lagi, triple adalah if yang primitif k Dan H relatif prima dan jika H =± Q jam 2 Q- tidak berpasangan.
Terlebih lagi, ini akan menjadi tripel Pythagoras jika k> √2· H/D Dan H > 0.

Untuk menemukan k Dan H dari ( A,B,C), lakukan tindakan berikut:

• H = C − B;
• tuliskan H Bagaimana H = hal 2 dimana P> 0 dan yang bukan persegi;
• D = 2hal Jika P- tidak berpasangan dan D = hal, jika p berpasangan;
• k = (A − H)/D.

Misalnya, untuk triple (8,15,17) yang kita punya H= 17−15 = 2 1, jadi P= 2 dan Q = 1, D= 2, dan k= (8 − 2)/2 = 3. Jadi tripel ini diberikan oleh ( k,H) = (3,2).

Untuk triple (459,1260,1341) yang kita punya H= 1341 − 1260 = 81, jadi P = 1, Q= 9 dan D= 18, dari sini k= (459 − 81)/18 = 21, jadi kode tripelnya adalah ( k,H) = (21, 81).

Pengaturan kembar tiga menggunakan H Dan k memiliki sejumlah properti menarik. Parameter k sama

k = 4S/(dP), (5)

Di mana S = ab/2 adalah luas segitiga, dan P = A + B + C- kelilingnya. Ini mengikuti kesetaraan eP = 4S, yang mengikuti teorema Pythagoras.

Untuk segitiga siku-siku e sama dengan diameter lingkaran pada segitiga. Ini mengikuti fakta bahwa sisi miring Dengan = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Di mana R- jari-jari lingkaran. Dari sini H = C − B = A − 2R Dan e = A − H = 2R.

Untuk H> 0 dan k > 0, k adalah bilangan urut kembar tiga A-B-C pada barisan segitiga Pythagoras yang bertambah H. Dari Tabel 2 yang menyajikan beberapa varian kembar tiga yang dihasilkan secara berpasangan H, k, jelas bahwa dengan meningkatnya k ukuran sisi-sisi segitiga bertambah. Jadi, berbeda dengan penomoran klasik, penomoran berpasangan H, k memiliki urutan yang lebih besar dalam urutan kembar tiga.

Tabel 2. Tripel Pythagoras yang dihasilkan oleh pasangan h, k.

Untuk H > 0, D memenuhi pertidaksamaan 2√ H ≤ D ≤ 2H, dimana batas bawah tercapai pada P= 1, dan yang teratas - di Q= 1. Oleh karena itu nilainya D relatif terhadap 2√ H adalah ukuran seberapa banyak suatu angka H jauh dari kuadrat suatu bilangan tertentu.

Properti

Sejak Persamaan. X 2 + kamu 2 = z 2 homogen, saat dikalikan X , kamu Dan z untuk bilangan yang sama diperoleh tripel Pythagoras lainnya. Tripel Pythagoras disebut primitif, jika tidak dapat diperoleh dengan cara ini, yaitu bilangan koprima.

Contoh

Beberapa tripel Pythagoras (diurutkan berdasarkan jumlah maksimum, yang primitif disorot):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Berdasarkan sifat-sifat bilangan Fibonacci, Anda dapat menyusunnya, misalnya kembar tiga Pythagoras berikut:

Cerita

Kembar tiga Pythagoras telah dikenal sejak lama. Pada arsitektur batu nisan Mesopotamia kuno terdapat segitiga sama kaki yang terdiri dari dua buah persegi panjang dengan sisi 9, 12 dan 15 hasta. Piramida Firaun Snofru (abad XXVII SM) dibangun menggunakan segitiga dengan sisi 20, 21 dan 29, serta 18, 24 dan 30 puluhan hasta Mesir.

Lihat juga

Tautan

• E.A. Gorin Pangkat bilangan prima pada tripel Pythagoras // Pendidikan matematika. - 2008. - V. 12. - Hal. 105-125.

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apa itu "bilangan Pythagoras" di kamus lain: Tiga kali lipat bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama dengan) dengan bilangan tersebut adalah persegi panjang, misalnya. rangkap tiga bilangan: 3, 4, 5...

Kamus Ensiklopedis Besar Tripel bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisi-sisinya sebanding (atau sama dengan) bilangan-bilangan tersebut adalah persegi panjang, misalnya tripel bilangan: 3, 4, 5. * * * ANGKA PYTHAGORAS, tripel bilangan asli seperti itu... ...

Kamus Ensiklopedis

Tiga kali lipat bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama dengan) bilangan tersebut adalah persegi panjang. Menurut teorema kebalikan dari teorema Pythagoras (lihat teorema Pythagoras), untuk ini cukuplah mereka... ... Tiga kali lipat bilangan bulat positif x, y, z memenuhi persamaan x2+y 2=z2. Semua solusi persamaan ini, dan semua bilangan parsial, dinyatakan dengan rumus x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, dengan a dan b adalah bilangan bulat positif sembarang (a>b). Ph...

Ensiklopedia Matematika Tiga kali lipat bilangan asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama dengan) dengan bilangan tersebut adalah persegi panjang, misalnya. rangkap tiga bilangan: 3, 4, 5...

Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis

Dalam matematika, bilangan Pythagoras (triple Pythagoras) adalah rangkaian tiga bilangan bulat yang memenuhi relasi Pythagoras: x2 + y2 = z2. Isi 1 Properti 2 Contoh ... Wikipedia

Bilangan berpola adalah nama umum untuk bilangan-bilangan yang berhubungan dengan suatu bangun geometri tertentu. Konsep sejarah ini berasal dari Pythagoras. Jenis bilangan berpola berikut ini dibedakan: Bilangan linier adalah bilangan yang tidak dapat difaktorkan, yaitu... ... Wikipedia

- “Paradoks pi” adalah lelucon tentang topik matematika, yang beredar di kalangan siswa hingga tahun 80-an (sebenarnya, sebelum mikrokalkulator tersebar secara massal) dan dikaitkan dengan terbatasnya keakuratan perhitungan fungsi trigonometri dan .. .. Wikipedia

- (Arithmetika Yunani, dari bilangan arithmys) ilmu bilangan, terutama tentang bilangan asli (bilangan bulat positif) dan pecahan (rasional), serta operasinya. Memiliki konsep bilangan asli yang cukup berkembang dan kemampuan... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Buku

• Archimedes Summer, atau Sejarah Persemakmuran Matematikawan Muda. Sistem bilangan biner, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistem bilangan biner, Menara Hanoi, jurus ksatria, kotak ajaib, segitiga aritmatika, angka berpola, kombinasi, konsep probabilitas, strip Mobius, dan botol Klein.…

Contoh penting persamaan Diophantine diberikan oleh teorema Pythagoras, yang menghubungkan panjang x dan y kaki segitiga siku-siku dengan panjang z sisi miringnya:

Anda, tentu saja, telah menemukan salah satu solusi luar biasa untuk persamaan bilangan asli ini, yaitu bilangan rangkap tiga Pythagoras. x = 3, y = 4, z = 5. Apakah ada kembar tiga lainnya yang seperti ini?

Ternyata tripel Pythagoras jumlahnya tak terhingga banyaknya dan semuanya sudah ditemukan sejak dahulu kala. Mereka dapat diperoleh dengan menggunakan rumus terkenal, yang akan Anda pelajari dari paragraf ini.

Jika persamaan Diophantine derajat pertama dan kedua telah terpecahkan, maka pertanyaan tentang penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi masih tetap terbuka, meskipun ada upaya dari para ahli matematika besar. Saat ini, misalnya, dugaan Fermat yang terkenal bahwa untuk nilai bilangan bulat apa pun belum terbukti atau terbantahkan secara meyakinkan. n2 persamaan

tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan Diophantine, yang disebut bilangan kompleks. Apa itu? Misalkan huruf i menunjukkan suatu benda tertentu yang memenuhi syarat saya 2 = -1(jelas bahwa tidak ada satu pun bilangan real yang memenuhi kondisi ini). Pertimbangkan ekspresi bentuk α + iβ, dimana α dan β adalah bilangan real. Kami akan menyebut ekspresi seperti itu sebagai bilangan kompleks, setelah mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada mereka, serta pada binomial, tetapi dengan satu-satunya perbedaan bahwa ekspresi tersebut saya 2 Kami akan mengganti angka -1 di mana-mana:

7.1. Satu tiga terlalu banyak

Buktikan jika x 0 , kamu 0 , z 0- Triple Pythagoras, lalu tiga kali lipat kamu 0 , x 0 , z 0 Dan x 0 k, y 0 k, z 0 k untuk setiap nilai parameter alami k juga merupakan Pythagoras.

7.2. Rumus tertentu

Periksa apakah ada nilai alami m>n jenis bertiga

adalah Pythagoras. Triple Pythagoras apa pun x, kamu, z dapatkah direpresentasikan dalam bentuk ini jika kita mengizinkan bilangan x dan y pada rangkap tiga dipertukarkan?

7.3. Kembar tiga yang tidak dapat direduksi

Bilangan tripel Pythagoras yang tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari 1 disebut bilangan tak tersederhanakan. Buktikan bahwa tripel Pythagoras tidak dapat direduksi hanya jika dua bilangan pada tripel tersebut koprima.

7.4. Properti rangkap tiga yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa pada sembarang tripel Pythagoras tak tersederhanakan x, y, z, bilangan z dan tepat salah satu bilangan x atau y ganjil.

7.5. Semua kembar tiga yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa tripel bilangan x, y, z merupakan tripel Pythagoras tak tereduksi jika dan hanya jika tripel tersebut berimpit dengan tripel tersebut hingga orde dua bilangan pertama 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Di mana m>n- bilangan asli yang saling prima dari paritas yang berbeda.

7.6. Rumus umum

Buktikan bahwa semua solusi persamaan

dalam bilangan asli diberikan hingga orde yang tidak diketahui x dan y dengan rumus

di mana m>n dan k adalah parameter natural (untuk menghilangkan duplikasi triplet apa pun, cukup memilih bilangan bertipe koprima dan, terlebih lagi, paritas berbeda).

7.7. 10 tripel pertama

Temukan semua tripel Pythagoras x, kamu, z, memuaskan kondisinya X

7.8. Sifat-sifat tripel Pythagoras

Buktikan bahwa untuk sembarang tripel Pythagoras x, kamu, z pernyataan berikut ini benar:

a) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 3;

b) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 4;

c) paling sedikit salah satu bilangan x, y atau z adalah kelipatan 5.

7.9. Penerapan bilangan kompleks

Modulus bilangan kompleks α + saya β disebut bilangan non-negatif

Periksa apakah ada bilangan kompleks α + saya β Dan γ + sayaδ properti puas

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya, buktikan bahwa dua bilangan bulat m dan n memenuhi persamaan

yaitu, mereka menentukan solusi persamaan

bilangan bulat (bandingkan dengan soal 7.5).

7.10. Tripel non-Pythagoras

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya (lihat Soal 7.9), temukan rumus untuk setiap solusi bilangan bulat pada persamaan tersebut:

a) x 2 + kamu 2 = z 3; b) x 2 + kamu 2 = z 4.

Solusi

7.1. Jika x 0 2 + kamu 0 2 = z 0 2, Itu kamu 0 2 + x 0 2 = z 0 2, dan untuk setiap nilai alami k yang kita miliki

Q.E.D.

7.2. Dari kesetaraan

kami menyimpulkan bahwa tripel yang ditunjukkan dalam soal memenuhi persamaan x 2 + kamu 2 = z 2 dalam bilangan asli. Namun, tidak semua tripel Pythagoras x, kamu, z dapat direpresentasikan dalam bentuk ini; misalnya, tripel 9, 12, 15 adalah bilangan Pythagoras, tetapi bilangan 15 tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah kuadrat dari dua bilangan asli m dan n.

7.3. Jika ada dua bilangan dari tripel Pythagoras x, kamu, z memiliki pembagi yang sama d, maka itu akan menjadi pembagi dari bilangan ketiga (jadi, dalam kasus ini x = x 1 d, y = y 1 d kita punya z 2 = x 2 + kamu 2 = (x 1 2 + kamu 1 2)d 2 , dimana z 2 habis dibagi d 2 dan z habis dibagi d). Oleh karena itu, agar tripel Pythagoras tidak dapat direduksi, dua bilangan tripel tersebut harus koprima,

7.4. Perhatikan bahwa salah satu bilangan x atau y, katakanlah x, dari tripel Pythagoras tak tereduksi x, kamu, z ganjil, karena jika tidak, bilangan x dan y tidak akan relatif prima (lihat Soal 7.3). Jika bilangan y yang lain juga ganjil, maka kedua bilangan tersebut

menyisakan sisa 1 bila dibagi 4, dan bilangan z 2 = x 2 + kamu 2 memberikan sisa 2 bila dibagi 4, yaitu habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 4, yang tidak mungkin. Jadi, bilangan y harus genap, dan bilangan z harus ganjil.

7.5. Biarkan Pythagoras menjadi tiga kali lipat x, kamu, z tidak dapat direduksi dan, untuk lebih jelasnya, bilangan x adalah bilangan genap, dan bilangan y, z adalah bilangan ganjil (lihat Soal 7.4). Kemudian

dimana angkanya utuh. Mari kita buktikan bahwa bilangan a dan b adalah koprima. Faktanya, jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari 1, maka bilangan-bilangan tersebut akan mempunyai pembagi yang sama z = a + b, y = a - b, artinya, tripelnya tidak dapat direduksi (lihat Soal 7.3). Sekarang, dengan memperluas bilangan a dan b menjadi hasil kali faktor prima, kita perhatikan bahwa faktor prima apa pun harus disertakan dalam hasil kali tersebut 4ab = x 2 hanya sampai derajat genap, dan jika termasuk dalam perluasan bilangan a, maka tidak termasuk dalam perluasan bilangan b dan sebaliknya. Oleh karena itu, setiap faktor prima masuk ke dalam pemuaian bilangan a atau b secara terpisah hanya sampai pangkat genap, yang berarti bahwa bilangan-bilangan itu sendiri adalah kuadrat dari bilangan bulat. Ayo taruh maka kita mendapatkan persamaannya

Selain itu, parameter natural m>n bersifat koprima (karena keprimean bilangan a dan b) dan mempunyai paritas yang berbeda (karena keanehan bilangan tersebut). z = m 2 + n 2).

Sekarang biarkan bilangan asli m>n dari paritas yang berbeda menjadi koprima. Lalu tiga x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, menurut pernyataan Soal 7.2, adalah Pythagoras. Mari kita buktikan bahwa hal ini tidak dapat direduksi. Untuk melakukan ini, cukup dengan memeriksa bahwa bilangan y dan z tidak memiliki pembagi yang sama (lihat Soal 7.3). Faktanya, kedua bilangan ini ganjil, karena jenis bilangan tersebut memiliki paritas yang berbeda. Jika bilangan y dan z mempunyai pembagi persekutuan sederhana (maka pasti ganjil), maka masing-masing bilangan dan bersamanya masing-masing bilangan m dan n mempunyai pembagi yang sama, yang bertentangan dengan kesederhanaannya.

7.6. Berdasarkan pernyataan yang dirumuskan dalam Soal 7.1, 7.2, rumus ini hanya mendefinisikan tripel Pythagoras. Sebaliknya, tripel Pythagoras mana pun x, kamu, z setelah dikurangi dengan pembagi persekutuan terbesar k, pasangan bilangan x dan y menjadi tidak dapat direduksi (lihat Soal 7.3) dan, oleh karena itu, dapat direpresentasikan, hingga orde bilangan x dan y, dalam bentuk yang dijelaskan pada Soal 7.5 . Oleh karena itu, setiap tripel Pythagoras diberikan oleh rumus yang ditunjukkan untuk nilai parameter tertentu.

7.7. Dari ketimpangan z dan rumus Soal 7.6 kita peroleh perkiraannya m 2 yaitu m≤5. Percaya m = 2, n = 1 Dan k = 1, 2, 3, 4, 5, kita mendapat bertiga 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Percaya m = 3, n = 2 Dan k = 1, 2, kita mendapat bertiga 5, 12, 13; 10, 24, 26. Percaya m = 4, n = 1, 3 Dan k = 1, kita mendapat bertiga 8, 15, 17; 7, 24, 25. Akhirnya, percaya m = 5, n = 2 Dan k = 1, kita mendapatkan tiga 20, 21, 29.

» oleh Profesor Matematika Emeritus di Universitas Warwick, pemopuler ilmu pengetahuan terkenal Ian Stewart, yang didedikasikan untuk peran angka dalam sejarah umat manusia dan relevansi studinya di zaman kita.

sisi miring Pythagoras

Segitiga Pythagoras mempunyai sudut siku-siku dan sisi-sisinya bilangan bulat. Yang paling sederhana memiliki sisi terpanjang dengan panjang 5, yang lain - 3 dan 4. Total ada 5 polihedra beraturan. Persamaan derajat kelima tidak dapat diselesaikan menggunakan akar kelima atau akar lainnya. Kisi-kisi pada bidang datar dan ruang tiga dimensi tidak memiliki simetri rotasi lima lobus, sehingga simetri seperti itu tidak ada dalam kristal. Namun, mereka dapat ditemukan dalam kisi empat dimensi dan dalam struktur menarik yang dikenal sebagai quasicrystals.

Sisi miring dari tripel Pythagoras terkecil

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa sisi terpanjang dari segitiga siku-siku (sisi miring yang terkenal) berhubungan dengan dua sisi lain dari segitiga ini dengan cara yang sangat sederhana dan indah: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari sisi miring. dua sisi lainnya.

Secara tradisional, kita menyebut teorema ini dengan nama Pythagoras, namun kenyataannya sejarahnya cukup kabur. Tablet tanah liat menunjukkan bahwa orang Babilonia kuno mengetahui teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras sendiri; Ketenaran penemunya dibawa kepadanya oleh kultus matematika Pythagoras, yang pendukungnya percaya bahwa Alam Semesta didasarkan pada hukum numerik. Para penulis kuno menghubungkan berbagai teorema matematika dengan Pythagoras - dan karena itu dengan Pythagoras, tetapi sebenarnya kita tidak tahu jenis matematika apa yang melibatkan Pythagoras sendiri. Kita bahkan tidak tahu apakah kaum Pythagoras dapat membuktikan Teorema Pythagoras atau mereka hanya mempercayai kebenarannya. Atau, kemungkinan besar, mereka memiliki bukti yang meyakinkan tentang kebenarannya, namun tidak cukup untuk menjadi bukti yang kita anggap saat ini.

Bukti Pythagoras

Bukti teorema Pythagoras pertama yang diketahui ditemukan dalam Elemen Euclid. Ini adalah bukti yang cukup rumit dengan menggunakan gambar yang akan langsung dikenali oleh anak-anak sekolah di zaman Victoria sebagai “celana Pythagoras”; Gambarnya benar-benar menyerupai celana dalam yang dijemur. Ada ratusan bukti lainnya, yang sebagian besar membuat pernyataan ini lebih jelas.

// Beras. 33. Celana Pythagoras

Salah satu pembuktian yang paling sederhana adalah sejenis teka-teki matematika. Ambil segitiga siku-siku apa saja, buat empat salinannya dan kumpulkan di dalam persegi. Dalam satu susunan kita melihat sebuah persegi di sisi miring; dengan yang lain - kotak di dua sisi segitiga lainnya. Jelas bahwa luas wilayah dalam kedua kasus tersebut adalah sama.

// Beras. 34. Kiri: persegi pada sisi miring (ditambah empat segitiga). Kanan: jumlah persegi pada kedua sisi lainnya (ditambah empat segitiga yang sama). Sekarang hilangkan segitiganya

Diseksi Perigal adalah bukti teka-teki lainnya.

// Beras. 35. Diseksi Perigal

Ada juga pembuktian teorema dengan menyusun persegi pada bidang datar. Mungkin dengan cara inilah kaum Pythagoras atau pendahulu mereka yang tidak diketahui menemukan teorema ini. Jika Anda melihat bagaimana persegi miring tersebut tumpang tindih dengan dua persegi lainnya, Anda dapat melihat cara memotong persegi besar menjadi beberapa bagian dan kemudian menggabungkannya menjadi dua persegi yang lebih kecil. Anda juga dapat melihat segitiga siku-siku, yang sisi-sisinya memberikan dimensi ketiga persegi tersebut.

// Beras. 36. Pembuktian dengan pengerasan jalan

Ada bukti menarik yang menggunakan segitiga sebangun dalam trigonometri. Setidaknya lima puluh bukti berbeda diketahui.

Tripel Pythagoras

Dalam teori bilangan, teorema Pythagoras menjadi sumber ide yang bermanfaat: menemukan solusi bilangan bulat terhadap persamaan aljabar. Tripel Pythagoras adalah himpunan bilangan bulat a, b, dan c sedemikian sehingga

Secara geometris, rangkap tiga tersebut mendefinisikan segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat.

Sisi miring terkecil dari tripel Pythagoras adalah 5.

Dua sisi lain dari segitiga ini adalah 3 dan 4. Di sini

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Sisi miring terbesar berikutnya adalah 10 karena

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Namun, ini pada dasarnya adalah segitiga yang sama dengan dua sisi. Sisi miring terbesar dan benar-benar berbeda berikutnya adalah 13, yang mana

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid tahu bahwa ada variasi berbeda dari kembar tiga Pythagoras yang jumlahnya tak terhingga, dan dia memberikan apa yang bisa disebut rumus untuk menemukan semuanya. Belakangan, Diophantus dari Alexandria mengusulkan resep sederhana, yang pada dasarnya identik dengan Euclidean.

Ambil dua bilangan asli apa saja dan hitung:

produk ganda mereka;

perbedaan kuadratnya;

jumlah kuadratnya.

Ketiga bilangan yang dihasilkan akan menjadi sisi-sisi segitiga Pythagoras.

Mari kita ambil contoh angka 2 dan 1. Mari kita hitung:

hasil kali ganda: 2 × 2 × 1 = 4;

selisih kuadrat: 22 - 12 = 3;

jumlah kuadrat: 22 + 12 = 5,

dan kami mendapatkan segitiga 3-4-5 yang terkenal. Jika kita mengambil angka 3 dan 2, kita mendapatkan:

hasil kali ganda: 2 × 3 × 2 = 12;

selisih kuadrat: 32 - 22 = 5;

jumlah kuadrat: 32 + 22 = 13,

dan kita mendapatkan segitiga paling terkenal berikutnya 5 - 12 - 13. Mari kita coba ambil angka 42 dan 23 dan dapatkan:

hasil kali ganda: 2 × 42 × 23 = 1932;

selisih kuadrat: 422 - 232 = 1235;

jumlah kuadrat: 422 + 232 = 2293,

tidak ada seorang pun yang pernah mendengar tentang segitiga 1235–1932–2293.

Namun angka-angka ini juga berfungsi:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Ada ciri lain dari aturan Diophantine yang telah diisyaratkan: setelah menerima tiga bilangan, kita dapat mengambil bilangan sembarang lainnya dan mengalikannya dengan bilangan tersebut. Jadi, segitiga 3–4–5 dapat diubah menjadi segitiga 6–8–10 dengan mengalikan semua sisinya dengan 2, atau menjadi segitiga 15–20–25 dengan mengalikan semuanya dengan 5.

Jika kita beralih ke bahasa aljabar, aturannya berbentuk sebagai berikut: misalkan u, v dan k adalah bilangan asli. Kemudian segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya

2kuv dan k (u2 - v2) memiliki sisi miring

Ada cara lain untuk menyajikan gagasan utama, tetapi semuanya bermuara pada cara yang dijelaskan di atas. Metode ini memungkinkan Anda mendapatkan semua tripel Pythagoras.

Polihedra biasa

Tepatnya ada lima polihedra beraturan. Polihedron beraturan (atau polihedron) adalah bangun datar tiga dimensi dengan jumlah permukaan datar yang terbatas. Wajah-wajah tersebut bertemu satu sama lain pada garis yang disebut tepi; ujung-ujungnya bertemu pada titik-titik yang disebut simpul.

Puncak dari Principia Euclidean adalah pembuktian bahwa hanya ada lima polihedra beraturan, yaitu polihedra yang setiap mukanya merupakan poligon beraturan (sisi sama besar, sudut sama besar), semua mukanya identik, dan semua simpul dikelilingi oleh sama besar. jumlah wajah yang berjarak sama. Berikut lima polihedra beraturan:

tetrahedron dengan empat sisi segitiga, empat simpul dan enam sisi;

kubus, atau segi enam, dengan 6 sisi persegi, 8 simpul dan 12 sisi;

segi delapan dengan 8 sisi segitiga, 6 simpul dan 12 sisi;

dodecahedron dengan 12 sisi pentagonal, 20 simpul dan 30 sisi;

Sebuah ikosahedron dengan 20 sisi segitiga, 12 titik sudut, dan 30 sisi.

// Beras. 37. Lima polihedra beraturan

Polihedra beraturan juga dapat ditemukan di alam. Pada tahun 1904, Ernst Haeckel menerbitkan gambar organisme kecil yang dikenal sebagai radiolaria; banyak di antaranya berbentuk seperti lima polihedra biasa yang sama. Namun mungkin dia sedikit mengoreksi alam, dan gambarnya tidak sepenuhnya mencerminkan bentuk makhluk hidup tertentu. Tiga struktur pertama juga diamati pada kristal. Anda tidak akan menemukan dodecahedron dan ikosahedron dalam kristal, meskipun dodecahedron dan ikosahedron tidak beraturan terkadang ditemukan di sana. Dodecahedron sejati dapat muncul sebagai quasicrystals, yang mirip dengan kristal dalam segala hal kecuali atomnya tidak membentuk kisi periodik.

// Beras. 38. Gambar Haeckel: radiolaria berbentuk polihedra beraturan

// Beras. 39. Perkembangan polihedra beraturan

Sangat menarik untuk membuat model polihedra biasa dari kertas dengan terlebih dahulu memotong sekumpulan permukaan yang saling berhubungan - ini disebut mengembangkan polihedron; perkembangannya dilipat di sepanjang tepinya dan tepi yang sesuai direkatkan. Hal ini berguna untuk menambahkan bantalan lem tambahan ke salah satu rusuk dari masing-masing pasangan tersebut, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 39. Jika tidak ada area seperti itu, Anda dapat menggunakan pita perekat.

Persamaan derajat kelima

Tidak ada rumus aljabar untuk menyelesaikan persamaan derajat 5.

Secara umum persamaan derajat kelima terlihat seperti ini:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Masalahnya adalah menemukan rumus solusi untuk persamaan tersebut (dapat mempunyai hingga lima solusi). Pengalaman dengan persamaan kuadrat dan kubik, serta persamaan derajat keempat, menunjukkan bahwa rumus seperti itu juga harus ada untuk persamaan derajat kelima, dan, secara teori, akar-akar derajat kelima, ketiga dan kedua harus muncul di dalamnya. Sekali lagi, kita dapat berasumsi bahwa rumus seperti itu, jika memang ada, akan sangat, sangat rumit.

Anggapan tersebut pada akhirnya ternyata salah. Faktanya, tidak ada rumus seperti itu; setidaknya tidak ada rumus yang terdiri dari koefisien a, b, c, d, e dan f, dibuat dengan menggunakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pengambilan akar. Jadi ada yang sangat spesial dari angka 5. Alasan perilaku tidak biasa dari kelima orang ini sangat mendalam, dan butuh banyak waktu untuk memahaminya.

Tanda pertama adanya masalah adalah betapa pun kerasnya para matematikawan berusaha menemukan rumus seperti itu, betapa pun pintarnya mereka, mereka selalu gagal. Untuk beberapa waktu, semua orang percaya bahwa alasannya terletak pada kompleksitas formula yang luar biasa. Diyakini bahwa tidak ada seorang pun yang dapat memahami aljabar ini dengan benar. Namun, seiring berjalannya waktu, beberapa ahli matematika mulai meragukan keberadaan rumus seperti itu, dan pada tahun 1823 Niels Hendrik Abel mampu membuktikan sebaliknya. Tidak ada rumus seperti itu. Tak lama kemudian, Évariste Galois menemukan cara untuk menentukan apakah persamaan dengan derajat tertentu—5, 6, 7, apa pun—dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus semacam ini.

Kesimpulan dari semua ini sederhana: angka 5 itu istimewa. Anda dapat menyelesaikan persamaan aljabar (menggunakan akar ke-n untuk nilai n yang berbeda) untuk pangkat 1, 2, 3, dan 4, tetapi tidak untuk pangkat 5. Di sinilah pola yang jelas berakhir.

Tidak ada yang terkejut bahwa persamaan derajat yang lebih besar dari 5 berperilaku lebih buruk; khususnya, kesulitan yang sama dikaitkan dengannya: tidak ada rumus umum untuk menyelesaikannya. Ini tidak berarti bahwa persamaan tersebut tidak memiliki solusi; Ini juga tidak berarti bahwa tidak mungkin menemukan nilai numerik yang sangat tepat untuk solusi ini. Ini semua tentang keterbatasan alat aljabar tradisional. Hal ini mengingatkan kita pada ketidakmungkinan membagi tiga sudut dengan menggunakan penggaris dan kompas. Jawabannya ada, namun metode yang tercantum tidak cukup dan tidak memungkinkan kita untuk menentukan jawabannya.

Keterbatasan kristalografi

Kristal dalam dua dan tiga dimensi tidak memiliki simetri rotasi 5 sinar.

Atom-atom dalam kristal membentuk kisi, yaitu struktur yang berulang secara berkala dalam beberapa arah yang independen. Misalnya, pola pada kertas dinding diulang sepanjang gulungan; selain itu, biasanya diulang dalam arah horizontal, terkadang dengan perpindahan dari satu wallpaper ke wallpaper berikutnya. Intinya, wallpaper adalah kristal dua dimensi.

Ada 17 jenis pola wallpaper pada bidang datar (lihat Bab 17). Mereka berbeda dalam jenis simetrinya, yaitu cara menggerakkan pola secara kaku sehingga terletak tepat pada posisi aslinya. Jenis-jenis simetri khususnya meliputi berbagai varian simetri rotasi, dimana polanya harus diputar dengan sudut tertentu di sekitar titik tertentu - pusat simetri.

Orde simetri putar adalah berapa kali benda dapat diputar satu lingkaran penuh sehingga semua detail pola kembali ke posisi semula. Misalnya, rotasi 90° adalah simetri rotasi orde ke-4*. Daftar kemungkinan jenis simetri rotasi dalam kisi kristal sekali lagi menunjukkan keanehan angka 5: angka itu tidak ada. Ada opsi dengan simetri rotasi orde 2, 3, 4, dan 6, tetapi tidak ada desain wallpaper yang memiliki simetri rotasi orde 5. Simetri rotasi orde lebih besar dari 6 juga tidak ada pada kristal, namun pelanggaran urutan pertama masih terjadi pada bilangan 5.

Hal yang sama terjadi pada sistem kristalografi dalam ruang tiga dimensi. Di sini kisi-kisi tersebut berulang dalam tiga arah yang independen. Ada 219 jenis simetri yang berbeda, atau 230 jika kita menghitung bayangan cermin suatu desain sebagai varian terpisah - meskipun faktanya dalam hal ini tidak ada simetri cermin. Sekali lagi, simetri rotasi orde 2, 3, 4, dan 6 diamati, tetapi tidak 5. Fakta ini disebut kurungan kristalografi.

Dalam ruang empat dimensi, terdapat kisi-kisi dengan simetri orde 5; Secara umum, untuk kisi-kisi berdimensi cukup tinggi, urutan simetri rotasi yang telah ditentukan sebelumnya dimungkinkan.

// Beras. 40. Kisi kristal garam meja. Bola gelap melambangkan atom natrium, bola terang melambangkan atom klor

Kuasikristal

Meskipun simetri rotasi orde 5 tidak mungkin terjadi pada kisi 2D atau 3D, simetri rotasi dapat terjadi pada struktur yang kurang teratur yang dikenal sebagai quasicrystals. Menggunakan sketsa Kepler, Roger Penrose menemukan sistem planar dengan tipe simetri lima kali lipat yang lebih umum. Mereka disebut quasicrystal.

Kuasikristal ada di alam. Pada tahun 1984, Daniel Shechtman menemukan bahwa paduan aluminium dan mangan dapat membentuk quasicrystals; Awalnya, para ahli kristalografi menyambut laporannya dengan sedikit skeptis, namun penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi, dan pada tahun 2011 Shechtman dianugerahi Hadiah Nobel Kimia. Pada tahun 2009, tim ilmuwan yang dipimpin oleh Luca Bindi menemukan quasicrystals dalam mineral dari Dataran Tinggi Koryak Rusia - senyawa aluminium, tembaga, dan besi. Saat ini mineral ini disebut ikosahedrit. Dengan mengukur kandungan berbagai isotop oksigen dalam mineral tersebut menggunakan spektrometer massa, para ilmuwan menunjukkan bahwa mineral ini tidak berasal dari Bumi. Ia terbentuk sekitar 4,5 miliar tahun yang lalu, saat tata surya baru saja terbentuk, dan menghabiskan sebagian besar waktunya di sabuk asteroid, mengorbit Matahari, hingga suatu gangguan mengubah orbitnya dan akhirnya membawanya ke Bumi.

// Beras. 41. Kiri: salah satu dari dua kisi kuasikristalin dengan simetri lima kali lipat. Kanan: Model atom dari quasicrystal aluminium-paladium-mangan ikosahedral