Sama dengan sinus sudut lancip trapesium. Sudut trapesium sama kaki

Untuk pertanyaan sederhana “Bagaimana cara mencari tinggi trapesium?” Ada beberapa jawaban, semua karena nilai awal yang berbeda dapat diberikan. Oleh karena itu, rumusnya akan berbeda.

Rumus-rumus ini dapat dihafal, namun tidak sulit untuk diturunkan. Anda hanya perlu menerapkan teorema yang telah dipelajari sebelumnya.

Notasi yang digunakan dalam rumus

Secara keseluruhan di bawah ini notasi matematika Pembacaan surat-surat ini benar.

Dalam data awal: semua sisi

Untuk mencari tinggi trapesium kasus umum Anda perlu menggunakan rumus berikut:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nomor 1.

Bukan yang terpendek, namun juga cukup jarang ditemukan masalah. Biasanya Anda bisa menggunakan data lain.

Rumus yang akan memberi tahu Anda cara mencari ketinggian trapesium sama kaki dalam situasi yang sama, jauh lebih singkat:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Nomor 2.

Soalnya memberikan: sisi lateral dan sudut pada alas bawah

Diasumsikan bahwa sudut α berbatasan dengan sisi yang bertanda “c”, masing-masing sudut β terhadap sisi d. Maka rumus cara mencari tinggi trapesium dalam bentuk umum:

n = c * dosa α = d * dosa β. Nomor 3.

Jika gambarnya sama kaki, Anda dapat menggunakan opsi ini:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nomor 4.

Diketahui: diagonal dan sudut di antara keduanya

Biasanya, data ini disertai dengan besaran lain yang diketahui. Misalnya saja base atau garis tengahnya. Jika alasannya diberikan, maka untuk menjawab pertanyaan bagaimana mencari tinggi trapesium, rumus berikut akan berguna:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) atau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). Nomor 5.

ini untuk pandangan umum angka. Jika diberikan persamaan kaki, maka notasinya akan berubah seperti ini:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) atau n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). Nomor 6.

Saat dalam suatu tugas yang sedang kita bicarakan HAI garis tengah trapesium, maka rumus mencari tingginya menjadi:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m atau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nomor 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m atau n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nomor 6a.

Di antara besaran yang diketahui: luas dengan alas atau garis tengah

Ini mungkin yang terpendek dan rumus sederhana cara mencari tinggi trapesium. Untuk angka arbitrer akan menjadi seperti ini:

n = 2S / (a+b). Nomor 7.

Itu sama, tetapi dengan garis tengah yang diketahui:

n = S/m. Nomor 7a.

Anehnya, untuk trapesium sama kaki rumusnya akan terlihat sama.

Tugas

No.1. Untuk menentukan sudut pada alas trapesium bagian bawah.

Kondisi. Diketahui trapesium sama kaki, samping yaitu 5 cm, alasnya adalah 6 dan 12 cm sudut lancip.

Larutan. Untuk kenyamanan, Anda harus memasukkan penunjukan. Misalkan titik sudut kiri bawah adalah A, sisanya searah jarum jam: B, C, D. Jadi, alas bawah akan diberi nama AD, alas atas akan diberi nama BC.

Kita perlu menggambar ketinggian dari simpul B dan C. Titik-titik yang menunjukkan ujung-ujung ketinggian masing-masing akan diberi nama H 1 dan H 2. Karena semua sudut pada gambar BCH 1 H 2 siku-siku, maka berbentuk persegi panjang. Artinya ruas H 1 H 2 adalah 6 cm.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan dua segitiga. Keduanya sama karena berbentuk persegi panjang dengan sisi miring dan kaki vertikal yang sama. Oleh karena itu, kaki mereka yang lebih kecil adalah sama. Oleh karena itu, keduanya dapat didefinisikan sebagai hasil bagi selisihnya. Yang terakhir diperoleh dengan mengurangi basis atas dari basis bawah. Nanti habis dibagi 2. Artinya 12 - 6 harus habis dibagi 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Sekarang dari teorema Pythagoras Anda perlu mencari tinggi trapesium. Penting untuk menemukan sinus suatu sudut. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Dengan menggunakan pengetahuan tentang bagaimana sinus sudut lancip ditemukan pada segitiga siku-siku, kita dapat menulis persamaan berikut: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Menjawab. Sinus yang dibutuhkan adalah 0,8.

No.2. Mencari tinggi trapesium menggunakan garis singgung yang telah diketahui.

Kondisi. Untuk trapesium sama kaki, Anda perlu menghitung tingginya. Diketahui alasnya 15 dan 28 cm. Garis singgung sudut lancip diberikan: 11/13.

Larutan. Penunjukan simpul sama seperti pada tugas sebelumnya. Sekali lagi Anda perlu menggambar dua ketinggian sudut atas. Dengan analogi penyelesaian soal pertama, Anda perlu mencari AN 1 = N 2 D, yang didefinisikan sebagai selisih 28 dan 15 dibagi dua. Setelah dihitung ternyata : 6,5 cm.

Karena garis singgung adalah perbandingan dua kaki, kita dapat menulis persamaan berikut: tan α = AH 1 / VN 1 . Apalagi perbandingannya sama dengan 11/13 (sesuai kondisi). Karena AN 1 diketahui, maka tingginya dapat dihitung: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Perhitungan sederhana memberikan hasil 5,5 cm.

Menjawab. Tinggi yang dibutuhkan adalah 5,5 cm.

Nomor 3. Untuk menghitung ketinggian menggunakan diagonal yang diketahui.

Kondisi. Diketahui trapesium yang diagonal-diagonalnya 13 dan 3 cm. Carilah tinggi trapesium jika jumlah alasnya 14 cm.

Larutan. Biarlah penunjukan gambarnya sama seperti sebelumnya. Misalkan AC adalah diagonal yang lebih kecil. Dari titik C Anda perlu menggambar ketinggian yang diinginkan dan menetapkannya CH.

Sekarang yang perlu Anda lakukan konstruksi tambahan. Dari sudut C Anda perlu menggambar garis lurus sejajar diagonalnya lebih besar dan carilah titik potongnya dengan kelanjutan sisi AD. Ini akan menjadi D 1. Hasilnya adalah trapesium baru, di dalamnya digambar segitiga ASD 1. Hal inilah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah lebih lanjut.

Ketinggian yang diinginkan juga akan berada di segitiga. Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan rumus yang dipelajari pada topik lain. Tinggi suatu segitiga didefinisikan sebagai hasil kali bilangan 2 dan luas dibagi sisi yang digambar. Dan sisinya ternyata sama dengan jumlah alas trapesium aslinya. Ini berasal dari aturan dimana konstruksi tambahan dilakukan.

Dalam segitiga yang ditinjau, semua sisinya diketahui. Untuk memudahkan, kita perkenalkan notasi x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Sekarang Anda dapat menghitung luas menggunakan teorema Heron. Setengah kelilingnya akan sama dengan p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Maka rumus luas setelah mensubstitusi nilainya akan terlihat seperti ini: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Menjawab. Tingginya 6√10 / 7 cm.

Nomor 4. Untuk mencari tinggi sisi-sisinya.

Kondisi. Diketahui sebuah trapesium yang ketiga sisinya 10 cm dan keempat sisinya 24 cm. Carilah tinggi trapesium tersebut.

Larutan. Karena bangun tersebut sama kaki, maka diperlukan rumus nomor 2. Anda hanya perlu mensubstitusikan semua nilai ke dalamnya dan menghitungnya. Ini akan terlihat seperti ini:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Menjawab. n = √51cm.

instruksi

Jika panjang kedua alas (b dan c) dan sisi lateral (a) sama kaki yang sama menurut definisi diketahui, maka segitiga siku-siku dapat digunakan untuk menghitung nilai salah satu sudut lancipnya (γ). Untuk melakukan ini, turunkan ketinggian dari sudut mana pun yang berdekatan dengan alas pendek. Segitiga siku-siku dibentuk oleh tinggi (), sisi (sisi miring), dan ruas alas panjang antara tinggi dan sisi dekat (kaki kedua). Panjang ruas ini dapat dicari dengan mengurangkan panjang alas yang lebih kecil dengan panjang alas yang lebih besar dan membagi hasilnya menjadi dua: (c-b)/2.

Setelah menerima panjang dua sisi yang berdekatan segitiga siku-siku, lanjutkan menghitung sudut di antara keduanya. Perbandingan panjang sisi miring (a) dengan panjang kaki ((c-b)/2) memberikan nilai kosinus sudut ini (cos(γ)), ​​​​dan fungsi arccosine akan membantu mengubahnya menjadi sudut dalam derajat: γ=arccos(2*a/(c-b )). Dengan cara ini Anda akan mendapatkan nilai salah satu sudut lancip, dan karena sama kaki, sudut lancip kedua akan memiliki nilai yang sama. Jumlah semua sudut harus 360°, artinya jumlah dua sudut sama dengan selisih antara sudut ini dan dua kali sudut lancip. Karena kedua sudut tumpul juga sama, untuk mencari nilai masing-masing sudut tumpul (α), selisihnya harus dibagi dua: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Sekarang Anda telah menghitung semua sudut trapesium sama kaki dengan mengetahui panjang sisinya.

Jika panjang sisi-sisi suatu gambar tidak diketahui, tetapi tingginya (h) diberikan, maka Anda harus melanjutkan sesuai dengan skema yang sama. Dalam hal ini, pada segitiga siku-siku yang terdiri dari , sisi, dan ruas pendek alas yang panjang, Anda akan mengetahui panjang kedua kakinya. Rasionya menentukan garis singgung sudut yang Anda butuhkan, dan ini fungsi trigonometri juga memiliki antipodenya sendiri, yang mengubah nilai tangen menjadi nilai sudut - tangen busur. Rumus akut dan sudut tumpul transformasikan sesuai: γ=arctg(2*h/(c-b)) dan α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Untuk mengatasi masalah ini menggunakan metode aljabar vektor, Anda perlu mengetahui konsep-konsep berikut: jumlah vektor geometris dan perkalian titik dari vektor, dan Anda juga harus mengingat properti penjumlahan sudut dalam segi empat.

Anda akan membutuhkannya

• - kertas;
• - pena;
• - penggaris.

instruksi

Vektor adalah segmen berarah, yaitu suatu besaran yang dianggap ditentukan sepenuhnya jika panjang dan arahnya (sudut) terhadap sumbu tertentu diberikan. Kedudukan vektor tidak lagi dibatasi oleh apapun. Dua vektor yang panjangnya dan arahnya sama dianggap sama. Oleh karena itu, bila menggunakan koordinat, vektor diwakili oleh vektor jari-jari dari titik-titik ujungnya (titik asal berada di titik asal koordinat).

Menurut definisi: vektor yang dihasilkan jumlah geometris vektor adalah vektor yang dimulai dari awal yang pertama dan berakhir pada yang kedua, asalkan akhir yang pertama digabungkan dengan awal yang kedua. Hal ini dapat dilanjutkan lebih jauh dengan membangun rantai vektor-vektor yang letaknya serupa.
Gambarlah ABCD yang diberikan dengan vektor a, b, c dan d pada Gambar. 1. Jelasnya, dengan susunan ini vektor yang dihasilkan adalah d=a+ b+c.

Produk titik V dalam hal ini lebih nyaman berdasarkan vektor a dan d. Hasil kali titik, dilambangkan dengan (a, d)= |a||d|cosф1. Di sini φ1 adalah sudut antara vektor a dan d.
Produk titik dari vektor, diberikan oleh koordinat, ditentukan oleh hal berikut:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, lalu
cos Ф1=(axdx+aydy)/(akar(ax^2+ ay^2)akar(dx^2+ dy^2)).

Sudut trapesium sama kaki. Halo! Artikel ini akan fokus pada penyelesaian masalah dengan trapesium. Grup ini tugas adalah bagian dari ujian, soalnya sederhana. Kita akan menghitung sudut trapesium, alas dan tinggi. Memecahkan sejumlah masalah berarti menyelesaikan, seperti yang mereka katakan: di mana kita tanpa teorema Pythagoras?

Kami akan bekerja dengan trapesium sama kaki. Ia mempunyai sisi dan sudut yang sama besar pada alasnya. Ada artikel tentang trapesium di blog.

Perhatikan yang kecil dan nuansa penting, yang tidak akan kami jelaskan secara rinci selama proses penyelesaian tugas itu sendiri. Begini, jika kita diberi dua alasan basis yang lebih besar ketinggian yang diturunkan ke sana dibagi menjadi tiga segmen - satu sama dengan dasar yang lebih kecil(ini adalah sisi-sisi yang berhadapan pada persegi panjang), dua lainnya sama besar (ini adalah kaki-kaki segitiga siku-siku yang sama):

Contoh sederhana: diberikan dua alas trapesium sama kaki 25 dan 65. Alas yang lebih besar dibagi menjadi beberapa segmen sebagai berikut:

*Dan banyak lagi! Tidak termasuk dalam tugas sebutan surat. Hal ini dilakukan dengan sengaja agar tidak membebani solusi dengan penyempurnaan aljabar. Saya setuju bahwa ini buta huruf secara matematis, namun tujuannya adalah untuk menyampaikan maksudnya. Dan Anda selalu dapat membuat sendiri sebutan untuk simpul dan elemen lainnya dan menuliskan solusi yang benar secara matematis.

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

27439. Alas trapesium sama kaki adalah 51 dan 65. Sisi-sisinya adalah 25. Tentukan sinus sudut lancip trapesium tersebut.

Untuk mencari sudut, Anda perlu menentukan ketinggiannya. Dalam sketsa kami menunjukkan data dalam kondisi kuantitas. Basis bawah adalah 65, dengan ketinggian dibagi menjadi segmen 7, 51 dan 7:

Pada segitiga siku-siku, kita mengetahui sisi miring dan kaki, kita dapat mencari kaki kedua (tinggi trapesium) lalu menghitung sinus sudutnya.

Menurut teorema Pythagoras, kaki yang ditunjukkan sama dengan:

Dengan demikian:

Jawaban: 0,96

27440. Alas trapesium sama kaki adalah 43 dan 73. Kosinus sudut lancip trapesium adalah 5/7. Temukan sisinya.

Mari kita buat ketinggiannya dan catat datanya dalam kondisi besarnya; alas bawah dibagi menjadi segmen 15, 43 dan 15:

27441. Alas lebih besar trapesium sama kaki adalah 34. Sisinya 14. Sinus sudut lancip adalah (2√10)/7. Temukan basis yang lebih kecil.

Mari kita membangun ketinggian. Untuk menemukan basis yang lebih kecil kita perlu menemukan apa sama dengan segmennya menjadi kaki dalam segitiga siku-siku (ditunjukkan dengan warna biru):

Kita dapat menghitung tinggi trapesium dan kemudian mencari kakinya:

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kami menghitung kaki:

Jadi basis yang lebih kecil adalah:

27442. Alas trapesium sama kaki adalah 7 dan 51. Garis singgung sudut lancip adalah 5/11. Temukan tinggi trapesium tersebut.

Mari kita buat ketinggiannya dan tandai datanya dalam kondisi magnitudo. Basis bawah dibagi menjadi beberapa segmen:

Apa yang harus dilakukan? Kita nyatakan garis singgung sudut yang kita ketahui pada alasnya dalam segitiga siku-siku:

27443. Alas trapesium sama kaki yang lebih kecil adalah 23. Tinggi trapesium adalah 39. Garis singgung sudut lancip adalah 13/8. Temukan basis yang lebih besar.

Kami membangun ketinggian dan menghitung berapa kakinya:

Jadi basis yang lebih besar akan sama dengan:

27444. Alas trapesium sama kaki adalah 17 dan 87. Tinggi trapesium tersebut adalah 14. Tentukan garis singgung sudut lancip.

Kami membangun ketinggian dan menandai nilai yang diketahui pada sketsa. Basis bawah dibagi menjadi segmen 35, 17, 35:

Menurut definisi garis singgung:

77152. Alas trapesium sama kaki adalah 6 dan 12. Sinus sudut lancip trapesium adalah 0,8. Temukan sisinya.

Mari membuat sketsa, membuat ketinggian, dan menandai nilai yang diketahui, alas yang lebih besar dibagi menjadi segmen 3, 6 dan 3:

Mari kita nyatakan sisi miring, yang dilambangkan dengan x, melalui kosinus:

Dari yang utama identitas trigonometri mari kita cari cosα

Dengan demikian:

27818. Apa yang setara dengan sudut yang lebih besar trapesium sama kaki, jika diketahui selisih sudut-sudut yang berhadapan adalah 50 0? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Dari pelajaran geometri kita mengetahui bahwa jika kita mempunyai dua garis sejajar dan sebuah garis transversal, maka jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180 0. Dalam kasus kami, memang demikian

Syaratnya, selisih sudut-sudut yang berhadapan adalah 50 0, yaitu

Sifat-sifat trapesium persegi panjang

• kamu trapesium persegi panjang dan dua sudut harus tepat
• Kedua sudut siku-siku trapesium persegi panjang tentu saja milik simpul yang berdekatan
• Kedua sudut siku-siku dalam trapesium persegi panjang, keduanya harus berdekatan pada sisi yang sama
• Diagonal trapesium persegi panjang terbentuk di salah satu sisinya segitiga siku-siku
• Panjang Sisi trapesium yang tegak lurus alasnya sama dengan tingginya
• Pada trapesium berbentuk persegi panjang alasnya sejajar, satu sisi tegak lurus alas, dan sisi kedua miring ke alas
• Pada trapesium berbentuk persegi panjang dua sudut siku-siku, dan dua sudut lainnya lancip dan tumpul

Tugas