1. Pertimbangkan vektor sembarang. Pertama-tama mari kita asumsikan bahwa vektor-vektor ini bebas linier. Dalam hal ini, determinan Gram yang dikompilasi untuk salah satu vektor tersebut akan berbeda dari nol. Kemudian, asumsikan menurut (22)
(23)
dan mengalikan suku demi suku ketidaksetaraan dan ketimpangan tersebut
, (24)
.
Jadi, determinan Gram untuk linear vektor independen positif, untuk ketergantungan linier adalah nol. Penentu Gram tidak pernah negatif.
Mari kita tunjukkan singkatan 
. Kemudian dari (23) dan (24)
dimana adalah luas jajar genjang yang dibangun di atas dan . Berikutnya,
,
di mana adalah volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor. Melanjutkan lebih jauh, kami menemukan:
,
dan akhirnya
. (25)
Wajar untuk menyebutnya volume paralelepiped berdimensi yang dibangun di atas vektor seperti pada tepinya.
Mari kita nyatakan dengan , koordinat vektor dalam beberapa basis ortonormal di , dan misalkan
Kemudian berdasarkan (14)
dan karena itu [lihat rumus (25)]
. (26)
Persamaan ini mempunyai arti geometri sebagai berikut:
Volume kuadrat dari sebuah parallelepiped sama dengan jumlahnya volume kuadrat dari proyeksinya ke semua subruang berdimensi koordinat. Khususnya, jika dari (26) berikut ini:
. (26)
Dengan menggunakan rumus (20), (21), (22), (26), (26"), sejumlah masalah metrik dasar geometri analitik kesatuan dimensi dan Euclidean diselesaikan.
2. Mari kembali ke ekspansi (15). Ini mengikuti langsung dari ini:
yang jika digabungkan dengan (22), menghasilkan pertidaksamaan (untuk vektor sembarang 
)
dalam hal ini, tanda sama dengan berlaku jika dan hanya jika vektornya ortogonal terhadap vektor.
Dari sini mudah untuk memperoleh apa yang disebut ketimpangan Hadamard
dimana tanda sama dengan berlaku jika dan hanya jika vektor-vektornya ortogonal berpasangan. Ketimpangan (29) mengungkapkan fakta yang jelas secara geometris berikut ini:
Volume sebuah parallelepiped tidak melebihi hasil kali panjang rusuknya dan sama dengan hasil kali ini hanya jika parallelepiped berbentuk persegi panjang.
Ketidaksetaraan Hadamard dapat diatasi tampilan biasa, memasukkan (28) dan mempertimbangkan determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor dalam beberapa basis ortonormal:
.
Kemudian dari (26") dan (28) berikut ini
. (28)
3. Sekarang mari kita buat pertidaksamaan Hadamard yang digeneralisasikan, yang mencakup pertidaksamaan (27) dan pertidaksamaan (28):
dan tanda sama dengan berlaku jika dan hanya jika masing-masing vektor ortogonal terhadap salah satu vektor atau salah satu determinannya, 
sama dengan nol.
Pertidaksamaan (28") mempunyai arti geometri sebagai berikut:
Volume sebuah parallelepiped tidak melebihi hasil kali volume dua permukaan tambahan dan sama dengan hasil kali ini jika dan hanya jika permukaan-permukaan tersebut saling ortogonal atau setidaknya salah satu dari keduanya mempunyai volume nol.
Kami akan menetapkan validitas pertidaksamaan (29) secara induktif terhadap jumlah vektor . Pertidaksamaan tersebut benar jika bilangan ini adalah 1 [lihat rumus (27)].
Mari kita perkenalkan dua subruang dan, masing-masing, dengan basis dan . Jelas sekali, . Mari kita perhatikan ekspansi ortogonal
.
Mengganti kuadrat volume paralelepiped dengan hasil kali kuadrat volume alas dan kuadrat tinggi [lihat. rumus (22)], kita temukan
Dalam hal ini, dari dekomposisi vektor sebagai berikut:
, (31)
dan di sini tanda itu hanya terjadi ketika .
Dengan menggunakan relasi (30), (30"), (31) dan asumsi induksi, kita peroleh:
Kami mendapat ketimpangan (29). Lanjut ke klarifikasi kapan tanda muncul pada pertidaksamaan ini, kita asumsikan demikian 
Dan 
. Kemudian menurut (30") juga 
Dan . Karena dalam relasi (32) tanda sama dengan berlaku di mana-mana, maka, dengan asumsi induksi, masing-masing vektor ortogonal terhadap masing-masing vektor. Jelasnya, vektor juga memiliki sifat ini
Dengan demikian, ketidaksetaraan Hadamard yang digeneralisasikan sepenuhnya terbentuk.
4. Pertidaksamaan umum Hadamard (29) juga dapat diberikan bentuk analitis.
Biarlah menjadi bentuk Hermitian pasti positif yang sewenang-wenang. Mengingat koordinat suatu vektor dalam ruang berdimensi dengan basis, kita ambil bentuknya sebagai bentuk metrik dasar (lihat halaman 224). Maka akan menjadi suatu kesatuan ruang. Mari kita terapkan pertidaksamaan Hadamard yang digeneralisasikan pada vektor-vektor basis: - matriks nyata dari koefisien-koefisien bentuk kuadrat pasti positif antara vektor-vektor dan, mendefinisikannya dari relasi
.
Dari ketidaksetaraan Bunyakovsky dapat disimpulkan bahwa ia mempunyai nilai yang nyata.
Mereka mengatakan itu dalam ruang linier nyata X operasi yang ditentukan perkalian vektor skalar, jika ada pasangan vektor x dan pada dari X patuh bilangan real yang disebut produk skalar vektor X Dan pada dan ditandai dengan simbol (x,y), dan jika ada X. kamu, z € X dan bilangan real apa pun A berikut ini dilakukan aksioma perkalian titik:
- 1. (x,y) =(kamu,; X).
- 2. (.t + kamu, z)= (x,z) + (y, z).
- 3. (ah, kamu) = sebuah(x,y).
- 4. (x, x)> 0 jam x F 0 dan (x, X)= 0 jam X = 0.
Contoh 8.1. Biarkan X menjadi ruangnya vektor geometris, belajar di aljabar vektor. Perkalian titik, yang didefinisikan sebagai hasil kali panjang dua vektor dan kosinus sudut di antara keduanya, memenuhi aksioma perkalian titik. ?
Contoh 8.2. DI DALAM ruang aritmatika K hal tinggi kolom N produk titik vektor
dapat ditentukan dengan rumus
Tidak sulit untuk memeriksa validitas aksioma perkalian skalar. Sebagai contoh, mari kita periksa kepuasan Aksioma 4. Perhatikan hal itu
Tetapi jumlah kuadratnya positif jika paling sedikit salah satu bilangannya Xi bukan nol (atau xf 0), dan sama dengan nol jika semua x* sama dengan nol (yaitu x = 0). ?
Contoh 8.3. Dalam ruang linier polinomial dengan koefisien derajat riil tidak lebih tinggi dari N- 1 produk skalar dapat dimasukkan dengan rumus
Verifikasi aksioma produk skalar didasarkan pada properti integral tertentu dan tidak sulit. ?
Contoh 8.4. Dalam ruang linier Sa, b] fungsi variabel nyata, kontinu pada interval [a, 6], hasil kali skalar dapat dimasukkan dengan cara yang sama seperti dalam ruang linier polinomial - menggunakan integral tertentu: 
Verifikasi aksioma perkalian skalar dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya. ?
Dari aksioma 2 dan 3 berikut ini setiap kombinasi vektor linier berhingga dapat dikalikan secara skalar menjadi kombinasi vektor linier lainnya menurut aturan mengalikan polinomial dengan polinomial, yaitu. sesuai dengan rumusnya
Sah ruang linier, yang mendefinisikan perkalian skalar vektor, disebut ruang Euclidean. Ruang linier berdimensi terbatas dapat diubah menjadi ruang Euclidean dengan berbagai cara. Jika dalam ruang Euclidean berdimensi n X dasar tetap e, e^,..., e n, maka vektor apa saja x dan y mengalami dekomposisi di dalamnya
dan rumus (8.1) untuk vektor inai memberi
atau di bentuk matriks di mana seharusnya
Dengan demikian, hasil kali skalar dalam ruang Euclidean X ditentukan seluruhnya oleh matriks D. Tidak semua matriks persegi dapat muncul pada rumus (8.3). Tetapi jika satu hasil kali skalar dalam suatu basis tertentu ditentukan oleh suatu matriks Г, maka mudah untuk dipahami bahwa matriks yang sama, hanya dalam basis yang berbeda, juga menentukan hasil kali skalar. Dengan mempertahankan matriks Г dan mengubah basisnya, kita peroleh himpunan tak terbatas produk skalar dalam ruang linier berdimensi π tertentu.
Matriks Г yang terlibat dalam rumus (8.3) disebut matriks Gram dasar e = (ex, b2,..., e p). Matriks Gram (matriks hasil kali skalar) dapat didefinisikan tidak hanya untuk basis, tetapi juga untuk sistem vektor berhingga terurut sembarang.
Mari kita perhatikan beberapa sifat matriks Gram dari basis dalam ruang Euclidean berdimensi n.
1. Matriks Gram G simetris dan untuk sembarang kolom berdimensi nXF 0 memenuhi kondisi tersebutx TGX > 0, khususnya elemen diagonal(ei,ej) = ef Ya * Matriks Gram bersifat semi-ekuivalen.
Simetri matriks Gram mengikuti aksioma 1 hasil kali skalar, yang menyatakan (e*, misalnya)= (e^, e*) untuk dua vektor basis apa pun, dan kondisinya x T G x> 0, xf 0, setara dengan Aksioma 4 hasil kali skalar.
Matriks simetris A, memuaskan kondisinya xt Ah >> 0, x F 0, dipanggil pasti positif. Dengan mempertimbangkan istilah ini, properti yang dibuktikan adalah sebagai berikut: matriks Gram pasti positif.
2. matriks gram G dan G" dua basis e dan e" dari ruang Euclidean dihubungkan oleh relasi
dimana T adalah matriks transisi dari basis e ke basis e".
Memang ketika berpindah dari basis e ke basis e! koordinat X Dan pada dua vektor X Dan pada diubah menjadi koordinat X" Dan kamu" menurut rumus (lihat bagian 4.6)
Oleh karena itu, matriks T T G T ada matriks Gram sebagai dasarnya e!.
3. Penentu matriks Gram dari basis apa pun adalah positif.
Memang, dari rumus (8.4) dapat disimpulkan bahwa ketika basis diubah, determinan matriks Gram tetap bertanda (atau tetap sama dengan nol), karena determinan matriks transisi bukan nol:
Perlu diperhatikan bahwa sebagai matriks Gram Г kita dapat mengambil matriks identitas (lihat keterangan di bawah), yang memiliki determinan sama dengan satu.
4. Semua anak di bawah umur diagonal sudut
Matriks gram basis e lf e2 , ... dan positif.
Memang, bagi siapa pun Ke kita dapat menganggap subruang Lfc = (ei,...,efc) sebagai ruang Euclidean independen.
Maka determinan matriks Gram untuk basis ei, 62, ..., akan berimpit dengan D^. Berdasarkan sifat sebelumnya, determinan ini positif.
Komentar. Di Sekte. 9.C ditetapkan bahwa properti 4 diperlukan dan kondisi cukup kepastian yang positif matriks persegi. Oleh karena itu, sifat 4 berasal dari sifat 1. Setiap matriks definit positif adalah matriks Gram dengan basis tertentu dalam ruang Euclidean tertentu. Memang, hasil kali skalar dapat didefinisikan dengan rumus (8.3), di mana setiap matriks pasti positif dapat diambil sebagai Γ. Maka aksioma 1 hasil kali skalar akan mengikuti simetri matriks , aksioma 2 dan 3 - dari sifat distributivitas produk matriks, dan aksioma 4 - dari kondisi kepastian positif G. Oleh karena itu, setiap matriks dengan sifat 4 dapat dianggap sebagai matriks Gram. Secara khusus, seseorang dapat memilih matriks identitas sebagai matriks Gram, yaitu. dalam dasar tertentu e, ..., e hal tentukan produk titiknya
rumus
Seperti telah disebutkan, konsep matriks Gram dapat diperkenalkan untuk sistem vektor berhingga yang terurut secara sembarang. Pada saat yang sama dan masuk kasus umum matriks Gram tetap simetris, tetapi sifat-sifat lainnya (kepastian positif, determinan positif) hilang. Pernyataan berikut berlaku.
Teorema 8.1.Matriks Gram suatu sistem vektor adalah non-singular jika dan hanya jika sistem tersebut bebas linier. Matriks Gram tidak linier sistem ketergantungan vektor adalah pasti positif dan, khususnya, memiliki determinan positif. Penentu matriks Gram dari sistem vektor yang bergantung linier sama dengan nol.
> Setiap sistem vektor yang bebas linier dapat dianggap sebagai basis dalam beberapa ruang Euclidean, yaitu di dalamnya cangkang linier. Menurut sifat-sifat matriks Gram basisnya, matriks Gram dari sistem vektor yang ditinjau adalah pasti positif. Oleh karena itu, semuanya sudut anak di bawah umur, khususnya determinannya, adalah positif. Artinya matriks Gram juga linier sistem mandiri vektor tidak merosot.
Mengalikan persamaan vektor ini secara skalar dengan vektor A A2 , dan untuk,
kita memperoleh sistem persamaan linear yang homogen
relatif terhadap koefisien ac, aku dianggap linier
kombinasi. Matriks sistem ini adalah matriks Gram Г dari sistem vektor A A,2 , ..., CLk Jika matriks Г adalah non-singular, maka sistem homogen hanya mempunyai solusi nol. Artinya sistem vektor yang dimaksud A A2 , , ke independen linier.
Jika sistem vektor A, ^k bergantung linier, maka dipertimbangkan sistem linier mempunyai solusi bukan nol. Oleh karena itu, determinannya, yaitu. determinan matriks Gram dari sistem vektor yang ditinjau sama dengan nol.
Def: Penentu Gram, sistem vektor ( e 1 , e 2 , …, e k} disebut determinan
G( e 1 , e 2 , …, e k) = 
.
T° . Agar sistem vektor ( e 1 , e 2 , …, e k) Ruang Euclidean E n adalah
bergantung linier, maka perlu dan cukup agar Г( e 1 , e 2 , …, e k) setara
◀ Kebutuhan. Membiarkan e 1 , e 2 , …, e k bergantung secara linear. Kemudian e k= sebuah 1 e 1 + sebuah 2 e 2 +…+ e k–1 a k–1 dan di Г( e 1 , e 2 , …, e k) elemen baris terakhir terlihat seperti 1 ( e 1 ,e saya) + sebuah 2 ( e 2 ,e saya) + …+ sebuah k –1 (e k –1 ,e saya), yaitu baris terakhir adalah kombinasi linier dari sisa Þ Г( e 1 , e 2 , …, e k) = 0.
Kecukupan. Misalkan G( e 1 , e 2 , …, e k) = 0 Þ garis-garisnya bergantung linier Þ $b 1 , b 2 , …, b k b 1 ( e 1 ,e saya) + … + b k(e k ,e i) = 0 (b 1 e 1 + … +b k e k= 0 dan tidak semua b Saya= 0 Þ e 1 , e 2 , …, e k bergantung secara linear. Kontradiksi
Konsekuensi. Jika e 1 , e 2 , …, e k bebas linier, maka Г( e 1 , e 2 , …, e k) ¹ 0. Selain itu, Г( e 1 , e 2 , …, e k) > 0
◀ Mengingat ℒ( e 1 , e 2 , …, e k). Kemudian ( e k ,e i) – elemen matriks yang simetris bentuk bilinear, sesuai dengan yang mana bentuk kuadrat mendefinisikan produk skalar, mis. adalah pasti positif. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k> 0. Tapi D k= ( e 1 , e 2 , …, e k)
§2. Saling mendasarkan.
Koordinat vektor kovarian dan kontravarian
Membiarkan E n– Ruang Euclidean, misalkan ( e 1 , e 2 , …, e n)dasar di E n Dan ( e 1 , e 2 , …, e n)dasar lain di E n. Basis ( e saya) Dan ( e saya) disebut timbal balik jika ( e saya, ej) = = .
Kronecker-Capelli.
T° . Dasar apa pun ( e saya) dari E n mempunyai dasar timbal balik yang unik.
◀ Biarkan ej= e 1 + e 2 + … + e n. Kalikan persamaan tersebut secara skalar dengan e saya.
(e saya, ej) = (e saya, e 1) + (e saya, e 2) + … + (e saya, e n) = , Saya, J = 1, 2, …, N.
Kita punya sistem heterogen N-persamaan linier dengan N tidak diketahui, determinan sistem ini adalah Г( e 1 , e 2 , …, e n) ¹ 0, mis. sistem memiliki solusi unik bukan nol.
Oleh karena itu vektor ej ditentukan secara jelas. Mari kita pastikan bahwa mereka membentuk suatu basis (yaitu, mereka bebas linier).
Biarkan 1 e 1 + 1 e 2 + …+ sebuah tidak ada= 0. Kalikan secara skalar dengan e saya.
sebuah 1 ( e saya, e 1) + sebuah 2 ( e saya, e 2) + … + sebuah N(e saya, e n) = 0 Þ a Saya= 0, Saya, J = 1, 2, …, N
Komentar : jika dasar ( e saya) ortonormal, maka basis timbal baliknya bertepatan dengan basis yang diberikan.
Membiarkan ( e saya) Dan ( ej) saling mendasarkan di E n.
Lalu "xО E n 
(1)
(X 1 , X 2 , …, xn) disebut koordinat kovarian dari vektor X.
(X 1 , X 2 , …, xn) disebut koordinat kontravarian dari vektor X.
Perjanjian: Biarlah ada ekspresi yang terdiri dari faktor-faktor yang dilengkapi nomor terbatas indeks (atas dan bawah). Dalam hal ini, disepakati bahwa semua subskrip ditetapkan simbol yang berbeda(mirip dengan yang teratas). Jika dalam ekspresi seperti itu terdapat dua indeks yang identik, yang satu di atas dan yang lainnya di bawah, maka dianggap bahwa penjumlahan dilakukan atas indeks tersebut dari 1 hingga N.) kita dapatkan ej= g ji e i; ej= g ji e i.
produk skalar dari vektor yang ditentukan oleh koordinat.
Biarkan di dasar e
vektor diberikan A
= x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + xn e n
, V
= di 1 e 1
+ di 2 e 2
+ … + kamu n e n
. Kemudian ( a, c) =
(x 1 e 1
+ x 2 e 2
+ … + xn e n
)×( di 1 e 1
+ di 2 e 2
+ … + kamu n e n
) = 
= x T × G× pada, Di mana x T– string koordinat vektor A
, kamu – kolom koordinat vektor V
. Jadi, ( a, c)
= x T × G× pada(42).
Sifat-sifat matriks Gram.
1 0 . Matriks Gram simetris terhadap diagonal utama.
Ini mengikuti fakta bahwa ( baiklah, baiklah ) = (e s, e k ).
2 0 . Elemen diagonal matriks Gram benar-benar positif.
Ini mengikuti fakta bahwa e k ¹ 0 dan karena itu ( ek, ek ) > 0.
3 0 . Untuk matriks Gram dan apa pun N- kolom dimensi X kondisi terpenuhi x T × G× X> 0.
Ini mengikuti aksioma ke-4 definisi produk skalar.
Matriks simetris A, memuaskan kondisinya x T × A× X> 0 untuk apa pun
kolom bukan nol X, ditelepon pasti positif. Oleh karena itu, matriks
Nenek pasti positif.
4 0 . Membiarkan e = (e 1 , e 2, ... , e n ) Dan e 1 = (e 1 1 , e 2 1, ... , dan 1 ) – dua pangkalan masuk E n , G Dan G 1– Matriks Gram dari produk skalar tertentu dalam basis e Dan e 1 masing-masing. Membiarkan T– matriks transisi dari basis e ke pangkalan e 1 . Kemudian ( a, c) = x T × G× y, x = T×x 1, y = T×y 1, x T = (T×x 1)T =(x 1)T × T T. Karena itu, ( a, c) = ((x 1)T × T T)× G×(×у 1) = (x 1)T×(T T× G×T)× kamu 1. Tetapi ( a, c) = (x 1)T × G 1 × kamu 1. Dari sini
G 1 = T T × G × T(43)
Rumus (42) memberikan hubungan antara matriks Gram dalam basis yang berbeda.
5 0 . Penentu matriks Gram pada semua basis mempunyai tanda yang sama.
Dari rumus (42) berikut ú G 1ú =ú T Tú ×ú Gú ×ú Tú = ú Gú ×ú T kamu 2. Karena Tú 2 > 0, lalu ú G 1 kamu dan kamu G kamu memiliki tanda-tanda yang sama.
Contoh.
1.
Berlimpah M 2
matriks persegi dengan elemen nyata, produk skalar diberikan oleh rumus 
. Temukan matriks Gram produk ini di basisnya e 1
= , e 2
= , e 3
= , e 4
= .
Larutan. Mari temukan semua produk berpasangan elemen dasar: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2 , e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3 , e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. Oleh karena itu,
2.
Di luar angkasa R
[X] dari polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari 3, produk skalar diberikan oleh rumus 
, Di mana A Dan B– bilangan real tetap, A< b.
Susun matriks Gram pada basis (1, x, x 2, x 3).
Larutan. Mari kita cari semua hasil kali berpasangan dari unsur-unsur dasar: (1, 1) = = b–a,
(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x 2) = (x 2, 1) = = ), (1, x 3) = (x 3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x 2) = (x 2 , x) = = ), (x, x 3) = (x 3 , x) = = ), (x 2, x 2) = = ), (x 2, x 3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = = ). Matriks Gram akan terlihat seperti:
G = 
.
3. Secara dasar ( e 1, e 2, e 3 ) ruang angkasa E 3 produk skalar diberikan oleh matriks Gram G= . Temukan produk skalar vektor A = (1, –5, 4) dan V = (–3, 2, 7).
Larutan. Dengan menggunakan rumus (41), kita memperoleh ( A , V ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Pengenalan metrik di ruang Euclidean
Membiarkan E n – N- ruang Euclidean dimensi. Sebut saja hasil kali skalar suatu vektor dan vektor itu sendiri skalar kuadrat dari vektor ini , yaitu. ( A A ) = sebuah 2 . Menurut aksioma ke-4 hasil kali skalar sebuah 2 ³ 0.
Definisi 47. Panjang vektor ditelepon nilai aritmatika akar kuadrat dari kuadrat skalar vektor ini. itu. kamu A kamu = (44)
Properti panjang vektor:
1. Vektor apa pun A memiliki panjang dan hanya satu, ú A ú ³ 0.
2. ú sebuah× A kamu = kamu×ú A kamu untuk apa pun A Î E n .
3. Untuk vektor apa pun A Dan V dari E n ketidaksetaraan ú benar a×b ú £ú A ú ×ú V ú.
Bukti.(A -A V ) 2 = A 2 – 2a( a, c ) + 2 × V 2 ³ 0 untuk setiap a О R. Karena trinomial kuadrat non-negatif untuk sembarang nilai a, maka diskriminannya juga non-positif, yaitu ( a, c ) 2 – A 2× V 2 £ 0, atau ( a, c ) 2 £ A 2× V 2. Oleh karena itu kamu a×b ú £ú A ú ×ú V kamu (45). Tanda sama dengan dalam rumus ini adalah jika dan hanya jika vektor-vektornya sebanding.
Definisi 48. Vektor yang mempunyai satuan panjang disebut vektor satuan atau ortom .
4 0 . Bagi siapa pun yang tidak vektor nol ada satuan yang sebanding dengannya.
Jika sebuah ¹ 0 , lalu kamu A ú ¹ 0. Oleh karena itu, ada sebuah vektor sebuah 0 = A . Jelas sekali, sebuah 0 kamu =1.
Definisi 49. Sudut antara vektor bukan nol a dan bilangan real seperti itu disebut J, itu (46).
Sudut antar vektor A dan juga dapat dilambangkan .
Sifat-sifat sudut.
1 0 . Untuk dua vektor bukan nol, sudut antara keduanya ditentukan.
Dari rumus (44) berikut ini Oleh karena itu, J ada.
2 0 . Jika a ¹ 0, b ¹ 0, maka .
Definisi 48. Dua buah vektor tak nol disebut ortogonal , jika hasil kali skalarnya sama dengan nol.
Vektor ortogonal dilambangkan A ^V.
3 0 . Jika A ^V , a ¹ 0, b ¹ 0, Itu ( A A )^ (B V ).
4 0 . Jika A ^V Dan A ^Dengan , Itu A ^(V + Dengan ).
Definisi 50. Himpunan semua vektor dalam ruang E n , ortogonal terhadap vektor A , yang ditambahkan vektor nol disebut komplemen ortogonal dari vektor a .
5 0 . Komplemen vektor ortogonal A adalah ( N - 1) subruang Euclidean berdimensi di E n .
Bukti.
Dari sifat-sifat 3 0 dan 4 0 maka himpunan yang ditinjau L adalah subruang linier V E n . Sejak di E n Jika perkalian skalar terdefinisi, maka perkalian skalar juga terdefinisi dalam komplemen ortogonal, oleh karena itu, L adalah subruang Euclidean. Di samping itu, Dengan Î L Û ( A , Dengan ) = 0 (*). Mari kita perbaiki E n dasar. Membiarkan A = (a 1, a 2, …, dan n), Dengan = (x 1, x 2, …, xn). Kemudian Dengan Î L Û sebuah T ×G×x = 0 (**). Persamaan (**) bersifat linier persamaan homogen Dengan N tidak dikenal. Sistem mendasar solusinya terdiri dari ( N– 1) solusi. Oleh karena itu, ruang solusi persamaan (**) adalah ( N– 1)-dimensi.
Membiarkan Ek – subruang ruang E n . Mari kita tunjukkan E himpunan yang terdiri dari vektor nol dan semua vektor ortogonal terhadap sembarang vektor bukan nol dari Ek .Dengan kata lain Dengan Î E Û ( Dengan , A ) = 0 untuk semua A Î Ek . Ruang angkasa E komplemen ortogonal ke luar angkasa Ek .
