6 yra pirminis skaičius. Pirminiai skaičiai: istorija ir faktai

Pirminiai skaičiai – vienas įdomiausių matematinių reiškinių, daugiau nei du tūkstantmečius traukęs mokslininkų ir paprastų piliečių dėmesį. Nepaisant to, kad dabar gyvename kompiuterių ir pačių moderniausių informacinių programų amžiuje, daugelis pirminių skaičių mįslių dar neįmintos, yra net tokių, kurių mokslininkai nežino.

Pirminiai skaičiai, kaip žinoma iš elementariosios aritmetikos, yra tie, kurie be liekanos dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Beje, jei natūralusis skaičius, be aukščiau išvardytų, dalijasi iš bet kurio kito skaičiaus, tada jis vadinamas sudėtiniu. Viena garsiausių teoremų teigia, kad bet kurį sudėtinį skaičių galima pavaizduoti kaip unikalų pirminių skaičių sandaugą.

Keletas įdomių faktų. Pirma, vienetas yra unikalus ta prasme, kad iš tikrųjų jis nepriklauso nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams. Tuo pačiu metu mokslo bendruomenėje vis dar įprasta jį priskirti konkrečiai pirmai grupei, nes formaliai ji visiškai atitinka jos reikalavimus.

Antra, vienintelis lyginis skaičius, įspaustas į „pirminių skaičių“ grupę, žinoma, yra du. Bet koks kitas lyginis skaičius čia tiesiog negali patekti, nes pagal apibrėžimą, be savęs ir vieno, jis taip pat dalijasi iš dviejų.

Pirminiai skaičiai, kurių sąrašas, kaip minėta pirmiau, gali prasidėti vienu, reiškia begalinę seriją, lygiai tokią pat begalinę, kaip ir natūraliųjų skaičių serija. Remdamiesi pagrindine aritmetikos teorema, galime prieiti prie išvados, kad pirminiai skaičiai niekada nenutrūksta ir nesibaigia, nes priešingu atveju natūraliųjų skaičių serija neišvengiamai nutrūktų.

Pirminiai skaičiai natūraliose eilutėse neatsiranda atsitiktinai, kaip gali atrodyti iš pirmo žvilgsnio. Atidžiai juos išanalizavę, iškart galite pastebėti keletą savybių, iš kurių įdomiausios yra susijusios su vadinamaisiais „dvynių“ skaičiais. Taip jie vadinami, nes kažkokiu nesuprantamu būdu atsidūrė vienas šalia kito, atskirti tik lygiu skyrikliu (penki ir septyni, septyniolika ir devyniolika).

Jei atidžiai juos pažvelgsite, pastebėsite, kad šių skaičių suma visada yra trijų kartotinė. Be to, dalijant kairę iš trijų, likutis visada lieka du, o dešinysis visada lieka vienas. Be to, patį šių skaičių pasiskirstymą natūralioje eilutėje galima nuspėti, jei įsivaizduosime visą šią eilutę virpesių sinusoidų pavidalu, kurių pagrindiniai taškai susidaro dalijant skaičius iš trijų ir dviejų.

Pirminiai skaičiai yra ne tik viso pasaulio matematikų dėmesio objektas, bet ir jau seniai sėkmingai naudojami kuriant įvairias skaičių serijas, kurios, be kita ko, yra kriptografijos pagrindas. Reikia pripažinti, kad daugybė paslapčių, susijusių su šiais nuostabiais elementais, vis dar laukia, kol bus išspręstos, daugelis klausimų turi ne tik filosofinę, bet ir praktinę reikšmę.

Visi natūralieji skaičiai, išskyrus vieną, skirstomi į pirminius ir sudėtinius. Pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis tik du daliklius: vieną ir save patį. Visi kiti vadinami sudėtiniais. Pirminių skaičių savybių tyrimą atlieka speciali matematikos šaka – skaičių teorija. Žiedo teorijoje pirminiai skaičiai yra susiję su neredukuojamais elementais.

Čia yra pirminių skaičių seka, prasidedanti nuo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 ir kt.

Pagal pagrindinę aritmetikos teoremą kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vieną, gali būti pavaizduotas pirminių skaičių sandauga. Tuo pačiu metu tai yra vienintelis būdas pavaizduoti natūraliuosius skaičius iki veiksnių eilės. Remdamiesi tuo, galime teigti, kad pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių elementariosios dalys.

Šis natūraliojo skaičiaus vaizdavimas vadinamas natūraliojo skaičiaus išskaidymu į pirminius skaičius arba skaičiaus faktoriavimu.

Vienas iš seniausių ir efektyviausių pirminių skaičių skaičiavimo būdų yra „Erasstofeno sietelis“.

Praktika parodė, kad suskaičiavus pirminius skaičius naudojant Erastofeno sietą, reikia patikrinti, ar duotas skaičius yra pirminis. Tam buvo sukurti specialūs testai, vadinamieji paprastumo testai. Šių testų algoritmas yra tikimybinis. Dažniausiai jie naudojami kriptografijoje.

Beje, kai kurioms skaičių klasėms yra specializuoti veiksmingi pirmumo testai. Pavyzdžiui, norint patikrinti Mersenne skaičių pirmumą, naudojamas Luc-Lehmer testas, o Fermat skaičių pirmumui patikrinti naudojamas Pepin testas.

Visi žinome, kad skaičių yra be galo daug. Teisingai kyla klausimas: kiek tada yra pirminių skaičių? Taip pat yra begalinis pirminių skaičių skaičius. Seniausias šio teiginio įrodymas yra Euklido įrodymas, išdėstytas elementuose. Euklido įrodymas atrodo taip:

Įsivaizduokime, kad pirminių skaičių skaičius yra baigtinis. Padauginkime juos ir pridėkime vieną. Gautas skaičius negali būti padalintas iš bet kurios baigtinės pirminių skaičių aibės, nes dalijimo iš bet kurio iš jų liekana duoda vieną. Taigi skaičius turi dalytis iš kokio nors pirminio skaičiaus, neįeinančio į šią aibę.

Pirminių skaičių pasiskirstymo teorema teigia, kad pirminių skaičių, mažesnių už n, žymimų π(n), skaičius auga n / ln(n).

Po tūkstančius metų tyrinėjant pirminius skaičius, didžiausias žinomas pirminis skaičius yra 243112609 − 1. Šis skaičius turi 12 978 189 dešimtainius skaitmenis ir yra Mersenne pirminis skaičius (M43112609). Šis atradimas buvo atliktas 2008 m. rugpjūčio 23 d. uCLA universiteto Matematikos fakultete vykdant paskirstytos Mersenne pirminių skaičių paieškos projektą GIMPS.

Pagrindinis Mersenne skaičių skiriamasis bruožas yra labai efektyvus Luc-Lemaire pirmumo testas. Su jo pagalba Mersenne pirminiai skaičiai ilgą laiką yra didžiausi žinomi pirminiai skaičiai.

Tačiau iki šiol daugelis klausimų, susijusių su pirminiais skaičiais, negavo tikslių atsakymų. 5-ajame tarptautiniame matematikos kongrese Edmundas Landau suformulavo pagrindines pirminių skaičių srities problemas:

Goldbacho arba pirmoji Landau problema yra ta, kad būtina įrodyti arba paneigti, kad kiekvienas lyginis skaičius, didesnis nei 2, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma, o kiekvienas nelyginis skaičius, didesnis nei 5, gali būti pavaizduotas kaip trijų pirminių skaičių suma.
Antroji Landau problema reikalauja rasti atsakymą į klausimą: ar yra begalinis „pirminių dvynių“ rinkinys - pirminiai skaičiai, kurių skirtumas yra 2?
Legendre'o spėjimas arba trečioji Landau problema yra tokia: ar tiesa, kad tarp n2 ir (n + 1)2 visada yra pirminis skaičius?
Ketvirtoji Landau problema: ar pirminių skaičių aibė formos n2 + 1 yra begalinė?
Be minėtų problemų, yra begalinio pirminių skaičių nustatymo problema daugelyje sveikųjų skaičių sekų, tokių kaip Fibonačio skaičius, Ferma skaičius ir kt.

Natūraliųjų skaičių skirstymas į pirminius ir sudėtinius skaičius priskiriamas senovės graikų matematikui Pitagorui. O jei sekate Pitagorą, tai natūraliųjų skaičių aibę galima suskirstyti į tris klases: (1) – aibė, susidedanti iš vieno skaičiaus – vienas; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – pirminių skaičių aibė; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – sudėtinių skaičių rinkinys.

Antrasis rinkinys slepia daug įvairių paslapčių. Bet pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra pirminis skaičius. Atsiverčiame „Matematikos enciklopedinį žodyną“ (Ju. V. Prokhorovas, leidykla „Soviet Encyclopedia“, 1988 m.) ir skaitome:

„Pirminis skaičius yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vienetą, neturintis kitų daliklių, išskyrus save ir vieną: 2,3,5,7,11,13,

Pirminio skaičiaus sąvoka yra esminė tiriant natūraliųjų skaičių dalijamumą; būtent pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas teigiamas sveikas skaičius, išskyrus 1, gali būti vienareikšmiškai išskaidytas į pirminių skaičių sandaugą (į faktorių eilę neatsižvelgiama). Pirminių skaičių yra be galo daug (šis teiginys, vadinamas Euklido teorema, buvo žinomas senovės graikų matematikams; jo įrodymą galima rasti 9 Euklido elementų knygoje). P. Dirichlet (1837) nustatė, kad aritmetinėje progresijoje a + bx, kai x = 1. ,2,c su pirminiais sveikaisiais skaičiais a ir b taip pat yra be galo daug pirminių skaičių.

Norint rasti pirminius skaičius nuo 1 iki x, žinoma nuo III a. pr. Kr e. Eratosteno sieto metodas. Išnagrinėjus pirminių skaičių (*) nuo 1 iki x seką, matyti, kad x didėjant, ji vidutiniškai retėja. Yra savavališkai ilgų natūraliųjų skaičių atkarpų, tarp kurių nėra nė vieno pirminio skaičiaus (4 teorema). Tuo pačiu metu yra tokių pirminių skaičių, kurių skirtumas lygus 2 (vadinamieji dvyniai). Vis dar nežinoma (1987 m.), ar tokių dvynių aibė yra baigtinė, ar begalinė. Pirminių skaičių lentelės, esančios pirmuosiuose 11 milijonų natūraliųjų skaičių, rodo labai didelių dvynių buvimą (pavyzdžiui, 10 006 427 ir 10 006 429).

Išsiaiškinti pirminių skaičių pasiskirstymą natūraliose skaičių serijose yra labai sudėtinga skaičių teorijos problema. Jis suformuluotas kaip funkcijos, žyminčios pirminių skaičių, neviršijančių teigiamo skaičiaus x, asimptotinio elgesio tyrimas. Iš Euklido teoremos aišku, kad kada. L. Euleris dzeta funkciją pristatė 1737 m.

Jis taip pat įrodė, kad kai

Kai sumuojama per visus natūraliuosius skaičius, o sandauga paimama per visus pirminius skaičius. Ši tapatybė ir jos apibendrinimai atlieka esminį vaidmenį pirminių skaičių pasiskirstymo teorijoje. Tuo remdamasis L. Euleris įrodė, kad serija ir gaminys pirminio p atžvilgiu skiriasi. Be to, L. Euleris nustatė, kad pirminių skaičių yra „daug“, nes

Ir tuo pačiu metu beveik visi natūralieji skaičiai yra sudėtiniai, nes at.

ir bet kuriai (t. y. kas auga kaip funkcija). Chronologiškai kitas reikšmingas rezultatas, patikslinantis Čebyševo teoremą, yra vadinamasis. asimptotinis pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnis (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), kuris teigė, kad santykio k riba yra lygi 1. Vėliau nemažos matematikų pastangos buvo nukreiptos į asimptozės išaiškinimą. pirminių skaičių skirstymo dėsnis. Pirminių skaičių skirstymo klausimai nagrinėjami ir elementariais, ir matematinės analizės metodais.“

Čia prasminga pateikti kai kurių straipsnyje pateiktų teoremų įrodymą.

Lema 1. Jei GCD(a, b)=1, tai egzistuoja sveikieji skaičiai x, y, kad.

Įrodymas. Tegu a ir b yra santykinai pirminiai skaičiai. Apsvarstykite visų natūraliųjų skaičių z aibę J, vaizduojamą formoje, ir pasirinkite joje mažiausią skaičių d.

Įrodykime, kad a dalijasi iš d. Padalinkite a iš d su liekana: ir tegul. Kadangi jis turi formą, todėl

Mes tai matome.

Kadangi padarėme prielaidą, kad d yra mažiausias skaičius J, gauname prieštaravimą. Tai reiškia, kad a dalijasi iš d.

Taip pat įrodykime, kad b dalijasi iš d. Taigi d = 1. Lema įrodyta.

1 teorema. Jei skaičiai a ir b yra kopirminiai, o sandauga bx dalijasi iš a, tai x dalijasi iš a.

Įrodymas1. Turime įrodyti, kad ax dalijasi iš b ir gcd(a,b)=1, tada x dalijasi iš b.

Pagal 1 lemą egzistuoja x, y tokie, kad. Tada akivaizdu, kad jis dalijasi iš b.

Įrodymas 2. Apsvarstykite visų natūraliųjų skaičių z aibę J tokią, kad zc dalytųsi iš b. Tegul d yra mažiausias skaičius J. Tai nesunku pastebėti. Panašiai kaip Lemos 1 įrodymas, įrodyta, kad a dalijasi iš d, o b dalijasi iš d

Lema 2. Jei skaičiai q,p1,p2,pn yra pirminiai ir sandauga dalijasi iš q, tai vienas iš skaičių pi yra lygus q.

Įrodymas. Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad jei pirminis skaičius p dalijasi iš q, tai p=q. Tai iš karto seka lemos teiginiu, kai n=1. Jei n=2, tai tiesiogiai išplaukia iš 1 teoremos: jei p1p2 dalijasi iš pirminio skaičiaus q ir tada p2 dalijasi iš q(t.y.).

Įrodysime n=3 lemą taip. Tegu p1 p2 p3 padalinamas iš q. Jei p3 =q, tai viskas įrodyta. Jei, tai pagal 1 teoremą, p1 p2 dalijasi iš q. Taigi atvejį n=3 sumažinome iki jau nagrinėjamo atvejo n=2.

Lygiai taip pat iš n=3 galime pereiti prie n=4, tada iki n=5 ir apskritai, darydami prielaidą, kad lemos teiginys n=k yra įrodytas, galime nesunkiai įrodyti, kad n=k+ 1. Tai mus įtikina, kad lema yra teisinga visiems n.

Pagrindinė aritmetikos teorema. Kiekvienas natūralusis skaičius gali būti koeficientas unikaliu būdu.

Įrodymas. Tarkime, kad yra du skaičiaus a skaidymai į pirminius veiksnius:

Kadangi dešinioji pusė dalijasi iš q1, tai kairioji lygybės pusė turi dalytis iš q1. Pagal 2 lemą vienas iš skaičių yra lygus q1. Atšaukkime abi lygybės puses q1.

Atlikime tą patį samprotavimą q2, tada q3, qi. Galų gale visi veiksniai dešinėje panaikinami ir 1 išliks Natūralu, kad kairėje neliks nieko, išskyrus vieną. Iš to darome išvadą, kad du išplėtimai ir gali skirtis tik veiksnių tvarka. Teorema įrodyta.

Euklido teorema. Pirminių skaičių serija yra begalinė.

Įrodymas. Tarkime, kad pirminių skaičių serija yra baigtinė, o paskutinį pirminį skaičių pažymime raide N. Sudarykime sandaugą

Pridėkime prie jo 1, gausime:

Šis skaičius, būdamas sveikasis skaičius, turi turėti bent vieną pirminį koeficientą, t. y. jis turi dalytis bent iš vieno pirminio skaičiaus. Bet visi pirminiai skaičiai, darant prielaidą, neviršija N, o skaičius M+1 nesidalija be likučio iš nė vieno pirminio skaičiaus, mažesnio arba lygaus N – kiekvieną kartą, kai liekana yra 1. Teorema įrodyta.

4 teorema. Sudėtinių skaičių atkarpos tarp pirminių skaičių gali būti bet kokio ilgio. Dabar įrodysime, kad seriją sudaro n iš eilės einančių sudėtinių skaičių.

Šie skaičiai pateikiami tiesiai vienas po kito natūralioje serijoje, nes kiekvienas kitas yra 1 didesnis nei ankstesnis. Belieka įrodyti, kad jie visi yra sudėtiniai.

Pirmas numeris

Net, nes abiejuose jo terminuose yra koeficientas 2. Ir kiekvienas lyginis skaičius, didesnis nei 2, yra sudėtinis.

Antrasis skaičius susideda iš dviejų dėmenų, kurių kiekvienas yra 3 kartotinis. Tai reiškia, kad šis skaičius yra sudėtinis.

Tuo pačiu būdu nustatome, kad kitas skaičius yra 4 kartotinis ir tt Kitaip tariant, kiekviename mūsų serijos skaičiuje yra koeficientas, kuris skiriasi nuo vienybės ir jo paties; todėl jis yra sudėtinis. Teorema įrodyta.

Išstudijavę teoremų įrodymus, tęsiame straipsnio svarstymą. Jo tekste buvo paminėtas Eratosteno sieto metodas kaip pirminių skaičių radimo būdas. Paskaitykime apie šį metodą iš to paties žodyno:

„Eratosthenes sietas yra Eratosthenes sukurtas metodas, leidžiantis atsijoti sudėtinius skaičius iš natūralių eilučių. Eratosteno sietelio esmė tokia. Vienetas perbrauktas. Skaičius du yra pagrindinis. Visi natūralūs skaičiai, dalijami iš 2, yra perbraukti – pirmasis neperbrauktas skaičius bus pirminis. Tada visi natūralūs skaičiai, kurie dalijasi iš 3, yra perbraukti. Skaičius 5, kitas neperbrauktas skaičius, bus pirminis. Tęsdami panašius skaičiavimus, galite rasti savavališkai ilgą pirminių skaičių sekos segmentą. Eratosteno sietą kaip teorinį skaičių teorijos tyrimo metodą sukūrė V. Brunas (1919).

Čia yra didžiausias šiuo metu žinomas pirminis skaičius:

Šis skaičius turi apie septynis šimtus skaitmenų po kablelio. Skaičiavimai, kuriais buvo nustatyta, kad šis skaičius yra pirminis, buvo atlikti šiuolaikiniuose kompiuteriuose.

„Riemano zeta funkcija, -funkcija, yra analitinė sudėtingo kintamojo funkcija, kai σ>1, absoliučiai ir tolygiai nustatyta konvergentine Dirichlet serija:

Jei σ>1, galioja Eulerio produkto forma:

(2) kur p eina per visus pirminius skaičius.

Serija (1) ir sandauga (2) yra viena iš pagrindinių zeta funkcijos savybių. Tai leidžia mums gauti įvairius ryšius, jungiančius zeta funkciją su svarbiausiomis skaičių teorinėmis funkcijomis. Todėl zeta funkcija vaidina didelį vaidmenį skaičių teorijoje.

Zeta funkciją kaip tikrojo kintamojo funkciją įvedė L. Euleris (1737, publikacija 1744), nurodydamas jos vietą sandaugoje (2). Tada zeta funkciją svarstė P. Dirichlet ir ypač sėkmingai P. L. Čebyševas, nagrinėdamas pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį. Tačiau giliausios zeta funkcijos savybės buvo atrastos po B. Riemanno, kuris pirmą kartą 1859 m. laikė zeta funkciją sudėtingo kintamojo funkcija, taip pat įvedė pavadinimą „zeta funkcija“ ir žymėjimas „““.

Tačiau kyla klausimas: koks praktinis viso šio darbo su pirminiais skaičiais pritaikymas? Iš tiesų, iš jų beveik nėra jokios naudos, tačiau yra viena sritis, kurioje pirminiai skaičiai ir jų savybės naudojami iki šiol. Tai yra kriptografija. Čia pirminiai skaičiai naudojami šifravimo sistemose neperduodant raktų.

Deja, tai yra viskas, kas žinoma apie pirminius skaičius. Dar liko daug paslapčių. Pavyzdžiui, nežinoma, ar pirminių skaičių, atvaizduojamų kaip du kvadratai, aibė yra begalinė.

„SUNKIAI PRIMES“.

Nusprendžiau atlikti nedidelį tyrimą, kad rasčiau atsakymus į kai kuriuos klausimus apie pirminius skaičius. Visų pirma, aš sukūriau programą, kuri sukuria visus pirminius skaičius iš eilės, mažesnius nei 1 000 000 000 Be to, sudariau programą, kuri nustato, ar įvestas skaičius yra pirminis. Pirminių skaičių problemoms tirti sukūriau grafiką, nurodantį pirminio skaičiaus priklausomybę nuo eilinio skaičiaus. skaičiai“. Autoriai nustatė šiuos tyrimo kelius:

1. Pirmojo tūkstančio natūraliųjų skaičių 168 vietas užima pirminiai skaičiai. Iš jų 16 skaičių yra palindrominiai – kiekvienas yra lygus jo atvirkštiniam skaičiui: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 92919, .

Yra tik 1061 keturženklis pirminis skaičius ir nė vienas iš jų nėra palindrominis.

Yra daug penkių skaitmenų pirminių palindrominių skaičių. Juose tokios gražuolės: 13331, 15551, 16661, 19991. Be abejo, yra ir tokio tipo pulkų: ,. Tačiau kiek egzempliorių yra kiekviename tokiame pulke?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3 (2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Matyti, kad skaičių skaitmenų suma dalijasi iš 3, todėl patys šie skaičiai taip pat dalijasi iš 3.

Kalbant apie formos skaičius, tarp jų pirminiai skaičiai yra 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Pirmajame tūkstantyje skaičių yra penki „kvartetai“, susidedantys iš nuoseklių pirminių skaičių, kurių paskutiniai skaitmenys sudaro seką 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Kiek tokių kvartetų yra tarp n skaitmenų pirminių skaičių n›3?

Naudojant mano parašytą programą, buvo rastas kvartetas, kurio autoriai praleido: (479, 467, 463, 461) ir kvartetai, kai n = 4, 5, 6. Jei n = 4, yra 11 kvartetų

3. Devynių pirminių skaičių pulkas: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 yra patrauklus ne tik tuo, kad vaizduoja aritmetinę progresiją su skirtumu 210, bet ir todėl, kad gali tilpti į nine ląsteles, kad būtų sudarytas stebuklingas kvadratas su konstanta, lygia dviejų pirminių skaičių skirtumui: 3119 – 2:

Kitas, dešimtasis nagrinėjamos progresijos narys, 2089, taip pat yra pirminis skaičius. Jei iš pulko pašalinsite skaičių 199, bet įtrauksite 2089, tada net ir šioje kompozicijoje pulkas gali sudaryti stebuklingą kvadratą – temą, kurios reikia ieškoti.

Reikėtų pažymėti, kad yra ir kitų stebuklingų kvadratų, sudarytų iš pirminių skaičių:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Siūloma aikštė įdomi tuo, kad

1. Tai 7x7 magiškas kvadratas;

2. Jame yra 5x5 magiškas kvadratas;

3. 5x5 stebuklingame kvadrate yra 3x3 magiškas kvadratas;

4. Visi šie kvadratai turi vieną bendrą centrinį skaičių – 3407;

5. Visi 49 skaičiai, įtraukti į 7x7 kvadratą, baigiasi skaičiumi 7;

6. Visi 49 skaičiai, įtraukti į 7x7 kvadratą, yra pirminiai skaičiai;

7. Kiekvienas iš 49 skaičių, įtrauktų į 7x7 kvadratą, gali būti pavaizduotas kaip 30n + 17.

Naudotas programas aš parašiau Dev-C++ programavimo kalba ir jų tekstus pateikiu priede (žr. failus su plėtiniu .srr). Be visų aukščiau paminėtų dalykų, parašiau programą, kuri išskaido iš eilės einančius natūraliuosius skaičius į pirminius veiksnius (žr. Dalikliai 1. срр) ir programą, kuri tik įvestą skaičių išskaido į pirminius veiksnius (žr. Dalikliai 2. срр). Kadangi šios programos kompiliuota forma užima per daug vietos, pateikiami tik jų tekstai. Tačiau kiekvienas gali juos sudaryti, jei turi tinkamą programą.

MOKSLININKŲ, SUSIJUSIŲ Į PRIMŲ PROBLEMĄ, BIOGRAFIJAS

EUKLIDAI

(apie 330 m. pr. Kr. – apie 272 m. pr. Kr.)

Apie žymiausio Antikos matematiko gyvenimą išliko labai mažai patikimos informacijos. Manoma, kad jis mokėsi Atėnuose, o tai paaiškina jo puikų geometrijos meistriškumą, kurį išplėtojo Platono mokykla. Tačiau, matyt, jis nebuvo susipažinęs su Aristotelio darbais. Dėstė Aleksandrijoje, kur pelnė daug pagyrų už mokytojo veiklą valdant Ptolemėjas I Soteris. Sklando legenda, kad šis karalius reikalavo atrasti būdą greitai pasiekti matematikos sėkmės, į ką Euklidas atsakė, kad geometrijoje karališkųjų kelių nėra (tačiau panaši istorija pasakojama ir apie Menchemą, kurio neva buvo klausiama apie tas pats Aleksandro Makedoniečio). Tradicija išsaugojo Euklido, kaip geranoriško ir kuklaus žmogaus, atminimą. Euklidas yra traktatų įvairiomis temomis autorius, tačiau jo vardas daugiausia siejamas su vienu iš traktatų, vadinamų Elementais. Kalbama apie iki jo dirbusių matematikų darbų rinkinį (garsiausias iš jų – Hipokratas Kosietis), kurių rezultatus jis ištobulino savo gebėjimo apibendrinti ir sunkaus darbo dėka.

EULERIS LEONARDAS

(Bazelis, Šveicarija 1707 m. – Sankt Peterburgas, 1783 m.)

Matematikas, mechanikas ir fizikas. Gimė neturtingo pastoriaus Paulo Eulerio šeimoje. Išsilavinimą iš pradžių gavo iš savo tėvo, o 1720–24 m. Bazelio universitete, kur lankė I. Bernulli matematikos paskaitas.

1726 m. pabaigoje Euleris buvo pakviestas į Sankt Peterburgo mokslų akademiją ir 1727 m. gegužę atvyko į Sankt Peterburgą. Naujai organizuotoje akademijoje Euleris rado palankias sąlygas mokslinei veiklai, o tai leido jam nedelsiant pradėti studijuoti matematiką ir mechaniką. Per 14 pirmojo Sankt Peterburgo gyvenimo metų Euleris spaudai parengė apie 80 kūrinių ir išleido per 50. Sankt Peterburge mokėsi rusų kalbos.

Euleris dalyvavo daugelyje Sankt Peterburgo mokslų akademijos veiklos sričių. Skaitė paskaitas akademinio universiteto studentams, dalyvavo įvairiose techninėse apžiūrose, dirbo rengiant Rusijos žemėlapius, parašė viešai prieinamą „Aritmetikos vadovą“ (1738–40). Specialiais Akademijos nurodymais Euleris parengė publikacijai „Jūrininkystės mokslą“ (1749 m.), pagrindinį laivų statybos ir navigacijos teorijos veikalą.

1741 metais Euleris priėmė Prūsijos karaliaus Frydricho II pasiūlymą persikelti į Berlyną, kur turėjo įvykti Mokslų akademijos reorganizacija. Berlyno mokslų akademijoje Euleris užėmė matematikos klasės direktoriaus ir valdybos nario pareigas, o po pirmojo jos prezidento P. Maupertuis mirties keletą metų (nuo 1759 m.) akademijai faktiškai vadovavo. Per 25 gyvenimo Berlyne metus jis parengė apie 300 kūrinių, tarp jų ir nemažai didelių monografijų.

Gyvendamas Berlyne Euleris nenustojo intensyviai dirbti Sankt Peterburgo mokslų akademijoje, išlaikydamas jos garbės nario vardą. Vedė plačią mokslinę ir mokslinę-organizacinę korespondenciją, ypač susirašinėjo su M. Lomonosovu, kurį labai vertino. Euleris redagavo Rusijos akademinės mokslo įstaigos matematikos skyrių, kuriame per tą laiką paskelbė beveik tiek pat straipsnių, kiek ir Berlyno mokslų akademijos „Memuaruose“. Aktyviai dalyvavo rengiant rusų matematikus; Jo vadovaujami studijuoti į Berlyną buvo išsiųsti būsimieji akademikai S. Kotelnikovas, S. Rumovskis ir M. Sofronovas. Euleris teikė didelę pagalbą Sankt Peterburgo mokslų akademijai, pirkdamas jai mokslinę literatūrą ir įrangą, derėdamasis su kandidatais į pareigas akademijoje ir kt.

1766 m. liepos 17 (28) d. Euleris su šeima grįžo į Sankt Peterburgą. Nepaisant senyvo amžiaus ir beveik visiško aklumo, kuris jį ištiko, jis produktyviai dirbo iki gyvenimo pabaigos. Per 17 antrinės viešnagės Sankt Peterburge metų jis parengė apie 400 kūrinių, tarp jų ir kelios didelės knygos. Euleris ir toliau dalyvavo akademijos organizaciniame darbe. 1776 metais jis buvo vienas iš I. Kulibino pasiūlyto vienos arkos tilto per Nevą projekto ekspertų, o iš visos komisijos jis vienintelis suteikė plačią paramą šiam projektui.

Eulerio, kaip pagrindinio mokslininko ir mokslinių tyrimų organizatoriaus, nuopelnai jam gyvuojant buvo labai įvertinti. Be Sankt Peterburgo ir Berlyno akademijų, jis buvo didžiausių mokslo institucijų narys: Paryžiaus mokslų akademija, Londono karališkoji draugija ir kt.

Vienas iš išskirtinių Eulerio darbo aspektų yra jo išskirtinis produktyvumas. Vien per jo gyvenimą buvo išleista apie 550 jo knygų ir straipsnių (Eulerio darbų sąraše yra apie 850 pavadinimų). 1909 m. Šveicarijos gamtos mokslų draugija pradėjo leisti visus Eulerio darbus, kurie buvo baigti 1975 m.; jį sudaro 72 tomai. Didelio susidomėjimo kelia ir kolosalus Eulerio mokslinis susirašinėjimas (apie 3000 laiškų), kuris iki šiol publikuotas tik iš dalies.

Eulerio veiklos spektras buvo neįprastai platus ir apėmė visas šiuolaikinės matematikos ir mechanikos, elastingumo teorijos, matematinės fizikos, optikos, muzikos teorijos, mašinų teorijos, balistikos, jūrų mokslų, draudimo ir kt. matematikai, likusieji 2/5 daugiausia – jos taikymams. Savo ir kitų gautus rezultatus mokslininkas susistemino daugelyje klasikinių monografijų, parašytų nuostabiai aiškiai ir pateiktose vertingų pavyzdžių. Tai, pavyzdžiui, „Mechanika arba judesio mokslas, pateikiamas analitiškai“ (1736), „Įvadas į analizę“ (1748), „Diferencialinis skaičiavimas“ (1755), „Standžiojo kūno judėjimo teorija“ (1765), „Visuotinė aritmetika“ (1768–69), išėjusi apie 30 leidimų 6 kalbomis, „Integralus skaičiavimas“ (1768–94) ir kt. XVIII a. , o iš dalies ir XIX a. Itin išpopuliarėjo viešai prieinami „Laiškai įvairiais fiziniais ir filosofiniais dalykais, parašyti vienai vokiečių princesei“. “(1768–1774), išleista daugiau nei 40 leidimų 10 kalbų. Tada didžioji dalis Eulerio monografijų turinio buvo įtraukta į aukštųjų ir iš dalies vidurinių mokyklų vadovėlius. Neįmanoma išvardyti visų vis dar naudojamų Eulerio teoremų, metodų ir formulių, iš kurių tik kelios literatūroje pasirodo jo vardu [pavyzdžiui, Eulerio trūkinės linijos metodas, Eilerio pakaitalai, Eilerio konstanta, Eulerio lygtys, Eulerio formulės, Eilerio funkcija, Eilerio skaičiai, Eilerio formulė - Maklarino, Eilerio-Furjė formulės, Eilerio charakteristika, Eilerio integralai, Eilerio kampai].

Mechanikoje Euleris matematinės analizės būdu pirmiausia nubrėžė taško dinamiką: laisvą taško judėjimą veikiant įvairioms jėgoms tiek tuštumose, tiek terpėje su pasipriešinimu; taško judėjimas išilgai tam tikros linijos ar paviršiaus; judėjimas, veikiamas centrinių jėgų. 1744 m. jis pirmą kartą teisingai suformulavo mechaninį mažiausio veikimo principą ir parodė pirmuosius jo pritaikymus. Knygoje „Stangaus kūno judėjimo teorija“ Euleris išplėtojo standaus kūno kinematiką ir dinamiką ir pateikė jo sukimosi aplink fiksuotą tašką lygtis, padėdamas pagrindą giroskopų teorijai. Savo laivo teorijoje Euleris labai prisidėjo prie stabilumo teorijos. Eulerio atradimai buvo reikšmingi dangaus mechanikoje (pavyzdžiui, Mėnulio judėjimo teorijoje), kontinuumo mechanikoje (pagrindinėse idealaus skysčio judėjimo lygtyse Eulerio pavidalu ir vadinamuosiuose Lagranžo kintamuosiuose, dujų virpesiuose vamzdžiuose). ir kt.). Optikoje Euleris pateikė (1747) abipus išgaubto lęšio formulę ir pasiūlė terpės lūžio rodiklio apskaičiavimo metodą. Euleris laikėsi šviesos bangų teorijos. Jis tikėjo, kad skirtingos spalvos atitinka skirtingus šviesos bangos ilgius. Euleris pasiūlė būdus, kaip pašalinti lęšių chromatines aberacijas, ir pateikė metodus, kaip apskaičiuoti mikroskopo optinius komponentus. Euleris daug darbų, pradėtų 1748 m., skyrė matematinei fizikai: stygos, plokštės, membranos virpesių problemoms ir kt. Visi šie tyrimai paskatino diferencialinių lygčių teorijos, apytikslių analizės metodų ir specialių metodų vystymąsi. . funkcijos, diferencialinė geometrija ir kt. Šiuose darbuose yra daug Eulerio matematinių atradimų.

Pagrindinis Eulerio, kaip matematiko, darbas buvo matematinės analizės kūrimas. Jis padėjo pagrindus kelioms matematinėms disciplinoms, kurios buvo tik pradinės formos arba jų visai nebuvo be galo mažuose I. Niutono, G. Leibnizo ir brolių Bernulli skaičiavimuose. Taigi Euleris pirmasis pristatė sudėtingo argumento funkcijas ir ištyrė sudėtingo kintamojo pagrindinių elementariųjų funkcijų (eksponentinės, logaritminės ir trigonometrinės funkcijos); visų pirma jis išvedė formules, jungiančias trigonometrines funkcijas su eksponentinėmis funkcijomis. Eulerio darbas šia kryptimi padėjo pagrindą sudėtingo kintamojo funkcijų teorijai.

Euleris buvo variacijų skaičiavimo kūrėjas, išdėstytas darbe „Kreivių linijų, turinčių maksimumo arba minimumo savybes, radimo metodas. “ (1744 m.). Metodas, kuriuo Euleris 1744 m. išvedė būtiną funkcinio ekstremumo sąlygą – Eulerio lygtį – buvo tiesioginių XX amžiaus variacijų skaičiavimo metodų prototipas. Euleris sukūrė paprastųjų diferencialinių lygčių teoriją kaip nepriklausomą discipliną ir padėjo pamatus dalinių diferencialinių lygčių teorijai. Čia jis yra atsakingas už daugybę atradimų: klasikinį tiesinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo metodą, savavališkų konstantų variacijos metodą, pagrindinių Riccati lygties savybių išaiškinimą, tiesinių lygčių su kintamaisiais koeficientais integravimą naudojant begalines eilutes. , specialiųjų sprendimų kriterijai, integravimo koeficiento doktrina, įvairūs apytiksliai metodai ir nemažai dalinių diferencialinių lygčių sprendimo būdų. Euleris surinko didelę dalį šių rezultatų savo „Integriniame skaičiavime“.

Euleris taip pat praturtino diferencialinį ir integralinį skaičiavimą siaurąja to žodžio prasme (pavyzdžiui, kintamųjų kitimo doktriną, vienarūšių funkcijų teoremą, dvigubo integralo sampratą ir daugelio specialiųjų integralų skaičiavimą). „Diferencialiniame skaičiavime“ Euleris išreiškė ir pavyzdžiais palaikė savo tikėjimą, kad tikslinga naudoti skirtingas eilutes, ir pasiūlė apibendrintų eilučių sumavimo metodus, numatant šiuolaikinės griežtos divergentinių eilučių teorijos, sukurtos XIX a. sandūroje, idėjas. XX a. Be to, Euleris gavo daug konkrečių rezultatų serijų teorijoje. Jis atrado vadinamąjį. Eulerio-Maclaurino sumavimo formulė, pasiūlė jo vardu pavadintą eilučių transformaciją, nustatė daugybės eilučių sumas ir į matematiką įvedė svarbius naujus eilučių tipus (pavyzdžiui, trigonometrines eilutes). Tai taip pat apima Eulerio tęstinių trupmenų ir kitų begalinių procesų teorijos tyrimus.

Euleris yra specialiųjų funkcijų teorijos pradininkas. Jis pirmasis laikė sinusą ir kosinusą funkcijomis, o ne atkarpomis apskritime. Jis gavo beveik visus klasikinius elementariųjų funkcijų išplėtimus į begalines serijas ir gaminius. Jo darbai sukūrė γ funkcijos teoriją. Jis ištyrė elipsinių integralų savybes, hiperbolines ir cilindrines funkcijas, ζ funkciją, kai kurias θ funkcijas, integralų logaritmą ir svarbias specialiųjų daugianario klases.

Pasak P. Čebyševo, Euleris padėjo pamatus visiems tyrimams, kurie sudaro bendrąją skaičių teorijos dalį. Taigi Euleris įrodė nemažai P. Fermato teiginių (pavyzdžiui, mažoji Ferma teorema), sukūrė galios likučių teorijos pagrindus ir kvadratinių formų teoriją, atrado (bet neįrodė) kvadratinio abipusiškumo dėsnį, t. ir ištyrė daugybę Diofantinės analizės problemų. Savo darbuose apie skaičių padalijimą į terminus ir pirminių skaičių teoriją Euleris pirmasis panaudojo analizės metodus, taip tapdamas analitinės skaičių teorijos kūrėju. Visų pirma jis pristatė ζ funkciją ir įrodė vadinamąją. Eulerio tapatybė, jungianti pirminius skaičius su visais natūraliaisiais skaičiais.

Euleris taip pat pasiekė puikių laimėjimų kitose matematikos srityse. Algebroje jis parašė darbus apie aukštesnio laipsnio lygčių sprendimą radikaluose ir apie lygtis su dviem nežinomaisiais, taip pat vadinamąsias. Eulerio keturių kvadratų tapatybė. Euleris žymiai patobulino analitinę geometriją, ypač antrosios eilės paviršių doktriną. Diferencialinėje geometrijoje jis išsamiai ištyrė geodezinių linijų savybes, pirmasis pritaikė natūralias kreivių lygtis, o svarbiausia – padėjo paviršių teorijos pagrindus. Jis pristatė pagrindinių krypčių sampratą paviršiaus taške, įrodė jų ortogonalumą, išvedė bet kurios normalios pjūvio kreivumo formulę, pradėjo plėtojamų paviršių tyrimą ir kt.; viename po mirties išleistame darbe (1862 m.) jis iš dalies numatė K. Gausso vidinės paviršių geometrijos tyrimus. Euleris taip pat nagrinėjo tam tikrus topologijos klausimus ir įrodė, pavyzdžiui, svarbią teoremą apie išgaubtą daugiakampį. Matematikas Euleris dažnai apibūdinamas kaip puikus „skaičiuotuvas“. Iš tiesų, savo darbuose jis buvo neprilygstamas formalių skaičiavimų ir transformacijų meistras, daugelis matematinių formulių ir simbolikos įgavo modernią išvaizdą (pavyzdžiui, jam priklausė e ir π žymėjimas). Tačiau Euleris taip pat įvedė į mokslą keletą gilių idėjų, kurios dabar yra griežtai pagrįstos ir yra pavyzdys, kaip giliai įsiskverbti į tyrimo temą.

P. Laplaso teigimu, Euleris XVIII amžiaus antroje pusėje buvo matematikų mokytojas.

DIRICHLETAS PETERIS GUSTAVAS

(Düren, dabar Vokietija, 1805 m. – Getingenas, ten pat, 1859 m.)

Jis studijavo Paryžiuje ir palaikė draugiškus santykius su puikiais matematikais, ypač su Furjė. Gavęs akademinį laipsnį, profesorius buvo Breslau (1826 - 1828), Berlyno (1828 - 1855) ir Getingeno universitetuose, kur po mokslininko Carlo Friedricho Gausso mirties tapo matematikos katedros vedėju. Ryškiausias jo indėlis į mokslą yra susijęs su skaičių teorija, pirmiausia serijų studijomis. Tai leido jam sukurti Furjė pasiūlytą serijų teoriją. Sukūrė savo Ferma teoremos įrodymo versiją, naudojo analitines funkcijas aritmetiniams uždaviniams spręsti ir įvedė eilučių konvergencijos kriterijus. Matematinės analizės srityje jis patobulino funkcijos apibrėžimą ir sampratą teorinės mechanikos srityje, daugiausia dėmesio skyrė sistemų stabilumo tyrimams ir Niutono potencialo sampratai.

ČEBIŠEVAS PAFNUTIUS LVOVIČIUS

Rusų matematikas, Sankt Peterburgo mokslinės mokyklos įkūrėjas, Sankt Peterburgo mokslų akademijos akademikas (1856). Čebyševo darbai padėjo pagrindą daugelio naujų matematikos šakų raidai.

Daugiausiai Čebyševo darbų buvo matematinės analizės srityje. Visų pirma jam buvo skirta disertacija dėl teisės skaityti paskaitas, kurioje Čebyševas tyrė tam tikrų neracionalių išraiškų integralumą algebrinėse funkcijose ir logaritmuose. Čebyševas taip pat skyrė nemažai kitų darbų algebrinių funkcijų integravimui. Viename iš jų (1853 m.) buvo gauta gerai žinoma teorema apie integralumo sąlygas diferencialinio dvinario elementariose funkcijose. Svarbią matematinės analizės tyrimų sritį sudaro jo darbas kuriant bendrąją stačiakampių daugianario teoriją. Jo sukūrimo priežastis buvo parabolinė interpoliacija naudojant mažiausių kvadratų metodą. Čebyševo tyrinėjimai apie momentų ir kvadratinių formulių problemą yra greta tos pačios idėjos. Siekdamas sumažinti skaičiavimus, Čebyševas pasiūlė (1873) svarstyti kvadratines formules su vienodais koeficientais (apytikslė integracija). Kvadratūrinių formulių tyrimai ir interpoliacijos teorija buvo glaudžiai susiję su užduotimis, kurios buvo iškeltos Čebyševui karo mokslinio komiteto artilerijos skyriuje.

Tikimybių teorijoje Čebyševui priskiriama prielaida, kad jis sistemingai įtraukė atsitiktinius dydžius ir sukūrė naują tikimybių teorijos ribinių teoremų įrodinėjimo techniką - taip vadinamą. momentų metodas (1845, 1846, 1867, 1887). Jis įrodė didelių skaičių dėsnį labai bendra forma; Be to, jo įrodymas stebina savo paprastumu ir elementarumu. Čebyševas nebaigė nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų pasiskirstymo funkcijų konvergencijos sąlygų tyrimo iki normalaus dėsnio. Tačiau, šiek tiek papildęs Čebyševo metodus, A. A. Markovas sugebėjo tai padaryti. Be griežtų išvadų, Čebyševas taip pat išdėstė galimybę paaiškinti šią ribinę teoremą nepriklausomų narių sumos pasiskirstymo funkcijos asimptotiniais išplėtimais laipsniais n21/2, kur n yra terminų skaičius. Čebyševo darbas apie tikimybių teoriją yra svarbus jos raidos etapas; be to, jie buvo pagrindas, ant kurio išaugo Rusijos tikimybių teorijos mokykla, kurią iš pradžių sudarė tiesioginiai Čebyševo mokiniai.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselencas, Žemutinė Saksonija, 1826 m. – Selaska, netoli Intros, Italija 66)

vokiečių matematikas. 1846 m. ​​įstojo į Getingeno universitetą: klausėsi K. Gauso paskaitų, kurių daug idėjų jis išplėtojo vėliau. 1847–49 skaitė paskaitas Berlyno universitete; 1849 m. jis grįžo į Getingeną, kur suartėjo su Gausso bendradarbiu fiziku W. Weberiu, kuris sužadino jame gilų susidomėjimą matematikos mokslo klausimais.

1851 m. apgynė daktaro disertaciją „Vieno kompleksinio kintamojo funkcijų bendrosios teorijos pagrindai“. Nuo 1854 m. privatus, nuo 1857 m. Getingeno universiteto profesorius.

Riemano darbai turėjo didelę įtaką matematikos raidai XIX a. II pusėje. ir XX a. Daktaro disertacijoje Riemannas padėjo pagrindus analitinių funkcijų teorijos geometrinei krypčiai; jis pristatė vadinamuosius Riemann paviršius, kurie yra svarbūs tiriant daugiareikšmes funkcijas, sukūrė konforminio atvaizdavimo teoriją ir kartu su tuo pateikė pagrindines topologijos idėjas, ištyrė analitinių funkcijų egzistavimo sąlygas domenų viduje. įvairių tipų (vadinamasis Dirichlet principas) ir kt. Riemano sukurti metodai buvo plačiai naudojami jo tolesniuose darbuose apie algebrinių funkcijų ir integralų teoriją, analizuojant diferencialinių lygčių teoriją (ypač lygčių, apibrėžiančių hipergeometrines funkcijas) , apie analitinę skaičių teoriją (pavyzdžiui, Riemanas nurodė ryšį tarp pirminių skaičių pasiskirstymo ir ζ funkcijos savybių, ypač su jos nulių pasiskirstymu kompleksinėje srityje – vadinamoji Riemann hipotezė, kurių pagrįstumas dar neįrodytas) ir kt.

Daugelyje darbų Riemannas tyrė funkcijų skaidomumą į trigonometrines eilutes ir, siedamas su tuo, nustatė būtinas ir pakankamas integralumo Riemanno prasme sąlygas, kurios buvo svarbios realiojo kintamojo aibių ir funkcijų teorijai. Riemann taip pat pasiūlė dalinių diferencialinių lygčių integravimo metodus (pavyzdžiui, naudojant vadinamuosius Riemann invariantus ir Riemann funkciją).

Savo garsiojoje 1854 m. paskaitoje „Apie hipotezes, kuriomis grindžiama geometrija“ (1867 m.) Riemannas pateikė bendrą matematinės erdvės (jo žodžiais tariant, „kolektorių“), įskaitant funkcines ir topologines erdves, idėją. Čia jis geometriją plačiąja prasme laikė ištisinių n-matmenų kolektorių, t. y. bet kokių vienarūšių objektų rinkinių, tyrimu ir, apibendrindamas Gauso rezultatus apie vidinę paviršiaus geometriją, pateikė bendrą linijinio elemento (diferencialo) sampratą. atstumo tarp kolektoriaus taškų), taip apibrėžiant vadinamąsias Finslerio erdves. Riemann'as išsamiau išnagrinėjo vadinamąsias Riemano erdves, apibendrindamas Euklido, Lobačevskio ir Riemanno elipsinės geometrijos erdves, pasižyminčias specialiu linijinio elemento tipu, ir sukūrė jų kreivumo doktriną. Aptardamas savo idėjų pritaikymą fizinei erdvei, Riemannas iškėlė klausimą apie jos „metrinių savybių priežastis“, tarsi numatydamas, kas buvo daroma bendrojoje reliatyvumo teorijoje.

Riemano pasiūlytos idėjos ir metodai atvėrė naujus kelius matematikos raidoje ir rado pritaikymą mechanikoje bei bendrojoje reliatyvumo teorijoje. Mokslininkas mirė 1866 metais nuo tuberkuliozės.

Apibrėžimas 1. pirminis skaičius− yra natūralusis skaičius, didesnis už tą, kuris dalijasi tik iš savęs ir iš 1.

Kitaip tariant, skaičius yra pirminis, jei jis turi tik du skirtingus natūralius veiksnius.

Apibrėžimas 2. Vadinamas bet koks natūralusis skaičius, turintis kitus daliklius, be jo paties ir vieno sudėtinis skaičius.

Kitaip tariant, natūralieji skaičiai, kurie nėra pirminiai skaičiai, vadinami sudėtiniais skaičiais. Iš 1 apibrėžimo matyti, kad sudėtinis skaičius turi daugiau nei du natūraliuosius veiksnius. Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis, nes turi tik vieną daliklį 1 ir, be to, daugelis teoremų, susijusių su pirminiais skaičiais, negalioja vienybei.

Iš 1 ir 2 apibrėžimų matyti, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis nei 1, yra pirminis arba sudėtinis skaičius.

Žemiau yra programa, rodanti pirminius skaičius iki 5000. Užpildykite langelius, spustelėkite mygtuką "Sukurti" ir palaukite kelias sekundes.

Pirminių skaičių lentelė

pareiškimas 1. Jeigu p- pirminis skaičius ir a bet kuris sveikasis skaičius, tada arba a padalytą p, arba p Ir a pirminiai skaičiai.

Tikrai. Jeigu p Pirminis skaičius dalijasi tik iš savęs ir iš 1, jei a nedalomas iš p, tada didžiausias bendras daliklis a Ir p yra lygus 1. Tada p Ir a pirminiai skaičiai.

pareiškimas 2. Jei kelių skaičių sandauga a 1 , a 2 , a 3, ... dalijasi iš pirminio skaičiaus p, tada bent vienas iš skaičių a 1 , a 2 , a 3, ... dalijasi iš p.

Tikrai. Jei nė vienas skaičius nesidalytų iš p, tada skaičiai a 1 , a 2 , a 3, ... būtų pirminiai skaičiai p. Tačiau iš 3 išvados () išplaukia, kad jų produktas a 1 , a 2 , a 3, ... taip pat yra santykinai svarbiausias p, o tai prieštarauja pareiškimo sąlygai. Todėl bent vienas iš skaičių dalijasi iš p.

Teorema 1. Bet koks sudėtinis skaičius visada gali būti pavaizduotas kaip baigtinio pirminių skaičių sandauga ir unikaliu būdu.

Įrodymas. Leisti k sudėtinis skaičius ir tegul a 1 yra vienas iš jo daliklių, kuris skiriasi nuo 1 ir savęs. Jeigu a 1 yra sudėtinis, tada turi be 1 ir a 1 ir kitas daliklis a 2. Jeigu a 2 yra sudėtinis skaičius, tada jis turi, be 1 ir a 2 ir dar vienas daliklis a 3. Taip samprotaujant ir atsižvelgiant į tai, kad skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ... mažėja ir šioje eilutėje yra baigtinis skaičius narių, pasieksime kokį nors pirminį skaičių p 1 . Tada k gali būti pavaizduotas formoje

Tarkime, kad yra du skaičiaus skilimai k:

Nes k=p 1 p 2 p 3 ...dalijasi iš pirminio skaičiaus q 1, tada, pavyzdžiui, bent vienas iš veiksnių p 1 dalijasi iš q 1 . Bet p 1 yra pirminis skaičius ir dalijasi tik iš 1 ir savęs. Vadinasi p 1 =q 1 (nes q 1 ≠1)

Tada iš (2) galime išskirti p 1 ir q 1:

Taigi, esame įsitikinę, kad kiekvienas pirminis skaičius, kuris pasirodo kaip veiksnys pirmojoje išplėtimo metu vieną ar kelis kartus, taip pat pasirodo antrajame išplėtime bent tiek kartų, ir atvirkščiai, bet koks pirminis skaičius, kuris pasirodo kaip veiksnys antrojo išplėtimo metu. vieną ar kelis kartus taip pat pasirodo pirmajame plėtinyje bent tiek pat kartų. Todėl bet kuris pirminis skaičius pasirodo kaip veiksnys abiejuose plėtiniuose tiek pat kartų, taigi šie du išplėtimai yra vienodi.

Sudėtinio skaičiaus išplėtimas k gali būti parašytas tokia forma

Kur p 1 , p 2, ... įvairūs pirminiai skaičiai, α, β, γ ... teigiami sveikieji skaičiai.

Išplėtimas (3) vadinamas kanoninė plėtra skaičių.

Pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai. Vienose eilės vietose jų daugiau, kitose – mažiau. Kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai yra mažiau paplitę. Kyla klausimas, ar yra didžiausias pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Pateikiame šį įrodymą žemiau.

Teorema 2. Pirminių skaičių skaičius yra begalinis.

Įrodymas. Tarkime, kad yra baigtinis pirminių skaičių skaičius, ir tegul yra didžiausias pirminis skaičius p. Laikykime visus skaičius didesniais p. Remiantis teiginio prielaida, šie skaičiai turi būti sudėtiniai ir dalytis bent iš vieno pirminio skaičiaus. Pasirinkime skaičių, kuris yra visų šių pirminių skaičių ir 1 sandauga:

Skaičius z daugiau p nes 2p jau daugiau p. p nesidalija iš nė vieno iš šių pirminių skaičių, nes padalijus iš kiekvieno iš jų liekana 1. Taip pasiekiame prieštaravimą. Todėl pirminių skaičių yra begalinis skaičius.

Ši teorema yra ypatingas bendresnės teoremos atvejis:

Teorema 3. Tegu pateikiama aritmetinė progresija

Tada bet kuris pirminis skaičius įtrauktas į n, turėtų būti įtraukta m, todėl in n kiti pagrindiniai veiksniai, kurie neįtraukti m ir, be to, šie pagrindiniai veiksniai n yra įtraukti ne daugiau kartų nei į m.

Taip pat yra priešingai. Jei kiekvienas skaičiaus pirminis veiksnys nįtraukta į skaičių bent tiek kartų m, Tai m padalytą n.

pareiškimas 3. Leisti a 1 ,a 2 ,a 3,... įvairūs pirminiai skaičiai, įtraukti į m Taigi

Kur i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . pastebėti, kad α i priima α +1 vertės, β j priima β +1 vertės, γ k priima γ +1 vertės, ... .

Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pirmiausia pateiksime pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimus, taip pat pateiksime pavyzdžių. Po to įrodysime, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Toliau užrašysime pirminių skaičių lentelę ir apsvarstysime pirminių skaičių lentelės sudarymo būdus, ypatingą dėmesį skirdami metodui, vadinamam Eratosteno sietu. Baigdami pabrėšime pagrindinius dalykus, į kuriuos reikia atsižvelgti įrodant, kad duotas skaičius yra pirminis arba sudėtinis.

Puslapio naršymas.

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pirminių skaičių ir sudėtinių skaičių sąvokos reiškia skaičius, didesnius už vienetą. Tokie sveikieji skaičiai, priklausomai nuo jų teigiamų daliklių, skirstomi į pirminius ir sudėtinius skaičius. Taigi suprasti pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimai, turite gerai suprasti, kas yra dalikliai ir kartotiniai.

Apibrėžimas.

pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, dideli vienetai, turintys tik du teigiamus daliklius, būtent save ir 1.

Apibrėžimas.

Sudėtiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, dideli, turintys bent tris teigiamus daliklius.

Atskirai pažymime, kad skaičius 1 netaikomas nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams. Vienetas turi tik vieną teigiamą daliklį, kuris yra pats skaičius 1. Tai išskiria skaičių 1 nuo visų kitų teigiamų sveikųjų skaičių, turinčių bent du teigiamus daliklius.

Atsižvelgiant į tai, kad teigiami sveikieji skaičiai yra , o vienas turi tik vieną teigiamą daliklį, galime pateikti kitas pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimų formuluotes.

Apibrėžimas.

pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.

Apibrėžimas.

Sudėtiniai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys daugiau nei du teigiamus daliklius.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vienetą, yra pirminis arba sudėtinis skaičius. Kitaip tariant, nėra nė vieno sveikojo skaičiaus, kuris nebūtų nei pirminis, nei sudėtinis. Tai išplaukia iš dalijamumo savybės, kuri teigia, kad skaičiai 1 ir a visada yra bet kurio sveikojo skaičiaus a dalikliai.

Remdamiesi ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija, galime pateikti tokį sudėtinių skaičių apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Vadinami natūralieji skaičiai, kurie nėra pirminiai sudėtinis.

Duokim pirminių ir sudėtinių skaičių pavyzdžiai.

Sudėtinių skaičių pavyzdžiai yra 6, 63, 121 ir 6 697. Šį teiginį taip pat reikia paaiškinti. Skaičius 6, be teigiamų daliklių 1 ir 6, taip pat turi daliklius 2 ir 3, nes 6 = 2 3, todėl 6 tikrai yra sudėtinis skaičius. Teigiami koeficientai 63 yra skaičiai 1, 3, 7, 9, 21 ir 63. Skaičius 121 yra lygus sandaugai 11·11, todėl jo teigiami dalikliai yra 1, 11 ir 121. Ir skaičius 6 697 yra sudėtinis, nes jo teigiami dalikliai, be 1 ir 6 697, taip pat yra skaičiai 37 ir 181.

Baigdamas šį punktą taip pat norėčiau atkreipti dėmesį į tai, kad pirminiai skaičiai ir pirminiai skaičiai toli gražu nėra tas pats dalykas.

Pirminių skaičių lentelė

Pirminiai skaičiai, tolimesnio jų naudojimo patogumui, įrašomi į lentelę, vadinamą pirminių skaičių lentele. Žemiau yra pirminių skaičių lentelė iki 1000.

Kyla logiškas klausimas: „Kodėl pirminių skaičių lentelę užpildėme tik iki 1000, ar negalima sukurti visų esamų pirminių skaičių lentelės“?

Pirmiausia atsakykime į pirmąją šio klausimo dalį. Daugeliui problemų, kurioms reikia naudoti pirminius skaičius, pakaks pirminių skaičių tūkstančio ribose. Kitais atvejais greičiausiai turėsite griebtis specialių sprendimo būdų. Nors tikrai galime sukurti pirminių skaičių lentelę iki savavališkai didelio baigtinio teigiamo sveikojo skaičiaus, nesvarbu, ar tai būtų 10 000 ar 1 000 000 000, kitoje pastraipoje kalbėsime apie pirminių skaičių lentelių kūrimo metodus, ypač pažvelgsime į metodą. paskambino.

Dabar pažvelkime į galimybę (tiksliau, neįmanomumą) sudaryti visų esamų pirminių skaičių lentelę. Negalime sudaryti visų pirminių skaičių lentelės, nes pirminių skaičių yra be galo daug. Paskutinis teiginys yra teorema, kurią įrodysime po šios pagalbinės teoremos.

Teorema.

Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus, didesnio už vienetą, daliklis, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.

Įrodymas.

Leisti a yra natūralusis skaičius, didesnis už vieną, o b yra mažiausias teigiamas kito nei vienas daliklis. Įrodykime, kad b yra pirminis skaičius prieštaravimu.

Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Tada yra skaičiaus b daliklis (pažymime jį b 1), kuris skiriasi ir nuo 1, ir nuo b. Jeigu dar atsižvelgsime į tai, kad daliklio absoliuti vertė neviršija absoliučios dividendo vertės (tai žinome iš dalijamumo savybių), tai 1 sąlyga turi būti įvykdyta

Kadangi skaičius a dalijasi iš b pagal sąlygą, o mes sakėme, kad b dalijasi iš b 1, dalijimosi sąvoka leidžia kalbėti apie sveikųjų skaičių q ir q 1 egzistavimą, kad a=b q ir b=b 1 q 1 , iš kur a= b 1 · (q 1 · q) . Iš to seka, kad dviejų sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, tai lygybė a=b 1 ·(q 1 ·q) rodo, kad b 1 yra skaičiaus a daliklis. Atsižvelgiant į pirmiau minėtus nelygumus 1

Dabar galime įrodyti, kad pirminių skaičių yra be galo daug.