Duotos dvi matricos a ir b, raskite. Veiksmai matricose

susidedantis iš T linijos ir n stulpeliai vadinami dydžio matrica n× m. Skaičiai A 11 , A 12 ,..., A mn vadinami ja elementai. Lentelė, žyminti matricą, rašoma skliausteliuose ir pažymėta A = (a ij ).

Jei matricos eilučių skaičius yra lygus jos stulpelių skaičiui, tada matrica vadinama kvadratas, ir jo eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui - tvarka kvadratinė matrica.

Visų kvadratinės matricos elementų, esančių atkarpoje, jungiančioje viršutinį kairįjį kampą su apatiniu dešiniuoju kampu, rinkinys vadinamas pagrindinė įstrižainė, ir segmente, jungiančiame viršutinį dešinįjį kampą su apatiniu kairiuoju - šoninė įstrižainė.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainė, jei visi jo elementai, esantys ne ant pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui. Kvadratinė matrica, kurios elementai išilgai pagrindinės įstrižainės yra lygūs vienetui, o likusieji yra nuliai, vadinama viengungis ir yra paskirtas E.

Dvi matricos vadinamos lygus jei jų eilučių ir stulpelių skaičius lygus ir jei šių matricų atitinkamose vietose esantys elementai yra lygūs.

Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis ir žymimas N.

Pagal apibrėžimą, padauginti matricą A skaičiui r reikia kiekvieno matricos elemento A padauginti iš r.

Pavyzdys. Duota matrica A =
, raskite 3 matricą A.

3 A = 3
=

Matricų suma A Ir IN vadinama matrica C, kurios elementai lygūs atitinkamų matricų elementų sumoms A Ir IN. Galima pridėti tik tokias matricas, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.

Pavyzdys. Duotos matricos A =
Ir IN =
. Raskite matricą C = A + B.

C =

Matricos pridėjimo savybės:

A+B=B+A

(A+ B)+ C = A+ (B + C)

A + N = A

Matricos gaminys Aį matricą IN apibrėžiamas tik tuo atveju, jei matricos stulpelių skaičius A lygus matricos eilučių skaičiui IN. Daugybos rezultatas yra matrica AB, kuris turi tiek pat eilučių, kiek yra matricoje A, ir tiek pat stulpelių, kiek yra matricoje IN.

Dviejų matricų sandauga A (m× p) Ir IN(p× n) vadinama matrica SU (m× n), kurios elementus nustato taisyklė

SU ij =

komentuoti. Norint padauginti dvi matricas, reikia elementų i padauginkite pirmosios matricos eilutę iš elementų j antrosios matricos stulpelį ir pridėkite gautus produktus. Gaukime naujos matricos elementą su indeksu ij.

Pavyzdys. Duotos matricos a ir b. ;. Raskite matricų ab sandaugą.

AB=

=
=

Pavyzdys. Duotos matricos A Ir IN. A=
Ir B = .

Sprendimas: A =(2x3), IN= (3X2) => AB =(2x2)

AB=
 =
=

Matricos daugybos savybės:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= A

(AB)k = (AB)k = A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

Transponuota matrica A T yra matrica, kurioje vietoj stulpelių rašomos eilutės, o vietoj eilučių – stulpeliai.

Pavyzdys. Tegu matrica duota A=
, Tada

A T =

Determinantai.

Antros eilės determinantas atitinkanti matricą A =
, paskambino numeriu
=A 11 A 22 - A 12 A 21 .

Pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami antros eilės determinantą.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Trečiosios eilės determinantas atitinkanti matricą

A =
, paskambino numeriu
=A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + a 13 A 21 A 32 – A 13 A 22 A 31 – A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Norint prisiminti, kurie produktai, esantys dešinėje lygybės pusėje, turėtų būti paimami su „+“ ženklu, o kurie „-“ ženklu, naudinga taisyklė vadinama trikampio taisykle, parodyta Fig. 1.

« + » « - »

1 pav.

Pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą

Antrasis būdas apskaičiuoti trečiosios eilės determinantus yra pridėti pirmuosius du stulpelius, rasti sandaugas išilgai pagrindinės įstrižainės ir lygiagrečių jai bei išilgai antrinės įstrižainės ir lygiagrečių jai.

= A 11 A 22 A 33 +a 12 A 23 A 31 + a 13 A 21 A 32 – A 13 A 22 A 31 – A 12 A 21 A 33 -A 11 A 23 A 32.

Determinantų savybės:

Jei determinante sukeistos dvi eilutės (stulpeliai), jo ženklas pasikeis į priešingą.

Jei determinanto eilutės ir stulpeliai yra sukeisti, jo ženklas ir dydis nepasikeis.

Jei dvi determinanto eilutės yra proporcingos (lygios), tada ji lygi nuliui.

Jei kuri nors determinanto eilutė (stulpelis) padauginama iš tam tikro skaičiaus ir pridedama prie kitos eilutės (stulpelio), jos reikšmė nepasikeis.

Jei determinante bet kurios eilutės (stulpelio) elementai turi bendrą koeficientą, tai jį galima išimti iš determinanto ženklo.

Jei determinantas turi nulinę eilutę arba stulpelį, tada jis yra lygus nuliui.

Nepilnametis M ij determinantinis elementas A ij yra determinantas, gautas iš originalo išbraukiant i- oi linijos ir j stulpelis, kuriame yra šis elementas.

Algebrinis papildinys A ij determinantinis elementas A ij vadinamas nepilnametis, padaugintas iš (-1) i + j .

Trečiasis determinantų skaičiavimo būdas yra skilimo teorema.

Dekompozicijos teorema: Determinantas lygus bet kurios eilutės (stulpelio) elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai.

Pavyzdys. Apskaičiuokite trečios eilės determinantą , išplečiant determinantą į pirmosios eilutės elementus.

= 5 · (-1) 1 + 1 · + 3 · (-1) 1 + 2 ·
+ 2 · (-1) 1 + 3 ·
= 68.

Tą patį determinantą galima apskaičiuoti naudojant 4 savybę), tada galima taikyti skilimo teoremą. Mūsų pavyzdyje pirmajame stulpelyje sukuriame nulius. Norėdami tai padaryti, prie pirmosios eilutės elementų pridedame antros eilės elementus, padaugintus iš 5, o prie trečios eilutės elementų pridedame antros eilės elementus, padaugintus iš 7. Ir gautą rezultatą išskaidome matricą į pirmojo stulpelio elementus.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

Instrukcijos. Internetiniam sprendimui reikia nurodyti matricos išraišką. Antrame etape reikės išsiaiškinti matricų matmenis.

Tinkamos operacijos: daugyba (*), sudėtis (+), atimta (-), atvirkštinė matrica A^(-1), eksponencija (A^2, B^3), matricos perkėlimas (A^T).
Norėdami atlikti operacijų sąrašą, naudokite kabliataškį (;) skyriklį. Pavyzdžiui, atlikti tris operacijas:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
turėsite parašyti taip: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica yra stačiakampė skaitmeninė lentelė su m eilučių ir n stulpelių, todėl matricą galima schematiškai pavaizduoti kaip stačiakampį.
Nulinė matrica (nulinė matrica) yra matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui ir žymimi 0.
Tapatybės matrica vadinama formos kvadratine matrica

Apibrėžkime pagrindinės operacijos su matricomis.

Matricos papildymas

6 pavyzdys. .
Matricos pridėjimo operacija apima bet kokį terminų skaičių. Akivaizdu, kad A+0=A.
Dar kartą pabrėžkime, kad galima pridėti tik tokio pat dydžio matricas; Skirtingų dydžių matricoms sudėjimo operacija neapibrėžiama.

Matricų atėmimas

Matricos daugyba

7 pavyzdys. Duotos matricos Ir . Raskite matricas C = A·B ir D = B·A.
Sprendimas. Visų pirma atkreipkite dėmesį, kad sandauga A·B egzistuoja, nes A stulpelių skaičius yra lygus B eilučių skaičiui.

8 pavyzdys. Duota matrica . Raskite 3A 2 – 2A.
Sprendimas.

.
; .
.
Atkreipkime dėmesį į įdomų faktą.
Kaip žinote, dviejų nulinių skaičių sandauga nėra lygi nuliui. Matricose panašios aplinkybės gali ir nebūti, tai yra, nulinių matricų sandauga gali pasirodyti lygi nulinei matricai.

MATRIKOS APIBRĖŽIMAS. MATRIČIŲ RŪŠYS

M dydžio matrica× n vadinamas rinkiniu m·n skaičiai, išdėstyti stačiakampėje lentelėje m linijos ir n stulpelius. Ši lentelė paprastai pateikiama skliausteliuose. Pavyzdžiui, matrica gali atrodyti taip:

Trumpumo dėlei matrica gali būti pažymėta viena didžiąja raide, pavyzdžiui, A arba IN.

Apskritai, dydžio matrica m× n parašyk tai taip

.

Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami matricos elementai. Matricos elementus patogu pateikti su dviem indeksais a ij: pirmasis nurodo eilutės numerį, o antrasis nurodo stulpelio numerį. Pavyzdžiui, a 23– elementas yra 2 eilutėje, 3 stulpelyje.

Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek stulpelių, tada matrica iškviečiama kvadratas, ir vadinamas jo eilučių arba stulpelių skaičius tvarka matricos. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose antroji matrica yra kvadratinė - jos tvarka yra 3, o ketvirtoji matrica yra 1.

Iškviečiama matrica, kurioje eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui stačiakampio formos. Pavyzdžiuose tai yra pirmoji matrica ir trečioji.

Taip pat yra matricų, kuriose yra tik viena eilutė arba vienas stulpelis.

Vadinama matrica, turinti tik vieną eilutę matrica – eilutė(arba eilutę) ir matricą su tik vienu stulpeliu matrica – stulpelis.

Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis ir žymimas (0) arba tiesiog 0. Pavyzdžiui,

.

Pagrindinė įstrižainė kvadratinės matricos įstrižainė, einanti iš viršutinio kairiojo į apatinį dešinįjį kampą.

Vadinama kvadratinė matrica, kurioje visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui trikampis matrica.

.

Kvadratinė matrica, kurioje visi elementai, išskyrus galbūt esančius pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui, vadinama įstrižainės matrica. Pavyzdžiui, arba.

Vadinama įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui viengungis matrica ir žymima raide E. Pavyzdžiui, 3 eilės tapatybės matrica turi formą .

VEIKSMAI DĖL MATRIKŲ

Matricinė lygybė. Dvi matricos A Ir B Sakoma, kad jie yra lygūs, jei jie turi vienodą eilučių ir stulpelių skaičių ir juos atitinkantys elementai yra lygūs a ij = b ij. Taigi, jei Ir , Tai A=B, Jei a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ir a 22 = b 22.

Transponuoti. Apsvarstykite savavališką matricą A iš m linijos ir n stulpelius. Jis gali būti susietas su tokia matrica B iš n linijos ir m stulpeliai, kurių kiekviena eilutė yra matricos stulpelis A su tuo pačiu numeriu (taigi kiekvienas stulpelis yra matricos eilutė A su tuo pačiu numeriu). Taigi, jei , Tai .

Ši matrica B paskambino perkelta matrica A, ir perėjimas iš AĮ B perkėlimas.

Taigi perkėlimas yra matricos eilučių ir stulpelių vaidmenų apvertimas. Matrica perkelta į matricą A, paprastai žymimas A T.

Ryšys tarp matricos A o jo perkėlimas gali būti parašytas forma .

Pavyzdžiui. Raskite matricą, perkeltą duotosios.

Matricos papildymas. Tegul matricos A Ir B susideda iš vienodo skaičiaus eilučių ir tiek pat stulpelių, t.y. turėti tie patys dydžiai. Tada norėdami pridėti matricų A Ir B reikalingi matricos elementams A pridėti matricos elementus B stovi tose pačiose vietose. Taigi dviejų matricų suma A Ir B vadinama matrica C, kuri nustatoma pagal taisyklę, pvz.

Pavyzdžiai. Raskite matricų sumą:

Nesunku patikrinti, ar matricos pridėjimas paklūsta šiems dėsniams: komutacinis A+B=B+A ir asociatyvus ( A+B)+C=A+(B+C).

Matricos padauginimas iš skaičiaus. Padauginti matricą A už skaičių k reikalingas kiekvienas matricos elementas A padauginkite iš šio skaičiaus. Taigi, matricos produktas A už skaičių k yra nauja matrica, kuri nustatoma pagal taisyklę arba .

Dėl bet kokių skaičių a Ir b ir matricos A Ir B galioja šios lygybės:

Pavyzdžiai.

Matricos daugyba.Ši operacija atliekama pagal savotišką dėsnį. Visų pirma, atkreipiame dėmesį, kad faktorių matricų dydžiai turi būti nuoseklūs. Galite dauginti tik tas matricas, kuriose pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su antrosios matricos eilučių skaičiumi (t. y. pirmosios eilutės ilgis lygus antrojo stulpelio aukščiui). Darbas matricos A ne matrica B vadinama nauja matrica C=AB, kurio elementai sudaryti taip:

Taigi, pavyzdžiui, norint gauti produktą (t. y. matricoje C) elementas, esantis 1 eilutėje ir 3 stulpelyje nuo 13, reikia paimti 1-ą eilutę 1-oje matricoje, 3-ią stulpelį antroje, o tada padauginti eilutės elementus iš atitinkamų stulpelio elementų ir pridėti gautus produktus. O kiti sandaugos matricos elementai gaunami naudojant panašų pirmosios matricos eilučių ir antrosios matricos stulpelių sandaugą.

Apskritai, jei padauginsime matricą A = (a ij) dydis m× nį matricą B = (b ij) dydis n× p, tada gauname matricą C dydis m× p, kurio elementai apskaičiuojami taip: elementas c ij gaunamas elementų sandaugos rezultatas i matricos eilutė Aį atitinkamus elementus j matricos stulpelis B ir jų papildymai.

Iš šios taisyklės išplaukia, kad visada galite padauginti dvi tos pačios eilės kvadratines matricas, todėl gauname tos pačios eilės kvadratinę matricą. Visų pirma, kvadratinę matricą visada galima padauginti iš savęs, t.y. kvadratu.

Kitas svarbus atvejis – eilučių matricos dauginimas iš stulpelio matricos, o pirmosios plotis turi būti lygus antrosios aukščiui, todėl gaunama pirmos eilės matrica (t.y. vienas elementas). tikrai,

.

Pavyzdžiai.

Taigi šie paprasti pavyzdžiai rodo, kad matricos, paprastai kalbant, viena su kita nejuda, t.y. A∙B ≠ B∙A . Todėl dauginant matricas reikia atidžiai stebėti faktorių eiliškumą.

Galima patikrinti, ar matricos daugyba paklūsta asociatyviniams ir paskirstymo dėsniams, t.y. (AB)C=A(BC) Ir (A+B)C=AC+BC.

Taip pat nesunku tai patikrinti padauginus kvadratinę matricą Aį tapatybės matricą E ta pačia tvarka vėl gauname matricą A, ir AE=EA=A.

Galima pastebėti tokį įdomų faktą. Kaip žinote, 2 ne nulinių skaičių sandauga nėra lygi 0. Matricoms taip gali nebūti, t.y. 2 nenulinių matricų sandauga gali pasirodyti lygi nulinei matricai.

Pavyzdžiui, Jei , Tai

.

DETERMINANTŲ SAMPRATA

Tegu pateikiama antros eilės matrica – kvadratinė matrica, susidedanti iš dviejų eilučių ir dviejų stulpelių .

Antros eilės determinantas atitinkantis nurodytą matricą, yra skaičius, gautas taip: 11–22–12–21 val.

Determinantas nurodomas simboliu .

Taigi, norint rasti antros eilės determinantą, iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos reikia atimti antrosios įstrižainės elementų sandaugą.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite antros eilės determinantus.

Panašiai galime apsvarstyti trečiosios eilės matricą ir atitinkamą determinantą.

Trečiosios eilės determinantas, atitinkantis nurodytą trečios eilės kvadratinę matricą, yra skaičius, žymimas ir gaunamas taip:

.

Taigi ši formulė pateikia trečiosios eilės determinanto išplėtimą pagal pirmosios eilutės elementus 11, 12, 13 ir sumažina trečiosios eilės determinanto skaičiavimą iki antros eilės determinanto skaičiavimo.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite trečiosios eilės determinantą.

Panašiai galima įvesti ketvirtojo, penktojo ir kt. determinantų sąvokas. įsakymus, sumažindami jų eiliškumą išplečiant į 1-os eilės elementus, kai terminų ženklai „+“ ir „–“ keičiasi.

Taigi, skirtingai nuo matricos, kuri yra skaičių lentelė, determinantas yra skaičius, kuris tam tikru būdu priskiriamas matricai.

1. Bendrosios instrukcijos. Testas turi būti pildomas atskirame kvadratiniame sąsiuvinyje su paraštėmis užrašams. Darbo tekstas parašytas įskaitomai ranka tos pačios spalvos rašalu. Atlikdami užduotis turite pateikti visas jų sąlygas. Užduotys, kuriose pateikiami tik atsakymai be sprendimų, bus laikomos neišspręstomis. Kitos parinkties testai neskaičiuojami. Darbas turi būti atliktas tvarkingai, švariai, be žymių.

Testą studentas turi užpildyti, užpildyti ir pateikti peržiūrai iki sesijos pradžios.

Kiekvienas mokinys baigia jūsų pasirinkimas bandomasis darbas. Pasirinkimo numeris nustatomas pagal pažymių knygelės arba mokinio pažymėjimo paskutinį skaitmenį. Jei paskutinis skaitmuo yra nulis, įvykdoma dešimtoji parinktis.

2. Užduočių parinktys.

1 užduotis

Raskite matricų sandaugąA IrIN:

,
.

Sprendimas:

Kadangi veiksniai turi matmenis
Ir
, tada jų produktas yra apibrėžtas ir turi matmenis
. Vadinasi,

1 užduoties parinktys

Raskite matricų A ir B sandaugą:

,
.

2 užduotis

Duota matricaA. Raskite matricąA -1 ir tai nustatytiAA -1 =E.

Sprendimas:

, Kur

Norėdami rasti matricą A -1 visų pirma reikia apskaičiuoti matricos determinantą A ir įsitikinkite, kad jis egzistuoja. Norėdami tai padaryti, naudosime Sarrus metodą.

Apskaičiuokime kiekvieno matricos elemento algebrinius papildymus naudodami formulę:

A -1 .

.

Patikrinkime:

2 užduoties parinktys

Duota matrica A. Raskite matricą A -1 ir nustatyti, kad AA -1 =E.

3 užduotis

Raskite tiesinių algebrinių lygčių sistemos (SLAE) sprendimą vienu iš siūlomų metodų:

Cramerio metodas

atvirkštinės matricos metodas

Gauso metodas

Patikrinkite tirpalą.

Sprendimas:

Užrašykime sistemos koeficientų matricą

Išspręskime sistemą Kramerio metodu.

Pirmiausia panagrinėkime suderinamumo sąlygą, t.y.

Todėl sistema yra suderinama, t.y. turi unikalų sprendimą.

Kur - gautas iš determinanto pakeitimas i Stulpelis yra laisvųjų elementų stulpelis.

Kur
- sistemos linijų susikirtimo taškas.

Taigi


Patikrinkime rastą sprendimą pakeisdami į kiekvieną sistemos lygtį.

Egzaminas:

;.

Taigi, matome, kad po pakeitimo į sistemą kiekviena lygtis virto skaitine tapatybe. Vadinasi, sistemos sprendimas buvo rastas teisingai.

Išspręskime sistemą atvirkštinės matricos metodu.

Parašykime sistemą matricos forma:

,,.

;
. Raskime atvirkštinę matricą A -1 .

, Kur

Determinantas rasta sprendžiant sistemą naudojant Cramerio metodą:

Norėdami rasti matricą A -1 Belieka apskaičiuoti kiekvieno matricos elemento algebrinius papildymus naudojant formulę:

Rastas reikšmes pakeiskime pradine skaičiavimo formule A -1 .

.

Patikrinkime:

Patikrinimas patvirtino mūsų rastos matricos teisingumą.

Raskime nežinomųjų matricos stulpelį:

.

Atsakymas sutampa su Cramerio metodu rastu sprendimu, todėl jo netikrinsime.

Išspręskime sistemą Gauso metodu.

Kadangi elementarios sistemos transformacijos yra panašios į elementariąsias matricos transformacijas, sistemai išspręsti išrašome išplėstinę sistemos matricą:

.

Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą iki ekvivalentinės sistemos matricos laipsniškai.

Pagal Kronecker-Capelli teoremą, sistema turi sprendimą, jei išplėstinės matricos rangas yra lygus sumažintos matricos rangui.

Rastas atsakymas sutampa su ankstesniais metodais rastais atsakymais. Tikrinti nereikia, nes tai buvo padaryta anksčiau.