Svarbus mokslo žinių etapas yra teorinės žinios.
Teorinių žinių specifiškumas išreiškiamas jų pasikliovimu teoriniu pagrindu. Teorinės žinios turi keletą svarbių bruožų.
Pirmasis yra bendrumas ir abstrakcija.
Bendrumas slypi tame, kad teorinės žinios apibūdina ištisas reiškinių sritis, leidžia susidaryti supratimą apie bendrus jų raidos modelius.
Abstraktumas išreiškiamas tuo, kad teorinių žinių negalima patvirtinti ar paneigti atskirais eksperimentiniais duomenimis. Jį galima vertinti tik kaip visumą.
Antrasis yra sistemingumas, kurį sudaro atskirų teorinių žinių elementų keitimas kartu su visos sistemos keitimu. aksiominė dedukcinė tyrimų paieška
Trečia – teorinių žinių ryšys su filosofine prasme. Tai nereiškia jų susijungimo. Mokslinės žinios, skirtingai nei filosofinės žinios, yra konkretesnės.
Ketvirtasis – gilus teorinių žinių įsiskverbimas į tikrovę, reiškinių ir procesų esmės atspindys.
Teorinės žinios apima vidines, lemiančias reiškinių lauko sąsajas, atspindi teorinius dėsnius.
Teorinės žinios visada pereina nuo pradinio bendro ir abstrakčiojo prie išvadinio konkretaus.
Teorinis mokslinio tyrimo lygis yra ypatinga mokslo žinių pakopa, kuri turi santykinį savarankiškumą, turi savo ypatingus tikslus, pagrįstus filosofiniais, loginiais ir materialiais tikslais, paremta savo loginėmis ir materialiomis tyrimo priemonėmis. Dėl abstraktumo, bendrumo ir sistemingumo teorinės žinios turi dedukcinę struktūrą: mažesnio bendrumo teorines žinias galima gauti iš didesnio bendrumo teorinių žinių. Tai reiškia, kad teorinių žinių pagrindas yra originalios, tam tikra prasme bendriausios žinios, kurios sudaro teorinį mokslinių tyrimų pagrindą.
Teorinis tyrimas susideda iš kelių etapų.
Pirmas etapas – naujos konstravimas arba esamos teorinės bazės išplėtimas.
Tyrinėdamas šiuo metu neišspręstas mokslo problemas, mokslininkas ieško naujų idėjų, kurios praplėstų esamą pasaulio vaizdą. Bet jei su jo pagalba tyrėjui nepavyksta išspręsti šių problemų, jis bando sukurti naują pasaulio paveikslą, įnešdamas į jį naujų elementų, kurie, jo nuomone, duos teigiamų rezultatų. Tokie elementai yra bendros idėjos ir koncepcijos, principai ir hipotezės, kurios yra naujų teorijų kūrimo pagrindas.
Antrasis etapas susideda iš mokslinių teorijų konstravimo jau rastu pagrindu. Šiame etape svarbų vaidmenį atlieka formalūs loginių ir matematinių sistemų konstravimo metodai.
Kuriant naujas teorijas, grįžimas į pirmąjį teorinio tyrimo etapą yra neišvengiamas. Bet tai nereiškia pirmojo etapo ištirpimo į antrąjį, filosofinių metodų įsisavinimą formaliais.
Trečiasis etapas susideda iš teorijos pritaikymo bet kuriai reiškinių grupei paaiškinti.
Teorinis reiškinių paaiškinimas susideda iš teorijos išvedimo paprastesnių dėsnių, susijusių su atskiromis reiškinių grupėmis.
Mokslinė teorija yra gilių ryšių, būdingų reiškinių sričiai, vienijančiam daugybę grupių, atspindys.
Norint sukurti teoriją, reikia rasti pagrindines tam tikros reiškinių srities sąvokas, išreikšti jas simboline forma ir užmegzti ryšį tarp jų.
Sąvokos kuriamos remiantis teoriniu pagrindu. O sąsajos tarp jų atrandamos pasitelkus principus ir hipotezes. Gana dažnai teorijai sukurti naudojami empiriniai duomenys, kurie dar negavo teorinio pagrindimo. Jie vadinami empirine teorijos prielaida. Jie yra dviejų tipų: tam tikrų eksperimentinių duomenų forma ir empirinių dėsnių forma.
Teorinės prielaidos yra svarbios kuriant naujas teorijas. Būtent jų pagalba nustatomos pradinės sąvokos ir formuluojami principai bei hipotezės, kurių pagrindu tampa įmanoma nustatyti ryšius ir ryšius tarp pradinių sąvokų. Pradinių sąvokų apibrėžimas, taip pat principai ir hipotezės, būtinos teorijai sukurti, vadinami teorijos pagrindu.
Mokslinė teorija yra giliausia ir koncentruota mokslo žinių išraiškos forma.
Mokslinė teorija kuriama naudojant metodus, kurie apima:
A) aksiominis metodas pagal kurią teorija kuriama formaliai įvedant ir apibrėžiant jomis pradines sąvokas ir veiksmus, kurie sudaro teorijos pagrindą. Aksiomatinis metodas remiasi akivaizdžiomis nuostatomis (aksiomomis), priimtomis be įrodymų. Šiuo metodu teorija plėtojama remiantis dedukcija.
Aksiomatinė teorijos konstrukcija daro prielaidą:
- * idealių objektų nustatymas ir prielaidų iš jų darymo taisyklės;
- * pirminės aksiomų ir taisyklių sistemos formulavimas, išvados iš jų.
Teorija šiuo pagrindu kuriama kaip nuostatų (teoremų), išvestų iš aksiomų pagal pateiktas taisykles, sistema.
Aksiominis metodas buvo pritaikytas įvairiuose moksluose. Tačiau jis rado didžiausią pritaikymą matematikoje. Ir taip yra dėl to, kad tai žymiai išplečia matematinių metodų taikymo sritį ir palengvina tyrimo procesą. Matematikui šis metodas leidžia geriau suprasti tyrimo objektą, išryškinti pagrindinę kryptį jame, suprasti skirtingų metodų ir teorijų vienovę ir ryšį.
Perspektyviausias aksiomatinio metodo taikymas yra tuose moksluose, kuriuose vartojamos sąvokos turi didelį stabilumą ir kur galima abstrahuotis nuo jų kaitos ir raidos. Būtent tokiomis sąlygomis tampa įmanoma nustatyti formalius-loginius ryšius tarp įvairių teorijos komponentų.
b) genetinis metodas Jo pagalba sukuriama teorija, kurios pagrindu pripažįstami šie dalykai:
kai kurie pradiniai idealūs objektai
kai kurie priimtini veiksmai su jais.
Teorija kuriama kaip konstrukcija iš pradinių objektų, gautų atliekant teorijoje leidžiamus veiksmus. Tokioje teorijoje, be originalių, egzistuojančiais pripažįstami tik tie objektai, kuriuos galima sukonstruoti, bent jau per nesibaigiantį statybos procesą.
V) hipotetinis-dedukcinis metodas. Remiantis hipotezės plėtojimu, moksline prielaida, kurioje yra naujumo elementų. Hipotezė turi išsamiau ir geriau paaiškinti reiškinius ir procesus, būti patvirtinta eksperimentiškai ir atitikti bendruosius mokslo dėsnius.
Hipotezė sudaro teorinio tyrimo esmę, metodologinį pagrindą ir branduolį. Būtent tai lemia teorinės raidos kryptį ir apimtį.
Mokslinio tyrimo procese hipotezė naudojama dviem tikslais: jos pagalba paaiškinti esamus faktus ir numatyti naujus, nežinomus. Tyrimo uždavinys – įvertinti hipotezės tikimybės laipsnį. Darydamas įvairias išvadas iš hipotezės, tyrėjas sprendžia apie jos teorinį ir empirinį tinkamumą. Jei iš hipotezės kyla prieštaringų pasekmių, tada hipotezė negalioja.
Šio metodo esmė yra išvesti hipotezės pasekmes.
Šis tyrimo metodas yra pagrindinis ir labiausiai paplitęs taikomuosiuose moksluose.
Taip yra dėl to, kad jie daugiausia susiję su stebėjimo ir eksperimentiniais duomenimis.
Šiuo metodu tyrėjas, apdorojęs eksperimentinius duomenis, stengiasi juos suprasti ir paaiškinti teoriškai. Hipotezė yra preliminarus paaiškinimas. Bet čia būtina, kad hipotezės pasekmės neprieštarautų eksperimentiniams faktams.
Nemažos dalies gamtos mokslų teorijų struktūros tyrinėtojams tinkamiausias hipotetinis-dedukcinis metodas. Būtent tai ir naudojama jų statybai.
Šis metodas plačiausiai naudojamas fizikoje.
Hipotetinis-dedukcinis metodas siekia suvienodinti visas turimas žinias ir nustatyti tarp jų loginį ryšį. Šis metodas leidžia ištirti ne tik skirtingų lygių hipotezių struktūrą ir ryšį, bet ir jų patvirtinimo empiriniais duomenimis pobūdį. Dėl loginio ryšio tarp hipotezių nustatymo, vienos iš jų patvirtinimas netiesiogiai parodys kitų su ja logiškai susijusių hipotezių patvirtinimą.
Atliekant mokslinius tyrimus, sunkiausia užduotis yra atrasti ir suformuluoti tuos principus ir hipotezes, kurios yra pagrindas tolimesnėms išvadoms.
Hipotetinis-dedukcinis metodas šiame procese vaidina pagalbinį vaidmenį, nes jo pagalba nėra keliamos naujos hipotezės, o tikrinamos tik iš jų kylančios pasekmės, kurios kontroliuoja tyrimo procesą.
G) matematiniai metodai Sąvoka „matematiniai metodai“ reiškia bet kokių matematinių teorijų aparato naudojimą konkrečiuose moksluose.
Taikant šiuos metodus matematine kalba aprašomi konkretaus mokslo objektai, jų savybės ir priklausomybės.
Konkretaus mokslo matematizacija yra vaisinga tik tada, kai jis sukūrė pakankamai aiškiai specializuotas sąvokas, turinčias aiškiai suformuluotą turinį ir griežtai apibrėžtą taikymo sritį. Tačiau tuo pat metu tyrėjas turi žinoti, kad matematinė teorija pati savaime nenulemia turinio, kuris yra įdėtas į šią formą. Todėl būtina atskirti matematinę mokslo žinių formą ir tikrąjį jų turinį.
Skirtingi mokslai naudoja skirtingas matematines teorijas.
Taigi vienuose moksluose matematinės formulės naudojamos aritmetikos lygmeniu, o kituose – matematinės analizės priemonės, kituose – dar sudėtingesnis grupių teorijos, tikimybių teorijos ir kt.
Tačiau tuo pat metu ne visada įmanoma matematine forma išreikšti visas esamas konkretaus mokslo tiriamų objektų savybes ir priklausomybes. Matematinių metodų naudojimas leidžia pirmiausia atspindėti kiekybinę reiškinių pusę. Tačiau būtų neteisinga matematikos vartojimą sumažinti tik iki kiekybinio aprašymo. Šiuolaikinė matematika turi teorines priemones, leidžiančias jos kalba parodyti ir apibendrinti daugelį tikrovės objektų kokybinių ypatybių.
Matematiniai metodai gali būti taikomi beveik bet kuriame moksle.
Taip yra dėl to, kad bet kurio mokslo tiriami objektai turi kiekybinį tikrumą, kuris tiriamas naudojant matematiką. Tačiau matematinių metodų panaudojimo mastas skirtinguose moksluose skiriasi. Matematiniai metodai gali būti taikomi konkrečiame moksle tik tada, kai jis tam pribrendęs, tai yra, kai jame buvo atlikta daugiau parengiamųjų darbų, susijusių su kokybiniu reiškinių tyrimu, naudojant paties mokslo metodus.
Matematinių metodų naudojimas yra vaisingas bet kuriam mokslui. Tai leidžia tiksliai kiekybiškai apibūdinti reiškinius, prisideda prie aiškių ir aiškių sąvokų kūrimo bei išvadų, kurių negalima padaryti kitais būdais, darymo.
Kai kuriais atvejais pats matematinis medžiagos apdorojimas lemia naujų idėjų atsiradimą. Tam tikro mokslo matematinių metodų naudojimas rodo aukštesnį jo teorinį ir loginį lygį.
Šiuolaikinis mokslas iš esmės yra susistemintas. Jei neseniai matematiniai metodai buvo naudojami astronomijoje, fizikoje, chemijoje, mechanikoje, tai dabar sėkmingai taikomi biologijos, sociologijos, ekonomikos ir kituose moksluose.
Šiais laikais, kompiuterių laikais, atsirado galimybė matematiškai išspręsti problemas, kurios buvo laikomos neišsprendžiamomis dėl skaičiavimų sudėtingumo.
Šiuo metu matematinių metodų euristinė reikšmė moksle taip pat didelė. Matematika vis dažniau tampa mokslo atradimų įrankiu. Tai ne tik leidžia numatyti naujus faktus, bet ir skatina naujų mokslinių idėjų bei koncepcijų formavimąsi.
Aksiomatinį metodą pirmą kartą sėkmingai pritaikė Euklidas elementariai geometrijai konstruoti. Nuo to laiko šis metodas smarkiai evoliucionavo ir rado daugybę pritaikymų ne tik matematikoje, bet ir daugelyje tiksliųjų gamtos mokslų šakų (mechanika, optika, elektrodinamika, reliatyvumo teorija, kosmologija ir kt.).
Aksiomatinio metodo kūrimas ir tobulinimas vyko dviem pagrindinėmis kryptimis: pirma, paties metodo apibendrinimas ir, antra, loginių metodų, naudojamų teoremų iš aksiomų išvedimo procese, kūrimas. Norėdami aiškiau įsivaizduoti įvykusių pokyčių pobūdį, atsigręžkime į pirminę Euklido aksiomatiką. Kaip žinoma, pradinės geometrijos sąvokos ir aksiomos interpretuojamos vienaip. Tašku, tiese ir plokštuma, kaip pagrindinėmis geometrijos sąvokomis, suprantami idealizuoti erdviniai objektai, o pati geometrija laikoma fizinės erdvės savybių tyrimu. Pamažu paaiškėjo, kad Euklido aksiomos pasirodė tikros ne tik geometrinių, bet ir kitų matematinių ir net fizinių objektų savybėms apibūdinti. Taigi, jei tašku turime omenyje realiųjų skaičių trigubą, o tiesę ir plokštumą - atitinkamas tiesines lygtis, tai visų šių negeometrinių objektų savybės patenkins geometrines Euklido aksiomas. Dar įdomesnis yra šių aksiomų aiškinimas pasitelkiant fizinius objektus, pavyzdžiui, mechaninės ir fizikinės ir cheminės sistemos būsenas ar spalvų pojūčių įvairovę. Visa tai rodo, kad geometrijos aksiomas galima interpretuoti naudojant labai skirtingo pobūdžio objektus.
Šį abstraktų požiūrį į aksiomatiką iš esmės parengė N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss ir B. Riemann atradus neeuklido geometrijas. Nuosekliausia naujojo požiūrio į aksiomas, kaip abstrakčias formas, leidžiančias daug įvairių interpretacijų, išraiška buvo aptikta garsiajame D. Hilberto veikale „Geometrijos pagrindai“ (1899). „Manome, – rašė jis šioje knygoje, – apie tris skirtingas daiktų sistemas: pirmosios sistemos daiktus vadiname taškais ir žymime A, B, C,...; Antrosios sistemos daiktus vadiname tiesioginiais ir žymime a, b, c,...; Trečiosios sistemos plokštumose vadiname daiktus a, B, y,...“. Iš to aišku, kad „tašku“, „tiesia linija“ ir „plokštuma“ galime reikšti bet kokią objektų sistemą. Tik svarbu, kad jų savybės būtų aprašytos atitinkamomis aksiomomis. Kitas žingsnis abstrahavimo iš aksiomų turinio kelyje yra susijęs su jų simboliniu vaizdavimu formulių pavidalu, taip pat tiksliu tų išvadų taisyklių, kurios aprašo, kaip iš kai kurių formulių gaunamos kitos formulės (teoremos), apibūdinimu ( aksiomos). Dėl to prasmingas samprotavimas sąvokomis šiame tyrimo etape virsta tam tikromis operacijomis su formulėmis pagal iš anksto nustatytas taisykles. Kitaip tariant, prasmingas mąstymas čia atsispindi skaičiavime. Tokios aksiomatinės sistemos dažnai vadinamos formalizuotomis sintaksinėmis sistemomis arba skaičiavimais.
Visos trys nagrinėjamos aksiomatizacijos rūšys yra naudojamos šiuolaikiniame moksle. Formalizuotos aksiomatinės sistemos dažniausiai naudojamos tiriant konkretaus mokslo loginius pagrindus. Tokie tyrimai įgavo didžiausią mastą matematikoje, kai aibių teorijoje buvo atrasti paradoksai. Formalios sistemos vaidina didelį vaidmenį kuriant specialias mokslines kalbas, kurių pagalba galima kuo labiau pašalinti įprastos, natūralios kalbos netikslumus.
Kai kurie mokslininkai mano, kad šis punktas yra beveik pagrindinis dalykas taikant loginius-matematinius metodus konkrečiuose moksluose. Taigi anglų mokslininkas I. Woodgeris, kuris yra vienas iš aksiomatinio metodo panaudojimo biologijoje pradininkų, mano, kad šio metodo taikymas biologijoje ir kitose gamtos mokslų srityse yra moksliškai tobulos kalbos sukūrimas, kuriuo būtų galima atlikti skaičiavimus. yra įmanoma. Tokios kalbos konstravimo pagrindas yra aksiominis metodas, išreikštas formalizuotos sistemos arba skaičiavimo forma. Pradiniai dviejų tipų simboliai tarnauja kaip formalizuotos kalbos abėcėlė: loginė ir individuali.
Loginiai simboliai reiškia loginius ryšius ir ryšius, būdingus daugeliui ar daugumai teorijų. Atskiri simboliai žymi tiriamos teorijos objektus, tokius kaip matematiniai, fiziniai ar biologiniai. Kaip tam tikra abėcėlės raidžių seka sudaro žodį, taip ir baigtinis sutvarkytų simbolių rinkinys sudaro formalizuotos kalbos formules ir posakius. Norint atskirti prasmingas kalbos išraiškas, įvedama teisingai sukonstruotos formulės sąvoka. Norint užbaigti dirbtinės kalbos konstravimo procesą, pakanka aiškiai aprašyti vienos formulės išvedimo ar konvertavimo į kitą taisykles ir kaip aksiomas paryškinti kai kurias teisingai sukonstruotas formules. Taigi formalizuotos kalbos konstravimas vyksta taip pat, kaip ir prasmingos aksiomatinės sistemos konstravimas. Kadangi pirmuoju atveju prasmingas samprotavimas formulėmis yra nepriimtinas, loginis pasekmių išvedimas čia atitenka tiksliai numatytų simbolių ir jų kombinacijų tvarkymo operacijų atlikimui.
Pagrindinis formalizuotų kalbų vartojimo moksle tikslas yra kritinė samprotavimų, kurių pagalba gaunamos naujos mokslo žinios, analizė. Kadangi formalizuotos kalbos atspindi kai kuriuos prasmingo samprotavimo aspektus, jos taip pat gali būti naudojamos vertinant intelektinės veiklos automatizavimo galimybes.
Abstrakčios aksiomatinės sistemos plačiausiai naudojamos šiuolaikinėje matematikoje, kuriai būdingas itin bendras požiūris į tyrimo dalyką. Užuot kalbėjęs apie konkrečius skaičius, funkcijas, linijas, paviršius, vektorius ir panašiai, šiuolaikinis matematikas svarsto įvairius abstrakčių objektų rinkinius, kurių savybės tiksliai suformuluotos aksiomomis. Tokie rinkiniai arba rinkiniai kartu su juos apibūdinančiomis aksiomomis dabar dažnai vadinami abstrakčiomis matematinėmis struktūromis.
Kokių privalumų matematikai duos aksiomatinis metodas? Pirma, tai žymiai išplečia matematinių metodų taikymo sritį ir dažnai palengvina tyrimo procesą. Tirdamas konkrečius reiškinius ir procesus tam tikroje srityje, mokslininkas gali naudoti abstrakčias aksiomatines sistemas kaip paruoštus analizės įrankius. Įsitikinęs, kad nagrinėjami reiškiniai tenkina tam tikros matematinės teorijos aksiomas, tyrėjas gali iš karto panaudoti visas iš aksiomų išplaukiančias teoremas be papildomo daug darbo reikalaujančio darbo. Aksiomatinis metodas išgelbėja konkretaus mokslo specialistą nuo gana sudėtingų ir sunkių matematinių tyrimų.
Matematikui šis metodas leidžia geriau suprasti tyrimo objektą, išryškinti pagrindines kryptis jame, suprasti skirtingų metodų ir teorijų vienovę ir ryšį. Vienybė, kuri pasiekiama aksiomatiniu metodu, perkeltine N. Bourbaki išraiška, nėra ta vienybė, „kuri suteikia gyvybės neturintį skeletą. Tai maistingos, besivystančios kūno sultys, lankstus ir vaisingas tyrimo instrumentas...“ Aksiominio metodo dėka, ypač jo formalizuota forma, tampa įmanoma iki galo atskleisti įvairių teorijų loginę struktūrą. Tobuliausia forma tai taikoma matematinėms teorijoms. Gamtos mokslų žiniose turime apsiriboti pagrindinės teorijų šerdies aksiomatizavimu. Be to, aksiomatinio metodo naudojimas leidžia geriau kontroliuoti mūsų samprotavimo eigą, pasiekti reikiamą loginį griežtumą. Tačiau pagrindinė aksiomatizacijos vertė, ypač matematikoje, yra ta, kad ji veikia kaip naujų modelių tyrimo metodas, užmezgant ryšius tarp sąvokų ir teorijų, kurios anksčiau atrodė atskirtos viena nuo kitos.
Ribotas aksiomatinio metodo panaudojimas gamtos moksle pirmiausia paaiškinamas tuo, kad jo teorijos turi būti nuolat stebimos patirties.
Dėl šios priežasties gamtos mokslų teorija niekada nesiekia visiško užbaigtumo ir izoliacijos. Tuo tarpu matematikoje jie mieliau nagrinėja aksiomų sistemas, kurios tenkina išsamumo reikalavimą. Bet, kaip parodė K. Gödelis, bet kokia nuosekli nebanalios prigimties aksiomų sistema negali būti užbaigta.
Aksiomų sistemos nuoseklumo reikalavimas yra daug svarbesnis nei jų išsamumo reikalavimas. Jei aksiomų sistema yra prieštaringa, ji neturės jokios vertės žinioms. Apsiribojant nepilnomis sistemomis, galima aksiomatizuoti tik pagrindinį gamtos mokslų teorijų turinį, paliekant galimybę toliau plėtoti ir tobulinti teoriją eksperimentuojant. Netgi toks ribotas tikslas daugeliu atvejų pasirodo labai naudingas, pavyzdžiui, norint atrasti kai kurias numanomas teorijos prielaidas ir prielaidas, stebėti gautus rezultatus, sisteminti ir pan.
Perspektyviausias aksiomatinio metodo taikymas yra tuose moksluose, kuriuose vartojamos sąvokos turi didelį stabilumą ir kur galima abstrahuotis nuo jų kaitos ir raidos.
Būtent tokiomis sąlygomis tampa įmanoma nustatyti formalius-loginius ryšius tarp įvairių teorijos komponentų. Taigi aksiomatinis metodas labiau nei hipotetinis dedukcinis metodas yra pritaikytas jau paruoštų, pasiektų žinių tyrimui.
Žinių atsiradimo ir jų formavimo proceso analizė reikalauja atsigręžti į materialistinę dialektiką, kaip giliausią ir išsamiausią vystymosi doktriną.
Aksiomatinis metodas – matematinės teorijos konstravimo metodas, kai tam tikros nuostatos, kurios priimtos be įrodymų (aksiomos), naudojamos kaip pagrindas, o visos kitos iš jų išvedamos grynai loginiu būdu. Radikaliai pritaikius šį požiūrį, matematika redukuojama iki grynosios logikos, iš jos pašalinami tokie dalykai kaip intuicija, vaizdinės geometrinės vaizdinės, indukcinis samprotavimas ir pan. Išnyksta tai, kas yra matematinės kūrybos esmė. Kodėl tada buvo išrastas šis metodas? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime grįžti į matematikos pradžią.
1. Aksiomos: du supratimai
Kaip prisimename iš mokyklos, matematiniai įrodymai, aksiomos ir teoremos atsirado Senovės Graikijoje. Aksiomatinė geometrijos konstrukcija buvo kanonizuota knygoje, iš kurios daugelis kartų buvo mokoma matematikos – Euklido elementuose. Tačiau tais laikais aksiomos sąvoka buvo suprantama kitaip nei dabar. Iki šiol mokykliniuose vadovėliuose kartais rašoma, kad aksiomos yra akivaizdžios tiesos, priimtos be įrodymų. XIX amžiuje ši sąvoka labai pasikeitė, nes išnyko žodis „akivaizdus“. Aksiomos nebėra akivaizdžios, jos vis dar priimamos be įrodymų, tačiau iš esmės gali būti visiškai savavališki teiginiai. Už šio nedidelio, iš pirmo žvilgsnio, pokyčio slypi gana radikalus filosofinės pozicijos pasikeitimas – atsisakymas pripažinti vienintelę įmanomą matematinę tikrovę. Pagrindinį vaidmenį šiame pokytyje, be abejo, suvaidino neeuklido geometrijos atsiradimo istorija, kuri įvyko XIX amžiuje tokių mokslininkų, kaip N. I. Lobačevskio ir J. Bolyai, darbo dėka.
2. Lygiagrečių tiesių aksiomos uždavinys
Neeuklido geometrijos istorija prasidėjo nuo bandymų įrodyti vadinamąjį penktąjį Euklido postulatą – garsiąją paralelių aksiomą: per tašką, esantį už tiesės, galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną tiesę, lygiagrečią duotajai. Šis teiginys savo pobūdžiu pastebimai skyrėsi nuo kitų Euklido aksiomų. Daugeliui atrodė, kad tai turi būti įrodyta ne taip akivaizdu, kaip kitos aksiomos. Šie bandymai šimtmečius nebuvo sėkmingi; daugelis matematikų pasiūlė savo „sprendimus“, kuriuose kiti matematikai vėliau rado klaidų. (Dabar žinome, kad šie bandymai buvo akivaizdžiai pasmerkti nesėkmei; tai buvo vienas pirmųjų neįrodomų matematinių teiginių pavyzdžių).
3. Lobačevskio geometrija
Tik XIX amžiuje buvo suprasta, kad galbūt šis teiginys iš tikrųjų buvo neįrodomas ir kad egzistuoja kitokia geometrija, visiškai kitokia nei mūsų, kurioje ši aksioma buvo klaidinga. Ką padarė Lobačevskis? Jis darė tai, ką dažnai daro matematikai, bandydami įrodyti teiginį. Mėgstamiausia technika yra įrodymas prieštaravimu: tarkime, kad pateiktas teiginys yra klaidingas. Kas iš to seka? Norėdami įrodyti teoremą, matematikai bando išvesti prieštaravimą iš padarytos prielaidos. Tačiau šiuo atveju Lobačevskis iš padarytos prielaidos gavo vis daugiau naujų matematinių, geometrinių pasekmių, tačiau jos susidėliojo į labai gražią, viduje nuoseklią sistemą, kuri vis dėlto skyrėsi nuo mums įprastos euklido. Prieš jo akis atsivėrė naujas neeuklido geometrijos pasaulis, kitaip nei mums įprasta. Tai paskatino Lobačevskį suprasti, kad tokia geometrija yra įmanoma. Tuo pačiu metu paralelių aksioma Lobačevskio geometrijoje aiškiai prieštaravo mūsų kasdieninei geometrinei intuicijai: ji ne tik nebuvo intuityviai akivaizdi, bet ir klaidinga šios intuicijos požiūriu.
Tačiau viena yra įsivaizduoti, kad tai iš principo įmanoma, o kita – griežtai matematiškai įrodyti, kad tokia geometrijos aksiomų sistema yra nuosekli. Tai buvo pasiekta po kelių dešimtmečių kitų matematikų – Beltramio, Kleino ir Poincaré – darbuose, kurie pasiūlė neeuklido geometrijos aksiomų modelius įprastos euklido geometrijos rėmuose. Jie iš tikrųjų nustatė, kad Lobačevskio geometrijos nenuoseklumas lems mums žinomos euklido geometrijos nenuoseklumą. Taip pat yra priešingai, tai yra, logikos požiūriu, abi sistemos pasirodo visiškai lygios.
Tai pasakius, reikia padaryti vieną įspėjimą. Neeuklido geometrijos istoriją gerai iliustruoja kitas mokslo istorijoje ne kartą pastebėtas reiškinys. Kartais problemos sprendimas atsiranda ne po to, o prieš tai, kai pati problema gauna tikslią, visiems gerai suprantamą formuluotę. Taip buvo ir šiuo atveju: XIX amžiaus viduryje pilno elementariosios geometrijos aksiomų sąrašo dar nebuvo. Euklido elementai nebuvo pakankamai nuoseklūs įgyvendinant aksiomatinį metodą. Daugelis Euklido argumentų apeliavo į vizualinę intuiciją, jo aksiomų akivaizdžiai nepakako net prasmingai suformuluoti paralelinio postulato neįrodomumo problemą. Lobačevskis su Bolyai ir Beltrami su Kleinu ir Poincaré buvo panašioje padėtyje. Norint nustatyti neįrodomumo problemą tinkamu griežtumo lygiu, reikėjo sukurti visiškai naują matematinės logikos aparatą ir tą patį aksiomatinį metodą.
4. Aksiominio metodo sukūrimas
Situacija buvo suvokta išleidus D. Hilberto knygą „Geometrijos pagrindai“ jis pasiūlė aksiominio metodo koncepciją, nuo kurios pradėjome. Hilbertas suprato, kad norint suprasti geometrijos pagrindus, iš aksiomų reikia visiškai išbraukti viską, išskyrus logiką. Jis spalvingai išreiškė šią mintį taip: „Aksiomų ir teoremų pagrįstumas visiškai nesusvyruos, jei įprastus terminus „taškas, linija, plokštuma“ pakeisime kitais, taip pat sutartiniais: „kėdė, stalas, alaus bokalas“!
Būtent Hilbertas sukonstravo pirmąją nuoseklią ir pilną elementariosios geometrijos aksiomų sistemą, tai įvyko pačioje XIX amžiaus pabaigoje. Taigi aksiomatinis metodas iš tikrųjų buvo sukurtas siekiant įrodyti, kad neįmanoma įrodyti tam tikrų, šiuo atveju geometrinių, teiginių.
Hilbertas didžiavosi savo atradimu ir manė, kad šis metodas gali būti taikomas visai matematikai: ne tik elementariai geometrijai, bet ir aritmetikai, analizei, aibių teorijai. Jis paskelbė „Hilberto programą“, kurios tikslas buvo sukurti aksiomų sistemas visoms matematikos dalims (ir net fizikos dalims), o vėliau ribotomis priemonėmis nustatyti matematikos nuoseklumą. Kai tik Hilbertas suvokė aksiominio metodo galimybes, atrodė, kad tokiai raidai atviras tiesioginis kelias. Hilbertas net ištarė garsią frazę 1930 m., kuri išvertus į rusų kalbą skamba taip: „Mes privalome žinoti ir žinosime“, o tai reiškia, kad viską, ką matematikai turėtų žinoti, jie anksčiau ar vėliau išmoks. Tačiau šis tikslas pasirodė nerealus, o tai paaiškėjo daug vėliau. Nuostabiausia yra tai, kad teorema, kuri veiksmingai paneigė šias viltis, Kurto Gödelio neužbaigtumo teorema, buvo paskelbta toje pačioje konferencijoje 1930 m., kurioje Hilbertas pasakė savo garsiąją kalbą, lygiai likus dienai iki šio įvykio.
5. Aksiominio metodo galimybės
Hilberto aksiominis metodas leidžia kurti matematines teorijas remiantis aiškiai apibrėžtais matematiniais teiginiais, iš kurių galima logiškai išvesti kitas. Hilbertas iš tikrųjų nuėjo toliau ir nusprendė, kad matematikos redukavimą į logiką galima tęsti. Toliau galite užduoti klausimą: „Ar įmanoma atsikratyti paaiškinimo, kas yra loginė operacija? Pati logika gali būti pašalinta iš aksiominio metodo. Nuo aksiomatinių teorijų pereiname prie formalių aksiomatinių teorijų – tai teorijos, parašytos simboline forma, o matematika virsta ne šiaip loginių išvadų seka, o tam tikru žaidimu, perrašant formalias išraiškas pagal tam tikras taisykles. Būtent šis žaidimas, kuris visiškai neturi prasmės, jei į jį žiūrite naiviai, pateikia tikslų matematinį modelį, kas yra „įrodymas“. Analizuojant šį žaidimą galima įrodyti, kad matematinės teoremos negali būti įrodytos. Bet svarbiausia: formalizuodami matematikai pirmą kartą sukūrė visiškai formalizuotas kalbas, dėl kurių buvo sukurtos programavimo kalbos ir duomenų bazių kalbos. Šiuolaikinė kompiuterinių technologijų raida galiausiai grindžiama atradimais, kurie buvo padaryti matematikos srityje XX amžiaus pradžioje.
6. Aksiominio metodo kritika
Daugelis matematikų kritikuoja aksiomatinį metodą dėl to, kam jis buvo sukurtas: jis atima prasmę iš matematikos. Nes pirmiausia matematiką atsikratome įvairių geometrinių sąvokų, intuicijos. Pereinant prie formalios aksiomatinės teorijos, mes apskritai išstumiame logiką iš matematikos. Ir dėl to iš esminio įrodymo lieka tik skeletas, susidedantis iš formalių simbolių. Pastarojo pranašumas yra būtent tai, kad mes nežinome, kas yra „prasmė“ ir „intuicija“, bet tiksliai žinome, kas yra manipuliacijos baigtinėmis simbolių eilutėmis. Tai leidžia mums sukurti tikslų matematinį sudėtingo reiškinio – įrodymų – modelį ir jį matematiškai analizuoti.
Matematinis įrodymas iš pradžių buvo psichologinis procesas, kurio metu pašnekovas įtikinamas konkretaus teiginio teisingumu. Formalioje sistemoje taip nėra: viskas buvo sumažinta iki grynai mechaninio proceso. Šį grynai mechaninį procesą galima atlikti kompiuteriu. Tačiau, kaip ir bet kuris modelis, mechaninis procesas perteikia tik kai kurias tikrų įrodymų ypatybes. Šis modelis turi savo taikymo ribas. Klaidinga manyti, kad formalūs įrodymai yra „tikrieji“ matematiniai įrodymai arba kad matematikai iš tikrųjų dirba tam tikrose formaliose sistemose.
Atskirai verta paminėti matematikos mokymą. Nieko nėra blogiau, kaip moksleivių ugdymą grįsti mechaninių veiksmų (algoritmų) atlikimu ar formalių loginių išvadų konstravimu. Taip galite sugadinti bet kokį kūrybinį pradą žmoguje. Atitinkamai, mokydami matematikos, neturėtumėte į tai žiūrėti iš griežto aksiominio metodo Hilberto prasme - ne tam jis buvo sukurtas.
Aksiomatinis metodas yra vienas iš dedukcinio mokslo teorijų konstravimo būdų, kai:
1. parenkamas tam tikras be įrodymų priimtų teorijos teiginių (aksiomų) rinkinys;
2. jose esančios sąvokos nėra aiškiai apibrėžtos šios teorijos rėmuose;
3. fiksuotos apibrėžimo ir pateiktos teorijos pasirinkimo taisyklės, leidžiančios į teoriją įvesti naujus terminus (sąvokas) ir logiškai išvesti vienus pasiūlymus iš kitų;
4. visi kiti šios teorijos teiginiai (teorema) išvedami iš 1 remiantis 3.
Matematikoje AM atsirado senovės graikų geometrų darbuose. Puikus, išlikęs vienintelis iki XIX a. AM naudojimo modelis buvo geometrinis. sistema, žinoma kaip Euklido „Pradžia“ (apie 300 m. pr. Kr.). Nors tuo metu loginės logikos apibūdinimo klausimas dar nebuvo iškilęs. Priemonės, naudojamos prasmingoms pasekmėms iš aksiomų išgauti, Euklido sistemoje idėja gauti visą pagrindinį geometrijos turinį jau gana aiškiai įgyvendinta. teorijos grynai dedukciniu metodu iš tam tikro, palyginti nedidelio skaičiaus teiginių – aksiomų, kurių tiesa atrodė aiškiai akivaizdi.
Atidarymas pradžioje 19-tas amžius Neeuklidinė N. I. Lobačevskio ir J. Bolyai geometrija buvo postūmis tolesnei AM raidai. Jie nustatė, kad, pakeitę įprastą ir, atrodo, vienintelį „objektyviai teisingą“ Euklido V postulatą apie paraleles su jo neigimu, Galite tobulėti grynai logiškai. pagal geometrinį teorija, tokia darni ir turtinga kaip Euklido geometrija. Šis faktas privertė matematikus XIX a. ypatingą dėmesį skirkite dedukciniam matematinio konstravimo metodui. teorijų, kurios lėmė naujų problemų, susijusių su pačia matematinės matematikos samprata, ir formaliosios (aksiomatinės) matematikos atsiradimą. teorijos. Kaip sukaupta aksiomatinė patirtis. matematikos pristatymas teorijos - čia visų pirma reikia pažymėti logiškai nepriekaištingos (priešingai nei Euklido elementai) elementariosios geometrijos konstrukcijos užbaigimą [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] ir pirmieji bandymai aksiomatizuoti aritmetiką (J. Peano), – buvo išaiškinta formaliosios aksiomatikos samprata. sistemos (žr. toliau); atsirado specifinis bruožas. problemų, kurių pagrindu buvo vadinami įrodymų teorija kaip pagrindinė šiuolaikinės matematikos dalis. logika.
Supratimas apie būtinybę pagrįsti matematiką ir specifinius šios srities uždavinius daugiau ar mažiau aiškia forma atsirado jau XIX a. Tuo pat metu, viena vertus, pagrindinių sąvokų išaiškinimą ir sudėtingesnių sąvokų redukavimą iki pačių paprasčiausių tiksliai ir logiškai vis griežčiau atliko Ch. arr. analizės srityje [A. Cauchy, funkcinės-teorinės B. Bolzano ir K. Weierstrass koncepcijos, G. Cantor ir R. Dedekind (R .Dedekind) kontinuumas]; kita vertus, neeuklido geometrijų atradimas paskatino matematinės matematikos raidą, naujų idėjų atsiradimą ir bendresnės metamatematikos problemų formulavimą. pobūdis, visų pirma, problemos, susijusios su savavališko aksiomatikos sąvoka. teorijos, tokios kaip tam tikros aksiomų sistemos nuoseklumo, išsamumo ir nepriklausomumo problemos. Pirmuosius rezultatus šioje srityje atnešė interpretacijos metodas, kurį apytiksliai galima apibūdinti taip. Tegul kiekviena pradinė tam tikros sąvokos ir santykio sąvoka yra aksiomatinė. teorija T sutampa su tam tikra konkrečia matematine teorija. objektas. Tokių objektų kolekcija vadinama. interpretavimo laukas. Kiekvienas teorijos T teiginys dabar natūraliai siejamas su tam tikru teiginiu apie interpretacijos lauko elementus, kurie gali būti teisingi arba klaidingi. Tada pagal šį aiškinimą sakoma, kad teorijos T teiginys yra teisingas arba klaidingas. Pats aiškinimo laukas ir jos savybės dažniausiai yra matematinės teorijos, apskritai kitos, matematinės, svarstymo objektas. Konkrečiai teorija T 1 taip pat gali būti aksiominė. Aiškinimo metodas leidžia mums nustatyti santykinio nuoseklumo faktą tokiu būdu, tai yra įrodyti tokius teiginius kaip: „jei teorija T 1 yra nuosekli, tai teorija T taip pat yra nuosekli“. Teorija T teorijoje T 1 aiškinama taip, kad visos teorijos T aksiomos būtų aiškinamos teisingais teorijos T 1 sprendimais. Tada kiekviena teorijos T teorema, ty kiekvienas teiginys A, logiškai išvestas iš T aksiomų, yra interpretuojamas T 1 tam tikru teiginiu, išvestu iš T 1 iš aksiomų interpretacijų A i, ir todėl tiesa. Paskutinis teiginys grindžiamas kita prielaida, kurią netiesiogiai darome dėl tam tikro loginio panašumo. teorijų T ir T 1 vidurkiai, tačiau praktiškai ši sąlyga dažniausiai tenkinama. (Aiškinimo metodo taikymo pradžioje apie šią prielaidą net nebuvo specialiai galvojama: ji buvo savaime suprantama; iš tikrųjų pirmųjų eksperimentų atveju teoremų įrodymai apie santykinį loginio nuoseklumą teorijų priemonės T ir T 1 tiesiog sutapo – tai buvo klasikinė predikatų logika ) Dabar tegul teorija T yra prieštaringa, tai yra, joje galima išvesti tam tikrą šios teorijos teiginį su jos neigimu. Tada iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad teiginiai ir tuo pat metu bus tikri teorijos T 1 teiginiai, t.y., kad teorija T 1 yra prieštaringa. Šis metodas, pavyzdžiui, buvo įrodytas [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] neeuklido Lobačevskio geometrijos nuoseklumas, darant prielaidą, kad euklido geometrija yra nuosekli; o Euklido geometrijos Hilberto aksiomatizacijos nuoseklumo klausimas buvo redukuotas (D. Hilbertas) iki aritmetikos nuoseklumo problemos. Aiškinimo metodas leidžia išspręsti ir aksiomų sistemų nepriklausomumo klausimą: įrodyti, kad Ateorijos T aksioma nepriklauso nuo kitų šios teorijos aksiomų, tai yra, iš jų neišvedama, ir todėl būtina norint gauti visą šios teorijos apimtį, pakanka sukurti tokią teorijos T interpretaciją, kurioje Abilo aksioma būtų klaidinga, o visos kitos šios teorijos aksiomos būtų teisingos. Kita šio nepriklausomumo įrodinėjimo būdo forma yra teorijos nuoseklumo nustatymas, kuris gaunamas, jei tam tikroje teorijoje TaksiomaA pakeičiama jos neigimu. Minėtas Lobačevskio geometrijos nuoseklumo problemos redukavimas į Euklido geometrijos nuoseklumo problemą, o pastarasis - į aritmetikos nuoseklumo klausimą, išplaukia iš teiginio, kad Euklido postulatas nėra išvedamas iš kitos geometrijos aksiomos, nebent natūraliųjų skaičių aritmetika yra nuosekli. Aiškinimo metodo silpnybė yra ta, kad aksiomų sistemų nuoseklumo ir nepriklausomumo klausimais jis leidžia gauti rezultatus, kurie neišvengiamai yra tik santykinio pobūdžio. Tačiau svarbus šio metodo pasiekimas buvo tai, kad jo pagalba gana tiksliai buvo atskleistas ypatingas aritmetikos, kaip tokio matematinio mokslo, vaidmuo. teorijų, panašus klausimas daugeliui kitų teorijų redukuojamas iki nuoseklumo klausimo.
A. m. toliau vystėsi – ir tam tikra prasme tai buvo viršūnė – D. Hilberto ir jo mokyklos kūryboje vadinamosios formos. metodas formalizmas matematikos pagrinduose. Šios krypties rėmuose buvo sukurtas kitas aksiomatikos sampratos išaiškinimo etapas. teorijos, būtent koncepcija formali sistema. Dėl šio patikslinimo atsirado galimybė pavaizduoti pačius matematinius. teorijas kaip tikslią matematinę objektus ir sukurti bendrą teoriją, arba metateorija, tokios teorijos. Kartu atrodė viliojanti (o D. Hilbertas vienu metu tuo žavėjosi) perspektyva šiuo keliu išspręsti visus pagrindinius matematikos pagrindų klausimus. Pagrindinė šios krypties samprata yra formalios sistemos samprata. Bet kuri formali sistema yra konstruojama kaip tiksliai apibrėžta išraiškų klasė – formulės, kuriose tam tikru tiksliai išskiriamas formulių poklasis, vadinamas formulėmis. šios formalios sistemos teoremos. Tuo pačiu metu formalios sistemos formulės neturi tiesioginės prasmės ir gali būti sudarytos iš savavališkų, paprastai tariant, ikonų ar elementarių simbolių, vadovaujantis tik techninio patogumo sumetimais. Tiesą sakant, formulių sudarymo metodas ir konkrečios formalios sistemos teoremos samprata parenkami taip, kad visą šį formalųjį aparatą būtų galima panaudoti tam tikram matematiniam (ir ne matematiniam). ) teorija, tiksliau, kaip jos faktinė turinys ir jo dedukcinė struktūra. Bendra savavališkos formalios sistemos S konstravimo (nurodymo) schema yra tokia.
I. Sistemos S kalba:
a) abėcėlė - elementarių sistemos simbolių sąrašas;
b) formavimo taisyklės (sintaksė) - taisyklės, pagal kurias iš elementariųjų simbolių sudaromos sistemos S formulės, tokiu atveju elementariųjų simbolių seka laikoma formule tada ir tik tada, kai ją galima sukonstruoti naudojant formavimo taisykles; .
II. Sistemos aksiomos S. Nustatoma tam tikra formulių rinkinys (dažniausiai baigtinis arba suskaičiuojamas), kurios vadinamos. sistemos aksiomos S.
III. Sistemos pašalinimo taisyklės S. Predikatų rinkinys (dažniausiai baigtinis) yra fiksuotas visų sistemos formulių aibėje S. Tegul - k.-l. iš šių predikatų, jei teiginys yra teisingas šioms formulėms, tada jie sako, kad formulė tiesiogiai išplaukia iš formulių pagal taisyklę
7. Tikimybių teorija:
Tikimybių teorija - matematikos mokslas, tiriantis atsitiktinių reiškinių modelius. Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra sąvoka atsitiktinis įvykis (arba tiesiog įvykius ).
Renginys yra bet koks faktas, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl patirties. Atsitiktinių įvykių pavyzdžiai: šešetas iškritęs metant kauliuką, techninio įrenginio gedimas, pranešimo iškraipymas jį perduodant ryšio kanalu. Kai kurie įvykiai yra susiję su numeriai , apibūdinantis šių įvykių objektyvios tikimybės laipsnį, vadinamas įvykių tikimybės .
Yra keletas požiūrių į „tikimybės“ sąvoką.
Šiuolaikinė tikimybių teorijos konstrukcija remiasi aksiominis požiūris ir remiasi elementariomis aibių teorijos sampratomis. Šis metodas vadinamas aibės teoretiniu.
Tegul koks nors eksperimentas bus atliktas su atsitiktiniu rezultatu. Apsvarstykite visų galimų eksperimento rezultatų aibę W; vadinsime kiekvieną jos elementą elementarus įvykis o aibė Ω yra elementarių įvykių erdvė. Bet koks įvykis A aibės teoriniame aiškinime yra tam tikras aibės Ω poaibis: .
Patikimas vadinamas įvykiu W, kuris įvyksta kiekviename eksperimente.
Neįmanomas vadinamas įvykiu Æ, kuris negali įvykti dėl eksperimento.
Nesuderinamas yra įvykiai, kurie negali vykti vienu metu toje pačioje patirtyje.
Suma(dviejų įvykių derinys). A Ir B(žymimas A+B, AÈ B) yra įvykis, susidedantis iš to, kad įvyksta bent vienas iš įvykių, t.y. A arba B, arba abu vienu metu.
Darbas dviejų įvykių (sankirtos). A Ir B(žymimas A× B, AÇ B) yra įvykis, kai įvyksta abu įvykiai A Ir B kartu.
Priešingasį renginį A toks įvykis vadinamas, tai yra tas įvykis A nevyksta.
Renginiai A k(k=1, 2, …, n) forma pilna grupė , jei jie yra nesuderinami poromis ir iš viso sudaro patikimą įvykį.
Įvykio tikimybėA jie vadina šiam įvykiui palankių baigčių skaičiaus santykį su visų vienodai galimų nesuderinamų elementarių baigčių, sudarančių visą grupę, skaičiumi. Taigi įvykio A tikimybė nustatoma pagal formulę
čia m yra A palankių elementarių rezultatų skaičius; n yra visų galimų elementarių testų rezultatų skaičius.
Čia daroma prielaida, kad elementarūs rezultatai yra nesuderinami, vienodai galimi ir sudaro pilną grupę. Šios savybės išplaukia iš tikimybės apibrėžimo:
Jo paties straipsnis 1. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui. Iš tiesų, jei įvykis yra patikimas, tada kiekvienas elementarus testo rezultatas yra palankus įvykiui. Šiuo atveju m = n, todėl
P (A) = m / n = n / n = 1.
S maždaug su t maždaug 2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Iš tiesų, jei įvykis neįmanomas, tada nė vienas iš elementarių testo rezultatų nėra palankus įvykiui. Šiuo atveju m = 0, todėl
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
Su maždaug su t maždaug 3. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo nulio iki vieneto Iš tiesų, atsitiktinis įvykis yra palankus tik daliai visų pagrindinių testo rezultatų. Šiuo atveju 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 <Р (А) < 1
Taigi, bet kokio įvykio tikimybė tenkina dvigubą nelygybę
Aksiominis matematikos mokslinės teorijos konstravimo metodas
Aksiomatinis metodas atsirado Senovės Graikijoje, o dabar naudojamas visuose teoriniuose moksluose, pirmiausia matematikoje.
Aksiominis mokslinės teorijos konstravimo metodas yra toks: nustatomos pagrindinės sąvokos, formuluojamos teorijos aksiomos, o visi kiti teiginiai išvedami logiškai, remiantis jomis.
Pagrindinės sąvokos išryškintos taip. Yra žinoma, kad viena sąvoka turi būti paaiškinta kitų, kurios, savo ruožtu, taip pat apibrėžiamos kai kurių gerai žinomų sąvokų pagalba. Taip pasiekiame elementarias sąvokas, kurių negalima apibrėžti per kitas. Šios sąvokos vadinamos pagrindinėmis.
Kai įrodome teiginį, teoremą, remiamės prielaidomis, kurios laikomos jau įrodytomis. Tačiau šios prielaidos taip pat turėjo būti pagrįstos. Galų gale mes prieiname prie neįrodomų teiginių ir priimame juos be įrodymų. Šie teiginiai vadinami aksiomomis. Aksiomų aibė turi būti tokia, kad ja remiantis būtų galima įrodyti tolesnius teiginius.
Nustačius pagrindines sąvokas ir suformulavus aksiomas, loginiu būdu išvedame teoremas ir kitas sąvokas. Tai yra loginė geometrijos struktūra. Aksiomos ir pagrindinės sąvokos sudaro planimetrijos pagrindus.
Kadangi neįmanoma pateikti vieno visų geometrijų pagrindinių sąvokų apibrėžimo, pagrindinės geometrijos sąvokos turėtų būti apibrėžtos kaip bet kokio pobūdžio objektai, atitinkantys šios geometrijos aksiomas. Taigi, geometrinės sistemos aksiomatiškai konstruodami pradedame nuo tam tikros aksiomų sistemos arba aksiomatikos. Šios aksiomos apibūdina pagrindinių geometrinės sistemos sąvokų savybes, o pagrindines sąvokas galime pavaizduoti bet kokios prigimties objektų, turinčių aksiomose nurodytas savybes, pavidalu.
Suformulavus ir įrodžius pirmuosius geometrinius teiginius, atsiranda galimybė vienus teiginius (teoremas) įrodyti kitų pagalba. Daugelio teoremų įrodymai priskiriami Pitagorui ir Demokritui.
Hipokratui iš Chijo priskiriamas pirmasis sisteminis geometrijos kursas, pagrįstas apibrėžimais ir aksiomomis. Šis kursas ir vėlesni jo gydymo būdai buvo vadinami „Elementais“.
Tada, III a. Kr., Aleksandrijoje pasirodė Euklido knyga tuo pačiu pavadinimu, rusų kalba „Pradžia“. Terminas „elementarioji geometrija“ kilęs iš lotyniško pavadinimo „Pradžia“. Nepaisant to, kad Euklido pirmtakų darbai mūsų nepasiekė, remdamiesi Euklido elementais galime susidaryti nuomonę apie šiuos kūrinius. „Principuose“ yra skyrelių, kurios logiškai labai mažai susietos su kitais skyriais. Jų atsiradimą galima paaiškinti tik tuo, kad jie buvo pristatyti pagal tradiciją ir kopijuoja Euklido pirmtakų „elementus“.
Euklido elementai susideda iš 13 knygų. 1–6 knygos yra skirtos planimetrijai, 7–10 knygos yra apie aritmetinius ir nesuderinamus dydžius, kuriuos galima sukurti naudojant kompasą ir liniuotę. 11–13 knygos buvo skirtos stereometrijai.
Principia prasideda 23 apibrėžimų ir 10 aksiomų pristatymu. Pirmosios penkios aksiomos yra „bendrosios sąvokos“, likusios vadinamos „postulatais“. Pirmieji du postulatai nustato veiksmus naudojant idealią liniuotę, trečiasis - naudojant idealų kompasą. Ketvirtasis „visi stačiakampiai yra lygūs vienas kitam“ yra nereikalingas, nes jį galima išvesti iš likusių aksiomų. Paskutinis, penktasis postulatas skelbė: „Jei tiesė nukrenta ant dviejų tiesių ir sudaro vidinius vienpusius kampus, kurių suma yra mažesnė nei dvi tiesės, tada, neribotai pratęsus šias dvi tieses, jos susikirs pusė, kurioje kampai yra mažesni už dvi tiesias linijas.
Penkios Euklido „bendrosios sąvokos“ yra ilgių, kampų, plotų, tūrių matavimo principai: „lygūs vienodai yra lygūs vienas kitam“, „jei lygūs pridedami prie lygių, sumos yra lygios“, „jei lygūs yra atėmus iš lygiųjų, likučiai yra lygūs tarpusavyje“, „sujungtos viena su kita“, „visa didesnė už dalį“.
Tada prasidėjo Euklido geometrijos kritika. Euklidas buvo kritikuojamas dėl trijų priežasčių: nes jis svarstė tik tuos geometrinius dydžius, kuriuos galima sukonstruoti naudojant kompasą ir liniuotę; už tai, kad jis atskyrė geometriją ir aritmetiką ir įrodė sveikiesiems skaičiams tai, ką jau buvo įrodęs geometriniams dydžiams, ir galiausiai Euklido aksiomas. Labiausiai kritikuojamas buvo penktasis, sudėtingiausias Euklido postulatas. Daugelis manė, kad tai nereikalinga ir kad jį galima ir reikia išvesti iš kitų aksiomų. Kiti manė, kad jį reikėtų pakeisti paprastesniu ir akivaizdesniu, lygiaverčiu: „Per tašką, esantį už linijos, jų plokštumoje galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną tiesę, kuri nekerta duotosios linijos“.
Atotrūkio tarp geometrijos ir aritmetikos kritika paskatino skaičiaus sąvokos išplėtimą iki realaus skaičiaus. Ginčai dėl penktojo postulato privedė prie to, kad XIX amžiaus pradžioje N.I. Lobačevskis, J. Bolyai ir K.F. Gaussas sukūrė naują geometriją, kurioje buvo įvykdytos visos Euklido geometrijos aksiomos, išskyrus penktąjį postulatą. Jis buvo pakeistas priešingu teiginiu: „Plokštumoje per tašką, esantį už linijos, galima nubrėžti daugiau nei vieną tiesę, kuri nekerta duotosios. Ši geometrija buvo tokia pat nuosekli, kaip ir Euklido geometrija.
Lobačevskio planimetrijos modelį Euklido plokštumoje sukonstravo prancūzų matematikas Henri Poincaré 1882 m.
Euklidinėje plokštumoje nubrėžkime horizontalią liniją (žr. 1 pav.). Ši linija vadinama absoliučia (x). Euklido plokštumos taškai, esantys virš absoliuto, yra Lobačevskio plokštumos taškai. Lobačevskio lėktuvas yra atvira pusiau plokštuma, esanti virš absoliuto. Neeuklido atkarpos Puankarės modelyje yra apskritimų lankai, kurių centras yra absoliutus, arba tiesių linijų, statmenų absoliučiui, atkarpos (AB, CD). Figūra Lobačevskio plokštumoje yra atviros pusės plokštumos, esančios virš absoliutaus (F), figūra. Neeuklidinis judėjimas yra baigtinio skaičiaus inversijų, kurių centras yra absoliučios ir ašinės simetrijos, kurių ašys yra statmenos absoliučiui, kompozicija. Du neeuklidiniai segmentai yra lygūs, jei vienas iš jų gali būti perkeltas į kitą neeuklido judesiu. Tai yra pagrindinės Lobačevskio planimetrijos aksiomatikos sąvokos.
Visos Lobačevskio planimetrijos aksiomos yra nuoseklios. Tiesios linijos apibrėžimas yra toks: „Ne euklido tiesi linija yra puslankis, kurio galai yra absoliutyje, arba spindulys, kurio pradžia yra absoliutu ir statmena absoliutui“. Taigi Lobačevskio lygiagretumo aksiomos teiginys tenkinamas ne tik kai kuriai tiesei a ir taškui A, negulnčiai ant šios tiesės, bet ir bet kuriai tiesei a bei bet kuriam joje negulančiai taškui A (žr. 2 pav.).
Po Lobačevskio geometrijos atsirado kitos nuoseklios geometrijos: projekcinė geometrija atsiskyrė nuo euklido, atsirado daugiamatė euklido geometrija, atsirado Riemano geometrija (bendroji erdvių teorija su savavališku ilgių matavimo dėsniu) ir tt Iš mokslo apie figūras vienoje trimatėje Euklido erdvė, geometrija 40 - 50 metų virto įvairių teorijų rinkiniu, tik kažkuo panašiu į savo protėvį – euklido geometriją. 60 896.
