Penampang fungsi acak. Fungsi acak dan ciri-cirinya (contoh)

Kuliah 13 Proses acak Konsep dasar. Hukum distribusi dan. Stasioner, ergodik

Kuliah 13
Proses acak
Konsep dasar. Hukum distribusi dan ciri-ciri utamanya
proses acak. Stasioner, ergodik, dasar acak
proses
(Akhmetov S.K.)

Definisi

Proses acak X(t) adalah proses yang nilainya di
untuk t = ti tetap apa pun adalah SV X(ti)
Implementasi proses acak X(t) adalah fungsi non-acak
x(t), yang menjadi proses acak X(t) sebagai hasil eksperimen
Penampang proses acak (fungsi acak) adalah acak
nilai X(ti) pada t = ti.

Proses acak X(t) disebut proses diskrit
waktu, jika sistem di mana hal itu terjadi dapat berubah
keadaannya hanya pada saat t1, t2, t3….. tn, yang bilangannya
terbatas atau dapat dihitung

waktu, jika sistem bertransisi dari satu negara ke negara lain bisa
terjadi setiap saat t dari periode pengamatan
Proses acak X(t) disebut proses kontinu
nyatakan apakah penampangnya pada suatu saat t mewakili
bukan kuantitas yang diskrit, melainkan kuantitas yang kontinyu
Proses acak X(t) disebut proses diskrit
nyatakan jika suatu saat t disetel
negara bagian bersifat terbatas atau dapat dihitung, yaitu jika bagiannya ada
momen t dicirikan oleh variabel acak diskrit

Klasifikasi proses acak

Dengan demikian, semua usaha patungan dapat dibagi menjadi 4 kelas:
Proses
waktu;
Proses
waktu;
Proses
waktu;
Proses
waktu.
dengan keadaan diskrit dan diskrit
dengan keadaan diskrit dan kontinyu
Dengan keadaan berkelanjutan dan diskrit
dengan keadaan kontinyu dan kontinyu
Sebagian besar proses hidrologi adalah
proses dengan keadaan kontinyu dan kontinyu
waktu. Namun ketika memasuki langkah waktu diskrit, mereka
bertransformasi dari proses waktu yang berkesinambungan menjadi
proses waktu diskrit. Namun, prosesnya tetap berjalan
terus menerus menurut negara

Karakteristik utama dari proses acak

Penampang proses acak x(t) untuk nilai tetap apa pun
argumen t mewakili SV, yang memiliki hukum distribusi
F (t, x) = P(X(t)< x}
Ini adalah hukum distribusi satu dimensi dari proses acak X(t)
Namun hal ini bukan merupakan karakteristik menyeluruh dari usaha patungan
mencirikan sifat-sifat bagian apa pun, tetapi individu, dan tidak memberi
gagasan tentang distribusi bersama dua atau lebih bagian.
Hal ini terlihat pada gambar yang menunjukkan dua SP dengan probabilistik yang berbeda
struktur, tetapi perkiraan distribusi yang identik SV di setiap
bagian

Karakteristik utama dari proses acak

Oleh karena itu, ciri SP yang lebih lengkap adalah hukum dua dimensi
distribusi
F(t1,t2,x1,x2) = P(X(t1)< x1, X(t2) < x2}
DI DALAM kasus umum karakteristik lengkap SP adalah hukum distribusi n-dimensi
Dalam praktiknya, mereka menggunakan hukum distribusi multidimensi
ciri-ciri utama usaha patungan, seperti MO, dispersi, awal dan
titik sentral, namun hanya untuk usaha patungan, karakteristik ini tidak akan ada
angka, tapi fungsi
Ekspektasi matematis SP X(t) adalah fungsi non-acak mx(t),
yang untuk setiap nilai argumen t sama dengan matematika
menunggu bagian yang sesuai dari usaha patungan:
dimana f1(x,t) adalah densitas distribusi satu dimensi dari SP X(t)

Karakteristik utama dari proses acak

MO SP mewakili beberapa fungsi "rata-rata" di sekitarnya
dimana penyebaran SP terjadi
Jika kita mengurangi MO-nya dari SP X(t), kita memperoleh SP terpusat:
X0(t) = X(t) – mx(t)
Dispersi SP X(t) merupakan fungsi non-acak dari SP X(t), yang
untuk setiap nilai argumen t sama dengan dispersi dari penampang yang sesuai dari SP X(t)
SP X(t) = D = M(2)
Simpangan baku SP X(t) disebut non-acak
fungsi σx(t), yang sama dengan akar kuadrat dari varians SP:
σx(t) = σ = √Dx(t)

Karakteristik utama dari proses acak

Untuk mengkarakterisasi sepenuhnya usaha patungan, perlu untuk mempertimbangkan hubungannya
antar bagian yang berbeda. Oleh karena itu, ke kompleks di atas
karakteristiknya, Anda juga perlu menambahkan fungsi korelasi SP:
Fungsi korelasi (atau kovarians) SP X(t) disebut
fungsi non-acak Kx(t,t'), yang untuk setiap pasangan nilai
argumen t dan t' sama dengan korelasi bagian yang bersesuaian X(t) dan X(t')
Kx(t,t') = M( x )
atau
Kx(t,t’) = M = M - mx(t) mx(t’)
Sifat-sifat fungsi korelasi:
- dengan persamaan t = t’ fungsi korelasi sama dengan varians SP, yaitu
Kx(t,t') = Dx(t)
- fungsi korelasi Kx(t,t’) simetris terhadapnya
argumen, yaitu
Kx(t,t') = Kx(t',t)

Karakteristik utama dari proses acak

Fungsi korelasi yang dinormalisasi rx(t,t') SP X(t) disebut
fungsi yang diperoleh dengan membagi fungsi korelasi dengan produk
simpangan baku σx(t) σx(t’)
rx(t,t’) = /(σx(t)σx(t’)) = /(√(Dx(t)Dx(t’))
Sifat-sifat fungsi korelasi yang dinormalisasi:
- jika argumen t dan t’ sama, fungsi korelasi dinormalisasi
sama dengan satu rx(t,t') = 1
-fungsi korelasi yang dinormalisasi adalah simetris terhadap
argumen mereka, yaitu rx(t,t') = rx(t',t)
- fungsi korelasi yang dinormalisasi tidak melebihi nilai absolut
satuan rx(t,t’) ≤ 1

Karakteristik utama dari proses acak

Skalar SP adalah kapan yang sedang kita bicarakan tentang satu usaha patungan, seperti sebelumnya
por.
Usaha patungan vektor adalah ketika 2 atau lebih usaha patungan dipertimbangkan.
Mari kita asumsikan bahwa laju aliran air ditentukan dalam beberapa bagian dari waktu ke waktu
Dalam hal ini, untuk mengkarakterisasi SP, Anda perlu mengetahui masing-masingnya
proses skalar:
-MO
-fungsi korelasi
-fungsi korelasi silang
Fungsi korelasi silang Ri,j(t,t’) dari dua fungsi acak
proses X(t) dan X(t') adalah fungsi non-acak dari dua
argumen t dan t', yang untuk setiap pasangan nilai t dan t' sama
kovarians ( koneksi linier) dua bagian dari usaha patungan X(t) dan X(t’)
Ri,j(t,t') = M

Proses acak stasioner

Usaha patungan stasioner adalah usaha patungan yang semuanya bersifat probabilistik
ciri-cirinya tidak bergantung pada waktu, yaitu :
- mx = konstanta
- Dx = konstanta
Perbedaan antara usaha patungan stasioner dan non stasioner ditunjukkan pada gambar
a) SP stasioner
b) usaha patungan non-stasioner untuk wilayah Moskow
c) SP non-stasioner dalam dispersi

Sifat-sifat fungsi korelasi SP stasioner

Paritas suatu fungsi dari argumennya, yaitu kx(τ) = kx(-τ)
τ – pergeseran argumen sepanjang waktu SP dengan jumlah yang sama Θ
k – fungsi korelasi SP pada Kx(t1,t2) = kx(τ)
Nilai fungsi korelasi SP stasioner sama dengan nol
pergeseran τ sama dengan dispersi SP
Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)
|kx(τ)| ≤ kx(0)
Selain fungsi korelasi, dinormalisasi
fungsi korelasi SP stasioner, yang disebut
fungsi autokorelasi
rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)

Proses acak ergodik

Properti ergodik dari usaha patungan adalah ketika satu per satu sudah cukup
pelaksanaan jangka panjang dari usaha patungan dapat dinilai berdasarkan usaha patungan secara keseluruhan
Kondisi yang cukup untuk ergodisitas SP adalah kondisi tersebut
lim kx(τ) = 0
sebagai τ → ∞, mis. dengan meningkatnya geser antar bagian
fungsi korelasi meluruh
Gambar tersebut menunjukkan a) SP non-ergodik dan b) ergodik
Dalam praktiknya (paling sering) kita terpaksa menerima hipotesis itu
stasioneritas dan ergodisitas proses hidrologi, sehingga
Saya senang menilai segalanya populasi

Proses acak dasar

Elementary SP (e.s.p) adalah fungsi dari argumen t, for
yang ketergantungannya pada t diwakili oleh fungsi non-acak biasa,
yang menyertakan satu atau lebih SV biasa sebagai argumen
Artinya, setiap SV menghasilkan implementasi SPnya sendiri
Misalnya saja jika di beberapa bagian terdapat cabang penurunan banjir
stabil dan dijelaskan oleh persamaan
Q(t) = Qne-at
a - parameter regional (a>0)
Qn - aliran air masuk momen awal waktu t = t0
maka proses penurunan banjir dapat dianggap khususnya, dimana a tidak acak
nilai, Qn - variabel acak

Tugas pokok

Kita dapat membedakan dua jenis masalah utama, yang penyelesaiannya memerlukan penggunaan teori fungsi acak.

Tugas langsung (analisa): parameter perangkat tertentu dan itu karakteristik probabilistik(ekspektasi matematis, fungsi korelasi, hukum distribusi) dari fungsi (sinyal, proses) yang sampai pada “input”-nya; penting untuk menentukan karakteristik pada "output" perangkat (digunakan untuk menilai "kualitas" pengoperasian perangkat).

Masalah terbalik (sintesis): karakteristik probabilistik dari fungsi “input” dan “output” ditentukan; diperlukan untuk merancang perangkat optimal (menemukan parameternya) yang mengubah fungsi masukan tertentu menjadi seperti itu fungsi keluaran, yang memiliki karakteristik tertentu. Pemecahan masalah ini memerlukan, selain perangkat fungsi tarik-menarik acak, disiplin ilmu lain dan sebagainya buku ini tidak dipertimbangkan.

Definisi fungsi acak

Fungsi acak disebut fungsi dari argumen non-acak T, yang untuk setiap nilai tetap argumen adalah variabel acak. Fitur Acak argumen T menunjukkan dalam huruf kapital X(t), Y(t) dll.

Misalnya jika kamu- variabel acak, lalu fungsinya X(!)=CU - acak. Memang, untuk setiap nilai argumen yang tetap, fungsi ini adalah variabel acak: for t ( = 2

kita mendapatkan variabel acak Xx = AU pada t 2= 1,5 - variabel acak X 2 = 2,25 kamu dll.

Untuk mempersingkat pemaparan lebih lanjut, kami memperkenalkan konsep bagian.

Bagian Fungsi acak adalah variabel acak yang sesuai dengan nilai tetap dari argumen fungsi acak. Misalnya untuk fungsi acak X(t) = t 2 kamu, diberikan di atas, dengan nilai argumen 7, = 2 dan t 2= 1,5 diperoleh sesuai variabel acak X ( = AUn X 2 = 2.2577, yang merupakan bagian dari fungsi acak yang diberikan.

Jadi, fungsi acak dapat dianggap sebagai sekumpulan variabel acak (X(?)), bergantung pada parameternya T. Interpretasi lain dari fungsi acak dimungkinkan jika kita memperkenalkan konsep implementasinya.

Pelaksanaan (lintasan, fungsi selektif) fungsi acak X(t) memanggil fungsi argumen non-acak T, sama dengan hasil pengujian yang mungkin menghasilkan fungsi acak.

Jadi, jika suatu fungsi acak diamati dalam suatu percobaan, maka pada kenyataannya salah satu kemungkinan implementasinya diamati; Tentu saja, ketika percobaan diulangi, implementasi yang berbeda akan terlihat.

Implementasi fungsi X(t) menunjukkan huruf kecil x t (t) t x 2 (t) dll., di mana indeks menunjukkan nomor tes. Misalnya jika X(t)= (/dosa T, Di mana kamu- variabel acak kontinu yang diambil pada tes pertama arti yang mungkin dan (= 3, dan pada tes kedua dan 2 = 4.6, lalu implementasi X(t) masing-masing adalah fungsi non-acak X ( (T) = 3dosa T Dan x 2 (t) = 4.6dosa T.

Jadi, fungsi acak dapat dianggap sebagai himpunan kemungkinan implementasinya.

Acak (stokastik) proses panggil fungsi argumen acak T, yang diartikan sebagai waktu. Misalnya, jika sebuah pesawat terbang harus terbang dengan kecepatan konstan tertentu, maka pada kenyataannya, karena pengaruh faktor-faktor acak (fluktuasi suhu, perubahan kekuatan angin, dll), yang pengaruhnya tidak dapat diperhitungkan sebelumnya, kecepatannya berubah. Dalam contoh ini, kecepatan pesawat merupakan fungsi acak dari argumen (waktu) yang terus berubah, yaitu. kecepatan adalah proses acak.

Perhatikan bahwa jika argumen fungsi acak berubah secara terpisah, maka nilai fungsi acak (variabel acak) yang sesuai akan terbentuk urutan acak.

Argumen fungsi acak bukan hanya waktu. Misalnya, jika diameter benang tenun diukur sepanjang panjangnya, maka karena pengaruh faktor acak maka diameter benang tersebut berubah. Dalam contoh ini, diameter adalah fungsi acak dari argumen yang terus berubah (panjang benang).

Jelasnya, secara umum tidak mungkin mendefinisikan fungsi acak secara analitis (dengan rumus). Dalam kasus khusus, jika bentuk fungsi acak diketahui, dan parameter penentunya adalah variabel acak, maka dapat ditentukan secara analitis. Misalnya, fungsi acak adalah:

X(t)= sin Qf, dimana Q adalah variabel acak,

X(t)= G/dosa T, Di mana kamu- variabel acak

X(t) = G/sin Qt, dimana TENTANG. Dan .

Khususnya, untuk Y==0 kita memperoleh D z ( T)= M[| (T)|] 2 =Dx(T), yaitu persyaratan (**) terpenuhi.

Mengingat bahwa harapan matematis jumlahnya sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku yang kita miliki

Dz(T)=M[| (T)| 2 ]=M{[ (T)] 2 + [ (T) 2 ]}=M[ (T)] 2 +M[ (T) 2 ]=Dx(T)+D kamu(T).

Jadi, varians suatu fungsi acak kompleks sama dengan jumlah varians bagian real dan imajinernya:

D z ( T)=Dx(T)+D kamu(T).

Diketahui fungsi korelasi merupakan fungsi acak nyata X(T) pada arti yang berbeda argumen sama dengan varians Dx(T). Mari kita menggeneralisasi definisi fungsi korelasi menjadi fungsi acak kompleks Z(T) sehingga kapan nilai-nilai yang setara argumen T 1 =t 2 =t fungsi korelasi Kz(T,T) sama dengan variansnya Dz(T), yaitu agar persyaratan terpenuhi

Kz(T,T)=Dz(T). (***)

Fungsi korelasi dari fungsi acak kompleks Z(T) dipanggil momen korelasi bagian ( T 1) dan ( T 2)

Kz(T 1 ,T 2)= M.

Khususnya, dengan nilai argumen yang sama

Kz(T,T)= M=M[| | 2 ]=Dz(T).

yaitu persyaratan (***) terpenuhi.

Jika fungsi acak nyata X(T) Dan Y(T) berkorelasi, kalau begitu

Kz(T 1 ,T 2)=Kx(T 1 ,T 2)+K kamu(T 1 ,T 2)+ [Rxy(T 2 ,T 1)]+ [Rxy(T 1 ,T 1)].

Jika X(T) Dan Y(T) tidak berkorelasi, kalau begitu

Kz(T 1 ,T 2)=Kx(T 1 ,T 2)+K kamu(T 1 ,T 2).

Mari kita menggeneralisasi definisi fungsi korelasi silang menjadi fungsi acak kompleks Z 1 (T)=X 1 (T)+Y 1 (T)Saya Dan Z 2 (T)=X 2 (T)+Y 2 (T)Saya sehingga, khususnya, kapan Y 1 =Y 2 = 0 persyaratan terpenuhi

Fungsi korelasi silang dari dua fungsi acak kompleks memanggil suatu fungsi (non-acak)

Khususnya, kapan Y 1 =Y 2 =0 kita dapatkan

yaitu persyaratan (****) terpenuhi.

Fungsi korelasi silang dari dua fungsi acak kompleks dinyatakan melalui fungsi korelasi silang dari bagian real dan imajinernya rumus berikut:

Tugas

1. Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak:

A) X(T)=Ut 2 dimana kamu- variabel acak, dan M(kamu)=5 ,

B)X(T)=kamu cos2 t+Vt, Di mana kamu Dan V- variabel acak, dan M(kamu)=3 ,M(V)=4 .

Reputasi. a) mx (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. Kx(T 1 ,T 2) fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi dari fungsi acak:

A) Y(T)=X(T)+t; B) Y(T)=(T+1)X(T); V) Y(T)=4X(T).

Reputasi. a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Varians ditentukan Dx(T) fungsi acak X(T). Temukan varian fungsi acak: a) Y(T)=X(T)+et b)Y(T)=tX(T).

Membalas. A) Mati(T)=Dx(T); B) Mati(T)=t 2 Dx(T).

4. Temukan: a) ekspektasi matematis; b) fungsi korelasi; c) varians dari fungsi acak X(T)=menggunakan 2T, Di mana kamu- variabel acak, dan M(kamu)=3 ,D(kamu)=6 .

Membalas. A) mx(T) =3dosa 2T; B) Kx(T 1 ,T 2)= 6dosa 2T 1 dosa 2T 2 ; V) Dx(T)=6dosa 2 2T.

5. Temukan fungsi korelasi ternormalisasi dari fungsi acak X(T), mengetahui fungsi korelasinya Kx(T 1 ,T 2)=3karena(T 2 -T 1).

Reputasi. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Temukan: a) fungsi korelasi timbal balik; b) fungsi korelasi silang yang dinormalisasi dari dua fungsi acak X(T)=(T+1)kamu, dan kamu( T)= (T 2 + 1)kamu, Di mana kamu- variabel acak, dan D(kamu)=7.

Membalas. A) Rxy(T 1 ,T 2)=7(T 1 + aku)( T 2 2 +aku); B) ρ xy(T 1 ,T 2)=1.

7. Fungsi acak diberikan X(T)= (T- 1)kamu Dan Y(T)=T 2 kamu, Di mana kamu Dan V- variabel acak yang tidak berkorelasi, dan M(kamu)=2, M(V)= 3,D(kamu)=4 , D(V)=5 . Temukan: a) ekspektasi matematis; b) fungsi korelasi; c) varians jumlah Z(T)=X(T)+Y(T).

Catatan. Pastikan fungsi korelasi silang dari fungsi acak yang diberikan sama dengan nol dan, oleh karena itu, X(T) Dan Y(T) tidak berkorelasi.

Membalas. A) mz(T)=2(T- 1)+3T 2 ; B) Kz(T 1 ,T 2)=4(T 1 - aku)( T 2 - 1)+6T 1 2 T 2 2 ; V) Dz(T)=4(T- 1) 2 +6jilid 4.

8. Harapan matematis diberikan mx(T)=T 2 +1 fungsi acak X(T). Temukan ekspektasi matematis dari turunannya.

9. Harapan matematis diberikan mx(T)=t 2 +3 fungsi acak X(T). Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak Y(T)=tX"(T)+t 3.

Reputasi. m kamu (t)=t 2 (t+2).

10. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 ,T 2)= fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi turunannya.

11. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 ,T 2)= fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi silang.