Tegul koks nors skaičius XÎ R + pirmą kartą pakeistas į A, ir tada toliau V, ir numerį X taip puiku, kad abu šie pokyčiai neišplaukia iš rinkinio R + . Paskambinkime suma numeriai A Ir V realusis skaičius, išreiškiantis gautą pokytį. Pavyzdžiui, jei iš pradžių pakeisite į 4, o paskui į 7, skaičius 12 pirmiausia pateks į 16, o po to 16 pateks į 23. Tačiau norint, kad 12 taptų 23, turite jį pakeisti į 11 , o tai reiškia 4 + 7 = 11, patinka ir turėtų būti. Jei pirmiausia pakeisite į –4, o paskui į –7, tada 12 pirmiausia pateks į 8; ir tada į 1. Bet norint gauti 1 iš 12, reikia pakeisti 12 į –11. Iš to seka, kad (–4) + (–7) = –11.
Apskritai, jei A Ir V - teigiami realieji skaičiai ir
X>A+V, tada keičiant į – V numerį X–A eina į ( x – A) – V, tie. V X–(A + V).
Bet gauti X – (A + V), reikia pakeisti Xįjungta
–(a + b). Tai rodo, kad (- A) + (–V) = – (a + b).
Dabar panagrinėkime priešingų ženklų skaičių pridėjimą. Pradėkime nuo atvejo, kai terminai yra priešingi skaičiai. Aišku, jei pakeisite numerį X pirmiausia įjungta A, o tada į - A, tada vėl gausime X. Kitaip tariant, x +(+(–A)) = X. Kadangi, kita vertus, X+ 0 = X, tada reikia įdėti +(–A) = 0. Taigi, priešingų skaičių suma lygi nuliui.
Dabar suraskime sumą A+ (–V) bendruoju atveju (manome, kad A Ir V yra teigiami skaičiai, todėl – V neigiamas). Jeigu A> V, Tai
A = (A–V)+ in, ir todėl A+ (–V) = (A–V)+V+ (–V).
Tačiau nuoseklūs skaičiaus pokyčiai Xįjungta A– in, in Ir - V galima pakeisti pakeitus į A–V(keičiasi į V Ir - V abipusiai sunaikinami). Todėl įdedame +(–V) = A–V, Jeigu A> V. Akivaizdu, kad kada A> V Ir (- V) +A = A–V.
Leisk tai dabar A<V.Šiuo atveju turime - V = (–A)+ (–(V– A)), todėl A + (–V) = A + (–A) + (–(V– A)) = – (V – A). Taigi, kada a < V reikia įdėti A + (–V) = – (V – A). Tas pats rezultatas bus gautas pridėjus - V Ir A: (–V) + A = –(V– A).
Gautas realiųjų skaičių sudėjimo taisykles galima suformuluoti kaip tokį apibrėžimą.
Apibrėžimas.Pridedant du to paties ženklo realieji skaičiai duos to paties ženklo skaičių, kurio modulis lygus terminų modulių sumai. Sudėjus skirtingų ženklų skaičius, gaunamas skaičius, kurio ženklas sutampa su termino, turinčio didesnį modulį, ženklu, o modulis lygus didesnio ir mažesnio terminų modulių skirtumui. Priešingų skaičių suma lygi nuliui, o sudėjus su nuliu skaičius nekeičiamas.
Patikrinti šį papildymą nesunku R turi komutatyvumo, asociatyvumo ir kontraktilumo savybes. Iš aukščiau pateikto apibrėžimo aišku, kad nulis yra neutralus elementas pridėjimo atžvilgiu , tie.
+ 0= A.
Atimtis gausiai R apibrėžiamas kaip atvirkštinė pridėjimo operacija. Nes kiekvienas skaičius V V R turi priešingą skaičių - V, toks kad V+ (–V) = 0, tada atimant skaičių V yra lygiavertis pridėjimui su skaičiumi – in: a–V=A+ (–V).
Tiesą sakant, bet kokiam A Ir V mes turime:
(A + (–V)) + V = A+ ((–V) + V) = A, ir tai reiškia, kad A– V = A + (–V).
Dėl teigiamų skaičių A Ir V, toks A>V, jų skirtumas
A–V buvo pakeitimas, kuriame V patenka į A. Pagal analogiją mes reikalaujame bet kokių realių skaičių A Ir V numerį A–V pakeitimas, kuris verčia V V A. Tai trunka nuo taško 0 iki taško A – V. Kalbant apie teigiamus realiuosius skaičius, šis pokytis geometriškai pavaizduotas nukreipta atkarpa, kylanti iš taško V iki taško A. Jo ilgis lygus atstumui nuo pradžios iki taško
A–V, tie. modulio numeris A–V. Mes įrodėme šį svarbų teiginį:
Atkarpos, einančios iš taško, ilgis V iki taško A, lygus | A–V|.
Supažindinkime su rinkiniu R
užsakymo santykis. Mes tai manysime
A> V jei ir tik skirtumas A– V teigiamas. Nesunku įrodyti, kad šis ryšys yra antisimetriškas ir tranzityvus, t.y. yra griežtos tvarkos santykis. Be to, bet kokiam A Ir V iš R
galioja vienas ir tik vienas iš santykių: A= V, A< in, in< A, tie. užsakymo santykis R
linijinis. Nes A– 0 = A, Tai A> 0 jei aÎ R
+
, Ir A< 0, еслиAÎ R –
.
Nesunku įrodyti, kad jeigu A> V, tada bet kam SuÎ R
mes turime
A+ Su> V+ Su.
Tema Nr.1.
Realieji skaičiai. Skaitinių išraiškų konvertavimas
I. Teorinė medžiaga
Pagrindinės sąvokos
· Natūralūs skaičiai
· Dešimtainis skaičiaus žymėjimas
· Priešingi skaičiai
· Sveikieji skaičiai
· Paprastoji frakcija
Racionalūs skaičiai
· Begalinis dešimtainis
· Skaičiaus periodas, periodinė trupmena
· Neracionalūs skaičiai
· Realieji skaičiai
Aritmetiniai veiksmai
Skaitinė išraiška
· Išraiškos reikšmė
· Dešimtainės trupmenos keitimas į paprastąją trupmeną
Trupmenos konvertavimas į dešimtainę
Periodinės trupmenos pavertimas paprastąja trupmena
· Aritmetinių operacijų dėsniai
· Dalumo požymiai
Skaičiai, naudojami skaičiuojant objektus arba norint nurodyti objekto serijos numerį tarp panašių objektų, yra vadinami natūralus. Bet koks natūralusis skaičius gali būti parašytas naudojant dešimt numeriai: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šis skaičių žymėjimas vadinamas dešimtainis
Pavyzdžiui: 24; 3711; 40125.
Paprastai žymima natūraliųjų skaičių aibė N.
Vadinami du skaičiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik ženklu priešinga skaičių.
Pavyzdžiui, skaičiai 7 ir – 7.
Natūralūs skaičiai, jų priešingybės ir skaičius nulis sudaro aibę visa Z.
Pavyzdžiui: – 37; 0; 2541.
Formos numeris , kur m – sveikasis skaičius, n – natūralusis skaičius, vadinamas paprastu trupmena. Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1.
Pavyzdžiui: , .
Sveikųjų skaičių ir trupmenų (teigiamų ir neigiamų) aibių sąjunga sudaro aibę racionalus skaičių. Paprastai jis žymimas K.
Pavyzdžiui: ; – 17,55; .
Tegu duota dešimtainė trupmena. Jo reikšmė nepasikeis, jei dešinėje pridėsite bet kokį nulių skaičių.
Pavyzdžiui: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Toks dešimtainis skaičius vadinamas begaliniu dešimtainiu.
Bet kuri bendroji trupmena gali būti pavaizduota kaip begalinė dešimtainė trupmena.
Iškviečiama nuosekliai pasikartojanti skaitmenų grupė po kablelio skaičiuje laikotarpį, ir vadinama begalinė dešimtainė trupmena, kurios žymėjime yra toks periodas periodiškai. Trumpumo dėlei įprasta tašką parašyti vieną kartą, įterpiant jį skliausteliuose.
Pavyzdžiui: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Vadinamos begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos neracionalus skaičių.
Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga sudaro aibę galioja skaičių. Paprastai jis žymimas R.
Pavyzdžiui: ; 0,(23); 41,3574…
Skaičius 
yra neracionalu.
Visiems skaičiams apibrėžti trijų žingsnių veiksmai:
· I etapo veiksmai: sudėjimas ir atėmimas;
· II etapo veiksmai: daugyba ir dalyba;
· III etapo veiksmai: eksponencija ir šaknų ištraukimas.
Vadinama išraiška, sudaryta iš skaičių, aritmetinių simbolių ir skliaustų skaitinis.
Pavyzdžiui: 
; .
Skaičius, gautas atlikus veiksmus, vadinamas išraiškos vertė.
Skaitinė išraiška neturi prasmės, jei jame yra dalybos iš nulio.
Surandant išraiškos reikšmę, III, II stadijos ir I pakopos veiksmo pabaigoje atliekami nuosekliai. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į skliaustų išdėstymą skaitinėje išraiškoje.
Skaitmeninės išraiškos konvertavimas susideda iš nuoseklaus aritmetinių operacijų su į ją įtrauktais skaičiais atlikimo naudojant atitinkamas taisykles (paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo, dešimtainių skaičių dauginimo taisyklė ir kt.). Skaitinių išraiškų konvertavimo užduotys vadovėliuose randamos šiose formuluotėse: „Rasti skaitinės išraiškos reikšmę“, „Supaprastinti skaitinę išraišką“, „Apskaičiuoti“ ir kt.
Surasdami kai kurių skaitinių išraiškų reikšmes, turite atlikti operacijas su įvairių tipų trupmenomis: paprastosiomis, dešimtainėmis, periodinėmis. Tokiu atveju gali tekti paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę arba atlikti priešingą veiksmą – periodinę trupmeną pakeisti paprastąja.
Norėdami konvertuoti po kablelio iki bendrosios trupmenos, trupmenos skaitiklyje užtenka parašyti skaičių po kablelio, o vardiklyje vieną su nuliais, ir nulių turi būti tiek, kiek skaitmenų yra kablelio dešinėje.
Pavyzdžiui: ; .
Norėdami konvertuoti trupmena iki kablelio, jo skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio pagal dešimtainės trupmenos dalijimo iš sveikojo skaičiaus taisyklę.
Pavyzdžiui: 
;
;
.
Norėdami konvertuoti periodinės trupmenos į paprastąją trupmeną, būtina:
1) iš skaičiaus prieš antrąjį tašką atimkite skaičių prieš pirmąjį tašką;
2) parašykite šį skirtumą kaip skaitiklį;
3) vardiklyje parašykite skaičių 9 tiek kartų, kiek laikotarpyje yra skaičių;
4) prie vardiklio pridėkite tiek nulių, kiek yra skaitmenų tarp kablelio ir pirmojo taško.
Pavyzdžiui: 
; 
.
Aritmetinių operacijų su realiaisiais skaičiais dėsniai
1. Kelionės(komutacinis) sudėjimo dėsnis: terminų pertvarkymas nekeičia sumos vertės:
2. Kelionės(komutacinis) daugybos dėsnis: perstačius veiksnius gaminio vertė nekeičiama:
3. Jungiamasis(asociacinis) sudėjimo dėsnis: sumos reikšmė nepasikeis, jei kuri nors terminų grupė bus pakeista jų suma:
4. Jungiamasis(asociacinis) daugybos dėsnis: sandaugos vertė nepasikeis, jei kuri nors veiksnių grupė bus pakeista jų sandauga:
.
5. Paskirstymas(paskirstymo) daugybos dėsnis, susijęs su sudėtimi: norint padauginti sumą iš skaičiaus, pakanka padauginti kiekvieną sudėjimą iš šio skaičiaus ir pridėti gautas sandaugas:
6–10 savybės vadinamos 0 ir 1 absorbcijos dėsniais.
Dalyvavimo požymiai
Iškviečiamos savybės, kurios kai kuriais atvejais leidžia neskirstant nustatyti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito dalijimosi požymiai.
Bandymas dalytis iš 2. Skaičius dalijasi iš 2 tada ir tik tada, kai skaičius baigiasi net numerį. Tai yra 0, 2, 4, 6, 8.
Pavyzdžiui: 12834; –2538; 39,42.
Bandymas dalytis iš 3. Skaičius dalijasi iš 3 tada ir tik tada, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3.
Pavyzdžiui: 2742; –17940.
Bandymas dalytis iš 4. Skaičius, turintis bent tris skaitmenis, dalijasi iš 4 tada ir tik tada, kai dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutinių dviejų nurodyto skaičiaus skaitmenų, dalijasi iš 4.
Pavyzdžiui: 15436; –372516.
Dalijamumo iš 5 testas. Skaičius dalijasi iš 5 tada ir tik tada, kai paskutinis jo skaitmuo yra 0 arba 5.
Pavyzdžiui: 754570; –4125.
Dalijamumo iš 9 testas. Skaičius dalijasi iš 9 tada ir tik tada, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdžiui: 846; –76455.
2 pamoka.
Pamokos tema. Realūs skaičiai.
Pamokos tikslas. Supažindinkite su realaus skaičiaus sąvoka. Operacijos su realiais skaičiais.
Pamokos eiga.
aš. Organizacinis momentas. Nurodykite pamokos temą ir tikslą.
II . Uždengtos medžiagos kartojimas.
1. Atsakymai į klausimus apie namų darbus (neišspręstų problemų analizė).
2. Žinių įgijimo kontrolė (savarankiškas darbas).
1 variantas. 2 variantas.
1. Raskite posakių reikšmes:
1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)
2. Apskaičiuokite:
1) 2) 1) 2)
3) 4) 3) ; 4)
III . Naujos medžiagos mokymasis.
1.Racionalūs skaičiai nepakanka matavimo problemoms išspręsti. Taigi kvadrato, kurio kraštinė yra vieneto, įstrižainės negalima išmatuoti, jei naudojate tik racionalius skaičius (2,5 t.l. BC)
Matavimo užduotims atlikti galite pasirinkti standartinę reikšmę – atkarpos ilgį ir nustatyti skaičius geometriškai – pagal segmentus, tiksliau pagal jų ryšius su pasirinktu atskiru segmentu (mastelio vienetu). Jei atkarpos santykį su vienetiniu skaičiumi vadiname skaičiumi, tada iškyla užduotis parašyti skaičių. Patogu skaičių rašyti kaip dešimtainę trupmeną, atspindinčią tam tikrą matavimo procesą.
Matuodami kvadrato, kurio kraštinė yra 1, įstrižainę, pirmiausia atidedame visumą
vieneto segmentą ir gaukite skaičių 1. Likusi dalis bus atidėta dešimt
ta vieneto segmento dalis. Jis bus deponuotas 4 kartus, o segmentas išliks
ilgis mažesnis . Gauname dešimtainę trupmeną 1.4. Tada skirstome
vėl į 10 dalių, naują segmentą atidėkite kaip likusį ir užsirašykite
rezultatas. Gauname dešimtainių trupmenų seką didėjant
skaitmenų po kablelio skaičius: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .
Šią seką patogu pavaizduoti kaip vieną begalinę
mažoji dešimtainė trupmena 1.414213562373095..., kurią galima laikyti
numerį. Taigi, pagal apibrėžimątikrasis skaičius yra begalinis
neperiodinė dešimtainė trupmena.
2. Galutinė dešimtainė trupmena. Pateiktas racionalus skaičius
Bus parašyta trupmena, kurios vardiklyje yra tik dvejetai ir penketukai
galutinė dešimtainė trupmena, nes tam tikru žingsniu dešimtainio matavimo procesas baigsis – tam tikra vieneto segmento dalis bus įdėta į likutį sveikąjį skaičių kartų.
Pavyzdžiui:
Jei kokia nors neredukuojama trupmena Jei vardiklyje yra pirminių skaičių, išskyrus 2 ir 5, dešimtainis matavimo procesas taps periodiškas, o skaitmenys (vienas ar daugiau) pradės periodiškai kartotis.
Pavyzdžiui: 
3. Iracionalūs skaičiai yra skaičiai, kurie nėra racionalūs. Jie rašomi kaip begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.
Pavyzdžiui:.
Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės sąjunga sudaro aibęrealūs skaičiai R . ( ).
4 . Kodėl reikėjo realių skaičių ir ar jų pakanka problemoms išspręsti?
Iracionaliųjų skaičių pridėjimas prie racionalių skaičių atsirado dėl būtinybės išmatuoti bet kokių atkarpų ilgį. Tokiu būdu sukonstruotų realių skaičių pagalba galima išmatuoti daugybę kitų dydžių, kurie buvo pavadintas skaliarinis.
5 . Kodėl kvadrato, kurio kraštinė lygi vienai, įstrižainė negali būti išmatuota racionaliu skaičiumi?
6. Operacijos su realiais skaičiais.
Begalinis dešimtainis yra tam tikro tikrojo skaičiaus artėjimo baigtiniais dešimtainiais skaičiais seka. Norint su jais atlikti aritmetines operacijas, šios operacijos atliekamos su baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
Pavyzdžiui:. Mes gauname:
Taip pat (naudojant skaičiuotuvą).
Tikrieji skaičiai gali būti pavaizduoti taškais skaičių eilutėje. Jei du skaičiai b vaizduojamas taškais skaičių ašyje, tada atstumas tarpA ir B lygus skaičių skirtumo moduliuia u b : Savybės:
aš v. Sutvirtina dengtą medžiagą.
1. Atsakykite į klausimus.
1) Ar kiekvienas sveikasis skaičius yra racionalus? (Taip)
2) Ar skaičius neracionalu? (Ne)
3) Ar racionaliųjų skaičių suma visada yra racionalusis skaičius? (Nr. Periodinių trupmenų suma.)
4) Ar sudėjus neracionaliuosius skaičius galima gauti racionalųjį skaičių? (Ne)
5) Ar racionaliojo skaičiaus dalinys, padalytas iš iracionaliojo skaičiaus, gali būti racionalusis skaičius? (Ne)
6) Ar neracionaliojo skaičiaus kvadratas visada yra racionalusis skaičius? (Nr. ).
2. Spręsdami pavyzdžius.
1) Pateikite racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių pavyzdžių.
2) Nurodykite racionalius ir neracionalius skaičius:
3) Ar tiesa, kad: a). b)
Kartojasi vidurinėje mokykloje
Integralinis
Darinys
Kūnų tūriai
Sukimosi kūnai
Koordinačių metodas erdvėje
Stačiakampė koordinačių sistema. Ryšys tarp vektorių koordinačių ir taško koordinačių. Paprasčiausi uždaviniai koordinatėse. Taškinė vektorių sandauga.
Cilindro samprata. Cilindro paviršiaus plotas. Kūgio samprata.
Kūgio paviršiaus plotas. Rutulys ir rutulys. Sferos plotas. Sferos ir plokštumos santykinė padėtis.
Tūrio samprata. Stačiakampio gretasienio tūris. Tiesios prizmės arba cilindro tūris. Piramidės ir kūgio tūris. Kamuolio tūris.
III skyrius. Matematinės analizės pradžia
Darinys. Galios funkcijos išvestinė. Diferencijavimo taisyklės. Kai kurių elementariųjų funkcijų dariniai. Geometrinė išvestinės reikšmė.
Išvestinės taikymas funkcijoms tirti Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas. Funkcijos kraštutinumas. Išvestinės taikymas braižant grafikus. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.
Antidarinis. Antidarinių radimo taisyklės. Lenktos trapecijos ir integralo plotas. Integralų skaičiavimas. Plotų skaičiavimas naudojant integralus.
Edukacinės ir mokomosios užduotys egzaminams
I skyrius. Algebra
Skaičius yra abstrakcija, naudojama objektams kiekybiškai įvertinti. Primityvioje visuomenėje skaičiai atsirado dėl žmonių poreikio skaičiuoti daiktus. Laikui bėgant, vystantis mokslui, skaičius tapo svarbiausia matematine sąvoka.
Norėdami išspręsti problemas ir įrodyti įvairias teoremas, turite suprasti, kokie yra skaičių tipai. Pagrindiniai skaičių tipai yra: natūralieji skaičiai, sveikieji skaičiai, racionalieji skaičiai, realieji skaičiai.
Natūralūs skaičiai – tai skaičiai, gauti natūraliai skaičiuojant objektus, tiksliau – juos sunumeravus („pirmas“, „antras“, „trečias“...). Natūraliųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide N (galima prisiminti pagal anglišką žodį natural). Galime pasakyti, kad N =(1,2,3,...)
Papildant natūraliuosius skaičius nuliniais ir neigiamais skaičiais (t. y. skaičiais, priešingais natūraliems skaičiams), natūraliųjų skaičių aibė išplečiama iki sveikųjų skaičių aibės.
Sveikieji skaičiai yra skaičiai iš aibės (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ši aibė susideda iš trijų dalių – natūraliųjų skaičių, neigiamų sveikųjų skaičių (natūraliųjų skaičių priešingybė) ir skaičiaus 0 (nulio). Sveikieji skaičiai žymimi lotyniška raide Z. Galima sakyti, kad Z=(1,2,3,....). Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti kaip trupmeną, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.
Yra racionalių skaičių, kurių negalima parašyti kaip baigtinį dešimtainį skaičių, pavyzdžiui, . Jei, pavyzdžiui, bandysite parašyti skaičių kaip dešimtainę trupmeną, naudodami gerai žinomą kampų padalijimo algoritmą, gausite begalinę dešimtainę trupmeną. Vadinama begalinė dešimtainė trupmena periodiškai, kartojantis skaičius 3 – ji laikotarpį. Periodinė trupmena trumpai užrašoma taip: 0,(3); rašoma: „Nulis sveikasis skaičius ir trys taške“.
Apskritai periodinė trupmena yra begalinė dešimtainė trupmena, kurioje, pradedant nuo tam tikro kablelio, kartojamas tas pats skaitmuo arba keli skaitmenys – trupmenos periodas.
Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena yra periodinė, kurios taškas yra 56; parašyta "23 sveiki, 14 šimtųjų dalių ir 56 taškas".
Taigi, kiekvienas racionalus skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinė periodinė dešimtainė trupmena.
Taip pat yra atvirkščiai: kiekviena begalinė periodinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius, nes ją galima pavaizduoti kaip trupmeną , kur yra sveikas skaičius ir yra natūralusis skaičius.
Tikrieji skaičiai yra skaičiai, naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Realiųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide R. Realieji skaičiai apima racionalius ir neracionalius skaičius. Iracionalieji skaičiai – tai skaičiai, kurie gaunami atliekant įvairias operacijas su racionaliaisiais skaičiais (pavyzdžiui, imant šaknis, skaičiuojant logaritmus), bet nėra racionalūs. Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai:
Bet koks tikrasis skaičius gali būti rodomas skaičių eilutėje:
Aukščiau išvardytoms skaičių aibėms teisingas toks teiginys: natūraliųjų skaičių aibė įtraukta į sveikųjų skaičių aibę, sveikųjų skaičių aibė įtraukta į racionaliųjų skaičių aibę, o racionaliųjų skaičių aibė įtraukta į sveikųjų skaičių aibę. realiųjų skaičių rinkinys. Šį teiginį galima iliustruoti naudojant Eilerio apskritimus.
Pratimai, kuriuos reikia išspręsti savarankiškai
