dan pada suatu sumbu atau vektor lain terdapat konsep proyeksi geometrik dan proyeksi numerik (atau aljabar). Hasil proyeksi geometri berupa vektor, dan hasil proyeksi aljabar berupa bilangan non-negatif. bilangan real. Namun sebelum kita beralih ke konsep ini, mari kita ingat informasi yang diperlukan.
Informasi awal
Konsep utamanya adalah konsep vektor itu sendiri. Untuk mengenal definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.
Definisi 1
Ruas adalah bagian suatu garis yang mempunyai dua batas yang berbentuk titik.
Sebuah segmen dapat memiliki 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kita menyebut salah satu batas segmen sebagai permulaan, dan batas lainnya sebagai akhir. Arahnya ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.
Definisi 2
Segmen vektor atau berarah adalah segmen yang diketahui batas segmen mana yang dianggap awal dan mana yang berakhir.
Penunjukan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ adalah awalnya, dan $B$ adalah akhirnya).
Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gbr. 1).
Mari kita perkenalkan beberapa konsep lagi yang berkaitan dengan konsep vektor.
Definisi 3
Kita akan menyebut dua vektor bukan nol segaris jika keduanya terletak pada garis yang sama atau pada garis yang sejajar satu sama lain (Gbr. 2).
Definisi 4
Kita akan menyebut dua vektor bukan nol searah jika keduanya memenuhi dua kondisi:
- Vektor-vektor ini kolinear.
- Jika diarahkan ke satu arah (Gbr. 3).
Notasi: $\overline(a)\overline(b)$
Definisi 5
Kita akan menyebut dua vektor bukan nol yang arahnya berlawanan jika memenuhi dua syarat:
- Vektor-vektor ini kolinear.
- Jika mereka diarahkan ke sisi yang berbeda(Gbr. 4).
Notasi: $\overline(a)↓\overline(d)$
Definisi 6
Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.
Notasi: $|\overline(a)|$
Mari kita lanjutkan ke menentukan persamaan dua vektor
Definisi 7
Kita menyebut dua vektor sama jika memenuhi dua syarat:
- Mereka bersifat searah;
- Panjangnya sama (Gbr. 5).
Proyeksi geometris
Seperti yang telah kami katakan sebelumnya, hasil proyeksi geometri akan berupa vektor.
Definisi 8
Proyeksi geometri vektor $\overline(AB)$ pada suatu sumbu adalah vektor yang diperoleh sebagai berikut: Titik asal vektor $A$ diproyeksikan ke sumbu tersebut. Kita memperoleh titik $A"$ - awal dari vektor yang diinginkan. Titik akhir dari vektor $B$ diproyeksikan ke sumbu ini. Kita memperoleh titik $B"$ - akhir dari vektor yang diinginkan. Vektor $\overline(A"B")$ akan menjadi vektor yang diinginkan.
Mari kita pertimbangkan masalahnya:
Contoh 1
Buatlah proyeksi geometri $\overline(AB)$ pada sumbu $l$ yang ditunjukkan pada Gambar 6.
Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $A$ ke sumbu $l$, kita mendapatkan titik $A"$ di atasnya. Selanjutnya, kita menggambar garis tegak lurus dari titik $B$ ke sumbu $l$, kita mendapatkan titik $B "$ di atasnya (Gbr. 7).
Gambar dalam gambar benda geometris dibangun dengan menggunakan metode proyeksi. Namun untuk ini satu gambar saja tidak cukup; setidaknya diperlukan dua proyeksi. Dengan bantuan mereka, titik-titik dalam ruang ditentukan. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui cara mencari proyeksi suatu titik.
Proyeksi titik
Untuk melakukan ini, Anda perlu mempertimbangkan ruangnya sudut dihedral, dengan titik (A) terletak di dalamnya. Di sini bidang proyeksi P1 horizontal dan P2 vertikal digunakan. Titik (A) diproyeksikan secara ortogonal ke bidang proyeksi. Adapun sinar-sinar proyeksi yang tegak lurus digabungkan menjadi bidang proyeksi, tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Jadi, ketika bidang horizontal P1 dan bidang P2 frontal digabungkan dengan memutar sepanjang sumbu P2/P1, kita mendapatkan gambar datar.
Kemudian sebuah garis dengan titik-titik proyeksi yang terletak di atasnya diperlihatkan tegak lurus terhadap sumbunya. Jadi ternyata gambar yang rumit. Berkat segmen yang dibangun di atasnya dan garis vertikal koneksi, Anda dapat dengan mudah menentukan posisi suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi.
Untuk memudahkan memahami cara mencari proyeksi, perlu diperhatikan segitiga siku-siku. Sisi pendeknya adalah kaki, dan sisi panjangnya adalah sisi miring. Jika Anda memproyeksikan kaki ke sisi miring, kaki itu akan terbagi menjadi dua segmen. Untuk menentukan nilainya, Anda perlu menghitung sekumpulan data awal. Mari kita lihat segitiga yang diberikan, metode untuk menghitung proyeksi utama.
Biasanya, dalam soal ini mereka menunjukkan panjang kaki N dan panjang sisi miring D, yang proyeksinya perlu dicari. Untuk melakukan ini, kita akan mengetahui cara menemukan proyeksi kaki.
Mari kita perhatikan metode mencari panjang kaki (A). Mengingat rata-rata geometri proyeksi kaki dan panjang sisi miring sama dengan nilai kaki yang kita cari: N = √(D*Nd).
Cara mencari panjang proyeksi
Akar hasil kali dapat dicari dengan mengkuadratkan panjang kaki yang diinginkan (N), lalu membaginya dengan panjang sisi miring: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Saat menentukan nilai hanya kaki D dan N pada data sumber, proyeksi panjangnya harus dicari menggunakan teorema Pythagoras.
Mari kita cari panjang sisi miring D. Untuk melakukannya, Anda perlu menggunakan nilai kaki √ (N² + T²), lalu substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam rumus berikut untuk mencari proyeksi: Nd = N² / √ (N² + T²).
Apabila data awal berisi data panjang proyeksi kaki RD, serta data nilai sisi miring D, maka panjang proyeksi kaki kedua ND harus dihitung dengan menggunakan rumus pengurangan sederhana: ND = D – RD.
Proyeksi kecepatan
Mari kita lihat cara mencari proyeksi kecepatan. Untuk untuk vektor yang diberikan Gambaran gerak yang disajikan harus ditempatkan dalam proyeksi pada sumbu koordinat. Terdapat satu sumbu koordinat (sinar), dua sumbu koordinat (bidang), dan tiga sumbu koordinat (ruang). Saat menemukan proyeksi, garis tegak lurus dari ujung vektor harus diturunkan ke sumbu.
Untuk memahami pengertian proyeksi, Anda perlu mengetahui cara mencari proyeksi suatu vektor.
Proyeksi vektor
Ketika benda bergerak tegak lurus terhadap sumbu, proyeksi akan direpresentasikan sebagai sebuah titik, dan memiliki nilai sama dengan nol. Jika geraknya dilakukan sejajar sumbu koordinat, maka proyeksinya akan berimpit dengan modulus vektor. Jika benda bergerak sedemikian rupa sehingga vektor kecepatan diarahkan pada sudut φ relatif terhadap sumbu (x), proyeksi ke sumbu ini akan berupa segmen: V(x) = V cos(φ), dimana V adalah model vektor kecepatan. Jika arah vektor kecepatan dan sumbu koordinat berimpit, maka proyeksinya positif, begitu pula sebaliknya.
Mari kita ambil yang berikut ini persamaan koordinat: x = x(t), y = y(t), z = z(t). DI DALAM dalam hal ini fungsi kecepatan akan diproyeksikan ke tiga sumbu dan berbentuk sebagai berikut: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Maka untuk mencari kecepatan perlu dicari turunannya. Vektor kecepatan itu sendiri dinyatakan dengan persamaan bentuk berikut: V = V(x) i + V(y ) j + V(z) k. Di sini i , j, k adalah vektor satuan sumbu koordinat x, y, z masing-masing. Jadi, modul kecepatan dihitung dengan rumus berikut: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Mari kita nyatakan dengan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi dan pindahkan vektornya
sehingga titik asal berimpit dengan suatu titik pada sumbunya. Jika arah komponen vektor dan sumbunya sama, maka sudut a akan lancip dan, seperti terlihat pada Gambar. 24, sebuah,
dimana a adalah modul vektor a. Jika arah vektor dan sumbunya berlawanan, maka dengan memperhatikan tanda proyeksinya, kita akan mendapatkan (lihat Gambar 24, b)
yaitu ekspresi sebelumnya (Anda harus ingat bahwa dalam hal ini sudut a tumpul dan
Jadi, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan hasil kali modulus vektor dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:
Selain itu memiliki secara eksklusif penting rumus proyeksi vektor ke sumbu, Anda dapat memberikan satu lagi rumus sederhana. Mari kita atur titik asal pada sumbu dan pilih skala yang sama dengan skala vektor. Sebagaimana diketahui, koordinat suatu titik adalah suatu bilangan yang menyatakan, pada skala yang dipilih, jarak dari titik asal sumbu ke proyeksi suatu titik tertentu pada sumbunya, dan bilangan ini diambil dengan tanda tambah jika proyeksi titik dihilangkan dari titik asal searah sumbu, dan dengan tanda minus sebaliknya. Jadi, misalnya, koordinat titik A (Gbr. 23, b) adalah bilangan bertanda yang menyatakan panjang ruas, dan koordinat titik B adalah bilangan bertanda yang menentukan panjang ruas (kita lakukan tidak memikirkan hal ini
secara lebih rinci, dengan asumsi pembaca sudah familiar dengan konsep koordinat suatu titik dari mata kuliah matematika dasar).
Mari kita nyatakan dengan koordinat awal, dan dengan koordinat akhir vektor pada sumbu x. Kemudian, seperti dapat dilihat dari Gambar. 23, ah, kita akan punya
Proyeksi vektor ke sumbu x akan sama dengan
atau, dengan mempertimbangkan persamaan sebelumnya,
Sangat mudah untuk melihat bahwa formula ini memilikinya karakter umum dan tidak bergantung pada letak vektor relatif terhadap sumbu dan titik asal. Memang benar, perhatikan kasus yang digambarkan pada Gambar. 23,b. Dari definisi koordinat titik dan proyeksi vektor berturut-turut kita peroleh
(pembaca dapat dengan mudah memeriksa validitas rumus dan dan pada lokasi vektor yang berbeda relatif terhadap sumbu dan titik asal).
Dari (6.11) dapat disimpulkan bahwa proyeksi vektor pada sumbu sama dengan selisih antara koordinat ujung dan awal vektor.
Menghitung proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu paling sering terjadi berbagai masalah. Oleh karena itu, perlu dikembangkan keterampilan yang kuat dalam menghitung proyeksi. Anda dapat menunjukkan beberapa teknik yang memudahkan proses penghitungan proyeksi.
1. Tanda proyeksi vektor ke sumbu, biasanya, dapat ditentukan langsung dari gambar, dan modulus proyeksi dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Di mana - sudut lancip antara vektor dan sumbu proyeksi - jika dan jika Teknik ini, tanpa memperkenalkan sesuatu yang baru secara fundamental, agaknya
memudahkan perhitungan proyeksi karena tidak memerlukan transformasi trigonometri.
2. Jika perlu menentukan proyeksi suatu vektor pada dua sumbu x dan y yang saling tegak lurus (diasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang sumbu tersebut) dan merupakan sudut lancip antara vektor dan sumbu x, maka
(tanda proyeksi ditentukan dari gambar).
Contoh. Temukan proyeksi pada sumbu koordinat x dan y dari gaya yang ditunjukkan pada Gambar. 25. Dari gambar terlihat jelas bahwa kedua proyeksi tersebut akan bernilai negatif. Karena itu,
3. Terkadang diterapkan aturan desain ganda, yaitu sebagai berikut. Misalkan sebuah vektor dan sebuah sumbu yang terletak pada bidang tersebut. Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari ujung vektor ke bidang dan garis lurus, lalu hubungkan alas garis tegak lurus tersebut dengan ruas garis lurus (Gbr. 26). Mari kita nyatakan sudut antara vektor dan bidang dengan sudut antara dan oleh dan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi dengan a. Karena sudutnya siku-siku (menurut konstruksi), maka
Banyak besaran fisis sepenuhnya ditentukan dengan menentukan nomor tertentu. Ini misalnya volume, massa, massa jenis, suhu benda, dll. Besaran seperti itu disebut skalar. Oleh karena itu, bilangan terkadang disebut skalar. Namun ada juga besaran yang ditentukan dengan menentukan tidak hanya angka, tetapi juga arah tertentu. Misalnya, ketika suatu benda bergerak, Anda harus menunjukkan tidak hanya kecepatan gerak benda tersebut, tetapi juga arah pergerakannya. Dengan cara yang sama, ketika mempelajari aksi suatu gaya, perlu untuk menunjukkan tidak hanya besarnya gaya ini, tetapi juga arah aksinya. Besaran yang demikian disebut vektor. Untuk mendeskripsikannya, konsep vektor diperkenalkan, yang ternyata berguna untuk matematika.
Definisi vektor
Setiap pasangan terurut titik A ke B dalam ruang terdefinisi segmen terarah, yaitu. suatu segmen beserta arah yang ditentukan di atasnya. Jika titik A adalah titik pertama, maka disebut titik awal ruas berarah, dan titik B adalah ujungnya. Arah suatu segmen dianggap sebagai arah dari awal hingga akhir.
Definisi
Segmen berarah disebut vektor.
Kita akan menyatakan sebuah vektor dengan simbol \(\overrightarrow(AB) \), dengan huruf pertama menunjukkan awal dari vektor, dan huruf kedua menunjukkan akhir vektor.
Vektor yang awal dan akhirnya berimpit disebut nol dan dilambangkan dengan \(\vec(0)\) atau cukup 0.
Jarak antara titik awal dan titik akhir suatu vektor disebut jaraknya panjang dan dilambangkan dengan \(|\overrightarrow(AB)| \) atau \(|\vec(a)| \).
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dipanggil segaris, jika keduanya terletak pada garis yang sama atau sejajar. Vektor-vektor yang segaris dapat mempunyai arah yang sama atau berlawanan.
Sekarang kita bisa merumuskannya konsep penting persamaan dua vektor.
Definisi
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dikatakan sama (\(\vec(a) = \vec(b) \)) jika keduanya segaris, mempunyai persamaan arah dan panjangnya sama.
Pada Gambar. 1 digambarkan di sebelah kiri tidak sama, dan di sebelah kanan - vektor yang sama\(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \). Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa jika suatu vektor tertentu dipindahkan sejajar dengan vektor itu sendiri, maka hasilnya adalah vektor yang sama dengan vektor tersebut. Dalam hal ini, vektor-vektor di geometri analitik ditelepon bebas.
Proyeksi vektor ke sumbu
Misalkan sumbu \(u\) dan beberapa vektor \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Mari kita menggambar bidang yang tegak lurus sumbu \(u\) melalui titik A dan B. Mari kita nyatakan dengan A" dan B" titik potong bidang-bidang ini dengan sumbunya (lihat Gambar 2).
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu \(u\) adalah nilai A"B" dari ruas berarah A"B" pada sumbu \(u\). Mari kita ingat hal itu
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) berimpit dengan arah sumbu \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) berlawanan dengan arah sumbu \(u\),
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB)\) pada sumbu \(u\) dinotasikan sebagai berikut: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Dalil
Proyeksi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada sumbu \(u\) sama dengan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) \) dikalikan kosinus sudut antara vektor \ (\overrightarrow(AB) \) dan sumbu \( u\) , yaitu
Komentar
Misalkan \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dan beberapa sumbu \(u\) ditentukan. Menerapkan rumus teorema untuk masing-masing vektor ini, kita memperoleh
Proyeksi vektor pada sumbu koordinat
Mari kita diberikan di luar angkasa sistem persegi panjang koordinat Oxyz dan vektor sembarang \(\overrightarrow(AB)\). Misalkan, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Proyeksi vektor X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) pada sumbu koordinat disebut koordinat. Pada saat yang sama mereka menulis
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Dalil
Apapun dua titik A(x 1 ; y 1 ; z 1) dan B(x 2 ; y 2 ; z 2), koordinat vektor \(\overrightarrow(AB) \) ditentukan dengan rumus berikut :
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Komentar
Jika vektor \(\overrightarrow(AB) \) meninggalkan titik asal, mis. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, maka koordinat X, Y, Z dari vektor \(\overrightarrow(AB) \) sama dengan koordinat ujungnya:
X = x, Y = y, Z = z.
Kosinus arah suatu vektor
Misalkan suatu vektor sembarang \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); kita asumsikan \(\vec(a) \) keluar dari titik asal dan tidak terletak pada bidang koordinat mana pun. Mari kita menggambar bidang yang tegak lurus sumbu melalui titik A. Bersama bidang koordinat mereka membentuk paralelepiped persegi panjang, yang diagonalnya adalah segmen OA (lihat gambar).
Dari geometri dasar diketahui kuadrat panjang diagonalnya paralelepiped persegi panjang sama dengan jumlahnya kuadrat panjang ketiga dimensinya. Karena itu,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Namun \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); demikianlah yang kita dapatkan
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
atau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Rumus ini menyatakan panjang suatu vektor sembarang melalui koordinatnya.
Mari kita nyatakan dengan \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) sudut antara vektor \(\vec(a) \) dan sumbu koordinat. Dari rumus proyeksi vektor ke sumbu dan panjang vektor kita peroleh
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) disebut cosinus arah vektor \(\vec(a) \).
Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan dari masing-masing persamaan sebelumnya dan menjumlahkan hasilnya, kita dapatkan
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
itu. jumlah kuadrat cosinus arah suatu vektor sama dengan satu.
Operasi linier pada vektor dan sifat dasarnya
Operasi linier pada vektor adalah operasi penjumlahan dan pengurangan vektor serta mengalikan vektor dengan bilangan.Penjumlahan dua vektor
Misalkan dua vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) diberikan. Jumlah \(\vec(a) + \vec(b) \) adalah vektor yang dimulai dari awal vektor \(\vec(a) \) sampai akhir vektor \(\vec(b) \) dengan syarat vektor \(\vec(b) \) menempel pada ujung vektor \(\vec(a) \) (lihat gambar).Komentar
Tindakan pengurangan vektor merupakan kebalikan dari tindakan penjumlahan, yaitu. perbedaan \(\vec(b) - \vec(a) \) vektor \(\vec(b) \) dan \(\vec(a) \) adalah sebuah vektor yang jika dijumlahkan dengan vektor \(\ vec(a ) \) menghasilkan vektor \(\vec(b) \) (lihat gambar).
Komentar
Dengan menentukan jumlah dua vektor, Anda dapat mencari jumlah berapa pun vektor yang diberikan. Misalkan, diberikan tiga vektor \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Menambahkan \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \), kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sekarang dengan menambahkan vektor \(\vec(c) \), kita memperoleh vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Hasil kali vektor dan bilangan
Misalkan vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dan bilangan \(\lambda \neq 0 \) diberikan. Hasil kali \(\lambda \vec(a) \) adalah suatu vektor yang segaris terhadap vektor \(\vec(a) \), mempunyai panjang sama dengan \(|\lambda| |\vec(a)| \), dan arahnya sama dengan vektor \(\vec(a) \) jika \(\lambda > 0 \), dan sebaliknya jika \(\lambda Arti geometris operasi perkalian vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dengan bilangan \(\lambda \neq 0 \) dapat dinyatakan sebagai berikut: if \(|\lambda| >1 \ ), maka ketika vektor \(\vec(a) \) dikalikan dengan bilangan \(\lambda \) maka vektor \(\vec(a) \) “diregangkan” \(\lambda \) kali, dan jika \ (|\lambda| 1 \ ).Jika \(\lambda =0 \) atau \(\vec(a) = \vec(0) \), maka hasil kali \(\lambda \vec(a) \) dianggap sama dengan vektor nol.
Komentar
Dengan menggunakan definisi mengalikan suatu vektor dengan suatu bilangan, mudah untuk membuktikan bahwa jika vektor-vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah segaris dan \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), maka terdapat (dan hanya satu) bilangan \(\lambda \) sehingga \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Sifat dasar operasi linier
1. Sifat komutatif penjumlahan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Properti yang cocok tambahan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Sifat kombinatif perkalian
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Properti distributif relatif terhadap jumlah angka
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Sifat distributif terhadap jumlah vektor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Komentar
Properti ini operasi linier sangat penting karena memungkinkan dilakukannya operasi aljabar biasa pada vektor. Misalnya, karena sifat 4 dan 5, Anda dapat mengalikan polinomial skalar dengan polinomial vektor “suku demi suku”.
Teorema proyeksi vektor
Dalil
Proyeksi jumlah dua vektor pada suatu sumbu sama dengan jumlah proyeksinya pada sumbu tersebut, yaitu.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Teorema ini dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah suku berapa pun.
Dalil
Ketika vektor \(\vec(a) \) dikalikan dengan bilangan \(\lambda \), proyeksinya pada sumbu juga dikalikan dengan bilangan tersebut, yaitu. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dan \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), maka
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Konsekuensi
Jika \(\vec(a) = (x;y;z) \), maka \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) untuk nomor apa saja \(\lambda \)
Dari sini mudah untuk menyimpulkan kondisi kolinearitas dua vektor dalam koordinat.
Memang, persamaan \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) ekuivalen dengan persamaan \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) atau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) yaitu vektor-vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) segaris jika dan hanya jika koordinatnya proporsional.
Penguraian vektor menjadi basis
Misalkan vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) adalah vektor satuan sumbu koordinat, mis. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dan masing-masing berarah sama dengan sumbu koordinat yang bersesuaian (lihat gambar). Tripel vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) disebut dasar.
Teorema berikut berlaku.
Dalil
Setiap vektor \(\vec(a) \) dapat diperluas secara unik pada basis \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), mis. disajikan sebagai
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
dimana \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) adalah beberapa angka. 
