www.situs memungkinkan Anda menemukan. Situs melakukan perhitungan. Dalam beberapa detik server akan mengeluarkan keputusan yang tepat. Persamaan karakteristik matriks akan ekspresi aljabar, ditemukan oleh aturan untuk menghitung determinan matriks matriks, sedangkan sepanjang diagonal utama akan terdapat perbedaan nilai elemen diagonal dan variabelnya. Saat menghitung persamaan karakteristik untuk matriks online, setiap elemen matriks akan dikalikan dengan elemen lain yang bersesuaian matriks. Temukan dalam mode on line hanya mungkin untuk persegi matriks. Menemukan operasi persamaan karakteristik untuk matriks online turun ke perhitungan jumlah aljabar produk elemen matriks sebagai hasil menemukan determinannya matriks, hanya untuk tujuan menentukan persamaan karakteristik untuk matriks online. Operasi ini dibutuhkan tempat khusus secara teori matriks, memungkinkan Anda menemukan nilai eigen dan vektor menggunakan akar. Tugas menemukan persamaan karakteristik untuk matriks online terdiri dari perkalian elemen matriks diikuti dengan menjumlahkan hasil kali tersebut aturan tertentu. www.situs menemukan persamaan karakteristik matriks dimensi tertentu dalam mode on line. Perhitungan persamaan karakteristik untuk matriks online mengingat dimensinya, ini adalah mencari polinomial dengan koefisien numerik atau simbolik, yang ditemukan menurut aturan untuk menghitung determinan matriks- sebagai jumlah produk dari elemen-elemen yang bersesuaian matriks, hanya untuk tujuan menentukan persamaan karakteristik untuk matriks online. Menemukan polinomial terhadap variabel untuk kuadrat matriks, sebagai definisi persamaan karakteristik matriks, umum dalam teori matriks. Arti akar-akar polinomial persamaan karakteristik untuk matriks online digunakan untuk menentukan vektor eigen dan nilai eigen Untuk matriks. Apalagi jika determinannya matriks akan sama dengan nol, maka persamaan karakteristik matriks akan tetap ada, tidak seperti sebaliknya matriks. Untuk menghitung persamaan karakteristik matriks atau temukan beberapa sekaligus persamaan karakteristik matriks, Anda perlu menghabiskan banyak waktu dan tenaga, sementara server kami akan menemukannya dalam hitungan detik persamaan karakteristik matriks online. Dalam hal ini, jawabannya adalah temuan persamaan karakteristik untuk matriks online akan benar dan dengan akurasi yang cukup, bahkan jika angkanya ditemukan persamaan karakteristik untuk matriks online akan menjadi tidak rasional. Di situs web www.situs entri karakter diperbolehkan dalam elemen matriks, itu persamaan karakteristik matriks online dapat direpresentasikan dalam bentuk simbolik umum saat menghitung persamaan karakteristik matriks online. Berguna untuk memeriksa jawaban yang diperoleh ketika memecahkan masalah penemuan persamaan karakteristik untuk matriks online menggunakan situs www.situs. Saat melakukan operasi penghitungan polinomial - persamaan karakteristik matriks, Anda harus berhati-hati dan sangat fokus saat menyelesaikan masalah ini. Pada gilirannya, situs kami akan membantu Anda memeriksa keputusan Anda mengenai topik tersebut persamaan karakteristik matriks online. Jika Anda tidak punya waktu untuk memeriksa masalah yang terpecahkan dalam waktu lama, maka www.situs tentu akan menjadi alat yang mudah digunakan untuk memeriksa saat mencari dan menghitung persamaan karakteristik untuk matriks online.
Definisi
Untuk matriks tertentu , , dimana E- matriks identitas adalah polinomial di , yang disebut polinomial karakteristik matriks A(terkadang juga disebut “persamaan sekuler”).
Nilai polinomial karakteristiknya adalah nilai eigen matriks adalah akarnya. Memang, jika persamaan tersebut memiliki solusi bukan nol, maka matriksnya berbentuk tunggal dan determinannya sama dengan nol.
Definisi terkait
Properti
.Tautan
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Matematika yang lebih tinggi. Aljabar linier. - Universitas Energi Negeri Ivanovo.
Yayasan Wikimedia.
- 2010.
- Kurva referensi
Harald III (Raja Norwegia)
Lihat apa itu “Polinomial karakteristik suatu matriks” di kamus lain: Polinomial karakteristik - Dalam matematika, polinomial karakteristik dapat berarti: polinomial karakteristik suatu matriks, polinomial karakteristik suatu barisan berulang linier, polinomial karakteristik suatu barisan biasa persamaan diferensial
.… … Wikipedia POLINOMI KARAKTERISTIK - matriks di atas bidang K polinomial di atas bidang K Derajat X. m sama dengan orde matriks persegi A, koefisien b1 sama dengan jejak matriks (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koefisien b t sama dengan jumlahnya semua minor mayor orde ke-th, khususnya bn=detA...
Ensiklopedia Matematika Polinomial matriks minimum - Istilah ini memiliki arti lain, lihat Polinomial minimum. Polinomial matriks minimum memusnahkan polinomial kesatuan gelar minimal
. Properti Polinomial minimal membagi polinomial karakteristik matriks... ... Wikipedia Matriks Lambda
- Artikel utama: Fungsi matriks Matriks Lambda (matriks λ, matriks polinomial) adalah matriks persegi yang elemen-elemennya polinomial pada bidang bilangan tertentu. Jika ada elemen matriks yang polinomial... Wikipedia SPEKTRUM MATRIKS semua minor mayor orde ke-th, khususnya bn=detA...
- himpunan nilai eigennya. Lihat juga Polinomial karakteristik suatu matriks...- Ditunjukkan dengan warna merah vektor eigen. Berbeda dengan vektor biru, ia tidak berubah arah dan panjangnya selama deformasi, oleh karena itu ia merupakan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen = 1. Vektor apa pun yang sejajar dengan vektor merah... ... Wikipedia
Matriks serupa- Matriks persegi A dan B yang berorde sama disebut sebangun jika terdapat matriks tak tunggal P yang berorde sama sedemikian rupa sehingga: Matriks-matriks yang serupa diperoleh dengan menspesifikasikan matriks yang sama transformasi linier matriks di berbeda... ... Wikipedia
Matriks karakteristik
Persamaan karakteristik- Polinomial karakteristik adalah polinomial yang menentukan nilai eigen suatu matriks. Arti lain: Polinomial karakteristik dari suatu pengulangan linier adalah polinomial. Isi 1 Definisi ... Wikipedia
teorema Hamilton- Teorema Hamilton Cayley teorema terkenal dari teori matriks, dinamai William Hamilton dan Arthur Cayley. Teorema Hamilton Cayley Setiap matriks persegi memenuhi persamaan karakteristiknya. Jika... Wikipedia
Membiarkan A- matriks persegi nyata atau kompleks orde ke-n. Matriks
dengan variabel A, yang menerima apa saja nilai numerik, ditelepon matriks karakteristik matriks A. Penentunya
mewakili polinomial dalam variabel derajat A P. Polinomial ini disebut polinomial karakteristik matriks A.
Fakta bahwa polinomial karakteristik sebenarnya adalah polinomial dalam variabel A mengikuti langsung definisi determinan. Gelar tertinggi, sama dengan n, di antara semua suku determinan A - E memiliki produknya
Suku-suku determinan yang tersisa tidak mengandung paling sedikit dua elemen matriks A- A E dengan variabel A dan karena itu mempunyai derajat tidak lebih tinggi P - 2. Oleh karena itu, derajat polinomialnya sama dengan P. Perhatikan bahwa hasil kali (5.9) tidak hanya menentukan derajat polinomial karakteristik, tetapi juga dua sukunya dengan pangkat lebih tinggi
Suku bebas dari polinomial karakteristik bertepatan dengan nilainya di A = 0 dan sama dengan |A - A E= |L|, yaitu determinan matriks A.
Jadi polinomial karakteristik matriks tersebut A memesan N memiliki bentuk (lihat, hal.83 dan, hal.55):
Di mana Pk- jumlah minor utama matriks orde A> A, secara khusus, pi= ac + «22 + - - +ftnn - jumlah elemen diagonal utama matriks A, disebut jejak matriks ini dan dilambangkan dengan Sp A, hal- determinan |L| matriks A.
Akar polinomial karakteristik |A - DIA ditelepon akar yang khas atau nomor karakteristik matriks A. Keserbaragaman ke g akar karakteristik A* dalam polinomial karakteristik disebut multiplisitas aljabar akar ini. Banyak dari semua orang akar yang khas matriks yang setiap akar karakteristiknya diulang sebanyak yang disebut multiplisitasnya spektrum matriks A. Jika semua akar karakteristik suatu matriks sederhana (yaitu memiliki multiplisitas satuan), maka spektrum matriks tersebut disebut sederhana.
Sesuai dengan rumus Vieta, koefisien polinomial karakteristik berhubungan dengan akar karakteristik sebagai berikut:
Dari rumus-rumus ini, khususnya, berikut relasi yang sering digunakan
Menurut persamaan terakhir, polinomial karakteristik suatu matriks mempunyai akar karakteristik nol jika dan hanya jika determinan matriks tersebut sama dengan nol, yaitu. ketika matriksnya tunggal.
Contoh 5.5. Hitung polinomial karakteristik suatu matriks
Larutan. Sesuai dengan definisi polinomial karakteristik, kita peroleh:
Jika kita menggunakan rumus (5.10), kita cari dulu
dan kemudian menulis
Untuk cara menghitung polinomial karakteristik, lihat lampiran di akhir buku.
Teorema 5.7.Polinomial karakteristik matriks tersebut adalah sama.
> Jika matriks A Dan DI DALAM serupa, maka untuk beberapa matriks non-tunggal Q kesetaraan berlaku DI DALAM = Q~ aku AQ. Karena itu,
Untuk polinomial sewenang-wenang
alih-alih variabel L, Anda dapat mengganti matriks persegi A memesan P. Hasilnya, kami mendapatkan matriks P(A) = di A p + a A p ~ 1 --
T----+ dan _ 1 A + ap E, yang disebut nilai polinomial P( aku)
di L = A. Jika untuk matriks tertentu A kesetaraan adalah benar P(A)= O (nilai polinomial P( A) dengan L = A adalah matriks nol), maka A ditelepon matriks, akar polinomial P( A), dan polinomial P(A) itu sendiri adalah polinomial yang dimusnahkan oleh matriks A.
Teorema 5.8. Setiap matriks persegi adalah akar dari suatu polinomial bukan nol.
> Himpunan semua matriks orde persegi N dengan unsur-unsur dari lapangan R ada ruang linier di atasnya R ukuran n 2. Dalam hal ini ruang linier sistem apa pun di mana setidaknya n 2 Elemen +1 bergantung linier. Oleh karena itu, sistem hal , hal -1 , ..., A, E dari hal 2 + 1 matriks bergantung linier, mis. ada sekumpulan angka seperti itu ao, dari, ..., sebuah hal 2 , yang sekaligus tidak hilang, sehingga terjadi kesetaraan
Persamaan ini berarti matriks A adalah akar polinomial
Teorema yang dibuktikan sebenarnya mengikuti pernyataan berikut.
Teorema 5.9 (Teorema Hamilton - Kaley).
Setiap matriks persegi adalah akar dari polinomial karakteristiknya.
Sebelum membuktikan teorema ini, mari kita perkenalkan konsepnya matriks X- matriks yang elemen-elemennya berupa polinomial dalam variabel A. Setiap matriks A dapat direpresentasikan sebagai polinomial dalam variabel A, yang koefisiennya merupakan matriks persegi dengan orde yang sesuai. Misalnya,
> Biarkan A- matriks persegi orde ke-n. Pertimbangkan matriks adjoin DENGAN ke matriks A - E. Unsur-unsurnya adalah penjumlahan aljabar unsur determinan | A - E|, yang merupakan polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari P- 1. Seperti disebutkan di atas, matriks DENGAN dapat direpresentasikan dalam bentuk
dimana Ci, C2, ..., C p - beberapa matriks numerik. Berdasarkan sifat utama matriks adjoint (lihat Bagian 3.S, Akibat Akibat 3.2) kita mempunyai:
Dalam persamaan ini, kita mengganti matriks C dengan jumlah (5.11), dan polinomial karakteristik dengan jumlah (5.10). Kemudian kita mendapatkan kesetaraan
Membuka tanda kurung pada kedua ruas persamaan dan menyamakan koefisiennya derajat yang sama L, kita memperoleh sistem dari N+ 1 persamaan: 
Mari kita kalikan persamaan pertama sistem dengan Sebuah hal, yang kedua - di L p_1, dll., tidak kesetaraan - aktif A, (hal+ 1)persamaan - aktif A° = E:
Saat menambahkan persamaan ini di sisi kiri kita mendapatkan matriks nol, dan di sisi kanan kita mendapatkan ekspresi
Itu sebabnya f(A) = 0. ?
5.6. Polinomial karakteristik dan minimal
Polinomial 92(A) dengan derajat minimal, mempunyai koefisien terdepan sama dengan satu dan dimusnahkan oleh matriks A, ditelepon polinomial minimal matriks ini.
Dalil 5 . 10 . Setiap polinomial yang dihilangkan oleh matriks A habis dibagi seluruhnya oleh polinomial minimal matriks tersebut. Secara khusus, polinomial karakteristik suatu matriks dibagi dengan polinomial minimalnya.
O Bagi polinomialnya P( A) ke polinomial minimal 9?(A) dengan sisa: P( A) = 99(A) g(A) + g(A), dengan polinomial g(A) mempunyai derajat lebih kecil dari derajat 92(A). Mengganti variabel A dengan matriks A, kita mendapatkan:
Karena P(A)= hal(A) = 0 , Kemudian G (A) = 0 . Namun persamaan ini hanya mungkin jika polinomialnya g (A) batal. Jika tidak, akan timbul kontradiksi dengan definisi polinomial minimal. Persamaan G = 0 berarti polinomial P( A) habis dibagi 92(A). ?
Konsekuensi 5 .1 . Setiap akar dari polinomial minimal suatu matriks adalah akar dari polinomial karakteristiknya.
O Sebagaimana dibuktikan dalam pembuktian teorema, polinomial karakteristik /(A) berhubungan dengan polinomial minimal 92(A) dengan persamaan /(A) = 99(A) Q(). Pernyataan akibat wajar mengikuti persamaan ini. ?
Mari kita perhatikan beberapa hal lagi fakta yang berguna(cm.[ 7 ], Dengan. 100 ).
Polinomial karakteristik | A - DIA matriks A dan polinomial minimalnya 92(A) dihubungkan dengan relasi
Di mana Dan- 1 - terbesar pembagi persekutuan semua anak di bawah umur matriks A - A E, memiliki (n - 1 ) pesanan.
Akar-akar polinomial minimal 92(A) merupakan akar-akar berbeda dari polinomial karakteristik | A- A E dan kalau
di mana 1^ hal ke ^ t k: k = 1,2
Rumus (5.12) memungkinkan Anda mencari polinomial minimum suatu matriks. Cara lain untuk membuat polinomial matriks minimal dibahas di bawah (lihat Bagian 6.5).
Contoh 5.6. Temukan polinomial minimum suatu matriks
Larutan. Pada contoh sebelumnya untuk matriks A polinomial karakteristik ditemukan A - E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Umum pembagi terbesar D2 semua minor orde kedua dari matriks tersebut
sama dengan satu, karena masih di bawah umur
saling sederhana. Itu sebabnya
Contoh 5.7. Temukan karakteristik dan polinomial minimal dari matriks
Solusi: Untuk matriks A perhitungan langsung dari determinan kita menemukan polinomial karakteristik
Mari kita tuliskan semua minor dari matriks orde kedua A - A E:
Pembagi terbesar bersama D2 dari semua minor ini ada A - 4. Oleh karena itu, polinomial minimal dari matriks tersebut A memiliki bentuk:
Perhatikan itu D2 dapat ditemukan secara berbeda. Memang kalau di matriks A - E substitusikan A = 4, kita peroleh matriksnya
pangkat G - 1. Oleh karena itu, semua minor orde kedua dari matriks ini sama dengan nol. Ini berarti semua minor orde kedua dari matriks tersebut A - L E habis dibagi A - 4, dan semua anak di bawah umur ini tidak habis dibagi derajat yang lebih besar binomial A - 4, karena, misalnya, minor
hanya habis dibagi pangkat pertama binomial tersebut. Akibatnya, ?>2 memasukkan faktor A -4 pangkat pertama. Pengganda lainnya dari | A - A?^1 tidak termasuk dalam?>2, karena, misalnya, minor orde kedua yang baru saja ditulis tidak habis dibagi. Oleh karena itu Dg = A - 4.
Untuk matriks A2 Selain itu, dengan menghitung determinan secara langsung, kita menemukan polinomial karakteristik
anak di bawah umur urutan kedua
saling sederhana. Itu sebabnya D2 = 1 dan
Contoh yang diberikan menunjukkan hal itu matriks yang berbeda mungkin memiliki karakteristik yang sama tetapi polinomial minimalnya berbeda.
Mengingat bahwa matriks-matriks dari suatu operator linier tertentu pada basis-basis yang berbeda adalah serupa dan mempunyai polinomial karakteristik yang sama, maka logis untuk menyebut polinomial ini polinomial karakteristik dari operator linier, dan akarnya adalah akar karakteristik dari operator linier.
Perhatikan juga bahwa matriks ditransposisikan PADA memiliki persamaan dengan matriks A polinomial karakteristik dan bilangan karakteristik.
Vektor eigen dan nilai eigen dari operator linier
Misalkan A adalah operator linear dari . Nomor tersebut dipanggil nilai eigen operator A, jika ada vektor bukan nol sehingga A . Dalam hal ini vektor disebut vektor eigen operator A, sesuai dengan nilainya sendiri. Himpunan semua nilai eigen dari operator linier A disebut nya spektrum.
Penentu operator linier Dan detA disebut det A, di mana A adalah matriks operator linier A dalam basis apa pun. Relatif polinomial aku ditelepon polinomial karakteristik operator A. Itu tidak tergantung pada pilihan dasar.
Persamaan
ditelepon ciri(atau berusia berabad-abad) persamaan operator A.
Agar nomornya aku adalah nilai eigen dari operator A, maka bilangan tersebut perlu dan cukup menjadi akar persamaan karakteristik (7.7) dari operator A.
Untuk identik operator Semua vektor ruang bukan nol adalah vektor eigen (dengan nilai eigen, sama dengan satu). Untuk nol operator Semua vektor ruang bukan nol adalah vektor eigen (dengan nilai eigen, sama dengan nol). Bentuk paling sederhana diambil oleh matriks operator linier yang memiliki N vektor bebas linier.
Teorema 7.2. Agar matriksnyaAoperator linier A adalah diagonal pada basis, maka vektor basis perlu dan cukup menjadi vektor eigen dari operator ini.
Namun, tidak semua operator linier masuk N-dimensi ruang vektor memiliki N vektor eigen bebas linier. Basis vektor eigen biasanya disebut “eigenbasis”. Biarkan nilai eigennya 
operator linier A berbeda. Maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier. Akibatnya, ada “dasar sendiri” dalam kasus ini.
Jadi, jika polinomial karakteristik dari operator linier A memiliki N akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks A operator A mempunyai bentuk diagonal.
Saat mencari vektor eigen dari transformasi linier, harus diingat bahwa vektor tersebut ditentukan hingga faktor arbitrer, yaitu. jika suatu vektor merupakan vektor eigen, maka vektor tersebut juga merupakan vektor eigen. Dengan demikian, arah yang tepat atau garis lurus yang tepat sebenarnya ditentukan, yang tetap tidak berubah pada transformasi linier tertentu.
Polinomial karakteristik
didefinisikan untuk matriks persegi sembarang sebagai 1) 
, dimana adalah matriks identitas yang berorde sama.
Contoh. Untuk :
Dalil.
Secara kiasan, koefisien at diperoleh dengan menjumlahkan semua minor matriks orde ke-th, yang dibangun di atas elemen-elemen diagonal utamanya.
