Duota atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo serija, raskite ją. Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“

X yra pateiktas tikimybių skirstinio dėsniu: Tada jo standartinis nuokrypis lygus ... 0,80

Sprendimas:
Atsitiktinio dydžio X standartinis nuokrypis apibrėžiamas kaip , kur diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę Tada , ir

Sprendimas:
A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra juodas) taikome bendrosios tikimybės formulę: Čia yra tikimybė, kad baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – tikimybė, kad juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas, jei baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas, jei juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą.

Diskrečiasis atsitiktinis dydis X pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu: Tada tikimybė lygus...

Sprendimas:
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę. Tada

Arba . Išspręsdami paskutinę lygtį, gauname dvi šaknis ir

Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių, lygi...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį A (tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių), naudojame formulę kur n m– elementariųjų baigčių, palankių įvykiui A, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių baigčių skaičius yra lygus būdų, kuriais iš 12 turimų, galima išskirti tris detales, t.

Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kaip iš penkių galima išskirti tris sugedusias dalis, skaičiui, t.

Juridiniams asmenims bankas išduoda 44 proc., fiziniams asmenims – 56 proc. Tikimybė, kad juridinis asmuo negrąžins paskolos laiku, yra 0,2; o individui ši tikimybė yra 0,1. Tada tikimybė, kad kita paskola bus grąžinta laiku, yra...

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(išduota paskola bus grąžinta laiku) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad paskola buvo išduota juridiniam asmeniui; – tikimybė, kad paskola buvo išduota asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola bus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota juridiniam asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola bus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota fiziniam asmeniui. Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui X

Tema: Tikimybių nustatymas
Kauliukas metamas du kartus. Tada tikimybė, kad susuktų taškų suma yra ne mažesnė kaip devyni, yra...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį (surinktų taškų suma bus ne mažesnė kaip devyni), naudojame formulę , kur yra bendras galimų elementarių testo rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius A. Mūsų atveju tai įmanoma elementarių testų rezultatai, iš kurių palankūs yra , , , , , , , ir formos rezultatai, tai yra. Vadinasi,

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai

tikimybių pasiskirstymo funkcija yra tokia:

Tada parametro reikšmė gali būti lygi...

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Todėl ir. Šias sąlygas tenkina, pavyzdžiui, vertė

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Nuolatinis atsitiktinis kintamasis nurodomas tikimybių pasiskirstymo funkcija:

Tada jo dispersija yra...

Sprendimas:
Šis atsitiktinis dydis intervale pasiskirsto tolygiai. Tada jo dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę . Tai yra

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Pirmoje urnoje yra 6 juodi rutuliai ir 4 balti rutuliai. Antroje urnoje yra 2 balti ir 8 juodi rutuliai. Iš atsitiktinės urnos buvo paimtas vienas kamuoliukas, kuris pasirodė baltas. Tada tikimybė, kad šis rutulys buvo ištrauktas iš pirmosios urnos, yra...

Sprendimas:
A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) pagal bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš pirmosios urnos; – tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš antrosios urnos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš pirmosios urnos; yra sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš antrosios urnos.
Tada .
Dabar apskaičiuokime sąlyginę tikimybę, kad šis rutulys buvo ištrauktas iš pirmosios urnos pagal Bayes formulę:

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Diskretus atsitiktinis dydis X yra pateikta tikimybių pasiskirstymo dėsnio:

Tada jo dispersija yra...

Sprendimas:
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Tada
a) , ,
b) , ,
c) , ,
d) , ,
d) , .
Vadinasi,

Tema: Tikimybių nustatymas
Taškas atsitiktinai išmestas 4 spindulio apskritimo viduje. Tada tikimybė, kad taškas bus už apskritime įrašyto kvadrato, yra...

Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra sugedusių dalių, lygi...

Sprendimas:
Įvykiui apskaičiuoti (tarp pasirinktų dalių nėra defektinių dalių) naudojame formulę kur n yra bendras galimų elementarių testų rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kuriais galima išskirti tris detales iš 12 turimų, skaičiui. Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kuriais iš septynių galima išgauti tris nesugedusias dalis, skaičiui, t. Vadinasi,

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A
Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretusis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada tikimybė lygus...

Sprendimas:
Pasinaudokime formule . Tada

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės

Sprendimas:
Pirmiausia apskaičiuokime įvykio tikimybę A
.
.

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Tada jo matematinis lūkestis yra...

Sprendimas:
Pasinaudokime formule . Tada .

Tema: Tikimybių nustatymas

Sprendimas:

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Ištisinis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu . Tada matematinis lūkestis a ir šio atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis yra lygus ...

Sprendimas:
Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą , Kur,. Štai kodėl .

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretusis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada vertybės a Ir b gali buti lygus...

Sprendimas:
Kadangi galimų verčių tikimybių suma yra lygi 1, tada . Atsakymas tenkina šią sąlygą: .

Tema: Tikimybių nustatymas
Mažesnis 5 spindulio apskritimas dedamas į 8 spindulio apskritimą. Tada tikimybė, kad taškas, atsitiktinai įmestas į didesnį apskritimą, taip pat pateks į mažesnį apskritimą, yra ...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti norimo įvykio tikimybę, naudojame formulę , kur mažesnio apskritimo plotas ir didesnio apskritimo plotas. Vadinasi, .

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Pirmoje urnoje yra 3 juodi rutuliai ir 7 balti rutuliai. Antroje urnoje yra 4 balti rutuliai ir 5 juodi rutuliai. Vienas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją. Tada tikimybė, kad iš antrosios urnos atsitiktinai ištrauktas rutulys bus baltas, yra...

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – tikimybė, kad juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei juodas rutulys perkeliamas iš pirmos urnos į antrą.
Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui:

tikimybių pasiskirstymo funkcija yra tokia:

Tada parametro reikšmė gali būti lygi...

N 10 UŽDUOTIS pranešti apie klaidą
Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Juridiniams asmenims bankas išduoda 70 proc. visų paskolų, fiziniams asmenims – 30 proc. Tikimybė, kad juridinis asmuo laiku negrąžins paskolos, yra 0,15; o individui ši tikimybė yra 0,05. Buvo gautas pranešimas, kad paskola negrąžinta. Tuomet tikimybė, kad juridinis asmuo šios paskolos negrąžino, yra...

Sprendimas:
Pirmiausia apskaičiuokime įvykio tikimybę A(išduota paskola nebus grąžinta laiku) pagal bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad paskola buvo išduota juridiniam asmeniui; – tikimybė, kad paskola buvo išduota asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola nebus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota juridiniam asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola nebus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota fiziniam asmeniui. Tada
.
Dabar apskaičiuokime sąlyginę tikimybę, kad šios paskolos negrąžino juridinis asmuo, naudodami Bayes formulę:
.

UŽDUOTIS N 11 praneškite apie klaidą
Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių, lygi...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį (tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių), naudojame formulę kur n yra bendras galimų elementarių testų rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių rezultatų skaičius yra lygus skaičiui būdų, kuriais iš 12 turimų galima išskirti tris detales, t. Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kaip iš penkių galima išskirti tris sugedusias dalis, skaičiui, t. Vadinasi,

UŽDUOTIS N 12 praneškite apie klaidą
Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Nuolatinis atsitiktinis kintamasis nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu:

Tada jo dispersija yra...

Sprendimas:
Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę

Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretusis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada jos tikimybių pasiskirstymo funkcija turi formą...

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Tada
a) , ,
b) , ,
c) , ,
d) , ,
d) , .
Vadinasi,

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Yra trys urnos, kuriose yra 5 balti ir 5 juodi rutuliai, ir septynios urnos, kuriose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Vienas rutulys ištraukiamas iš atsitiktinės urnos. Tada tikimybė, kad šis rutulys yra baltas, yra...

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad kamuoliukas bus ištrauktas iš pirmosios urnų serijos; – tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš antrosios urnų serijos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš pirmosios urnų serijos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš antrosios urnų serijos.
Tada .

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretusis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada tikimybė lygus...

Tema: Tikimybių nustatymas
Kauliukas metamas du kartus. Tada tikimybė, kad ištrauktų taškų suma yra dešimt, yra...

Galime išskirti dažniausiai pasitaikančius diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnius:

• Binominio skirstymo dėsnis
• Poisson platinimo dėsnis
• Geometrinio pasiskirstymo dėsnis
• Hipergeometrinio skirstinio dėsnis

Pateiktiems diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skirstiniams jų reikšmių tikimybių, taip pat skaitinių charakteristikų (matematinių lūkesčių, dispersijos ir kt.) skaičiavimas atliekamas naudojant tam tikras „formules“. Todėl labai svarbu žinoti šių tipų skirstinius ir jų pagrindines savybes.

1. Binominio skirstinio dėsnis.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui $X$ taikomas dvinario tikimybių skirstymo dėsnis, jei jis įgyja reikšmes $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Tiesą sakant, atsitiktinis kintamasis $X$ yra įvykio $A$ atvejų skaičius $n$ nepriklausomuose bandymuose. Atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \taškai & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(masyvas)$

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra $M\left(X\right)=np$, dispersija yra $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Pavyzdys . Šeima augina du vaikus. Darant prielaidą, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės lygi $0,5$, raskite atsitiktinio dydžio $\xi$ – berniukų skaičiaus šeimoje pasiskirstymo dėsnį.

Tegul atsitiktinis dydis $\xi $ yra berniukų skaičius šeimoje. Reikšmės, kurias gali užimti $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Šių reikšmių tikimybes galima rasti naudojant formulę $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kur $n =2$ – nepriklausomų bandymų skaičius, $p=0,5$ – įvykio, kuris įvyks $n$ bandymų serijoje, tikimybė. Mes gauname:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25 $

Tada atsitiktinio dydžio $\xi $ pasiskirstymo dėsnis yra reikšmių $0,\ 1,\ 2$ ir jų tikimybių atitikimas, tai yra:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) ir 0,25 ir 0,5 ir 0,25 \\
\hline
\end(masyvas)$

Pasiskirstymo dėsnio tikimybių suma turi būti lygi $1$, tai yra $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Laukimas $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, dispersija $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standartinis nuokrypis $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\apie 0.707 $.

2. Puasono pasiskirstymo dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

komentuoti. Šio skirstinio ypatumas yra tas, kad remiantis eksperimentiniais duomenimis randame įverčius $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, jei gauti įverčiai yra arti vienas kito, tai turime priežastis teigti, kad atsitiktiniam dydžiui taikomas Puasono skirstinio įstatymas.

Pavyzdys . Atsitiktinių dydžių, kuriems taikomas Puasono skirstymo įstatymas, pavyzdžiai gali būti: automobilių, kuriuos rytoj aptarnaus degalinė, skaičius; pagamintų gaminių nekokybiškų elementų skaičius.

Pavyzdys . Gamykla į bazę išsiuntė 500 USD produktų. Tikimybė, kad gaminys bus sugadintas gabenant, yra 0,002 USD. Raskite atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnį, lygų sugadintų gaminių skaičiui; kas yra $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Tegul diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugadintų gaminių skaičius. Tokiam atsitiktiniam dydžiui taikomas Puasono skirstinio dėsnis su parametru $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Reikšmių tikimybės yra lygios $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(masyvas)$

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija yra lygūs vienas kitam ir yra lygūs parametrui $\lambda $, tai yra $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda = 1 USD.

3. Geometrinio skirstinio dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tik natūralias reikšmes $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ su tikimybėmis $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dešinėje)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, tada jie sako, kad tokiam atsitiktiniam dydžiui $X$ galioja geometrinis tikimybių skirstinio dėsnis. Tiesą sakant, geometrinis skirstinys yra Bernoulli testas iki pirmosios sėkmės.

Pavyzdys . Atsitiktinių dydžių, turinčių geometrinį pasiskirstymą, pavyzdžiai gali būti: šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį; prietaiso bandymų skaičius iki pirmojo gedimo; monetų metimų skaičius, kol pasirodys pirmoji galvutė ir kt.

Atsitiktinio dydžio, kuriam priklauso geometrinis pasiskirstymas, matematinė prognozė ir dispersija yra atitinkamai lygios $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 USD.

Pavyzdys . Žuvies judėjimo kelyje į neršto vietą yra 4$ užraktas. Tikimybė, kad žuvis praeis pro kiekvieną šliuzą $p=3/5$. Sukurkite atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo seką – žuvies praplaukusių šliuzų skaičių prieš pirmąjį sulaikymą prie šliuzo. Raskite $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$.

Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra žuvies perleistų spynų skaičius prieš pirmąjį sulaikymą prie šliuzo. Tokiam atsitiktiniam dydžiui galioja geometrinis tikimybių skirstinio dėsnis. Reikšmės, kurias gali gauti atsitiktinis kintamasis $X: $ 1, 2, 3, 4. Šių reikšmių tikimybės apskaičiuojamos naudojant formulę: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kur: $ p=2/5$ - tikimybė, kad žuvis bus sulaikyta per šliuzą, $q=1-p=3/5$ - tikimybė, kad žuvis praeis pro šliuzą, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4 USD.

$P\left(X=1\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ virš (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ virš (5))\cdot ((9)\virš (25))=((18)\virš (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\virš (5))\ctaškas (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\virš (5))\dešinėn))^4=((27)\virš (125))=0,216.$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i ir 1 ir 2 ir 3 ir 4 \\
\hline
P\kairė(X_i\dešinė) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(masyvas)$

Matematiniai lūkesčiai:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Sklaida:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1–2 176\dešinė))^2+0,24\cdot (\kairė(2–2176\dešinė))^2+0,144\cdot (\kairė(3–2176\dešinė))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2176\right))^2\apie 1.377.$

Standartinis nuokrypis:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\apytiksliai 1173.$

4. Hipergeometrinio skirstinio dėsnis.

Jei $N$ objektai, tarp kurių $m$ objektai turi nurodytą savybę. $n$ objektai yra atsitiktinai nuskaitomi be grąžinimo, tarp kurių buvo $k$ objektų, turinčių nurodytą savybę. Hipergeometrinis skirstinys leidžia įvertinti tikimybę, kad imtyje esantys objektai tiksliai $k$ turi tam tikrą savybę. Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra objektų imtyje, turinčių tam tikrą savybę, skaičius. Tada atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių tikimybės:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

komentuoti. Excel $f_x$ funkcijos vedlio HYPERGEOMET statistinė funkcija leidžia nustatyti tikimybę, kad tam tikras skaičius testų bus sėkmingas.

$f_x\to$ statistiniai$\iki $ HIPERGEOMETA$\iki $ Gerai. Pasirodys dialogo langas, kurį turėsite užpildyti. Stulpelyje Sėkmių_pavyzdyje_skaičius nurodykite reikšmę $k$. mėginio_dydis lygus $n$. Stulpelyje Sėkmės_kartu_skaičius nurodykite reikšmę $m$. populiacijos_dydis lygus $N$.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ matematinė prognozė ir dispersija, kuriai taikomas geometrinio skirstymo dėsnis, yra atitinkamai lygios $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Pavyzdys . Banko kredito skyriuje dirba 5 aukštąjį finansinį išsilavinimą turintys ir 3 aukštąjį teisinį išsilavinimą turintys specialistai. Banko vadovybė nusprendė siųsti 3 specialistus kvalifikacijos kėlimui, juos atrinkdama atsitiktine tvarka.

a) sudaryti aukštąjį finansinį išsilavinimą turinčių specialistų, kurie gali būti išsiųsti tobulinti savo įgūdžius, paskirstymo seriją;

b) Raskite šio skirstinio skaitines charakteristikas.

Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra aukštąjį finansinį išsilavinimą turinčių specialistų skaičius tarp trijų pasirinktų. Reikšmės, kurias gali užimti $X: 0,\1,\2,\3$. Šis atsitiktinis dydis $X$ yra paskirstytas pagal hipergeometrinį pasiskirstymą su šiais parametrais: $N=8$ – populiacijos dydis, $m=5$ – sėkmingų populiacijos skaičius, $n=3$ – imties dydis, $ k=0,\ 1, \2,\3$ – sėkmingų imties skaičius. Tada tikimybes $P\left(X=k\right)$ galima apskaičiuoti naudojant formulę: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ virš C_(N)^(n) ) $. Turime:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\apytiksliai 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\virš (56))\apytiksliai 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\virš (28))\apytiksliai 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\apytiksliai 0,179.$

Tada atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo eilutė:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i ir 0 ir 1 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,018 ir 0,268 ir 0,536 ir 0,179 \\
\hline
\end(masyvas)$

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ skaitines charakteristikas naudodami bendras hipergeometrinio skirstinio formules.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\kairė(X\dešinė)=((nm\kairė(1-((m)\virš (N))\dešinė)\kairė(1-((n)\virš (N))\dešinė)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dešinė))\virš (8-1))=((225)\virš (448))\apytiksliai 0,502 $

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\apytiksliai 0,7085.$

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

studijuoti Korespondencinio ugdymo apskaitos fakulteto (NISPO) studentų temą „Atsitiktiniai kintamieji“

Gorkis, 2013 m

Atsitiktiniai kintamieji

Diskretieji ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra sąvoka atsitiktinis kintamasis . Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris dėl bandymo įgauna tik vieną iš daugelio galimų reikšmių ir iš anksto nežinoma, kuri.

Yra atsitiktiniai kintamieji diskretiškas ir tęstinis . Diskretusis atsitiktinis kintamasis (DRV) yra atsitiktinis dydis, kuris gali įgyti baigtinį skaičių reikšmių, atskirtų viena nuo kitos, t.y. jei galimas šio dydžio vertes galima perskaičiuoti. Nuolatinis atsitiktinis kintamasis (CRV) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos reikšmės visiškai užpildo tam tikrą skaičių eilutės intervalą.

Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis X, Y, Z ir kt. Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės nurodomos atitinkamomis mažomis raidėmis.

Įrašas
reiškia „tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X reikšmė bus 5, lygi 0,28.

1 pavyzdys . X Kauliukai metami vieną kartą. Tokiu atveju gali pasirodyti skaičiai nuo 1 iki 6, nurodantys taškų skaičių. Pažymime atsitiktinį kintamąjį X=(surinktų taškų skaičius). Šis atsitiktinis dydis testo rezultatu gali turėti tik vieną iš šešių reikšmių: 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Todėl atsitiktinis dydis

yra DSV. 2 pavyzdys X. Išmetus akmenį, jis nukeliauja tam tikrą atstumą. Pažymime atsitiktinį kintamąjį X=(akmens skrydžio nuotolis). Šis atsitiktinis kintamasis gali gauti bet kurią, bet tik vieną, reikšmę iš tam tikro intervalo. Todėl atsitiktinis dydis

yra NSV.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis .

Jei žinomos visos galimos reikšmės
atsitiktinis kintamasis X ir tikimybės
šių vertybių atsiradimas, tada manoma, kad DSV pasiskirstymo dėsnis X yra žinomas ir gali būti parašytas lentelės forma:

DSV paskirstymo dėsnį galima pavaizduoti grafiškai, jei taškai pavaizduoti stačiakampėje koordinačių sistemoje
,
, …,
ir sujungti juos tiesiomis linijomis. Gauta figūra vadinama pasiskirstymo daugiakampiu.

3 pavyzdys . Valymui skirtuose grūduose yra 10% piktžolių. Atsitiktinai atrinkti 4 grūdai. Pažymime atsitiktinį kintamąjį X=(piktžolių skaičius tarp keturių pasirinktų). Sukurkite DSV platinimo dėsnį X ir paskirstymo daugiakampis.

Sprendimas . Pagal pavyzdžio sąlygas. Tada:

Užrašykime DSV X pasiskirstymo dėsnį lentelės pavidalu ir sukurkime paskirstymo daugiakampį:

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Svarbiausios diskretinio atsitiktinio dydžio savybės apibūdinamos jo charakteristikomis. Viena iš šių savybių yra matematinis lūkestis atsitiktinis kintamasis.

Tegul DSV platinimo įstatymas yra žinomas X:

Matematinis lūkestis DSV X yra kiekvienos šio dydžio vertės ir atitinkamos tikimybės sandaugų suma:
.

Atsitiktinio dydžio matematinis tikėjimas yra maždaug lygus visų jo reikšmių aritmetiniam vidurkiui. Todėl praktiniuose uždaviniuose vidutinė šio atsitiktinio dydžio reikšmė dažnai laikoma matematiniu lūkesčiu.

Pavyzdys 8 . Šaulys renka 4, 8, 9 ir 10 taškų su 0,1, 0,45, 0,3 ir 0,15 tikimybe. Raskite matematinį taškų skaičių vienu šūviu.

Sprendimas . Pažymime atsitiktinį kintamąjį X=(surinktų taškų skaičius). Tada . Taigi, vienu metimu numatomas pelnytų taškų vidurkis – 8,2, o 10 – 82.

Pagrindinės savybės matematiniai lūkesčiai yra šie:

.

.

, Kur
,
.

.

, Kur X Ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Skirtumas
paskambino nukrypimas atsitiktinis kintamasis X nuo jo matematinių lūkesčių. Šis skirtumas yra atsitiktinis dydis ir jo matematinis lūkestis lygus nuliui, t.y.
.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija

Atsitiktiniam dydžiui apibūdinti, be matematinio lūkesčio, taip pat naudojame dispersija , kuris leidžia įvertinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą (sklaidą) aplink jo matematinį lūkestį. Lyginant du vienarūšius atsitiktinius dydžius su vienodais matematiniais lūkesčiais, „geriausia“ reikšme laikoma ta, kurios sklaida mažesnė, t.y. mažesnė dispersija.

Dispersija atsitiktinis kintamasis X vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu: .

Praktiniuose uždaviniuose dispersijai apskaičiuoti naudojama lygiavertė formulė.

Pagrindinės dispersijos savybės yra šios:

.

Atsitiktinis kintamasis yra kintamasis, kuris, priklausomai nuo įvairių aplinkybių, gali įgyti tam tikras reikšmes, o savo ruožtu atsitiktinis kintamasis vadinamas diskretiškas , jei jo reikšmių rinkinys yra baigtinis arba skaičiuojamas.

Be diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, yra ir nuolatinių atsitiktinių dydžių.

Išsamiau panagrinėkime atsitiktinio dydžio sąvoką. Praktikoje dažnai pasitaiko dydžių, galinčių įgyti tam tikras reikšmes, tačiau neįmanoma patikimai numatyti, kokią vertę kiekvienas iš jų įgaus nagrinėjamoje patirtyje, reiškinyje ar stebėjime. Pavyzdžiui, berniukų, kurie gims Maskvoje kitą dieną, skaičius gali skirtis. Jis gali būti lygus nuliui (negims nei vienas berniukas: gims visos mergaitės arba išvis nebus naujagimių), vienas, du ir tt iki kokio nors baigtinio skaičiaus n. Į tokias reikšmes įeina: cukrinių runkelių šaknų masė aikštelėje, artilerijos sviedinio skrydžio nuotolis, sugedusių dalių skaičius partijoje ir pan. Tokius kiekius vadinsime atsitiktiniais. Jie apibūdina visus galimus patirties ar stebėjimo rezultatus kiekybiniu požiūriu.

Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai su baigtiniu skaičiumi verčių gali būti vaikų, gimusių per dieną apgyvendintoje vietovėje, skaičius, autobusų keleivių skaičius, Maskvos metro per dieną vežamų keleivių skaičius ir kt.

Diskretaus atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius gali būti begalinis, bet skaičiuojamas. Bet bet kuriuo atveju jie gali būti sunumeruoti tam tikra tvarka arba, tiksliau, galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikmenį tarp atsitiktinio dydžio reikšmių ir natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, ... , n.

Dėmesio: nauja, labai svarbi tikimybių teorijos samprata - paskirstymo įstatymas . Leiskite X gali priimti n vertės: . Darysime prielaidą, kad jie visi skirtingi (kitaip reikėtų derinti tuos pačius) ir išdėstyti didėjančia tvarka. Norėdami visiškai apibūdinti diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį turi būti nurodytos ne tik visos jo reikšmės, bet ir tikimybės , su kuria atsitiktinis dydis įgauna kiekvieną iš reikšmių, t.y. .

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis iškviečiama bet kokia taisyklė (funkcija, lentelė). p(x), kuri leidžia rasti visų rūšių įvykių, susijusių su atsitiktiniu dydžiu, tikimybes (pavyzdžiui, tikimybę, kad tai yra kokios nors reikšmės pavyzdys arba patenka į kokį nors intervalą).

Paprasčiausia ir patogiausia diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį nustatyti tokios lentelės pavidalu:

Ši lentelė vadinama netoli diskretinio atsitiktinio dydžio skirstinio. Viršutinėje paskirstymo serijos eilutėje didėjimo tvarka pateikiamos visos galimos diskretinio atsitiktinio dydžio (x) reikšmės, o apatinėje eilutėje pateikiamos šių reikšmių tikimybės ( p).

Renginiai yra nesuderinami ir vieninteliai galimi: jie sudaro ištisą įvykių sistemą. Todėl jų tikimybių suma lygi vienetui:

.

1 pavyzdys. Mokinių grupėje buvo surengta loterija. Galima pasiimti du daiktus, kurių vertė 1000 RUB. ir vienas kainuojantis 3000 rublių. Sudarykite grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą studentui, įsigijusiam vieną bilietą už 100 rublių. Iš viso parduota 50 bilietų.

Sprendimas. Atsitiktinis kintamasis, kuris mus domina, yra X gali būti trys vertės: - 100 rub. (jei studentas nelaimi, o realiai praranda 100 rublių, sumokėtų už bilietą), 900 rublių. ir 2900 rub. (faktinis laimėjimas sumažinamas 100 rublių - pagal bilieto kainą). Pirmas rezultatas palankesnis 47 kartus iš 50, antrasis - 2, o trečias - vienas. Todėl jų tikimybė yra tokia: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X atrodo kaip

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija: konstrukcija

Pasiskirstymo eilutę galima sudaryti tik diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui (nediskrečiam atsitiktiniam dydžiui ji negali būti sudaryta, jei tik dėl to, kad tokio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių rinkinys yra nesuskaičiuojamas, jie negali būti išvardyti viršuje lentelės eilutė).

Bendriausia skirstinio dėsnio forma, tinkanti visiems atsitiktiniams dydžiams (ir diskretiesiems, ir nediskretiesiems), yra pasiskirstymo funkcija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija arba integrali funkcija vadinama funkcija , kuris nustato tikimybę, kad atsitiktinio dydžio reikšmė X mažesnė arba lygi ribinei vertei X.

Bet kurio diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra nepertraukiamo žingsnio funkcija, kurios šuoliai įvyksta taškuose, atitinkančiuose galimas atsitiktinio dydžio reikšmes, ir yra lygūs šių reikšmių tikimybei.

2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X- taškų, gautų metant kauliuką, skaičius. Apskaičiuokite jo pasiskirstymo funkciją.

Sprendimas. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X turi formą:

Paskirstymo funkcija F(x) turi 6 šuolius, kurių dydis lygus 1/6 (paveikslėlyje žemiau).

3 pavyzdys. Urnoje yra 6 balti rutuliai ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos ištraukiami 3 rutuliai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Sudarykite jį atitinkantį paskirstymo dėsnį.

X gali įgauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes lengviausia apskaičiuoti naudojant tikimybių daugybos taisyklė. Gauname tokį diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį:

4 pavyzdys. Sudarykite paskirstymo dėsnį diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui - pataikymų į taikinį keturiais šūviais skaičius, jei pataikymo vienu šūviu tikimybė yra 0,1.

Sprendimas. Diskretus atsitiktinis dydis X gali būti penkios skirtingos reikšmės: 1, 2, 3, 4, 5. Atitinkamas tikimybes randame naudodami Bernulio formulė . At

n = 4 ,

p = 1,1 ,

q = 1 - p = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

gauname

Vadinasi, diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X atrodo kaip

Jei diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybes galima nustatyti naudojant Bernulio formulę, tada atsitiktinis dydis turi binominis skirstinys .

Jei bandymų skaičius yra pakankamai didelis, tada tikimybė, kad šiuose bandymuose įvyks dominantis įvykis yra m kartų, laikosi įstatymų Puasono pasiskirstymas .

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija: skaičiavimas

Apskaičiuoti diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio funkciją F(X), reikia susumuoti visų tų verčių, kurios yra mažesnės arba lygios ribinei vertei, tikimybes X.

5 pavyzdys. Lentelėje parodyta per metus iširusių santuokų skaičiaus priklausomybė nuo santuokos trukmės. Raskite tikimybę, kad kita išsiskyrusi santuoka truko ne ilgiau kaip 5 metus.

Sprendimas. Tikimybės apskaičiuojamos atitinkamų iširusių santuokų skaičių padalijus iš bendro skaičiaus 6010. Tikimybė, kad kita nutraukta santuoka truko 5 metus, yra 0,056. Tikimybė, kad kitos nutrauktos santuokos trukmė bus mažesnė arba lygi 5 metams, yra 0,186. Mes tai gavome pridėję vertę F(x) santuokoms, kurių trukmė yra 4 metai imtinai, tikimybė, kad santuoka sudarys 5 metus.

Ryšys tarp diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio ir matematinio lūkesčio bei dispersijos

Dažnai žinomos ne visos diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmės, tačiau žinomos kai kurios vertės ar tikimybės iš serijos, taip pat atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir (ar) dispersija, kuriai skirta atskira pamoka.

Pateikiame keletą šios pamokos formulių, kurios gali padėti sudaryti diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį, ir analizuosime tokių problemų sprendimo pavyzdžius.

Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

(1)

Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersijos formulė pagal apibrėžimą yra tokia:

Dažnai skaičiavimams patogesnė yra ši dispersijos formulė:

, (2)

Kur .

6 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X gali turėti tik dvi reikšmes. Su tikimybe reikia mažesnės vertės p= 0,6. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį X, jei žinoma, kad jo matematinė prognozė ir dispersija yra .

Sprendimas. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis didesnę reikšmę x2 , yra lygus 1–0,6 = 4. Naudodami matematinio lūkesčio formulę (1), sukuriame lygtį, kurioje nežinomieji yra mūsų diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmės:

Naudodami dispersijos formulę (2), sukuriame kitą lygtį, kurioje nežinomieji taip pat yra diskretiško atsitiktinio dydžio reikšmės:

Dviejų gautų lygčių sistema

išspręsti pakeitimo metodu. Iš pirmosios lygties gauname

Pakeitę šią išraišką į antrąją lygtį, po paprastų transformacijų gauname kvadratinė lygtis

,

kuri turi dvi šaknis: 7/5 ir −1. Pirmoji šaknis neatitinka problemos sąlygų, nes x2 < x 1 . Taigi, reikšmės, kurias gali turėti diskretinis atsitiktinis kintamasis X pagal mūsų pavyzdžio sąlygas yra lygūs x1 = −1 Ir x2 = 2 .

Atsitiktinis kintamasis Kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris kiekvieno testo rezultate, priklausomai nuo atsitiktinių priežasčių, įgyja vieną anksčiau nežinomą reikšmę. Atsitiktiniai dydžiai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Atsitiktiniai dydžiai pagal jų tipą gali būti diskretiškas Ir tęstinis.

Diskretus atsitiktinis dydis- tai yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti ne daugiau kaip skaičiuojamos, tai yra, baigtinės arba skaičiuojamos. Suskaičiuojamumas reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmės gali būti sunumeruotos.

1 pavyzdys . Čia yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

a) smūgių į taikinį skaičius su $n$ šūviais, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) emblemų skaičius nukrito metant monetą, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) į laivą atplaukiančių laivų skaičius (suskaičiuojamas verčių rinkinys).

d) skambučių, gaunamų į PBX, skaičius (skaičiuojamas reikšmių rinkinys).

1. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis.

Diskretus atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti reikšmes $x_1,\dots ,\ x_n$ su tikimybėmis $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Šių verčių ir jų tikimybių atitikimas vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Paprastai šis atitikimas nurodomas naudojant lentelę, kurios pirmoje eilutėje nurodomos reikšmės $x_1,\dots ,\ x_n$, o antroje eilutėje yra tikimybės $p_1,\dots ,\ p_n$, atitinkančios šias vertybes.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \taškai & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \taškai & p_n \\
\hline
\end(masyvas)$

2 pavyzdys . Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra taškų, metamų metant kauliuką, skaičius. Toks atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tokias reikšmes: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Visų šių verčių tikimybė yra lygi $ 1/6 $. Tada atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(masyvas)$

komentuoti. Kadangi diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnyje įvykiai $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ sudaro visą įvykių grupę, tada tikimybių suma turi būti lygi vienetui, tai yra $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis.

Atsitiktinio dydžio laukimas nustato savo „centrinę“ reikšmę. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui matematinė lūkestis apskaičiuojamas kaip reikšmių $x_1,\taškai ,\ x_n$ ir šias reikšmes atitinkančių tikimybių $p_1,\taškai ,\ p_n$ sandaugų suma, ty : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Literatūroje anglų kalba naudojama kita žyma $E\left(X\right)$.

Matematinės lūkesčių savybės$M\kairė(X\dešinė)$:

1. $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ir didžiausios atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių.
2. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai, t.y. $M\left(C\right)=C$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3 pavyzdys . Iš pavyzdžio $2$ suraskime atsitiktinio dydžio $X$ matematinį tikėjimą.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\ctaškas ((1)\virš (6))+4\ctaškas ((1)\virš (6))+5\ctaškas ((1)\virš (6))+6\ctaškas ((1) )\virš (6))=3,5.$$

Galime pastebėti, kad $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ($1$) ir didžiausios ($6$) atsitiktinio kintamojo $X$ reikšmių.

4 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $3X+5$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 USD.

5 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=4$. Raskite atsitiktinio dydžio $2X-9$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio sklaida.

Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės su vienodais matematiniais lūkesčiais gali skirtingai išsiskirstyti aplink jų vidutines vertes. Pavyzdžiui, dviejose mokinių grupėse tikimybių teorijos egzamino vidurkis pasirodė 4, tačiau vienoje grupėje visi pasirodė gerai, o kitoje – tik C mokiniai ir puikūs mokiniai. Todėl reikia skaitinės atsitiktinio dydžio charakteristikos, kuri parodytų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinius lūkesčius. Ši savybė yra dispersija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija$X$ yra lygus:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Anglų literatūroje naudojamas žymėjimas $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Labai dažnai dispersija $D\left(X\right)$ apskaičiuojama naudojant formulę $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) kairėje(X \dešinėje)\dešinėje))^2$.

Dispersijos savybės$D\kairė(X\dešinė)$:

1. Dispersija visada yra didesnė arba lygi nuliui, t.y. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Konstantos dispersija lygi nuliui, t.y. $D\left(C\right)=0$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, jei jis yra kvadratas, t.y. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6 pavyzdys . Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ dispersiją iš pavyzdžio $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\kairė(1-3.5\dešinė))^2+((1)\virš (6))\ctaškas (\kairė(2-3.5\dešinė))^2+ \taškai +( (1)\virš (6))\ctaškas (\kairė(6-3,5\dešinė))^2=((35)\virš (12))\apie 2,92.$$

7 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $4X+1$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2 = 32$.

8 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=3$. Raskite atsitiktinio dydžio $3-2X$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3 = 12$.

4. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

Diskretaus atsitiktinio dydžio vaizdavimo skirstinio eilutės forma metodas nėra vienintelis, o svarbiausia, jis nėra universalus, nes nenutrūkstamas atsitiktinis dydis negali būti nurodytas naudojant pasiskirstymo eilutę. Yra ir kitas atsitiktinio dydžio atvaizdavimo būdas – pasiskirstymo funkcija.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas funkcija $F\left(x\right)$, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei kokia nors fiksuota reikšmė $x$, tai yra $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ paims reikšmes iš intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, yra lygi skirtumui tarp paskirstymo funkcijos reikšmių šio galuose intervalas: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ – nemažėjantis.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9 pavyzdys . Raskime paskirstymo funkciją $F\left(x\right)$ diskrečiojo atsitiktinio dydžio $X$ paskirstymo dėsniui iš pavyzdžio $2$.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(masyvas)$

Jei $x\le 1$, tai akivaizdu, kad $F\left(x\right)=0$ (įskaitant $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Jei 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jei 2 USD< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jei 3 USD< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jei 4 USD< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jei 5 USD< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jei $x > 6 $, tada $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\kairė(X=4\dešinė)+P\kairė(X=5\dešinė)+P\kairė(X=6\dešinė)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Taigi $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,at\1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, 3 val< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ už\ x > 6.
\end(matrica)\right.$