Penerapan instrumen keuangan dalam organisasi kompleks agroindustri. Shishkin V., Kudryavtseva G.

Saat mempelajari masalah nilai batas nonlinier yang menggambarkan proses pencemaran dan rekreasi lingkungan, yang mencerminkan, bersama dengan difusi, adsorpsi, dan reaksi kimia, masalah tipe Stefan dengan batas bebas dan sumber yang sangat bergantung pada bidang konsentrasi yang diinginkan adalah yang khusus. minat.

Masalah nonlinier dengan batas bebas dalam masalah lingkungan memungkinkan untuk menggambarkan lokalisasi proses pencemaran lingkungan (rekreasi) yang sebenarnya diamati. Ketidaklinieran di sini disebabkan oleh ketergantungan tensor difusi turbulen K dan limbah polusi / pada konsentrasi c. Dalam kasus pertama, lokalisasi spasial dicapai karena degenerasi, ketika pada c = O dan K = 0. Namun, hal ini hanya terjadi pada waktu tertentu r dan tidak ada pada z.

Evolusi proses difusi dengan reaksi, stabil hingga keadaan stasioner terbatas dengan lokalisasi spasial yang jelas, dapat dijelaskan dengan model matematika dengan ketergantungan khusus pada sink /(c). Yang terakhir memodelkan konsumsi materi akibat reaksi kimia dalam urutan pecahan, ketika /(c) = . Dalam hal ini, terlepas dari degenerasi koefisien difusi, terdapat lokalisasi spatiotemporal dari gangguan difusi medium. Pada setiap saat /, gangguan difusi lokal menempati wilayah tertentu 0(7), dibatasi terlebih dahulu oleh permukaan bebas yang sebelumnya tidak diketahui Г(7). Medan konsentrasi c(p, /) dalam hal ini adalah gelombang difusi dengan muka Г(/), merambat melalui medium tidak terganggu, dimana c = O.

Sangat wajar jika efek kualitatif ini hanya dapat diperoleh berdasarkan pendekatan nonlinier dalam memodelkan proses reaksi.

Namun, pendekatan ini dikaitkan dengan kesulitan matematika yang signifikan ketika mempelajari masalah nonlinier dengan batas bebas yang muncul di sini, ketika sepasang fungsi harus ditentukan - bidang konsentrasi c(p,t) dan batas bebas Г(/) = ( (p,t): c(p ,t) = O). Masalah-masalah seperti itu, sebagaimana telah disebutkan, termasuk dalam masalah fisika matematika yang lebih kompleks dan jarang dipelajari.

Lebih sedikit penelitian yang telah dilakukan untuk masalah nilai batas dengan batas bebas karena kompleksitasnya, yang terkait dengan nonliniernya dan fakta bahwa masalah tersebut memerlukan spesifikasi apriori dari karakteristik topologi bidang yang dicari. Di antara karya-karya yang mempertimbangkan pemecahan masalah tersebut, perlu diperhatikan karya-karya A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, dll. Dengan beberapa batasan pada fungsi yang diberikan dalam karya A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina membuktikan teorema eksistensi dan keunikan untuk penyelesaian masalah nilai batas dengan batas bebas persamaan kalor.

Yang tidak kalah pentingnya adalah pengembangan metode yang efektif untuk perkiraan solusi masalah kelas ini, yang akan memungkinkan untuk menetapkan ketergantungan fungsional dari parameter utama proses pada data masukan, sehingga memungkinkan untuk menghitung dan memprediksi evolusi proses. sedang dipertimbangkan.

Karena pesatnya kemajuan teknologi komputer, metode numerik yang efektif untuk memecahkan masalah tersebut semakin dikembangkan. Ini termasuk metode garis lurus, metode proyeksi-grid, yang dikembangkan dalam karya G.I. Marchuk, V.I. Baru-baru ini, metode medan tetap telah berhasil digunakan, ide utamanya adalah bahwa batas bergerak adalah tetap dan bagian dari kondisi batas yang diketahui ditetapkan padanya, masalah nilai batas yang dihasilkan diselesaikan, dan kemudian, dengan menggunakan kondisi batas yang tersisa dan solusi yang dihasilkan, ditemukan posisi baru yang lebih akurat batas bebas, dll. Masalah menemukan batas bebas direduksi menjadi solusi selanjutnya dari sejumlah masalah nilai batas klasik untuk persamaan diferensial biasa.

Karena masalah dengan batas bebas belum sepenuhnya dipelajari, dan solusinya penuh dengan kesulitan yang signifikan, penelitian dan solusinya memerlukan keterlibatan ide-ide baru, penggunaan seluruh gudang metode konstruktif analisis nonlinier, pencapaian modern fisika matematika, matematika komputasi dan kemampuan teknologi komputasi modern. Secara teoritis, pertanyaan tentang keberadaan, keunikan, kepositifan, stabilisasi, dan lokalisasi solusi spatiotemporal tetap relevan untuk masalah-masalah tersebut.

Pekerjaan disertasi dikhususkan untuk perumusan masalah baru dengan batas bebas yang memodelkan proses transportasi dan difusi dengan reaksi zat pencemar dalam masalah lingkungan, penelitian kualitatifnya dan, terutama, pengembangan metode konstruktif untuk membangun solusi perkiraan untuk masalah tersebut. masalah.

Bab pertama memberikan gambaran umum masalah difusi pada media aktif, yaitu media yang efluennya sangat bergantung pada konsentrasi. Pembatasan aliran berbasis fisik ditunjukkan, di mana masalahnya direduksi menjadi masalah berikut dengan batas bebas untuk persamaan parabola kuasilinear: с, = div(K(p, t, с) grade) - div(cu) - f ( с)+ w di Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) dalam cm c)grade, n)+ac = accp di S(t), c)gradc,n) = 0 pada Г if) , dengan K(p,t,c) adalah tensor difusi turbulen; ü adalah vektor kecepatan medium, c(p,t) adalah konsentrasi medium.

Perhatian yang cukup besar pada bab pertama diberikan pada perumusan masalah nilai batas awal untuk permukaan tingkat konsentrasi dalam kasus proses difusi terarah, ketika terdapat korespondensi satu-satu antara konsentrasi dan salah satu koordinat spasial. Ketergantungan monotonik c(x,y,z,t) pada z memungkinkan kita untuk mengubah persamaan diferensial, kondisi awal dan batas masalah bidang konsentrasi menjadi persamaan diferensial dan kondisi tambahan yang sesuai untuk bidang konsentrasinya. permukaan rata - z = z(x,y,c, t). Hal ini dicapai dengan mendiferensiasikan fungsi invers, menyelesaikan persamaan permukaan yang diketahui S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) dan membaca kembali identitasnya dengan(x ,y,zs, t)=c(x,y,t). Persamaan diferensial (1) untuk c kemudian diubah menjadi persamaan untuk z- Az=zt-f (c)zc, dimana

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz

Ketika berpindah dari variabel bebas x, y, z ke variabel bebas x>y, c, daerah fisik Q(i) diubah menjadi daerah nonfisik Qc(/), dibatasi oleh bagian bidang c = 0, yang dilewati oleh permukaan bebas Г, dan dalam kasus umum, permukaan bebas yang tidak diketahui c=c(x,y,t), yang dilalui oleh permukaan yang diketahui S(t).

Berbeda dengan operator divKgrad ■ pada soal langsung, operator A pada soal invers pada dasarnya bersifat nonlinier. Tesis ini membuktikan kepositifan bentuk kuadrat e+rf+yf-latf-lßrt yang sesuai dengan operator A, dan dengan demikian menetapkan eliptisitasnya, yang memungkinkan kita untuk mempertimbangkan rumusan masalah nilai batasnya. Dengan mengintegrasikan per bagian, kami memperoleh analogi rumus pertama Green untuk operator A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Kita pertimbangkan masalah dengan batas bebas untuk bidang konsentrasi c = c(x,y,z,1), ketika kondisi Dirichlet div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 ditentukan pada permukaan (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0.s = 0, K- = 0, dp

Dalam hal ini, transisi relatif terhadap permukaan datar r = r(x,y,c^) memungkinkan kita menghilangkan permukaan bebas c=c(x,y,?), karena permukaan tersebut sepenuhnya ditentukan oleh Dirichlet kondisi c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- Akibatnya, masalah nilai batas awal berikut untuk operator parabola nonlinier kuat^ - - dalam waktu- domain yang bervariasi tetapi sudah diketahui C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t )=-co, x,y&D(t), t> 0.

Di sini kita juga mempelajari pertanyaan tentang keunikan solusi masalah (3). Berdasarkan analogi yang diperoleh dari rumus pertama Green untuk operator A, dengan mempertimbangkan kondisi batas setelah transformasi dasar tetapi agak rumit menggunakan pertidaksamaan Young, monotonisitas operator A pada solusi masalah zx dan z2 ditetapkan.

Ar2 - Ar1)(r2 -)(bcc1us1c< 0 . (4)

Sebaliknya dengan menggunakan persamaan diferensial, batas dan kondisi awal ditunjukkan bahwa

Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan teorema keunikan penyelesaian masalah Dirichlet untuk permukaan tingkat konsentrasi c(x,y,t)

Teorema 1. Jika fungsi sumber w adalah konstanta, fungsi wastafel f(c) meningkat secara monoton dan /(0) = 0, maka solusi permasalahan Dirichlet (2) untuk permukaan datar adalah positif dan unik.

Paragraf ketiga bab pertama membahas efek kualitatif dari proses difusi yang disertai adsorpsi dan reaksi kimia. Efek-efek ini tidak dapat dijelaskan berdasarkan teori linier. Jika yang terakhir kecepatan rambatnya tidak terbatas dan dengan demikian tidak ada lokalisasi spasial, maka model difusi nonlinier dengan reaksi yang dipertimbangkan, dengan ketergantungan fungsional dari koefisien difusi turbulen K dan densitas limbah (kinetika reaksi kimia) ) / pada konsentrasi c yang ditetapkan dalam penelitian ini, memungkinkan untuk menggambarkan efek yang sebenarnya diamati dari kecepatan propagasi yang terbatas , lokalisasi spasial dan stabilisasi polutan dalam waktu yang terbatas (rekreasi). Pekerjaan tersebut menetapkan bahwa efek yang tercantum dapat dijelaskan menggunakan model yang diusulkan jika ada integral tak wajar dengan w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Soal stasioner dalam bentuk bebas koordinat mempunyai bentuk div(K(c)grade) = f(c) dalam Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 pada 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grade,п) = 0 pada Г s (с = 0) = dQ. PD,

JJJ/(c)dv + cds = q. sebagai

Dalam semi-lingkungan dengan eQ titik Pe Г, transisi ke bentuk notasi semi-koordinat memungkinkan diperolehnya masalah Cauchy drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) di co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

OT] dimana m] adalah koordinat yang diukur sepanjang garis normal ke Γ di titik P, dan dua koordinat Kartesius lainnya m1, m2 terletak pada bidang singgung ke Γ di titik P. Karena pada co kita dapat berasumsi bahwa c(m1, m2 , g/) bergantung lemah pada koordinat tangensial yaitu c(tx, t2,1]) = c(t]), maka untuk menentukan c(t]) dari (8) soal Cauchy drj drj f(c ), TJ mengikuti< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

Solusi yang tepat untuk masalah tersebut telah diperoleh (9)

77(s)= ulangi 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Teorema 2. Kondisi yang diperlukan untuk adanya solusi terlokalisasi secara spasial terhadap masalah nonlokal dengan batas bebas yang dipertimbangkan adalah adanya integral tak wajar (b).

Selain itu, telah dibuktikan bahwa kondisi (6) perlu dan cukup 1 untuk adanya solusi terlokalisasi secara spasial untuk masalah stasioner satu dimensi berikut dengan batas bebas r(c), 0

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g yaitu terjadi

Teorema 3. Jika fungsi /(c) memenuhi kondisi f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 solusi positif terhadap masalah nilai batas nonlokal (11) ada dan unik.

Di sini kami juga mempertimbangkan isu-isu rekreasi lingkungan dalam waktu terbatas yang sangat penting untuk praktik. Dalam karya V.V. Kalashnikov dan A.A. Samarsky, dengan menggunakan teorema perbandingan, masalah ini direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan diferensial -< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

Pada saat yang sama, untuk waktu rekreasi perkiraan w

T<]. ск х)

Berbeda dengan pendekatan-pendekatan ini, tesis ini berupaya untuk mendapatkan perkiraan yang lebih akurat yang akan memperhitungkan distribusi awal konsentrasi co (x) dan pembawanya “(0). Untuk tujuan ini, dengan menggunakan perkiraan apriori yang diperoleh dalam pekerjaan, pertidaksamaan diferensial ditemukan untuk norma kuadrat dari solusi Ж

13) yang kemudian menjadi perkiraan yang lebih akurat untuk T t<

1+ /?>(())] dengan c adalah akar persamaan

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Bab kedua dikhususkan untuk pemodelan proses transfer dan difusi pengotor pasif dalam media berlapis. Titik awalnya di sini adalah soal (1) dengan /(c) = 0 dan kondisi batas Dirichlet atau kondisi nonlokal c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0( hal) dalam 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 pada atau = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 pada Г(Г ).

Masalah satu dimensi difusi turbulen dipertimbangkan dengan mempertimbangkan ketergantungan koefisien difusi pada skala, waktu dan konsentrasi. Mereka mewakili masalah lokal dan nonlokal untuk persamaan ds kuasilinear

1 dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) dimana K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; Birkhoff dalam bentuk c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,

17) dimana fungsi dan parameter p ditentukan pada proses pemisahan variabel pada (16). Hasilnya, persamaan diferensial biasa diperoleh untuk B(t]) di] dan representasinya

n+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, oh

Untuk dua nilai konstanta sembarang C( - C, = dan

С1 = ^Ур persamaan (18) memungkinkan solusi eksak bergantung pada satu konstanta sembarang. Yang terakhir ini dapat ditentukan dengan memenuhi persyaratan tambahan tertentu. Dalam kasus kondisi batas Dirichlet c(0,0 = B0[f^)]"n/p (20), solusi lokal spasial yang tepat diperoleh dalam kasus k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, dan solusi eksak non-lokal dalam kasus k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Di sini f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

Untuk k -» 0, dari penyelesaian yang diperoleh berikut penyelesaian permasalahan linier c(r,0 = VySht-t) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, yang mana, untuk f(1) = 1 dan m = 0, diubah menjadi solusi fundamental persamaan difusi.

Solusi eksak juga diperoleh dalam kasus sumber terkonsentrasi yang bekerja seketika atau permanen, ketika kondisi batas nonlokal tambahan berbentuk

23) dimana o)n adalah luas satuan bola (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

Solusi eksak yang ditemukan untuk k >0 dalam bentuk (21) mewakili gelombang difusi yang merambat melalui media tidak terganggu dengan kecepatan terbatas. Di k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Masalah difusi dari titik kerja konstan dan sumber linier dalam medium bergerak dipertimbangkan ketika persamaan kuasi-linier digunakan untuk menentukan konsentrasi.

Vdivc = -^S(r),

24) dimana K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) adalah fungsi delta Dirac, O adalah pangkat sumber. Penafsiran koordinat x sebagai waktu/ juga memungkinkan diperolehnya solusi parsial eksak terhadap permasalahan nonlokal berbentuk (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1

2С2 (2 + 2к)К0 k

Solusi (25) pada prinsipnya memungkinkan untuk menggambarkan lokalisasi spasial dari gangguan difusi. Dalam hal ini, bagian depan gelombang difusi ditentukan, memisahkan daerah dengan konsentrasi nol dan bukan nol. Untuk k -» 0, ini menyiratkan solusi Roberts yang terkenal, namun tidak memungkinkan seseorang untuk menggambarkan lokalisasi spasial.

Bab ketiga disertasi dikhususkan untuk mempelajari masalah khusus difusi dengan reaksi dalam lingkungan udara bertingkat, yaitu masalah satu dimensi berikut dengan batas bebas uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, mereka = 0, x = s(t), t > 0.

Implementasi masalah (26) secara numerik-analitis dilakukan berdasarkan metode Rothe, yang memungkinkan diperoleh perkiraan masalah tujuh digit berikut dalam bentuk sistem masalah nilai batas untuk persamaan diferensial biasa dengan terhadap nilai perkiraan u(x) = u(x,1k), dan 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Penyelesaian (27) direduksi menjadi persamaan integral nonlinier tipe Volterra dan persamaan nonlinier untuk x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V aku/g aku/g

0 < X < 5, к(р.

Untuk perhitungan numerik, penyelesaian sistem (28) menggunakan pendekatan dimensi hingga direduksi menjadi mencari solusi sistem persamaan aljabar nonlinier terhadap nilai nodal dan. = kamu(x)) dan saya-.

Masalah batas bebas dalam masalah pencemaran dan pemurnian diri atmosfer oleh sumber-sumber titik juga dipertimbangkan di sini. Dengan tidak adanya permukaan penyerap 5(0 (ikat&3 = 0) dalam kasus sumber polusi datar, silinder atau titik, ketika konsentrasi bergantung pada satu koordinat spasial - jarak ke sumber dan waktu, yang paling sederhana satu dimensi diperoleh masalah nonlokal dengan batas bebas

-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; Ah

1 Saya bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

Konstruksi penyelesaian masalah (29), (30) dilakukan dengan metode Rothe yang dikombinasikan dengan metode persamaan integral nonlinier.

Dengan mentransformasikan variabel dependen dan independen, masalah nonlokal dengan batas bebas di sekitar sumber titik direduksi menjadi bentuk kanonik

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, hanya berisi satu fungsi yang mendefinisikan fungsi d(r).

Dalam kasus tertentu, solusi eksak dari permasalahan stasioner nonlokal yang bersesuaian dengan batas bebas untuk persamaan Emden-Fowler dengan 12 dan 1 dalam l diperoleh

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Khususnya, kapan /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, dimana* = (Зз)1/3.

Selain metode Rothe, yang dikombinasikan dengan metode persamaan integral nonlinier, penyelesaian masalah nonstasioner (32) dibangun dengan metode linearisasi ekuivalen. Metode ini pada dasarnya menggunakan konstruksi solusi terhadap masalah stasioner. Akibatnya, permasalahan tersebut direduksi menjadi masalah Cauchy untuk persamaan diferensial biasa, yang penyelesaiannya dapat diperoleh dengan salah satu metode perkiraan, misalnya metode Runge-Kutta.

Hasil berikut diajukan untuk pembelaan:

Studi dampak kualitatif lokalisasi spatiotemporal;

Menetapkan kondisi yang diperlukan untuk lokalisasi spasial hingga membatasi keadaan stasioner;

Teorema keunikan penyelesaian masalah dengan batas bebas dalam kasus kondisi Dirichlet pada permukaan yang diketahui;

Memperoleh dengan pemisahan variabel keluarga solusi parsial persamaan parabola kuasilinear yang terlokalisasi secara spasial;

Pengembangan metode yang efektif untuk penyelesaian perkiraan masalah lokal satu dimensi nonstasioner dan nonlokal dengan batas bebas berdasarkan penerapan metode Rothe yang dikombinasikan dengan metode persamaan integral;

Memperoleh solusi lokal spasial yang akurat untuk masalah difusi stasioner dengan reaksi.

Hasil pokok karya disertasi dapat dirumuskan sebagai berikut.

1. Efek kualitatif baru dari lokalisasi spatio-temporal telah dipelajari.

2. Kondisi yang diperlukan untuk lokalisasi spasial dan stabilisasi ke keadaan stasioner terbatas telah ditetapkan.

3. Teorema keunikan penyelesaian masalah batas bebas dalam kasus kondisi Dirichlet pada permukaan yang diketahui terbukti.

4. Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, diperoleh keluarga solusi parsial persamaan parabola kuasilinear yang terlokalisasi secara spasial dan tepat.

5. Metode yang efektif telah dikembangkan untuk penyelesaian perkiraan masalah stasioner satu dimensi dengan batas bebas berdasarkan penerapan metode Rothe yang dikombinasikan dengan metode persamaan integral nonlinier.

6. Solusi yang tepat dan terlokalisasi secara spasial untuk masalah stasioner difusi dengan reaksi telah diperoleh.

Berdasarkan metode variasional yang dikombinasikan dengan metode Rothe, metode persamaan integral nonlinier, metode solusi efektif telah dikembangkan dengan pengembangan algoritma dan program untuk perhitungan numerik pada komputer, dan solusi perkiraan lokal satu dimensi non-stasioner. dan masalah non-lokal dengan batas bebas telah diperoleh, memungkinkan seseorang untuk menggambarkan lokalisasi spasial dalam masalah polusi dan pemurnian diri lingkungan air dan udara yang bertingkat.

Hasil karya disertasinya dapat digunakan dalam merumuskan dan memecahkan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan alam modern, khususnya metalurgi dan cryomedicine.

KESIMPULAN

1. Arsenin V.Ya. Masalah nilai batas fisika matematika dan fungsi khusus. -M.: NaukaD 984.-384s.

2. Akhromeeva T. S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G. G., Samarsky A.A. Sistem disipatif dua komponen di sekitar titik bifurkasi // Pemodelan Matematika. Proses dalam media nonlinier. -M.: Nauka, 1986. -S. 7-60.

3. Bazaliy B.V. Tentang salah satu bukti keberadaan solusi masalah Stefan dua fase // Analisis matematika dan teori probabilitas. -Kiev: Institut Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan SSR Ukraina, 1978.-P. 7-11.

4. Bazaliy B.V., Shelepov V.Yu.Metode variasi dalam masalah campuran kesetimbangan termal dengan batas bebas //Masalah nilai batas fisika matematika. -Kiev: Institut Matematika dari Akademi Ilmu Pengetahuan SSR Ukraina, 1978. P. 39-58.

5. Barenblat G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Teori filtrasi non-stasioner cairan dan gas. M.: Nauka, 1972.-277 hal.

6. Belyaev V.I. Tentang hubungan antara distribusi hidrogen sulfida di Laut Hitam dan transportasi vertikal perairannya/Yukeanalogiya.-1980.-14, Issue Z.-S. 34-38.

7. Berezoeska L.M., Doguchaeva S.M. Masalah dengan batas kutu untuk tingkat permukaan bidang konsentrasi dalam masalah! jauh dari rumah//Crajov1 tugas! untuk p!nannies yang hidup.-Vip. 1(17).-Kshv: 1n-t matematika HAH Ukrash, 1998. P. 38-43.

8. Berezovka L.M., Doguchaeva S.M. Masalah D1r1khle untuk permukaan bidang konsentrasi // Metode matematika dalam kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. -Kshv: 1n-t Matematika HAH Ukrash, 1996. P. 9-14.

9. Berezovsky JI. M., Dokuchaeva S.M. Lokalisasi spasial dan stabilisasi dalam proses difusi dengan reaksi //Dopovts HAH Dekorasi.-1998.-No.2.-S. 7-10.

10. Yu. Kuliah masalah nilai batas nonlinier fisika matematika. V. 2 bagian - Kiev: Naukova Duma, 1976.- Bagian 1. 252 detik.

11.M.Berezovsky A.A. Persamaan integral nonlinier perpindahan panas konduktif dan radiasi pada cangkang silinder tipis//Persamaan diferensial dengan turunan parsial dalam soal terapan. Kyiv, 1982. - Hal.3-14.

12. Berezovsky A.A. Rumusan masalah Stefan klasik dan khusus // Masalah Stefan non-stasioner. Kyiv, 1988. - Hal.3-20. - (Prepr. / Akademi Ilmu Pengetahuan SSR Ukraina. Institut Matematika; 88.49).

13. Berezovsky A.A., Boguslavsky S.G. Masalah hidrologi Laut Hitam //Studi oseanografi komprehensif Laut Hitam. Kyiv: Naukova Dumka, 1980. - Hal.136-162.

14. Berezovsky A.A., Boguslavsky S./"Masalah perpindahan panas dan massa dalam memecahkan masalah Laut Hitam saat ini. Kyiv, 1984. - 56 hal. (Sebelumnya /AS dari SSR Ukraina. Institut Matematika; 84.49).

15. Berezovsky M.A., Doguchaeva S.M. Model matematika dari pemurnian diri yang terkontaminasi dari alien tengah //Vyunik Kshvskogo Ushversitetu. -Vip 1.- 1998.-S. 13-16.

16. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Metode asimtotik dalam teori osilasi nonlinier. M.: Nauka, 1974. - 501 hal.

17. N.L. Call, Dispersi pengotor di lapisan batas atmosfer. L.: Gidrometeoizdat, 1974. - 192 hal. 21. Budok B.M., Samarsky A.A., Tikhonov A.N. Kumpulan soal fisika matematika. M.: Nauka, 1972. - 687 hal.

18. Vainberg M. M. Metode variasi dan metode operator monoton. M.: Nauka, 1972.-415 hal.

19.Vladimirov V.S. Persamaan fisika matematika. M.: Nauka, 1976. 512 hal.

20. Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P., Samarsky A.A. Lokalisasi panas pada media nonlinier // Diff. Persamaan. 1981. - Edisi. 42.-S. 138-145.31.Danilyuk I.I. Tentang masalah Stefan//Uspekhi Mat. Sains. 1985. - 10. - Edisi. 5(245)-S. 133-185.

21. Danilyuk I., Kashkakha V.E. Tentang satu sistem Ritz nonlinier. //Dokter. Akademi Ilmu Pengetahuan SSR Ukraina. Sulfur. 1973. - No.40. - hal.870-873.

22. KommersantDoguchaeva S.M. Soal batas bebas dalam soal lingkungan // Soal nilai batas nonlinier Matematika. fisika dan aplikasinya. Kyiv: Institut Matematika HAH Ukraina, 1995. - hlm.87-91.

23. Doguchaeva Svetlana M. Berezovsky Arnold A. Model matematika hamburan, dekomposisi dan penyerapan gas, asap dan jenis polusi lainnya dalam atmosfer yang bergejolak //Internat. Konf. Diff/Persamaan Nonlinier? Kiev, 21-27 Agustus 1995, hal. 187.

24. KommersantDoguchaeva S.M. Lokalisasi spasial solusi masalah nilai batas untuk persamaan parabola yang mengalami degenerasi dalam masalah lingkungan // Masalah nilai batas nonlinier Matematika. fisika dan aplikasinya. -Kiev: Institut Matematika HAH Ukraina, 1996. P. 100-104.

25. BbDoguchaeva S.M. Masalah Cauchy satu dimensi untuk permukaan datar bidang konsentrasi //Masalah dengan batas bebas dan masalah nonlokal untuk persamaan parabola nonlinier. Kyiv: Institut Matematika HAH Ukraina, 1996. - hlm.27-30.

26. Kommersant.Doguchaeva S.M. Lokalisasi spasial solusi masalah nilai batas untuk persamaan parabola yang mengalami degenerasi dalam masalah lingkungan // Masalah nilai batas nonlinier Matematika. fisika dan aplikasinya. -Kiev: Institut Matematika HAH Ukraina, 1996. P. 100-104.

27. Doguchaeva S. M. Masalah batas bebas untuk persamaan parabola yang merosot dalam masalah lingkungan // Dekorasi Dopovda HAH. 1997. - Nomor 12. - hal.21-24.

28. Kalashnikov A. S. Tentang sifat perambatan gangguan pada masalah konduksi panas nonlinier dengan penyerapan // Mat. catatan. 1974. - 14, No.4. - hal.891-905. (56)

29. Kalashnikov A.S. Beberapa soal teori kualitatif persamaan parabola degenerasi nonlinier orde kedua // Uspekhi Mat. Sains. 1987. - 42, edisi 2 (254). - hal.135-164.

30. Kalashnikov A. S. Tentang kelas sistem tipe "difusi-reaksi" // Prosiding Seminar dinamai. AKU G. Petrovsky. 1989. - Edisi. 11. - hal.78-88.

31. Kalashnikov A.S. Pada kondisi pemadatan seketika dari dukungan solusi persamaan dan sistem parabola semilinear // Mat. catatan. 1990. - 47, tidak. 1. - hal.74-78.

32. Ab. Kalashnikov A. S. Tentang difusi campuran dengan adanya aksi jangka panjang // Jurnal. Hitung. matematika dan matematika fisika. M., 1991. - 31, No.4. - S.424436.

33. Kamenomostskaya S. L. Tentang masalah Stefan // Mat. koleksi. 1961. -53, No.4, -S. 488-514.

34. Kamke E. Buku Pegangan Persamaan Diferensial Biasa - M.: Nauka, 1976. 576 hal.

35. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. Persamaan linier dan kuasilinear tipe parabola. M.: Nauka, 1967. - 736 hal. (78)

36. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. Persamaan linier dan kuasilinear tipe elips. M.: Nauka, 1964. - 736 hal.

37. Lykov A.B. Teori konduktivitas termal. M.: Lebih tinggi. sekolah, 1967. 599 hal.

38. Martinson L.K. Tentang kecepatan rambat terbatas gangguan termal pada media dengan koefisien konduktivitas termal konstan // Jurnal. Hitung. matematika. dan tikar. fisika. M., 1976. - 16, No.6. - hal.1233-1241.

39. Marchuk G.M., Agoshkov V.I. Pengantar metode mesh proyeksi. -M.: Nauka, 1981. -416 hal.

40. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A. Masalah Stefan dengan keadaan stasioner yang membatasi dalam elektrometalurgi khusus, bedah krio, dan fisika kelautan // Mat. fisika dan nonlin. Mekanika. 1987. - Edisi. 7. - hal.50-60.

41. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A., Shkhanukov M.H. Lokalisasi spatio-temporal dalam masalah dengan batas bebas untuk persamaan nonlinier orde kedua //Ukr. tikar. majalah 1996. - 48, No.2 - S.202211.

42. Mitropolsky Yu.A., Shkhanukov M.Kh., Berezovsky A.A. Tentang masalah nonlokal untuk persamaan parabola //Ukr. tikar. majalah 1995.-47, No.11.- Hal.790-800.

43. Ozmidov R.V. Turbulensi horizontal dan pertukaran turbulen di lautan. M.: Nauka, 1968. - 196 hal.

44. Ozmidov R.V. Beberapa hasil kajian difusi pengotor di laut // Oseanologi. 1969. - 9. - No.1. - Hal.82-86.66 .Okubo A.A. Tinjauan model teoritis difusi turbulen di laut. -Oceanogr. sosial. Jepang, 1962, hal. 38-44.

45. Oleinik O.A. Tentang satu metode untuk memecahkan masalah umum Stefan // Dokl. Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Ser. A.1960.-No.5. - hal.1054-1058.

46. ​​​​Oleinik O.A. Tentang masalah Stefan //Sekolah Matematika Musim Panas Pertama. T.2. Kyiv: Nauk, Dumka, 1964. - Hal.183-203.

47. Roberts O. F. Teori Hamburan Asap dalam Suasana yang Bergejolak. Proses. Roy., London, Ser. A., v. 104.1923. - Hal.640-654.

48. Yu.Sabinina E.S. Pada satu kelas persamaan parabola degenerasi nonlinier // Dokl. ÀH Uni Soviet. 1962. - 143, No.4. - hal.494-797.

49. Kh.Sabinina E.S. Pada satu kelas persamaan parabola kuasilinear yang tidak dapat diselesaikan terhadap turunan waktu // ​​Sibirsk. tikar. majalah 1965.-6, nomor 5. - hal.1074-1100.

50. Samara A.A. Lokalisasi panas pada media nonlinier // Uspekhi Mat. Sains. 1982. - 37, tidak. 4 - hal.1084-1088.

51. Samara A.A. Pengantar metode numerik. M.: Nauka, 1986. - 288 hal.

52. A. Samarsky A.A., Kurdyumov S.P., Galaktionov V.A. Pemodelan matematika. Proses di nonlin. lingkungan M.: Nauka, 1986. - 309 hal.

53. Sansone G. Persamaan diferensial biasa. M.:IL, 1954.-416 hal.

54. Stefan J. Uber ditheorie der veisbildung, insbesondere über die eisbildung im polarmere //Sitzber. Wina. Akad. Nat. alami., Bd. 98, IIa, 1889.Hal.965-983

55. Sutton O.G. Mikrometeorologi. Baru. York-Toronto-London. 1953. 333p.1%. Friedman A. Persamaan diferensial parsial tipe parabola. -M.: Mir, 1968.-427 hal.

56. Friedman A. Prinsip variasi dalam masalah dengan batas bebas. M.: Nauka, 1990. -536 hal.