Rumah Anak sekolah Telah diketahui bahwa menurut hukum distribusi dapat ditemukan

karakteristik numerik variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama. Mari kita pertimbangkan N 1 variabel acak yang saling bebas 2 X, X

, ...., Xp, :

= (yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini. 1 Mari kita nyatakan mean aritmatika dari variabel acak yang dipertimbangkan dengan 2 X)+X

+…+X n yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini./N.

1. Tiga ketentuan berikut ini menetapkan hubungan antara karakteristik numerik dari mean aritmatika dan karakteristik yang sesuai dari masing-masing besaran individu. Ekspektasi matematis dari rata-rata

aritmatika()Besaran-besaran acak yang terdistribusi secara kovalen dan saling bebas sama dengan ekspektasi matematis dari masing-masing besaran:

M =a Bukti. Menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis (

faktor konstan( )dapat dianggap sebagai tanda ekspektasi matematis; ekspektasi matematis dari jumlah tersebut sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut), yang kita miliki

M = M Mengingat ekspektasi matematis setiap besaran menurut kondisi adalah sama dengan

aritmatika()A,

2. kita dapatkan

=na/n=a.()=Penyebaran rata-rata aritmatika dari n variabel acak saling bebas yang terdistribusi secara identik adalah n kali lebih kecil dari penyebaran D dari masing-masing nilai:(* )

D Sial. Bukti. Menggunakan sifat-sifat dispersi (faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya; dispersi jumlah

=na/n=a.( )besaran independen

sama dengan jumlah varian suku), yang kita punya =D Mengingat ekspektasi matematis setiap besaran menurut kondisi adalah sama dengan

=na/n=a.( )Mengingat dispersi masing-masing besaran menurut kondisinya adalah sama 2 D,

3. = tidak/n =D/n. Rata-rata deviasi standar rata-rata aritmatika dari n variabel acak saling independen yang terdistribusi secara identik beberapa kali lebih kecil dari rata-rata deviasi kuadrat

S =na/n=a.()masing-masing besarannya: Bukti. Karena

deviasi standar ( )= .

= H/n, dari rumus (*) dan (**): mengingat dispersi dan deviasi standar berfungsi sebagai ukuran dispersi variabel acak, kami menyimpulkan bahwa mean aritmatika cukup jumlah besar variabel acak yang saling independen memiliki penyebaran yang jauh lebih kecil dibandingkan masing-masing variabel individual.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh pentingnya kesimpulan ini untuk praktik.

Contoh. Biasanya untuk mengukur beberapa kuantitas fisik melakukan beberapa pengukuran, kemudian mencari mean aritmatika dari angka-angka yang diperoleh, yang diambil sebagai nilai perkiraan dari nilai yang diukur. Misalkan pengukuran dilakukan pada kondisi yang sama, buktikan:

a) mean aritmatika memberikan hasil yang lebih andal dibandingkan pengukuran individual;

b) dengan bertambahnya jumlah pengukuran, keandalan hasil ini meningkat.

Larutan. a) Diketahui bahwa pengukuran individu memberikan nilai yang berbeda-beda terhadap besaran yang diukur. Hasil setiap pengukuran bergantung pada banyak alasan acak (perubahan suhu, fluktuasi instrumen, dll.), yang tidak dapat diperhitungkan sepenuhnya sebelumnya.

Oleh karena itu, kami berhak mempertimbangkan kemungkinan hasil N pengukuran individu sebagai variabel acak yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini. 1 variabel acak yang saling bebas 2 , ..., X hal(indeks menunjukkan nomor pengukuran). Besaran-besaran ini mempunyai distribusi probabilitas yang sama (pengukuran dilakukan dengan menggunakan metode yang sama dan dengan instrumen yang sama), dan oleh karena itu memiliki karakteristik numerik yang sama; selain itu, keduanya saling independen (hasil pengukuran masing-masing individu tidak bergantung pada pengukuran lainnya).

Kita telah mengetahui bahwa rata-rata aritmatika dari besaran-besaran tersebut memiliki dispersi yang lebih kecil daripada besaran masing-masing. Dengan kata lain, mean aritmatikanya ternyata lebih dekat arti sebenarnya besaran yang diukur dibandingkan hasil pengukuran tunggal. Artinya rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran memberikan hasil yang lebih dapat diandalkan dibandingkan pengukuran tunggal.

b) Kita telah mengetahui bahwa dengan bertambahnya jumlah variabel acak individu, penyebaran mean aritmatika menurun. Ini berarti bahwa seiring bertambahnya jumlah pengukuran, perbedaan rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran semakin kecil dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur. Jadi, dengan menambah jumlah pengukuran, diperoleh hasil yang lebih andal.

Misalnya, jika simpangan baku suatu pengukuran individu adalah s= 6 m, dan totalnya adalah N= 36 pengukuran, maka simpangan baku rata-rata aritmatika pengukuran tersebut hanya 1 m.

deviasi standar ( )=

Kita melihat bahwa rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran, seperti yang diharapkan, ternyata lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur daripada hasil pengukuran terpisah.

Di atas kami mempertimbangkan pertanyaan untuk menemukan PDF untuk jumlah variabel acak yang independen secara statistik. Pada bagian ini, kita akan kembali mempertimbangkan jumlah variabel independen secara statistik, namun pendekatan kita akan berbeda dan tidak bergantung pada PDF parsial dari variabel acak dalam jumlah tersebut. Secara khusus, asumsikan bahwa suku-suku penjumlahan independen secara statistik dan terdistribusi secara identik variabel acak, yang masing-masing memiliki sarana terbatas dan varians terbatas.

Misalkan didefinisikan sebagai jumlah yang dinormalisasi, yang disebut mean sampel

Pertama, kita akan menentukan batas atas probabilitas ekor, dan kemudian kita akan membuktikan teorema yang sangat penting yang menentukan PDF dalam batas ketika cenderung tak terhingga.

Variabel acak yang didefinisikan oleh (2.1.187) sering dijumpai ketika memperkirakan rata-rata suatu variabel acak selama sejumlah observasi, . Dengan kata lain, dapat dianggap sebagai realisasi sampel independen dari suatu distribusi, dan merupakan perkiraan mean.

Harapan matematisnya adalah

.

Variansnya adalah

Jika kita menganggapnya sebagai perkiraan rata-rata, kita melihat bahwa ekspektasi matematisnya sama dengan, dan dispersinya menurun seiring bertambahnya ukuran sampel. Jika meningkat tanpa batas, variansnya cenderung nol. Estimasi parameter (dalam dalam hal ini), yang memenuhi syarat bahwa ekspektasi matematisnya cenderung ke nilai sebenarnya dari parameter, dan variansnya mendekati nol, disebut estimasi yang konsisten.

Probabilitas ekor suatu variabel acak dapat diperkirakan dari atas menggunakan batasan yang diberikan di Bagian. 2.1.5. Ketidaksetaraan Chebyshev dalam hubungannya dengan memiliki bentuk

,

. (2.1.188)

Dalam batas kapan , dari (2.1.188) berikut ini

. (2.1.189)

Akibatnya, probabilitas bahwa estimasi mean berbeda dari nilai sebenarnya sebesar lebih dari , cenderung nol jika nilai tersebut tumbuh tanpa batas. Ketentuan ini merupakan suatu bentuk undang-undang jumlah yang besar. Karena batas atas konvergen ke nol secara relatif lambat, mis. berbanding terbalik. ekspresi (2.1.188) disebut hukum lemah bilangan besar.

Jika kita menerapkan batas Chernoff yang mengandung ketergantungan eksponensial pada variabel acak, maka kita memperoleh padat batas atas untuk probabilitas satu ekor. Mengikuti prosedur yang diuraikan dalam Bagian. 2.1.5, kita menemukan bahwa probabilitas ekor ditentukan oleh ekspresi

dimana dan . Namun, secara statistik independen dan terdistribusi secara identik. Karena itu,

dimana adalah salah satu besarannya. Parameter yang memberikan batas atas paling akurat diperoleh dengan membedakan (2.1.191) dan menyamakan turunannya dengan nol. Hal ini mengarah pada persamaan

(2.1.192)

Mari kita nyatakan solusinya (2.1.192) dengan . Maka batasan probabilitas ekor atas adalah

, . (2.1.193)

Demikian pula, kita akan menemukan bahwa probabilitas ekor yang lebih rendah mempunyai batasan

, . (2.1.194)

Contoh 2.1.7. Misalkan , adalah serangkaian variabel acak yang independen secara statistik dan didefinisikan sebagai berikut:

Kita ingin menentukan batas atas yang ketat pada probabilitas bahwa jumlah dari lebih besar dari nol. Karena , jumlahnya akan ada nilai negatif untuk ekspektasi matematis (rata-rata), oleh karena itu, kita akan mencari probabilitas ekor atas. Karena di (2.1.193) kita punya

, (2.1.195)

di mana solusi persamaan tersebut

Karena itu,

. (2.1.197)

Akibatnya, untuk batas pada (2.1.195) kita peroleh

Kita melihat bahwa batas atas menurun secara eksponensial dengan , seperti yang diharapkan. Sebaliknya, menurut ikatan Chebyshev, probabilitas ekor menurun berbanding terbalik dengan .

Pusat teorema batas. Pada bagian ini, kita mempertimbangkan teorema yang sangat berguna mengenai IDF dari jumlah variabel acak dalam limit ketika jumlah suku dari jumlah tersebut bertambah tanpa batas. Ada beberapa versi dari teorema ini. Mari kita buktikan teorema untuk kasus ketika variabel acak yang dapat dijumlahkan , , independen secara statistik dan terdistribusi secara identik, masing-masing variabel memiliki mean terbatas dan varians terbatas.

Untuk kenyamanan, kami mendefinisikan variabel acak yang dinormalisasi

Jadi, ia mempunyai mean dan varian satuan nol.

Sekarang biarkan

Karena setiap penjumlahan dari jumlah tersebut mempunyai mean dan varians satuan nol, maka nilai yang dinormalisasi (dengan faktor ) mempunyai mean dan varians satuan nol. Kami ingin mendefinisikan FMI untuk batas kapan .

Fungsi karakteristiknya sama dengan

, (2.1.200).

,

atau, setara,

. (2.1.206)

Tapi hanya itu saja fungsi karakteristik Variabel acak Gaussian dengan mean nol dan varian satuan. Jadi kita punya hasil penting; PDF dari jumlah variabel acak yang independen secara statistik dan terdistribusi secara identik dengan mean dan varians terbatas mendekati Gaussian di. Hasil ini dikenal sebagai teorema limit pusat.

Meskipun kita berasumsi bahwa variabel-variabel acak dalam penjumlahan terdistribusi secara merata, asumsi ini dapat dilonggarkan dengan syarat masih ada batasan tambahan tertentu yang dikenakan pada sifat-sifat variabel acak yang dijumlahkan. Ada satu variasi teorema, misalnya, ketika asumsi distribusi variabel acak yang identik diabaikan demi kondisi yang dikenakan pada momen absolut ketiga dari penjumlahan variabel acak. Untuk pembahasan mengenai teorema limit pusat ini dan versi lainnya, pembaca dapat mengacu pada Cramer (1946).

Biarkan simpangan baku dari beberapa variabel acak yang saling bebas diketahui. Bagaimana cara mencari simpangan baku dari jumlah besaran tersebut? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.

Dalil. Simpangan baku dari jumlah tersebut nomor terbatas variabel acak yang saling bebas sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat simpangan baku besaran-besaran tersebut."

Bukti. Mari kita nyatakan dengan yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini. jumlah besaran-besaran yang saling bebas yang dipertimbangkan:

Varians jumlah beberapa variabel acak yang saling bebas sama dengan jumlah varians suku-sukunya (lihat 5, Akibat Akibat 1), oleh karena itu

atau akhirnya

Variabel acak yang saling independen dan terdistribusi secara identik

Telah diketahui bahwa menurut hukum distribusi seseorang dapat menemukan ciri-ciri numerik suatu variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama.

karakteristik numerik variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama. variabel acak yang saling bebas X v X v ..., Xfi, yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

, ...., Xp, yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.:

Tiga ketentuan berikut ini menetapkan hubungan antara karakteristik numerik dari mean aritmatika yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini. dan karakteristik yang sesuai dari masing-masing besaran individu.

1. Ekspektasi matematis dari mean aritmatika dari variabel acak yang saling bebas dan terdistribusi secara identik sama dengan ekspektasi matematis a dari masing-masing variabel:

Bukti. Dengan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis (faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis; ekspektasi matematis dari jumlah tersebut sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut), kita peroleh

M A, kita dapatkan

2. Sebaran mean aritmatika dari n variabel acak saling bebas yang terdistribusi secara identik adalah n kali lebih kecil dari dispersi D masing-masing variabel:

Bukti. Dengan menggunakan sifat-sifat dispersi (faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya; dispersi jumlah besaran bebas sama dengan jumlah dispersi suku-sukunya), kita peroleh

§ 9. Variabel acak saling independen yang terdistribusi secara identik 97

Mengingat dispersi masing-masing besaran menurut syaratnya sama dengan D, kita peroleh

3. Simpangan baku rata-rata aritmatika dari n acak yang terdistribusi secara identik dan saling bebas

nilainya 4n kali lebih kecil dari simpangan baku a masing-masing nilai:

Bukti. Karena D(X) = Sialan lalu simpangan bakunya yang mempunyai distribusi yang sama, dan oleh karena itu mempunyai karakteristik yang sama (ekspektasi matematis, dispersi, dll.). Yang paling menarik adalah studi tentang karakteristik numerik dari rata-rata aritmatika besaran-besaran ini, yang akan kita lakukan di bagian ini. sama

Kesimpulan umum dari rumus (*) dan (**): mengingat bahwa dispersi dan deviasi standar berfungsi sebagai ukuran dispersi suatu variabel acak, kami menyimpulkan bahwa mean aritmatika dari sejumlah besar variabel acak yang saling independen memiliki

hamburan yang jauh lebih sedikit daripada nilai masing-masing individu.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh pentingnya kesimpulan ini untuk praktik.

Contoh. Biasanya untuk mengukur suatu besaran fisis tertentu dilakukan beberapa kali pengukuran, kemudian dicari mean aritmatika dari bilangan-bilangan yang dihasilkan, yang diambil sebagai nilai perkiraan besaran yang diukur. Misalkan pengukuran dilakukan pada kondisi yang sama, buktikan:

• a) mean aritmatika memberikan hasil yang lebih andal dibandingkan pengukuran individual;
• b) dengan bertambahnya jumlah pengukuran, keandalan hasil ini meningkat.

Penyelesaian, a) Diketahui bahwa pengukuran individual memberikan nilai yang tidak sama dari besaran yang diukur. Hasil setiap pengukuran bergantung pada banyak alasan acak (perubahan suhu, fluktuasi instrumen, dll.), yang tidak dapat diperhitungkan sepenuhnya sebelumnya.

Oleh karena itu, kami berhak mempertimbangkan kemungkinan hasil variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama. pengukuran individu sebagai variabel acak X v X 2,..., X hal(indeks menunjukkan nomor pengukuran). Besaran-besaran ini mempunyai distribusi probabilitas yang sama (pengukuran dilakukan dengan menggunakan teknik dan instrumen yang sama), dan oleh karena itu memiliki karakteristik numerik yang sama; selain itu, keduanya saling independen (hasil pengukuran masing-masing individu tidak bergantung pada pengukuran lainnya).

Kita telah mengetahui bahwa rata-rata aritmatika dari besaran-besaran tersebut memiliki dispersi yang lebih kecil daripada besaran masing-masing. Dengan kata lain, mean aritmatika ternyata lebih mendekati nilai sebenarnya dari nilai yang diukur dibandingkan dengan hasil pengukuran tersendiri. Artinya rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran memberikan hasil yang lebih banyak dibandingkan dengan pengukuran tunggal.

b) Kita telah mengetahui bahwa dengan bertambahnya jumlah variabel acak individu, penyebaran mean aritmatika menurun. Ini berarti bahwa seiring bertambahnya jumlah pengukuran, perbedaan rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran semakin kecil dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur. Jadi, dengan menambah jumlah pengukuran, diperoleh hasil yang lebih andal.

Misalnya, jika simpangan baku suatu pengukuran individu adalah a = 6 m, dan totalnya adalah variabel acak. Oleh karena itu, jika beberapa variabel acak mempunyai distribusi yang identik, maka karakteristik numeriknya adalah sama.= 36 pengukuran, maka simpangan baku rata-rata aritmatika pengukuran tersebut hanya 1 m.

Kita melihat bahwa rata-rata aritmatika dari beberapa pengukuran, seperti yang diharapkan, ternyata lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur daripada hasil pengukuran terpisah.

Untuk menyelesaikan banyak hal masalah praktis perlu diketahui kompleksnya kondisi yang menyebabkan dampak kumulatifnya jumlah besar faktor acak hampir tidak tergantung pada kebetulan. Kondisi tersebut dijelaskan dalam beberapa teorema yang disebut nama umum hukum bilangan besar, dimana variabel acak k sama dengan 1 atau 0 tergantung apakah hasil percobaan ke-k berhasil atau gagal. Jadi, Sn adalah jumlah dari n variabel acak yang saling bebas, yang masing-masing bernilai 1 dan 0 dengan probabilitas p dan q.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan tidak lagi acak.

teorema Poisson menyatakan frekuensi suatu kejadian dalam suatu rangkaian tes independen cenderung ke rata-rata aritmatika dari probabilitasnya dan tidak lagi acak.

Teorema limit teori probabilitas, teorema Moivre-Laplace menjelaskan sifat kestabilan frekuensi terjadinya suatu peristiwa. Sifat ini terletak pada kenyataan bahwa distribusi pembatas jumlah kemunculan suatu peristiwa dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas (jika peluang kejadian tersebut sama di semua percobaan) adalah distribusi normal.

Teorema limit pusat menjelaskan distribusi luas dari hukum distribusi normal. Teorema tersebut menyatakan bahwa setiap kali suatu variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan sejumlah besar variabel acak bebas yang mempunyai varian berhingga, maka hukum distribusi variabel acak tersebut ternyata merupakan hukum yang hampir normal.

teorema Lyapunov menjelaskan penyebaran luas hukum distribusi normal dan menjelaskan mekanisme pembentukannya. Teorema ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa setiap kali suatu variabel acak terbentuk sebagai hasil penjumlahan sejumlah besar variabel acak independen, yang variansnya kecil dibandingkan dengan dispersi penjumlahannya, hukum distribusi variabel acak ini berubah. menjadi hukum yang hampir normal. Dan karena variabel acak selalu dihasilkan jumlah yang tak terbatas karena alasan tertentu dan seringkali tidak ada satupun yang memiliki dispersi yang sebanding dengan dispersi variabel acak itu sendiri, maka sebagian besar variabel acak yang ditemui dalam praktik tunduk pada hukum biasa distribusi.

Pernyataan kualitatif dan kuantitatif dari hukum bilangan besar didasarkan pada Ketimpangan Chebyshev. Ini menentukan batas atas probabilitas bahwa penyimpangan nilai suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya lebih besar dari nilai tertentu nomor yang diberikan. Sungguh luar biasa bahwa ketidaksetaraan Chebyshev memberikan perkiraan probabilitas suatu peristiwa untuk variabel acak yang distribusinya tidak diketahui, hanya ekspektasi matematis dan variansnya yang diketahui.

Ketimpangan Chebyshev. Jika suatu variabel acak x mempunyai varians, maka untuk sembarang x > 0 pertidaksamaannya benar, dimana aritmatika x dan =na/n=a. x - ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak x.

teorema Bernoulli. Misal x n adalah banyaknya keberhasilan dalam n percobaan Bernoulli dan p probabilitas keberhasilan dalam suatu percobaan individual. Maka untuk sembarang s > 0 itu benar.

teorema Lyapunov. Misalkan s 1, s 2, …, s n, …- urutan yang tidak terbatas variabel acak bebas dengan ekspektasi matematis m 1, m 2, …, m n, … dan varians s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Mari kita tunjukkan.

Maka = Ф(b) - Ф(a) untuk sembarang bilangan real a dan b, dimana Ф(x) adalah fungsi distribusi normal.

Biarkan variabel acak diskrit diberikan. Mari kita perhatikan ketergantungan jumlah keberhasilan Sn pada jumlah percobaan n. Pada setiap percobaan, Sn bertambah 1 atau 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagai:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Hukum Bilangan Besar. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Jika ekspektasi matematis = M(k) ada, maka untuk sembarang > 0 untuk n

Dengan kata lain, probabilitas bahwa rata-rata S n /n berbeda dari ekspektasi matematis kurang dari nilai yang ditentukan secara sewenang-wenang cenderung satu.

Teorema limit pusat. Misalkan (k) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Anggap saja mereka ada. Misalkan Sn = 1 +…+ n , Maka untuk sembarang tetap

F () -- F () (1.3)

Di sini F (x) -- fungsi normal saya mendistribusikan. Teorema ini dirumuskan dan dibuktikan oleh Linlberg. Lyapunov dan penulis lain membuktikannya sebelumnya, dalam kondisi yang lebih ketat. Perlu dibayangkan bahwa teorema yang dirumuskan di atas hanyalah sebuah kasus yang sangat khusus dari lebih banyak lagi teorema umum, yang pada gilirannya terkait erat dengan banyak teorema limit lainnya. Perhatikan bahwa (1.3) jauh lebih kuat dari (1.2), karena (1.3) memberikan perkiraan probabilitas bahwa perbedaannya lebih besar dari. Di sisi lain, hukum bilangan besar (1.2) berlaku meskipun variabel acak k tidak mempunyai varian berhingga, sehingga berlaku untuk lebih banyak variabel acak. kasus umum daripada teorema limit pusat (1.3). Mari kita ilustrasikan dua teorema terakhir dengan contoh.

Contoh. a) Perhatikan barisan pelemparan sebuah dadu simetris secara bebas. Misalkan k adalah jumlah poin yang diperoleh pada lemparan ke-k. Kemudian

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 dan S n /n

adalah jumlah rata-rata poin yang dihasilkan dari n lemparan.

Hukum bilangan besar menyatakan bahwa masuk akal bahwa untuk n besar, rata-ratanya akan mendekati 3,5. Teorema Limit Pusat menyatakan peluang |Sn -- 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Pengambilan sampel. Mari kita asumsikan itu di populasi,

terdiri dari N keluarga, masing-masing Nk keluarga mempunyai tepat k anak

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Jika suatu keluarga dipilih secara acak, maka banyaknya anak yang ada di dalamnya merupakan variabel acak yang mempunyai nilai probabilitas p = N/N. Dalam pemilihan back-to-back, seseorang dapat melihat sampel berukuran n sebagai kumpulan n variabel acak independen atau "pengamatan" 1, ..., n yang semuanya memiliki distribusi yang sama; S n /n adalah mean sampel. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa untuk suatu bilangan yang cukup besar sampel acak rata-ratanya mungkin mendekati, yaitu rata-rata populasi. Teorema limit pusat memungkinkan seseorang memperkirakan kemungkinan besarnya perbedaan antara rata-rata ini dan menentukan ukuran sampel yang diperlukan untuk estimasi yang andal. Dalam praktiknya, dan dan biasanya tidak diketahui; namun, dalam banyak kasus, perkiraan awal mudah diperoleh dan selalu dapat dimasukkan dalam batasan yang dapat diandalkan. Jika kita menginginkan probabilitas sebesar 0,99 atau lebih besar dimana mean sampel S n /n berbeda dari mean populasi yang tidak diketahui kurang dari 1/10, maka ukuran sampel harus diambil sedemikian rupa sehingga

Akar x dari persamaan Ф(x) - Ф(-- x) = 0,99 sama dengan x = 2,57 ..., oleh karena itu n harus sedemikian sehingga 2,57 atau n > 660. Perkiraan awal yang cermat memungkinkan untuk menemukan ukuran sampel yang diperlukan.

c) Distribusi Poisson.

Misalkan variabel acak k mempunyai distribusi Poisson (p(k;)). Maka Sn mempunyai distribusi Poisson dengan harapan matematis dan varians sama dengan n.

Dengan menulis sebagai pengganti n, kita menyimpulkan bahwa untuk n

Penjumlahan dilakukan pada semua k dari 0 sampai. Ph-la (1.5) juga berlaku ketika dengan cara yang sewenang-wenang.

Mereka bilang begitu independen (dan) terdistribusi secara identik, jika masing-masing besaran mempunyai distribusi yang sama dengan besaran lain, dan semua besaran secara agregat tidak bergantung satu sama lain. Ungkapan "terdistribusi identik secara independen" sering disingkat menjadi i.i.d.(dari bahasa Inggris independen dan terdistribusi secara identik ), terkadang - "n.o.r".

Aplikasi

Asumsi bahwa variabel acak adalah independen dan terdistribusi secara identik banyak digunakan dalam teori probabilitas dan statistik, karena memungkinkan seseorang untuk menyederhanakan perhitungan teoretis dan membuktikan hasil yang menarik.

Salah satu teorema utama teori probabilitas - teorema limit pusat - menyatakan bahwa jika adalah barisan variabel acak independen yang terdistribusi secara identik, maka, karena cenderung tak terhingga, distribusi rata-rata - variabel acaknya menyatu ke distribusi normal.

Dalam statistik, secara umum diasumsikan bahwa sampel statistik adalah rangkaian i.i.d. realisasi beberapa variabel acak (sampel seperti itu disebut sederhana).

Yayasan Wikimedia.

• 2010.
• Yaitu.

Intel 8048

Lihat apa itu “Variabel acak terdistribusi identik independen” di kamus lain:– Masalah kehancuran pemain adalah masalah dari bidang teori probabilitas. dibahas secara rinci matematikawan Rusia A. N. Shiryaev dalam monografi “Probabilitas” ... Wikipedia

Distribusi berkelanjutan- dalam teori probabilitas, ini adalah distribusi yang dapat diperoleh sebagai batasan distribusi jumlah variabel acak independen. Isi 1 Definisi 2 Catatan ... Wikipedia

Rumus Levy-Khinchin untuk distribusi yang stabil- Distribusi stabil dalam teori probabilitas adalah distribusi yang dapat diperoleh sebagai batasan distribusi jumlah variabel acak independen. Daftar Isi 1 Definisi 2 Keterangan 3 Sifat distribusi yang stabil... Wikipedia

Distribusi yang tidak dapat dibagi- dalam teori probabilitas, ini adalah distribusi variabel acak sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan dalam bentuk sejumlah suku independen yang terdistribusi secara identik. Isi 1 Definisi ... Wikipedia

Model Cramer-Lundberg- Model Kramer Lundberg model matematika, yang memungkinkan Anda menilai risiko kehancuran perusahaan asuransi. Dalam kerangka model ini, diasumsikan bahwa premi asuransi diterima secara seragam, dengan tarif bersyarat satuan moneter per satuan... ...Wikipedia

Rumus Levy-Khinchin untuk distribusi yang habis dibagi tak terhingga- Distribusi tak terhingga dalam teori probabilitas adalah distribusi variabel acak sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan sebagai sejumlah suku independen dan terdistribusi identik. Isi 1 Definisi 2 ... ... Wikipedia

Model Cramer- Artikel ini harus di-Wikifikasi. Harap format sesuai dengan aturan format artikel. Model Cramer Lundberg adalah model matematika yang memungkinkan seseorang menilai risiko kebangkrutan suatu perusahaan asuransi... Wikipedia

Kontrol statistik penerimaan- totalitas metode statistik pengendalian produk massal untuk menentukan kepatuhannya terhadap persyaratan yang ditentukan. P.S. j.cara yang efektif untuk memastikan kualitas produk massal yang baik. P.S. untuk.dilakukan pada... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Distribusi multinomial- Distribusi multinomial (polinomial) dalam teori probabilitas merupakan generalisasi distribusi binomial dalam hal tes independen percobaan acak dengan beberapa kemungkinan hasil. Definisi Biarkan mandiri... ... Wikipedia

Distribusi polinomial- Distribusi multinomial (polinomial) dalam teori probabilitas merupakan generalisasi dari distribusi binomial pada kasus uji independen suatu eksperimen acak dengan beberapa kemungkinan hasil. Definisi: Biarkan yang independen menjadi sama... ... Wikipedia