4 kokie skaičiai vadinami priešingais. Priešingi skaičiai, apibrėžimas, pavyzdžiai

Priešingų skaičių apibrėžimas

Priešingų skaičių apibrėžimas:

Du skaičiai vadinami priešingais, jei skiriasi tik ženklais.

Priešingų skaičių pavyzdžiai

Priešingų skaičių pavyzdžiai.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Iš čia aišku, kaip rasti nurodyto skaičiaus priešingybę: tiesiog pakeiskite skaičiaus ženklą.

Priešingas skaičius 3 yra skaičius atėmus tris.

Pavyzdys. Skaičiai yra priešingi duomenims.

Duoti: skaičiai 1; 5; 8; 9.

Raskite priešingus duomenų skaičius.

Norėdami išspręsti šią užduotį, tiesiog pakeiskite pateiktų skaičių ženklus:

Padarykime priešingų skaičių lentelę:

Nulio priešingybė

Nulio priešingybė yra pats skaičius nulis.

Taigi, priešingas skaičius 0 yra 0.

Priešingi sveikieji skaičiai

Priešingi sveikieji skaičiai skiriasi tik ženklu.

Priešingų sveikųjų skaičių pavyzdžiai.

10 -10
20 -20
125 -125

Priešingų skaičių pora

Kalbėdami apie priešingus skaičius, jie visada turi omenyje priešingų skaičių porą.

Skaičius yra priešingas kitam skaičiui. Ir kiekvienas skaičius turi tik vieną priešingą skaičių.

Skaičiai, priešingi natūraliems skaičiams

Natūralių skaičių priešingybė yra neigiami sveikieji skaičiai.

Padarykite pirmųjų penkių natūraliųjų skaičių priešingų skaičių lentelę:

Priešingų skaičių suma

Priešingų skaičių suma lygi nuliui. Juk priešingi skaičiai skiriasi tik ženklu.

Panagrinėkime šį pavyzdį. Skaičiuoti reikia iš eilės: .

Galite pertvarkyti skaičius, kuriuos reikia pridėti, o tada atimti likusius: .

Tačiau tai ne visada patogu. Pavyzdžiui, galime paskaičiuoti daiktų likutį kokiame nors sandėlyje ir turime žinoti tarpinį rezultatą.

Galite atlikti veiksmus iš eilės: .

Žinome, kad todėl rezultatas bus atimtas iš skaičiaus. Tai reiškia, kad turime atimti , bet dar ne iš nieko. Kai turime iš ko atimti, atimame:

Bet mes galime „apgauti“ ir paskirti . Taigi pristatysime naują objektą - neigiami skaičiai.

Tokią operaciją jau atlikome – gamtoje, pavyzdžiui, skaičiaus „“ taip pat nebuvo, tačiau tokį objektą pristatėme, kad būtų lengviau užfiksuoti veiksmus.

Įsivaizduokite, kad sporto sandėlyje mums buvo pavesta išleisti ir priimti kamuolius. Turime vesti įrašus. Galite rašyti žodžiais:

Išduota, priimta, išduota, priimta, … (žr. 1 pav.)

Ryžiai. 1. Apskaita

Sutikite, jei jums reikia išduoti ir gauti daug kartų per dieną, tada įrašyti nėra labai patogu.

Lapą galite padalyti į du stulpelius, vienas – Priimta, kitas – Išduotas. (Žr. 2 pav.)

Ryžiai. 2. Supaprastintas įrašymas

Įrašas tapo trumpesnis. Bet čia yra problema: kaip suprasti, kiek kamuoliukų buvo paimta (arba atiduota) tam tikru momentu?

Įrašymui galite pasinaudoti tokiu svarstymu: kai išduodame kamuoliukus iš sandėlio, jų kiekis sandėlyje mažėja, o kai priimame – didėja.

Bet kaip parašyti „išdavė kamuolį“? Galite įvesti šį objektą: .

Šis objektas leidžia matematiškai užfiksuoti rutulių judėjimą tokia tvarka, kokia tai įvyko:

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Jūsų telefono sąskaitoje yra rublių. Prisijungei prie interneto ir kainavo rublius. Rezultatas – rublių skola. Operatorius galėjo užsirašyti: „klientas skolingas rublių“. Įdėjote rublius. Operatorė išskaičiavo skolą. Paaiškėjo, kad rubliai.

Bet ir operacijas, ir pinigus patogu sąskaitoje įrašyti naudojant ženklus „“ ir „“. (Žr. 3 pav.)

Ryžiai. 3. Patogus įrašymas

Įvedame neigiamą skaičių, norėdami parašyti didesnį skaičių atėmus iš mažesnio skaičiaus: .

Neigiamojo skaičiaus pridėjimas prilygsta atėmimui: .

Norėdami atskirti neigiamus skaičius nuo teigiamų skaičių, su kuriais turėjome reikalų anksčiau, sutarėme prieš jį įdėti minuso ženklą: .

Ar galėtum apsieiti be jų? Taip galite. Bet kurioje situacijoje vartotume žodžius „atgal“, „pasiskolinti“ ir pan. Bet jie, šie žodžiai, būtų kitokie.

Taigi turime universalų, patogų įrankį. Vienas visiems tokiems atvejams.

Galime padaryti analogiją su automobiliu. Jį sudaro daugybė dalių, kurių daugelis nėra reikalingos atskirai, tačiau kartu leidžia vairuoti. Taip pat neigiami skaičiai yra įrankis, kuris kartu su kitais matematiniais įrankiais palengvina skaičiavimą ir supaprastina daugelio uždavinių sprendimą ir rašymą.

Taigi, pristatėme naują objektą – neigiamus skaičius. Kam jie naudojami gyvenime?

Pirmiausia prisiminkime teigiamų skaičių vaidmenį:

Kiekis: pavyzdžiui, mediena, litras pieno. (Žr. 4 pav.)

Ryžiai. 4. Kiekis

Užsakymas: Pavyzdžiui, namai sunumeruoti teigiamais skaičiais. (Žr. 5 pav.)

Ryžiai. 5. Organizuoti

Vardas: pavyzdžiui, futbolininko numeris. (Žr. 6 pav.)

Ryžiai. 6. Skaičius kaip pavadinimas

Dabar pažvelkime į neigiamų skaičių funkcijas:

Trūkstamo kiekio nurodymas. Kiekis niekada nėra neigiamas. Tačiau neigiamas skaičius naudojamas parodyti, kad kiekis atimamas. Pavyzdžiui, galime pilti iš butelio ir parašyti kaip . (Žr. 7 pav.)

Ryžiai. 7. Trūkstamo kiekio nurodymas

Sutvarkymas. Kartais numeruojant pasirenkamas nulis ir reikia sunumeruoti objektus abiejose nulio pusėse. Pavyzdžiui, grindys, esančios žemiau th, rūsyje. (Žr. 8 pav.) Arba temperatūra, žemesnė už pasirinktą nulį. (Žr. 9 pav.)

Ryžiai. 8. Aukštas, esantis žemiau, rūsyje

Ryžiai. 9. Neigiami skaičiai termometro skalėje

Tačiau vis tiek pagrindinis neigiamų skaičių tikslas yra kaip priemonė supaprastinti matematinius skaičiavimus.

Tačiau norint, kad neigiami skaičiai taptų tokia patogia priemone, turite:

Neigiama temperatūra yra ta, kuri yra žemiau nulio, žemiau nulio. Bet kas yra nulinė temperatūra? Norėdami išmatuoti ir įrašyti temperatūrą, turite pasirinkti matavimo vienetą ir atskaitos tašką. Abu yra susitarimai. Mes naudojame Celsijaus skalę pagal ją pasiūliusį mokslininką. (Žr. 10 pav.)

Ryžiai. 10. Andersas Celsius

Čia kaip atskaitos taškas pasirenkamas vandens užšalimo taškas. Viskas, kas nurodyta toliau, nurodoma neigiama reikšme. (Žr. 11 pav.)

Ryžiai. 11.

Bet aišku, kad jei paimsime kitą atskaitos tašką, kitą nulį, tai neigiama temperatūra Celsijaus gali būti teigiama šioje kitoje skalėje. Taip atsitinka. Kelvino skalė plačiai naudojama fizikoje. Ji panaši į Celsijaus skalę, tik nuliui pasirenkama žemiausios galimos temperatūros reikšmė (žemesnė ji negali būti). Ši vertė vadinama „absoliučiu nuliu“. Celsijaus tai yra maždaug . (Žr. 12 pav.)

Ryžiai. 12. Dvi svarstyklės

Tai reiškia, kad Kelvino skalėje iš viso nėra neigiamų verčių.

Taigi, mūsų vasara .

Ir apšalusius .

Tai yra, neigiama temperatūra yra susitarimas, žmonių susitarimas tai vadinti.

Pradėkime nuo nulio. Nulis užima ypatingą vietą tarp skaičių.

Kaip jau aptarėme, mūsų patogumui septynių atimtį galime pažymėti kaip neigiamą skaičių. Kadangi tai reiškia atimtį, paliekame ženklą "" kaip jo ženklą. Pavadinkime naują numerį.

Tai reiškia, kad „“ yra skaičius, kurio suma sudaro nulį: . Ir bet kokia tvarka. Tai yra neigiamo (arba priešingo) skaičiaus apibrėžimas.

Kiekvienam skaičiui, kurį studijavome anksčiau, įvesime naują skaičių, neigiamą, kurio ženklas yra priešais esantis minuso ženklas. Tai yra, kiekvienam ankstesniam skaičiui pasirodė jo neigiamas dvynys. Tokius dvynius vadiname priešingais skaičiais. (Žr. 13 pav.)

Ryžiai. 13. Priešingi skaičiai

Taigi, apibrėžimas: priešingi skaičiai yra du skaičiai, kurių suma lygi nuliui.

Išoriškai jie skiriasi tik „“ ženklu.

Pavyzdžiui, jei prieš kintamąjį yra ženklas „“, ką tai reiškia? Tai nereiškia, kad ši vertė yra neigiama. Minuso ženklas reiškia, kad ši reikšmė yra priešinga skaičiui: . Mes nežinome, kuris iš šių skaičių yra teigiamas, o kuris neigiamas.

Jei, tada.

Jei (neigiamas skaičius), tada (teigiamas skaičius).

Koks skaičius yra priešingas nuliui? Mes tai jau žinome.

Jei prie bet kurio skaičiaus, įskaitant nulį, pridedamas nulis, pradinis skaičius nepasikeis. Tai yra, dviejų nulių suma lygi nuliui: . Tačiau skaičiai, kurių suma lygi nuliui, yra priešingi. Taigi nulis yra priešingas pats sau.

Taigi, mes pateikėme neigiamų skaičių apibrėžimą ir išsiaiškinome, kodėl jie reikalingi.

Dabar skirkime šiek tiek laiko technologijoms. Kol kas turime išmokti rasti bet kurio skaičiaus priešingybę:

Paskutinėje pamokos dalyje kalbėsime apie naujus aibių pavadinimus ir užrašus, atsirandančius įvedus neigiamus skaičius.

Tema

Pamokos tipas

• naujos medžiagos studijavimas ir pirminis įsisavinimas

Pamokos tikslai

Sužinokite teigiamų, neigiamų ir priešingų skaičių apibrėžimus.

Raskite priešingus skaičius spręsdami pratimus, spręsdami lygtis

Lavinamieji – ugdyti mokinių dėmesį, atkaklumą, atkaklumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą.

Ugdomasis - per pamoką ugdykite dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdykite gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą ir savarankiškumą.

Pamokos tikslai

Sužinokite, kas yra priešingi skaičiai

Išmokite naudoti šią sąvoką spręsdami problemas

Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.

Pamokos planas

1. Įvadas.

2. Teorinė dalis

3. Praktinė dalis.

4. Namų darbai.

5. Įdomūs faktai

Įvadas

Pažvelkite į nuotraukas ir vienu žodžiu apibūdinkite, kuo jos skiriasi.

Nuotraukose matyti priešingybės.

- tai yra du skaičiai, kurių absoliuti reikšmė yra lygi, bet, pavyzdžiui, turi skirtingus ženklus. 5 ir -5.

Teorinė dalis

Pirma, prisiminkime, kas tai yra neigiami skaičiai. Žiūrėk vaizdo įrašą:

Taškai su koordinatėmis 5 ir -5 yra vienodai nutolę nuo taško O ir yra priešingose ​​jo pusėse. Norėdami patekti iš taško O į šiuos taškus, turite nuvažiuoti tuos pačius atstumus, bet priešingomis kryptimis. Skaičiai 5 ir -5 vadinami priešingi skaičiai: 5 yra priešingybė -5, o -5 yra 5 priešingybė.

Vadinami du skaičiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik ženklais priešingi skaičiai.

Pavyzdžiui, priešingi skaičiai būtų 35 ir -35, nes skaičius 35 = +35, o tai reiškia, kad skaičiai 35 ir -35 skiriasi tik ženklais. Priešingi skaičiai taip pat bus 0,8 ir -0,8, ¾ ir -¾.

Priešingų skaičių savybės

1). Kiekvienam skaičiui yra tik vienas priešingas skaičius.

2). Skaičius 0 yra priešingas pats sau.

3). Priešingas skaičius a žymimas -a. Jei a = -7,8, tai -a = 7,8; jei a = 8,3, tai -a = -8,3; jei a = 0, tai -a = 0.

4). Žyma „-(-15)“ reiškia priešingą skaičių -15. Kadangi -15 priešingybė yra 15, tai -(-15) = 15. Apskritai -(-a) = a.

Vadinami natūralieji skaičiai, jų priešingybės ir nulis sveikieji skaičiai.

Priešingas numeris n" skaičiaus n atžvilgiu yra skaičius, kurį pridėjus prie n gaunamas nulis.

n + n" = 0

Šią lygybę galima perrašyti taip:

n + n" − n = 0 − n arba n" = − n

Taigi, priešingi skaičiai turi tuos pačius modulius, bet priešingus ženklus.

Atitinkamai, priešingas skaičius n žymimas − n. Kai skaičius yra teigiamas, jo priešingas skaičius bus neigiamas ir atvirkščiai.

1. Pateikite priešingų skaičių pavyzdžių.

2. Nubrėžkite juos ant koordinačių linijos.

3. Pavadinkite priešingą skaičių -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktinė dalis

Pavyzdys

1) Pažymėkite koordinačių linijos taškus A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Tarp šių taškų raskite ir nurodykite tuos, kurie yra simetriški taško O(0) atžvilgiu. Ką galima pasakyti apie simetriškų taškų koordinates?

Taškai simetriški taško O(0) atžvilgiu: A(2) ir B(-2), E(-5.2) ir F(5.2)

Simetrinių taškų koordinatės– Tai skaičiai, kurie skiriasi tik ženklu. Tokie skaičiai vadinami priešinga.

Koordinačių tiesėje pažymėkite taškus A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) Ką galite pasakyti apie šiuos skaičius ?

Iš skaičių 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 pasirinkti: a) natūraliuosius skaičius; b) sveikieji skaičiai; c) neigiami skaičiai; d) teigiami skaičiai; d) priešingi skaičiai.

1) Užrašykite priešingą skaičių a.

2) Nurodykite skaičių, priešingą skaičiui a, jei:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Prisiminkite, ką reiškia įrašas: - (- a).

2) Vietoj * įdėkite skaičių, kad gautumėte teisingą lygybę: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.

Namų darbai

1). Užpildykite lentelę:

2). Rasti: a) -m,

jei m = -8,

jei m = -16

jei -k = 27

jei -k = -35

jei c = 41

jei c = -3.6

3). Kiek priešingų skaičių porų yra tarp skaičių -7,2 ir 3,6. Pažymėkite koordinačių linijoje.

4). Sužinokite garsaus prancūzų mokslininko vardą:

Ar žinote, kur kasdieniame gyvenime susiduriame su teigiamais ir neigiamais skaičiais?

Naudotų šaltinių sąrašas

1. Matematinė enciklopedija (5 tomai). - M.: Tarybinė enciklopedija, 2002. - T. 1.
2. „Naujausias moksleivių žinynas“ „NAMAS XXI amžius“ 2008 m.
3. Pamokos santrauka tema „Priešingi skaičiai“ Autorius: Petrova V.P., matematikos mokytoja (5-9 kl.), Kijevas
4. N.Ya.Vilenkinas, A.S. Česnokovas, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika 6 klasei, Vadovėlis vidurinei mokyklai

§ 1 Teigiamo skaičiaus samprata

Šioje pamokoje sužinosite, kokie skaičiai vadinami priešingais, kaip rasti priešingą skaičių, taip pat kas yra sveikieji ir racionalieji skaičiai.

Pradėkime nuo praktinio darbo. Koordinačių tiesėje pažymime taškus A(2) ir B(-2). Jie yra simetriški, o šių taškų simetrijos centras yra koordinačių O(0) pradžia, nes atstumas OA=OB.

Matome, kad taškų koordinatės, kurios yra simetriškos kilmės atžvilgiu, yra skaičiai, kurie skiriasi tik ženklu. Tokie skaičiai vadinami priešingais.

Yra dar vienas priešingų skaičių apibrėžimas. Kokios yra skaičių 2 ir -2 absoliučios reikšmės? Lygu 2. Todėl priešingi skaičiai yra skaičiai, kurie turi tuos pačius modulius, bet skiriasi ženklu.

Norėdami nurodyti duoto skaičiaus priešingumą, naudokite minuso ženklą, kuris rašomas prieš nurodytą skaičių. Tai yra, priešingas skaičius a rašomas kaip −a. Pavyzdžiui, skaičius 0,24 yra priešais skaičiui −0,24, skaičius -25 yra priešingas skaičius −(−25), tačiau skaičius -25 koordinačių linijoje yra priešais 25, o tai reiškia, kad -(-25) = 25. Iš to išplaukia, kad -( -a) = a ir a = -(-a).

§ 2 Priešingų skaičių savybės

Pabrėžkime kai kurias priešingų skaičių savybes.

Teigiamojo skaičiaus priešingybė yra neigiama, o neigiamo skaičiaus priešingybė yra teigiama. Tai suprantama, nes priešingus skaičius atitinkančios koordinačių linijos taškai yra priešingose ​​pradžios pusėse.

Jei skaičius a yra priešingas skaičiui b, tada b yra priešingas a - tai išplaukia iš koordinačių linijos taškų simetrijos savybės.

Pasukime į koordinačių liniją. Kiek koordinačių tiesėje galima pažymėti taškų, kurie yra simetriški duotajai taškai pradžios atžvilgiu? Tik vienas. Tai reiškia, kad kiekvienam skaičiui yra tik vienas priešingas skaičius.

Tik vienas skaičius yra priešingas sau - tai skaičius 0, nes 0 = -0 (todėl nėra įprasta rašyti -0).

Skaičiai su bendru atributu sudaro aibę (arba grupę), kiekvienas rinkinys turi savo pavadinimą.

Prisiminkime, kad skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, vadinami natūraliaisiais skaičiais, jie sudaro natūraliųjų skaičių aibę.

Kiekvienam natūraliam skaičiui galite rasti priešingą skaičių. Natūralūs skaičiai, jų priešingybės ir skaičius 0 vadinami sveikaisiais skaičiais.

Trupmeniniai skaičiai taip pat gali būti teigiami arba neigiami. Visi sveikieji skaičiai ir visos trupmenos vadinami racionaliais skaičiais. Jie taip pat sako, kad kartu jie sudaro racionalių skaičių rinkinį.

Išskirkime dar dvi skaičių grupes. Paimkime koordinačių liniją. Jei pašalinsime linijos dalį, kurioje yra neigiami skaičiai, liks spindulys su teigiamais skaičiais ir atskaitos tašku 0. Likę skaičiai vadinami neneigiamais, tai yra skaičiai, kurie yra didesni arba lygūs 0. Todėl neteigiami skaičiai yra visi neigiami skaičiai ir skaičius 0, tai yra skaičiai, kurie yra mažesni arba lygūs 0.

Šiandien sužinojome, kas yra priešingi, sveikieji, racionalieji, neneigiami, neteigiami skaičiai, ir išmokome rasti priešingą duotam skaičiui.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Matematika 6 klasė: I.I. vadovėlio pamokų planai. Zubareva, A.G. Mordkovich //autorius-kompiliatorius L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius - M.: Mnemosyne, 2013 m.
3. Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams. /N.Taip. Vilenkinas, V.I. Zhokhovas, A.S. Česnokovas, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013 m.
4. Matematikos vadovas - http://lyudmilanik.com.ua
5. Vadovas vidurinės mokyklos mokiniams http://shkolo.ru

Įdomi koncepcija iš mokyklos programos yra priešingi skaičiai, kuriuos galima vertinti tiek matematiškai, tiek geometriškai. Šios temos supratimas supaprastina matematikos studijas ir leidžia greitai susidoroti su kai kuriomis problemomis – todėl pažiūrėsime, kokie skaičiai vadinami priešingybėmis ir kokios taisyklės jiems tinka.

Kokia yra termino esmė?

Norėdami suprasti priešingų skaičių reikšmę, trumpam pereikime prie geometrijos. Nubrėžkime koordinačių liniją ir pažymėkime joje nulinį tašką, o tada ties linija uždėkite dar du ženklus - pavyzdžiui, „2“ dešinėje ir „-2“ kairėje nulio pusėje. Žinoma, nuo abiejų taškų atstumas iki pradžios bus lygiai toks pat – ir tai nesunkiai patikrinama matavimais. „2“ ir „-2“ yra vienodu atstumu nuo nulio, bet skirtingomis kryptimis - atitinkamai jie yra visiškai priešingi vienas kitam.

Tai esmė. Skaičiai gali būti tokie dideli arba maži, kiek norima, sveiki arba trupmeniniai. Tačiau kiekvienas iš jų turi tam tikrą skaičių, kuris yra visiškai priešingas. Apibrėžimas gali būti pateiktas taip - jei koordinačių tiesėje iš dviejų taškų, esančių abiejose nulio pusėse, galima nustatyti vienodą atstumą iki pradžios - šie taškai, tiksliau, juos atitinkantys skaičiai bus priešingi .

Kokias taisykles galima išvesti iš apibrėžimo?

Verta prisiminti keletą absoliučių teiginių apie nagrinėjamą temą:

• Dviejų skaičių priešingybių principas veikia abiem kryptimis. Pavyzdžiui, skaičius 3 yra priešingas skaičiui -3, todėl tik skaičius 3 yra priešingas skaičiui -3, o ne bet kuris kitas.
• Skaičius negali turėti dviejų priešybių – visada yra tik viena.
• Skaičiai su skirtingais ženklais gali būti priešingi vienas kitam. Jei skaičius yra teigiamas, tada priešingas jo skaičius turės minuso ženklą - pavyzdžiui, 5 ir -5. Tas pats veikia ir priešinga kryptimi – skaičiui su minuso ženklu visada bus priešingas skaičius su pliuso ženklu – pavyzdžiui, –6 ir 6.
• Du priešingi skaičiai turi tą pačią absoliučią vertę arba modulį. Kitaip tariant, jei skaičius 4