Kalkulus diferensial dan integral. Kalkulus diferensial fungsi satu dan beberapa variabel

Kalkulus baru sebagai suatu sistem diciptakan sepenuhnya oleh Newton, yang bagaimanapun juga untuk waktu yang lama tidak mempublikasikan penemuannya.

Tanggal resmi lahirnya kalkulus diferensial dapat dianggap Mei, ketika Leibniz menerbitkan artikel pertamanya « Metode baru tinggi dan rendah...". Artikel ini, dalam bentuk yang ringkas dan tidak dapat diakses, menguraikan prinsip-prinsip metode baru yang disebut kalkulus diferensial.

Leibniz dan murid-muridnya

Definisi-definisi ini dijelaskan secara geometris, sedangkan pada Gambar. peningkatan yang sangat kecil digambarkan sebagai terbatas. Pertimbangannya didasarkan pada dua syarat (aksioma). Pertama:

Diperlukan bahwa dua besaran yang berbeda satu sama lain hanya dengan jumlah yang sangat kecil dapat diambil [ketika menyederhanakan ekspresi?] secara acuh tak acuh, yang satu dan yang lainnya.

Dari sini ternyata X + DX = X , lebih jauh

DXkamu = (X + DX)(kamu + Dkamu) − Xkamu = XDkamu + kamuDX + DXDkamu = (X + DX)Dkamu + kamuDX = XDkamu + kamuDX

Kelanjutan setiap garis tersebut disebut garis singgung kurva. Memeriksa garis singgung yang melalui suatu titik M = (X,kamu) , L'Hopital sangat mementingkan ukuran

mencapai nilai ekstrim pada titik belok kurva, rasio Dkamu Ke DX tidak ada arti khusus yang melekat.

Penting untuk menemukan titik ekstrem. Jika, dengan peningkatan diameter yang terus menerus X ordinat kamu pertama meningkat dan kemudian menurun, lalu diferensial Dkamu positif pertama dibandingkan dengan DX, dan kemudian negatif.

Tetapi nilai apa pun yang terus meningkat atau menurun tidak dapat berubah dari positif menjadi negatif tanpa melewati tak terhingga atau nol... Oleh karena itu, selisih nilai terbesar dan terkecil harus sama dengan nol atau tak terhingga.

Rumusan ini mungkin bukannya tanpa cela, jika kita mengingat syarat pertama: katakanlah, kamu = X 2 , maka berdasarkan persyaratan pertama

di nol sisi kanan sama dengan nol, tetapi yang kiri tidak. Tampaknya memang seharusnya dikatakan demikian Dkamu dapat ditransformasikan sesuai dengan syarat pertama sehingga pada titik maksimal Dkamu= 0 . . Dalam contoh semuanya sudah cukup jelas, dan hanya dalam teori titik belok L'Hopital menulis bahwa Dkamu sama dengan nol pada titik maksimum, dibagi dengan DX .

Selanjutnya, hanya dengan menggunakan perbedaan, kondisi ekstrem dan sejumlah besar dirumuskan tugas yang kompleks, terutama berkaitan dengan geometri diferensial pada bidang. Di akhir buku, di bab. 10, menetapkan apa yang sekarang disebut aturan L'Hopital, meskipun dalam bentuk yang agak tidak biasa. Biarkan besarnya ordinat kamu kurva dinyatakan sebagai pecahan, pembilang dan penyebutnya hilang ketika X = A. Kemudian titik kurva dengan X = A memiliki ordinat kamu , sama dengan rasionya diferensial pembilang ke diferensial penyebut diambil pada X = A .

Menurut rencana L'Hôpital, apa yang ditulisnya merupakan bagian pertama dari Analisis, sedangkan bagian kedua seharusnya memuat kalkulus integral, yaitu metode mencari hubungan antar variabel berdasarkan hubungan yang diketahui dari perbedaannya. Presentasi pertamanya diberikan oleh Johann Bernoulli dalam karyanya kuliah matematika tentang metode integral. Berikut adalah metode untuk mengambil mayoritas integral dasar dan metode untuk menyelesaikan banyak hal persamaan diferensial pesanan pertama.

Euler

Perubahan yang terjadi selama setengah abad berikutnya tercermin dalam risalah ekstensif Euler. Pemaparan analisis membuka dua jilid “Pendahuluan”, yang berisi penelitian tentang berbagai representasi fungsi dasar. Istilah “fungsi” pertama kali muncul hanya di Leibniz, tetapi Euler-lah yang pertama kali mengemukakannya. Penafsiran awal konsep fungsi adalah bahwa fungsi merupakan ekspresi penghitungan (Jerman. Rechnungsausdrϋck) atau ekspresi analitis .

Fungsi kuantitas variabel adalah ekspresi analitis yang tersusun dari kuantitas dan bilangan variabel atau kuantitas konstan.

Menekankan bahwa “perbedaan utama antara fungsi terletak pada cara mereka tersusun dari variabel dan konstanta,” Euler membuat daftar tindakan “yang melaluinya besaran dapat digabungkan dan dicampur satu sama lain; tindakan tersebut adalah: penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar; Ini juga harus mencakup solusi persamaan [aljabar]. Selain operasi-operasi ini, yang disebut operasi aljabar, masih banyak lagi operasi transendental lainnya, seperti: eksponensial, logaritmik, dan banyak lagi lainnya, yang disampaikan melalui kalkulus integral.” Interpretasi ini memungkinkan penanganan fungsi multinilai dengan mudah dan tidak memerlukan penjelasan bidang mana yang sedang dipertimbangkan fungsi tersebut: ekspresi penghitungan ditentukan untuk nilai variabel yang kompleks meskipun hal ini tidak diperlukan untuk soal di bawah pertimbangan.

Operasi dalam ekspresi hanya diperbolehkan di dalam nomor terbatas, dan yang transendental ditembus dengan bantuan tanpa henti jumlah besar. Dalam ekspresi, nomor ini digunakan bersama bilangan asli. Misalnya, ekspresi eksponen seperti itu dianggap dapat diterima

di mana saja penulis kemudian melihat transisi terakhir. Berbagai transformasi dilakukan dengan ekspresi analitik, yang memungkinkan Euler menemukan representasi fungsi dasar dalam bentuk deret, hasil kali tak hingga, dll. Euler mentransformasikan ekspresi untuk menghitung seperti yang dilakukan dalam aljabar, tanpa memperhatikan kemungkinan menghitung nilai suatu fungsi pada suatu titik untuk masing-masing rumus tertulis.

Tidak seperti L'Hopital, Euler meneliti secara rinci fungsi transendental dan khususnya dua kelas yang paling banyak dipelajari - eksponensial dan trigonometri. Ia menemukan bahwa semua fungsi dasar dapat dinyatakan dengan menggunakan operasi aritmatika dan dua operasi - mengambil logaritma dan eksponen.

Buktinya sendiri dengan sempurna menunjukkan teknik penggunaan yang sangat besar. Setelah mendefinisikan sinus dan cosinus menggunakan lingkaran trigonometri, Euler menyimpulkan hal berikut dari rumus penjumlahan:

Percaya dan z = NX , dia mengerti

membuang yang sangat kecil tatanan yang lebih tinggi. Dengan menggunakan ungkapan ini dan ungkapan serupa, Euler memperoleh rumusnya yang terkenal

Dengan menunjukkan berbagai ekspresi untuk fungsi yang sekarang disebut dasar, Euler melanjutkan dengan mempertimbangkan kurva pada bidang yang digambar gerakan bebas tangan. Menurutnya, tidak mungkin menemukan satu ekspresi analitis untuk setiap kurva tersebut (lihat juga String Dispute). Pada abad ke-19, atas dorongan Casorati, pernyataan ini dianggap keliru: menurut teorema Weierstrass, setiap kontinuitas pengertian modern kurvanya dapat digambarkan secara kasar dengan polinomial. Faktanya, Euler hampir tidak yakin dengan hal ini, karena dia masih perlu menulis ulang bagian tersebut hingga batasnya menggunakan simbol.

Euler memulai presentasinya tentang kalkulus diferensial dengan teori perbedaan berhingga, yang diikuti pada bab ketiga dengan penjelasan filosofis bahwa “suatu kuantitas yang sangat kecil adalah tepat nol,” yang sebagian besar tidak sesuai dengan orang-orang sezaman Euler. Kemudian terbentuklah diferensial dari beda berhingga dengan pertambahan yang sangat kecil, dan dari rumus interpolasi Newton maka terbentuklah rumus Taylor. Metode ini pada dasarnya berasal dari karya Taylor (1715). Dalam hal ini, Euler mempunyai relasi stabil, namun dianggap sebagai relasi dua sangat kecil. Bab terakhir dikhususkan untuk perkiraan perhitungan menggunakan seri.

Dalam kalkulus integral tiga jilid, Euler menafsirkan dan memperkenalkan konsep integral sebagai berikut:

Fungsi yang diferensialnya = XDX, disebut integralnya dan dilambangkan dengan tanda S, ditempatkan di depan.

Secara umum, bagian risalah Euler ini dikhususkan untuk hal yang lebih umum titik modern melihat masalah pengintegrasian persamaan diferensial. Pada saat yang sama, Euler menemukan sejumlah integral dan persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi baru, misalnya fungsi -, fungsi elips, dll. Bukti kuat tentang sifat non-dasarnya diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk elips fungsi dan oleh Liouville (lihat fungsi dasar).

tertinggal

Karya besar berikutnya yang memainkan peran penting dalam pengembangan konsep analisis adalah Teori fungsi analitis Penceritaan kembali karya Lagrange secara ekstensif oleh Lagrange dan Lacroix dengan cara yang agak eklektik.

Ingin menghilangkan bilangan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara turunan dan deret Taylor. Dengan fungsi analitik, Lagrange memahami fungsi arbitrer yang dipelajari dengan metode analitis. Dia menetapkan fungsi itu sendiri sebagai F(X), memberi metode grafis catatan ketergantungan - sebelumnya Euler hanya menggunakan variabel saja. Untuk menerapkan metode analisis, menurut Lagrange, fungsi tersebut perlu diperluas menjadi suatu rangkaian

yang koefisiennya akan menjadi fungsi baru X. Masih harus disebutkan namanya P turunan ( koefisien diferensial) dan menyatakannya sebagai F"(X) . Dengan demikian, konsep turunan diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan bilangan yang sangat kecil. Perlu dicatat bahwa

oleh karena itu koefisien Q adalah dua kali turunan dari turunannya F(X), yaitu

Pendekatan interpretasi konsep turunan ini digunakan dalam aljabar modern dan menjadi dasar penciptaan teori fungsi analitik Weierstrass.

Lagrange dioperasikan dengan deret seperti deret formal dan memperoleh deret tersebut teorema yang luar biasa. Secara khusus, untuk pertama kalinya dan cukup teliti ia membuktikan solvabilitas masalah awal persamaan diferensial biasa dalam deret pangkat formal.

Pertanyaan untuk menilai keakuratan perkiraan yang diberikan oleh jumlah parsial deret Taylor pertama kali diajukan oleh Lagrange: pada akhirnya Teori fungsi analitik dia memperoleh apa yang sekarang disebut rumus Taylor dengan suku sisa dalam bentuk Lagrange. Namun sebaliknya penulis modern, Lagrange tidak melihat perlunya menggunakan hasil ini untuk membenarkan konvergensi deret Taylor.

Pertanyaannya apakah fungsi-fungsi yang digunakan dalam analisis benar-benar dapat didekomposisi menjadi seri kekuatan, kemudian menjadi bahan diskusi. Tentu saja, Lagrange mengetahui bahwa pada titik tertentu fungsi dasar tidak dapat diperluas menjadi deret pangkat, namun pada titik tersebut fungsi tersebut tidak dapat terdiferensiasi dalam arti apa pun. Cauchy dalam miliknya Analisis aljabar memberikan fungsi sebagai contoh tandingan

diperpanjang oleh nol di nol. Fungsi ini mulus di mana-mana pada sumbu real dan pada titik nol ia mempunyai deret Maclaurin nol, yang oleh karena itu, tidak konvergen ke nilainya. F(X) . Terhadap contoh ini, Poisson berkeberatan karena Lagrange mendefinisikan fungsi sebagai ekspresi analitik tunggal, sedangkan dalam contoh Cauchy, fungsi didefinisikan secara berbeda pada nol dan pada . Hanya di akhir XIX abad, Pringsheim membuktikan bahwa ada fungsi terdiferensiasi tak terhingga, yang diberikan oleh satu ekspresi, yang membuat deret Maclaurin menyimpang. Contoh dari fungsi tersebut adalah ekspresi

Perkembangan lebih lanjut

Bibliografi

Sastra pendidikan

Buku teks standar

Selama bertahun-tahun, buku pelajaran berikut telah populer di Rusia:

• Kudryavtsev, L.D. , Kursus analisis matematika (dalam tiga volume).

T. 1. Kalkulus diferensial dan integral fungsi satu variabel. T.2. Baris. Kalkulus diferensial dan integral fungsi beberapa variabel. T. 3. Analisis Harmonik. Elemen analisis fungsional. Perhatian khusus Buku teks ini berfokus pada penyajian kualitatif dan metode analitis, itu juga mencerminkan beberapa aplikasi geometris analisa. Ditujukan bagi mahasiswa dengan spesialisasi fisika, matematika, dan teknik fisika, serta mahasiswa spesialisasi lainnya untuk pelatihan matematika yang mendalam.

• berani, R. (dalam dua volume). Penemuan metodologis utama kursus: pertama, gagasan utama dinyatakan secara sederhana, dan kemudian diberikan bukti yang ketat. Ditulis oleh Courant ketika dia menjadi profesor di Universitas Göttingen pada tahun 1920-an di bawah pengaruh gagasan Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada tahun 1930-an. Terjemahan bahasa Rusia tahun 1934 dan cetakan ulangnya memberikan teks berdasarkan edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang disebut edisi ke-4) adalah kompilasi dari buku teks versi Jerman dan Amerika dan oleh karena itu sangat bertele-tele.
• Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral(V tiga volume) // Mat. analisis di EqWorld adalah tutorial yang sangat bagus, tapi agak kuno.

dan buku soal

• Demidovich, B.P., Kumpulan soal dan latihan analisis matematis// Mat. analisis di EqWorld

Ada beberapa publikasi yang mengaku sebagai AntiDemidovich:

• Lyashko I.I. dkk. Panduan Referensi untuk matematika yang lebih tinggi . jilid 1-5

Sebagian besar universitas memiliki panduan analisisnya sendiri:

• Universitas Negeri Moskow, Mekanika dan Matematika:

• Arkhipov G.I., Sadovnichy V.A., Chubarikov V.N. Kuliah tentang matematika. analisa.
• Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian I.M.: Nauka, 1981. 544 hal.
• Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian II. M.: Nauka, 1984.640 hal.

• Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl. X. Analisis Matematika (dalam dua bagian)

• Universitas Negeri Moskow, Fakultas Fisika:

• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Dasar-dasar analisis matematis(dalam dua bagian) // http://lib.homelinux.org.
• Butuzov V.F. Tikar. analisis pertanyaan dan tugas // http://lib.homelinux.org.

• MSTU dinamai N.E.Bauman:

• Matematika di universitas teknik Koleksi buku ajar sebanyak 21 jilid.

• NSU, ​​​​Mekanika dan Matematika:

• Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 1. Pengantar Analisis Matematika. Kalkulus diferensial fungsi dari satu variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 454 dengan ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian I. Buku 2. Kalkulus integral fungsi satu variabel. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 1999. 512 dengan ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 1. Dasar-dasar analisis halus dalam ruang multidimensi. Teori seri. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2000. 440 dengan ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematika. Bagian II. Buku 2. Kalkulus Integral Fungsi Beberapa Variabel. Kalkulus integral pada manifold. Luar bentuk diferensial. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematika, 2001. 444 dengan ISBN 5-86134-089-7.
• Shvedov I.A. Mata kuliah analisis matematis ringkas,: Bagian 1. Fungsi satu variabel, Bagian 2. Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel.

• Phystech, Moskow

• Kudryavtsev L. D. Kursus analisis matematika (dalam tiga volume)

Buku teks tingkat lanjut

Buku teks:

• Rudin U. Dasar-dasar analisis matematika. M., 1976 - sebuah buku kecil, ditulis dengan sangat jelas dan ringkas.

Masalah yang semakin kompleks:

• G.Polia, G.Szege, Masalah dan teorema dari analisis. Bagian 1, Bagian 2, 1978. ( Paling materi mengacu pada TFKP)
• Pascal, E.(Napoli). Esercizii, 1895; Edisi ke-2, 1909 // Arsip Internet

Direktori

Karya klasik

• L'Hopital. Analisis yang sangat kecil // Mat. analisis di EqWorld
• Bernulli, Johann. Ini adalah Integrelrechnunug yang pertama. Leipzig-Berlin, 1914.
• Euler. Pengantar Analisis, Kalkulus Diferensial, Kalkulus Integral //Mat. analisis di EqWorld (Volume kedua Pengantar Analisis disimpan karena kesalahan)
• Cauchy. Ringkasan pelajaran kalkulus diferensial dan integral //Mat. analisis di EqWorld
• Badai. Kursus analisis. T.1,2 - Kursus klasik Paris sekolah politeknik tahun 1830-an.
• Gursa E. Kursus matematika. analisa. T.1.1, 1.2 // Mat. analisis di EqWorld

Buku sejarah

• Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik. 4 jilid, Göttingen, 1796-1800
• Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: BG Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• Sejarah matematika diedit oleh A.P. Yushkevich (dalam tiga volume):

• Markushevich A.I. Esai tentang sejarah teori fungsi analitik. 1951
• Vileitner G. Sejarah matematika dari Descartes hingga pertengahan abad ke-19. 1960
• Pertama Buku teks bahasa Rusia menurut mat. analisis: M.E. Vashchenko-Zakharchenko, Analisis Aljabar atau Aljabar Tinggi. 1887

Catatan

1. Rabu, misalnya Cornell Un saja
2. Newton I. Karya matematika . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., vol. 220-226. Rusia. Terjemahan: Uspekhi Mat. Sains, jilid 3, v. 1 (23), hal. 166-173.
4. L'Hopital. Analisis Sangat Kecil. M.-L.: GTTI, 1935. (Selanjutnya: L'Hopital) // Mat. analisis di EqWorld
5. L'Hopital, bab. 1, def. 2.
6. L'Hopital, bab. 4, def. 1.
7. L'Hopital, bab. 1, persyaratan 1.
8. L'Hopital, bab. 1, persyaratan 2.
9. L'Hopital, bab. 2, def.
10. L'Hopital, § 46.
11. L'Hopital mengkhawatirkan hal lain: Dkamu baginya panjang segmen tersebut dan perlu dijelaskan apa artinya menjadi negatif. Pernyataan yang dibuat dalam § 8-10 bahkan dapat dipahami sebagai penurunan kamu dengan pertumbuhan X harus ditulis DXkamu = kamuDX − XDkamu , tapi ini tidak digunakan lebih lanjut.
12. L'Hopital, § 46.
13. Bernulli, Johann. Ini adalah Integrelrechnunug yang pertama. Leipzig-Berlin, 1914.

Siswa harus:

tahu:

· penentuan limit suatu fungsi pada suatu titik;

sifat-sifat limit suatu fungsi di suatu titik;

· rumus batas yang luar biasa;

· Penentuan kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik,

sifat-sifat fungsi kontinu;

· definisi turunan, geometriknya dan arti fisik; turunan tabel, aturan diferensiasi;

aturan untuk menghitung turunannya fungsi yang kompleks; definisi diferensial suatu fungsi, sifat-sifatnya; definisi turunan dan diferensial orde yang lebih tinggi; penentuan titik ekstrem suatu fungsi, fungsi cembung, titik belok, asimtot;

· definisi integral tak tentu, sifat-sifatnya, integral tabel;

· rumus integrasi menggunakan perubahan variabel dan per bagian untuk integral tak tentu;

· definisi integral tertentu, sifat-sifatnya, rumus dasar kalkulus integral - rumus Newton-Leibniz;

· rumus integrasi dengan menggunakan perubahan variabel dan per bagian untuk integral tertentu;

· makna geometris integral tertentu, penerapan integral tertentu.

dapat:

· menghitung limit barisan dan fungsi; mengungkapkan ketidakpastian;

· menghitung turunan dari fungsi kompleks, turunan dan diferensial orde yang lebih tinggi;

· menemukan titik ekstrem dan belok fungsi;

· melakukan penelitian fungsi menggunakan turunan dan membuat grafiknya.

· menghitung integral tak tentu dan integral tertentu dengan metode perubahan variabel dan per bagian;

· mengintegrasikan fungsi rasional, irasional dan beberapa fungsi trigonometri, terapkan substitusi universal; menerapkan integral tertentu untuk mencari luas bangun datar.

Batas fungsi. Sifat-sifat limit suatu fungsi. Batasan sepihak. Limit jumlah, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi. Fungsi berkelanjutan, properti mereka. Kontinuitas fungsi dasar dan kompleks. Batasan yang luar biasa.

Penentuan turunan suatu fungsi. Turunan dari fungsi dasar dasar. Diferensiabilitas suatu fungsi. Diferensial fungsi. Turunan dari fungsi kompleks. Aturan diferensiasi: turunan dari jumlah, hasil kali, dan hasil bagi. Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi. Mengungkap ketidakpastian. Fungsi naik dan turun, syarat naik dan turun. Fungsi ekstrem, kondisi yang diperlukan adanya ekstrem. Menemukan ekstrem menggunakan turunan pertama. Fungsi cembung. Titik belok. Asimtot. Studi Penuh fungsi.

Integral tak tentu, propertinya. Tabel integral dasar. Metode penggantian variabel. Integrasi berdasarkan bagian. Integrasi fungsi rasional. Mengintegrasikan beberapa fungsi yang tidak rasional. Substitusi universal.

Integral pasti, sifat-sifatnya. Rumus dasar kalkulus integral. Integrasi dengan perubahan variabel dan bagian-bagian dalam integral tertentu. Penerapan integral tertentu.

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang analisis matematis yang mempelajari turunan, diferensial, dan kegunaannya dalam mempelajari fungsi.

Sejarah penampilan

Kalkulus diferensial menjadi disiplin ilmu yang berdiri sendiri pada paruh kedua abad ke-17, berkat karya Newton dan Leibniz, yang merumuskan prinsip-prinsip utama dalam kalkulus diferensial dan memperhatikan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Sejak saat itu, disiplin ilmu tersebut berkembang seiring dengan kalkulus integral, sehingga menjadi dasar analisis matematis. Munculnya perhitungan ini membuka hal baru periode modern V dunia matematika dan menyebabkan munculnya disiplin ilmu baru. Hal ini juga memperluas kemungkinan penggunaan ilmu matematika dalam sains dan teknologi.

Konsep Dasar

Kalkulus diferensial didasarkan pada konsep mendasar matematika. Yaitu: kontinuitas, fungsi dan limit. Setelah beberapa saat mereka menerimanya tampilan modern, berkat kalkulus integral dan diferensial.

Proses penciptaan

Pembentukan kalkulus diferensial dalam bentuk terapan, lalu metode ilmiah terjadi sebelum munculnya teori filsafat yang diciptakan oleh Nikolai Kuzansky. Karya-karyanya dipertimbangkan perkembangan evolusioner dari penilaian ilmu pengetahuan kuno. Terlepas dari kenyataan bahwa sang filsuf sendiri bukanlah seorang ahli matematika, kontribusinya terhadap perkembangan ilmu matematika tidak dapat disangkal. Kuzansky adalah salah satu orang pertama yang beralih dari menganggap aritmatika sebagai bidang ilmu yang paling tepat, sehingga menimbulkan keraguan terhadap matematika pada masa itu.

Dari ahli matematika kuno kriteria universal adalah satu, sedangkan sang filsuf mengusulkan ketidakterbatasan sebagai ukuran baru, bukan angka pasti. Dalam hal ini, representasi akurasi dalam ilmu matematika. Pengetahuan ilmiah Menurut dia, terbagi menjadi rasional dan intelektual. Yang kedua lebih akurat, menurut ilmuwan tersebut, karena yang pertama hanya memberikan hasil perkiraan.

Ide

Ide dan konsep dasar dalam kalkulus diferensial berkaitan dengan fungsi pada lingkungan kecil pada titik-titik tertentu. Untuk melakukan hal ini, perlu dibuat peralatan matematika untuk mempelajari suatu fungsi yang perilakunya dalam lingkungan kecil poin yang ditetapkan dekat dengan perilaku polinomial atau fungsi linier. Hal ini didasarkan pada pengertian turunan dan diferensial.

Kemunculannya disebabkan jumlah besar tugas dari ilmu pengetahuan Alam dan ahli matematika, yang berhasil menemukan nilai-nilai limit dari satu jenis.

Salah satu tugas utama yang diberikan sebagai contoh, mulai dari sekolah menengah, adalah menentukan kecepatan suatu titik yang bergerak sepanjang garis lurus dan membuat garis singgung kurva tersebut. Diferensial terkait dengan hal ini karena fungsi dapat didekati di lingkungan kecil dari titik fungsi linier yang bersangkutan.

Dibandingkan dengan konsep turunan fungsi suatu variabel riil, pengertian diferensial hanya bergeser ke fungsi sifat umum, khususnya gambaran ruang Euclidean ke ruang Euclidean lainnya.

Turunan

Misalkan titik tersebut bergerak searah dengan sumbu Oy; misalkan x sebagai waktu, yang dihitung dari titik awal tertentu. Pergerakan tersebut dapat dijelaskan dengan menggunakan fungsi y=f(x), yang ditetapkan pada setiap momen waktu x dari koordinat titik yang dipindahkan. Fungsi ini dalam mekanika disebut hukum gerak. Ciri utama gerak, khususnya gerak tidak beraturan, adalah Ketika suatu titik bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum mekanika, maka pada momen waktu acak x memperoleh koordinat f(x). Pada saat waktu x + Δx, dimana Δx menyatakan pertambahan waktu, koordinatnya adalah f(x + Δx). Beginilah rumus Δy = f(x + Δx) - f(x) terbentuk, yang disebut pertambahan fungsi. Ini mewakili jalur yang dilalui suatu titik waktu dari x ke x + Δx.

Sehubungan dengan terjadinya kecepatan ini pada momen waktu, diperkenalkan turunan. Dalam fungsi sembarang, turunan pada suatu titik tetap disebut limit (asalkan ada). Itu dapat ditunjukkan dengan simbol-simbol tertentu:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proses menghitung turunannya disebut diferensiasi.

Kalkulus diferensial suatu fungsi beberapa variabel

Metode kalkulus ini digunakan ketika mempelajari suatu fungsi dengan beberapa variabel. Diberikan dua variabel x dan y, turunan parsial terhadap x di titik A disebut turunan fungsi ini terhadap x dengan y tetap.

Dapat ditunjukkan dengan simbol berikut:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x atau ∂f(x,y)’/∂x.

Keterampilan yang Diperlukan

Untuk berhasil belajar dan mampu menyelesaikan difusi, diperlukan keterampilan dalam integrasi dan diferensiasi. Agar lebih mudah dalam memahami persamaan diferensial, sebaiknya Anda sudah memahami topik turunan dengan baik dan juga tidak ada salahnya mempelajari cara mencari turunan dari persamaan diferensial secara implisit. fungsi yang diberikan. Hal ini disebabkan karena dalam proses pembelajaran sering kali harus menggunakan integral dan diferensiasi.

Jenis persamaan diferensial

Di hampir semua hal tes Ada 3 jenis persamaan yang diasosiasikan: homogen, dengan variabel yang dapat dipisahkan, linier tidak homogen.

Ada juga jenis persamaan yang lebih jarang: dengan perbedaan penuh, persamaan Bernoulli dan lain-lain.

Dasar-dasar Solusi

Untuk memulainya, kita harus mengingat kembali persamaan aljabar dari kursus sekolah. Mereka berisi variabel dan angka. Untuk menyelesaikan persamaan biasa, Anda perlu mencari himpunan bilangan yang memenuhi kondisi tertentu. Biasanya, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar, dan untuk memeriksa kebenarannya, hanya perlu mengganti nilai ini dengan nilai yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial serupa dengan ini. DI DALAM kasus umum persamaan orde pertama tersebut meliputi:

• Variabel bebas.
• Turunan dari fungsi pertama.
• Fungsi atau variabel terikat.

DI DALAM dalam beberapa kasus salah satu yang tidak diketahui, x atau y, mungkin hilang, tetapi ini tidak begitu penting, karena keberadaan turunan pertama, tanpa turunan orde tinggi, diperlukan agar penyelesaian dan kalkulus diferensial menjadi benar.

Menyelesaikan persamaan diferensial berarti mencari himpunan semua fungsi yang sesuai dengan ekspresi tertentu. Kumpulan fungsi serupa sering disebut keputusan umum DU.

Kalkulus integral

Kalkulus integral merupakan salah satu cabang analisis matematika yang mempelajari konsep integral, sifat-sifat dan cara perhitungannya.

Seringkali perhitungan integral terjadi ketika menghitung luas sosok melengkung. Luas ini berarti batas dimana luas poligon pada suatu gambar cenderung meningkat secara bertahap pada sisi-sisinya, sedangkan sisi-sisi ini dapat dibuat lebih kecil dari nilai kecil sembarang yang ditentukan sebelumnya.

Ide pokok dalam menghitung luas sembarang sosok geometris terdiri dari menghitung luas persegi panjang, yaitu membuktikan luasnya sama dengan hasil kali panjang dan lebarnya. Kapan yang sedang kita bicarakan tentang geometri, kemudian semua konstruksi dibuat dengan menggunakan penggaris dan kompas, kemudian dihitung perbandingan panjang dan lebarnya makna rasional. Saat menghitung luas segitiga siku-siku kita dapat menentukan bahwa jika kita meletakkan segitiga yang sama secara berdampingan, maka akan terbentuk persegi panjang. Dalam jajar genjang, luas dihitung menggunakan metode serupa, namun sedikit lebih rumit, yaitu menggunakan persegi panjang dan segitiga. Dalam poligon, luas dihitung melalui segitiga-segitiga yang termasuk di dalamnya.

Saat menentukan luas kurva sembarang metode ini tidak akan berhasil. Jika Anda memecahnya menjadi kotak satuan, maka akan ada ruang kosong. Dalam hal ini mereka mencoba menggunakan dua cakupan, dengan persegi panjang di atas dan bawah, akibatnya mereka menyertakan grafik fungsi dan tidak. Yang penting di sini adalah metode pembagian menjadi persegi panjang tersebut. Selain itu, jika kita mengambil pembagian yang semakin kecil, maka luas di atas dan di bawah harus bertemu pada nilai tertentu.

Anda harus kembali ke metode membagi menjadi persegi panjang. Ada dua metode yang populer.

Riemann meresmikan definisi integral yang dibuat oleh Leibniz dan Newton sebagai luas subgraf. Dalam hal ini, kami mempertimbangkan gambar yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal tertentu dan diperoleh dengan membagi suatu segmen. Ketika, ketika mengurangi partisi, ada batas pengurangan luas sosok serupa, limit ini disebut integral Riemann suatu fungsi pada interval tertentu.

Metode kedua adalah konstruksi integral Lebesgue, yang terdiri dari membagi domain tertentu menjadi bagian-bagian integral dan kemudian menyusun jumlah integral dari nilai-nilai yang diperoleh di bagian-bagian tersebut, membagi rentang nilainya menjadi interval, dan kemudian menjumlahkannya dengan ukuran yang sesuai dari gambar kebalikan dari integral tersebut.

Manfaat masa kini

Salah satu manual utama untuk mempelajari kalkulus diferensial dan integral ditulis oleh Fichtenholtz - “Kursus Kalkulus Diferensial dan Integral”. Buku teksnya merupakan panduan mendasar untuk mempelajari analisis matematika, yang telah melalui banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dibuat untuk mahasiswa dan telah digunakan dalam banyak cara sejak lama lembaga pendidikan sebagai salah satu alat bantu belajar yang utama. Memberikan data teoretis dan keterampilan praktis. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

Algoritma Penelitian Fungsi

Untuk mempelajari suatu fungsi menggunakan metode kalkulus diferensial, Anda harus mengikuti algoritma yang sudah ditentukan:

1. Temukan domain definisi fungsi.
2. Temukan akar persamaan yang diberikan.
3. Hitung ekstrem. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung turunan dan titik-titik yang sama dengan nol.
4. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan.

Jenis persamaan diferensial

DE orde pertama (jika tidak, kalkulus diferensial satu variabel) dan jenisnya:

• Persamaan yang dapat dipisahkan: f(y)dy=g(x)dx.
• Persamaan paling sederhana, atau kalkulus diferensial suatu fungsi satu variabel, memiliki rumus: y"=f(x).
• DE tak homogen linier orde pertama: y"+P(x)y=Q(x).
• Persamaan diferensial Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a.
• Persamaan selisih total: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Persamaan diferensial orde dua dan jenisnya:

• Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan nilai koefisien konstan: yn +py"+qy=0 p, q milik R.
• Persamaan diferensial linier tak homogen orde dua dengan nilai konstan koefisien: yn +py"+qy=f(x).
• Persamaan diferensial homogen linier: y n +p(x)y"+q(x)y=0, dan persamaan tidak homogen orde kedua: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Persamaan diferensial orde tinggi dan jenisnya:

• Persamaan diferensial yang memungkinkan pengurangan orde: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Persamaan linier tatanan yang lebih tinggi homogen: kamu (n) +f (n-1) kamu (n-1) +...+f 1 kamu"+f 0 kamu=0, dan tidak homogen: kamu (n) +f (n-1) kamu (n-1) +...+f 1 kamu"+f 0 kamu=f(x).

Tahapan penyelesaian masalah dengan persamaan diferensial

Dengan bantuan remote control, tidak hanya matematika atau pertanyaan fisik, tetapi juga berbagai permasalahan dari biologi, ekonomi, sosiologi dan lain-lain. Terlepas dari beragamnya topik, seseorang harus mematuhi satu urutan logis ketika memecahkan masalah seperti:

1. Menyusun DU. Salah satu yang paling banyak tahapan yang sulit, yang membutuhkan ketelitian maksimal, karena kesalahan apa pun akan menghasilkan hasil yang sepenuhnya salah. Semua faktor yang mempengaruhi proses harus diperhitungkan dan kondisi awal. Anda juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan logis.
2. Solusi dari persamaan yang dikompilasi. Proses ini lebih mudah dari yang pertama titik, karena hanya memerlukan pelaksanaan perhitungan matematis yang ketat.
3. Analisis dan evaluasi hasil yang diperoleh. Solusi yang dihasilkan harus dievaluasi untuk menetapkan nilai praktis dan teoritis dari hasilnya.

Contoh penggunaan persamaan diferensial dalam kedokteran

Pemanfaatan DE dalam bidang kedokteran terdapat dalam konstruksi epidemiologi model matematika. Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa persamaan ini juga ditemukan dalam biologi dan kimia, yang dekat dengan kedokteran, karena studi tentang berbagai hal populasi biologis Dan proses kimia dalam tubuh manusia.

Dalam contoh epidemi di atas, kita dapat melihat penyebaran infeksi di masyarakat yang terisolasi. Penghuninya terbagi menjadi tiga jenis:

• Terinfeksi, nomor x(t), terdiri dari individu pembawa infeksi yang masing-masing menular (masa inkubasinya singkat).
• Tipe kedua mencakup individu rentan y(t), yang mampu tertular melalui kontak dengan individu yang terinfeksi.
• Tipe ketiga mencakup individu yang tidak rentan z(t), yaitu kebal atau meninggal karena penyakit.

Jumlah individu adalah konstan, pencatatan kelahiran, kematian alami dan migrasi tidak diperhitungkan. Akan ada dua hipotesis yang mendasarinya.

Persentase kesakitan pada suatu titik waktu tertentu sama dengan x(t)y(t) (asumsi didasarkan pada teori bahwa jumlah orang sakit sebanding dengan jumlah persimpangan antara perwakilan yang sakit dan rentan, yang dalam suatu perkiraan pertama akan sebanding dengan x(t)y(t)), sehingga jumlah orang sakit bertambah, dan jumlah orang rentan berkurang dengan laju yang dihitung dengan rumus ax(t)y(t) (sebuah > 0).

Jumlah individu yang kebal yang memperoleh kekebalan atau meninggal meningkat dengan laju yang sebanding dengan jumlah kasus, bx(t) (b > 0).

Hasilnya, Anda dapat membuat sistem persamaan dengan mempertimbangkan ketiga indikator dan menarik kesimpulan berdasarkan hal tersebut.

Contoh penggunaan dalam bidang ekonomi

Kalkulus diferensial sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi adalah mempelajari besaran-besaran dari ilmu ekonomi yang ditulis dalam bentuk fungsi. Ini digunakan ketika memecahkan masalah seperti perubahan pendapatan segera setelah kenaikan pajak, pengenalan bea, perubahan pendapatan perusahaan ketika harga pokok produk berubah, berapa proporsi yang memungkinkan untuk mengganti karyawan yang pensiun dengan peralatan baru. Untuk menyelesaikan pertanyaan tersebut, perlu dibangun fungsi link dari variabel masukan, yang kemudian dipelajari dengan menggunakan kalkulus diferensial.

DI DALAM bidang ekonomi Seringkali kita perlu menemukan indikator yang paling optimal: produktivitas tenaga kerja maksimum, pendapatan tertinggi, biaya terendah, dll. Masing-masing indikator tersebut merupakan fungsi dari satu atau lebih argumen. Misalnya, produksi dapat dianggap sebagai fungsi input tenaga kerja dan modal. Dalam hal ini, mencari nilai yang sesuai dapat direduksi menjadi mencari maksimum atau minimum suatu fungsi dari satu atau lebih variabel.

Permasalahan seperti ini menimbulkan suatu kelompok permasalahan yang ekstrim bidang ekonomi, penyelesaiannya memerlukan kalkulus diferensial. Ketika suatu indikator ekonomi perlu diminimalkan atau dimaksimalkan sebagai fungsi dari indikator lain, maka pada titik maksimum rasio kenaikan fungsi terhadap argumen akan cenderung nol jika kenaikan argumen cenderung nol. Jika tidak, kapan sikap serupa berjuang untuk sesuatu yang positif atau nilai negatif, poin yang ditentukan tidak cocok, karena dengan menambah atau mengurangi argumen, Anda dapat mengubahnya kuantitas bergantung ke arah yang diperlukan. Dalam terminologi kalkulus diferensial, hal ini berarti bahwa syarat maksimum suatu fungsi adalah nilai nol dari turunannya.

Dalam ilmu ekonomi, sering kali timbul permasalahan dalam mencari titik ekstrem suatu fungsi dengan beberapa variabel, karena indikator ekonomi terdiri dari banyak faktor. Pertanyaan serupa dipelajari dengan baik dalam teori fungsi beberapa variabel menggunakan metode perhitungan diferensial. Tugas serupa mencakup tidak hanya fungsi yang harus dimaksimalkan dan diminimalkan, tetapi juga pembatasan. Pertanyaan serupa berlaku untuk pemrograman matematika, dan penyelesaiannya menggunakan metode yang dikembangkan secara khusus, juga berdasarkan cabang ilmu ini.

Di antara metode kalkulus diferensial yang digunakan dalam ilmu ekonomi, bagian yang penting adalah analisis batas. Dalam bidang ekonomi, istilah ini mengacu pada seperangkat teknik untuk mempelajari indikator variabel dan hasil ketika volume penciptaan dan konsumsi berubah, berdasarkan analisis indikator pembatasnya. Indikator batas turunan atau turunan parsial untuk beberapa variabel dipertimbangkan.

Kalkulus diferensial beberapa variabel merupakan topik penting dalam bidang analisis matematika. Untuk studi rinci Anda dapat menggunakan berbagai alat peraga untuk institusi pendidikan tinggi. Salah satu yang paling terkenal diciptakan oleh Fichtenholtz - “Kursus Kalkulus Diferensial dan Integral”. Seperti namanya, keterampilan dalam bekerja dengan integral sangat penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Ketika kalkulus diferensial suatu fungsi dari satu variabel dilakukan, penyelesaiannya menjadi lebih sederhana. Meski perlu dicatat, hal itu tunduk pada aturan dasar yang sama. Untuk mempelajari suatu fungsi menggunakan kalkulus diferensial dalam praktiknya, cukup mengikuti algoritma yang sudah ada, yang diberikan di sekolah menengah dan hanya sedikit rumit ketika variabel baru diperkenalkan.

OPSI TUGAS KONTROL

untuk siswa penuh waktu

Fakultas Matematika

Bagian 5

SAINT PETERSBURG

Diterbitkan berdasarkan keputusan Departemen Analisis Matematika dan RIS Universitas Pedagogis Negeri Rusia. A.I. Herzen

Manual metodologi ini ditujukan untuk siswa penuh waktu 1-3 tahun di Fakultas Matematika Universitas Pedagogi Negeri Rusia. A.I. Herzen.

Sesuai dengan program analisis matematis, manual ini mencakup 28 pilihan berbeda untuk tes rumah individu dengan topik "Kakulus diferensial fungsi beberapa variabel", "Integral berganda dan penerapannya". Sebelum opsi tes, beberapa informasi teoretis diberikan dan contoh dianalisis, solusinya disertai dengan pedoman metodologis untuk opsi tersebut.

Materi dalam manual ini dapat digunakan untuk kelas praktek, tes dan tes di departemen ilmu pengetahuan alam di lembaga pendidikan tinggi.

Dosen Senior O.S. Korsakova,

calon ilmu fisika dan matematika, asisten K.G. Mezhevich

Peninjau: Kepala Departemen matematika. analisis Universitas Pedagogis Negeri Rusia dinamai demikian. A.I. Herzen,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Kursus analisis matematika. M.: Pendidikan, 1972, jilid 1,2.

Vilenkin N.Ya. dan lain-lain.Buku Soal untuk mata kuliah analisis matematis. - M.: Pendidikan, 1971. Bagian 1,2.

Kuznetsov A.A. Kumpulan tugas dalam matematika tingkat tinggi., 1983.

M.:

sekolah pascasarjana

Kudryavtsev L.D. Kursus analisis matematika. M.: Sekolah Tinggi, 1988. T. 1,2. Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I.

Kumpulan soal analisis matematis. Fungsi beberapa variabel.

Sankt Peterburg, 1994.

Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Ruang metrik.

Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel.

tutorial
/ LGPI dinamai. A.I. Herzen.-L., 1985.
Povolotsky A.I., Likhtarnikov L.M. Kalkulus integral fungsi beberapa variabel dan persamaan diferensial. Buku Teks / Institut Pedagogi Negeri Leningrad dinamai demikian. A.I. Herzen.-L., 1986. Fikhtengolts G.M. Dasar-dasar analisis matematika. - M.: Nauka, 1968.Vol.1, 2. Fungsi beberapa variabel
.

DEFINISI DOMAIN DAN GRAFIK FUNGSI BEBERAPA VARIABEL Fikhtengolts G.M. Biarkan setiap poin nomor cocok. Kemudian mereka mengatakan itu di lokasi syuting
-D bertekad

fungsi numerik dari beberapa variabel
Banyak N ditelepon N>2 .

domain definisi
fungsi, titik
argumen nomor cocok fungsi.

Kami selanjutnya akan mempertimbangkan fungsi dua variabel
. Perhatikan bahwa semua yang disebutkan di bawah ini dapat diperluas ke fungsinya
.

variabel, dimana Kumpulan semua poin
, yang fungsinya
, didefinisikan secara analitis, masuk akal, disebut alami
.

fungsi ini.
,
Misalnya saja ruang lingkup fungsinya

adalah lingkaran terbuka berjari-jari 2 yang berpusat di titik asal, yang dinyatakan dengan pertidaksamaan Mari kita cari domain definisi fungsinya
.

Fungsi didefinisikan pada titik-titik bidang tersebut
, yang fungsinya
.

Ketimpangan ini setara dengan kombinasi dua sistem:

Dan
.

Sistem pertidaksamaan pertama dipenuhi oleh koordinat semua titik yang terletak pada parabola
atau di atasnya, dan berbaring setengah bidang
. Himpunan ini diarsir pada Gambar 1. Sistem kedua dipenuhi oleh koordinat titik-titik yang terletak pada himpunan yang diarsir pada Gambar. 2. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah gabungan dari himpunan yang ditemukan, yaitu. set, yang disorot dengan arsir pada Gambar. 3.

Beras. 1 Gambar. 2 Gambar. 3

Garis rata Kumpulan semua poin
, disebut himpunan titik
, memenuhi persamaan
.

Level ditentukan dengan cara yang sama (atau permukaan rata) fungsi N variabel jika N>2.

Contoh 2. Mari kita cari garis level fungsinya
.

Perhatikan bahwa fungsi tersebut didefinisikan pada seluruh bidang
.

Untuk membangun garis datar, diperlukan apa pun
temukan himpunan titik pada bidang, koordinat X, kamu yang memenuhi persamaan tersebut
. Oleh karena itu, jika
, Itu
, dan jika
, Itu
.

Jelas sekali Dengan tidak bisa negatif (dalam hal ini mereka mengatakan demikian Dengan-tingkat fungsi di C<0 adalah himpunan kosong).

Mari kita cari garis levelnya di c=0:

.

Demikian pula, garis level ditemukan berbeda с>0.

Pada Gambar. 4 menunjukkan garis level untuk c=0, c=1 Dan c=2.

BATAS FUNGSI

Set (lingkaran terbuka radius
terpusat pada suatu titik
) dipanggil -lingkungan poin
. Melalui
kami akan menunjukkan lingkungan titik yang tertusuk
.

Dot
ditelepon titik batas set
, jika ada persimpangan -lingkungan suatu titik
dan banyak lagi Fikhtengolts G.M. mengandung setidaknya satu poin selain
, yaitu. Untuk

.

Perhatikan bahwa titik batas mungkin bukan milik himpunan Fikhtengolts G.M..

Biarkan fungsinya
ditentukan di himpunan Fikhtengolts G.M. dan titik
- titik batas Fikhtengolts G.M..

Nomor A Biarkan setiap poin batas fungsinya
pada intinya
, jika untuk lingkungan mana pun
poin A (
) ada-lingkungan
poin
sedemikian rupa untuk titik mana pun

nilai fungsi
jatuh ke sekitarnya
.

Dengan demikian,

:



)

:

).

Contoh 3. Mari kita buktikan itu
.

Perhatikan bahwa fungsi ini terdefinisi pada seluruh bidang kecuali titik (0,0 ) .

Sejak
, lalu untuk apa pun
ada
(yaitu
) sedemikian rupa untuk semua poin
, memenuhi kondisi
, ketidaksetaraan itu benar
.

Fungsi
ditelepon kontinu pada suatu titik
, Jika
.

Fungsinya disebut terus menerus di lokasi syutingFikhtengolts G.M., jika kontinu di setiap titik himpunan Fikhtengolts G.M..

Contoh 4. 1) Fungsi
kontinu di titik (0,0) karena
(lihat contoh 3).

2) Fungsi
pada titik (0,0) terdapat diskontinuitas, karena

.

DERIVATIF SEBAGIAN. FUNGSI DIFERENSIAL

Biarkan fungsinya
didefinisikan di beberapa lingkungan titik tersebut
. Jika ada batasan yang terbatas
Dan
, lalu mereka dipanggil turunan parsial fungsi
pada intinya
oleh variabel X Dan kamu ditunjuk sebagaimana mestinya
Dan
(atau:
Dan
).

Untuk menghitung turunan parsial (atau ) menikmati rumus yang diketahui dan aturan untuk mendiferensiasikan suatu fungsi suatu variabel, dengan mempertimbangkan variabel lain kamu (atau X) nilai konstan.

Contoh 5. Mari kita cari turunan parsial dari fungsi tersebut
.

Jika kita menghitung kamu= konstanta, Itu - fungsi daya dari X, Itu sebabnya
.

Jika X= konstanta, Itu - fungsi eksponensial dari kamu, dan oleh karena itu
.

Fungsi
ditelepon dapat dibedakan pada intinya
, jika ada angka A Dan DI DALAM sedemikian rupa sehingga kenaikannya

fungsi F pada intinya
dapat diwakilkan dalam bentuk

Di mana
pada
.

Bagian utama dari kenaikan penuh
, linier terhadap
Dan
, yaitu.
, ditelepon diferensial penuh fungsi
pada intinya
dan ditunjuk
.

Dengan demikian,

.

Menurut definisi, diferensial suatu variabel independen adalah kenaikannya, yaitu.
,
.

Fungsinya disebut terdiferensiasi pada himpunanFikhtengolts G.M., jika terdiferensialkan pada setiap titik himpunan Fikhtengolts G.M..

Teorema 1. Jika fungsinya
dapat dibedakan pada intinya
Dan

adalah diferensialnya pada titik ini, maka pada titik ini terdapat turunan parsial dari fungsi tersebut F, dan, sebagai tambahan,

=A,
=DI DALAM.

Teorema 1 memungkinkan untuk menghitung diferensial suatu fungsi F sesuai dengan rumusnya

+
.

Berdasarkan Teorema 1, jika suatu fungsi terdiferensiasi di suatu titik, maka terdapat turunan parsial dari fungsi tersebut di titik tersebut. Hal sebaliknya tidak benar. Agar suatu fungsi dapat terdiferensiasi, diperlukan lebih dari kondisi yang kuat daripada adanya turunan parsial pada suatu titik.

Teorema 2. Jika turunan parsial
Dan
fungsi F ada di beberapa lingkungan titik tersebut
dan terus menerus masuk
, lalu fungsinya F dapat dibedakan pada intinya
.

Contoh 6. Mari kita hitung turunan parsial dan diferensial dari fungsi tersebut
pada titik (1, 1/5).

,

,

,
;

TURUNAN SEBAGIAN DARI FUNGSI KOMPLEKS

Teorema 3. Biarkan fungsinya
Dan
didefinisikan di beberapa lingkungan titik tersebut
, dan fungsinya
didefinisikan di beberapa lingkungan titik tersebut.

Jika fungsinya F dapat dibedakan pada intinya
, dan pada intinya
ada turunannya
, lalu pada intinya
ada turunan dari fungsi kompleks
, Dan

,
.

Contoh 7. Mari kita cari turunan parsial dari fungsi kompleks
, Di mana,.

Contoh 8. Mari kita cari turunan dari fungsi kompleks
, yang fungsinya
,
. Dalam contoh ini fungsi X Dan kamu bergantung pada satu variabel T, jadi ini fungsi yang kompleks
- fungsi dari satu variabel.

Contoh 9. Membiarkan F(kamu) - fungsi terdiferensiasi sewenang-wenang. Mari kita buktikan fungsinya
memenuhi persamaan
.
.

Ayo taruh

Karena itu,

TURUNAN DAN DIFERENSIAL SEBAGIAN

Biarkan fungsinya
PESANAN YANG LEBIH TINGGI
di sekitar suatu titik .

memiliki turunan parsial Turunan parsial suatu fungsi X berdasarkan variabel ditelepon turunan parsial urutan kedua X berdasarkan variabel dan ditunjuk
.

atau Turunan parsial suatu fungsi kamu Turunan parsial ditelepon turunan parsial ditelepon X Dan kamu oleh variabel dan ditunjuk
.

atau Dan (
Dan
Turunan parsial orde kedua didefinisikan dengan cara yang sama .

) sebagai turunan parsial dari fungsi tersebut Dan Derivatif dipanggil

Teorema 4. Biarkan fungsinya
didefinisikan bersama dengan turunan parsialnya ,,
,
di beberapa lingkungan titik tersebut

Dan
berkelanjutan pada saat ini. Maka nilai turunan campuran pada titik ini adalah sama, yaitu.

=

.

Turunan parsial dari turunan orde kedua disebut turunan parsial orde ketiga:
dll.

Turunan parsial (terhadap salah satu variabel bebas) dari turunan parsial orde M-1 disebut turunan parsial dari keteraturan M.

Teorema 4 juga berlaku untuk turunan campuran orde ketiga, keempat dan lebih tinggi. Misalnya saja jika fungsinya
didefinisikan bersama dengan turunan parsialnya hingga orde 3 inklusif di beberapa lingkungan titik
, dan turunan campuran
,
Dan
kontinu di titik ini, maka nilai turunan campuran di titik ini adalah sama dengan:

=

=

.

Diferensial orde kedua fungsi dua variabel disebut diferensial diferensial orde pertama.

Jika fungsinya
dua kali terus menerus terdiferensiasi di beberapa lingkungan titik tersebut
(yaitu ada turunan parsial kontinu dari fungsi tersebut F sampai dengan orde kedua inklusif di sekitar titik tersebut
), Kemudian

.

Contoh 10. Mari kita cari turunan orde kedua dari fungsi kompleks yang terdiferensiasi dua kali secara kontinyu
, yang fungsinya
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

kami menghitung dengan cara yang sama

.

DERIVATIF ARAH. GRADIEN

Membiarkan aku - vektor satuan dalam
dengan koordinat
.

Turunan dari suatu fungsi
ke arah vektor aku pada intinya
ditelepon .

Turunan terarah dilambangkan

.

Gradien fungsi F pada intinya
adalah vektor yang koordinatnya merupakan turunan parsial suatu fungsi di suatu titik:

lulusan F
= (
,
) =
Saya +
J.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa turunan terarah aku sama dengan produk skalar vektor gradien dan vektor aku:

=

+

=
,

dimana  adalah sudut antar vektor lulusan F
Dan aku.

Dari rumus terakhir dapat disimpulkan bahwa turunan terhadap arah vektor lulusan F
memiliki nilai tertinggi antara turunan dalam arah yang berbeda dan sama dengan modulus vektor gradien.

Contoh 11. Mari kita cari turunan dari fungsinya
pada intinya M(1, 0) dalam arah vektor M N, Di mana N (5, 3) .

Vektor M N memiliki koordinat (4, 3),
. Ini berarti vektor satuan aku memiliki koordinat (4/5, 3/5). Mari kita hitung turunan parsial pada titik tersebut M:
,
. Kemudian
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Contoh 12. Mari kita cari turunan dari fungsinya
di titik (2,3) searah dengan vektor gradien pada titik tersebut.

Mari kita hitung turunan parsialnya:

,
.

Turunan arah vektor gradien di suatu titik sama dengan nilai mutlak vektor tersebut lulusan F. Karena itu,

BIDANG SINGKAT DAN NORMAL PADA PERMUKAAN

Untuk terdiferensiasi pada suatu titik
fungsi
hubungan berikut ini benar:

Di mana
,
(ini mengikuti definisi diferensial orde pertama). Kemungkinan A Dan DI DALAM didefinisikan dengan jelas:
=A,
=DI DALAM.

Persamaan

adalah persamaan bidang yang melalui suatu titik
. Pesawat ini disebut bidang singgung ke grafik fungsi
pada intinya
.

Jadi, bidang singgung grafik fungsi tersebut
pada suatu titik terdapat bidang sedemikian rupa sehingga selisih antara penerapannya dan nilai fungsinya
pada titik ini ada kuantitas yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan  pada   0 .

Persamaan normal grafik suatu fungsi
pada intinya
sepertinya

.

Jika persamaan permukaan halus diberikan secara implisit
, maka persamaan bidang singgung di titik tersebut
sepertinya

dan persamaan normal pada saat ini adalah:

.

Contoh 13. Mari kita tuliskan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan
pada titik (-2, 1, 4).

,
. Persamaan bidang singgungnya adalah: atau
.

Persamaan normal: .

EKSTREMA FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

Dot
disebut titik maksimum lokal (minimum lokal) fungsi
,
, jika ada lingkungan titik tersebut
, untuk semua titik yang pertidaksamaannya

(
).

Poin maksimum lokal dan minimum lokal fungsi dipanggil titik ekstrem lokal.

Misalnya, titik (0,0) adalah titik minimum dari fungsi tersebut
.

Teorema 5 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika fungsinya
ada pada intinya
ekstrem lokal dan pada titik ini terdapat turunan parsial F, Itu

=0 dan
=0.

Dot
ditelepon titik stasioner Kumpulan semua poin F, Jika
=0 dan
=0.

Teorema 6 (kondisi cukup untuk ekstrem). Biarkan fungsinya
terdiferensiasi dua kali secara kontinyu di lingkungan suatu titik stasioner
.

Mari kita nyatakan  =



- (

) 2 .

Kemudian > 1) jika 
0, lalu pada intinya F fungsi

memiliki ekstrem lokal: maksimum pada

< 0;

> 0 dan minimum pada < 1) jika 
0, lalu pada intinya F 2) jika 

tidak memiliki ekstrem; = 1) jika 
0, lalu pada intinya F 3) jika 

mungkin memiliki ekstrem lokal atau tidak (dalam hal ini, diperlukan penelitian tambahan). Contoh 14.

Kami memeriksa fungsinya untuk ekstrem kamu Perhatikan bahwa fungsinya
,
terdefinisi dan terdiferensiasi pada keseluruhan bidang.

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
. Menyamakan turunan parsial dengan nol dan menyelesaikan sistem yang dihasilkan, kita menemukan titik stasioner dari fungsi tersebut: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2). kamu(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

, oleh karena itu, pada titik (1, 2) fungsi tersebut memiliki minimum, kamu(-1, -2) = 31.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, maka pada titik (-1, -2) fungsi tersebut mempunyai maksimum,

Biarkan fungsinya
NILAI FUNGSI MAKSIMUM DAN TERKECIL Fikhtengolts G.M..

kontinu pada himpunan tertutup yang dibatasi
ditelepon Ingat itu banyak terbatas , jika lingkungan seperti itu ada kamu
, jika lingkungan seperti itu ada (0,0), yang
ditelepon (0,0); banyak tertutup

, jika berisi semua titik batasnya.
Dan
Menurut teorema Weierstrass, ada beberapa hal seperti itu
, Apa Fikhtengolts G.M. adalah nilai terbesar dari fungsi pada himpunan
, A Fikhtengolts G.M..

- nilai terkecilnya di himpunan Suatu fungsi yang terdiferensiasi dalam suatu daerah terbatas dan kontinu pada batasnya mencapai nilai terbesar dan terkecil di salah satu daerah tersebut titik stasioner Fikhtengolts G.M..

, atau pada titik batas Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada himpunan Fikhtengolts G.M., dibatasi oleh garis lurus
,
,
.

kamu(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - stasioner

titik fungsi kamu (lihat contoh 14), tetapi (-2,-1),

(-1,-2) bukan milik Fikhtengolts G.M..

kamu (2, 1) = -23, kamu (1, 2) = -25.

Fikhtengolts G.M. Mari kita pelajari perilaku fungsinya kamu pada

X menetapkan batasan Fikhtengolts G.M..

Beras. 5
. Ini adalah fungsi dari satu variabel,

yang menerima nilai terkecil pada intinya
, dan nilai terbesar pada titik tersebut
:kamu (4,0) = -45, kamu (0,0)= 3;

2)
,
. Di segmen ini
. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi pada suatu segmen, kita menghitung nilainya pada titik stasioner dan di ujung segmen:
;
, Tetapi
, jadi kami menghitung kamu (0,0) = 3, kamu (0,
)= =
, kamu (0,4) = 7. Nilai terbesar ada di titik (0,4), dan nilai terkecil ada di titik (0,
);

3)
,
. Di Sini

.

Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner dan di ujung segmen: ;; kamu (0,4)= 7, kamu (3/2, 5/2) = -20, kamu (5/2,3/2)= -18, kamu (4.0)= -45. Pada bagian batas ini, nilai fungsi terbesar ada di titik (0,4), dan nilai terkecil ada di titik (4,0).

Dari nilai fungsi terkecil dan terbesar yang diperoleh pada paragraf 1)-3) pada berbagai bagian batas dan dari nilai fungsi pada titik stasioner, kita pilih yang terbesar dan terkecil. Nilai tertinggi: kamu (0,4)= 7, nilai terkecil: kamu (4,0)= -45.