Trinomial persegi. Memfaktorkan trinomial kuadrat

Perkembangan pelajaran terbuka

aljabar di kelas 8

pada topik: “Trinomial persegi. Penguraian trinomial kuadrat oleh pengganda."

Guru matematika, Sekolah Menengah KSU No. 16, Karaganda

Bekenova G.M.

Karaganda 2015

“Matematika tidak bisa dipelajari melalui observasi.”

Larry Niven - profesor matematika

Topik pelajaran:

Trinomial persegi.

Memfaktorkan trinomial kuadrat.

Tujuan pelajaran:

1. Mencapai keberhasilan latihan dan penerapan pengetahuan seluruh siswa di kelas dalam memfaktorkan trinomial kuadrat.

2. Mempromosikan: a) pengembangan pengendalian diri dan pembelajaran mandiri,

b) kemampuan untuk menggunakan papan tulis interaktif,

c) perkembangan literasi matematika, kerapian.

3. Mengembangkan kemampuan mengungkapkan pikiran secara kompeten dan ringkas, toleran terhadap pandangan teman sekelas, dan menerima kepuasan dari hasil yang dicapai.

Jenis pelajaran: menggabungkan pelajaran dengan dibedakan dan pendekatan individu, dengan unsur pengembangan dan pelatihan lanjutan.

Lokasi pelajaran: pelajaran ketiga tentang topik ini (utama), pada dua pelajaran pertama siswa mempelajari pengertian trinomial kuadrat, belajar mencari akar-akarnya, mengenal algoritma pemfaktoran trinomial kuadrat, dan ini akan membantu di masa depan menyelesaikan persamaan, mereduksi pecahan, transformasi ekspresi aljabar.

Struktur pelajaran:

1 Memperbarui pengetahuan dengan pendekatan yang berbeda kepada siswa.

2 Kontrol adalah pengujian diri atas pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

3 Penyajian materi baru sebagian merupakan metode pencarian.

4 Konsolidasi utama dari apa yang telah dipelajari, pendekatan yang dibedakan secara individual.

5 Pemahaman, generalisasi pengetahuan.

6 Menetapkan pekerjaan rumah menggunakan pembelajaran berbasis masalah.

Peralatan: papan tulis interaktif, papan tulis biasa, kartu tugas, buku teks Aljabar 8, kertas fotokopi dan kertas kosong, simbol fisiognomi.

Kemajuan pelajaran

Momen organisasi (1 menit).

1. Menyapa siswa; memeriksa kesiapan mereka untuk pelajaran.

2. Komunikasikan tujuan pelajaran.

Tahap I.

“Pengulangan adalah ibu dari pembelajaran.”

1. Memeriksa pekerjaan rumah. Nomor 476 (b,d), Nomor 474, Nomor 475

2. Pekerjaan individu di kartu (4 orang) (saat mengecek pekerjaan rumah) (5 menit)

Tahap II.

"Percaya tapi verifikasi"

Uji pekerjaan dengan pengendalian diri.

Uji kerja (melalui kertas karbon) dengan uji mandiri.

Pilihan 1 opsi m II

1) 2)

2. Faktorkan trinomial kuadrat:

Jawaban

Ke pekerjaan tes

"Percaya, tapi verifikasi."

1. Temukan akar-akar trinomial kuadrat:

opsi dan variasi NT

2. Faktorkan trinomial kuadrat:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Beberapa jawaban menarik yang perlu diperhatikan.

Pertanyaan untuk siswa:

Menurut Anda di mana kita bisa menerapkan faktorisasi trinomial kuadrat?

Benar: saat menyelesaikan persamaan,

saat mereduksi pecahan,

dalam mentransformasikan ekspresi aljabar.

Tahap III

” Keterampilan dan tenaga kerja akan menghancurkan segalanya”(10 menit)

1. Pertimbangkan penggunaan pemfaktoran trinomial kuadrat saat mereduksi pecahan. Siswa bekerja di papan tulis.

Kurangi pecahan:

2. Sekarang mari kita perhatikan penggunaan pemfaktoran trinomial kuadrat dalam transformasi ekspresi aljabar.

Buku pelajaran. Aljabar 8. hal. 126 No. 570 (b)

Sekarang tunjukkan bagaimana Anda menggunakan faktorisasi trinomial kuadrat.

Tahap IV

"Pukul selagi setrika masih panas!"

Kerja mandiri (13 menit)

Opsi I Pilihan 1

Kurangi pecahan:

5. Saya menyadari bahwa…….

6. Sekarang saya bisa…….

7. Saya merasakan itu…..

8. Saya membeli….

9. Saya belajar…….

10. Saya melakukannya………

11.Saya mampu….

12. Saya akan mencoba......

13. Saya terkejut…..

14. Dia memberi saya pelajaran seumur hidup….

15. Saya ingin….

Informasi tentang pekerjaan rumah: membawa pekerjaan rumahmu untuk pelajaran berikutnya pekerjaan mandiri yang kami terima seminggu yang lalu.

Pekerjaan mandiri di rumah.

Opsi I Pilihan 1

№ 560 (a,c) Nomor 560 (b,d)

№ 564 (a,c) No.564(b,d)

№ 566 (a) Nomor 566 (b)

№ 569 (a) Nomor 569 (b)

№ 571 (a,c) Nomor 571 (b,d)

Pelajaran sudah selesai.

Memfaktorkan trinomial kuadrat mungkin berguna saat menyelesaikan pertidaksamaan dari soal C3 atau soal dengan parameter C5. Juga banyak masalah kata B13 akan diselesaikan lebih cepat jika Anda mengetahui teorema Vieta.

Teorema ini tentunya dapat dilihat dari sudut pandang kelas 8 yang baru pertama kali diajarkan. Namun tugas kita adalah mempersiapkan diri dengan baik untuk Ujian Negara Bersatu dan belajar menyelesaikan tugas ujian seefisien mungkin. Oleh karena itu, pelajaran ini menganggap pendekatannya sedikit berbeda dari pendekatan di sekolah.

Rumus akar persamaan menggunakan teorema Vieta Banyak orang mengetahui (atau setidaknya pernah melihat):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \kuad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

dimana `a, b` dan `c` adalah koefisien trinomial kuadrat `ax^2+bx+c`.

Untuk mempelajari cara menggunakan teorema dengan mudah, mari kita pahami dari mana teorema tersebut berasal (ini akan memudahkan untuk mengingatnya).

Mari kita punya persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk memudahkan lebih lanjut, bagilah dengan `a` dan dapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat tereduksi.

Ide pelajaran penting: polinomial kuadrat apa pun yang memiliki akar dapat diperluas ke dalam tanda kurung. Mari kita asumsikan bahwa persamaan kita dapat direpresentasikan sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa konstanta.

Mari kita lihat bagaimana tanda kurung terbuka:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Jadi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ini sedikit berbeda dengan penafsiran klasik teorema Vieta- di dalamnya kita mencari akar persamaan. Saya mengusulkan untuk mencari istilah untuk dekomposisi braket- dengan cara ini kamu tidak perlu mengingat minus dari rumus tersebut (artinya `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Cukup dengan memilih dua bilangan tersebut, yang jumlahnya sama dengan koefisien rata-rata, dan hasil kali sama dengan suku bebas.

Jika kita memerlukan penyelesaian persamaan, maka sudah jelas: akar `x=-k` atau `x=-l` (karena dalam kasus ini salah satu tanda kurung akan menjadi nol, yang berarti seluruh ekspresi akan menjadi nol ).

Saya akan menunjukkan algoritmanya sebagai contoh: Cara memperluas polinomial kuadrat ke dalam tanda kurung.

Contoh satu. Algoritma untuk memfaktorkan trinomial kuadrat

Jalur yang kita miliki adalah trinomial kuadran `x^2+5x+4`.

Itu berkurang (koefisien `x^2` sama dengan satu). Dia memiliki akar. (Yang pasti, Anda dapat memperkirakan diskriminan dan memastikan bahwa diskriminannya lebih besar dari nol.)

Langkah selanjutnya (Anda perlu mempelajarinya setelah menyelesaikan semuanya tugas pelatihan):

Tuliskan yang berikut ini: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Tinggalkan titik saja ruang bebas, kami akan menambahkan angka dan tanda yang sesuai di sana.
Lihat semuanya pilihan yang memungkinkan, bagaimana cara menguraikan bilangan `4` menjadi hasil kali dua bilangan. Kami mendapatkan pasangan “kandidat” untuk akar persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
Cari tahu dari pasangan mana Anda bisa mendapatkan koefisien rata-rata. Jelas itu `1, 4`.
Tulis $$x^2+5x+4=(x \kuad 4)(x \kuad 1)$$.
Langkah selanjutnya adalah memasang tanda di depan nomor yang disisipkan.
Bagaimana memahami dan mengingat selamanya tanda apa yang harus muncul sebelum angka dalam tanda kurung? Coba buka (tanda kurung). Koefisien sebelum `x` pangkat pertama adalah `(± 4 ± 1)` (kita belum mengetahui tandanya - kita harus memilih), dan harus sama dengan `5`. Jelas, akan ada dua plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Lakukan operasi ini beberapa kali (halo, tugas pelatihan!) dan lebih banyak masalah ini tidak akan pernah terjadi.

Jika Anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, sekarang menyelesaikannya tidak akan sulit. Akarnya adalah `-4, -1`.

Contoh dua. Faktorisasi trinomial kuadrat dengan koefisien yang berbeda tanda

Mari kita selesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Begitu saja, diskriminannya positif.

Kami mengikuti algoritmanya.

$$x^2-x-2=(x \ltitik) (x \ltitik).$$
Hanya ada satu penguraian dua menjadi faktor bilangan bulat: `2 · 1`.
Kami melewatkan intinya - tidak ada yang bisa dipilih.
$$x^2-x-2=(x \kuad 2) (x \kuad 1).$$
Hasil kali bilangan-bilangan kita adalah negatif (`-2` adalah suku bebasnya), yang berarti salah satu bilangan tersebut akan bernilai negatif dan bilangan lainnya akan bernilai positif.
Karena jumlahnya sama dengan `-1` (koefisien `x`), maka `2` akan menjadi negatif (penjelasan intuitifnya adalah bahwa dua adalah bilangan yang lebih besar dari kedua bilangan tersebut, maka akan “menarik” lebih kuat ke dalam sisi negatif). Kita mendapatkan $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Contoh ketiga. Memfaktorkan trinomial kuadrat

Persamaannya adalah `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ltitik) (x \ltitik).$$
Faktorisasi 84 menjadi faktor bilangan bulat: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
Karena kita membutuhkan selisih (atau jumlah) angka-angka tersebut menjadi 5, maka pasangan `7, 12` adalah yang cocok.
$$x+ 5x-84=(x\kuad 12) (x\kuad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Harapan, perluasan trinomial kuadrat ini ke dalam tanda kurung Sudah jelas.

Jika Anda memerlukan solusi persamaan, ini dia: `12, -7`.

Tugas pelatihan

Saya memberi perhatian Anda beberapa contoh yang mudah dilakukan diselesaikan menggunakan teorema Vieta.(Contoh diambil dari majalah “Mathematics”, 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Beberapa tahun setelah artikel itu ditulis, kumpulan 150 tugas untuk dekomposisi muncul polinomial kuadrat dengan teorema Vieta.

Sukai dan ajukan pertanyaan di komentar!

Trinomial persegi disebut polinomial bentuk kapak 2 +bx+C, Di mana X– variabel, A,B,C– beberapa angka, dan a ≠ 0.

Koefisien A ditelepon koefisien senior, C – anggota bebas trinomial persegi.

Contoh trinomial kuadrat:

2 x 2 + 5x+4(Di Sini A = 2, B = 5, C = 4)

x 2 – 7x + 5(Di Sini A = 1, B = -7, C = 5)

9x 2 + 9x – 9(Di Sini A = 9, B = 9, C = -9)

Koefisien B atau koefisien C atau kedua koefisien bisa sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Misalnya:

5 x 2 + 3X(Di Sinisebuah = 5,b = 3,c = 0, jadi tidak ada nilai c pada persamaan tersebut).

6x 2 – 8 (Di Sinia = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Di Sinia = 2, b = 0, c = 0)

Nilai variabel yang menghilangkan polinomialnya disebut akar polinomial.

Mencari akar-akar trinomial kuadratkapak 2 + bx+ C, kita perlu menyamakannya dengan nol -
yaitu menyelesaikan persamaan kuadratkapak 2 + bx+ c = 0 (lihat bagian "Persamaan kuadrat").

Memfaktorkan trinomial kuadrat

Contoh:

Mari kita faktorkan trinomial 2 X 2 + 7x – 4.

Kita melihat: koefisien A = 2.

Sekarang mari kita cari akar-akar trinomialnya. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol dan menyelesaikan persamaannya

2X 2 + 7x – 4 = 0.

Cara menyelesaikan persamaan seperti itu - lihat bagian “Rumus akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan." Disini kami akan langsung menyatakan hasil perhitungannya. Trinomial kami memiliki dua akar:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Mari kita substitusikan nilai-nilai akar ke dalam rumus kita, dengan mengeluarkan nilai koefisien dari tanda kurung A, dan kita mendapatkan:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Hasil yang diperoleh dapat ditulis secara berbeda dengan mengalikan koefisien 2 dengan binomial X – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Masalahnya terpecahkan: trinomialnya difaktorkan.

Perluasan seperti itu dapat diperoleh untuk semua trinomial kuadrat yang mempunyai akar.

PERHATIAN!

Jika diskriminan dari trinomial kuadrat sama dengan nol, maka trinomial ini memiliki satu akar, tetapi ketika trinomial diekspansi, akar ini diambil sebagai nilai dari dua akar - yaitu, sebagai nilai yang sama X 1 danX 2 .

Misalnya, suatu trinomial memiliki satu akar sama dengan 3. Maka x 1 = 3, x 2 = 3.

Trinomial persegi adalah polinomial dengan bentuk ax^2+bx+c, dengan x adalah variabel, a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a tidak sama dengan nol.
Sebenarnya hal pertama yang perlu kita ketahui untuk memfaktorkan trinomial naas adalah teoremanya. Tampilannya seperti ini: “Jika x1 dan x2 adalah akar-akar trinomial persegi ax^2+bx+c, maka ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).” Tentu saja, teorema ini ada buktinya, tetapi memerlukan beberapa bukti pengetahuan teoritis(ketika kita mengambil faktor a dalam polinomial ax^2+bx+c kita mendapatkan ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). Berdasarkan teorema Viette x1 +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, maka b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2 berarti x^2+ (b/a)x+c /. ), ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Terkadang guru memaksa Anda untuk mempelajari buktinya, tetapi jika tidak diperlukan, saya menyarankan Anda untuk menghafal rumus akhirnya saja.

Langkah 2

Mari kita ambil trinomial 3x^2-24x+21 sebagai contoh. Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah menyamakan trinomial dengan nol: 3x^2-24x+21=0. Akar-akar persamaan kuadrat yang dihasilkan masing-masing akan menjadi akar-akar trinomial.

Langkah 3

Mari selesaikan persamaan 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Jadi, mari kita putuskan. Siapa yang tidak tahu bagaimana mengambil keputusan persamaan kuadrat, lihat instruksi saya dengan 2 cara menyelesaikannya menggunakan persamaan yang sama sebagai contoh. Akar yang dihasilkan adalah x1=7, x2=1.

Langkah 4

Sekarang setelah kita memiliki akar-akar trinomial, kita dapat dengan aman mensubstitusikannya ke dalam rumus =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
kita peroleh: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Anda dapat menghilangkan suku a dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
hasilnya kita mendapatkan: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Catatan: masing-masing faktor hasil ((x-7), (3x-3) adalah polinomial derajat pertama. Itu saja perluasannya =) Jika Anda ragu dengan jawaban yang diterima, Anda selalu dapat memeriksanya dengan mengalikan tanda kurung.

Langkah 5

Memeriksa solusinya. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Sekarang kami tahu pasti bahwa keputusan kami benar! Saya harap instruksi saya akan membantu seseorang =) Semoga sukses dengan studi Anda!

Dalam kasus kita, dalam persamaan D > 0 dan kita mendapatkan 2 akar. Jika ada D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Jika suatu trinomial persegi tidak mempunyai akar, maka tidak dapat difaktorkan, yaitu polinomial derajat pertama.