Penurunan integral fungsi dasar dasar. Rumus dasar dan metode integrasi

Di sekolah, banyak orang yang gagal menyelesaikan soal integral atau mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya. Artikel ini akan membantu Anda mengetahuinya, karena Anda akan menemukan semua isinya. tabel integral.

Integral adalah salah satu perhitungan dan konsep utama dalam analisis matematika. Kemunculannya disebabkan oleh dua tujuan:
Gol pertama- mengembalikan suatu fungsi menggunakan turunannya.
Gol kedua- perhitungan luas yang terletak pada jarak grafik ke fungsi f(x) pada garis lurus dimana a lebih besar atau sama dengan x lebih besar atau sama dengan b dan sumbu x.

Tujuan-tujuan ini membawa kita pada integral pasti dan tak tentu. Keterhubungan antar integral tersebut terletak pada pencarian sifat dan perhitungannya. Namun segala sesuatu mengalir dan segala sesuatu berubah seiring berjalannya waktu, solusi-solusi baru ditemukan, penambahan-penambahan diidentifikasi, sehingga membawa integral pasti dan tak tentu ke bentuk integrasi lainnya.

Apa yang terjadi integral tak tentu kamu bertanya. Ini adalah fungsi antiturunan F(x) dari satu variabel x dalam interval a lebih besar dari x lebih besar dari b. disebut fungsi apa pun F(x), dalam interval tertentu untuk sembarang sebutan x, turunannya sama dengan F(x). Jelas bahwa F(x) merupakan antiturunan untuk f(x) pada interval a lebih besar dari x lebih besar dari b. Artinya F1(x) = F(x) + C. C - adalah sembarang konstanta dan antiturunan untuk f(x) dalam interval tertentu. Pernyataan ini dapat dibalik; untuk fungsi f(x) - 2 antiturunannya hanya berbeda pada konstanta. Berdasarkan teorema kalkulus integral, ternyata setiap kontinu pada interval a

Integral pasti dipahami sebagai limit dalam jumlah integral, atau dalam situasi fungsi tertentu f(x) yang didefinisikan pada suatu garis (a,b) yang mempunyai antiturunan F di atasnya, artinya selisih ekspresi-ekspresinya pada ujung-ujung garis tertentu F(b) - F(a).

Untuk mengilustrasikan studi tentang topik ini, saya sarankan menonton videonya. Ini menceritakan secara rinci dan menunjukkan bagaimana menemukan integral.

Masing-masing tabel integral sangat berguna karena dapat membantu menyelesaikan jenis integral tertentu.

Semua kemungkinan jenis alat tulis dan banyak lagi. Anda dapat membeli melalui toko online v-kant.ru. Atau cukup ikuti tautan Stationery Samara (http://v-kant.ru) kualitas dan harga akan mengejutkan Anda.

Empat metode utama integrasi tercantum di bawah ini.

1) Aturan untuk mengintegrasikan jumlah atau selisih.
.
Di sini dan di bawah u, v, w adalah fungsi dari variabel integrasi x.

2) Memindahkan konstanta ke luar tanda integral.
Misalkan c adalah konstanta yang tidak bergantung pada x.

3) Kemudian dapat dikeluarkan dari tanda integralnya.
Metode penggantian variabel.
Mari kita pertimbangkan integral tak tentu. Jika kita dapat menemukan fungsi seperti itu φ(X)
,
dari x, jadi
.

4) kemudian, dengan mengganti variabel t = φ(x) , kita mendapatkan
,
Rumus integrasi per bagian.

dimana u dan v adalah fungsi dari variabel integrasi.
Tujuan akhir penghitungan integral tak tentu adalah, melalui transformasi, untuk mereduksi suatu integral tertentu menjadi integral paling sederhana, yang disebut integral tabel. Integral tabel dinyatakan dalam fungsi dasar menggunakan rumus yang diketahui.

Lihat Tabel Integral >>>

Contoh

Hitung integral tak tentu

Larutan
Kita perhatikan bahwa integran adalah jumlah dan selisih tiga suku:
, Dan . 1 .

Menerapkan metode 5, 4, Selanjutnya, kita perhatikan bahwa integral dari integral baru dikalikan dengan konstanta 2 Dan 2 .

, masing-masing. Menerapkan metode
.
Dalam tabel integral kita menemukan rumusnya 2 Dengan asumsi n =

, kita cari integral pertama.
.
Mari kita tulis ulang integral kedua dalam bentuk

Kami memperhatikan hal itu. Kemudian.
.
Mari kita gunakan cara ketiga. Kita ubah variabel t = φ

(x) = catatan x

Dalam tabel integral kita menemukan rumusnya
.
Karena variabel integrasi dapat dilambangkan dengan huruf apa saja, maka
Mari kita tulis ulang integral ketiga dalam bentuk
Kami menerapkan rumus integrasi per bagian.
;
;

;
;
.

Mari kita jelaskan.
.
Kemudian 3 .
.

Akhirnya kita punya

Mari kita kumpulkan suku-sukunya dengan x
Menjawab

Sastra bekas:

N.M. Gunther, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Integral utama yang harus diketahui setiap siswa

Integral yang tercantum adalah basis, basis dari fundamental. Rumus-rumus ini pasti harus diingat. Saat menghitung integral yang lebih kompleks, Anda harus menggunakannya terus-menerus.

Integral dari sebuah konstanta

∫ A d x = A x + C (1)

Mengintegrasikan Fungsi Daya
Faktanya, kita dapat membatasi diri hanya pada rumus (5) dan (7), tetapi integral lainnya dari kelompok ini sering muncul sehingga perlu sedikit perhatian pada rumus tersebut.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 dx = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integral fungsi eksponensial dan fungsi hiperbolik

Tentu saja, rumus (8) (mungkin yang paling mudah untuk dihafal) dapat dianggap sebagai kasus khusus dari rumus (9). Rumus (10) dan (11) untuk integral sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik mudah diturunkan dari rumus (8), tetapi lebih baik mengingat hubungan ini saja.

∫ exdx = ex + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integral dasar fungsi trigonometri

Kesalahan yang sering dilakukan siswa adalah mengacaukan tanda pada rumus (12) dan (13). Mengingat turunan sinus sama dengan cosinus, entah kenapa banyak orang yang percaya bahwa integral fungsi sinx sama dengan cosx. Ini tidak benar! Integral sinus sama dengan “minus cosinus”, tetapi integral cosx sama dengan “just sinus”:

∫ dosa x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = dosa x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 dosa 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integral yang direduksi menjadi fungsi trigonometri terbalik

Rumus (16), yang mengarah ke garis singgung busur, tentu saja merupakan kasus khusus dari rumus (17) untuk a=1. Demikian pula, (18) adalah kasus khusus dari (19).

∫ 1 1 + x 2 dx = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = busursin x + C = − busurcos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integral yang lebih kompleks

Dianjurkan juga untuk mengingat rumus-rumus ini. Mereka juga cukup sering digunakan, dan keluarannya cukup membosankan.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (sebuah > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (sebuah > 0) (24)

Sangat mudah untuk melihat bahwa properti (26) hanyalah kombinasi properti (25) dan (27).

4) Integral fungsi kompleks jika fungsi dalam linier: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Di sini F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x). Harap diperhatikan: rumus ini hanya berfungsi jika fungsi dalamnya adalah Ax + B.

Penting: tidak ada rumus universal untuk integral hasil kali dua fungsi, serta integral pecahan:

∫ f (x) g (x) d x = ?

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Contoh sederhana menghitung integral tak tentu

Contoh 1. Carilah integralnya: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Mari kita gunakan rumus (25) dan (26) (integral jumlah atau selisih fungsi sama dengan jumlah atau selisih integral-integral yang bersesuaian. Kita peroleh: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 hari x

Ingatlah bahwa konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral (rumus (27)). Ekspresi diubah ke bentuk

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Sekarang mari kita gunakan tabel integral dasar. Kita perlu menerapkan rumus (3), (12), (8) dan (1). Mari kita integrasikan fungsi pangkat, sinus, eksponensial, dan konstanta 1. Jangan lupa menambahkan konstanta sembarang C di akhir:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Setelah transformasi dasar kita mendapatkan jawaban akhir:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (sebuah > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (sebuah > 0)

Download tabel integral (bagian II) dari link ini

Jika Anda belajar di universitas, jika Anda mengalami kesulitan dengan matematika tingkat tinggi (analisis matematika, aljabar linier, teori probabilitas, statistika), jika Anda memerlukan jasa guru yang berkualifikasi, buka halaman tutor matematika tingkat tinggi. Kami akan menyelesaikan masalah Anda bersama!

Anda mungkin juga tertarik

Mari kita daftar integral dari fungsi dasar, yang kadang-kadang disebut tabel:(Salah satu rumus di atas dapat dibuktikan dengan mengambil turunan ruas kanan (hasilnya adalah integran).).

Metode integrasi

Mari kita lihat beberapa metode integrasi dasar. Ini termasuk: 1. Metode penguraian

integrasi langsung

Metode ini didasarkan pada penggunaan langsung integral tabel, serta penggunaan sifat 4 dan 5 dari integral tak tentu (yaitu, mengeluarkan faktor konstanta dari tanda kurung dan/atau menyatakan integral sebagai jumlah fungsi - dekomposisi dari integran ke dalam istilah). Contoh 1.

Misalnya, untuk mencari(dx/x 4) Anda dapat langsung menggunakan integral tabel untukx n dx. Faktanya,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C. Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2. Untuk mencarinya, kita menggunakan integral yang sama: Contoh 3.

Untuk menemukannya, Anda perlu mengambil

Contoh 4.Untuk mencarinya, kami merepresentasikan fungsi integran dalam bentuk dan gunakan integral tabel untuk fungsi eksponensial:

Mari kita pertimbangkan penggunaan tanda kurung sebagai faktor konstan. Contoh 5. Mari kita temukan, misalnya . Mengingat hal itu, kita mengerti

Contoh 6.

Kami akan menemukannya. Sejak

, mari kita gunakan integral tabel );

Kami mengerti

Dalam dua contoh berikut, Anda juga dapat menggunakan integral bracketing dan tabel: Contoh 7. ).

(kami menggunakan dan

Contoh 8.(kami menggunakan
. Untuk menerapkan metode pemuaian pada pembilangnya, kita menggunakan rumus jumlah pangkat tiga , lalu membagi polinomial yang dihasilkan dengan penyebutnya, suku demi suku.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Perlu dicatat bahwa di akhir penyelesaian, satu konstanta umum C ditulis (dan bukan konstanta terpisah saat mengintegrasikan setiap suku). Di masa depan, juga diusulkan untuk menghilangkan konstanta dari integrasi suku-suku individual dalam proses penyelesaian selama ekspresi tersebut mengandung setidaknya satu integral tak tentu (kita akan menulis satu konstanta di akhir penyelesaian).

Contoh 10. Kami akan menemukannya . Untuk menyelesaikan soal ini, mari kita faktorkan pembilangnya (setelah itu kita bisa mengurangi penyebutnya).

Contoh 11. Kami akan menemukannya. Identitas trigonometri dapat digunakan di sini.

Terkadang, untuk menguraikan suatu ekspresi menjadi istilah-istilah, Anda harus menggunakan teknik yang lebih kompleks.

Contoh 12. Kami akan menemukannya . Di integran kita memilih seluruh bagian pecahan . Kemudian

Contoh 13. Kami akan menemukannya

2. Metode penggantian variabel (substitution method)

Metode ini didasarkan pada rumus berikut: f(x)dx=f((t))`(t)dt, dimana x =(t) adalah fungsi yang terdiferensiasi pada interval yang dipertimbangkan.

Bukti. Mari kita cari turunan terhadap variabel t dari ruas kiri dan kanan rumus.

Perhatikan bahwa di sisi kiri terdapat fungsi kompleks yang argumen perantaranya adalah x = (t). Oleh karena itu, untuk mendiferensiasikannya terhadap t, pertama-tama kita diferensiasikan integral terhadap x, dan kemudian ambil turunan dari argumen perantara terhadap t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Turunan dari sisi kanan:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Karena turunan-turunan ini sama, akibat wajar dari teorema Lagrange, ruas kiri dan kanan rumus yang dibuktikan berbeda sebesar konstanta tertentu. Karena integral tak tentu itu sendiri didefinisikan hingga suku konstan tak tentu, konstanta ini dapat dihilangkan dari notasi akhir. Terbukti.

Perubahan variabel yang berhasil memungkinkan Anda menyederhanakan integral asli, dan dalam kasus paling sederhana, mereduksinya menjadi integral tabel. Dalam penerapan metode ini dibedakan antara metode substitusi linier dan nonlinier.

a) Metode substitusi linier Mari kita lihat sebuah contoh.

Mari kita lihat beberapa metode integrasi dasar. Ini termasuk:
. Misalkan t= 1 – 2x, maka

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Perlu diperhatikan bahwa variabel baru tidak perlu dituliskan secara eksplisit. Dalam kasus seperti itu, mereka berbicara tentang transformasi suatu fungsi di bawah tanda diferensial atau tentang memasukkan konstanta dan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu. HAI penggantian variabel implisit.

Metode ini didasarkan pada penggunaan langsung integral tabel, serta penggunaan sifat 4 dan 5 dari integral tak tentu (yaitu, mengeluarkan faktor konstanta dari tanda kurung dan/atau menyatakan integral sebagai jumlah fungsi - dekomposisi dari integran ke dalam istilah). Misalnya, caricos(3x + 2)dx. Berdasarkan sifat-sifat diferensial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), makacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dalam kedua contoh yang dipertimbangkan, substitusi linier t=kx+b(k0) digunakan untuk mencari integral.

Secara umum, teorema berikut ini valid.

Teorema substitusi linier. Misalkan F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x). Makaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, dengan k dan b adalah beberapa konstanta,k0.

Bukti.

Berdasarkan definisi integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Mari kita keluarkan faktor konstanta k dari tanda integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sekarang kita dapat membagi ruas kiri dan kanan persamaan menjadi dua dan memperoleh pernyataan yang harus dibuktikan sampai dengan sebutan suku konstan.

Teorema ini menyatakan bahwa jika dalam definisi integral f(x)dx= F(x) + C alih-alih argumen x kita mengganti ekspresi (kx+b), ini akan menyebabkan munculnya tambahan faktor 1/k di depan antiturunannya.

Dengan menggunakan teorema yang telah terbukti, kita selesaikan contoh berikut.

Misalnya, untuk mencari(dx/x 4) Anda dapat langsung menggunakan integral tabel untukx n dx. Faktanya,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Kami akan menemukannya . Di sini kx+b= 3 –x, yaitu k= -1,b= 3. Kemudian

Contoh 2.

Kami akan menemukannya. Di sinikx+b= 4x+ 3, yaitu k= 4,b= 3. Maka

Contoh 4.

Kami akan menemukannya . Di sini kx+b= -2x+ 7, yaitu k= -2,b= 7. Maka

.

Mari kita pertimbangkan penggunaan tanda kurung sebagai faktor konstan. Kami akan menemukannya
. Di sini kx+b= 2x+ 0, yaitu k= 2,b= 0.

.

Mari kita bandingkan hasil yang diperoleh dengan contoh 8, yang diselesaikan dengan metode dekomposisi. Memecahkan masalah yang sama dengan menggunakan metode yang berbeda, kami mendapatkan jawabannya
. Mari kita bandingkan hasilnya: Jadi, ekspresi-ekspresi ini berbeda satu sama lain dengan suku konstan , yaitu Jawaban yang diterima tidak saling bertentangan.

Kami akan menemukannya. Sejak Kami akan menemukannya
. Mari kita pilih kuadrat sempurna pada penyebutnya.

Dalam beberapa kasus, mengubah suatu variabel tidak mereduksi integral secara langsung menjadi integral tabel, namun dapat menyederhanakan penyelesaiannya, sehingga memungkinkan untuk menggunakan metode ekspansi pada langkah berikutnya.

Kami mengerti(kami menggunakan . Gantikan t=x+ 2, lalu dt=d(x+ 2) =dx. Kemudian

,

dimana C = C 1 – 6 (saat mensubstitusi ekspresi (x+ 2) sebagai ganti dua suku pertama kita mendapatkan ½x 2 -2x– 6).

Contoh 8. Kami akan menemukannya
. Misalkan t= 2x+ 1, maka dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Mari kita substitusikan ekspresi (2x+ 1) untuk t, buka tanda kurung dan berikan yang serupa.

Perhatikan bahwa dalam proses transformasi kita berpindah ke suku konstan lainnya, karena kelompok suku konstan dapat dihilangkan selama proses transformasi.

b) Metode substitusi nonlinier Mari kita lihat sebuah contoh.

Mari kita lihat beberapa metode integrasi dasar. Ini termasuk:
. Biarkan= -x 2. Selanjutnya, seseorang dapat menyatakan x dalam bentuk t, kemudian mencari ekspresi untuk dx dan menerapkan perubahan variabel pada integral yang diinginkan. Namun dalam kasus ini lebih mudah untuk melakukan sesuatu secara berbeda. Mari kita caridt=d(-x 2) = -2xdx. Perhatikan bahwa ekspresi xdx adalah faktor dari integral integral yang diinginkan. Mari kita nyatakan dari persamaan yang dihasilkanxdx= - ½dt. Kemudian

Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu memulihkan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi tersebut. Fungsinya dipulihkan F(X) dipanggil antiturunan untuk fungsi F(X).

Definisi 1. Fungsi F(X F(X) pada interval tertentu X, jika untuk semua nilai X dari interval ini persamaan berlaku F "(X)=F(X), yaitu fungsi ini F(X) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(X). .

Misalnya saja fungsinya F(X) = dosa X merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = karena X pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa X)" = (kos X) .

Definisi 2. Integral tak tentu suatu fungsi F(X) adalah himpunan semua antiturunannya. Dalam hal ini, notasi digunakan

∫

F(X)dx

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi F(X) – fungsi integran, dan F(X)dx – ekspresi integran.

Jadi, jika F(X) – beberapa antiturunan untuk F(X) , Itu

∫

F(X)dx = F(X) +C

Di mana C - konstanta sembarang (konstanta).

Untuk memahami pengertian himpunan antiturunan suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Terbuat dari kayu. Artinya himpunan antiturunan dari integral fungsi “menjadi pintu”, yaitu integral tak tentu, adalah fungsi “menjadi pohon + C”, dimana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, misalnya, jenis pohon. Seperti halnya sebuah pintu dibuat dari kayu dengan menggunakan beberapa alat, maka turunan suatu fungsi “dibuat” dari fungsi antiturunan dengan menggunakan rumus yang kita pelajari saat mempelajari turunannya .

Kemudian tabel fungsi benda-benda biasa dan antiturunannya yang sesuai (“menjadi pintu” - “menjadi pohon”, “menjadi sendok” - “menjadi logam”, dll.) mirip dengan tabel dasar integral tak tentu, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum dengan indikasi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Pada bagian soal mencari integral tak tentu, diberikan integran yang dapat diintegrasikan secara langsung tanpa banyak usaha, yaitu dengan menggunakan tabel integral tak tentu. Dalam permasalahan yang lebih kompleks, integran harus ditransformasikan terlebih dahulu agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Saat memulihkan suatu fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta sembarang (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan berbagai konstanta dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menulis himpunan antiturunan dengan konstanta sembarang C, misalnya seperti ini: 5 X³+C. Jadi, konstanta sembarang (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya 5 X³+4 atau 5 X³+3 dan ketika dibedakan, 4 atau 3, atau konstanta lainnya menjadi nol.

Mari kita ajukan masalah integrasi: untuk fungsi ini F(X) temukan fungsi seperti itu F(X), turunannya siapa sama dengan F(X).

Mari kita lihat beberapa metode integrasi dasar. Ini termasuk: Temukan himpunan antiturunan suatu fungsi

Larutan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi tersebut

Fungsi F(X) disebut antiturunan untuk fungsi tersebut F(X), jika turunannya F(X) sama dengan F(X), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(X) sama F(X) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi tersebut. Namun, ini bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda suku konstan. Semua antiturunan suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika F(X) – antiturunan untuk fungsi tersebut F(X) pada interval tertentu X, lalu antiturunan lainnya untuk F(X) pada interval yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk F(X) + C, Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Pada contoh berikut, kita beralih ke tabel integral, yang akan diberikan pada paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan tabel agar intisari di atas jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan selama integrasi.

Metode ini didasarkan pada penggunaan langsung integral tabel, serta penggunaan sifat 4 dan 5 dari integral tak tentu (yaitu, mengeluarkan faktor konstanta dari tanda kurung dan/atau menyatakan integral sebagai jumlah fungsi - dekomposisi dari integran ke dalam istilah). Temukan kumpulan fungsi antiturunan:

Larutan. Kami menemukan kumpulan fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Ketika menyebutkan rumus-rumus dari tabel integral, untuk saat ini terima saja rumus-rumus tersebut di sana, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu itu sendiri lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk N= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk N= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) dengan N= -1/4 kita temukan

Bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda integral. F, dan produknya dengan diferensial dx. Hal ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari antiturunannya. Misalnya,

, ;

di sini dalam kedua kasus integrannya sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi variabel X, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu suatu fungsi disebut mengintegrasikan fungsi tersebut.

Arti geometris dari integral tak tentu

Misalkan kita perlu mencari kurva kamu=F(x) dan kita telah mengetahui bahwa garis singgung sudut singgung pada setiap titiknya merupakan fungsi tertentu f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometri turunannya, garis singgung sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik tertentu pada kurva kamu=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) adalah antiturunan dari f(x). Kondisi permasalahan dipenuhi bukan oleh satu kurva, namun oleh sekelompok kurva. kamu=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oi.

Sebut saja grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika F"(x)=f(x), maka grafik fungsinya kamu=F(x) ada kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga semua kurva integral , seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal koordinat ditentukan oleh konstanta integrasi sembarang C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi F(X) sama dengan fungsinya F(X) hingga suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang saling berbanding terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu