Kuo skiriasi dešinysis gretasienis? Pasviręs gretasienis: savybės, formulės ir užduotys matematikos mokytojui

Arba (lygiavertiškai) daugiakampis, turintis šešis veidus ir kiekvienas iš jų - lygiagretainis.

Gretasienio tipai

Yra keletas gretasienių tipų:

• Stačiakampis yra gretasienis, kurio visi paviršiai yra stačiakampiai.
• Dešinysis gretasienis yra gretasienis su 4 šoniniais paviršiais, kurie yra stačiakampiai.
• Pasviręs gretasienis yra gretasienis, kurio šoniniai paviršiai nėra statmeni pagrindams.

Pagrindiniai elementai

Du gretasienio paviršiai, neturintys bendros briaunos, vadinami priešingais, o tie, kurie turi bendrą briauną, vadinami gretimais. Dvi gretasienio viršūnės, nepriklausančios tam pačiam veidui, vadinamos priešingomis. Atkarpa, jungianti priešingas viršūnes, vadinama gretasienio įstriža. Stačiakampio gretasienio trijų kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, ilgiai vadinami jo matmenimis.

Savybės

• Gretasienis yra simetriškas apie savo įstrižainės vidurį.
• Bet kuri atkarpa, kurios galai priklauso gretasienio paviršiui ir eina per jo įstrižainės vidurį, yra padalyta per pusę; visų pirma visos gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir yra perkirstos per pusę.
• Priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.
• Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai.

Pagrindinės formulės

Dešinysis gretasienis

Šoninio paviršiaus plotas S b =P o *h, kur P o – pagrindo perimetras, h – aukštis

Bendras paviršiaus plotas S p =S b +2S o, kur S o yra bazinis plotas

Apimtis V=S o *h

Stačiakampis gretasienis

Šoninio paviršiaus plotas S b =2c(a+b), kur a, b yra pagrindo kraštinės, c yra stačiakampio gretasienio šoninis kraštas

Bendras paviršiaus plotas S p = 2(ab+bc+ac)

Apimtis V=abc, kur a, b, c yra stačiakampio gretasienio matmenys.

Kubas

Paviršiaus plotas: $S=6a^2$
Apimtis: $V=a^3$, Kur $a$- kubo kraštas.

Bet koks gretasienis

Tūris ir santykiai pasvirusiame gretasienyje dažnai nustatomi naudojant vektorinę algebrą. Gretasienio tūris yra lygus trijų vektorių mišraus sandaugos absoliučiai vertei, kurią nustato trys gretasienio, išeinančio iš vienos viršūnės, kraštinės. Santykis tarp gretasienio kraštinių ilgių ir kampų tarp jų leidžia teigti, kad nurodytų trijų vektorių Gramo determinantas yra lygus jų mišraus sandaugos kvadratui: 215.

Matematinės analizės metu

Atliekant matematinę analizę pagal n matmenų stačiakampį $B$ suprasti daug dalykų $x\; =\; (x\_1,\backslash ltaškai,x\_n)$ malonus $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Paralleleppiped"

Pastabos

Nuorodos

Ištrauka, apibūdinanti lygiagretainį

Stačiakampis gretasienis

Stačiakampis gretasienis yra stačiakampis gretasienis, kurio visi paviršiai yra stačiakampiai.

Užtenka apsidairyti aplinkui, ir pamatysime, kad mus supantys objektai turi formą, panašią į gretasienį. Juos galima atskirti pagal spalvą, turi daug papildomų detalių, tačiau atsisakius šių subtilybių, tai galima sakyti, kad, pavyzdžiui, spintelė, dėžė ir pan., yra maždaug vienodos formos.

Beveik kiekvieną dieną susiduriame su stačiakampio gretasienio sąvoka! Apsidairykite ir pasakykite, kur matote stačiakampius gretasienius? Pažiūrėkite į knygą, ji lygiai tokios pat formos! Plyta, degtukų dėžutė, medžio luitas turi tokią pačią formą ir net šiuo metu esate stačiakampio gretasienio viduje, nes klasė yra ryškiausia šios geometrinės figūros interpretacija.

Pratimas: Kokius gretasienio pavyzdžius galite įvardyti?

Pažvelkime į stačiakampį atidžiau. Ir ką mes matome?

Pirma, matome, kad ši figūra sudaryta iš šešių stačiakampių, kurie yra stačiakampio formos paviršiai;

Antra, stačiakampis turi aštuonias viršūnes ir dvylika briaunų. Kuboido kraštai yra jo veidų šonai, o stačiakampio viršūnės yra veidų viršūnės.

Pratimas:

1. Kaip vadinasi kiekvienas stačiakampio gretasienio paviršius? 2. Kokių parametrų dėka galima išmatuoti lygiagretainį? 3. Nubrėžkite priešingus veidus.

Lygiagretainių gretasienių rūšys

Tačiau gretasieniai yra ne tik stačiakampiai, bet ir tiesūs bei pasvirę, o tiesios linijos skirstomos į stačiakampes, nestačiakampes ir kubus.

Užduotis: Pažiūrėkite į paveikslėlį ir pasakykite, kokie gretasieniai jame pavaizduoti. Kuo skiriasi stačiakampis gretasienis nuo kubo?

Stačiakampio gretasienio savybės

Stačiakampis gretasienis turi keletą svarbių savybių:

Pirma, šios geometrinės figūros įstrižainės kvadratas yra lygus trijų pagrindinių jos parametrų: aukščio, pločio ir ilgio kvadratų sumai.

Antra, visos keturios jo įstrižainės yra visiškai identiškos.

Trečia, jei visi trys gretasienio parametrai yra vienodi, tai yra, ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs, tada toks gretasienis vadinamas kubu, o visi jo paviršiai bus lygūs tam pačiam kvadratui.

Pratimai

1. Ar stačiakampio gretasienio kraštinės yra lygios? Jei tokių yra, parodykite juos paveikslėlyje. 2. Iš kokių geometrinių figūrų susideda stačiakampio gretasienio paviršiai? 3. Koks yra lygių briaunų išsidėstymas viena kitos atžvilgiu? 4. Įvardykite šios figūros lygių veidų porų skaičių. 5. Raskite stačiakampio gretasienio briaunas, kurios nurodo jo ilgį, plotį, aukštį. Kiek suskaičiavai?

Užduotis

Norėdama gražiai papuošti gimtadienio dovaną mamai, Tanya paėmė stačiakampio gretasienio formos dėžutę. Šios dėžutės dydis yra 25 cm * 35 cm * 45 cm. Kad ši pakuotė būtų graži, Tanya nusprendė ją padengti gražiu popieriumi, kurio kaina – 3 grivinos už 1 dm2. Kiek pinigų turėtumėte išleisti vyniojamajam popieriui?

Ar žinote, kad garsus iliuzionistas Davidas Blaine'as eksperimento metu praleido 44 dienas stikliniame gretasienyje, pakabintame virš Temzės. Šias 44 dienas jis nevalgė, o tik gėrė vandenį. Savo savanoriškame kalėjime Dovydas pasiėmė tik rašymo priemones, pagalvę ir čiužinį bei nosines.

Šioje pamokoje kiekvienas galės studijuoti temą „Stačiakampis gretasienis“. Pamokos pradžioje pakartosime, kas yra savavališki ir tiesūs gretasieniai, prisiminsime jų priešingų veidų ir gretasienio įstrižainių savybes. Tada pažiūrėsime, kas yra stačiakampis, ir aptarsime pagrindines jo savybes.

Tema: Tiesių ir plokštumų statmenumas

Pamoka: Kuboidas

Paviršius, sudarytas iš dviejų lygiagretainių ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 ir keturių lygiagretainių ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, vadinamas gretasienis(1 pav.).

Ryžiai. 1 Lygiagretainis

Tai yra: turime du vienodus lygiagretainius ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 (pagrindas), jie yra lygiagrečiose plokštumose taip, kad šoninės briaunos AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtų lygiagrečios. Taigi paviršius, sudarytas iš lygiagretainių, vadinamas gretasienis.

Taigi gretasienio paviršius yra visų lygiagretainių, sudarančių gretasienį, suma.

1. Priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.

(formos yra lygios, tai yra, jas galima derinti perdengiant)

Pavyzdžiui:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (lygūs lygiagretainiai pagal apibrėžimą),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (kadangi AA 1 B 1 B ir DD 1 C 1 C yra priešingi gretasienio paviršiai),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (kadangi AA 1 D 1 D ir BB 1 C 1 C yra priešingi gretasienio paviršiai).

2. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir per šį tašką dalijamos pusiau.

Lygiagretainio AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B įstrižainės susikerta viename taške O, o kiekviena įstrižainė šiuo tašku dalinama pusiau (2 pav.).

Ryžiai. 2 Gretasienio įstrižainės susikerta ir yra padalintos per pusę susikirtimo taško.

3. Yra trys lygiagrečių lygiagrečių kraštinių keturkampiai: 1 – AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 – AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 – AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Apibrėžimas. Lygiagretainis vadinamas tiesiuoju, jei jo šoninės briaunos yra statmenos pagrindams.

Tegul šoninė briauna AA 1 yra statmena pagrindui (3 pav.). Tai reiškia, kad tiesė AA 1 yra statmena tiesėms AD ir AB, kurios yra pagrindo plokštumoje. Tai reiškia, kad šoniniuose paviršiuose yra stačiakampiai. O pagrinduose yra savavališki lygiagretainiai. Pažymime ∠BAD = φ, kampas φ gali būti bet koks.

Ryžiai. 3 Dešinysis gretasienis

Taigi, dešinysis gretasienis yra gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos gretasienio pagrindams.

Apibrėžimas. Gretasienis vadinamas stačiakampiu, jeigu jo šoninės briaunos statmenos pagrindui. Pagrindai yra stačiakampiai.

Lygiagretainis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra stačiakampis (4 pav.), jei:

1. AA 1 ⊥ ABCD (šoninis kraštas statmenas pagrindo plokštumai, tai yra tiesus gretasienis).

2. ∠BAD = 90°, ty pagrindas yra stačiakampis.

Ryžiai. 4 Stačiakampis gretasienis

Stačiakampis gretasienis turi visas savavališko gretasienio savybes. Tačiau yra papildomų savybių, gautų iš stačiakampio apibrėžimo.

Taigi, stačiakampis yra gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindui. Stačiakampio formos pagrindas yra stačiakampis.

1. Stačiakampiame gretasienyje visi šeši paviršiai yra stačiakampiai.

ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 pagal apibrėžimą yra stačiakampiai.

2. Šoniniai šonkauliai yra statmeni pagrindui. Tai reiškia, kad visi stačiakampio gretasienio šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

3. Visi stačiakampio gretasienio dvikampiai kampai yra statūs.

Panagrinėkime, pavyzdžiui, stačiakampio gretasienio su briauna AB dvisienį kampą, t.y. dvisienį tarp plokštumų ABC 1 ir ABC.

AB yra briauna, taškas A 1 yra vienoje plokštumoje - plokštumoje ABB 1, o taškas D kitoje - plokštumoje A 1 B 1 C 1 D 1. Tada nagrinėjamas dvikampis kampas gali būti žymimas ir taip: ∠A 1 ABD.

Paimkime tašką A kraštinėje AB. AA 1 yra statmena kraštinei AB plokštumoje АВВ-1, AD yra statmena kraštinei AB plokštumoje ABC. Tai reiškia, kad ∠A 1 AD yra tam tikro dvikampio kampo tiesinis kampas. ∠A 1 AD = 90°, tai reiškia, kad dvikampis kampas ties kraštine AB yra 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Panašiai įrodyta, kad bet kurie stačiakampio gretasienio dvikampiai kampai yra teisingi.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai.

Pastaba. Trijų briaunų, išeinančių iš vienos stačiakampio viršūnės, ilgiai yra stačiakampio matmenys. Jie kartais vadinami ilgiu, pločiu, aukščiu.

Duota: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - stačiakampis gretasienis (5 pav.).

Įrodykite:.

Ryžiai. 5 Stačiakampis gretasienis

Įrodymas:

Tiesi linija CC 1 yra statmena plokštumai ABC, taigi ir tiesei AC. Tai reiškia, kad trikampis CC 1 A yra stačiakampis. Pagal Pitagoro teoremą:

Apsvarstykite statųjį trikampį ABC. Pagal Pitagoro teoremą:

Bet BC ir AD yra priešingos stačiakampio pusės. Taigi BC = po Kr. Tada:

Nes , A , Tai. Kadangi CC 1 = AA 1, tai ir reikėjo įrodyti.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės lygios.

Lygiagretainio ABC matmenis pažymėkime kaip a, b, c (žr. 6 pav.), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Pamokos tikslai:

1. Švietimas:

Supažindinti su gretasienio sąvoka ir jo tipais;
- suformuluoti (naudojant analogiją su lygiagretainiu ir stačiakampiu) ir įrodyti gretasienio ir stačiakampio savybes;
- kartoti klausimus, susijusius su lygiagretumu ir statmenumu erdvėje.

2. Vystymasis:

Toliau ugdyti mokinių pažintinius procesus, tokius kaip suvokimas, supratimas, mąstymas, dėmesys, atmintis;
- skatinti mokinių kūrybinės veiklos elementų, kaip mąstymo savybių (intuicijos, erdvinio mąstymo) ugdymą;
- ugdyti studentų gebėjimą daryti išvadas, taip pat pagal analogiją, padedančias suprasti tarpdalykus geometrijos ryšius.

3. Švietimas:

Prisidėti prie organizuotumo ir sistemingo darbo įpročių ugdymo;
- prisidėti prie estetinių įgūdžių formavimo užsirašant ir piešiant.

Pamokos tipas: pamoka-naujos medžiagos mokymasis (2 val.).

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas.
2. Žinių atnaujinimas.
3. Naujos medžiagos studijavimas.
4. Namų darbų apibendrinimas ir nustatymas.

Įranga: plakatai (skaidrės) su įrodymais, įvairių geometrinių kūnų modeliai, įskaitant visų tipų gretasienius, grafinis projektorius.

Pamokos eiga.

1. Organizacinis momentas.

2. Žinių atnaujinimas.

Pamokos temos komunikavimas, tikslų ir uždavinių formulavimas kartu su mokiniais, praktinės temos nagrinėjimo reikšmės rodymas, anksčiau nagrinėtų su šia tema susijusių klausimų kartojimas.

3. Naujos medžiagos studijavimas.

3.1. Lygiagretaus vamzdis ir jo rūšys.

Demonstruojami gretasienių modeliai, identifikuojantys jų ypatybes, padedančias suformuluoti gretasienio apibrėžimą naudojant prizmės sąvoką.

Apibrėžimas:

gretasienis vadinama prizme, kurios pagrindas yra lygiagretainis.

Padarytas gretasienio brėžinys (1 pav.), išvardinti gretasienio, kaip ypatingo prizmės atvejo, elementai. Rodoma 1 skaidrė.

Scheminis apibrėžimo žymėjimas:

Suformuluotos išvados iš apibrėžimo:

1) Jei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra prizmė, o ABCD yra lygiagretainis, tai ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – gretasienis.

2) Jei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – gretasienis, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra prizmė, o ABCD yra lygiagretainis.

3) Jei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nėra prizmė arba ABCD nėra lygiagretainis, tada
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne gretasienis.

4). Jei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne gretasienis, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nėra prizmė arba ABCD nėra lygiagretainis.

Toliau, sudarant klasifikavimo schemą (žr. 3 pav.), nagrinėjami ypatingi gretasienio atvejai, demonstruojami modeliai, išryškinamos tiesių ir stačiakampių gretasienių būdingos savybės, formuluojami jų apibrėžimai.

Apibrėžimas:

Lygiagretainis vadinamas tiesiuoju, jei jo šoninės briaunos yra statmenos pagrindui.

Apibrėžimas:

Lygiagretainis vadinamas stačiakampio formos, jei jo šoninės briaunos statmenos pagrindui, o pagrindas yra stačiakampis (žr. 2 pav.).

Užfiksavus apibrėžimus schematiškai, iš jų formuluojamos išvados.

3.2. Gretasienio ypatybės.

Ieškoti planimetrinių figūrų, kurių erdviniai analogai yra gretasienis ir stačiakampis (lygiagretainis ir stačiakampis). Šiuo atveju kalbame apie vizualinį figūrų panašumą. Taikant išvados taisyklę pagal analogiją, lentelės užpildomos.

Išvadų taisyklė pagal analogiją:

1. Iš anksčiau tyrinėtų figūrų pasirinkite panašią į šią figūrą.
2. Suformuluokite pasirinktos figūros savybę.
3. Suformuluokite panašią pradinės figūros savybę.
4. Įrodyti arba paneigti suformuluotą teiginį.

Suformulavus savybes, kiekvienos iš jų įrodymas atliekamas pagal šią schemą:

• įrodinėjimo plano aptarimas;
• skaidrės demonstravimas su įrodymais (2 – 6 skaidrės);
• mokiniai pildo įrodymus savo sąsiuviniuose.

3.3 Kubas ir jo savybės.

Apibrėžimas: kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visi trys matmenys yra vienodi.

Analogiškai su gretasieniu studentai savarankiškai schemiškai pažymi apibrėžimą, išveda iš to pasekmes ir suformuluoja kubo savybes.

4. Namų darbų apibendrinimas ir nustatymas.

Namų darbai:

1. Naudodamasis pamokų užrašais iš geometrijos vadovėlio 10-11 klasei, L.S. Atanasyan ir kiti, studijuokite 1 skyriaus 4 paragrafo 13 pastraipą, 2 skyriaus 3 dalį, 24 pastraipą.
2. Įrodyti arba paneigti gretasienio savybę, lentelės 2 punktas.
3. Atsakykite į saugumo klausimus.

Testo klausimai.

1. Yra žinoma, kad tik du gretasienio šoniniai paviršiai yra statmeni pagrindui. Kokio tipo gretasienis?

2. Kiek stačiakampio formos šoninių paviršių gali turėti gretasienis?

3. Ar galima gretasienį turėti tik vieną šoninį paviršių:

1) statmenai pagrindui;
2) turi stačiakampio formą.

4. Dešiniajame gretasienyje visos įstrižainės lygios. Ar jis stačiakampis?

5. Ar tiesa, kad dešiniajame gretasienyje įstrižainės yra statmenos pagrindo plokštumoms?

6. Pateikite atvirkštinę teoremą teoremai apie stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratą.

7. Kokios papildomos savybės skiria kubą nuo stačiakampio gretasienio?

8. Ar gretasienis bus kubas, kurio visos kraštinės vienoje iš viršūnių yra lygios?

9. Nurodykite kubo įstrižainės kvadrato teoremą kubo atveju.

Išvertus iš graikų kalbos lygiagretainis reiškia plokštumą. Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis. Yra penki lygiagretainio tipai: įstrižai, tiesūs ir stačiakampiai. Kubas ir romboedras taip pat priklauso gretasieniui ir yra jo atmaina.

Prieš pereidami prie pagrindinių sąvokų, pateiksime keletą apibrėžimų:

• Gretasienio įstrižainė yra atkarpa, jungianti viena priešais esančias gretasienio viršūnes.
• Jei du paviršiai turi bendrą briauną, galime juos vadinti gretimomis briaunomis. Jei nėra bendro krašto, tada veidai vadinami priešingais.
• Dvi viršūnės, kurios nėra tame pačiame veide, vadinamos priešingomis.

Kokias savybes turi gretasienis?

1. Priešingose ​​pusėse gulinčio gretasienio veidai yra lygiagrečiai vienas kitam ir lygūs.
2. Jei brėžiate įstrižaines iš vienos viršūnės į kitą, tada šių įstrižainių susikirtimo taškas padalins jas per pusę.
3. Lygiagretaus vamzdžio, esančio tuo pačiu kampu su pagrindu, kraštinės bus lygios. Kitaip tariant, bendrai nukreiptų pusių kampai bus lygūs vienas kitam.

Kokie gretasienio tipai yra?

Dabar išsiaiškinkime, kokie yra gretasieniai. Kaip minėta aukščiau, yra keletas šios figūros tipų: tiesi, stačiakampė, pasvirusi gretasienis, taip pat kubas ir romboedras. Kuo jie skiriasi vienas nuo kito? Viskas priklauso nuo jas formuojančių plokštumų ir jų suformuotų kampų.

Pažvelkime išsamiau į kiekvieną iš išvardytų gretasienio tipų.

• Kaip jau aišku iš pavadinimo, pasviręs gretasienis turi pasvirusius veidus, būtent tuos, kurie nėra 90 laipsnių kampu pagrindo atžvilgiu.
• Tačiau dešiniajame gretasienyje kampas tarp pagrindo ir krašto yra lygiai devyniasdešimt laipsnių. Būtent dėl ​​šios priežasties šio tipo gretasienis turi tokį pavadinimą.
• Jei visi gretasienio paviršiai yra identiški kvadratai, tada šią figūrą galima laikyti kubu.
• Stačiakampis gretasienis gavo šį pavadinimą dėl jį sudarančių plokštumų. Jei jie visi yra stačiakampiai (įskaitant pagrindą), tai yra stačiakampis. Šio tipo gretasienis sutinkamas ne itin dažnai. Išvertus iš graikų kalbos, romboedras reiškia veidą arba pagrindą. Taip pavadinta trimatė figūra, kurios veidai yra rombai.

Pagrindinės gretasienio formulės

Lygiagretaus vamzdžio tūris yra lygus pagrindo ploto ir statmeno pagrindui aukščio sandaugai.

Šoninio paviršiaus plotas bus lygus pagrindo perimetro ir aukščio sandaugai.
Žinodami pagrindinius apibrėžimus ir formules, galite apskaičiuoti bazinį plotą ir tūrį. Pagrindą galima pasirinkti savo nuožiūra. Tačiau, kaip taisyklė, kaip pagrindas naudojamas stačiakampis.