Plokštumos p, statmenos plokštumai a, konstravimas gali būti atliekamas dviem būdais: I) plokštuma p brėžiama per tiesę, statmeną plokštumai a; 2) plokštuma p nubrėžta statmenai tiesei, esančiai plokštumoje a arba lygiagrečiai šiai plokštumai. Norint gauti unikalų sprendimą, reikalingos papildomos sąlygos. 148 paveiksle parodyta plokštumos, statmenos trikampio CDE apibrėžtai plokštumai, konstrukcija. Papildoma sąlyga čia yra ta, kad norima plokštuma turi eiti per tiesę AB. Vadinasi, norimą plokštumą lemia tiesė AB ir statmena trikampio plokštumai. Norint nubrėžti tai statmenai CDE plokštumai, joje imami frontai CN ir horizontalioji CM: jei B"F" ± C"N" ir B"G 1 CM\ tai CDF plokštumos BFX. Plokštuma, susidaranti susikertant tiesės AB ir BF yra statmenos CDE plokštumai, Kaip ji eina per statmeną šiai plokštumai tai taip pat apima dviejų horizontaliai išsikišančių plokštumų, kuriose horizontaliai išsikišančių plokštumų priekiniai pėdsakai yra vienas kitą statmenos, statmenumą plokštuma p statmena bendrosios padėties a plokštumai, jei plokštuma p yra statmena plokštumai i ir plokštumai a, tai p 1 kaip plokštumos a ir i susikirtimo tiesė. 0a 1р ir todėl h"0u 1 р", kaip vienai iš tiesių plokštumoje р. Taigi bendrosios plokštumos ir horizontaliai projektuojančios plokštumos horizontalių pėdsakų statmenumas atitinka šių plokštumų tarpusavio statmenumą. Akivaizdu, kad priekinės plokštumos ir bendrosios padėties plokštumos frontalinių pėdsakų statmenumas atitinka ir šių plokštumų tarpusavio statmenumą. Bet jei dviejų bendroje padėtyje esančių plokštumų to paties pavadinimo pėdsakai yra vienas kitam statmeni, tada pačios plokštumos nėra statmenos viena kitai, nes netenkinama nė viena iš šio skyriaus pradžioje nurodytų sąlygų. Klausimai savitikrai 1. Kaip brėžinyje apibrėžiama plokštuma? 2. Koks yra plokštumos pėdsakas projekcinėje plokštumoje? 3. Kur yra plokštumos horizontaliojo pėdsako frontalioji projekcija ir priekinio pėdsako horizontalioji projekcija? L. Kaip brėžinyje nustatoma, ar tiesė priklauso duotai plokštumai? 5. Kaip brėžinyje sukonstruoti tašką, kuris priklauso duotai plokštumai? 6. Kaip sistemoje yra nt? ir 713 bendrosios padėties plokštuma? 7. Kas yra frontalioji projekcija, horizontalioji projekcija ir profilinės projekcijos plokštumos? 8. Kaip brėžinyje pavaizduota bendroje padėtyje nubrėžta tiesioji linija nubrėžiama šoninio projektavimo plokštuma? 9. Kokią santykinę padėtį gali užimti dvi plokštumos? 10. Koks yra dviejų plokštumų lygiagretumo ženklas? 11. Kaip tarpusavyje išsidėsto dviejų lygiagrečių viena kitai plokštumų to paties pavadinimo pėdsakai? 12. Kaip nustatyti tiesės ir plokštumos santykinę padėtį? 13. Koks yra bendras dviejų plokštumų susikirtimo linijos konstravimo būdas? 14. Koks yra bendras tiesės susikirtimo su plokštuma taško konstravimo metodas? 15. Kaip nustatyti „matomumą“, kai tiesė kerta plokštumą? 16. Kas lemia dviejų plokštumų tarpusavio lygiagretumą? 17. Kaip per tašką nubrėžti plokštumą, lygiagrečią duotai plokštumai? 18. Kaip yra statmeno plokštumai projekcija? 19. Kaip sukonstruoti viena kitai statmenas plokštumas?
Viena kitai statmenų tiesių ir plokštumų konstravimas yra svarbi grafinė operacija sprendžiant metrinius uždavinius.
Statmens tiesei ar plokštumai konstravimas grindžiamas stačiojo kampo savybe, kuri formuluojama taip: jeigu viena iš stačiojo kampo kraštinių lygiagreti projekcijos plokštumai, o kita nestatmena jai , tada kampas visu dydžiu projektuojamas į šią plokštumą.
28 pav
Stačiojo kampo ABC kraštinė BC, parodyta 28 paveiksle, yra lygiagreti plokštumai P 1. Vadinasi, kampo ABC projekcija į šią plokštumą bus stačiu kampu A 1 B 1 C 1 =90.
Tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms šioje plokštumoje. Statant statmeną iš plokštumai priklausančių tiesių rinkinio, rinkitės lygias tiesias – horizontalias ir frontalias. Šiuo atveju horizontali statmens projekcija atliekama statmenai horizontaliai, o priekinė projekcija yra statmena priekiui. 29 paveiksle pavaizduotame pavyzdyje parodyta statmenos konstrukcija plokštumai, kurią apibrėžia trikampis ABC nuo taško K. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nubrėžkite horizontalias ir priekines linijas plokštumoje. Tada iš taško K priekinės projekcijos nubrėžiame statmeną frontalinei projekcijai, o iš taško horizontalios projekcijos - statmeną horizontaliai horizontaliai. Tada sukonstruojame šio statmens susikirtimo tašką su plokštuma, naudodami pagalbinę pjovimo plokštumą Σ. Reikalingas taškas yra F. Taigi gauta atkarpa KF yra statmena plokštumai ABC.
29 pav
29 paveiksle parodyta statmenos KF ABC plokštumai konstrukcija.
Dvi plokštumos yra statmenos, jei vienoje plokštumoje esanti tiesė yra statmena dviem susikertančioms kitos plokštumos tiesėms. Šiai plokštumai ABC statmenos plokštumos konstrukcija parodyta 30 paveiksle. Per tašką M nubrėžta tiesė MN, statmena plokštumai ABC. Šios linijos horizontalioji projekcija yra statmena AC, nes AC yra horizontali, o frontalioji projekcija yra statmena AB, nes AB yra priekinė. Tada per tašką M nubrėžiama savavališka tiesė EF. Taigi plokštuma yra statmena ABC ir yra apibrėžta dviem susikertančiomis tiesėmis EF ir MN.
30 pav
Šis metodas naudojamas norint nustatyti natūralias segmentų vertes bendroje padėtyje, taip pat jų pasvirimo kampus į projekcijos plokštumas. Norint šiuo metodu nustatyti natūralų atkarpos dydį, reikia sudaryti stačiakampį trikampį į vieną iš atkarpos projekcijų. Kita kojelė bus atkarpos galinių taškų aukščių arba gylių skirtumas, o hipotenuzė bus gamtinė vertė.
Panagrinėkime pavyzdį: 31 paveiksle pavaizduota atkarpa AB bendroje padėtyje. Būtina nustatyti natūralų jo dydį ir pasvirimo kampus priekinėms ir horizontalioms iškyšų plokštumoms.
Horizontalioje plokštumoje nubrėžiame statmeną vienam iš segmento galų. Ant jo nubraižome atkarpos galų aukščių skirtumą (ZA-ZB) ir baigiame statyti stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra natūrali atkarpos vertė, o kampas tarp gamtinės vertės ir atkarpos projekcijos yra atkarpos pasvirimo kampo į plokštumą P 1 natūrali vertė. Konstravimo tvarka priekinėje plokštumoje yra tokia pati. Išilgai statmenos nubrėžiame atkarpos galų gylių skirtumą (YA-YB). Gautas kampas tarp natūralaus segmento dydžio ir jo priekinės projekcijos yra atkarpos polinkio į P 2 plokštumą kampas.
31 pav
1. Pateikite teoremą apie stačiųjų kampų savybę.
2. Kokiu atveju tiesė yra statmena plokštumai?
3. Kiek tiesių ir kiek duotai plokštumai statmenų plokštumų galima nubrėžti per erdvės tašką?
4. Kam naudojamas stačiojo trikampio metodas?
5. Kaip šiuo metodu nustatyti atkarpos pasvirimo kampą bendroje padėtyje į horizontalią projekcijų plokštumą?
| Žodinė forma | Grafinė forma |
| 1. Yra žinoma, kad statmenai plokštumai tiesei nutiesti reikia plokštumoje nutiesti horizontalią ir frontalinę liniją. a) Atkreipkite dėmesį, kad statmens konstrukcija yra supaprastinta, nes plokštumos Q(D ABC) kraštinės yra lygios tiesės: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – priekinė AC (A 1 C 1; A) 2 C 2) – horizontalus . b) Paimkite tiesią liniją | |
| l savavališkas taškas K 2. Per tašką K, kuris priklauso tiesei l, atliekame tiesioginį a) Atkreipkite dėmesį, kad statmens konstrukcija yra supaprastinta, nes plokštumos Q(D ABC) kraštinės yra lygios tiesės: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – priekinė AC (A 1 C 1; A) 2 C 2) – horizontalus . n l,^Q, t.y. a) Atkreipkite dėmesį, kad statmens konstrukcija yra supaprastinta, nes plokštumos Q(D ABC) kraštinės yra lygios tiesės: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – priekinė AC (A 1 C 1; A) 2 C 2) – horizontalus . n 1 ^ A 1 C 1 ir n 2 ^ A 2 B 2 . |  |
Norima plokštuma bus nustatyta dviem susikertančiomis tiesėmis, iš kurių viena duota -
o kitas -
yra statmena duotai plokštumai: P(
n)^Q (D ABC)
Darbo pabaiga -
Ši tema priklauso skyriui:
| Aprašomoji geometrija – T.V. Chrustaleva |
Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:
Ką darysime su gauta medžiaga:
Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:
Tviteryje
Visos temos šiame skyriuje:
APRAŠYMOJI GEOMETRIJA
Tolimųjų Rytų regioninio švietimo ir metodinio centro rekomenduojamas kaip vadovėlis specialybės 210700 „Automatika, telemechanika ir geležinkelių ryšiai“ studentams.
Geometriniai vaizdai
1. Projekcijos plokštuma: p – savavališka;
p1 – horizontalus;
p2 – priekinė;
p3 – profilis;
S – centro projekcija
Aibių teorinis žymėjimas
Projekcinio metodo esmė ta, kad kokio nors geometrinio vaizdo projekcija Ap
Projekcija centrinė
Brėžinio grįžtamumą, kaip minėta anksčiau, t. y. nedviprasmišką taško padėties erdvėje nustatymą iš jo projekcijų, galima užtikrinti projekcija į dvi viena kitai statmenas
Trijų viena kitai statmenų plokštumų sistema
Praktikoje, tyrime ir vaizdavime, dviejų tarpusavyje statmenų plokštumų sistema ne visada suteikia vienareikšmiško sprendimo galimybę. Pavyzdžiui, jei perkeliate tašką A išilgai ašies
Sudėtingas piešimas ir vaizdinis taško oktantais I–IV vaizdavimas
Panagrinėkime taškų A, B, C, D konstravimo įvairiais oktantais pavyzdį (2.4 lentelė).
2.4 lentelė Oktantinė vizualinė vaizduotė
Bendrosios nuostatos
Linija yra vienmatis geometrinis vaizdas, turintis ilgį; visų nuoseklių judančio taško padėčių rinkinys. Pagal Euklido apibrėžimą: „Linija yra ilgis be pločio“.
Grindys
Tiesioginiai lygiai
Apibrėžimas Vizualus vaizdavimas Kompleksinis brėžinys Horizontali linija yra bet kuri linija, lygiagreti horizontaliai
Tiesių linijų projektavimas
Apibrėžimas Vizualus vaizdavimas Kompleksinis brėžinys Horizontaliai projektuojanti linija yra tiesi linija, statmena
Trečiosios atkarpos projekcijos konstravimas remiantis dviem duotomis
Savo pavyzdyje nagrinėsime bendros linijos tiesimą pirmąjį ketvirtį (3.3 lentelė).
3.3 lentelė Žodinė forma
Stačiakampio trikampio metodas. Tiesios linijos atkarpos natūralaus dydžio ir tiesės pasvirimo kampų į projekcijos plokštumas nustatymas
2.4 lentelė Oktantinė vizualinė vaizduotė
Konstruojant tiesios atkarpos projekcijas apskritai ir konkrečioje padėtyje, galima išspręsti ne tik padėties (vietos projekcijų plokštumų atžvilgiu), bet ir metrines problemas – nustatyti ilgį nuo
Linijos atkarpos gamtinės vertės nustatymas bendroje padėtyje
Tiesios linijos atkarpos natūraliajai vertei nustatyti bendrojoje padėtyje iš jos projekcijų naudojamas stačiakampio trikampio metodas.
Panagrinėkime šios padėties seką (lentelė.
Dvi tiesės erdvėje gali turėti skirtingas vietas: susikerta (guli toje pačioje plokštumoje). Ypatingas susikirtimo atvejis yra stačiu kampu; gali būti lygiagrečiai
Tiesių matomumo projekcijų plokštumų atžvilgiu nustatymas
Apibrėžimas Vizualus vaizdas Kompleksinis brėžinys Horizontaliai projektuojanti plokštuma yra statmena plokštuma
Lygiosios plokštumos
Charakteristikos Vizualus vaizdavimas Diagrama Priekinė plokštuma yra lygiagreti p2 plokštumai. Tai
Tiesios specialios padėties plokštumoje linijos
Specialios padėties linijos plokštumoje yra horizontalioji h, priekinė f ir didžiausio pokrypio į projekcines plokštumas linijos. Pažiūrėkime į šių linijų grafinį pavaizdavimą (5.6 lentelė).
Ta
Priekinės dalies konstravimo algoritmas
Žodinė forma Grafinė forma Duota plokštuma a (a|| b), todėl a1 || b1; a2
Antrosios taško K projekcijos konstravimo algoritmas
Žodinė forma Grafinė forma Plokštuma a – apibrėžta plokščia figūra a (D ABC), K2 – frontali taško K projekcija
Algoritmas plokštumos, lygiagrečios duotajai, konstravimo
Žodinė forma Grafinė forma 1. Uždaviniui išspręsti duotoje plokštumoje P(D ABC) imamos bet kurios susikertančios tiesės. Pavyzdžiui, AB
Susikertančios plokštumos
Dvi plokštumos susikerta tiesia linija. Norint sukonstruoti jų susikirtimo liniją, reikia rasti du šiai tiesei priklausančius taškus. Problema supaprastinama, jei viena iš susikertančių plokštumų yra užimta
Lygiagrečios plokštumai tiesės konstravimo algoritmas
Žodinė forma Grafinė forma 1. Plokštumoje P(D ABC) pastatykime tiesę A1, kuri priklauso plokštumai P
Tiesės susikirtimo su bendrine plokštuma algoritmas
Žodinė forma Grafinė forma 1. Nustatyti tiesės l susikirtimo tašką su plokštuma
Algoritmas statmenai plokštumai sudaryti
Žodinė forma Grafinė forma 1. Norėdami sukurti statmeną plokštumai P(D ABC) per tašką D, pirmiausia turite
Į 3 skyrių
1. Sukurkite tiesės AB projekciją (3 pav.), jei ji: a) lygiagreti p1;
b) lygiagreti p2;
c) lygiagrečiai OX;
d) statmenai p1
Į 5 skyrių
Dviejų lygiagrečių tiesių apibrėžtoje plokštumoje 15 mm atstumu nuo p1 nubrėžkite frontalą (9 pav.):
Į 6 skyrių
1. Duota plokštuma P(a|| b) ir tiesės m, einančios per tašką D, projekcija m2. Sukurkite horizontalią tiesės m1 projekciją, kad tiesė m būtų lygiagreti plokštumai
3 skyriaus testai
1. GOST 2.001-70. Bendrosios nuostatos // Rinkinyje. Vieninga projektinės dokumentacijos sistema. Pagrindinės nuostatos. – M.: Standartų leidykla, 1984. – P. 3–5.
2. GOST 2.104-68. Pagrindiniai užrašai // B
Nebūtų perdėta sakyti, kad viena kitai statmenų tiesių ir plokštumų konstravimas kartu su atstumo tarp dviejų taškų nustatymu yra pagrindinės grafinės operacijos sprendžiant metrinius uždavinius.
Teorinė išankstinė sąlyga tiesių ir plokštumų, statmenų viena kitai, projekcijų sudarymui erdvėje Monge diagramoje, yra anksčiau pažymėta savybė (žr. § 6).
stačiojo kampo projekcijos, kurių viena iš kraštinių lygiagreti bet kuriai projekcijos plokštumai:
1. Abipusiai statmenos linijos.
Kad būtų galima panaudoti pažymėtą savybę Monge diagramoje sudaryti dvi tieses, susikertančias 90° kampu, būtina, kad viena iš jų būtų lygiagreti kokiai nors projekcijos plokštumai. Paaiškinkime tai, kas buvo pasakyta, pateikdami pavyzdžius.
PAVYZDYS 1. Per tašką A nubrėžkite tiesę l, kertančią horizontalią liniją h stačiu kampu (249 pav.).
Kadangi viena iš stačiojo kampo kraštinių h yra lygiagreti plokštumai π 1, tai stačias kampas bus projektuojamas į šią plokštumą be iškraipymų. Todėl per A" brėžiame horizontalią projekciją l" ⊥ h". Pažymime tašką M" = l" ∩ h". Randame M" (M" ∈ h"). Taškai A" ir M" nustato l" (žr. 249 pav., a).
Jei vietoj horizontalios linijos pateikiama priekinė f, tai tiesės l ⊥ f geometrinės konstrukcijos yra panašios į tas, kurios buvo ką tik aptartos, vienintelis skirtumas yra tas, kad stačiojo kampo neiškraipytos projekcijos konstravimas turėtų prasidėti priekinė projekcija (žr. 249 pav., b).
2 PAVYZDYS. Per tašką A nubrėžkite tiesę l, kertančią tiesę a, apibrėžtą atkarpa [BC], 90° kampu (250 pav.).
Kadangi ši atkarpa užima savavališką padėtį projekcijos plokštumų atžvilgiu, negalime, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, naudoti savybės apie specialų stačiojo kampo projektavimo atvejį, todėl pirmiausia turime perkelti [BC] į padėtį, lygiagrečią kažkokia projekcinė plokštuma.
Dėl tokio pakeitimo naujoje sistemoje x 1 π 2 /π 3 [BC] apibrėžia horizontalią liniją, todėl visos tolimesnės konstrukcijos atliekamos taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: po taško M. "1 buvo rastas, jis buvo perkeltas į pradines projekcijų plokštumas M" ir M padėtyse", šie taškai kartu su A" ir A" nustato tiesės l projekcijas.
3 PAVYZDYS. Atlikite stačiojo kampo ABC kraštinės [BC] horizontalią projekciją, jei žinoma jos frontalioji projekcija ∠A"B"C" ir horizontali kraštinės [A"B"] projekcija (251 pav.) .
1. Perkelkite kampo kraštą [BA] į padėtį || π 3 pereinant iš projekcinių plokštumų sistemos xπ 2 /π 1 į naują x 1 π 3 /π 2
2. Apibrėžkite naują frontalinę projekciją.
Iš B" 1 statome statmeną [B" 1 A" 1]. Šiame statmenyje apibrėžiame tašką C" 1 (C" 1 nuo x 1 ašies pašalinamas atstumu |C x 1 C" 1 | = |C x C"| ).
4. Horizontalioji projekcija C" apibrėžiama kaip tiesių (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C susikirtimo taškas".
2. Abipusiai statmena tiesė ir plokštuma.
Iš stereometrijos kurso žinome, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena bent dviem susikertančioms tiesėms, priklausančioms šiai plokštumai.
Jei imsime ne savavališkas susikertančias linijas plokštumoje, o jos horizontalias ir priekines linijas, tada bus galima naudoti stačiojo kampo projekcijos savybę, kaip buvo padaryta 1 pavyzdyje, 1 pav. 249.
Apsvarstykite šį pavyzdį; Tarkime, kad iš taško A ∈ α reikia atkurti statmeną plokštumai α (252 pav.).
Per tašką A brėžiame horizontalią liniją h ir plokštumos α frontalinę f. Tada pagal apibrėžimą (AB), statmena plokštumai α, turi būti statmena tiesėms h ir f, t.y. Bet AM pusė ∠ TU || π 1, todėl ∠VAM projektuojamas į plokštumą π 1, be iškraipymų, t.y. 
. AK pusė ∠ VAK || π 2 ir todėl šis kampas taip pat projektuojamas į plokštumą π 2 be iškraipymų, t.y. 
. Aukščiau pateiktą samprotavimą galima suformuluoti kaip tokią teoremą: Kad tiesi erdvė erdvėje būtų statmena plokštumai, būtina ir pakanka, kad diagramoje horizontali tiesės projekcija būtų statmena plokštumos horizontalės projekcijai, o frontalioji projekcija priekinė šios plokštumos frontalo projekcija.
Jei plokštuma pateikiama pėdsakais, teorema gali būti suformuluota kitaip: Kad tiesė erdvėje būtų statmena plokštumai, būtina ir pakanka, kad šios tiesės projekcijos būtų statmenos to paties pavadinimo pėdsakams plokštumoje.
Teoremoje nustatyti ryšiai tarp tiesės erdvėje, statmenos plokštumai, ir šios tiesės projekcijų su plokštumos lygių linijų (pėdsakų) projekcijomis yra grafinio algoritmo, skirto plokštumai statmenos linijos nubrėžimo uždaviniui išspręsti, pagrindas. taip pat statmeną duotai tiesei plokštumą.
PAVYZDYS 1. Atkurkite statmeną AD plokštumai ΔАВС viršūnėje A (253 pav.).
Norint nustatyti statmens projekcijų kryptį, nubrėžiame ΔABC plokštumos horizontaliosios h ir frontalinės f projekcijas. Po to iš taško A" atkuriame statmeną į h", o iš A" - į f".
PAVYZDYS 2. Iš taško A, priklausančio plokštumai α (m || n), pastatykite statmeną šiai plokštumai (254 pav.).
SPRENDIMAS. Norėdami nustatyti statmenų projekcijų l" ir l", kaip ir ankstesniame pavyzdyje, kryptį, nubrėžkite horizontalią liniją h(h), h") per tašką A (A, A"), priklausančią plokštumai α. Žinodami kryptį h", statome horizontalią statmens l" (l" ⊥ h" projekciją). Norėdami nustatyti priekinės statmens projekcijos kryptį per tašką A (A, A"), nubrėžkite α plokštumos frontalinę f (f", f"). Dėl f lygiagretumo priekinei projekcijos plokštumai tiesus kampas tarp l ir f projektuojamas į π 2 be iškraipymų, todėl nubrėžiame l" ⊥ f".
Fig. 255 ta pati problema išspręsta tuo atveju, kai plokštuma α pateikiama pėdsakais. Norint nustatyti statmens projekcijų kryptis, nereikia braižyti horizontalės ir priekio
juosmens, nes jų funkcijas atlieka h 0α ir f 0α plokštumos pėdsakai. Kaip matyti iš brėžinio, sprendimas susiveda į projekcijas l" ⊥ h 0α ir l" ⊥ f 0α per taškus A" ir A".
PAVYZDYS 3. Sukonstruojame plokštuma γ, statmena duotai tiesei l ir einanti per duotą tašką A (256 pav.).
SPRENDIMAS. Per tašką A brėžiame horizontalią liniją h ir frontalinę liniją f. Šios dvi susikertančios linijos apibrėžia plokštumą; kad ji būtų statmena tiesei l, būtina, kad tiesės h ir f sudarytų 90° kampą su tiese l. Norėdami tai padaryti, nupiešime h"⊥ l" ir f" ⊥ l". Priekinė projekcija h" ir horizontali projekcija f" yra lygiagrečios x ašiai.
Nagrinėjamas atvejis leidžia 3 pavyzdyje pateiktą uždavinį išspręsti kitaip (p. 175 251 pav.). Kraštinė [BC] ∠ABC turi priklausyti plokštumai γ ⊥ [AB] ir eiti per tašką B (257 pav.).
Ši sąlyga nulemia uždavinio sprendimo eigą, kuri yra tokia: tašką B įtraukiame į plokštumą γ ⊥ [AB], tam per tašką B nubrėžiame plokštumos γ horizontaliąją ir frontalinę taip, kad h" ⊥ A „B“ ir f“ ⊥ A „B“.
Taškas C ∈ (BC), priklausantis plokštumai γ, todėl, norėdami rasti jo horizontalią projekciją, nubrėžiame savavališką liniją 1"2" per C", priklausančią plokštumai γ; nustatome šios tiesės horizontaliąją projekciją 1"2" ir pažymėkite ant jo tašką C" (C "nustatoma jungties linijos - statmeno, nuleisto nuo C" susikirtimo su horizontalia tiesės projekcija 1"2"). C" kartu su B" nustato horizontaliąją projekciją (BC) ⊥ (AB).
3. Viena kitai statmenos plokštumos.
Dvi plokštumos yra statmenos, jei vienoje iš jų yra kitai plokštumai statmena linija.
Remdamiesi plokštumų statmenumo apibrėžimu, statmenos plokštumai α plokštumos β konstravimo uždavinį sprendžiame taip: nubrėžiame tiesę l, statmeną plokštumai α; tiesę l aptveriame plokštumoje β. Plokštuma β ⊥ α, nes β ⊃ l ⊥ α.
Per tiesę l galima nubrėžti daug plokštumų, todėl problema turi daug sprendimų. Kad atsakymas būtų konkretesnis, turi būti nurodytos papildomos sąlygos.
PAVYZDYS 1. Per duotąją tiesę nubrėžkite plokštumai α statmeną plokštumą β (258 pav.).
SPRENDIMAS. Nustatome statmens projekcijų plokštumai α kryptį, tam randame horizontaliąją horizontalės projekciją (h") ir frontalinę (f"); Iš savavališko taško A ∈ α projekcijų brėžiame statmenų l" ⊥ h" ir l" ⊥ f projekcijas". Plokštuma β ⊥ α, nes β ⊃ l ⊥ α.
PAVYZDYS 2. Per duotą tašką A nubrėžkite horizontaliai projektuojančią plokštumą γ, statmeną plokštumai α, apibrėžtą takeliais (259 pav., a).
Reikiamoje plokštumoje γ turi būti tiesė, statmena plokštumai α, arba statmena tiesei, priklausančiai plokštumai α. Kadangi plokštuma γ turi būti horizontaliai projektuojanti, tai jai statmena tiesė turi būti lygiagreti plokštumai π 1, t.y. būti plokštumos α horizontalė arba (tai ta pati) šios plokštumos horizontalioji pėdsakas - h 0α Todėl per horizontaliosios projekcijos tašką A" nubrėžkite horizontalųjį pėdsaką h 0γ ⊥ h 0α priekinę pėdsaką f 0γ ⊥ x ašis.
Fig. 259, b pavaizduota priekyje išsikišusi plokštuma γ, einanti per tašką B ir statmena plokštumai π 2.
Iš brėžinio matyti, kad skiriamasis diagramos, kurioje nurodytos dvi viena kitai statmenos plokštumos, iš kurių viena yra priekinė, skiriamasis bruožas yra jų priekinių pėdsakų statmenumas f 0γ ⊥ f 0α , priekinės projektavimo horizontalus pėdsakas. plokštuma yra statmena x ašiai.
Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas leidžia konstruoti viena kitai statmenas tieses ir plokštumas, tai yra įrodyti tokių tiesių ir plokštumų egzistavimą. Pradėkime sukonstruodami plokštumą, statmeną nurodytai tiesei ir eidami per nurodytą tašką. Išspręskime du konstravimo uždavinius, atitinkančius dvi galimybes tam tikro taško ir tam tikros tiesės vietoje.
1 uždavinys. Per duotą tašką A ties duotoje tiesėje a nubrėžkite šiai tiesei statmeną plokštumą.
Nubrėžkime bet kurias dvi plokštumas per tiesę a ir kiekvienoje iš šių plokštumų per tašką A brėžiame išilgai tiesės, statmenos tiesei a, pažymėdami jas b ir c (2.17 pav.). Plokštuma a, einanti per tieses bis, turi tašką A ir yra statmena tiesei a (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu). Todėl plokštuma a yra norima. Problema išspręsta.
Problema turi tik vieną (t. y. unikalų) sprendimą. Iš tiesų, tarkime priešingai. Tada, be plokštumos a, per tašką A eina kita plokštuma P, statmena tiesei a (2.18 pav.). Paimkime į plokštumą P bet kurią tiesę, einanti per tašką A ir nesanti plokštumoje a. Nubrėžkime plokštumą y per susikertančias linijas a ir . Y plokštuma kerta plokštumą a išilgai tiesės q. Tiesė q nesutampa su tiese , nes q yra ir ne a. Abi šios tiesės yra y plokštumoje, eina per tašką A ir yra statmenos tiesei a nuo ir panašiai nuo ir. Bet tai prieštarauja gerai žinomai planimetrijos teoremai, pagal kurią plokštumoje per kiekvieną tašką eina tik viena tiesė, statmena duotai tiesei.
Taigi, darant prielaidą, kad dvi plokštumos, statmenos tiesei, eina per tašką A, mes priėjome prie prieštaravimo. Todėl problema turi unikalų sprendimą.
2 uždavinys. Per duotą tašką A, kuris nėra ant duotosios tiesės a, nubrėžkite šiai tiesei statmeną plokštumą.
Per tašką A brėžiame tiesę b, statmeną tiesei a. Tegu B yra a ir b susikirtimo taškas. Per tašką B taip pat nubrėžiame tiesę c, statmeną tiesei a (2.19 pav.). Plokštuma, einanti per abi nubrėžtas tieses, pagal statmenumo kriterijų (2 teorema) bus statmena a.
Kaip ir 1 užduotyje, sukonstruota plokštuma yra unikali. Iš tiesų, paimkime bet kurią plokštumą, kertančią tašką A, statmeną tiesei a. Tokioje plokštumoje yra tiesė, statmena tiesei a ir einanti per tašką A. Tačiau tokia tiesė yra tik viena. Tai tiesė b, einanti per tašką B. Tai reiškia, kad plokštumoje, einančioje per A ir statmenoje tiesei a, turi būti taškas B, o per tašką B kerta tik viena plokštuma, statmena tiesei a (1 uždavinys). Taigi, išsprendę šias konstravimo problemas ir įrodžius jų sprendimų unikalumą, įrodėme tokią svarbią teoremą.
3 teorema (apie tiesei statmeną plokštumą). Per kiekvieną tašką eina plokštuma, statmena nurodytai tiesei, ir, be to, tik viena.
Išvada (apie statmenų plokštumą). Tiesės, statmenos nurodytai tiesei tam tikrame taške, yra toje pačioje plokštumoje ir ją dengia.
Tegul a yra duotoji tiesė, o A yra bet koks jos taškas. Per jį skrenda lėktuvas. Pagal tiesės ir plokštumos statmenumo apibrėžimą jis yra padengtas
padengtas tiesiomis linijomis, statmenomis tiesei a taške A, t.y. per kiekvieną plokštumos a tašką eina tiesė, statmena tiesei a.
Tarkime, kad tiesė eina per tašką A ir nėra plokštumoje a. Per ją nubrėžkime plokštumą P ir tiesė a kertasi a išilgai tiesės c (2.20 pav.). Ir kadangi paaiškėja, kad per tašką A plokštumoje P yra dvi tiesės b ir c, statmenos tiesei a. Tai neįmanoma. Tai reiškia, kad taške A nėra tiesių, statmenų tiesei a, o ne plokštumoje a. Jie visi guli šioje plotmėje.
3 teoremos pasekmės pavyzdį pateikia rato stipinai, statmeni jo ašiai: sukdami jie brėžia plokštumą (tiksliau, apskritimą), užimdami visas sukimosi ašiai statmenas padėtis.
2 ir 3 teoremos padeda pateikti paprastą šios problemos sprendimą.
3 uždavinys. Nubrėžkite tiesę, statmeną šiai plokštumai per tašką duotoje plokštumoje.
Tegu duota plokštuma a ir taškas A plokštumoje a. Nubrėžkime tiesę a plokštumoje a per tašką A. Per tašką A nubrėžiame tiesei a statmeną plokštumą (1 uždavinys). Plokštuma kirs plokštumą a išilgai tiesės b (2.21 pav.). Plokštumoje P per tašką A nubrėžkime tiesę c, statmeną tiesei b. Kadangi (kadangi c yra plokštumoje
Ir), tada pagal 2 teoremą. Jo sprendimo unikalumas nustatytas 2.1 skyriuje.
komentuoti. Apie konstrukcijas erdvėje. Prisiminkite, kad 1 skyriuje nagrinėjame „struktūros geometriją“. Ir šiuo metu mes išsprendėme tris statybos kosmose problemas. Ką stereometrijoje reiškia terminai „konstruoti“, „nubrėžti“, „įrašyti“ ir t taip įrodome jos egzistavimą. Apskritai, spręsdami konstravimo uždavinį, įrodome figūros, turinčios tam tikras savybes, egzistavimą. atlikti paprasčiausias operacijas, vedančias į reikiamą rezultatą.
Taigi planimetrijoje konstravimo problemos sprendimas turi tarsi dvi puses: teorinę – konstravimo algoritmą – ir praktinę – šio algoritmo įgyvendinimą, pavyzdžiui, su kompasu ir liniuote.
Stereometrinio konstravimo uždaviniui liko tik viena pusė - teorinė, nes nėra įrankių, skirtų konstravimui erdvėje, panašių į kompasą ir liniuotę.
Pagrindinės konstrukcijos erdvėje laikomos tomis, kurias pateikia tiesių ir plokštumų egzistavimo aksiomos ir teoremos. Tai yra linijos nubrėžimas per du taškus, plokštumos nubrėžimas (1.1 punkto teiginiai ir 1.4 punkto 1 aksioma), taip pat bet kurių dviejų sudarytų plokštumų susikirtimo linijos sudarymas (1.4 punkto 2 aksioma). Be to, natūraliai manysime, kad planimetrines konstrukcijas galima atlikti jau sukonstruotose plokštumose.
Konstravimo uždavinio sprendimas erdvėje reiškia pagrindinių konstrukcijų seką, kurios rezultatas yra norima figūra. Paprastai ne visos pagrindinės konstrukcijos yra aiškiai nurodytos, bet nurodomos jau išspręstos statybos problemos, t.y. apie jau patikrintus teiginius ir teoremas apie tokių konstrukcijų galimybę.
Be konstrukcijų – egzistencijos teoremų stereometrijoje, galimos dar dviejų tipų problemos, susijusios su konstrukcijomis.
Pirma, užduotys yra paveikslėlyje arba piešinyje. Tai yra daugiakampio ar kitų kūnų pjovimo problemos. Mes iš tikrųjų nekonstruojame pačios atkarpos, o tik ją vaizduojame
piešinį ar piešinį, kurį jau turime. Tokios konstrukcijos atliekamos kaip planimetrinės, atsižvelgiant į stereometrijos aksiomas ir teoremas bei vaizdo taisykles. Tokio tipo problemos nuolat sprendžiamos piešimo ir projektavimo praktikoje.
Antra, kūnų ant paviršių konstravimo užduotys. Užduotis: „Sukurkite taškus kubo paviršiuje, nutolusius nuo tam tikros viršūnės tam tikru atstumu“ - galima išspręsti naudojant kompasą (kaip?). Užduotis: „Sukurkite rutulio paviršiuje taškus, nutolusius nuo tam tikro taško tam tikru atstumu“ - taip pat galima išspręsti naudojant kompasą (kaip?). Tokio tipo problemos geometrijos pamokose nesprendžiamos – jas nuolat sprendžia žymeklis, žinoma, tokiu tikslumu, kokį jam leidžia pasiekti jo įrankiai. Tačiau spręsdamas tokias problemas jis remiasi geometrija.
