Variabel acak yang nilai-nilainya mungkin terbentuk disebut. Variabel acak

Terkadang bekerja dengan dokumen Microsoft Word lebih dari sekadar pengetikan biasa, untungnya, kemampuan program memungkinkan hal ini. Kami telah menulis tentang membuat tabel, grafik, diagram, menambahkan objek grafik, dan sejenisnya. Juga, kami berbicara tentang memasukkan karakter dan rumus matematika. Pada artikel ini kita akan melihat topik terkait, yaitu cara memasang akar kuadrat di Word, yaitu tanda akar biasa.

Memasukkan tanda akar mengikuti pola yang sama seperti memasukkan rumus atau persamaan matematika apa pun. Namun, masih ada beberapa nuansa, jadi topik ini layak mendapat pertimbangan rinci.

1. Dalam dokumen di mana Anda ingin meletakkan root, buka tab "Menyisipkan" dan klik di tempat di mana tanda ini seharusnya berada.

2. Klik pada tombol "Sebuah Objek" terletak di grup "Teks".

3. Di jendela yang muncul di depan Anda, pilih “Persamaan Microsoft 3.0”.

4. Editor rumus matematika akan terbuka di jendela program, penampilan program akan berubah total.

5. Di jendela "Rumus" klik tombolnya “Pola Fraksi dan Radikal”.

6. Dari menu drop-down, pilih tanda akar yang ingin Anda tambahkan. Pertama - Akar pangkat dua, yang kedua - derajat lainnya yang lebih tinggi (alih-alih ikon "x", Anda dapat memasukkan derajatnya).

7. Setelah menambahkan tanda akar, masukkan nilai numerik yang diperlukan di bawahnya.

8. Tutup jendelanya "Rumus" dan klik pada ruang kosong di dokumen untuk melanjutkan ke operasi normal.

Tanda akar dengan digit atau angka di bawahnya akan berada dalam bidang yang mirip dengan bidang teks atau bidang objek "Seni Kata", yang dapat dipindahkan di sekitar dokumen dan diubah ukurannya. Untuk melakukan ini, cukup tarik salah satu penanda yang membingkai bidang ini.

Untuk keluar dari mode bekerja dengan objek, cukup klik ruang kosong dokumen.

Nasihat: Untuk kembali ke mode bekerja dengan objek dan membuka kembali jendela "Rumus", klik dua kali dengan tombol kiri mouse pada bidang tempat objek yang Anda tambahkan berada

Itu saja, sekarang Anda tahu cara menambahkan tanda root di Word. Kuasai fitur-fitur baru dari program ini, dan pelajaran kami akan membantu Anda dalam hal ini.

Jika klasik teori probabilitas mempelajari terutama peristiwa-peristiwa dan kemungkinan terjadinya (kejadian), lalu modern teori probabilitas mempelajari fenomena acak dan polanya menggunakan variabel acak. Konsep variabel acak merupakan hal mendasar dalam teori probabilitas. Bahkan sebelumnya, diadakan acara-acara yang berupa kemunculan suatu nomor tertentu. Misalnya pada saat melempar dadu, angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 bisa saja muncul. Tidak mungkin menentukan terlebih dahulu jumlah poin yang muncul, karena bergantung pada banyak alasan acak yang tidak dapat diambil seluruhnya memperhitungkan. Dalam pengertian ini, jumlah poin adalah nilai acak, dan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah nilai yang mungkin nilai ini.

Variabel acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, mempunyai satu atau lain (dan satu-satunya) kemungkinan nilai numerik, tidak diketahui sebelumnya dan bergantung pada alasan acak yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya.

Variabel acak biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, dan nilai yang memungkinkannya dengan huruf kecil yang sesuai. Misalnya, jika suatu variabel acak memiliki tiga nilai yang mungkin, maka nilai tersebut dilambangkan sebagai berikut :. Untuk kenyamanan, kami akan menulis: .

CONTOH 1. Banyaknya anak laki-laki yang lahir di antara seratus bayi baru lahir merupakan nilai acak yang mempunyai kemungkinan nilai sebagai berikut: 0, 1, 2, ..., 100.

CONTOH 2. Jarak yang ditempuh proyektil ketika ditembakkan dari senjata juga merupakan nilai acak. Memang, jarak tidak hanya bergantung pada pemasangan penglihatan, tetapi juga pada banyak alasan lain (kekuatan dan arah angin, suhu, dll.) yang tidak dapat sepenuhnya diperhitungkan. Nilai-nilai yang mungkin dari besaran ini jelas termasuk dalam interval (interval) tertentu.

Perhatikan bahwa setiap kejadian acak dapat dikaitkan dengan beberapa variabel acak yang mengambil nilai dari R. Misalnya, pengalaman - menembak sasaran; peristiwa - mencapai sasaran; nilai acak - jumlah pukulan tepat sasaran.

Mari kita kembali ke contoh yang diberikan di atas. Yang pertama, variabel acak dapat mengambil salah satu dari kemungkinan nilai berikut: 0, 1, 2,..., 100. Nilai-nilai ini dipisahkan satu sama lain dengan interval di mana tidak ada nilai yang mungkin. Jadi, dalam contoh ini, variabel acak mengambil variabel individual, terisolasi, nilai yang mungkin.

Pada contoh kedua, variabel acak dapat mengambil nilai interval mana pun. Di sini tidak mungkin untuk memisahkan satu nilai yang mungkin dari yang lain dengan interval yang tidak mengandung nilai yang mungkin dari variabel acak.

Dari apa yang telah dikatakan, kita dapat menyimpulkan bahwa disarankan untuk membedakan antara variabel acak yang hanya mengambil nilai individual dan terisolasi, dan variabel acak yang nilai kemungkinannya sepenuhnya mengisi celah tertentu.

Diskrit ( berselang ) Variabel acak adalah variabel acak yang mengambil himpunan 1 nilai berbeda yang berhingga atau dapat dihitung. Dengan kata lain, ini adalah variabel acak yang mengambil kemungkinan nilai yang terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu.

Jumlah kemungkinan nilai diskrit variabel acak mungkin terbatas atau tidak terbatas.

Kontinu disebut variabel acak yang dapat mengambil semua nilai dari suatu interval nyata yang berhingga atau tak terhingga sumbu angka.

Jelasnya, pertama, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas. Kedua, variabel acak diskrit adalah kasus khusus dari variabel acak kontinu.

Hukum distribusi probabilitas

SAYA.

Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit

Pada pandangan pertama, tampaknya untuk mendefinisikan variabel acak diskrit, cukup dengan mencantumkan semua kemungkinan nilainya. Pada kenyataannya, hal ini tidak terjadi: variabel acak yang berbeda terkadang memiliki daftar nilai yang mungkin sama, tetapi probabilitas yang sesuai dari nilai-nilai ini mungkin berbeda. Oleh karena itu, untuk karakterisasi yang lengkap, mengetahui nilai suatu variabel acak saja tidak cukup; Anda juga perlu mengetahui seberapa sering nilai-nilai tersebut muncul dalam suatu eksperimen ketika diulang, yaitu. Anda juga perlu menunjukkan kemungkinan terjadinya. Pertimbangkan variabel acak . Munculnya masing-masing nilai yang mungkin menunjukkan bahwa salah satu peristiwa yang membentuk kelompok penuh

, . . . , ,

2. Mari kita asumsikan bahwa probabilitas kejadian-kejadian ini diketahui: Kemudian:korespondensi yang menetapkan hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitasnya disebut hukum distribusi probabilitas variabel acak

, atau sederhananya – hukum distribusi variabel acak.

Hukum distribusi probabilitas suatu variabel acak tertentu dapat ditentukan secara tabel (deret distribusi), secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Untuk lebih jelasnya, hukum distribusi variabel acak diskrit juga dapat digambarkan secara grafis, yang titik-titiknya dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang dan kemudian dihubungkan dengan segmen garis. Gambar yang dihasilkan disebut poligon distribusi. Dalam hal ini, jumlah ordinat poligon yang dibangun sama dengan satu.

Secara analitis, hukum distribusi variabel acak diskrit dapat ditulis, misalnya, menggunakan rumus Bernoulli untuk skema pengulangan percobaan independen. Jadi, jika kita menyatakan variabel acak, yaitu jumlah bagian cacat dalam sampel, dengan , maka nilai yang mungkin adalah 0, 1, 2, . . . ,. Maka jelas rumus Bernoulli akan membentuk hubungan antara nilai dan probabilitas () kemunculannya, di mana

apa yang menentukan hukum distribusi variabel acak tertentu.

II. Hukum distribusi probabilitas variabel acak kontinu

Ingatlah bahwa variabel acak diskrit ditentukan oleh daftar semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Metode pengaturan ini tidak umum: tidak berlaku, misalnya, untuk variabel acak kontinu.

Memang, pertimbangkan variabel acak yang kemungkinan nilainya memenuhi interval. Apakah mungkin untuk membuat daftar semua nilai yang mungkin? Jelas hal ini tidak dapat dilakukan. Contoh ini menunjukkan perlunya memberi metode umum penugasan semua jenis variabel acak (seperti yang telah disebutkan, variabel acak diskrit adalah kasus khusus dari variabel acak kontinu). Untuk tujuan ini, mereka memperkenalkan fungsi integral distribusi.

Misalkan adalah variabel yang mengambil nilai real sembarang (pada sumbu :). Pertimbangkan kejadian dimana variabel acak akan mempunyai nilai yang lebih kecil. Lalu, kemungkinannya acara tergantung pada, mis. adalah fungsi dari.

Fungsi ini biasanya dilambangkan dengan dan disebut fungsi distribusi suatu variabel acak atau juga fungsi distribusi integral. Dengan kata lain: fungsi distribusi kumulatif

disebut fungsi yang menentukan untuk setiap nilai R probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai lebih kecil, yaitu.

Secara geometris persamaan ini dapat diartikan sebagai berikut: ada kemungkinan suatu variabel acak mempunyai nilai yang diwakili pada sumbu bilangan dengan sebuah titik yang terletak di sebelah kiri titik tersebut.

Sifat-sifat fungsi integral:

Memang benar, biarlah variabel acak mempunyai nilai yang lebih kecil; demikian pula,
– suatu peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa variabel acak akan memiliki nilai yang lebih kecil. Dengan kata lain:

Oleh karena itu, jika , maka . Jadi (jelaskan - mengapa?)

atau, yang sama:

Itu yang perlu ditunjukkan.

Properti ini cukup jelas. Jadi jika - acara yang dapat diandalkan, dan adalah peristiwa yang mustahil kalau begitu

Perhatikan peristiwa berikut ini: . Kami melihatnya—yaitu. peristiwa tidak kompatibel. Kemudian

Tetapi ,Hasilnya, kita dapat menulis :, yang perlu kita tunjukkan.

Kami terutama akan mempelajari variabel acak kontinu yang fungsi distribusinya kontinu.

Grafik fungsi distribusi variabel acak diskrit adalah bertahap garis putus-putus(Lihat gambar). Besarnya lompatan pada titik diskontinuitas sama dengan probabilitas nilai variabel acak pada titik tersebut. Mengetahui deret distribusi suatu variabel acak, Anda dapat memplot fungsi distribusinya:

Untuk peubah acak kontinu yang lebih jelas bukan integralnya, melainkan fungsi distribusi diferensial atau yang disebut densitas distribusi peubah acak tersebut.

HUKUM DISTRIBUSI DAN KARAKTERISTIK

VARIABEL ACAK

Variabel acak, klasifikasinya dan metode deskripsinya.

Besaran acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu, tetapi tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, untuk variabel acak, Anda hanya dapat menentukan nilai, yang salah satunya pasti akan diambil sebagai hasil eksperimen. Berikut ini kita akan menyebut nilai-nilai ini sebagai nilai yang mungkin dari variabel acak. Karena variabel acak mencirikan secara kuantitatif hasil acak pengalaman, itu dapat dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari peristiwa acak.

Variabel acak biasanya dilambangkan dalam huruf kapital Alfabet Latin, misalnya, X..Y..Z, dan kemungkinan nilainya ditunjukkan dalam huruf kecil yang sesuai.

Ada tiga jenis variabel acak:

Diskrit; Kontinu; Campuran.

Diskrit adalah variabel acak yang banyaknya nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung. Pada gilirannya, himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor disebut dapat dihitung. Kata “diskrit” berasal dari bahasa Latin discretus yang berarti “terputus-putus, terdiri dari bagian individu» .

Contoh 1. Variabel acak diskrit adalah jumlah bagian cacat X dalam kumpulan nproduk. Memang, nilai yang mungkin dari variabel acak ini adalah rangkaian bilangan bulat dari 0 hingga n.

Contoh 2. Variabel acak diskrit adalah jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran. Di sini, seperti pada Contoh 1, nilai yang mungkin dapat diberi nomor, meskipun dalam kasus pembatas, nilai yang mungkin adalah bilangan yang sangat besar.

Kontinu adalah variabel acak yang nilai kemungkinannya terus menerus mengisi interval tertentu pada sumbu numerik, kadang disebut interval keberadaan variabel acak tersebut. Jadi, pada interval keberadaan berhingga, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu sangatlah besar.

Contoh 3. Variabel acak kontinu adalah konsumsi listrik bulanan suatu perusahaan.

Contoh 4. Variabel acak kontinu adalah kesalahan pengukuran tinggi badan dengan menggunakan altimeter. Diketahui dari prinsip pengoperasian altimeter bahwa kesalahannya terletak pada kisaran 0 sampai 2 m. Oleh karena itu, interval keberadaan variabel acak ini adalah interval dari 0 sampai 2 m.

Hukum distribusi variabel acak.

Variabel acak dianggap ditentukan sepenuhnya jika nilai yang mungkin ditunjukkan pada sumbu numerik dan hukum distribusi ditetapkan.

Hukum distribusi variabel acak adalah relasi yang menjalin hubungan antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang bersesuaian.

Variabel acak dikatakan terdistribusi hukum ini, atau tunduk pada hukum distribusi tertentu. Sejumlah probabilitas, fungsi distribusi, kepadatan probabilitas, dan fungsi karakteristik digunakan sebagai hukum distribusi.

Hukum distribusi memberikan gambaran kemungkinan yang lengkap tentang suatu variabel acak. Menurut hukum distribusi, sebelum melakukan percobaan, seseorang dapat menilai kemungkinan nilai mana dari suatu variabel acak yang akan lebih sering muncul dan mana yang lebih jarang.

Untuk variabel acak diskrit, hukum distribusinya dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, secara analitis (dalam bentuk rumus) dan secara grafis.

Bentuk paling sederhana mendefinisikan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel (matriks) di mana semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai dicantumkan dalam urutan menaik, yaitu.

Tabel seperti ini disebut deret distribusi variabel acak diskrit. 1

Peristiwa X 1, X 2,..., X n, yang terdiri dari kenyataan bahwa sebagai hasil pengujian, variabel acak X masing-masing akan mengambil nilai x 1, x 2,...x n, adalah tidak konsisten dan satu-satunya yang mungkin (karena tabel mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak), mis. membentuk kelompok yang lengkap. Oleh karena itu, jumlah probabilitasnya sama dengan 1. Jadi, untuk sembarang variabel acak diskrit

(Unit ini entah bagaimana terdistribusi di antara nilai-nilai variabel acak, oleh karena itu istilah "distribusi").

Deret distribusi dapat digambarkan secara grafis jika nilai-nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas yang sesuai diplot sepanjang sumbu ordinat. Sambungan titik-titik yang diperoleh membentuk garis putus-putus yang disebut poligon atau poligon distribusi probabilitas (Gbr. 1).

Contoh Lotere tersebut meliputi: sebuah mobil senilai 5.000 sarang. unit, 4 TV seharga 250 den. unit, 5 perekam video senilai 200 sarang. unit Sebanyak 1000 tiket terjual selama 7 hari. unit Buatlah undang-undang pembagian kemenangan bersih yang diterima oleh seorang peserta lotere yang membeli satu tiket.

Larutan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X - kemenangan bersih per tiket - sama dengan 0-7 = -7 uang. unit (jika tiket tidak menang), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unit (jika tiketnya masing-masing berisi kemenangan VCR, TV atau mobil). Mengingat dari 1000 tiket jumlah yang bukan pemenang adalah 990, dan indikasi kemenangan masing-masing adalah 5, 4 dan 1, dan menggunakan definisi klasik probabilitas, kita dapatkan.

Perluasan konsep peristiwa acak, terdiri dari penampilan beberapa nilai numerik sebagai hasil percobaan adalah nilai acak X.

Definisi. Acak Mereka menyebut besaran yang, sebagai hasil percobaan, hanya mengambil satu nilai dari sebagian totalitasnya dan tidak diketahui sebelumnya yang mana.

Nilai acak, misalnya, adalah model yang masuk akal untuk menggambarkan data geologi yang memperhitungkan pengaruhnya berbagai faktor ke bidang fisik.

Seperti hasil percobaan terpisah, nilai yang tepat Tidak mungkin untuk memprediksi variabel acak; seseorang hanya dapat menetapkan pola statistiknya, yaitu. menentukan probabilitas nilai variabel acak. Misalnya saja pengukuran properti fisik batu adalah pengamatan terhadap variabel acak yang sesuai.

Di antara variabel acak yang ditemui seorang ahli geologi, ada dua jenis utama yang dapat dibedakan: variabel terpisah dan besarnya kontinu.

Definisi. Diskrit Variabel acak adalah variabel yang dapat mempunyai himpunan nilai yang terbatas atau tidak terbatas.

Sebagai contoh yang khas peubah acak diskrit dapat berupa seluruh hasil kerja lapangan, seluruh hasil percobaan, sampel yang dibawa dari lapangan, dan sebagainya.

Semua nilai yang mungkin dari variabel acak membentuk kelompok peristiwa yang lengkap, mis. , dimana terbatas atau tidak terbatas. Oleh karena itu kami dapat mengatakan demikian nilai acak menggeneralisasikan konsep kejadian acak.

Misalkan diperoleh rangkaian data sebagai berikut sebagai hasil penelitian: komposisi kuantitatif beberapa berkembang biak: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Sebanyak 20 tes dilakukan. Agar mudah digunakan dengan data, data diubah: nilai yang dihasilkan disusun dalam urutan menaik dan jumlah kemunculan setiap nilai dihitung. Hasilnya, kami mendapatkan (Tabel 7.1):

Definisi. Distribusi data menaik disebut peringkat.

Definisi. Nilai yang diamati dari beberapa atribut dari variabel acak disebut varian.

Definisi. Rangkaian yang terdiri dari varian disebut seri variasi.

Definisi. Perubahan pada beberapa atribut dari variabel acak disebut bervariasi.

Definisi. Angka yang menunjukkan berapa kali suatu pilihan berubah disebut frekuensi dan dilambangkan dengan .

Definisi. Kemungkinan kemunculan opsi ini sama dengan rasio frekuensi terhadap jumlah total seri variasi

(1)

Dengan mempertimbangkan definisi yang diperkenalkan, kami akan menulis ulang tabel 7.1.

Tabel 7.2.