Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos ribų.
Tokios skirtingos proporcijos
Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.
Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.
Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.
Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdedate studijuodami egzaminams, tuo aukštesni jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimsite su savimi į žygį, tuo sunkesnė bus jūsų kuprinė. Tie. Egzaminų ruošimosi pastangų kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.
Atvirkštinis proporcingumas– tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).
Iliustruojame paprastu pavyzdžiu. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. Kuo daugiau obuolių pirksite, tuo mažiau pinigų liks.
Funkcija ir jos grafikas
Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.
Ši funkcija turi šias savybes:
- Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
- Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
- Neperiodinis.
- Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
- Neturi nulių.
- Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos funkcijos reikšmės yra intervale (-∞; 0), o teigiamos reikšmės yra intervale (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:
Atvirkštinio proporcingumo problemos
Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jos nėra pernelyg sudėtingos, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinis proporcingumas ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.
Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?
Pradėti galime užrašydami formulę, apibūdinančią laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.
Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio mums reikia pagal uždavinio sąlygas: t 2 = 360/120 = 3 valandos.
Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.
Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:
↓ 60 km/h – 6 val
↓120 km/h – x h
Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.
2 užduotis. Dirbtuvėse dirba 6 darbuotojai, kurie tam tikrą darbų kiekį gali atlikti per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks likę darbuotojai, kad atliktų tą patį darbų kiekį?
Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:
↓ 6 darbuotojai – 4 val
↓ 3 darbuotojai – x val
Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 valandas, jei bus 2 kartus mažiau darbuotojų, likę dirbdami atliks 2 kartus daugiau laiko.
Užduotis Nr.3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Vienu vamzdžiu vanduo teka 2 l/s greičiu ir pripildo baseiną per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas prisipildys per 75 minutes. Kokiu greičiu šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?
Pirmiausia sumažinkime visus mums duotus kiekius pagal problemos sąlygas iki tų pačių matavimo vienetų. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Kadangi sąlyga reiškia, kad baseinas lėčiau prisipildo per antrąjį vamzdį, tai reiškia, kad vandens srautas yra mažesnis. Proporcingumas yra atvirkštinis. Išreikškime nežinomą greitį per x ir sudarykime tokią diagramą:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.
4 užduotis. Nedidelė privati spaustuvė spausdina vizitines korteles. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba visą dieną – 8 valandas. Jei jis dirbtų greičiau ir per valandą atspausdintų 48 vizitines korteles, kiek anksčiau jis galėtų grįžti namo?
Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:
↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val
↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val
Turime atvirkščiai proporcingą ryšį: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek kartų mažiau laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.
Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.
Išvada
Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat galvojate apie juos. Ir svarbiausia, kad žinios apie atvirkščiai proporcingą kiekių priklausomybę jums tikrai gali būti naudingos ne kartą.
Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Tačiau net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.
Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose, kad galėtų žaisti ir jūsų draugai bei klasės draugai.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Priklausomybės tipai
Pažiūrėkime, kaip įkrauti akumuliatorių. Kaip pirmą kiekį, skirkime laiko įkrovimui. Antroji reikšmė yra laikas, kurį jis veiks po įkrovimo. Kuo ilgiau krausite akumuliatorių, tuo ilgiau jis tarnaus. Procesas tęsis tol, kol baterija bus visiškai įkrauta.
Akumuliatoriaus veikimo laiko priklausomybė nuo įkrovimo laiko
1 pastaba
Ši priklausomybė vadinama tiesiai:
Didėjant vienai reikšmei, didėja ir antroji. Vienai reikšmei mažėjant, mažėja ir antroji vertė.
Pažvelkime į kitą pavyzdį.
Kuo daugiau knygų mokinys perskaitys, tuo mažiau diktante padarys klaidų. Arba kuo aukščiau pakilsite į kalnus, tuo žemesnis bus atmosferos slėgis.
Užrašas 2
Ši priklausomybė vadinama atvirkščiai:
Kai viena vertė didėja, antroji mažėja. Kai viena vertė mažėja, antroji reikšmė didėja.
Taigi, tuo atveju tiesioginė priklausomybė abu dydžiai kinta vienodai (abu didėja arba mažėja), o tuo atveju atvirkštinis ryšys– priešingai (vienas didėja, o kitas mažėja, arba atvirkščiai).
Priklausomybių tarp dydžių nustatymas
1 pavyzdys
Laikas, kurio reikia norint aplankyti draugą, yra 20 USD minučių. Jei greitis (pirmoji vertė) padidės $2$ kartų, pamatysime, kaip pasikeis laikas (antra reikšmė), kuris bus praleistas pakeliui pas draugą.
Akivaizdu, kad laikas sumažės 2 USD kartų.
3 pastaba
Ši priklausomybė vadinama proporcingas:
Kiek kartų keičiasi vienas dydis, kiek kartų keičiasi antrasis dydis.
2 pavyzdys
Už 2 USD duonos kepalus parduotuvėje reikia sumokėti 80 rublių. Jei jums reikia nusipirkti 4 USD duonos kepalų (duonos kiekis padidėja 2 USD kartus), kiek kartų daugiau turėsite sumokėti?
Akivaizdu, kad kaina taip pat padidės 2 USD kartus. Turime proporcingos priklausomybės pavyzdį.
Abiejuose pavyzdžiuose buvo nagrinėjamos proporcingos priklausomybės. Bet pavyzdyje su duonos kepalais kiekiai keičiasi viena kryptimi, todėl priklausomybė yra tiesiai. O ėjimo pas draugą pavyzdyje greičio ir laiko santykis yra atvirkščiai. Taigi yra tiesiogiai proporcingas santykis Ir atvirkščiai proporcingas ryšys.
Tiesioginis proporcingumas
Apsvarstykime 2 USD proporcingus kiekius: duonos kepalų skaičių ir jų kainą. Tegul duonos kepaliukai 2 USD kainuoja 80 USD. Jei bandelių skaičius padidės $4$ kartų ($8$ bandelės), bendra jų kaina bus $320$ rublių.
Ritimų skaičiaus santykis: $\frac(8)(2)=4$.
Bandelės kainos santykis: $\frac(320)(80)=4$.
Kaip matote, šie santykiai yra lygūs vienas kitam:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
1 apibrėžimas
Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.
Esant tiesiogiai proporcingai priklausomybei, ryšys gaunamas, kai pirmojo ir antrojo dydžių pokytis sutampa:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
2 apibrėžimas
Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingas, jei vienam iš jų pasikeitus (padidėjus arba mažėjant), kita reikšmė taip pat pasikeičia (atitinkamai didėja arba mažėja) tiek pat.
3 pavyzdys
Automobilis nuvažiavo 180 USD km per 2 USD valandas. Raskite laiką, per kurį jis įveiks $2$ kartų didesnį atstumą tuo pačiu greičiu.
Sprendimas.
Laikas yra tiesiogiai proporcingas atstumui:
$t=\frac(S)(v)$.
Kiek kartų padidės atstumas, esant pastoviam greičiui, tiek pat padidės laikas:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Automobilis nuvažiavo 180 USD km per 2 USD valandas
Automobilis nuvažiuos $180 \cdot 2=360$ km – per $x$ valandas
Kuo toliau automobilis važiuoja, tuo ilgiau užtruks. Vadinasi, santykis tarp kiekių yra tiesiogiai proporcingas.
Padarykime proporciją:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Atsakymas: Automobiliui reikės 4 USD valandų.
Atvirkštinis proporcingumas
3 apibrėžimas
Sprendimas.
Laikas atvirkščiai proporcingas greičiui:
$t=\frac(S)(v)$.
Kiek kartų greitis padidėja tuo pačiu keliu, laikas sumažėja tiek pat:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Parašykime problemos sąlygą lentelės pavidalu:
Automobilis nuvažiavo 60 USD km – per 6 USD valandas
Automobilis nuvažiuos $120$ km – per $x$ valandas
Kuo greičiau automobilis važiuoja, tuo mažiau laiko užtruks. Vadinasi, santykis tarp dydžių yra atvirkščiai proporcingas.
Padarykime proporciją.
Nes proporcingumas yra atvirkštinis, antrasis santykis yra atvirkštinis:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Atsakymas: Automobiliui reikės 3 USD valandų.
Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingas, jei vienam iš jų padidėjus kelis kartus, tiek pat padidėja kitas. Atitinkamai, kai vienas iš jų sumažėja kelis kartus, kitas sumažėja tiek pat.
Ryšys tarp tokių dydžių yra tiesioginis proporcingas ryšys. Tiesioginės proporcingos priklausomybės pavyzdžiai:
1) važiuojant pastoviu greičiu, nuvažiuotas atstumas yra tiesiogiai proporcingas laikui;
2) kvadrato ir jo kraštinių perimetras yra tiesiogiai proporcingi dydžiai;
3) viena kaina perkamos prekės savikaina yra tiesiogiai proporcinga jos kiekiui.
Norėdami atskirti tiesioginį proporcingą ryšį nuo atvirkštinio, galite naudoti patarlę: „Kuo toliau į mišką, tuo daugiau malkų“.
Patogu spręsti problemas, susijusias su tiesiogiai proporcingais dydžiais, naudojant proporcijas.
1) Norėdami pagaminti 10 dalių, jums reikia 3,5 kg metalo. Kiek metalo reikės pagaminti 12 šių dalių?
(Mes svarstome taip:
1. Užpildytame stulpelyje įdėkite rodyklę kryptimi nuo didžiausio skaičiaus iki mažiausio.
2. Kuo daugiau dalių, tuo daugiau metalo reikia joms pagaminti. Tai reiškia, kad tai yra tiesiogiai proporcingas santykis.
Tegul x kg metalo reikia 12 dalių pagaminti. Sudarome proporciją (kryptimi nuo rodyklės pradžios iki jos pabaigos):
12:10=x:3,5
Norėdami rasti , turite padalyti kraštutinių terminų sandaugą iš žinomo vidurinio termino:
Tai reiškia, kad reikės 4,2 kg metalo.
Atsakymas: 4,2 kg.
2) Už 15 metrų audinio jie sumokėjo 1680 rublių. Kiek kainuoja 12 metrų tokio audinio?
(1. Užpildytame stulpelyje įdėkite rodyklę kryptimi nuo didžiausio skaičiaus iki mažiausio.
2. Kuo mažiau audinio perkate, tuo mažiau už jį turėsite mokėti. Tai reiškia, kad tai yra tiesiogiai proporcingas santykis.
3. Todėl antroji rodyklė yra ta pačia kryptimi kaip ir pirmoji).
Tegul x rubliai kainuoja 12 metrų audinio. Sudarome proporciją (nuo rodyklės pradžios iki jos pabaigos):
15:12=1680:x
Norėdami rasti nežinomą kraštutinį proporcijos narį, padalykite vidurinių dalių sandaugą iš žinomo kraštutinio proporcijos nario:
Tai reiškia, kad 12 metrų kainavo 1344 rublius.
Atsakymas: 1344 rubliai.
Apie mokymosi naudojant vaizdo pamokas privalumus galime kalbėti be galo. Pirma, jie aiškiai ir suprantamai, nuosekliai ir struktūriškai pateikia savo mintis. Antra, jie užtrunka tam tikrą nustatytą laiką ir nėra dažnai ištęsti ir varginantys. Trečia, jos mokiniams įdomesnės nei įprastos pamokos, prie kurių jie įpratę. Galite juos žiūrėti ramioje atmosferoje.
Daugelyje matematikos kurso uždavinių 6 klasės mokiniai susidurs su tiesioginiais ir atvirkščiai proporcingais ryšiais. Prieš pradedant studijuoti šią temą, verta prisiminti, kokios yra proporcijos ir kokios pagrindinės jų savybės.
Ankstesnė vaizdo pamoka skirta temai „Proporcijos“. Tai yra logiškas tęsinys. Verta paminėti, kad tema yra gana svarbi ir dažnai sutinkama. Verta kartą ir visiems laikams tinkamai suprasti.
Norėdami parodyti temos svarbą, vaizdo pamoka prasideda užduotimi. Sąlyga pasirodo ekrane ir praneša diktorius. Duomenų įrašas pateikiamas tam tikros diagramos pavidalu, kad vaizdo įrašą žiūrintis mokinys galėtų kuo geriau suprasti. Būtų geriau, jei iš pradžių jis laikytųsi šios įrašymo formos.
Nežinomybė, kaip įprasta daugeliu atvejų, žymima lotyniška raide x. Norėdami jį rasti, pirmiausia turite padauginti reikšmes skersai. Taigi bus gauta dviejų santykių lygybė. Tai rodo, kad tai susiję su proporcijomis ir verta prisiminti pagrindinę jų savybę. Atkreipkite dėmesį, kad visos vertės nurodytos tame pačiame matavimo vienete. Priešingu atveju reikėjo juos sumažinti iki vieno matmens.
Peržiūrėję vaizdo įraše pateiktą sprendimo būdą, su tokiomis problemomis neturėtų kilti jokių sunkumų. Diktorius komentuoja kiekvieną žingsnį, paaiškina visus veiksmus ir prisimena išstuduotą medžiagą, kuri buvo naudojama.
Iš karto pažiūrėję pirmąją video pamokos dalį „Tiesioginės ir atvirkštinės proporcinės priklausomybės“ galite paprašyti mokinio išspręsti tą pačią problemą be užuominų pagalbos. Po to galite pasiūlyti alternatyvią užduotį.
Atsižvelgiant į mokinio protinius gebėjimus, vėlesnių užduočių sunkumas gali būti palaipsniui didinamas.
Išnagrinėjus pirmą problemą, pateikiamas tiesiogiai proporcingų dydžių apibrėžimas. Apibrėžimą perskaito pranešėjas. Pagrindinė koncepcija paryškinta raudonai.
Toliau parodoma kita problema, kuria remiantis paaiškinamas atvirkštinis proporcingas ryšys. Geriausia, kad mokinys šias sąvokas užsirašytų į sąsiuvinį. Jei reikia, prieš testus studentas gali nesunkiai surasti visas taisykles ir apibrėžimus ir juos perskaityti iš naujo.
Pažiūrėjęs šį filmuką, 6 klasės mokinys supras, kaip tam tikrose užduotyse naudoti proporcijas. Tai gana svarbi tema, kurios jokiu būdu negalima praleisti. Jei mokinys nesugeba suvokti mokytojo pateiktos medžiagos per pamoką tarp kitų mokinių, tokie mokomieji ištekliai bus puikus išsigelbėjimas!
