Definisi. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik geometri pada suatu bidang, yang jumlah jarak masing-masing titik tersebut dari dua titik tertentu pada bidang tersebut, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (asalkan nilai ini lebih besar dari jarak antara fokus) .
Mari kita nyatakan fokus dengan jarak di antara keduanya - dengan , dan nilai konstanta sama dengan jumlah jarak dari setiap titik elips ke fokus dengan (sesuai kondisi).
Mari kita buat sistem koordinat Kartesius sehingga fokusnya berada pada sumbu absis, dan titik asal koordinat bertepatan dengan titik tengah segmen (Gbr. 44). Maka fokusnya akan mempunyai koordinat sebagai berikut: fokus kiri dan fokus kanan. Mari kita turunkan persamaan elips pada sistem koordinat yang kita pilih. Untuk tujuan ini, pertimbangkan titik sembarang dari elips. Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik ini ke fokus adalah:
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh
Untuk menyederhanakan persamaan ini, kita tuliskan dalam bentuk
Kemudian mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita peroleh
atau, setelah penyederhanaan yang jelas:
Sekarang kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi, setelah itu kita mendapatkan:
atau, setelah transformasi identik:
Karena menurut syarat definisi elips, maka bilangan tersebut positif. Mari kita perkenalkan notasinya
Maka persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:
Berdasarkan definisi elips, koordinat setiap titiknya memenuhi persamaan (26). Namun persamaan (29) merupakan konsekuensi dari persamaan (26). Akibatnya, hal ini juga dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada elips.
Dapat ditunjukkan bahwa koordinat titik-titik yang tidak terletak pada elips tidak memenuhi persamaan (29). Jadi persamaan (29) merupakan persamaan elips. Ini disebut persamaan kanonik elips.
Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.
Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan ini hanya berisi pangkat genap dari x dan y. Artinya, jika suatu titik termasuk dalam elips, maka titik tersebut juga memuat titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu absis, dan titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu ordinat. Jadi, elips memiliki dua sumbu simetri yang saling tegak lurus, yang dalam sistem koordinat pilihan kita berimpit dengan sumbu koordinat. Untuk selanjutnya kita akan menyebut sumbu simetri elips sebagai sumbu elips, dan titik potongnya sebagai pusat elips. Sumbu tempat fokus elips berada (dalam hal ini sumbu absis) disebut sumbu fokus.
Mari kita tentukan dulu bentuk elips pada suku pertama. Untuk melakukannya, selesaikan persamaan (28) untuk y:
Jelas sekali di sini , karena y mengambil nilai imajiner. Saat Anda bertambah dari 0 ke a, y berkurang dari b ke 0. Bagian elips yang terletak pada kuarter pertama adalah busur yang dibatasi oleh titik B (0; b) dan terletak pada sumbu koordinat (Gbr. 45). Sekarang dengan menggunakan simetri elips, kita sampai pada kesimpulan bahwa elips memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 45.
Titik potong elips dengan sumbu disebut titik sudut elips. Dari kesimetrian elips, selain simpul, elips juga mempunyai dua simpul lagi (lihat Gambar 45).
Segmen dan titik-titik penghubung yang berlawanan pada elips, serta panjangnya, masing-masing disebut sumbu mayor dan sumbu minor elips. Bilangan a dan b masing-masing disebut sumbu semi mayor dan sumbu minor elips.
Perbandingan setengah jarak antara fokus dan sumbu semi mayor elips disebut eksentrisitas elips dan biasanya dilambangkan dengan huruf:
Karena , eksentrisitas elips lebih kecil dari kesatuan: Eksentrisitas mencirikan bentuk elips. Memang dari rumus (28) dapat disimpulkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin kecil perbedaan sumbu semi minor b dengan sumbu semi mayor a, yaitu semakin kecil memanjang elips tersebut (sepanjang sumbu fokus).
Dalam kasus pembatas, hasilnya adalah lingkaran berjari-jari a: , atau . Pada saat yang sama, fokus elips tampak menyatu pada satu titik - pusat lingkaran. Eksentrisitas lingkaran adalah nol:
Hubungan antara elips dan lingkaran dapat dibuat dari sudut pandang lain. Mari kita tunjukkan bahwa elips dengan sumbu semi a dan b dapat dianggap sebagai proyeksi lingkaran berjari-jari a.
Mari kita perhatikan dua bidang P dan Q, yang saling membentuk sudut a, yang mana (Gbr. 46). Mari kita buat sistem koordinat pada bidang P, dan pada bidang Q sebuah sistem Oxy dengan titik asal O yang sama dan sumbu absis yang sama berimpit dengan garis perpotongan bidang tersebut. Perhatikan sebuah lingkaran pada bidang P
dengan pusat di titik asal dan jari-jari sama dengan a. Misalkan adalah titik yang dipilih secara acak pada lingkaran, menjadi proyeksinya pada bidang Q, dan menjadi proyeksi titik M pada sumbu Ox. Mari kita tunjukkan bahwa titik tersebut terletak pada elips dengan sumbu semi a dan b.
Definisi 7.1. Himpunan semua titik pada bidang yang jumlah jarak ke dua titik tetap F 1 dan F 2 bernilai konstan disebut elips.
Definisi elips memberikan metode konstruksi geometrisnya berikut ini. Kami menetapkan dua titik F 1 dan F 2 pada bidang, dan menyatakan nilai konstanta non-negatif dengan 2a. Misalkan jarak antara titik F 1 dan F 2 adalah 2c. Bayangkan seutas benang tak dapat diperpanjang dengan panjang 2a dipasang di titik F 1 dan F 2, misalnya dengan menggunakan dua jarum. Jelas bahwa hal ini hanya mungkin untuk a ≥ c. Setelah menarik benang dengan pensil, buatlah garis yang akan menjadi elips (Gbr. 7.1).
Jadi, himpunan yang dijelaskan tidak kosong jika a ≥ c. Ketika a = c, elips adalah segmen dengan ujung F 1 dan F 2, dan ketika c = 0, yaitu. Jika titik-titik tetap yang ditentukan dalam definisi elips bertepatan, maka itu adalah lingkaran dengan jari-jari a. Dengan mengabaikan kasus-kasus degenerasi ini, kita selanjutnya akan mengasumsikan, sebagai aturan, bahwa a > c > 0.
Titik tetap F 1 dan F 2 dalam definisi 7.1 elips (lihat Gambar 7.1) disebut fokus elips, jarak antara keduanya, ditunjukkan dengan 2c, - panjang fokus, dan segmen F 1 M dan F 2 M yang menghubungkan titik sembarang M pada elips dengan fokusnya adalah jari-jari fokus.
Bentuk elips sepenuhnya ditentukan oleh panjang fokus |F 1 F 2 | = 2c dan parameter a, dan posisinya pada bidang - sepasang titik F 1 dan F 2.
Dari definisi elips maka elips simetris terhadap garis yang melalui fokus F 1 dan F 2, serta terhadap garis yang membagi ruas F 1 F 2 menjadi dua dan tegak lurus terhadapnya. (Gbr. 7.2, a). Garis-garis ini disebut sumbu elips. Titik O perpotongannya adalah pusat simetri elips, dan disebut pusat elips, dan titik potong elips dengan sumbu simetri (titik A, B, C dan D pada Gambar 7.2, a) - simpul elips.
Nomor a dipanggil sumbu semimayor elips, dan b = √(a 2 - c 2) - nya sumbu kecil. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk c > 0, sumbu semi-mayor a sama dengan jarak dari pusat elips ke titik-titiknya yang berada pada sumbu yang sama dengan fokus elips (simpul A dan B pada Gambar 7.2, a), dan sumbu semi minor b sama dengan jarak dari pusat elips ke dua simpul lainnya (simpul C dan D pada Gambar 7.2, a).
Persamaan elips. Mari kita perhatikan beberapa elips pada bidang dengan fokus di titik F 1 dan F 2, sumbu utama 2a. Misalkan 2c adalah panjang fokus, 2c = |F 1 F 2 |
Mari kita pilih sistem koordinat persegi panjang Oxy pada bidang sehingga titik asal bertepatan dengan pusat elips, dan fokusnya berada di sumbu x(Gbr. 7.2, b). Sistem koordinat seperti ini disebut resmi untuk elips yang dimaksud, dan variabel yang bersesuaian adalah resmi.
Pada sistem koordinat yang dipilih, fokusnya memiliki koordinat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Dengan menggunakan rumus jarak antar titik, kita tuliskan kondisi |F 1 M| + |F 2 M| = 2a pada koordinat:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Persamaan ini merepotkan karena mengandung dua akar kuadrat. Jadi mari kita mengubahnya. Mari kita pindahkan radikal kedua pada persamaan (7.2) ke ruas kanan dan mengkuadratkannya:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Setelah membuka tanda kurung dan membawa istilah serupa, kita dapatkan
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
dimana ε = c/a. Kita ulangi operasi kuadrat untuk menghilangkan radikal kedua: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, atau, dengan mempertimbangkan nilai parameter yang dimasukkan ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Karena a 2 - c 2 = b 2 > 0, maka
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Persamaan (7.4) dipenuhi oleh koordinat semua titik yang terletak pada elips. Namun saat menurunkan persamaan ini, transformasi non-ekuivalen dari persamaan asli (7.2) digunakan - dua kuadrat yang menghilangkan radikal kuadrat. Mengkuadratkan suatu persamaan merupakan transformasi ekuivalen jika kedua ruas mempunyai besaran yang bertanda sama, namun kita tidak memeriksanya dalam transformasi kita.
Kita dapat menghindari pemeriksaan kesetaraan transformasi jika kita mempertimbangkan hal-hal berikut. Sepasang titik F 1 dan F 2, |F 1 F 2 | = 2c, pada bidang tersebut mendefinisikan keluarga elips dengan fokus pada titik-titik ini. Setiap titik pada bidang, kecuali titik-titik pada segmen F 1 F 2, termasuk dalam beberapa elips dari keluarga yang ditunjukkan. Dalam hal ini, tidak ada dua elips yang berpotongan, karena jumlah jari-jari fokus secara unik menentukan elips tertentu. Jadi, keluarga elips tanpa perpotongan yang dijelaskan mencakup seluruh bidang, kecuali titik-titik pada segmen F 1 F 2. Mari kita perhatikan himpunan titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (7.4) dengan nilai parameter a tertentu. Bisakah himpunan ini didistribusikan ke beberapa elips? Beberapa titik himpunan termasuk dalam elips dengan sumbu semimayor a. Misalkan ada sebuah titik pada himpunan ini yang terletak pada elips dengan sumbu semimayor a. Maka koordinat titik ini mengikuti persamaan
itu. persamaan (7.4) dan (7.5) memiliki solusi yang sama. Namun, mudah untuk memverifikasi sistem itu
untuk ã ≠ a tidak mempunyai solusi. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengecualikan, misalnya, x dari persamaan pertama:
yang setelah transformasi mengarah ke persamaan
yang tidak memiliki solusi untuk ã ≠ a, karena . Jadi, (7.4) adalah persamaan elips dengan sumbu semi mayor a > 0 dan sumbu semi minor b =√(a 2 - c 2) > 0. Disebut persamaan elips kanonik.
Tampilan elips. Metode geometris membangun elips yang dibahas di atas memberikan gambaran yang cukup tentang penampakan elips. Namun bentuk elips juga dapat dipelajari dengan menggunakan persamaan kanoniknya (7.4). Misalnya, Anda dapat, dengan asumsi y ≥ 0, menyatakan y melalui x: y = b√(1 - x 2 /a 2), dan, setelah mempelajari fungsi ini, buat grafiknya. Ada cara lain untuk membuat elips. Lingkaran berjari-jari a dengan pusat di titik asal sistem koordinat kanonik elips (7.4) dijelaskan dengan persamaan x 2 + y 2 = a 2. Jika dikompresi dengan koefisien a/b > 1 sepanjang sumbu y, maka diperoleh kurva yang digambarkan dengan persamaan x 2 + (ya/b) 2 = a 2, yaitu elips.
Catatan 7.1. Jika lingkaran yang sama dikompresi oleh faktor a/b
Eksentrisitas elips. Perbandingan jarak fokus elips terhadap sumbu mayornya disebut eksentrisitas elips dan dilambangkan dengan ε. Untuk elips yang diberikan
persamaan kanonik (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Jika pada (7.4) parameter a dan b dihubungkan oleh pertidaksamaan a
Ketika c = 0, ketika elips berubah menjadi lingkaran, dan ε = 0. Dalam kasus lain, 0
Persamaan (7.3) ekuivalen dengan persamaan (7.4), karena persamaan (7.4) dan (7.2) ekuivalen. Oleh karena itu, persamaan elipsnya juga adalah (7.3). Selain itu, relasi (7.3) menarik karena memberikan rumus sederhana bebas radikal untuk panjang |F 2 M| salah satu jari-jari fokus titik M(x; y) elips: |F 2 M| = a + εx.
Rumus serupa untuk jari-jari fokus kedua dapat diperoleh dari pertimbangan simetri atau dengan mengulangi perhitungan di mana, sebelum mengkuadratkan persamaan (7.2), radikal pertama dipindahkan ke ruas kanan, dan bukan radikal kedua. Jadi, untuk sembarang titik M(x; y) pada elips (lihat Gambar 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
dan masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan elips.
Contoh 7.1. Mari kita cari persamaan kanonik elips dengan sumbu semimayor 5 dan eksentrisitas 0,8 dan buatlah.
Mengetahui sumbu semi mayor elips a = 5 dan eksentrisitas = 0,8, kita mencari sumbu semi minornya b. Karena b = √(a 2 - c 2), dan c = εa = 4, maka b = √(5 2 - 4 2) = 3. Jadi persamaan kanoniknya berbentuk x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Untuk membuat elips, akan lebih mudah untuk menggambar sebuah persegi panjang dengan pusat di titik asal sistem koordinat kanonik, yang sisi-sisinya sejajar dengan sumbu simetri elips dan sama dengan sumbu-sumbu yang bersesuaian (Gbr. 2). 7.4). Persegi panjang ini berpotongan dengan
sumbu elips pada simpulnya A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), dan elips itu sendiri tertulis di dalamnya. Pada Gambar. 7.4 juga menunjukkan fokus F 1.2 (±4; 0) dari elips.
Sifat geometris elips. Mari kita tulis ulang persamaan pertama pada (7.6) sebagai |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Perhatikan bahwa nilai a/ε - x untuk a > c adalah positif, karena fokus F 1 tidak termasuk dalam elips. Nilai ini menyatakan jarak ke garis vertikal d: x = a/ε dari titik M(x; y) di sebelah kiri garis tersebut. Persamaan elips dapat ditulis sebagai
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Artinya elips ini terdiri dari titik-titik M(x; y) pada bidang yang perbandingan panjang jari-jari fokus F 1 M terhadap jarak ke garis lurus d bernilai konstan sama dengan ε (Gbr. 7.5).
Garis lurus d mempunyai "ganda" - garis lurus vertikal d, simetris terhadap d relatif terhadap pusat elips, yang diberikan oleh persamaan x = -a/ε dengan cara yang sama terhadap d. Kedua baris d dan d" dipanggil direktriks elips. Direktriks elips tegak lurus terhadap sumbu simetri elips tempat fokusnya berada, dan berjarak dari pusat elips pada jarak a/ε = a 2 /c (lihat Gambar 7.5).
Jarak p dari direktriks ke fokus terdekat disebut parameter fokus elips. Parameter ini sama dengan
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Elips mempunyai sifat geometri penting lainnya: jari-jari fokus F 1 M dan F 2 M membentuk sudut yang sama besar dengan garis singgung elips di titik M (Gbr. 7.6).
Properti ini memiliki arti fisik yang jelas. Jika suatu sumber cahaya ditempatkan pada fokus F 1, maka sinar yang muncul dari fokus tersebut, setelah dipantulkan dari elips, akan sepanjang jari-jari fokus kedua, karena setelah dipantulkan akan membentuk sudut yang sama terhadap kurva seperti sebelum dipantulkan. Jadi semua sinar yang keluar dari fokus F 1 akan terkonsentrasi pada fokus kedua F 2, begitu pula sebaliknya. Berdasarkan penafsiran ini, sifat ini disebut sifat optik elips.
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik geometri pada suatu bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstan (2a), lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik tertentu (Gbr. .3.36, a). Definisi geometris ini mengungkapkan properti fokus elips.
Properti fokus elips
Titik F_1 dan F_2 disebut fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu mayor elips elips (dengan demikian, angka a adalah sumbu semi-mayor elips). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M pada elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M. Ruas yang menghubungkan dua titik pada suatu elips disebut tali busur elips.
Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) maka 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definisi geometris elips, yang menyatakan sifat fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:
Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36c). Kita ambil pusat O elips sebagai titik asal sistem koordinat; kita ambil garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips) sebagai sumbu absis (arah positifnya adalah dari titik F_1 ke titik F_2); mari kita ambil garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) sebagai sumbu ordinat (arah pada sumbu ordinat dipilih agar sistem koordinat persegi panjang Oxy tepat) .
Mari kita buat persamaan elips menggunakan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sembarang M(x,y) yang termasuk dalam elips, kita mempunyai:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Menuliskan persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita peroleh:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Kita pindahkan radikal kedua ke ruas kanan, kuadratkan kedua ruas persamaan dan bawa suku-suku serupa:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Panah kiri kanan ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Membaginya dengan 4, kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Panah Kanan Kiri~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Setelah ditunjuk b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita dapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua ruas dengan a^2b^2\ne0, kita sampai pada persamaan kanonik elips:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih bersifat kanonik.
Jika titik fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36,6), karena a=b. Dalam hal ini, setiap sistem koordinat persegi panjang dengan titik asal di suatu titik akan bersifat kanonik O\ekuivalen F_1\ekuivalen F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari sama dengan a.
Dengan melakukan penalaran dalam urutan terbalik, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik tersebut, termasuk dalam tempat kedudukan titik-titik yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitis elips setara dengan definisi geometrisnya, yang menyatakan sifat fokus elips.
Properti direktori elips
Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Pada c=0, jika elips berbentuk lingkaran, tidak ada direktriks (kita dapat berasumsi bahwa direktriks berada pada tak terhingga).
Elips dengan eksentrisitas 0
Faktanya, misalnya, untuk fokus F_2 dan direktriks d_2 (Gbr. 3.37,6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat dituliskan dalam bentuk koordinat:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)
Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan elips kanonik (3.49). Alasan serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan sutradara d_1\titik dua\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub
Persamaan elips pada sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr. 3.37, c dan 3.37 (2)) berbentuk
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.
Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk titik sembarang M(r,\varphi), menurut definisi geometri (properti fokus) elips, kita mempunyai r+MF_2=2a. Kita nyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat):
\begin(sejajar)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(sejajar)
Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Kami mengisolasi radikal, mengkuadratkan kedua sisi persamaan, membaginya dengan 4 dan menyajikan suku-suku serupa:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.
Nyatakan jari-jari kutub r dan lakukan penggantian e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Panah Kanan Kiri \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips
Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37a) dengan sumbu koordinat (simpul elips). Mengganti y=0 ke dalam persamaan, kita mencari titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a. Jadi, panjang ruas sumbu fokus di dalam elips adalah 2a. Ruas ini, sebagaimana disebutkan di atas, disebut sumbu mayor elips, dan bilangan a adalah sumbu semi mayor elips. Mengganti x=0, kita mendapatkan y=\pm b. Jadi, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan bilangan b adalah sumbu semiminor elips.
Benar-benar, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a diperoleh hanya dalam kasus c=0, jika elipsnya berbentuk lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut rasio kompresi elips.
Catatan 3.9
1. Garis lurus x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, yang di dalamnya terdapat elips (lihat Gambar 3.37, a).
2. Elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan memampatkan lingkaran ke diameternya.
Misalkan persamaan lingkaran pada sistem koordinat persegi panjang Oxy adalah x^2+y^2=a^2. Ketika dikompresi ke sumbu x dengan koefisien 0 \begin(kasus)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(kasus) Substitusikan lingkaran x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan, kita peroleh persamaan koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x, kamu) : (x")^2+(\kiri(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} sejak b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips. 3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri. Memang jika titik M(x,y) termasuk dalam elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y), simetris terhadap titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk dalam elips yang sama. 4. Dari persamaan elips pada sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), arti geometris dari parameter fokus diperjelas - ini adalah setengah panjang tali busur elips yang melalui fokusnya tegak lurus terhadap sumbu fokus (r=p pada \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu selisih antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elipsnya, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips tersebut ke lingkaran (Gbr. 3.38a). Memang, dengan mempertimbangkan bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita mendapatkan e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kiri(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} di mana k adalah faktor kompresi elips, 0 6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 di a 7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips dengan pusat di titik O"(x_0,y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36). Ketika a=b=R persamaannya (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran berjari-jari R dengan pusat di titik O"(x_0,y_0) . Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk \begin(kasus)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(kasus)0\leqslant t<2\pi.
Memang, dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri utama \cos^2t+\sin^2t=1. Contoh 3.20. Gambarlah sebuah elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitas, rasio kompresi, parameter fokus, persamaan direktriks. Larutan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kita menentukan sumbu semi-sumbu: a=2 - sumbu semi-mayor, b=1 - sumbu semi-minor elips. Kita membuat persegi panjang dasar dengan sisi 2a=4,~2b=2 dengan pusat di titik asal (Gbr. 3.39). Mengingat simetri elips, kita memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, tentukan koordinat beberapa titik elips. Misalnya, dengan mensubstitusikan x=1 ke persamaan elips, kita peroleh \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \kiri(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)\!,~\kiri(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)- milik elips. Menghitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); panjang fokus 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami menyusun persamaan direktriks: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Panah Kanan Kiri~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 1. Kuliah 15. Elips. Bab 15. Elips. ayat 1. Definisi dasar. Definisi. Elips adalah GMT suatu bidang, jumlah jarak ke dua titik tetap pada bidang tersebut, disebut fokus, adalah nilai konstan. Definisi. Jarak dari titik sembarang M pada bidang ke fokus elips disebut jari-jari fokus titik M. Sebutan: Menurut definisi elips, titik M adalah titik elips jika dan hanya jika Perhatikan itu Menurut definisi elips, fokusnya adalah titik-titik tetap, sehingga jarak antara titik-titik tersebut juga merupakan nilai konstan untuk elips tertentu. Definisi. Jarak antara fokus elips disebut panjang fokus. Penamaan: Dari segitiga Mari kita nyatakan dengan b bilangan yang sama dengan Definisi. Sikap disebut eksentrisitas elips. Mari kita perkenalkan sistem koordinat pada bidang ini, yang kita sebut kanonik untuk elips. Definisi. Sumbu tempat fokus elips disebut sumbu fokus. Mari kita buat PDSC kanonik untuk elips, lihat Gambar 2. Kami memilih sumbu fokus sebagai sumbu absis, dan menggambar sumbu ordinat melalui bagian tengah segmen Kemudian fokusnya memiliki koordinat ayat 2. Persamaan kanonik elips. Dalil. Dalam sistem koordinat kanonik elips, persamaan elips berbentuk: Bukti. Pembuktiannya kami lakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita akan membuktikan bahwa koordinat titik mana pun yang terletak pada elips memenuhi persamaan (4). Pada tahap kedua kita akan membuktikan bahwa setiap solusi persamaan (4) memberikan koordinat suatu titik yang terletak pada elips. Oleh karena itu persamaan (4) dipenuhi oleh titik-titik tersebut dan hanya titik-titik pada bidang koordinat yang terletak pada elips. Dari sini dan dari definisi persamaan kurva maka persamaan (4) adalah persamaan elips. 1) Misalkan titik M(x, y) adalah titik pada elips, yaitu. jumlah jari-jari fokusnya adalah 2a: Mari kita gunakan rumus jarak antara dua titik pada bidang koordinat dan gunakan rumus ini untuk mencari jari-jari fokus suatu titik M: Mari kita pindahkan satu akar ke ruas kanan persamaan dan mengkuadratkannya: Mengurangi, kita mendapatkan: Kami menyajikan yang serupa, kurangi 4 dan hilangkan radikalnya: mengkuadratkan Buka tanda kurung dan persingkat di mana kita mendapatkan: Dengan menggunakan persamaan (2), kita memperoleh: Membagi persamaan terakhir dengan 2) Misalkan sepasang bilangan (x, y) memenuhi persamaan (4) dan misalkan M(x, y) adalah titik yang bersesuaian pada bidang koordinat Oxy. Kemudian dari (4) sebagai berikut: Kami mengganti persamaan ini ke dalam ekspresi jari-jari fokus titik M: Di sini kami menggunakan persamaan (2) dan (3). Dengan demikian, Sekarang perhatikan bahwa dari persamaan (4) berikut ini Oleh karena itu, pada gilirannya, berikut ini Dari persamaan (5) berikut ini Teorema tersebut terbukti. Definisi. Persamaan (4) disebut persamaan kanonik elips. Definisi. Sumbu koordinat kanonik elips disebut sumbu utama elips. Definisi. Asal usul sistem koordinat kanonik elips disebut pusat elips. ayat 3. Properti elips. Dalil. (Sifat elips.) 1. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, semuanya titik-titik elips berada pada persegi panjang 2. Poinnya terletak pada 3. Elips adalah kurva yang simetris terhadap sumbu utama mereka. 4. Pusat elips adalah pusat simetrinya. Bukti. 1, 2) Langsung mengikuti persamaan kanonik elips. 3, 4) Misalkan M(x, y) adalah titik sembarang pada elips. Maka koordinatnya memenuhi persamaan (4). Namun koordinat titik-titik tersebut juga memenuhi persamaan (4), dan oleh karena itu, merupakan titik-titik elips, yang kemudian menjadi dasar pernyataan teorema. Teorema tersebut terbukti. Definisi. Besaran 2a disebut sumbu mayor elips, besaran a disebut sumbu semi mayor elips. Definisi. Besaran 2b disebut sumbu minor elips, besaran b disebut sumbu semiminor elips. Definisi. Titik potong elips dengan sumbu utamanya disebut titik sudut elips. Komentar. Elips dapat dibuat sebagai berikut. Di pesawat, kami “menancapkan paku ke titik fokus” dan mengikatkan seutas benang ke titik tersebut Dari definisi eksentrisitas berikut ini Mari kita perbaiki bilangan a dan arahkan bilangan c ke nol. Lalu di Sekarang mari kita arahkan ayat 4. Persamaan parametrik elips. Dalil. Membiarkan adalah persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik untuk elips. Bukti. Cukup dibuktikan bahwa sistem persamaan (6) ekuivalen dengan persamaan (4), yaitu. mereka memiliki serangkaian solusi yang sama. 1) Misalkan (x, y) adalah solusi sembarang untuk sistem (6). Bagi persamaan pertama dengan a, persamaan kedua dengan b, kuadratkan kedua persamaan dan tambahkan: Itu. setiap solusi (x, y) dari sistem (6) memenuhi persamaan (4). 2) Sebaliknya, misalkan pasangan (x, y) menjadi solusi persamaan (4), yaitu. Dari persamaan ini diperoleh titik dengan koordinat Dari pengertian sinus dan cosinus langsung berikut ini Teorema tersebut terbukti. Komentar. Elips dapat diperoleh sebagai hasil “kompresi” seragam lingkaran berjari-jari a terhadap sumbu absis. Membiarkan Dengan transformasi ini, setiap titik pada lingkaran “bertransisi” ke titik lain pada bidang yang memiliki absis yang sama, tetapi ordinatnya lebih kecil. Mari kita nyatakan ordinat lama suatu titik melalui ordinat baru: dan substitusikan lingkaran ke dalam persamaan: Dari sini kita mendapatkan: Oleh karena itu, jika sebelum transformasi “kompresi”, titik M(x, y) terletak pada lingkaran, yaitu. koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran, kemudian setelah transformasi “kompresi” titik ini “berubah” menjadi titik ayat 5. Bersinggungan dengan elips. Dalil. Membiarkan Maka persamaan garis singgung elips di titik tersebut Bukti. Cukup dengan memperhatikan kasus ketika titik singgung terletak pada kuartal pertama atau kedua bidang koordinat: Mari kita gunakan persamaan tangen grafik fungsi Di mana Kami mengganti nilai turunan yang ditemukan ke dalam persamaan tangen (10): di mana kita mendapatkan: Ini mengikuti dari ini: Mari kita bagi persamaan ini dengan Perlu dicatat bahwa Persamaan tangen (8) dibuktikan dengan cara yang sama pada titik singgung yang terletak pada kuarter ketiga atau keempat bidang koordinat. Dan terakhir, kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa persamaan (8) memberikan persamaan tangen pada titik-titiknya Teorema tersebut terbukti. ayat 6. Properti cermin elips. Dalil. Garis singgung elips mempunyai sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus titik singgung tersebut. Membiarkan Teorema menyatakan bahwa Persamaan ini dapat diartikan sebagai persamaan sudut datang dan pantulan seberkas cahaya dari suatu elips yang terlepas dari fokusnya. Properti ini disebut properti cermin elips: Seberkas cahaya yang dilepaskan dari fokus elips, setelah dipantulkan dari cermin elips, melewati fokus elips yang lain. Bukti teorema. Untuk membuktikan persamaan sudut (11), kita buktikan kesebangunan segitiga Kurva orde kedua pada suatu bidang terdapat garis-garis yang ditentukan oleh persamaan-persamaan yang koordinat variabelnya X Dan kamu termasuk dalam derajat kedua. Ini termasuk elips, hiperbola dan parabola. Bentuk umum persamaan kurva orde kedua adalah sebagai berikut: Di mana A, B, C, D, E, F- angka dan setidaknya salah satu koefisien A, B, C tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan masalah dengan kurva orde kedua, persamaan kanonik elips, hiperbola, dan parabola paling sering dipertimbangkan. Sangat mudah untuk beralih ke persamaan umum; contoh 1 soal elips akan dikhususkan untuk ini. Definisi elips. Elips adalah himpunan semua titik pada bidang yang jumlah jarak ke titik-titik yang disebut fokus bernilai konstan lebih besar daripada jarak antar fokus. Fokusnya ditunjukkan seperti pada gambar di bawah ini. Persamaan kanonik elips berbentuk: Di mana A Dan B (A > B) - panjang setengah sumbu, yaitu setengah panjang segmen yang dipotong oleh elips pada sumbu koordinat. Garis lurus yang melalui titik fokus elips disebut sumbu simetrinya. Sumbu simetri elips yang lain adalah garis lurus yang melalui titik tengah suatu ruas yang tegak lurus ruas tersebut. Dot TENTANG perpotongan garis-garis ini berfungsi sebagai pusat simetri elips atau sekadar pusat elips. Sumbu absis elips berpotongan di titik ( A, TENTANG) Dan (- A, TENTANG), dan sumbu ordinatnya dalam satuan titik ( B, TENTANG) Dan (- B, TENTANG). Keempat titik ini disebut simpul elips. Ruas antara titik-titik elips pada sumbu x disebut sumbu mayor, dan pada sumbu ordinat disebut sumbu minor. Segmennya dari atas ke tengah elips disebut semi-sumbu. Jika A = B, maka persamaan elipsnya berbentuk . Ini adalah persamaan lingkaran dengan jari-jari A, dan lingkaran adalah kasus khusus dari elips. Elips dapat diperoleh dari radius lingkaran A, jika Anda mengompresnya menjadi A/B kali sepanjang sumbu Oi
. Contoh 1. Periksa apakah garis yang diberikan oleh persamaan umum adalah Larutan. Kami mengubah persamaan umum. Kami menggunakan pemindahan suku bebas ke ruas kanan, pembagian suku demi suku persamaan dengan bilangan yang sama, dan pengurangan pecahan: Menjawab. Persamaan yang diperoleh dari transformasi tersebut merupakan persamaan kanonik elips. Oleh karena itu, garis ini berbentuk elips. Contoh 2. Buatlah persamaan kanonik elips jika sumbu semi-nya berturut-turut adalah 5 dan 4. Larutan. Kita melihat rumus persamaan kanonik elips dan menggantinya: sumbu semimayor adalah A= 5, sumbu semi minornya adalah B= 4 . Kami memperoleh persamaan kanonik elips: Titik dan , ditandai dengan warna hijau pada sumbu utama, dimana dipanggil trik. ditelepon keanehan elips. Sikap B/A mencirikan “oblateness” dari elips. Semakin kecil rasio ini, elips semakin memanjang sepanjang sumbu utama. Namun, derajat pemanjangan elips lebih sering dinyatakan melalui eksentrisitas, yang rumusnya diberikan di atas. Untuk elips yang berbeda, eksentrisitasnya bervariasi dari 0 hingga 1, selalu kurang dari satu. Contoh 3. Buatlah persamaan kanonik elips jika jarak antara fokus adalah 8 dan sumbu utama adalah 10. Larutan. Mari kita buat beberapa kesimpulan sederhana: Jika sumbu mayor sama dengan 10, maka setengahnya, yaitu sumbu semi A = 5
, Jika jarak antara fokus adalah 8, maka bilangan tersebut C koordinat fokus sama dengan 4. Kami mengganti dan menghitung: Hasilnya adalah persamaan kanonik elips: Contoh 4. Buatlah persamaan kanonik elips jika sumbu mayornya adalah 26 dan eksentrisitasnya adalah . Larutan. Sebagai berikut dari ukuran sumbu mayor dan persamaan eksentrisitas, sumbu semimayor elips A= 13. Dari persamaan eksentrisitas kita nyatakan bilangannya C, diperlukan untuk menghitung panjang sumbu semi minor: Kami menghitung kuadrat panjang sumbu semi minor: Kami menyusun persamaan kanonik elips: Contoh 5. Tentukan fokus elips yang diberikan oleh persamaan kanonik. Larutan. Temukan nomornya C, yang menentukan koordinat pertama fokus elips: Kami mendapatkan fokus elips: Contoh 6. Fokus elips terletak pada sumbu Sapi simetris terhadap titik asal. Buatlah persamaan kanonik elips jika: 1) jarak antara fokus adalah 30 dan sumbu mayor adalah 34 2) sumbu minor 24, dan salah satu fokusnya berada di titik (-5; 0) 3) eksentrisitas, dan salah satu fokusnya ada di titik (6; 0) Jika adalah titik sembarang dari elips (ditunjukkan dengan warna hijau di bagian kanan atas elips pada gambar) dan merupakan jarak ke titik tersebut dari fokus, maka rumus jaraknya adalah sebagai berikut: Untuk setiap titik yang termasuk dalam elips, jumlah jarak dari fokus adalah nilai konstan sebesar 2 A. Garis ditentukan oleh persamaan dipanggil kepala sekolah elips (pada gambar ada garis merah di sepanjang tepinya). Dari dua persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang titik elips dimana dan adalah jarak titik ini ke direktriks dan . Contoh 7. Diberikan elips. Tuliskan persamaan direktriksnya. Larutan. Kita melihat persamaan direktriks dan menemukan bahwa kita perlu mencari eksentrisitas elips, yaitu. Kami memiliki semua data untuk ini. Kami menghitung: Kita memperoleh persamaan direktriks elips: Contoh 8. Buatlah persamaan kanonik elips jika fokusnya berupa titik dan direktriksnya berupa garis.Persamaan parametrik elips
– fokus elips, 
– jari-jari fokus titik M.
– nilai konstan. Konstanta ini biasanya dilambangkan dengan 2a:
.
(1)
.
.
itu mengikuti itu 
, yaitu.
.
, yaitu.
.
(2)
(3)
tegak lurus terhadap sumbu fokus.
,
.
.
(4)
.
,
, dari mana kita mendapatkan:
.
:
.
, kita memperoleh persamaan (4), dst.
.
.
. Juga, 
.
atau 
dll. 
, maka pertidaksamaannya sebagai berikut:
.
atau 
Dan
,
.
(5)
, yaitu. titik M(x, y) adalah titik elips, dan seterusnya.
,
.
. Lalu kita ambil pensil dan menggunakannya untuk meregangkan benang. Kemudian kita gerakkan ujung pensil di sepanjang bidang, pastikan benangnya kencang.
,
Dan 
. Dalam batas yang kita dapatkan
atau 
– persamaan lingkaran.
. Kemudian 
,
dan kita melihat bahwa pada batas elips merosot menjadi ruas garis lurus 
dalam notasi Gambar 3.
– bilangan real sembarang. Kemudian sistem persamaan
,
(6)
.
.
terletak pada lingkaran yang berjari-jari satuan dengan pusat di titik asal, yaitu. adalah suatu titik pada lingkaran trigonometri yang mempunyai sudut tertentu 
:
,
, Di mana 
, maka pasangan (x, y) adalah solusi sistem (6), dst.
– persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal. “Kompresi” lingkaran ke sumbu absis tidak lebih dari transformasi bidang koordinat, yang dilakukan menurut aturan berikut. Untuk setiap titik M(x, y) kita mengasosiasikan sebuah titik pada bidang yang sama 
, Di mana 
,
– rasio kompresi.
.
.
(7)
, yang koordinatnya memenuhi persamaan elips (7). Jika kita ingin memperoleh persamaan elips dengan sumbu semiminorb, maka kita perlu mengambil faktor kompresi
.
– titik sembarang dari elips
.
memiliki bentuk:
.
(8)
. Persamaan elips pada setengah bidang atas berbentuk:
.
(9)
pada intinya 
:
– nilai turunan suatu fungsi tertentu di suatu titik 
. Elips pada kuartal pertama dapat dianggap sebagai grafik fungsi (8). Mari kita cari turunannya dan nilainya di titik singgung:
,
. Di sini kita mengambil keuntungan dari fakta bahwa titik singgung 
adalah titik elips dan oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan elips (9), yaitu.
.
,
:
.
, Karena dot 
milik elips dan koordinatnya memenuhi persamaannya.
,
:
atau 
, Dan 
atau 
.
– titik kontak, 
,
– jari-jari fokus titik singgung, P dan Q – proyeksi fokus pada garis singgung yang ditarik ke elips di titik tersebut 
.
.
(11)
Dan 
, di mana para pihak 
Dan 
akan serupa. Karena segitiga-segitiga itu siku-siku, maka persamaannya sudah cukup untuk dibuktikanElips diberikan oleh persamaan kanonik
, elips.
.
.
Mari kita terus menyelesaikan masalah elips bersama-sama
,
.
