Dengan analogi dengan (2.1), sistem (5.1) dapat direpresentasikan dalam bentuk ekuivalen berikut:
di mana g(x) adalah fungsi vektor berulang dari argumen vektor. Sistem persamaan nonlinier sering kali muncul secara langsung dalam bentuk (5.2) (misalnya, dalam skema numerik persamaan diferensial, dalam hal ini, tidak diperlukan upaya tambahan untuk mengubah persamaan (5.1) menjadi sistem (5.2). Jika kita melanjutkan analogi dengan metode iterasi sederhana untuk satu persamaan, maka proses iterasi berdasarkan persamaan (5.2) dapat disusun sebagai berikut:
- 1) beberapa vektor awal x ((,) e 5 o (x 0, A)(diasumsikan bahwa x* e 5„(x 0, A));
- 2) perkiraan selanjutnya dihitung menggunakan rumus
maka proses iterasi selesai dan
Seperti sebelumnya, kita perlu mencari tahu dalam kondisi apa
Mari kita bahas masalah ini dengan melakukan analisis sederhana. Pertama kita perkenalkan kesalahan pendekatan ke-i sebagai e(^ = x(i) - x*. Kemudian kita dapat menulis
Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam (5.3) dan perluas g(x* + e (/i)) dalam pangkat e(k> di lingkungan x* sebagai fungsi dari argumen vektor (dengan asumsi bahwa semua turunan parsial dari fungsi g(x) kontinu). Dengan mempertimbangkan juga bahwa x* = g(x*), kita peroleh
atau dalam bentuk matriks
B = (bnm)= I (x*)1 - matriks iterasi.
Jika tingkat kesalahan ||e®|| cukup kecil, maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (5.4) dapat diabaikan, dan kemudian berimpit dengan persamaan (2.16). Oleh karena itu, kondisi konvergensi proses iteratif (5.3) mendekati solusi eksak dijelaskan oleh Teorema 3.1.
Konvergensi metode iterasi sederhana. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi proses iteratif (5.3): 
dan kondisi cukup:
Kondisi ini lebih bersifat teoretis daripada praktis, karena kita tidak mengetahui x'. Dengan analogi (1.11), kita memperoleh suatu kondisi yang dapat berguna. Misalkan x* e 5 o (x 0, A) dan matriks Jacobian untuk fungsi g(x)
ada untuk semua x e S n (x 0 , sEBUAH) (perhatikan bahwa C(x*) = B). Jika elemen-elemen matriks C(x) memenuhi pertidaksamaan
untuk semua x e 5„(x 0, A), maka kondisi cukup (5.5) juga terpenuhi untuk sembarang norma matriks.
Contoh 5.1 (metode iterasi sederhana) Perhatikan sistem persamaan berikut:
Salah satu kemungkinan untuk merepresentasikan sistem ini dalam bentuk ekuivalen (5.2) adalah dengan menyatakan X dari persamaan pertama dan x 2 dari persamaan kedua: 
Kemudian skema iterasinya berbentuk
Solusi eksaknya adalah x* e 5„((2, 2), 1). Mari kita pilih vektor awal x (0) = (2,2) dan ? hal = CT 5. Hasil perhitungan disajikan pada tabel. 5.1.
Tabel 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Hasil ini menunjukkan bahwa konvergensinya cukup lambat. Untuk memperoleh karakteristik konvergensi kuantitatif, kami melakukan analisis sederhana, dengan mempertimbangkan x (1/) sebagai solusi eksak. Matriks Jacobian C(x) untuk fungsi iteratif kita memiliki bentuk
maka matriks B diperkirakan kira-kira sebagai
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa kondisi (5.5) maupun kondisi (5.6) tidak terpenuhi, namun terjadi konvergensi, karena 5(B) ~ 0.8.
Seringkali dimungkinkan untuk mempercepat konvergensi metode iterasi sederhana dengan sedikit mengubah proses perhitungan. Ide modifikasi ini sangat sederhana: menghitung N komponen vektor x (A+1) dapat digunakan tidak hanya (t = n,..., N), tetapi juga komponen vektor aproksimasi berikutnya yang sudah dihitung xk^ (/= 1,P - 1). Dengan demikian, metode iterasi sederhana yang dimodifikasi dapat direpresentasikan sebagai skema iterasi berikut:
Jika perkiraan yang dihasilkan oleh proses iteratif (5.3) konvergen, maka proses iteratif (5.8) cenderung konvergen lebih cepat karena penggunaan informasi yang lebih lengkap.
Contoh 5.2 (metode iterasi sederhana yang dimodifikasi) Iterasi sederhana yang dimodifikasi untuk sistem (5.7) direpresentasikan sebagai
Seperti sebelumnya, kita memilih vektor awal x (0) = (2, 2) dan g r = = 10 -5. Hasil perhitungan disajikan pada tabel. 5.2.
Tabel 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Perubahan besar dalam urutan perhitungan menyebabkan pengurangan separuh jumlah iterasi, dan oleh karena itu, pengurangan separuh jumlah operasi.
Mari kita ganti persamaan asli dengan persamaan yang setara dan buat iterasi sesuai aturan 
. Jadi, metode iterasi sederhana adalah proses iteratif satu langkah. Untuk memulai proses ini, Anda perlu mengetahui perkiraan awal. Mari kita cari tahu kondisi konvergensi metode dan pilihan pendekatan awal.
Tiket#29
Metode Seidel
Metode Seidel (kadang-kadang disebut metode Gauss-Seidel) adalah modifikasi dari metode iterasi sederhana, yang terdiri dari fakta bahwa ketika menghitung perkiraan berikutnya x (k+1) (lihat rumus (1.13), (1.14)) miliknya sudah diperoleh komponen x 1 ( k+1) , ...,xi - 1 (k+1) langsung digunakan untuk menghitung x i (k+1) .
Dalam bentuk notasi koordinat, metode Seidel berbentuk:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + hari
di mana x (0) adalah perkiraan awal terhadap solusi.
Jadi, komponen ke-i dari pendekatan ke-(k+1) dihitung dengan rumus
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Kondisi berakhirnya proses iteratif Seidel ketika akurasi ε tercapai dalam bentuk yang disederhanakan berbentuk:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ε.
Tiket#30
Metode passing
Untuk menyelesaikan sistem A x = b dengan matriks tridiagonal, metode sapuan paling sering digunakan, yang merupakan adaptasi dari metode Gauss untuk kasus ini.
Mari kita tulis sistem persamaannya
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
dalam bentuk matriks: A x = b dimana
SEBUAH= 
Mari kita tuliskan rumus metode sapuan sesuai urutan penerapannya.
1. Pukulan langsung dengan metode sapuan (perhitungan besaran bantu):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + bi ] / , saya=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Membalikkan metode sapuan (menemukan solusi):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Tiket No.31
Metode iterasi sederhana
Inti dari metode iterasi sederhana adalah berpindah dari persamaan
f(x)= 0 (*)
ke persamaan ekuivalen
X=φ(x). (**)
Transisi ini dapat dilakukan dengan berbagai cara, bergantung pada jenisnya f(x). Misalnya, Anda bisa menaruh
φ(x) = X+bf(x),(***)
Di mana B= konstanta, sedangkan akar-akar persamaan aslinya tidak akan berubah.
Jika perkiraan awal ke akar diketahui x 0, lalu perkiraan baru
x 1=x(0),
itu. skema umum dari proses berulang:
xk+1=φ(xk).(****)
Kriteria paling sederhana untuk mengakhiri proses
|xk +1 -xk |<ε.
Kriteria konvergensi metode iterasi sederhana:
jika dekat root | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, maka iterasinya menyatu untuk perkiraan awal apa pun.
Mari kita jelajahi pilihan konstanta B dari sudut pandang memastikan kecepatan konvergensi maksimum. Sesuai dengan kriteria konvergensi, kecepatan konvergensi tertinggi diberikan ketika |φ / (x)| = 0. Sementara itu, berdasarkan (***), b = –1/f / (x), dan rumus iterasi (****) masuk ke x saya =x saya-1 -f(x saya-1)/f/ (x saya-1).- itu. ke dalam rumus metode Newton. Jadi, metode Newton adalah kasus khusus dari metode iterasi sederhana, yang memberikan kecepatan konvergensi tertinggi dari semua opsi yang memungkinkan untuk memilih suatu fungsi. φ(x).
Tiket#32
metode Newton
Ide utama dari metode ini adalah sebagai berikut: perkiraan awal ditentukan di dekat akar hipotetis, setelah itu garis singgung ke fungsi yang diteliti dibangun pada titik perkiraan, di mana perpotongan dengan sumbu absis ditemukan. Poin ini diambil sebagai perkiraan berikutnya. Begitu seterusnya hingga ketelitian yang dibutuhkan tercapai.
Misalkan suatu fungsi bernilai riil yang terdefinisi pada suatu interval dan terdiferensiasi pada interval tersebut. Maka rumus kalkulus aproksimasi iteratif dapat diturunkan sebagai berikut:
dimana α adalah sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik.
Oleh karena itu, ekspresi yang diperlukan untuk memiliki bentuk:
Tiket#33
Metode rasio emas
Metode rasio emas memungkinkan Anda menghilangkan interval dengan menghitung hanya satu nilai fungsi pada setiap iterasi. Sebagai hasil dari dua nilai fungsi yang dipertimbangkan, ditentukan interval yang harus digunakan lebih lanjut. Interval ini akan memuat salah satu titik sebelumnya dan titik berikutnya ditempatkan secara simetris padanya. Titik membagi interval menjadi dua bagian sehingga perbandingan keseluruhan dengan bagian yang lebih besar sama dengan perbandingan bagian yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yaitu sama dengan apa yang disebut “rasio emas”.
Membagi interval menjadi beberapa bagian yang tidak sama memungkinkan Anda menemukan metode yang lebih efektif. Mari kita hitung fungsi di ujung segmen [ A,B] dan letakkan A=X 1 , B=X 2. Mari kita hitung juga fungsi di dua titik interior X 3 , X 4. Mari kita bandingkan keempat nilai fungsi tersebut dan pilih yang terkecil di antara mereka. Misalkan yang terkecil ternyata F(x 3). Jelasnya, nilai minimum harus berada di salah satu segmen yang berdekatan dengannya. Oleh karena itu segmen [ X 4 ,B] dapat dibuang dan meninggalkan segmen tersebut. 
Langkah pertama telah diambil. Pada segmen tersebut, Anda perlu memilih dua titik internal lagi, menghitung nilai fungsi di titik tersebut dan di ujungnya, dan mengambil langkah berikutnya. Namun pada langkah perhitungan sebelumnya, kita telah menemukan fungsi di ujung segmen baru dan di salah satu titik dalamnya X 4. Oleh karena itu, cukup memilih satu titik lagi di dalamnya x 5 tentukan nilai fungsi di dalamnya dan buat perbandingan yang diperlukan. Ini melipatgandakan jumlah komputasi yang diperlukan per langkah proses. Apa cara terbaik untuk menempatkan poin? Setiap kali ruas yang tersisa dibagi menjadi tiga bagian dan kemudian salah satu ruas terluar dibuang.
Mari kita nyatakan interval ketidakpastian awal dengan D.
Karena dalam kasus umum, salah satu segmen dapat dibuang X 1, X 3 atau X 4, X 2 lalu pilih poinnya X 3 Dan X 4 sehingga panjang ruas-ruas tersebut sama:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Setelah dibuang, kita mendapatkan interval ketidakpastian panjang yang baru D'.
Mari kita nyatakan hubungannya D/D' huruf φ:
yaitu, mari kita tetapkan, di mana interval ketidakpastian berikutnya. Tetapi
sama panjangnya dengan ruas yang dibuang pada tahap sebelumnya, yaitu
Oleh karena itu kita mendapatkan:
.
Hal ini mengarah pada persamaan atau, setara 
.
Akar positif dari persamaan ini memberi
.
Tiket#34
interpolasi fungsi, mis. Dengan menggunakan fungsi tertentu, buatlah fungsi lain (biasanya lebih sederhana) yang nilainya bertepatan dengan nilai fungsi tertentu pada sejumlah titik tertentu. Selain itu, interpolasi memiliki signifikansi praktis dan teoritis.
Solusi numerik persamaan dan sistemnya terdiri dari penentuan perkiraan akar persamaan atau sistem persamaan dan digunakan dalam kasus di mana metode solusi eksak tidak diketahui atau memakan waktu.
Pernyataan masalah[ | ]
Mari kita pertimbangkan metode penyelesaian persamaan dan sistem persamaan secara numerik:
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ltitik ,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(array)(lcr)f_(1 )(x_(1),x_(2),\ltitik ,x_(n))&=&0\\\ltitik &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ltitik ,x_( n))&=&0\end(array))\kanan.)
Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan[ | ]
Mari tunjukkan bagaimana Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan asli tanpa menggunakan metode optimasi. Jika sistem kita adalah SLAE, disarankan untuk menggunakan metode seperti metode Gaussian atau metode Richardson. Namun, kami masih akan melanjutkan dari asumsi bahwa bentuk fungsi tidak kami ketahui, dan kami akan menggunakan salah satu metode penyelesaian numerik berulang. Di antara beragamnya, kami akan memilih salah satu yang paling terkenal - metode Newton. Metode ini didasarkan pada prinsip pemetaan tekan. Oleh karena itu, intisari dari yang terakhir ini akan diuraikan terlebih dahulu.
Pemetaan kompresif[ | ]
Mari kita definisikan terminologinya:
Fungsi tersebut dikatakan berfungsi pemetaan tekan pada jika
Maka teorema utama berikut ini valid:
| Teorema Banach (prinsip pemetaan kontraksi). Jika φ (\displaystyle \varphi )- tampilan kompresi aktif [ a , b ] (\gaya tampilan ), Itu: |
Dari poin terakhir teorema ini dapat disimpulkan bahwa tingkat konvergensi metode apa pun yang didasarkan pada pemetaan kontraksi tidak kurang dari linier.
Mari kita jelaskan arti dari parameter α (\gaya tampilan \alfa ) untuk kasus satu variabel. Menurut teorema Lagrange kita mempunyai:
φ (x) ∈ C 1 [ sebuah , b ] .< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1 Oleh karena ituα ≈ | φ′ (ξ) |
(\displaystyle \alpha \kira-kira |\varphi "(\xi)|)[ | ]
. Jadi, agar metode dapat konvergen, cukuplah itu ∀ x ∈ [ sebuah , b ] | atau φ′ (x) |≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)
Algoritma umum untuk perkiraan yang berurutan[ | ]
Jika diterapkan pada kasus umum persamaan operator, metode ini disebut
metode perkiraan yang berurutan
dengan metode iterasi sederhana
. Namun, persamaan tersebut dapat diubah menjadi peta kontraksi yang memiliki akar yang sama dengan cara yang berbeda. Hal ini memunculkan sejumlah metode tertentu yang memiliki tingkat konvergensi linier dan lebih tinggi.
Sehubungan dengan SLU Pertimbangkan sistemnya:< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ltitik +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ltitik &&\\a_(n1)x_(1)+\ltitik +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(array))\kanan.)
Untuk itu, perhitungan berulangnya akan terlihat seperti ini:
(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … an n + 1) (x 1 x 2 ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (array))\kanan)^(i+1)=\kiri((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\right )\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left( (\begin(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(array))\kanan))[ | ]
Metode ini akan konvergen dengan kecepatan linier jika[ | ]
‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖ Garis vertikal ganda menunjukkan suatu norma matriks. Penyelesaian persamaan f(x)=0 menggunakan metode Newton, pendekatan awal: x 1 =a. Metode Newton (metode tangen) Kasus satu dimensi
Mengoptimalkan transformasi persamaan asli f (x) = 0 (\gaya tampilan f(x)=0) menjadi tampilan kompresi x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) memungkinkan kita memperoleh metode dengan tingkat konvergensi kuadrat. φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), Kemudian:
φ ′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alpha (x^(*))f"(x^(*))=0)Mari kita gunakan fakta itu Garis vertikal ganda menunjukkan suatu norma matriks., dan kami mendapatkan rumus akhir untuknya α (x) (\displaystyle \alpha (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))Dengan mempertimbangkan hal ini, fungsi kompresi akan berbentuk:
φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))Kemudian algoritma untuk mencari solusi numerik persamaan tersebut Garis vertikal ganda menunjukkan suatu norma matriks. direduksi menjadi prosedur penghitungan berulang:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i)))(f"(x_(i) ))))1. Diketahui suatu segmen yang memuat salah satu akar persamaan f(x) = 0. Fungsi f adalah fungsi terdiferensiasi kontinu pada segmen tersebut (f(x)ОC 1 ). Jika kondisi ini terpenuhi maka metode iterasi sederhana dapat digunakan.
2. Dengan menggunakan fungsi f(x), dibangun suatu fungsi j(x) yang memenuhi tiga syarat: fungsi tersebut harus terdiferensiasi kontinu (j(x)ОC 1 ), sehingga persamaan x = j(x) ekuivalen dengan persamaan f(x)=0; juga harus menerjemahkan sebuah segmen ke dalam dirimu sendiri.
Kita akan mengatakan bahwa fungsinya j ( X ) menerjemahkan segmen [ A , B ] ke dalam diri Anda sendiri, jika untuk siapa pun X Î [ A , B ], kamu = J ( X ) juga milik[ A , B ] ( kamu Î [ A , B ]).
Kondisi ketiga dikenakan pada fungsi j(x):
Rumus metode: x n +1 = j(xn).
3. Jika ketiga kondisi ini terpenuhi untuk setiap pendekatan awal x 0 О urutan iterasi x n +1 = j(x n) konvergen ke akar persamaan: x = j(x) pada ruas ().
Sebagai aturan, sebagai x 0 salah satu ujungnya dipilih.
,
di mana e adalah akurasi yang ditentukan
Nomor x n +1 ketika kondisi untuk menghentikan proses berulang terpenuhi, maka hal itu terpenuhi perkiraan nilai akar persamaan f(x) = 0 pada ruas tersebut, ditemukan dengan metode iterasi sederhana dengan akurat e .
Buatlah algoritma untuk memperjelas akar persamaan: x 3 + 5x – 1 = 0 pada suatu ruas menggunakan metode iterasi sederhana dengan ketelitian e .
1. Fungsi f(x) = x 3 +5x-1 terdiferensiasi kontinyu pada interval yang memuat satu akar persamaan.
2. Kesulitan terbesar dalam metode iterasi sederhana adalah konstruksi fungsi j(x) yang memenuhi semua kondisi:
Mempertimbangkan: 
.
Persamaan x = j 1 (x) ekuivalen dengan persamaan f(x) = 0, tetapi fungsi j 1 (x) tidak terdiferensiasi kontinu pada interval tersebut.
Beras. 2.4. Grafik fungsi j 2 (x)
Oleh karena itu, di sisi lain, . Oleh karena itu: adalah fungsi terdiferensiasi kontinyu. Perhatikan bahwa persamaan: x = j 2 (x) ekuivalen dengan persamaan f(x) = 0 . Dari grafik (Gbr. 2.4) terlihat jelas bahwa fungsi j 2 (x) mengubah segmen menjadi dirinya sendiri.
Syarat agar fungsi j(x) memuat segmen itu sendiri dapat dirumuskan ulang sebagai berikut: misalkan domain definisi fungsi j(x), dan domain variasi j(x).
Jika segmen tersebut termasuk dalam segmen tersebut, maka fungsi j(x) akan mengambil segmen tersebut ke dirinya sendiri.
, 
.
Semua kondisi untuk fungsi j(x) terpenuhi.
Rumus proses berulang: x n +1 = J 2(xn).
3. Perkiraan awal: x 0 = 0.
4. Kondisi untuk menghentikan proses iterasi:
Beras. 2.5. Arti geometris dari metode iterasi sederhana
.
Jika kondisi ini terpenuhi x n +1 – perkiraan nilai akar pada segmen tersebut, ditemukan dengan iterasi sederhana dengan akurat e. Pada Gambar. 2.5. Penerapan metode iterasi sederhana diilustrasikan.
Teorema konvergensi dan estimasi kesalahan
Biarkan segmennya berisi satu akar persamaan x = j(x), fungsi j(x ) terdiferensiasi secara kontinyu pada interval tersebut , menerjemahkan segmen tersebut ke dalam dirinya sendiri, dan kondisinya terpenuhi:
.
Kemudian untuk perkiraan awal apa pun x 0 О selanjutnya konvergen ke akar persamaan kamu = j(x ) pada segmen tersebut dan perkiraan kesalahannya adil:
.
Stabilitas metode iterasi sederhana. Ketika kondisi teorema konvergensi terpenuhi, algoritma metode iterasi sederhana stabil.
Kompleksitas metode iterasi sederhana. Jumlah memori komputer yang diperlukan untuk mengimplementasikan metode iterasi sederhana tidak signifikan. Pada setiap langkah Anda perlu menyimpan x n , x n +1 , Q Dan e.
Mari kita perkirakan jumlah operasi aritmatika yang diperlukan untuk mengimplementasikan metode iterasi sederhana. Mari kita tuliskan perkiraan bilangan n 0 = n 0 (e) sedemikian rupa sehingga untuk semua n ³ n 0 pertidaksamaannya berlaku: 
Dari perkiraan ini dapat disimpulkan bahwa semakin dekat q ke satu, semakin lambat konvergensi metode tersebut.
Komentar. Tidak ada aturan umum untuk membangun j(x) dari f(x) sehingga semua kondisi teorema konvergensi terpenuhi. Pendekatan berikut sering digunakan: fungsi j(x) = x + k× f(x) dipilih sebagai fungsi j, di mana k – konstan.
Saat memprogram metode iterasi sederhana, menghentikan proses iterasi sering kali memerlukan pemenuhan dua kondisi secara bersamaan:
Dan .
Semua metode iterasi lain yang akan kami pertimbangkan adalah kasus khusus dari metode iterasi sederhana. Misalnya kapan 
Metode Newton merupakan kasus khusus dari metode iterasi sederhana.
