Tarp įvairių algebroje nagrinėjamų išraiškų svarbią vietą užima monomijų sumos. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Vienanarių suma vadinama daugianario. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Monomai taip pat priskiriami daugianariams, nes mononomas yra daugianomas, susidedantis iš vieno nario.
Pavyzdžiui, daugianario
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
galima supaprastinti.
Visus terminus pateiksime standartinės formos monomijų forma:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Pateikiame panašius terminus gautame polinome:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.
Už daugianario laipsnis standartinės formos turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi dvinaris \(12a^2b - 7b\) turi trečiąjį laipsnį, o trinaris \(2b^2 -7b + 6\) – antrąjį.
Paprastai standartinės formos polinomų, turinčių vieną kintamąjį, terminai yra išdėstyti mažėjančia laipsnio tvarka. Pavyzdžiui:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.
Kartais daugianario terminus reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi skliausteliuose yra atvirkštinė atidarymo skliaustų transformacija, ją lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „+“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi priešingais ženklais.
Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Naudodami daugybos skirstomąją savybę, galite paversti (supaprastinti) vienanario ir daugianario sandaugą į daugianarį. Pavyzdžiui:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \ctaškas 7a^2 + 9a^2b \ctaškas (-5ab) + 9a^2b \ctaškas (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Vienanario ir daugianario sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.
Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.
Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti tą vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.
Šią taisyklę jau kelis kartus naudojome padaugindami iš sumos.
Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Apskritai dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianalio sandaugos sumai.
Paprastai naudojama ši taisyklė.
Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautas sandaugas.
Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos kvadratai, kvadratų skirtumai ir skirtumas
Su kai kuriomis algebrinių transformacijų išraiškomis tenka susidurti dažniau nei su kitomis. Bene dažniausios išraiškos yra \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ir \(a^2 - b^2 \), t.y. sumos kvadratas, kvadratas kvadratų skirtumas ir skirtumas. Pastebėjote, kad šių posakių pavadinimai atrodo neišsamūs, pavyzdžiui, \((a + b)^2 \), žinoma, yra ne tik sumos kvadratas, bet ir a ir b sumos kvadratas. . Tačiau a ir b sumos kvadratas dažniausiai pasitaiko nedažnai, vietoj raidžių a ir b jame yra įvairių, kartais gana sudėtingų išraiškų.
Išraiškos \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) gali būti lengvai konvertuojamos (supaprastintos) į standartinės formos polinomus :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Naudinga atsiminti gautas tapatybes ir jas taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - sumos kvadratas yra lygus kvadratų ir dvigubos sandaugos sumai.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - skirtumo kvadratas yra lygus kvadratų sumai be dvigubos sandaugos.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.
Šios trys tapatybės leidžia transformuojant kairiąsias dalis pakeisti dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kaip jose pakeičiami kintamieji a ir b. Pažvelkime į kelis sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžius.
Skaitinės ir algebrinės išraiškos. Išraiškų konvertavimas.
Kas yra išraiška matematikoje? Kodėl mums reikia išraiškų konvertavimo?
Klausimas, kaip sakoma, įdomus... Faktas yra tas, kad šios sąvokos yra visos matematikos pagrindas. Visa matematika susideda iš išraiškų ir jų transformacijų. Nelabai aišku? Leisk man paaiškinti.
Tarkime, kad priešais jus yra blogas pavyzdys. Labai didelis ir labai sudėtingas. Tarkime, kad tau sekasi matematika ir nieko nebijai! Ar galite iš karto atsakyti?
Turėsite nuspręstišis pavyzdys. Nuosekliai, žingsnis po žingsnio, šis pavyzdys supaprastinti. Žinoma, pagal tam tikras taisykles. Tie. daryti išraiškos konvertavimas. Kuo sėkmingiau atliekate šias transformacijas, tuo stipresnis esate matematikoje. Jei nežinote, kaip atlikti tinkamas transformacijas, negalėsite jų atlikti matematikoje. Nieko...
Norint išvengti tokios nepatogios ateities (ar dabarties...), nepakenks suprasti šią temą.)
Pirma, išsiaiškinkime kas yra išraiška matematikoje. Kas atsitiko skaitinė išraiška ir kas yra algebrinė išraiška.
Kas yra išraiška matematikoje?
Išraiška matematikoje– tai labai plati sąvoka. Beveik viskas, su kuo susiduriame matematikoje, yra matematinių išraiškų rinkinys. Bet kokie pavyzdžiai, formulės, trupmenos, lygtys ir panašiai – visa tai susideda iš matematines išraiškas.
3+2 yra matematinė išraiška. c 2 - d 2- tai irgi matematinė išraiška. Tiek sveikoji trupmena, tiek net vienas skaičius yra matematinės išraiškos. Pavyzdžiui, lygtis yra tokia:
5x + 2 = 12
susideda iš dviejų matematinių išraiškų, sujungtų lygybės ženklu. Viena išraiška yra kairėje, kita - dešinėje.
Apskritai terminas " matematinė išraiška"naudojamas, dažniausiai, kad būtų išvengta maudymosi. Jie jūsų paklaus, kas yra, pavyzdžiui, paprastoji trupmena? O kaip atsakyti?!
Pirmas atsakymas: „Tai... mmmmmm... toks dalykas... kuriame... Ar galiu trupmena geriau parašyti? Kurio tu nori?"
Antrasis atsakymas: „Įprasta trupmena yra (linksmai ir džiaugsmingai!) matematinė išraiška , kurį sudaro skaitiklis ir vardiklis!
Antrasis variantas bus kažkaip įspūdingesnis, tiesa?)
Tai yra frazės " matematinė išraiška "labai geras. Ir teisingas, ir tvirtas. Bet norint naudoti praktiškai, reikia gerai suprasti specifiniai raiškos tipai matematikoje .
Konkretus tipas yra kitas dalykas. Tai Tai visiškai kitas reikalas! Kiekvienas matematinės išraiškos tipas turi mano taisyklių ir metodų rinkinys, kuris turi būti naudojamas priimant sprendimą. Darbui su trupmenomis – vienas rinkinys. Darbui su trigonometrinėmis išraiškomis – antrasis. Darbui su logaritmais – trečiasis. Ir taip toliau. Kai kur šios taisyklės sutampa, kai kur smarkiai skiriasi. Tačiau nebijokite šių baisių žodžių. Atitinkamuose skyriuose įvaldysime logaritmus, trigonometriją ir kitus paslaptingus dalykus.
Čia įvaldysime (arba – pakartosime, priklausomai nuo to, kas...) du pagrindinius matematinių išraiškų tipus. Skaitinės išraiškos ir algebrinės išraiškos.
Skaitmeninės išraiškos.
Kas atsitiko skaitinė išraiška? Tai labai paprasta koncepcija. Pats pavadinimas sufleruoja, kad tai išraiška su skaičiais. Taip, taip yra. Matematinė išraiška, sudaryta iš skaičių, skliaustų ir aritmetinių simbolių, vadinama skaitine išraiška.
7-3 yra skaitinė išraiška.
(8+3.2) 5.4 taip pat yra skaitinė išraiška.
Ir šis monstras:
taip pat skaitinė išraiška, taip...
Paprastas skaičius, trupmena, bet koks skaičiavimo pavyzdys be X ir kitų raidžių – visa tai yra skaitinės išraiškos.
Pagrindinis ženklas skaitinis išraiškos – joje jokių laiškų. Nėra. Tik skaičiai ir matematiniai simboliai (jei reikia). Tai paprasta, tiesa?
O ką jūs galite padaryti su skaitinėmis išraiškomis? Skaitmenines išraiškas paprastai galima suskaičiuoti. Norint tai padaryti, pasitaiko, kad tenka atversti skliaustus, keisti ženklus, trumpinti, sukeisti terminus – t.y. daryti išraiškos konversijos. Bet daugiau apie tai žemiau.
Čia mes nagrinėsime tokį juokingą atvejį, kai su skaitine išraiška tau nieko nereikia daryti. Na, visai nieko! Ši maloni operacija - nieko nedaryti)- vykdomas, kai išraiška neturi prasmės.
Kada skaitinė išraiška neturi prasmės?
Aišku, kad jei prieš save matome kažkokią abrakadabrą, pvz
tada nieko nedarysim. Nes neaišku, ką su tuo daryti. Kažkokia nesąmonė. Gal suskaičiuok pliusų skaičių...
Tačiau išoriškai yra gana padorių posakių. Pavyzdžiui tai:
(2+3) : (16–2 8)
Tačiau ši išraiška taip pat neturi prasmės! Dėl paprastos priežasties, kad antruose skliaustuose - jei skaičiuojate - gausite nulį. Bet jūs negalite dalyti iš nulio! Tai yra draudžiamas matematikos veiksmas. Todėl ir su šia išraiška nieko daryti nereikia. Į bet kurią užduotį su tokia išraiška atsakymas visada bus tas pats: "Posakis neturi prasmės!"
Norint pateikti tokį atsakymą, žinoma, turėjau paskaičiuoti, kas bus skliausteliuose. Ir kartais skliausteliuose yra daug dalykų... Na, nieko nepadarysi.
Matematikoje nėra tiek daug draudžiamų operacijų. Šioje temoje yra tik vienas. Padalijimas iš nulio. Papildomi apribojimai, atsirandantys šaknyse ir logaritmuose, aptariami atitinkamose temose.
Taigi, idėja, kas tai yra skaitinė išraiška- gavo. Koncepcija skaitinė išraiška neturi prasmės- suprato. Eikime toliau.
Algebrinės išraiškos.
Jei skaitinėje išraiškoje atsiranda raidžių, ši išraiška tampa... Išraiška tampa... Taip! Tai tampa algebrinė išraiška. Pavyzdžiui:
5a 2; 3x-2m; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Tokios išraiškos taip pat vadinamos pažodiniai posakiai. Arba išraiškos su kintamaisiais. Tai praktiškai tas pats. Išraiška 5a +c, pavyzdžiui, pažodinis ir algebrinis, ir išraiška su kintamaisiais.
Koncepcija algebrinė išraiška - platesnis nei skaitinis. Tai apima ir visos skaitinės išraiškos. Tie. skaitinė išraiška taip pat yra algebrinė išraiška, tik be raidžių. Kiekviena silkė yra žuvis, bet ne kiekviena žuvis yra silkė...)
Kodėl abėcėlinis– Tai aišku. Na, kadangi yra raidžių... Frazė išraiška su kintamaisiais Tai taip pat nėra labai mįslinga. Jei suprantate, kad skaičiai paslėpti po raidėmis. Po raidėmis galima paslėpti visokius skaičius... Ir 5, ir -18, ir ką tik nori. Tai yra, laiškas gali būti pakeistiį skirtingus skaičius. Todėl ir vadinamos raidės kintamieji.
Išraiškoje y+5, Pavyzdžiui, adresu- kintamoji vertė. Arba jie tiesiog sako " kintamasis", be žodžio „didumas“. Skirtingai nuo penkių, kurie yra pastovi vertė. Arba tiesiog - pastovus.
Terminas algebrinė išraiška reiškia, kad norint dirbti su šia išraiška reikia naudoti įstatymus ir taisykles algebra. Jeigu aritmetika veikia su konkrečiais skaičiais algebra- su visais numeriais iš karto. Paprastas pavyzdys paaiškinimui.
Aritmetikoje galime tai parašyti
Bet jei tokią lygybę užrašysime algebrinėmis išraiškomis:
a + b = b + a
tuoj nuspręsime Visi klausimus. Už visi skaičiai vienu ypu. Už viską, kas begalinė. Nes po raidėmis A Ir b numanoma Visi numeriai. Ir ne tik skaičiai, bet net kitos matematinės išraiškos. Taip veikia algebra.
Kada algebrinė išraiška neturi prasmės?
Viskas apie skaitinę išraišką yra aišku. Čia negalima dalyti iš nulio. O su raidėmis galima sužinoti iš ko mes skirstome?!
Paimkime, pavyzdžiui, šią išraišką su kintamaisiais:
2: (A - 5)
Ar tai prasminga? Kas žino? A- bet koks skaičius...
Bet koks, bet koks... Bet yra viena prasmė A, kuriam ši išraiška tiksliai nėra prasmės! Ir koks čia skaičius? Taip! Tai yra 5! Jei kintamasis A pakeiskite (sakoma „pakeitimas“) skaičiumi 5, skliausteliuose gausite nulį. Kurių negalima padalinti. Taigi paaiškėja, kad mūsų išraiška neturi prasmės, Jei a = 5. Bet dėl kitų vertybių A ar tai prasminga? Ar galite pakeisti kitus skaičius?
Žinoma. Tokiais atvejais jie tiesiog sako, kad išraiška
2: (A - 5)
turi prasmę bet kokioms vertybėms A, išskyrus a = 5 .
Visas skaičių rinkinys, kuris Gali pakaitalai į tam tikrą išraišką vadinamas priimtinų verčių diapazonąši išraiška.
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo. Pažiūrėkime į išraišką su kintamaisiais ir išsiaiškinkime: kokia kintamojo reikšmė gaunama uždrausta operacija (dalyba iš nulio)?
Tada būtinai peržiūrėkite užduoties klausimą. Ko jie klausia?
neturi prasmės, mūsų uždrausta prasmė bus atsakymas.
Jei paklausite, kokia kintamojo reikšmė išraiška turi prasmę(pajuskite skirtumą!), atsakymas bus visi kiti skaičiai išskyrus tai, kas draudžiama.
Kodėl mums reikia posakio reikšmės? Jis yra, jo nėra... Koks skirtumas?! Esmė ta, kad ši sąvoka tampa labai svarbi vidurinėje mokykloje. Nepaprastai svarbu! Tai yra pagrindas tokioms tvirtoms sąvokoms kaip priimtinų reikšmių sritis arba funkcijos sritis. Be to jūs negalėsite išspręsti rimtų lygčių ar nelygybių. kaip tai.
Išraiškų konvertavimas. Tapatybės transformacijos.
Buvome supažindinti su skaitinėmis ir algebrinėmis išraiškomis. Supratome, ką reiškia frazė „išraiška neturi prasmės“. Dabar turime išsiaiškinti, kas tai yra posakių transformacija. Atsakymas paprastas, iki gėdos.) Tai bet koks veiksmas su išraiška. Tai viskas. Šiuos pokyčius darėte nuo pirmos klasės.
Paimkime šaunią skaitinę išraišką 3+5. Kaip jį galima konvertuoti? Taip, labai paprasta! Apskaičiuokite:
Šis skaičiavimas bus išraiškos transformacija. Tą pačią išraišką galite parašyti skirtingai:
Čia mes visiškai nieko neskaičiavome. Tiesiog užrašė išraišką kitokia forma. Tai taip pat bus išraiškos transformacija. Galite parašyti taip:
Ir tai taip pat yra išraiškos transformacija. Tokių transformacijų galite atlikti tiek, kiek norite.
Bet koks veiksmas dėl išraiškos bet koks jos užrašymas kita forma vadinamas išraiškos transformavimu. Ir viskas. Tai labai paprasta. Bet čia yra vienas dalykas labai svarbi taisyklė. Toks svarbus, kad jį galima drąsiai vadinti pagrindinė taisyklė visa matematika. Šios taisyklės pažeidimas neišvengiamai veda prie klaidų. Ar mes į tai įsitraukiame?)
Tarkime, mes netyčia pakeitėme savo išraišką taip:
Konversija? Žinoma. Išraišką parašėme kita forma, kas čia ne taip?
Taip nėra.) Esmė ta, kad transformacijos "atsitiktinai" visiškai nesidomi matematika.) Visa matematika remiasi transformacijomis, kurių išvaizda keičiasi, bet išraiškos esmė nesikeičia. Trys plius penki gali būti parašyti bet kokia forma, bet turi būti aštuoni.
Transformacijos, posakius, kurie nekeičia esmės yra vadinami identiški.
Būtent tapatybės transformacijos ir leiskite mums žingsnis po žingsnio sudėtingą pavyzdį paversti paprasta išraiška, išlaikant pavyzdžio esmė. Jei padarysime klaidą transformacijų grandinėje, padarysime NE identišką transformaciją, tada nuspręsime kitas pavyzdys. Su kitais atsakymais, kurie nesusiję su teisingais.)
Tai yra pagrindinė taisyklė sprendžiant bet kokius uždavinius: transformacijų tapatumo išlaikymas.
Aiškumo dėlei pateikiau pavyzdį su skaitine išraiška 3+5. Algebrinėse išraiškose tapatybės transformacijos pateikiamos formulėmis ir taisyklėmis. Tarkime, algebroje yra formulė:
a(b+c) = ab + ac
Tai reiškia, kad bet kuriame pavyzdyje galime vietoj išraiškos a(b+c) nedvejodami parašykite išraišką ab + ac. Ir atvirkščiai. Tai identiška transformacija. Matematika suteikia mums galimybę pasirinkti vieną iš šių dviejų išraiškų. O kurį rašyti, priklauso nuo konkretaus pavyzdžio.
Kitas pavyzdys. Viena iš svarbiausių ir būtiniausių transformacijų yra pagrindinė trupmenos savybė. Daugiau informacijos galite rasti nuorodoje, bet čia tik priminsiu taisyklę: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus arba išraiškos, kuri nėra lygi nuliui, trupmena nepasikeis.Čia yra tapatybės transformacijų naudojant šią nuosavybę pavyzdys:
Kaip tikriausiai atspėjote, šią grandinę galima tęsti neribotą laiką...) Labai svarbi savybė. Būtent tai leidžia paversti visus pavyzdinius monstrus baltais ir puriais.)
Yra daug formulių, apibrėžiančių vienodas transformacijas. Tačiau patys svarbiausi yra gana pagrįstas skaičius. Viena iš pagrindinių transformacijų yra faktorizacija. Jis naudojamas visoje matematikoje – nuo pradinių iki pažengusių. Pradėkime nuo jo. Kitoje pamokoje.)
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti vienodomis išraiškomis. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.
Pavyzdžiui, reiškinyje 3+x skaičius 3 gali būti pakeistas suma 1+2, todėl bus gauta išraiška (1+2)+x, kuri yra identiška pradinei išraiškai. Kitas pavyzdys: reiškinyje 1+a 5 laipsnį a 5 galima pakeisti identiškai lygiaverte sandauga, pavyzdžiui, formos a·a 4. Taip gausime išraišką 1+a·a 4 .
Ši transformacija neabejotinai yra dirbtinė ir dažniausiai yra pasirengimas kai kurioms tolimesnėms transformacijoms. Pavyzdžiui, sumoje 4 x 3 +2 x 2, atsižvelgiant į laipsnio savybes, terminas 4 x 3 gali būti pavaizduotas kaip sandauga 2 x 2 2 x. Po šios transformacijos pradinė išraiška bus 2 x 2 2 x+2 x 2. Akivaizdu, kad terminai gautoje sumoje turi bendrą koeficientą 2 x 2, todėl galime atlikti tokią transformaciją – skliaustą. Po jo prieiname prie išraiškos: 2 x 2 (2 x+1) .
To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas
Kita dirbtinė išraiškos transformacija yra to paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir vienalaikis atėmimas. Ši transformacija yra identiška, nes ji iš esmės prilygsta nulio pridėjimui, o pridedant nulį reikšmės nekeičiama.
Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime išraišką x 2 +2·x. Jei prie jo pridėsite vieną ir atimsite vieną, tai leis ateityje atlikti kitą identišką transformaciją - dvinario kvadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.
Nuorodos.
- Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.
Komutacinė sudėjimo savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos vertės. Bet kokiems skaičiams a ir b lygybė yra teisinga
Sudėties jungtinė savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga
Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandaugos vertė nekeičiama. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga
Kombinacinė daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.
Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga
Paskirstymo ypatybė: norėdami padauginti skaičių iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga
Iš komutacinės ir kombinacinės sudėties savybių išplaukia: bet kokia suma galite pertvarkyti terminus bet kokiu būdu ir savavališkai sujungti juos į grupes.
1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.
Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Iš daugybos komutacinių ir kombinacinių savybių išplaukia: bet kuriame sandaugoje galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.
2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8·0,25·64·0,5.
Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gauname:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Paskirstymo savybė taip pat teisinga, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.
Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga
a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.
Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą atimties skaičių:
Tai leidžia a-b formos skaitinę išraišką laikyti skaičių a ir -b suma, o formos a+b-c-d skaitine išraiška laikyti skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. tokioms sumoms galioja ir laikomos veiksmų savybės.
3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.
Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėjimo savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().
Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Tapatybės
Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.
Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.
Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.
Dabar panagrinėkime išraiškas 2x+y ir 2xy. Kai x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:
Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada
Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.
Lygybė 3(x+y)=x+3y, teisinga bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.
Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.
Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines operacijų su skaičiais savybes:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Identiškos išraiškų transformacijos
Vienos išraiškos pakeitimas kita identiškai lygiaverte išraiška vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.
Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.
Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę nurodytoms x, y, z reikšmėms, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Šį rezultatą galima gauti atlikus tik du veiksmus, jei naudojate išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška išraiška x(y-z).
Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurias identiškas transformacijas jau teko atlikti, pavyzdžiui, atvesti panašius terminus, atverti skliaustus. Prisiminkime šių transformacijų atlikimo taisykles:
norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;
jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;
Jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.
1 pavyzdys Panašius terminus pateiksime suma 5x+2x-3x.
Naudokime panašių terminų mažinimo taisyklę:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Ši transformacija pagrįsta daugybos paskirstymo savybe.
2 pavyzdys Atverkime 2a+(b-3c) išraiškos skliaustus.
Naudojant taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas pliuso ženklas:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Vykdoma transformacija grindžiama kombinacine pridėjimo savybe.
3 pavyzdys Atverkime išraiškos a-(4b-c) skliaustus.
Naudokime taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas minuso ženklas:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Atlikta transformacija remiasi daugybos paskirstymo savybe ir kombinacine sudėties savybe. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį terminą -(4b-c) šioje išraiškoje kaip sandaugą (-1) (4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Taikydami nurodytas veiksmų savybes, gauname:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
