Kami melanjutkan percakapan kami tentang rumus yang paling sering digunakan dalam trigonometri. Yang paling penting di antaranya adalah rumus penjumlahan.
Definisi 1
Rumus penjumlahan memungkinkan Anda menyatakan fungsi selisih atau jumlah dua sudut menggunakan fungsi trigonometri sudut-sudut ini.
Untuk memulainya, kami akan memberi daftar lengkap rumus penjumlahan, selanjutnya kita akan membuktikannya dan menganalisis beberapa contoh ilustrasi.
Yandex.RTB RA-339285-1
Rumus penjumlahan dasar dalam trigonometri
Ada delapan rumus dasar: sinus jumlah dan sinus selisih dua sudut, cosinus jumlah dan selisih, tangen dan kotangen jumlah dan selisih. Di bawah ini adalah formulasi dan perhitungan standarnya.
1. Sinus jumlah dua sudut dapat diperoleh sebagai berikut:
Kami menghitung produk sinus sudut pertama dan kosinus sudut kedua;
Kalikan kosinus sudut pertama dengan sinus sudut pertama;
Jumlahkan nilai yang dihasilkan.
Penulisan grafis rumusnya seperti ini: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Sinus selisih dihitung dengan cara yang hampir sama, hanya saja hasil perkaliannya tidak boleh dijumlahkan, melainkan dikurangkan satu sama lain. Jadi, kita menghitung hasil kali sinus sudut pertama dengan kosinus sudut kedua dan kosinus sudut pertama dengan sinus sudut kedua dan mencari perbedaannya. Rumusnya ditulis seperti ini: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Kosinus jumlah tersebut. Untuk itu, kita mencari hasil kali cosinus sudut pertama dengan kosinus sudut kedua dan sinus sudut pertama dengan sinus sudut kedua, dan mencari selisihnya: cos (α + β) = cos α · cos β - dosa α · dosa β
4. Kosinus selisih: hitung hasil kali sinus dan kosinus sudut-sudut ini, seperti sebelumnya, dan jumlahkan. Rumus: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
5. Garis singgung penjumlahan. Rumus ini dinyatakan sebagai pecahan, yang pembilangnya adalah jumlah garis singgung sudut-sudut yang diinginkan, dan penyebutnya adalah satuan, yang kemudian dikurangi hasil kali garis singgung sudut-sudut yang diinginkan. Semuanya jelas dari notasi grafisnya: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Garis singgung selisihnya. Kami menghitung nilai selisih dan hasil kali garis singgung sudut-sudut ini dan melanjutkannya dengan cara yang serupa. Pada penyebut kita tambahkan satu, dan bukan sebaliknya: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangen jumlah. Untuk menghitung menggunakan rumus ini, kita memerlukan hasil kali dan jumlah kotangen sudut-sudut tersebut, yang kita lakukan sebagai berikut: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangen selisihnya . Rumusnya mirip dengan rumus sebelumnya, namun pembilang dan penyebutnya dikurangi, bukan ditambah c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Anda mungkin memperhatikan bahwa rumus-rumus ini berpasangan serupa. Dengan menggunakan tanda ± (plus-minus) dan ∓ (minus-plus), kita dapat mengelompokkannya untuk memudahkan pencatatan:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Oleh karena itu, kita mempunyai satu rumus untuk mencatat jumlah dan selisih setiap nilai, hanya dalam satu kasus kita memperhatikan tanda atas, dalam kasus lain – ke tanda bawah.
Definisi 2
Kita dapat mengambil sudut mana pun α dan β, dan rumus penjumlahan untuk kosinus dan sinus dapat digunakan untuk sudut tersebut. Jika kita dapat menentukan dengan benar nilai garis singgung dan kotangen sudut-sudut tersebut, maka rumus penjumlahan tangen dan kotangen juga berlaku untuk sudut-sudut tersebut.
Seperti kebanyakan konsep dalam aljabar, rumus penjumlahan dapat dibuktikan. Rumus pertama yang akan kita buktikan adalah rumus selisih cosinus. Bukti-bukti lainnya kemudian dapat dengan mudah disimpulkan darinya.
Mari kita perjelas konsep dasarnya. Kami akan membutuhkannya lingkaran satuan. Ini akan berhasil jika kita mengambil titik A tertentu dan memutar sudut α dan β di sekitar pusat (titik O). Maka sudut antara vektor O A 1 → dan O A → 2 akan sama dengan (α - β) + 2 π · z atau 2 π - (α - β) + 2 π · z (z adalah bilangan bulat apa pun). Vektor yang dihasilkan membentuk sudut yang sama dengan α - β atau 2 π - (α - β), atau mungkin berbeda dari nilai-nilai ini dengan bilangan bulat revolusi penuh. Lihatlah gambarnya:
Kami menggunakan rumus reduksi dan mendapatkan hasil sebagai berikut:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Hasil: kosinus sudut antara vektor O A 1 → dan O A 2 → sama dengan kosinus sudut α - β, maka cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Mari kita mengingat kembali definisi sinus dan cosinus: sinus adalah fungsi sudut, sama dengan rasionya kaki sudut yang berlawanan dengan sisi miring, kosinus adalah sinus sudut tambahan. Oleh karena itu, poinnya Sebuah 1 Dan Sebuah 2 mempunyai koordinat (cos α, sin α) dan (cos β, sin β).
Kami mendapatkan yang berikut:
O A 1 → = (cos α, sin α) dan O A 2 → = (cos β, sin β)
Jika kurang jelas, lihat koordinat titik-titik yang terletak di awal dan akhir vektor.
Panjang vektor sama dengan 1, karena Kami memiliki lingkaran satuan.
Mari kita lihat sekarang produk titik vektor O A 1 → dan O A 2 → . Secara koordinat terlihat seperti ini:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Dari sini kita dapat memperoleh persamaan:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Dengan demikian, rumus selisih cosinus terbukti.
Sekarang kami akan membuktikannya rumus berikut– kosinus dari jumlah tersebut. Ini lebih mudah karena kita bisa menggunakan perhitungan sebelumnya. Mari kita ambil representasi α + β = α - (- β) . Kami memiliki:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ini adalah bukti rumus jumlah cosinus. Baris terakhir menggunakan properti sinus dan cosinus sudut yang berlawanan.
Rumus sinus suatu penjumlahan dapat diturunkan dari rumus kosinus selisih. Mari kita ambil rumus reduksi untuk ini:
ketik dosa(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Jadi
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Dan berikut ini bukti rumus selisih sinus :
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Perhatikan penggunaan sifat sinus dan kosinus sudut berlawanan pada perhitungan terakhir.
Selanjutnya kita membutuhkan pembuktian rumus penjumlahan tangen dan kotangen. Mari kita ingat definisi dasarnya (tangen adalah perbandingan sinus dan kosinus, dan kotangen adalah sebaliknya) dan ambil rumus yang sudah diturunkan sebelumnya. Kami mendapatkan ini:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Kami berhasil pecahan kompleks. Selanjutnya, kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan cos α · cos β, mengingat cos α ≠ 0 dan cos β ≠ 0, kita peroleh:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Sekarang kita kurangi pecahannya dan dapatkan rumus berikut: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Kita mendapatkan t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ini adalah bukti rumus penjumlahan tangen.
Rumus selanjutnya yang akan kita buktikan adalah rumus selisih tangen. Semuanya terlihat jelas dalam perhitungan:
tg (α - β) = tg (α + (- β)) = tg α + tg (- β) 1 - tg α tg (- β) = tg α - tg β 1 + tg α tg β
Rumus kotangen dibuktikan dengan cara serupa:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Berikutnya:
c tg (α - β) = c tg (α + (- β)) = - 1 + c tg α c tg (- β) ctg α + ctg (- β) = - 1 - c tg α c tg β ctg α - ctg β
Saya tidak akan mencoba meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk contekan trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa contekan diperlukan dan mengapa contekan berguna. Dan berikut adalah informasi tentang bagaimana untuk tidak belajar, tetapi mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.
1. Rumus penjumlahan:
Kosinus selalu “berpasangan”: kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Dan satu hal lagi: cosinus “tidak memadai”. “Semuanya tidak beres” bagi mereka, sehingga mereka mengubah tanda: “-” menjadi “+”, dan sebaliknya.
Sinus - “campuran”: sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Rumus jumlah dan selisih:
cosinus selalu “berpasangan”. Dengan menambahkan dua kosinus - "kolobok", kita mendapatkan sepasang kosinus - "kolobok". Dan dengan melakukan pengurangan pasti kita tidak akan mendapatkan kolobok apapun. Kami mendapatkan beberapa sinus. Juga dengan minus di depan.
Sinus - “campuran” :
3. Rumus untuk mengubah suatu hasil kali menjadi jumlah dan selisih.
Kapan kita mendapatkan pasangan cosinus? Saat kita menjumlahkan cosinus. Itu sebabnya
Kapan kita mendapatkan beberapa sinus? Saat mengurangkan cosinus. Dari sini:
"Pencampuran" diperoleh dengan menjumlahkan dan mengurangkan sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya mereka mengambil tambahan:
Pada rumus pertama dan ketiga, jumlahnya ada di dalam tanda kurung. Menata ulang tempat suku-suku tersebut tidak mengubah jumlahnya. Urutannya penting hanya untuk rumus kedua. Namun agar tidak bingung, agar mudah diingat, pada ketiga rumus pada tanda kurung pertama kita ambil selisihnya.
dan kedua, jumlahnya
Lembar contekan di saku Anda memberi Anda ketenangan pikiran: jika Anda lupa rumusnya, Anda dapat menyalinnya. Dan mereka memberi Anda kepercayaan diri: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, Anda dapat dengan mudah mengingat rumusnya.
