Menyelesaikan persamaan diferensial orde ke-n. Diferensial linier

Sistem diferensial linier persamaan.

Sistem persamaan diferensial disebut linier, jika linier terhadap fungsi yang tidak diketahui dan turunannya. sistem N-persamaan linier orde 1 ditulis dalam bentuk:

Koefisien sistem adalah konstanta.

Lebih mudah untuk menulis sistem ini bentuk matriks: ,

di mana adalah vektor kolom dari fungsi yang tidak diketahui bergantung pada satu argumen.

Vektor kolom turunan fungsi tersebut.

Vektor kolom anggota bebas.

Matriks koefisien.

Teorema 1: Jika semua koefisien matriks A kontinu pada suatu interval dan , kemudian pada suatu lingkungan pada setiap m. Persyaratan TS&E terpenuhi. Akibatnya, melalui setiap titik tersebut terdapat kurva integral tunggal.

Memang, dalam kasus ini, ruas kanan sistem kontinu terhadap himpunan argumen dan turunan parsialnya terhadap (sama dengan koefisien matriks A) terbatas, karena kontinuitas pada interval tertutup.

Metode untuk memecahkan SLD

1. Suatu sistem persamaan diferensial dapat direduksi menjadi satu persamaan dengan menghilangkan persamaan yang tidak diketahui.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan: (1)

Larutan: mengecualikan z dari persamaan ini. Dari persamaan pertama yang kita punya. Substitusikan ke persamaan kedua, setelah penyederhanaan kita peroleh: .

Sistem persamaan ini (1) direduksi menjadi persamaan orde kedua tunggal. Setelah menemukan dari persamaan ini kamu, harus ditemukan z, menggunakan kesetaraan.

2. Saat menyelesaikan sistem persamaan dengan menghilangkan yang tidak diketahui, biasanya diperoleh persamaan yang lebih banyak pesanan tinggi, oleh karena itu, dalam banyak kasus, lebih mudah untuk menyelesaikan sistem dengan mencari kombinasi terintegrasi.

Lanjutan 27b

Contoh: Selesaikan sistem

Larutan:

Mari kita putuskan sistem ini metode Euler. Mari kita tuliskan determinan untuk mencari suatu sifat

persamaan: , (karena sistemnya homogen, agar memiliki solusi non-trivial, maka determinannya harus sama sama dengan nol). Kami memperoleh persamaan karakteristik dan menemukan akarnya:

Solusi umumnya adalah: ;

- vektor eigen.

Kami menuliskan solusi untuk: ;

- vektor eigen.

Kami menuliskan solusi untuk: ;

Kami mendapatkan solusi umum: .

Mari kita periksa:

mari kita cari : dan substitusikan ke persamaan pertama sistem ini, yaitu. .

Kami mendapatkan:

- kesetaraan sejati.

Diferensial linier. persamaan orde ke-n. Teorema tentang keputusan umum heterogen persamaan linier pesanan ke-n.

Persamaan diferensial linier orde ke-n disebut persamaan bentuk: (1)

Jika persamaan ini mempunyai koefisien, maka membaginya dengan koefisien tersebut akan menghasilkan persamaan: (2) .

Biasanya persamaan tipenya (2). Misalkan di ur-i (2) segala rintangan, serta f(x) kontinu pada interval tertentu (a,b). Kemudian, menurut TS&E, persamaannya (2) memiliki satu-satunya solusi, memenuhi kondisi awal: , , …, dengan . Di sini - titik mana pun dari interval (a,b), dan semuanya - apa saja nomor yang diberikan. Persamaan (2) memenuhi TC&E , oleh karena itu tidak memiliki solusi khusus.

Definisi: spesial poinnya adalah poin yang =0.

Sifat-sifat persamaan linier:

1. Persamaan linier tetap linier tidak peduli bagaimana variabel bebasnya diubah.
2. Persamaan linier tetap berlaku untuk setiap perubahan linier pada fungsi yang diinginkan.

Definisi: jika dalam persamaan (2) meletakkan f(x)=0, maka kita memperoleh persamaan berbentuk: (3) , yang disebut persamaan homogen relatif tidak persamaan homogen (2).

Mari kita mempertimbangkannya diferensial linier operator: (4). Dengan menggunakan operator ini Anda dapat menulis ulang bentuk pendek persamaan (2) Dan (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4) memiliki yang berikut ini properti sederhana:

Dari dua sifat ini, akibat wajar dapat disimpulkan: .

Fungsi kamu=kamu(x) adalah solusi persamaan tak homogen (2), Jika L(y(x))=f(x), Kemudian f(x) disebut penyelesaian persamaan tersebut. Jadi solusi persamaannya (3) disebut fungsinya kamu(x), Jika L(y(x))=0 pada interval yang dipertimbangkan.

Mempertimbangkan persamaan linier tidak homogen: , L(y)=f(x).

Misalkan kita telah menemukan solusi tertentu dengan cara tertentu, maka .

Mari perkenalkan fungsi baru yang tidak diketahui z menurut rumus: , dimana adalah solusi tertentu.

Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: , buka tanda kurung dan dapatkan: .

Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang menjadi:

Karena merupakan solusi khusus dari persamaan awal, maka , maka .

Jadi, kita telah memperoleh persamaan homogen terhadap z. Solusi umum persamaan homogen ini adalah kombinasi linier: , dengan fungsi - adalah sistem mendasar penyelesaian persamaan homogen. Mengganti z ke dalam rumus penggantinya, kita peroleh: (*) untuk fungsi kamu– fungsi yang tidak diketahui dari persamaan aslinya. Semua solusi persamaan awal akan dimuat dalam (*).

Jadi, solusi umum dari garis tak homogen. persamaan direpresentasikan sebagai jumlah dari solusi umum persamaan linier homogen dan beberapa solusi khusus dari persamaan tidak homogen.

(lanjutan di sisi lain)

30. Teorema eksistensi dan keunikan penyelesaian diferensial. persamaan

Dalil: Jika dalam Persamaan. sisi kanan kontinu dalam persegi panjang dan terbatas, dan juga memenuhi kondisi Lipschitz: , N=const, maka ada solusi unik yang memenuhi kondisi awal dan didefinisikan pada segmen tersebut , Di mana .

Bukti:

Mari kita simak secara lengkap ruang metrik DENGAN, yang titik-titiknya merupakan semua kemungkinan fungsi kontinu y(x) yang terdefinisi pada interval tersebut , yang grafiknya terletak di dalam persegi panjang, dan jaraknya ditentukan oleh persamaan: . Ruang ini sering digunakan dalam analisis matematis dan disebut ruang angkasa konvergensi seragam , karena konvergensi metrik ruang ini seragam.

Mari kita ganti diferensialnya. persamaan dengan data kondisi awal ke persamaan integral ekuivalen: dan pertimbangkan operatornya SEBUAH(y), sama dengan ruas kanan persamaan ini: . Operator ini cocok dengan masing-masing fungsi berkelanjutan

Dengan menggunakan pertidaksamaan Lipschitz, kita dapat menuliskan jaraknya . Sekarang mari kita pilih yang mana ketimpangan berikut: .

Kalau begitu, Anda harus memilihnya. Jadi kami menunjukkan itu.

Menurut prinsip pemetaan kontraksi, ada satu titik atau, yang sama, satu fungsi - solusi persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal tertentu.

N urutan -th

Dalil. Jika kamu 0- solusi persamaan homogen L[y]=0, kamu 1- solusi persamaan tak homogen yang sesuai L[y] = f(x), lalu jumlahnya kamu 0 +kamu 1 adalah solusi untuk persamaan tidak homogen ini.

Struktur solusi umum persamaan tak homogen ditentukan oleh teorema berikut.

Dalil. Jika Y- solusi khusus dari persamaan tersebut L[y] = f(x) Dengan koefisien kontinu, - solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai L[kamu] = 0, maka solusi umum persamaan tak homogen ini ditentukan oleh rumus

Komentar. Untuk menuliskan solusi umum persamaan linier tak homogen, perlu dicari solusi khusus persamaan tersebut dan solusi umum persamaan homogen yang bersangkutan.

Persamaan linear tak homogen N

Perhatikan persamaan linear tak homogen N-urutan dengan koefisien konstan

Di mana sebuah 1, sebuah 2, …, sebuah - bilangan real. Mari kita tulis persamaan homogen yang sesuai

Solusi umum persamaan tak homogen ditentukan oleh rumus

Solusi umum persamaan homogen kamu 0 kita dapat menemukan, solusi tertentu Y dapat ditemukan oleh koefisien yang tidak pasti dalam kasus sederhana berikut:

DI DALAM kasus umum Metode memvariasikan konstanta sembarang digunakan.

Metode variasi konstanta sembarang

Perhatikan persamaan linear tak homogen N-urutan dengan koefisien variabel

Jika menemukan solusi khusus persamaan ini ternyata sulit, tetapi solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian diketahui, maka solusi umum persamaan tak homogen dapat ditemukan metode variasi konstanta arbitrer.

Biarkan persamaan homogen yang sesuai

mempunyai solusi umum

Kita akan mencari solusi umum persamaan tak homogen dalam bentuk

Di mana kamu 1 =kamu 1 (x), kamu 2 =kamu 2 (x), …, kamu n = kamu n (x) adalah solusi bebas linier dari persamaan homogen yang termasuk dalam solusi umumnya, dan C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- fungsi yang tidak diketahui. Untuk menemukan fungsi-fungsi ini, mari kita memenuhi beberapa kondisi.

Mari kita cari turunannya

Kita mensyaratkan bahwa jumlah dalam kurung kedua sama dengan nol, yaitu

Mari kita cari turunan keduanya

dan kami akan menuntut itu

Melanjutkan proses serupa, kita dapatkan

Dalam hal ini, Anda tidak dapat meminta agar jumlah pada tanda kurung kedua hilang, karena fungsinya C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) sudah tersubordinasi n-1 kondisi, tetapi Anda masih harus memenuhi persamaan awal yang tidak homogen.

Persamaan diferensialNurutan -th.

Jika persamaan tersebut dapat diselesaikan terhadap turunan tertinggi, maka persamaan tersebut berbentuk (1). Persamaan orde ke-n juga dapat direpresentasikan sebagai sistem persamaan orde pertama sebanyak n.

(3)

Untuk persamaan orde ke-n, kondisi teorema keberadaan dan keunikan sistem terpenuhi karena (1)~(2)~(3).

Kasus pengurangan pesanan yang paling sederhana.

Persamaan tersebut tidak memuat fungsi yang diperlukan dan turunannya hingga orde k -1 inklusif , itu

Dalam hal ini pesanan dapat dikurangi menjadi
penggantian. Jika kita menyatakan persamaan ini maka solusi y dapat ditentukan oleh fungsi integral k-fold P.

Contoh.
.

Persamaan yang tidak mengandung variabel yang tidak diketahui

(5)

Dalam hal ini, pesanan dapat diturunkan satu per satu melalui substitusi.

Contoh.
.

Sisi kiri persamaan

(6)

adalah turunan dari beberapa ekspresi diferensial ( N -1) urutan ke-1 .
. Jika
- Oleh karena itu, solusi untuk persamaan terakhir ada. Kami memperoleh integral pertama persamaan (6) dan menurunkan derajat persamaan yang diselesaikan satu.

Komentar. Terkadang ruas kiri (6) menjadi turunan persamaan diferensial orde (n-1) hanya jika dikalikan dengan
oleh karena itu, solusi yang tidak perlu mungkin muncul di sini (membalikkan ke nol) atau kita mungkin kehilangan solusinya jika fungsi terputus-putus.

Contoh.

Persamaan

(7)

relatif homogen terhadap dan turunannya .

Atau di mana indikatornya
ditentukan dari kondisi homogenitas.

Orde persamaan ini dapat diturunkan satu dengan mengganti: .

Jika kita mensubstitusikan relasi ini ke (7) dan memperhitungkan homogenitas fungsinya F , maka pada akhirnya kita mendapatkan: .

Contoh.
.

Persamaan diferensial orde kedua,

memungkinkan pengurangan pesanan.

Substitusi
.

Jika persamaan (8) dapat diselesaikan terhadap turunan tertinggi, maka Persamaan.
diintegrasikan dua kali pada variabel X.

Anda dapat memasukkan parameter dan mengganti persamaan (8) dengan representasi parametriknya:
. Menggunakan relasi untuk diferensial:
, kita mendapatkan: dan

II .
(9)

Mari gunakan representasi parametrik:

AKU AKU AKU.
. (10)

Anda dapat menurunkan pesanan dengan mengganti:
.

Jika persamaan (10) dapat diselesaikan terhadap turunan tertinggi
, lalu kalikan yang kanan dan sisi kiri pada
. Kita mendapatkan: Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan:
.

Persamaan (10) dapat diganti dengan representasi parametriknya: . Mari kita gunakan properti diferensial :.

Contoh.
.

Persamaan diferensial linierNurutan -th.

Definisi. Persamaan diferensial linier N urutan -th disebut persamaan bentuk:
. (1)

Jika kemungkinannya terus menerus untuk
, lalu di lingkungan mana saja nilai awal seperti: dimana termasuk dalam interval, maka kondisinya terpenuhi di sekitar nilai awal ini teorema eksistensi dan keunikan. Linearitas dan homogenitas persamaan (1) dipertahankan pada transformasi apa pun
, Di mana adalah fungsi terdiferensiasi ntimes yang berubah-ubah. Lebih-lebih lagi
. Linearitas dan homogenitas dipertahankan ketika fungsi yang tidak diketahui ditransformasikan secara linier dan homogen.

Mari kita perkenalkan operator diferensial linier: , maka (1) dapat ditulis sebagai berikut:
. Penentu Wronski untuk
akan terlihat seperti:

, Di mana - solusi bebas linier terhadap persamaan (1).

Teorema 1. Jika fungsi bebas linier
merupakan penyelesaian persamaan homogen linier (1) kontinu
koefisien
, lalu determinan Wronski
tidak hilang pada titik mana pun pada segmen tersebut
.

Teorema 2. Penyelesaian umum persamaan linier homogen (1) dengan kontinu
koefisien
akan ada kombinasi solusi linier , itu
(2), dimana
bebas linier pada segmen tersebut
solusi pribadi (1).

(terbukti serupa dengan kasus sistem persamaan diferensial linier)

Konsekuensi. Jumlah maksimumnya linier keputusan independen(1) sama dengan ordonya.

Mengetahui satu solusi partikular nontrivial untuk persamaan (1) -
, Anda dapat melakukan substitusi
dan menurunkan orde persamaan dengan tetap menjaga linearitas dan heterogenitasnya. Biasanya pergantian pemain ini dipecah menjadi dua. Karena ini adalah representasi homogen linier, maka linearitas dan homogenitas (1) dipertahankan, yang berarti (1) harus direduksi menjadi bentuk. Keputusannya
berlaku
sesuai dengan solusinya
, dan oleh karena itu
. Setelah melakukan penggantinya
, kita memperoleh persamaan dengan ordenya
.

Kata pengantar singkat. (3)

Dua persamaan berbentuk (3) dan (4), dimana Q i dan P i merupakan fungsi kontinu yang mempunyai sistem penyelesaian fundamental yang sama, bertepatan, yaitu. Q saya (x)= P saya (x), saya=1,2,…n,  x

Berdasarkan lemma tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem dasar penyelesaian y 1 y 2 …yn sepenuhnya menentukan persamaan linier homogen (3).

Mari kita cari bentuk persamaan (3) yang mempunyai sistem penyelesaian fundamental y 1 y 2 …yn . Solusi apa pun kamu(X) persamaan (3) bergantung linier pada sistem dasar penyelesaian, yang berarti W=0. Mari kita perluas determinan Wronski W pada kolom terakhir.

Persamaan (5) adalah persamaan diferensial linier yang diinginkan yang memiliki sistem solusi fundamental tertentu. Kita dapat membagi (5) dengan W, karena tidak sama dengan nol  x.

(*)

Kemudian:

Menurut aturan diferensiasi determinan, turunan determinan sama dengan jumlah i=1,2...n determinan, baris ke-i masing-masing sama dengan turunan dari i- baris ke-th dari determinan asal. Dalam penjumlahan ini, semua determinan kecuali determinan terakhir sama dengan nol (karena keduanya mempunyai dua garis identik), dan determinan terakhir sama dengan (*). Jadi, kita mendapatkan:
(6)

(7)

Definisi. , Kemudian: Rumus (6) dan (7) disebut

Rumus Ostrogradsky-Liouville.

Kami menggunakan (7) untuk mengintegrasikan persamaan homogen linier orde kedua. Dan beri tahu kami salah satu solusi y 1 dari persamaan (8).

(9)

Menurut (7), setiap solusi (8) harus memenuhi hubungan berikut:

Mari kita gunakan metode pengintegrasian faktor.

Persamaan homogen linier dengan

koefisien konstan.

Jika dalam persamaan homogen linier semua koefisiennya konstan,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

maka solusi partikular (1) dapat didefinisikan dalam bentuk: y=e kx, dimana k adalah sebuah konstanta.

Definisi. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+an =0 (3)

persamaan karakteristik.

1Jenis solusi (1) ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik (3). ). Semua akar adalah nyata dan berbeda

, Kemudian: .

2). Jika semua koefisiennya real, maka akar-akarnya merupakan konjugasi kompleks

k 1 =+i k 2 =-i

Maka solusinya berbentuk:

Contoh.

Menurut teorema: jika operator dengan koefisien real mempunyai solusi konjugasi kompleks, maka bagian real dan imajinernya juga merupakan solusi. Kemudian:
Mari kita sajikan solusinya dalam bentuk

, maka persamaan karakteristiknya berbentuk:

, kami mendapatkan dua solusi:

maka fungsi yang diperlukan adalah: k 3). Ada banyak akar: Saya  3). Ada banyak akar: . dengan keberagaman
akan lebih kecil, oleh karena itu, Anda perlu mencari solusi bebas linier yang hilang dalam bentuk yang berbeda. Misalnya:

Bukti:

Katakanlah k i =0, jika kita substitusikan ke (3), kita peroleh , maka:

- solusi tertentu (3).

Misalkan k i 0, mari kita lakukan penggantiannya
(6)

Substitusikan (6) ke dalam (1), kita peroleh persamaan linear homogen orde ke-n dengan koefisien konstan (7).

Akar-akar (3) berbeda dari akar-akar persamaan karakteristik (7) dengan istilah k i .

(8)

Jika k=k i , maka k ini sesuai dengan solusi persamaan (7) dengan akar p=0, yaitu. sesuai dengan solusi bentuk z=
, maka y= adalah solusi persamaan (1). Dan solusi umumnya terlihat seperti:

solusi untuk k i



persamaan Euler.

Definisi. Persamaan bentuk:

a i adalah koefisien konstan, disebut persamaan Euler.

Persamaan Euler dengan mengganti x=et t direduksi menjadi persamaan homogen linier dengan koefisien konstan.

Anda dapat mencari solusi dalam bentuk y=x k, maka solusinya berbentuk:

Linier persamaan tidak homogen.

Jika a 0 (x)0, maka membagi persamaan (1) dengan koefisien ini, kita memperoleh:

.

Jika i dan f kontinu di b, maka (2) mempunyai solusi unik yang memenuhi kondisi awal yang bersangkutan. Jika kita menyatakan turunan tertinggi dari (2) secara eksplisit, kita memperoleh persamaan yang ruas kanannya memenuhi teorema keberadaan dan keunikan. Karena operator L linier, maka untuk (2) berlaku:

1).
- solusi (2), jika - penyelesaian persamaan tidak homogen (2), dan - solusi persamaan homogen yang sesuai.

2). Jika - solusi
, Itu
penyelesaian persamaan tersebut
.

Sifat 2 adalah prinsip superposisi, berlaku bila
, jika seri
- menyatu dan mengakui M-diferensiasi beberapa istilah demi istilah.

3) Biarkan persamaan operator diberikan
, dimana L adalah operator dengan koefisien , Semua - nyata. Fungsi U dan V juga nyata. Lalu, apakah persamaan ini mempunyai solusi
, maka penyelesaian persamaan yang sama adalah bagian imajiner dan real:
Dan
. Selain itu, masing-masingnya sesuai dengan solusinya.

Dalil. Solusi umum persamaan tak homogenN- tentang
di segmen [A, B] asalkan semua koefisien
dan sisi kanan
- fungsi kontinu, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari solusi umum yang bersesuaian sistem homogen
dan solusi khusus untuk yang tidak homogen -
.

Itu. larutan
.

Jika tidak mungkin untuk secara eksplisit memilih solusi tertentu dari sistem yang tidak homogen, maka Anda dapat menggunakan metode ini variasi konstan . Kami akan mencari solusinya dalam bentuk:

(3)

Di mana
solusi untuk sistem homogen,
- fungsi yang tidak diketahui.

Total fungsi yang tidak diketahui
- N. Mereka harus memenuhi persamaan awal (2).

Mengganti ekspresi y(x) ke dalam persamaan (2), kita memperoleh kondisi untuk menentukan hanya satu fungsi yang tidak diketahui. Untuk menentukan fungsi sumur (n-1) yang tersisa, diperlukan kondisi tambahan (n-1)-tetapi fungsi tersebut dapat dipilih secara sewenang-wenang. Mari kita pilih sehingga solusi (2) - y(x) mempunyai bentuk yang sama seperti jika
adalah konstanta.

,

Karena
berperilaku seperti konstanta, kalau begitu
, yang artinya
.

Itu. kita mendapatkan kondisi (n-1)-tetapi selain persamaan (1). Jika kita mengganti ekspresi turunan ke dalam persamaan (1) dan memperhitungkan semua kondisi yang diperoleh dan fakta bahwa y i adalah solusi dari sistem homogen yang bersesuaian, maka kita memperoleh kondisi terakhir untuk
.

Mari beralih ke sistem:

(3)

Penentu sistem (3) adalah (W) penentu Vronskii, dan karena y i adalah solusi sistem homogen, kalau begitu W0 aktif .

Contoh. Persamaan tidak homogen

, persamaan homogen yang sesuai

Kami sedang mencari solusi dalam bentukkamu= e kx . Persamaan karakteristikk 2 +1=0, yaituk 1,2 =  3). Ada banyak akar:

kamu= e ix = karena X + 3). Ada banyak akar: dosa X, solusi umumnya adalah

Mari kita gunakan metode variasi konstan:

Kondisi untuk
:

, yang setara dengan menulis:

Dari sini:

Persamaan diselesaikan dengan integrasi langsung

Perhatikan persamaan diferensial berikut:
.
Kami mengintegrasikan n kali.
;
;
dan sebagainya. Anda juga bisa menggunakan rumus:
.
Cm. Persamaan diferensial yang dapat diselesaikan secara langsung integrasi >> >

Persamaan yang tidak secara eksplisit memuat variabel terikat y

Substitusi menurunkan orde persamaan sebanyak satu. Ini adalah fungsi dari .
Cm. Persamaan diferensial orde tinggi yang tidak memuat fungsi dalam bentuk eksplisit > > >

Persamaan yang tidak secara eksplisit memasukkan variabel bebas x

.
Kami menganggap itu adalah fungsi dari .
.
Kemudian
Cm. Demikian pula untuk turunan lainnya. Akibatnya, orde persamaan tersebut berkurang satu.

Persamaan diferensial orde tinggi yang tidak mengandung variabel eksplisit > > >

Persamaan homogen terhadap y, y′, y′′, ...
,
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita melakukan substitusi
.
dimana merupakan fungsi dari .
Cm. Kemudian

Kami juga mengubah turunan, dll. Akibatnya, orde persamaan tersebut berkurang satu.

Persamaan diferensial orde tinggi yang homogen terhadap suatu fungsi dan turunannya > > > Persamaan diferensial linier orde tinggi:
(1) ,
Mari kita pertimbangkan
(2) ,
persamaan diferensial homogen linier orde ke-n
dimana adalah fungsi dari variabel bebas. persamaan linear homogen orde ke-n terdapat n solusi bebas linier terhadap persamaan tersebut.

Persamaan diferensial orde tinggi yang homogen terhadap suatu fungsi dan turunannya > > > persamaan diferensial tak homogen linier orde ke-n:
.
Biarkan ada solusi tertentu (apa pun) untuk persamaan ini. Maka solusi umumnya berbentuk:
,
dimana adalah solusi umum persamaan homogen (1).

Persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan dan dapat direduksi menjadi persamaan tersebut

Persamaan homogen linier dengan koefisien konstan

Ini adalah persamaan bentuknya:
(3) .
Berikut adalah bilangan real. Untuk mencari solusi umum persamaan ini, kita perlu mencari n solusi bebas linier yang membentuk sistem solusi fundamental. Maka solusi umum ditentukan dengan rumus (2):
(2) .

Kami mencari solusi dalam bentuk . Kami mengerti:
(4) .

persamaan karakteristik Jika persamaan ini punya berbagai akar
.

, maka sistem dasar penyelesaiannya berbentuk: Jika tersedia
,
akar yang kompleks maka terdapat juga akar konjugat yang kompleks. Kedua akar ini berhubungan dengan solusi dan , yang kami masukkan ke dalam sistem fundamental

solusi terintegrasi Dan .

Kelipatan akar multiplisitas sesuai dengan solusi bebas linier: . Kelipatan
.

akar yang kompleks

multiplisitas dan nilai konjugasi kompleksnya sesuai dengan solusi bebas linier:
,
Persamaan linier tak homogen dengan bagian tak homogen khusus 1 Pertimbangkan persamaan bentuk 2 di mana adalah polinomial derajat s

dan S ;- permanen.
,
Pertama kita mencari solusi umum persamaan homogen (3). Jika persamaan karakteristik (4)
;
;
tidak mengandung akar 1 Pertimbangkan persamaan bentuk 2 .

, lalu kita mencari solusi tertentu berupa: Di mana s - yang terbesar dari s
.

Jika persamaan karakteristik (4)
.

memiliki akar

multiplisitas, maka kita mencari solusi tertentu dalam bentuk:

1) Setelah ini kita mendapatkan solusi umum:.
Persamaan linier tak homogen dengan koefisien konstan
.
Ada tiga solusi yang mungkin di sini.
,
metode Bernoulli - 1 Pertama, kita cari solusi bukan nol dari persamaan homogen tersebut

2) Lalu kita melakukan substitusi dimana merupakan fungsi dari variabel x. .
Kita memperoleh persamaan diferensial untuk u, yang hanya memuat turunan u terhadap x.
,
Dengan melakukan substitusi, kita memperoleh persamaan n - pesanan ke-th. Metode substitusi linier Mari kita melakukan substitusi

3) dimana salah satu akarnya.
persamaan karakteristik
(2) .
Selanjutnya kita asumsikan bahwa konstanta adalah fungsi dari variabel x.
,
Maka solusi persamaan aslinya berbentuk:

di mana fungsi yang tidak diketahui. Mengganti persamaan asli dan menerapkan beberapa batasan, kita memperoleh persamaan yang darinya kita dapat menemukan jenis fungsinya.

persamaan Euler
.
Ini direduksi menjadi persamaan linier dengan koefisien konstan dengan substitusi:
.
Namun untuk menyelesaikan persamaan Euler tidak perlu dilakukan substitusi seperti itu. Anda dapat segera mencari solusi persamaan homogen dalam bentuk

Hasilnya, kita memperoleh aturan yang sama seperti persamaan dengan koefisien konstan, yang mana alih-alih variabel, kita perlu menggantinya .
Sastra bekas: V.V. Stepanov, Tentu saja persamaan diferensial
, "LKI", 2015. N.M. Gunter, RO. Kuzmin, Kumpulan soal tentang matematika yang lebih tinggi